26. 삼각함수의 덧셈 정리

[eqn: sin2x = 2 sin x cos x]를 방정식에 대입한 뒤 정리하면 [eqn: cosx (sin x + cosx -1 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: cosx = 0] 또는 [eqn: sinx+c osx = 1]

[eqn: cosx = 0]을 만족하는 근은 [eqn: x = pi over 2 , 3pi over 2]이고,

[eqn: sinx + cosx = root2 sin left(x + pi over 4 right) = 1]을 만족하는 근은 [eqn: x =][eqn: 0, pi over 2]이므로, 주어진 방정식을 만족시키는 서로 다른 모든 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 0+ pi over 2 + 3pi over 2 = 2pi].

[정답] ⑤

27. 정적분의 정의

[eqn: DELTAx = 1 over n]으로 생각하고, [eqn: x_k = k over n]이라고 하자.

그러면 [eqn: int_0^1 left{f^-1 (x) - f(x) right}dx]

[eqn: =][eqn: lim_n->inf][eqn: sum_k=1^n]([eqn: f^-1 (x_k ) - f(x_k )])[eqn: DELTAx]

[eqn: =][eqn: lim_n->inf][eqn: sum_k=1^n]([eqn: f^-1 (x_k ) - f(x_k )])[eqn: 1 over n]

그런데, [eqn: f'(x)>0], [eqn: f''(x) >0]에서 주어진 함수는아래로 볼록이면서 증가함수이므로,

[eqn: f(x_k )]와 [eqn: f^ -1 (x_k )]의 중점은 [eqn: y=x] 위에 있다. 즉,

[eqn: {f(x_k ) + f^-1 (x_k )} over 2 = x_k][eqn: = k over n]

따라서,

[eqn: f^-1 (x_k ) - f(x_k )][eqn: =][eqn: {f(x_k ) + f^-1 (x_k )}-2f(x_k )]

[eqn: =2 k over n - 2 f left( k over n right)],

[eqn: int_0^1 left{f^-1 (x) - f(x) right}dx]

[eqn: =][eqn: lim_n->inf][eqn: sum_k=1^n]([eqn: f^-1 (x_k ) - f(x_k )])[eqn: 1 over n]

[eqn: =][eqn: lim_n->inf][eqn: sum_k=1^n]([eqn: 2 k over n - 2 f left( k over n right)])[eqn: 1 over n]

[eqn: =][eqn: lim_n->inf][eqn: sum_k=1^n][eqn: left{ k over n - f left( k over n right) right}][eqn: 2 over n]

[정답] ②

28. 도함수의 응용

먼저 [eqn: (g circ f) (x)]에서 [eqn: g(x)]가 증가함수이면 [eqn: (g circ f) (x)]의 증감은 [eqn: f(x)]의 증감과 일치함을 기억한다. 또 [eqn: f(x)][eqn: = ln x^4 (10-x)]이다.

ㄱ. [eqn: h(x) = x^4 (10-x)]라고 하면, [eqn: h'(x) = 5x^3 (8-x)]이므로 [eqn: x = 8]에서 [eqn: h(x)]가 최댓값을 갖는다. 따라서 [eqn: f(x) = lnh(x)] 또한 [eqn: x =8]에서 최댓값을 갖는다. 따라서 [eqn: f(8) = 13 ln2]. (참)

ㄴ. [eqn: f(x) =0] [eqn: LRARROW] [eqn: h(x) = 1]이므로 [eqn: h(x)=1]인 [eqn: x]의 개수가 두 개인지 확인한다.

개구간 [eqn: (0,8)]에서 [eqn: h'(x) >0]이므로 [eqn: h(x)]는 증가함수이고 [eqn: h(0)=0], [eqn: h(8) >1]이므로 이 구간에서 [eqn: h(x)=1]인 [eqn: x]는 단 하나이다. 마찬가지로 [eqn: (8,10)]에서 [eqn: h'(x) <0]이므로 [eqn: h(x)]는 감소함수이고 [eqn: h(8)>1], [eqn: h(10)=0]이므로 [eqn: h(x)=1]인 [eqn: x]는 단 하나이다. 따라서 [eqn: h(x)][eqn: =1]을 만족하는 [eqn: x]의 개수는 [eqn: f(x)]의 정의역 [eqn: (0,10)]에서 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: y = e^f(x) = h(x)]이다. 그런데, [eqn: h''(x) = 20 x^2 (6-x)]이므로 [eqn: x=6] 주변에서 [eqn: h(x)]의 오목 볼록이 바뀐다. 그러므로 [eqn: (4,8)]에서 위로 볼록하지 않는 경우가 있다. (거짓)

따라서 ㄱ,ㄴ만 참이다.

[정답] ③

29. 역함수의 미분법

[eqn: F(x) =][eqn: int left{2+ sin (x^2 ) right} dx]라고 하면,

[eqn: F'(x)= 2+sin(x^2 )]이다. 이 때,

[eqn: f(x) =][eqn: F(x) - F(a)], [eqn: f'(x) =F'(x) = 2 + sin (x^2 )]

[eqn: f''(x) = left{ sin (x^2 ) right}' = cos (x^2 ) times 2x]

[eqn: f''(a) = root3 a]에서 [eqn: 2a cos a^2 = root3 a],

[eqn: therefore cos a^2 = root3 over 2] ([eqn: because a>0])

따라서 [eqn: a^2 = pi over 6] ([eqn: because] [eqn: 0<a< root{pi over 2])

그런데 [eqn: f ( f^-1 (x) )= x]에서, 합성함수의 미분법을 쓰면 [eqn: f'(f^-1 (x)) times (f^-1 )' (x) = 1]이므로

[eqn: (f^-1 )' (0) = 1 over {f' ( f^-1 (0))][eqn: = 1 over {f' ( a)]

[eqn: =] [eqn: 1 over {2+sin(a^2 )} = 1 over {2+sin pi over 6} = 2 over 5]

[eqn: left( because f(a) = int_a^a left{ 2+sin(t^2 ) right}dt = 0 right)]

[정답] ④

30. 곡선의 길이

위의 그림에서, [eqn: barAB = barAC]이므로 [eqn: Angle BAO = theta over 2]이고, 둔각 [eqn: ANGLE BOC]는 원주각 [eqn: ANGLEBAC]의 중심각이므로 [eqn: 2 theta]이며, 따라서 예각 [eqn: ANGLEBOC = 2pi - 2 theta]이다. 또 [eqn: barBO = barCO]이므로 [eqn: ANGLEBOA = pi - theta]임을 알 수 있다. 한편 삼각형 [eqn: ABC]는 [eqn: barAB = barAC]인 직각삼각형이므로, [eqn: ANGLE ABC = pi over 2 - theta over 2][eqn: = {pi - theta} over 2]이다. 또 내접원의 중심을 [eqn: M], [eqn: barBC]의 중점을 [eqn: N]이라 하면, [eqn: barBM]을 빗변으로 공유하고 있는 두 직각삼각형은 [eqn: RHS]합동이므로, [eqn: angleMBN = {pi - theta} over 4]이다.

이제 [eqn: barBN = {barBN} over bar{BO} = sin(pi - theta)]이고,

[eqn: tan left({ pi - theta} over 4 right) = {barMN} over {barBN} = {r(theta)} over {sin (pi-theta)]이므로

[eqn: r(theta) = tan left( {pi - theta} over 4right) sin (pi - theta)]이고,

[eqn: lim_theta->pi-0 r(theta) over {(pi -theta )^2 }][eqn: =][eqn: lim_theta->pi-0][eqn: { tan left( {pi - theta} over 4right) sin (pi - theta)} over{ 4 times{pi- theta}over 4 times (pi-theta)}]

[eqn: = 1 over 4]

[eqn: therefore][eqn: p = 4], [eqn: q = 1], [eqn: p^2 + q^2 = 17]

[정답] 17