1. 지수의 계산

9=3, 27=3이므로 준 식에 대입하면

33=3이다.

[정답] ④

2. 행렬의 연산

A+B=이므로,

(A+B)A==이다. 그러므로 (A+B)A의 모든 성분의 합은 9이다.

[정답] ①

3. 수열의 극한

=는 n이 무한대로 커질 때 (n+1)n에 다가가며 그 값은 1이다. 그러므로 주어진 식의 분모를 1로 두면 답은 2이다.

[정답] ②

4. 로그함수의 최대와 최소

□27이며

x=2일 때 27을 최솟값으로 가진다.

그러므로

□=6이 최솟값이다.

[정답] ③

5. 등비수열

1,a,b,c 순으로 공비가 r이므로

이라 둘 수 있다.

이를 각 식에 대입하면 이고, 이다.

그런데 이므로

이며 계산하면 이다.

[정답] ⑤

6. 로그의 계산

이므로

이다.

[정답] ②

7. 지수함수

(가)의 조건에서 두 함수의 그래프가 x=2에 대하여 대칭이므로 가 성립한다. 대입해보면, 이고 이므로 이다.

을 대입하여 계산하면

이고 (나)의 조건에서 이므로

이다. 즉 또는 인데, 이므로 이다.

그러므로 이다.

[정답] ①

8. 정규분포와 표본평균

이고 n=64이므로

표본평균의 평균은 모집단의 평균과 같은 350이고 표본평균의 분산은 모집단의 분산을 n으로 나눈 값이므로 이며, 정리하면이다.

□□

□이다.

□□

□이다. 이 둘을 합하면 0.0290이다.

[정답] ①

9. 이항정리

의 전개식에서 이 나오려면 와 이 각각 두 번씩 곱해져야 한다.

모든 경우의 수를 구하는 것은 곧 같은 것이 포함된 순열의 수를 구하는 것과 동일하므로 이다.

[정답] ②

10. 수학적 귀납법

조건식에서 이므로 이다.

n에 m을 대입하면

이므로 (가)에 알맞은 답은 이다.

또한 ,

, ... 이므로

=(나)이다.

(나)와 (다)가 포함된 식을 비교해 보면

(나)(다)이므로

(다)=(나)

=

=이다.

[정답] ④

11. 로그함수

ㄱ. (p,p)가 위에 있으므로

p=일 때 이다.

즉 이므로 ㄱ은 옳다.

ㄴ. 그래프를 그려보면 와

와의 교점이 와의 교점보다 더 앞쪽에 있음을 알 수 있다.

두 교점의 좌표가 각각 (p,p), (q,q)이므로 p<q이다.

ㄷ. (p,p)가 를 만족하므로,

이고 이를 a를 밑으로 하는 지수로 바꾸면 이다.

같은 방법으로 (q,q)가 를 만족해 이므로 이다. 그래서 ×이다.

[정답] ⑤

12. 역행렬

ㄱ. 일 때

이고 ≠9, 3×9≠1이므로 집합 S의 조건을 만족한다.

ㄴ. 반례) 일 때 A의 모든 성분은 1이 아닌 양수이고 ad-bc≠0이므로 역행렬을 가져 집합 U에 속한다. 그러나 ≠이므로 집합 S의 조건을 만족하지 않는다.

ㄷ. A가 집합 S의 조건을 만족하므로

로 놓을 수 있으며

bc≠1이기 때문에 k≠-1이다.

라고 두면 이고,

이다. 그런데 k≠-1, a≠b이므로 ad≠bc이고 즉, A는 역행렬을 가진다.

[정답] ③

13. 등비수열

의 기울기는 모두 1 또는 -1이다. 그러므로 직선 의 함수를 임의로

로 놓을 수 있으며 과의 교점의 좌표들은  또는

의 식을 만족하게 된다.

즉, 이 의 점들에 성립하고 과 의 두 교점의 x좌표의 합은 1 또는 -1이 되므로 을 쉽게 구할 수 있다.

우선 이므로 의 x좌표는 -2가 된다. 이를 에 대입하면 (-2,4)이다. 같은 방법으로 이고, , ... 이다.

계산하면 이므로 임을 알 수 있다.

[정답] ②

14. 등비급수

원점에서 그은 의 접선의 길이는

이다. 원점에서 그은 의 접선의 길이는 이다. 접선의 길이의 비가 이므로 이것이 곧 닮음비이고 넓이의 비는 그 제곱은 15:9이다. 동일한 패턴으로 이루어져 있으므로 원 의 넓이 은 ∏,

공비 인 등비수열이다. 그러므로 구하려는 값은 등비수열의 무한 합, 즉 등비급수이고 공식 에 대입하면 답을 얻을 수 있다.

[정답] ③

15. 같은 것이 있는 순열

(A,B,C,D)를 순서쌍으로 나타내면

(4,0,0,1), (3,1,1,0), (2,3,0,0) 이렇게 세 가지가 있다. (4,0,0,1)의 경우에 작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수는 A 4개와 D 1개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같다. 즉 이다. 같은 방식으로 (3,1,1,0)은 (2,3,0,0)은

이므로 총 35가지이다.

[정답] ⑤

16. 조건부확률

우선 처음 A에서는 아무거나 뽑아도 관계없으므로 확률은 1이다. 그 다음 B에서는 A와 다른 숫자의 구슬을 뽑아야하기 때문에 확률은 이다. 그 다음 A에서 뽑을 때는 앞서 뽑은 두 숫자를 제외한 수 중에서 뽑아야 B에서도 같은 숫자의 구슬을 뽑을 수 있다. 즉 확률은 나머지 4개중 B에서 뽑혔던 공까지 제외해서 이고 마지막으로 B에서 뽑아야 할 구슬은 A에서 뽑힌 것과 같은 숫자의 구슬이어야 하므로 확률은 이다.

이를 다 곱하면 확률은 이다.

[정답] ①

17. 확률과 그 계산

ㄱ. 한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나올 확률은 이므로  을 대입하여 계산하면 I(E)=1이다.

ㄴ. 두 사건 A, B가 서로 독립이므로

P(A∩B)=P(A)P(B)이다.

∩B)

ㄷ. 2I(A∪B)P(A∪B)

{P(A∪B)}

P(A∪B)≥P(A)>0, P(A∪B)≥P(B)>0이므로 {P(A∪B)}≥P(A)P(B)

그런데 는 감소함수이므로

2I(A∪B)≤I(A)+I(B)이다.

[정답] ⑤

18. 지수함수

(a,5)와 (3,b)는 그래프 위의 점이므로

을 만족한다.

이므로 a=2이고 =25

이다. 그러므로 a+b=27이다.

[정답] 27

19. 등차수열

공차가 2이므로 ×2=a+8,

8×2=a+16이다.

이므로

이고 a=7이다.

이므로 답은 32이다.

[정답] 32

20. 등비급수

조건식에서 이고

이므로 연립방정식을 세워서 풀면 이다. 그러므로 수열 의 무한합은 이다.

[정답] 16

21. 비례식의 성질

비례식에서 일 때,

의 식이 성립한다.

이 성질은 이용하면 준 식에서

이므로 로 치환하면 이며 (b>a)이므로

계산하면 t=2이다. 구하려는 값은 10t이다.

[정답] 20

22. 확률

직접 표를 그려 세어보면 (m,n)이

(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,1), (5,5), (1,5), (6,1), (6,6), (1,6)일 때 주어진 값이 1이 된다. 그러므로 확률은 이다.

[정답] 23

23. 수열의 합

몫과 나머지를 k로 두면,

이므로 n=11일 때 그 값이 최소이다.

[정답] 11

24. 행렬의 연산

양변에 을 곱하면

A의 모든 성분의 합이 0이고, E의 모든 성분의 합이 2이므로 정답은 18이다.

[정답] 18

25. 경우의 수

원을 마름모로 단순화시켜 생각할 수 있다.

◇◇◇◇

◇◇◇◇

A지점에서 B지점까지 최단거리로 도착하는 경우의 수는 다음과 같이 구할 수 있다.

[정답] 40

26. 집합과 확률

P(A∩B)=P(A)×P(B｜A)=×

P(A∩B)=P(B)-P(A∩B)=(1-P(B))-P(A∩B)

P(A｜B)

[정답] ④

27. 가수

가수는 자릿수에 상관없이 숫자에 의존한다.

1~9: 9개

11~19: 9개(10의 가수는 1의 가수와 같으므로 제외한다.)

21~29: 9개 ... 141~149: 9개

150의 가수는 15의 가수와 같으므로 제외하면 15×9=135이다.

[정답] 135

28. 행렬

이므로 행렬 AB에 대하여 교환법칙이 성립한다. 그러므로 , 이다. 의 양변을 제곱하면 이다.

[정답] ③

29. 모집단에서의 표본추출

모집단의 평균과 표본집단의 평균은 같으므로 10×+20×a+30×()=18이라고 식을 세워 풀면 a=이다.

평균이 20인 표본집단 중 크기가 2인 집단은 (10,30), (20,20), (30,10)의 세 가지 경우이다. 각각의 확률을 구해보면,

(10,30) : ×

(20,20) : ×

(30,10) : ×

이고 총합은 이다.

[정답] ④

30. 독립시행과 이항분포

주어진 조건을 만족하는 (m,n)의 순서쌍은 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)의 15가지 경우이다. 그러므로 사건 E의 확률 P(E)=이고 독립시행은 이항분포로 나타낼 수 있으므로

X=B(12, )이다.

분산은 npq=12××=이다.

[정답] 47