수리 영역 “가형”  *홀수형

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2009 수능 해설

수리 영역

1. ④	2. ①	3. ①	4. ④	5. ②

6. ③	7. ①	8. ①	9. ②	10. ④

11. ⑤	12. ③	13. ②	14. ③	15. ⑤

16. ①	17. ⑤	18. 28	19. 17	20. 12

21. 27	22. 30	23. 11	24. 25	25. 15

[미분과 적분]

26. ⑤	27. ②	28. ③	29. ④	30. 17

[확률과 통계]

26. ④	27. ②	28. ⑤	29. ③   30. 288

[이산수학]

26. ③	27. ⑤	28. ④	29. ②	30. 49

1. 지수와 로그

정답 ④

[eqn: 9^{ 3 over 2 } TIMES 27 ^{- {2} over {3}} =LEFT ( 3 ^{2} RIGHT ) ^{{3} over {2}} TIMES LEFT ( 3 ^{3} RIGHT ) ^{- {2} over {3}}]

[eqn: =3 ^{3} TIMES 3 ^{-2}]

[eqn: =3 ^{3-2}]

[eqn: =3]

2. 행렬

정답 ①

[eqn: A+B= pmatrix{2&```1#1&```1} + pmatrix{-1&```-2#````````1&````````0} = pmatrix{1&```-1#2&`````````1}]

[eqn: LEFT ( A+B RIGHT ) A= pmatrix{1&```-1#2&```````````1} pmatrix{2&```1#1&```1} = pmatrix{1&```0#5&```3}]

따라서 구하는 모든 성분의 합은

[eqn: 1+0+5+3=9]이다

3. 적분법

정답 ①

[eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx= int _{0} ^{1} {(6x ^{2}} +2ax)dx]

[eqn: = left [2x ^{3} +ax ^{2} RIGHT ]_0 ^{1}]

[eqn: =a+2`]

[eqn: f(1)=2a+6`]이므로

[eqn: a+2=2a+6`]

∴[eqn: a=-4`]

4. 방정식과 부등식

정답 ④

[eqn: x ^{2} -2x=t`]라 하면 [eqn: t >= 0`]

[eqn: sqrt {t+1} `- sqrt {t} = {1} over {2} `]에서 [eqn: sqrt {t+1} = sqrt {t} + {1} over {2} `]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: sqrt {t} = {3} over {4} `]

∴[eqn: t= {9} over {16} `]

[eqn: x ^{2} -2x- {9} over {16} =0]에서 실근의 합은 [eqn: 2]이다.

5. 방정식과 부등식

정답 ②

[eqn: {1} over {f(x)+1} - {1} over {f(x)-1} = {2} over {x ^{2}} `]에서

[eqn: {2} over {1- LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} = {2} over {x ^{2}} `]

∴[eqn: 1- LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} =x ^{2} ``]

[eqn: f(x)=y``]로 놓으면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]

구하는 값은 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 중에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위에 있는 점이다. 그런데 분수방정식에서 분모의 값이 [eqn: 0]이 되어서는 안 되므로 점 [eqn: (0,~-1)]은 제외해야 한다.

따라서 서로 다른 실근은 [eqn: 3]개이다.

6. 함수의 극한과 연속성

정답 ③

먼저 함수 [eqn: g(x)``]를

간단히 해 보자.

ⅰ) [eqn: LEFT | x-b RIGHT | <1``]일 때

[eqn: g(x)``=1``]

ⅱ) [eqn: LEFT | x-b RIGHT | >1````]일 때

[eqn: g(x)``=2``]

ⅲ) [eqn: LEFT | x-b RIGHT | =1````]일 때

[eqn: g(x)``= {3} over {2} ```]

이 때 [eqn: y=g(x)``]의 그래프는 위의 그림과 같다.

함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)``]가

모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

연속이 되어야 하므로

[eqn: f(b-1)=f(b+1)=0``]

이어야 한다. 그런데 함수

[eqn: y=f(x)``]의 그래프는 직선

[eqn: x=2``]에 대하여 대칭이므로

그 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다.

따라서 [eqn: b=2]이고 [eqn: f(1)=f(3)=0]이므로 [eqn: a=3]이다.

∴[eqn: a+b=5``]

7. 지수함수와 로그함수

정답 ①

조건 (가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: a ^{2b-1} =a ^{1-2b}]

∴[eqn: 2b-1=1-2b][eqn: ( BECAUSE a != 1 )]

∴[eqn: b= {1} over {2}]

조건 (나)에서

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT ) =a ^{2-1} +a ^{1-2} = {5} over {2}]

[eqn: a+ {1} over {a} = {5} over {2}]

[eqn: 2a ^{2} -5a+2=0]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( 2a-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE a= {1} over {2} ```` LEFT ( BECAUSE 0<a<1 RIGHT )]

∴[eqn: a+b= {1} over {2} + {1} over {2} =1]

8. 확률분포와 통계적 추정

정답 ①

[eqn: \N LEFT ( 350,```16 ^{2} RIGHT )]인 모집단에서 추출한 크기 [eqn: 64]인 표본 평균을 확률변수 [eqn: bar{X}]라 하면 [eqn: bar{X}]는 정규분포

[eqn: \N LEFT ( 350,```2 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: Z= {bar{X} -350} over {2}]에서

[eqn: {\P} LEFT ( bar{X} <= 346 RIGHT ) +{\P} LEFT ( bar{X} >= 355 RIGHT )]

[eqn: ={\P} LEFT ( Z <= -2 RIGHT ) +{\P} LEFT ( Z >= 2`.`5 RIGHT )]

[eqn: ={\P} LEFT ( Z >= 2 RIGHT ) +{\P} LEFT ( Z >= 2`.`5 RIGHT )]

[eqn: =LEFT {0.5- {\P} ( 0 <= Z <= 2 ) RIGHT }+LEFT {0.5- {\P} LEFT ( 0 <= Z <= 2`.`5 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =1- LEFT { {\P} LEFT ( 0 <= Z <= 2 RIGHT ) +{\P} LEFT ( 0 <= Z <= 2`.`5 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =1- LEFT ( 0`.`4772+0`.`4938 RIGHT )]

[eqn: =0`.`0290]

9. 함수의 극한과 연속성

정답 ②

정의된 구간에서 연속인 함수끼리 곱하거나 합성한 함수도 연속이므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 함수의 연속을 따질 때는 불연속인 점과 정의된 구간의 연결 부분만 조사하면 연속 여부를 알 수 있다.

ㄱ. [eqn: LEFT { f(3) RIGHT } ^{2} =1 != 2=f(f(3))]이므로 연속이 아니다.

ㄴ. [eqn: LEFT { f(3) RIGHT } ^{2} =4=f(f(3))``]이고 [eqn: x=4]에서의 함숫값과 좌우극한값이 [eqn: 3]으로 일치하므로 연속이다.

ㄷ. [eqn: LEFT { f(3) RIGHT } ^{2} =4=f(f(3))``]이지만 [eqn: x=4]에서의 함숫값과 좌극한값은 [eqn: 2], 우극한값은 [eqn: 3]이 되어 연속이 아니다.

따라서 연속인 것은 ㄴ뿐이다.

10. 수열

정답 ④

(1) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = {1_`}over{2`}], (우변)[eqn: =1- {1 _{`}} over {2`} = {1 _{`}} over {2`}]이

므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1 ^{`}} ^{m _{`}} a _{k} `= sum _{k=1 ^{`}} ^{m _{`}} {1 _{`}} over {k ^{2}} - {m _{`}} over {m+1}]

이다. [eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1^`} ^{m +1_`} a_k][eqn: = sum _{k=1 ^{`}} ^{m _{`}} {1 _{`}} over {k ^{2}} - {m _{`}} over {m+1} +a _{m+1}]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over{k^2} - {m_`} over {m+1} + ```{m _{`} ^{2}} over {(m+1)(m+2)}```a_m]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over {k^2} - {m_`} over {m+1}]

[eqn: + {m^2}_` over{(m+1)(m+2)} cdot` {(m-1)^2}_` over {m(m+1)} cdot` CDOTS `cdot` {1^2}_` over {2 CDOT 3} `a_1]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over {k^2} - {m_`} over {m+1} + ``{1 _{`}} over {(m+1) ^{2} (m+2)}]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over {k^2} - {m_`} over {m+1} + {1_`}over {(m+1)^2 }-``{1 _{`}} over {(m+1)(m+2)}]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m +1_`} {1_`}over {k^2} - {m+1_`} over {m+2}]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

11. 함수의 극한과 연속성

정답 ⑤

[eqn: lim _{x-> INF } {{f(x)} over {x ^{m}} =1}]로부터 [eqn: f(x)``]는 [eqn: m``]차 이하의 항으로 되어 있고 [eqn: m``]차 항의 계수는 [eqn: 1]임을 알 수 있다.

[eqn: lim _{x -> INF } {{f ^{`'} (x)} over {x ^{m-1}} =a}]로부터 [eqn: m=a``]임을 알 수 있다.

[eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {x ^{n}} =b````}]로부터 [eqn: f(x)``]는 [eqn: n``]차 이상의 항으로 되어 있고 [eqn: n``]차 항의 계수는 [eqn: b]임을 알 수 있다.

[eqn: lim _{x -> 0} {{f ^{``'} (x)} over {x ^{n-1}} =9````}]로부터 [eqn: bn=9``]임을 알 수 있다.

ㄱ. (참) [eqn: f(x)``]는 [eqn: n``]차 이상 [eqn: m``]차 이하의 항으로 이

루어진 다항함수이므로 [eqn: m >= n``]이다.

ㄴ. (참) [eqn: ab = mb >= bn=9]

ㄷ. (참) [eqn: f(x)``]가 삼차함수이면 [eqn: am=3 TIMES 3=9]이므로 [eqn: am=bn]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

12. 행렬

정답 ③

ㄱ. (참) [eqn: A= pmatrix{4&```9#3&```2}]이면

[eqn: log _{4} 2=log _{9} 3= {1} over {2}]이고, [eqn: 4 != 9,```9`․`3=27 != 1]

이므로 [eqn: A IN S]

ㄴ. (거짓)

【반례】 [eqn: A= pmatrix{2&```3#4&```2}]이면 [eqn: 2 cdot 2-3 cdot 4=-8 != 0]

이므로 역행렬을 갖는다.

[eqn: log _{2} 2 != log _{4} 3]이므로 [eqn: A NOTIN S]

ㄷ. (참) 행렬 [eqn: A= pmatrix{a&```b#c&```d}]라 할 때, [eqn: A]가 역행렬을

갖지 않는다면 [eqn: ad-bc=0]

∴[eqn: d= {bc} over {a}]

∴[eqn: log _{a} d=log _{a} {bc} over {a}]

[eqn: =log _{a} b+log _{a} c-1]

[eqn: = {1} over {log _{b} a} + {log _{b} c} over {log _{b} a} -1]

[eqn: = {1+log _{b} c} over {log _{b} a} -1]

[eqn: != log _{b} c````` LEFT ( BECAUSE a != b이므로```log _{b} a != 1` RIGHT )]

즉, [eqn: A NOTIN S``]이다.

그러므로 [eqn: A IN S``]이면 [eqn: A]는 역행렬을 가진다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

13. 수열의 극한

정답 ②

점 [eqn: {\P}_n (n=2,~3,~4,~cdots )]을 차례로 구해보면

[eqn: {\P}_2 (-2,~4)], [eqn: {\P}_3 (3,~9)], [eqn: {\P}_4 (-4,~16)], [eqn: CDOTS] 이므로

[eqn: l _{1} = bar{\P _{0} P _{1}} = sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: l _{2} = bar{\P _{1} P _{2}} = sqrt {LEFT ( -2-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 4-1 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = sqrt {3 ^{2} +3 ^{2}} =3 sqrt {2}]

[eqn: l _{3} = bar{\P _{2} P _{3}} = sqrt {LEFT ( 3+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 9-4 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = sqrt {5 ^{2} +5 ^{2}} =5 sqrt {2}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: l _{n} = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) sqrt {2}]

∴[eqn: lim _{n -> inf} {{sqrt {2} LEFT ( 2n-1 RIGHT )} over {n}} =2 sqrt {2}]

14. 수열의 극한

정답 ③

([eqn: C _{1}]의 넓이)[eqn: = pi `․``1 ^{2} = pi]

[eqn: {r} over {3} = {1} over {sqrt {15}} ``````````````` THEREFORE r= {3} over {sqrt {15}}]

([eqn: C _{2}]의 넓이)[eqn: = pi `․``r ^{2} = pi `․` {9} over {15} = {3} over {5`} pi]

∴[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {pi } over {1- {3} over {5}} = {pi } over {{2} over {5}} = {5} over {2} pi]

15. 순열과 조합

정답 ⑤

[eqn: 1,```2,```3,```4]를 한 개 이상씩 사용하여 총 [eqn: 5]번으로 [eqn: 8]을 만드는 순서쌍을 찾으면 [eqn: \` LEFT ( 1,```1,```1,```1,```4 RIGHT )],

[eqn: \` LEFT ( 1,```1,```1,```2,```3 RIGHT )], [eqn: \` LEFT ( 1,```1,```2,```2,```2 RIGHT )]이다.

즉, [eqn: \ LEFT ( A,```A,```A,```A,```D RIGHT ) ,``` LEFT ( A,```A,```A,```B,```C RIGHT ) ,`]

[eqn: \` LEFT ( A,```A,```B,```B,```B RIGHT )]를 사용하여 계획서를 작성하면 된다.

각각의 경우의 수를 구하여 더하면

[eqn: {5!} over {4!`1!} + {5!} over {3!`1!`1!} + {5!} over {2!`3!} =5+20+10=35]

16. 확률

정답 ①

ⅰ) 첫 번째 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 숫자가 서로

다를 확률 :

[eqn: 1- LEFT ( 서로`같은`구슬을`뽑을`확률 RIGHT )][eqn: =1- {5} over {5 TIMES 5}]

[eqn: = {20} over {25}]

[eqn: = 4 over 5]

ⅱ) 두 번째 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 숫자가 같을

확률 :

철수 영희가 서로 다른 구슬을 각각 1개씩 뽑았

으므로 같은 숫자는 3쌍이 있다.

∴[eqn: {3} over {4 TIMES 4} = {3} over {16}]

ⅰ)과 ⅱ)는 곱 사건이므로 [eqn: {4} over {5} TIMES {3} over {16} = {3} over {20}]이다.

17. 확률

정답 ⑤

ㄱ. (참) 한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나오

는 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: {\P} LEFT ( E RIGHT ) = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE I LEFT ( E RIGHT ) =-log _{2} {1} over {2} =1]

ㄴ. (참) 두 사건 [eqn: A,````B]가 서로 독립이면

[eqn: {\P} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) ={\P} LEFT ( A RIGHT ) `․`{\P} LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: I LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =-log _{2} {\P} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )]

[eqn: =-log _{2} {\P} LEFT ( A RIGHT ) `․`{\P} LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: =-log _{2} {\P} LEFT ( A RIGHT ) `-log _{2} `{\P} LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: =I LEFT ( A RIGHT ) +I LEFT ( B RIGHT )]

ㄷ. (참) [eqn: {\P} LEFT ( A RIGHT ) >0,````{\P} LEFT ( B RIGHT ) >0]일 때,

[eqn: {\P} LEFT ( A CUP B RIGHT ) >= {\P} LEFT ( A RIGHT ) `]에서

[eqn: I LEFT ( A CUP B RIGHT ) =-log _{2} {\P} LEFT ( A CUP B RIGHT ) <= -log` _{2} `{\P} LEFT ( A RIGHT ) =I LEFT ( A RIGHT )]

[eqn: {\P} LEFT ( A CUP B RIGHT ) >= {\P} LEFT ( B RIGHT ) `]에서

[eqn: I LEFT ( A CUP B RIGHT ) =-log _{2} {\P} LEFT ( A CUP B RIGHT ) <= -log` _{2} `{\P} LEFT ( B RIGHT ) =I LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: THEREFORE 2I LEFT ( A CUP B RIGHT ) <= I LEFT ( A RIGHT ) +`I LEFT ( B RIGHT )]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

18. 다항함수의 미분법

정답 28

[eqn: x -> 2]일 때, (분모)→[eqn: 0]이므로 (분자)→[eqn: 0]이어야 한다.

∴[eqn: f(3)=8``]

또, [eqn: lim _{x-> 2} {eqalign{{f(x+1)-8} over {(x-2)(x+2)} `={1} over {4} lim _{x-> 2} {{f(x+1)-8} over {(x+1)-3}]

[eqn: = {1} over {4} lim _{t-> 3} {{f(t)-8} over {t-3}]

[eqn: = {1} over {4} f` ^{'} (3)``}}}}]

이므로 [eqn: f`` ^{'} (3)`=20]

∴[eqn: f(3)+f`` ^{``'} (3)=28``]

19. 이차곡선

정답 17

타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1]의 두 꼭짓점 [eqn: (-2,~0)], [eqn: (0,~1)]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} x+1]이다.

그런데 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1``]에 접하고 기울기가 [eqn: {1} over {2}]인 접선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} x± sqrt {{a ^{2}} over {4} +b ^{2} `}]이므로

[eqn: sqrt {{a ^{2}} over {4} +b ^{2}} =1]

즉, [eqn: {a ^{2}} over {4} +b ^{2} =1] ………………… ㉠

또, 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1``]의 초점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: b``]이므로 [eqn: a ^{2} -b ^{2} =b ^{2} ``]

즉, [eqn: a ^{2} =2b ^{2} ``] …………………… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b ^{2} = {2} over {3} ,~a ^{2} = {4} over {3} ``]

∴[eqn: a ^{2} b ^{2} = {8} over {9} ````]

∴[eqn: p+q=17``]

20. 벡터

정답 12

직육면체의 꼭짓점 [eqn: \H]를 원점으로, 모서리 [eqn: \HE], [eqn: \HG], [eqn: \HD]를 각각 [eqn: x,~y,~z]축으로 하는 공간좌표에서 생각해 보면 점 [eqn: \P(4,~0,~6)], [eqn: \Q(4,~2,~8)],

[eqn: \R(2,~0,~8)], [eqn: \S(2,~4,~0)]이므로 [eqn: \T(3,~1,~8)]이다.

이때, [eqn: vec{rm TP it} =(1,~-1,~-2)]이고 [eqn: vec{rm QS it} =(-2,~2,~-8)]이므로 [eqn: vec{rm TP it}]ㆍ[eqn: vec{rm QS it} =-2-2+16=12]이다.

21. 적분법

정답 27

포물선 [eqn: y ^{2} =12x``]에 접하고 기울기가 [eqn: 1``]인 접선의 방정식은 [eqn: y=x+3``]이므로 [eqn: a=3``]이다.

[eqn: y ^{2} =12(y-3)``]에서 접점의 좌표는 [eqn: (3,~6)]이다.

회전체의 부피는 [eqn: pi int _{0} ^{3} {LEFT { (x+3) ^{2} -12x RIGHT } } dx=9 pi ``]이므로 [eqn: b=9``]

∴[eqn: ab=27``]

22. 벡터

정답 30

[eqn: {2} over {3} vec{rm OA it} + {1} over {3} vec{rm OP it}]는 점 [eqn: \A]와 점 [eqn: \P]를 잇는 선분을 [eqn: 1:2]로 내분하는 벡터이다. 벡터 [eqn: {2} over {3} vec{rm OA it} + {1} over {3} vec{rm OP it}]의 절댓값이 최대가 되려면, 점 [eqn: \P]가 선분 [eqn: \OA]와 구면이 만나는 점일 때이다.

이 경우에 [eqn: {2} over {3} vec{rm OA it} + {1} over {3} vec{rm OP it}]의 절댓값의 최댓값은 [eqn: rm bar{OP} + {2} over {3} rm bar{PA} =3+(3 sqrt {3} -3) TIMES {2} over {3} =2 sqrt {3} +1]이다.

∴[eqn: a=1,`b=2``]

∴[eqn: 10(a+b)=30``]

23. 수열

정답 11

[eqn: A]를 [eqn: n]으로 나누었을 때 몫이 [eqn: k]([eqn: 1 <= k <= n-1])이고 나머지가 [eqn: k]라고 하면

[eqn: A=n`․`k+k]이다.

이때, [eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n-1} A]이므로

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( n+1 RIGHT ) k= LEFT ( n+1 RIGHT ) ㆍ sum _{k=1} ^{n-1} k]

[eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) {LEFT ( n-1 RIGHT ) n} over {2}]

[eqn: a _{n} >500]에서 [eqn: {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n-1 RIGHT ) n} over {2} >500]

[eqn: LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n-1 RIGHT ) n>1000]

[eqn: n LEFT ( n ^{2} -1 RIGHT ) >1000]

[eqn: n ^{3} -n>1000]

위의 부등식을 만족하는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 11]이다.

24. 공간도형과 공간좌표

정답 25

점 [eqn: \P]를 지나며 평면 [eqn: alpha]에 평행한 평면을 [eqn: beta]라 하자. 점 [eqn: \Q ,``R]에서 평면 [eqn: beta]에 내린 수선의 발을 [eqn: \Q' ,``R']이라 하고, [eqn: {rm bar{QQ ^{prime }}} =x``,` {\ bar{RR ^{prime }}} =y`(0<x<y`)``]라 하자.

삼각형 [eqn: \PQ'R']은 한 변의 길이가 [eqn: 2 root 3]인 정삼각형이므로 다음이 성립한다.

[eqn: {rm bar{PQ}} = sqrt {x ^{2} +12} ``,` {\ bar{PR}} = sqrt {y ^{2} +12} ,]

[eqn: {\ bar{QR}} = sqrt {(x-y) ^{2} +12} ``]

이 때, [eqn: rm bar{PR} > bar{PQ}], [eqn: rm bar{PR} > bar{QR}]이므로

[eqn: rm bar{PQ} = bar{QR}]이 성립한다. 따라서 [eqn: y=2x]이다.

점 [eqn: \Q]에서 변 [eqn: \PR]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면 [eqn: {rm bar{QH}} = sqrt {(x ^{2} +12)- {1} over {4} (y ^{2} +12)}]

이므로 삼각형 [eqn: \PQR``]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} sqrt {y ^{2} +12} ` sqrt {(x ^{2} +12)- {1} over {4} (y ^{2} +12)}]

이다. 그런데 삼각형 [eqn: \PQR]의 정사영이 삼각형 [eqn: \PQ' R']이고 삼각형 [eqn: \PQ' R']의 넓이는 [eqn: 3 sqrt {3} ``]이다.  따라서 평면 [eqn: \QPR]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]이므로 삼각형 [eqn: \PQR]의 넓이는 [eqn: 6 sqrt {3} ``]이다.

[eqn: {1} over {2} sqrt {y ^{2} +12} ` sqrt {(x ^{2} +12)- {1} over {4} (y ^{2} +12)}=6 sqrt {3}``]

[eqn: sqrt {4x^{2} +12} ` sqrt {(x ^{2} +12)- {1} over {4} (4x ^{2} +12)}=12 sqrt {3}``]

[eqn: sqrt {4x^{2} +12} ` sqrt {x ^{2} +12-x ^{2} -3}=12 sqrt {3}``]

[eqn: 3sqrt {4x^{2} +12} =12 sqrt {3}``]

[eqn: 4x^{2} +12 =48]

[eqn: x^2 =9]

∴[eqn: x=3,``y=6``]

따라서 [eqn: a=11,~b=14]가 되어

[eqn: a+b=11+14=25]이다.

25. 공간도형과 공간좌표

정답 15

구의 중심 [eqn: \O]에서 평면 [eqn: alpha]까지의 거리는 점과 평면사이의 거리를 구하는 공식을 이용하면 [eqn: 1]임을 알 수 있다. 구의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로 원 [eqn: C]의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {3`}]이다.

선분 [eqn: \PQ]가 원의 지름이므로 ∠[eqn: \PAQ= {pi } over {2} ``]이 되고 [eqn: rm bar{PA} = bar{QA} = sqrt {6`}]이다.

또, [eqn: rm bar{PR} =2]이므로 [eqn: rm bar{AR} = sqrt {10`}], [eqn: rm bar{QR} =4]이다.

따라서 [eqn: \ {bar QA}^2 + {bar AR}^2 = {bar QR}^2]이므로 삼각형 [eqn: \ARQ]는 직각삼각형이고 그 넓이는 [eqn: sqrt 15]이다.

즉, [eqn: s = root 15]

∴[eqn: s ^{2} =15]

미분과 적분

26. 삼각함수

정답 ⑤

방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면

[eqn: sin2x - 2 cosx + 2cos^2 x =0]

[eqn: 2sinx cosx -2cosx + 2cos^2 x]                      [eqn: = 2cosx(sinx + cosx -1 )=0]

∴[eqn: cosx =0] 또는 [eqn: sinx + cosx =1]

[eqn: cosx =0] 또는 [eqn: sqrt 2 {\sin} left (x + pi over 4 right ) =1]

[eqn: cosx =0] → [eqn: x= pi over2] 또는 [eqn: x = 3pi over2]

[eqn: sin left (x + pi over4 right ) = sqrt2 over2] → [eqn: x= 0] 또는 [eqn: x = pi over2]

방정식을 만족하는 서로 다른 모든 [eqn: x`]의 값의 합은 [eqn: 0 + pi over2 + 3pi over 2 = 2pi]

27. 미분법

정답 ②

[eqn: f`'(x) >0`,````f''(x) >0]이므로 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프는 구간 (0, 1)에서 증가하며 아래로 볼록이다.

또 [eqn: f(0) =0`,```` f(1) =1`]이므로 함수 [eqn: y= f(x)]와

[eqn: y= f^-1 (x)]의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

∴ [eqn: int_0^1 LEFT { f^-1 (x) - f(x) RIGHT }dx]

[eqn: = 2 int left{x - f(x) right} dx]

[eqn: = 2 lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n } LEFT { k over n - f left ( k over n right ) RIGHT } } 1 over n]

[eqn: = lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n } LEFT { k over n - f left ( k over n right ) RIGHT } } 2 over n]

28. 미분법

정답 ③

[eqn: 0< x< 10]에서 연속인 함수

[eqn: f(x)= 4ln x + ln (10-x)]를 미분하면

[eqn: f`'(x)= 4 over x + 1 over {x-10 } = {5(x-8)} over {x(x -10)}] 이고,

[eqn: lim _{ x->0+} { f(x)} =-inf`,`````lim _{ x->10-0} { f(x)} =-inf`]이므로

[eqn: x]	[eqn: 0]	⋯	[eqn: 8]	⋯	[eqn: 10]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	-∞	↗	[eqn: 13ln2]	↘	-∞

즉, [eqn: y=f(x)] 의 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.

ㄱ. (참) 위의 증감표에서와 같이 [eqn: y= f(x)]는 [eqn: x= 8`]

에서 극대이자 최대이며 이때 최댓값은

[eqn: f(8) = 13 ln2]이다.

ㄴ. (참) 연속인 함수 [eqn: f(x)= 4ln x + ln (10-x)]의 그래

프가 [eqn: x`]축과 서로 다른 두 점에서 만나므로 서로

다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. (거짓) [eqn: y= e^f(x)]일 때, [eqn: y' = f'(x) e^f(x)]

[eqn: y'' = LEFT [ f`''(x) + LEFT { f'(x) RIGHT }^2 RIGHT ]e^ f(x)]에서 [eqn: e^ f(x) >0`]이

므로 [eqn: f`''(x) + LEFT { f'(x) RIGHT }^2]의 부호에 따라 오목과

볼록이 결정된다.

[eqn: f` '' (x)+ LEFT { f prime (x) RIGHT } ^{2} = {-4} over {x ^{2}} - {1} over {(x-10) ^{2}} + LEFT ( {4} over {x} + {1} over {x-10} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {20(x-6)} over {x ^{2} (x-10)}]

[eqn: 0<x<6]일 때, [eqn: f''(x) >0`]이므로 아래로 볼록

하고, [eqn: 6<x<10]일 때, [eqn: f''(x) <0`]이므로 위로

볼록하다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

29. 적분법

정답 ④

[eqn: f(x) = int_a^ x left{2+sin(t^2 ) right}dt]에서

[eqn: f`'(x) = 2 + sin(x^2 )]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x) >0]이므로 [eqn: f` (x)]는 증가함수이다.

따라서 [eqn: f(x)]는 역함수를 가진다.

또 [eqn: f(a) = 0]이므로 [eqn: f^-1 (0) = a]

[eqn: f`''(x) = 2x cos (x^2 )]에서

[eqn: f''(a) = 2a cos (a^2 )= sqrt3 a]

[eqn: a^2 = pi over6]

∴[eqn: a= sqrt {pi over6 }][eqn: left ( 0< a< sqrt{pi over2} right )]

∴[eqn: (f^-1 )'(0) = 1 over {f'(a) }]

[eqn: = 1 over { 2+ sin (a^2 )}]

[eqn: = 1 over {2+ sin pi over6}]

[eqn: = 2 over 5]

30. 삼각함수

정답 17

위의 그림에서 [eqn: \ bar OA = bar OB =1]이고,

[eqn: \ angle OAB = theta over2]이므로 [eqn: \ angle BOD = pi - theta~]

직각삼각형 BOD에서

[eqn: {\ bar BD }＝ 1 cdot sin (pi - theta) = sin theta]

∴[eqn: \ bar AD = sintheta over{ tan {theta over2}}= 2cos^2 theta over2 = 1+ cos theta] ………… ㉠

또 [eqn: {\ bar AD = bar DF + bar AF }]

[eqn: = r(theta) + r(theta) times 1 over{ sin {theta over2 }}]

[eqn: = r (theta) LEFT {{ sin theta over2 +1 } over {{ sin theta over2}}RIGHT }] …………………… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r (theta) = {(1+costheta) sin{theta }over2}over{ sin theta over2 +1 }]이므로

[eqn: lim _{ theta->pi-0} { {r(theta)} over {(pi - theta)^2}}=][eqn: lim _{ theta->pi-0} {(1+costheta) sin{theta over2}}over{ left (sin theta over2 +1 right ) (pi - theta)^2 }]

[eqn: pi - theta = t]라 하면 [eqn: theta = pi - t`]이므로

[eqn: lim _{ theta->pi-0} {(1+costheta) sin{theta over2}}over{ left (sin theta over2 +1 right ) (pi - theta)^2 }]

[eqn: = lim _{ t->0+} {(1-cost)cos {t over2 } } over{ t^2 left (1+cos t over2 right )}]

[eqn: = 1 over2 times lim _{ t->0+} {{ sin^2 t} over{t^2 (1+ cost )} }]

[eqn: = 1 over4]

따라서 [eqn: p^2 + q^2 = 16+1 = 17]이다.

확률과 통계

26. 자료의 정리와 요약

정답 ④

11일 동안의 자유투 성공 횟수의 평균이 최빈값 [eqn: 24]와 같으므로

(편차의 합)

[eqn: = -15-7-5-3+0+0+2+6+7 +9 + (n-24)]

[eqn: = n-30 =0`]

∴ [eqn: n=30]

27. 확률변수와 확률분포

정답 ②

동전을 3회 던졌을 때 나오는 표본공간은 다음과 같다.

(앞,앞,앞), (앞,앞,뒤), (앞,뒤,앞), (앞,뒤,뒤),

(뒤,앞,앞), (뒤,앞,뒤), (뒤,뒤,앞), (뒤,뒤,뒤)

따라서 확률분포 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	계
[eqn: {\P}(X=x)]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1 over2]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1]

∴[eqn: {\E}(X) =0 times 1 over4 +1 times 1 over2 + 3 times 1 over4 = 5 over 4]

∴[eqn: {\V}(X) = LEFT { 0^2 times 1 over4 + 1^2 times 1 over2 + 3^2 times 1 over4 RIGHT } - 25 over 16 = 19 over 16`]

28. 확률

정답 ⑤

[eqn: 9]개의 공 중 임의로 [eqn: 4]개의 공을 꺼내는 모든 경우의 수는 [eqn: \`_9 C_4 = 126]가지

가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 [eqn: 7] 이상 [eqn: 9] 이하인 경우의 수는 다음과 같다.

ⅰ) 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 [eqn: 7]일 때

(가장 큰 수, 가장 작은 수)가 [eqn: (6,~1)]일 때는 나

머지 두 수를 [eqn: 2,~3,~4,~5] 중에서 뽑으면 되므로

경우의 수는 [eqn: \`_4 C_2 =6]이고, [eqn: (5,~2)]일 때는 나머

지 두 수를 [eqn: 3,~4] 중에서 뽑으면 되므로 경우의

수는 [eqn: \`_2 C_2 =1]이다.

그러므로 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 [eqn: 7]

이 되는 경우의 수는 [eqn: 6+1=7]가지이다.

ⅱ) 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 [eqn: 8]일 때

[eqn: (7,~1)]일 때의 경우의 수는 [eqn: \`_5 C_2]

[eqn: (6,~2)]일 때의 경우의 수는 [eqn: \`_3 C_2]

그러므로 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 [eqn: 8]

인 경우의 수는 모두 [eqn: 10+3=13]가지이다.

ⅲ) 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 [eqn: 9]일 때

[eqn: (8,~1)]일 때의 경우의 수는 [eqn: \`_6 C_2]

[eqn: (7,~2)]일 때의 경우의 수는 [eqn: \`_4 C_2]

[eqn: (6,~3)]일 때의 경우의 수는 [eqn: \`_2 C_2]

그러므로 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 [eqn: 9]

인 경우의 수는 모두 [eqn: 15+6+1=22]가지이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합이 [eqn: 7] 이상 [eqn: 9] 이하인 경우의 수는 모두 [eqn: 42]가지이므로 (구하는 확률)[eqn: = 42 over 126 = 1 over3]

29. 확률변수와 확률분포

정답 ③

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {\N}(0,~ sigma^2 )]을 따르고 확률변수 [eqn: Y]가 정규분포 [eqn: {\N} left ( 0,~ left ( sigma over 2 right )^2 right )]을 따르므로

[eqn: {\P}( LEFT | X RIGHT | <= a ) ={\P}( LEFT | Y RIGHT | <=b)]

⇔ [eqn: {\P} LEFT ( | Z` | <= a over sigma RIGHT ) = {\P} LEFT ( | Z` | <= {2b }over{ sigma} RIGHT )]

따라서 [eqn: a= 2b`]

[eqn: ㄱ.] (참) [eqn: a= 2b >b >0]

[eqn: ㄴ.] (참) [eqn: {\P} left (Y> a over2 right ) = {\P}( Y > b) = {\P} left ( Z> 2b over sigma right )`]

[eqn: ㄷ.] (거짓)

[eqn: {\P}(Y<= b ) = 0.5 + {\P}(0<= Y<= b) = 0.7]

이므로  [eqn: {\P}(0<= Y<= b ) = 0.2]

∴ [eqn: {\P}( LEFT | X RIGHT | <= a ) = {\P}( LEFT | Y <= b )]

[eqn: LEFT. =2P(0 <= Y <= b)]

[eqn: =0.4]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

30. 통계적 추정

정답 288

표본의 크기가 [eqn: 100]이고 표본비율 [eqn: hat p = 1 over 10]인 모집단의 신뢰도 [eqn: 95%]인 모비율의 신뢰구간은

[eqn: LEFT [ 1 over10 - 1.96 sqrt {{1 over10 times 9 over 10} over 100} `,``1 over10 + 1.96 sqrt {{1 over10 times 9 over 10} over 100}RIGHT ]]

이므로 [eqn: c = {1.96 times3} over 100]

또 크기가 [eqn: n]이고 표본비율 [eqn: hat p = 1 over 9]일 때, 신뢰도 [eqn: 95%]인 모비율의 신뢰구간은

[eqn: LEFT [ 1 over9 - 1.96 sqrt {{1 over9 times 8 over 9} over n} `,`` 1 over9 - 1.96 sqrt {{1 over9 times 8 over 9} over n}} RIGHT ]]

∴[eqn: s(n) = {1.96 times 2sqrt2 }over{ 9sqrt n} = 50 over 81 c = 1.96 over 54]

∴[eqn: sqrt n = 12 sqrt2]

∴[eqn: n = 12^2 times 2 = 288]

이산수학

26. 알고리즘

정답 ③

점화관계를 만족하는 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]을 제 1항부터 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 1`,``2`,```3`,````1`,``2`,```3`,~1`,``2`,```3`,~ cdots]

∴[eqn: sum _{ k=1} ^{ 11} a_k = 3 (1+2+3) + 1+2][eqn: = 18 +3 =21]

27. 의사결정과 최적화

정답 ⑤

각 작업에 걸리는 시간 및 작업의 순서를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

이 표를 바탕으로 각 작업 과정을 끝마치는데 필요한 최소 작업 시간을 구해 보면 다음 표와 같다.

작업	[eqn: \A]	[eqn: \B]	[eqn: \C]	[eqn: \D]	[eqn: \E]	[eqn: \F]	[eqn: \G]
작업 시간 (일)	[eqn: 2]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	[eqn: 10]	[eqn: 9]	[eqn: 14]	[eqn: 17]

따라서 작업을 끝마치는 데 필요한 최소 작업 시간은 [eqn: 17]일이다.

28. 그래프

정답 ④

위의 그래프는 꼭짓점들의 집합 [eqn: \ "{" X,~Y,~Z "}"]와 [eqn: \ "{" A,~B,~C,~D "}"]가 같은 집합에 속하는 원소들끼리는 변으로 연결되어 있지 않고, 다른 집합의 원소와는 모두 하나의 변으로 연결되어 있는 완전이분그래프이다. 이 경우에 적절하게 꼭짓점을 색칠하는데 필요한 최소수는 [eqn: 2]이다. 예를 들어 꼭짓점 [eqn: \ X,~Y,~Z]는 빨간 색으로, 꼭짓점 [eqn: \ A,~B,~C,~D]는 파란 색으로 칠하면 적절하게 칠한 것이 된다.

이제 두 집합에서 꼭짓점 두 개씩을 선택하여 보자.

예를 들어 [eqn: \ X,~Y,~A,~B]를 선택하여 이 꼭짓점들 사이의 연결 상태를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이 그래프에 변 [eqn: \ CD]와 [eqn: \ AB]를 더 추가하면 부분적으로 꼭짓점의 개수가 [eqn: 4]개인 완전그래프가 되어 적절하게 꼭짓점을 칠하는데 필요한 최소수가 [eqn: 4]가 된다.

따라서 추가되는 변의 최소 개수는 [eqn: 2]개이며, 꼭짓점 이 [eqn: 4]개인 완전그래프를 만들면 되므로 필요한 최소색의 개수가 [eqn: 4]인 그래프 [eqn: \ H]는 [eqn: \ "{" X,~Y,~Z "}"]에서 [eqn: 2]개의 원소를 선택하고, [eqn: \ "{" A,~B,~C,~D "}"]에서 [eqn: 2]개의 원소를 선택하는 경우의 수와 같다.

∴[eqn: \` _3 C_2 times `_4 C_2 = 3 times 6 = 18`]

29. 선택과 배열

정답 ②

조건을 만족시키는 문자열의 개수는 여섯 개의 문자를 일렬로 나열하는 순열의 개수에서 조건을 만족시키지 않는 문자열의 수를 빼면 된다.

조건을 만족하지 않는 문자열은 ‘[eqn: \ A] 바로 다음에 [eqn: \ B]가 오거나, [eqn: \ B] 바로 다음에 [eqn: \ C]가 오거나, [eqn: \ C] 바로 다음에 [eqn: \ A]가 오는’ 문자열이다.

[eqn: \ AB], [eqn: \ BC], [eqn: \ CA]의 순서로 바로 붙어 있는 문자열의 개수는 각각 두 문자를 한 문자로 생각하여 만드는 순열의 개수와 같으므로 각각 [eqn: 5!]개다.

그런데 [eqn: \ ABC]가 연속으로 붙어 있는 문자열은 중복하여 두 번 중복하여 세었으며 [eqn: \ BCA], [eqn: \ CAB]가 연속으로 붙어 있는 경우도 마찬가지다.

따라서 조건을 만족하지 않는 문자열의 개수는

[eqn: 3 times 5! - 3 times 4! = 288](가지)이므로 조건을 만족하는 문자열의 개수는 [eqn: 6! - 288 = 720 - 288 = 432](가지)이다.

30. 그래프

정답 49

위의 그래프는 꼭짓점의 개수가 [eqn: 7]개이고 변의 개수가 [eqn: 9]개인 연결그래프이므로 생성수형도를 만들려면 적당히 [eqn: 3]개의 변을 제거하여야 한다.

이제 변 [eqn: \ AB], [eqn: \ BC], [eqn: \ CA]를 각각 ㉠, ㉡, ㉢이라고 하면 생성수형도를 만들기 위해서는 ㉠, ㉡, ㉢ 중에서 적어도 하나는 제거해야 함을 알 수 있다.

ⅰ) ㉠, ㉡, ㉢ 모두 제거하는 경우 ; 생성수형도가

만들어지며 경우의 수는 [eqn: 1]가지이다.

ⅱ) ㉠, ㉡, ㉢ 중 어느 두 개를 제거하는 경우 ;

[eqn: 3]개 중 [eqn: 2]개를 제거하는 방법의 수는 [eqn: \`_3 C_2 = 3]가

지이다. 각각의 경우에 대하여 같은 개수의 생성

수형도를 만들어진다.

예를 들어 ㉠, ㉡을 제거한 경우에는 변 [eqn: \ AE],

[eqn: \ ED], [eqn: \ DG], [eqn: \ GC]의 [eqn: 4]개의 변 중 하나를 제거하

면 생성수형도가 되므로 [eqn: \`_4 C_1`]가지의 생성수형도

를 만들 수 있다.

그러므로 만들 수 있는 생성수형도의 개수는

[eqn: 3 times 4 = 12]가지이다.

ⅲ) ㉠, ㉡, ㉢ 중 한 개를 제거하는 경우 ;

[eqn: 3]개 중 [eqn: 1]개를 제거하는 방법

의 수는 [eqn: \`_3 C_1 = 3]가지이다.

이제 예를 들어 ㉠을 제거한

경우를 생각해 보자.

㉡과 ㉢을 제외한 [eqn: 6]개의 변

중에서 [eqn: 2]개를 제거하였을 때

생성수형도가 되지 않는 경우는 변 [eqn: \ AE]와 [eqn: \ ED],

[eqn: \ DF]와 [eqn: \ FB], [eqn: \ DG]와 [eqn: \ GC]를 동시에 제거하는 경

우이므로 이 경우에 만들 수 있는 생성수형도의

개수는 [eqn: \`_6 C_2 - 3 = 12]가지이다.

그러므로 만들 수 있는 생성수형도의 개수는

[eqn: 3 times 12 = 36]가지이다.

ⅰ)，ⅱ)，ⅲ)에서 만들 수 있는 모든 생성수형도의 개수는 [eqn: 1+12+36 = 49]가지이다.

수리 영역 “나형”  *홀수형

1. ④	2. ①	3. ②	4. ③	5. ⑤

6. ②	7. ①	8. ①	9. ②	10. ④

11. ⑤	12. ③	13. ②	14. ③	15. ⑤

16. ①	17. ⑤	18. 27	19. 32	20. 16

21. 20	22. 23	23. 11	24. 18	25. 40

26. ④	27. ③	28. ③	29. ④	30. 47

1. 지수와 로그

정답 ④

[eqn: 9^{ 3 over 2 } TIMES 27 ^{- {2} over {3}} =LEFT ( 3 ^{2} RIGHT ) ^{{3} over {2}} TIMES LEFT ( 3 ^{3} RIGHT ) ^{- {2} over {3}}]

[eqn: =3 ^{3} TIMES 3 ^{-2}]

[eqn: =3 ^{3-2}]

[eqn: =3]

2. 행렬

정답 ①

[eqn: A+B= pmatrix{2&```1#1&```1} + pmatrix{-1&```-2#````````1&````````0} = pmatrix{1&```-1#2&`````````1}]

[eqn: LEFT ( A+B RIGHT ) A= pmatrix{1&```-1#2&```````````1} pmatrix{2&```1#1&```1} = pmatrix{1&```0#5&```3}]

따라서 구하는 모든 성분의 합은

[eqn: 1+0+5+3=9]이다

3. 수열의 극한

정답 ②

[eqn: lim _{n -> INF } {{2} over {sqrt {n ^{2} +2n} - sqrt {n ^{2} +1}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{2 LEFT ( sqrt {n ^{2} +2n} + sqrt {n ^{2} +1} RIGHT )} over {LEFT ( n ^{2} +2n RIGHT ) - LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{2 LEFT ( sqrt {1+ {2} over {n}} + sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}} RIGHT )} over {2- {1} over {n}}}]

[eqn: = 2(1+1) over 2]

[eqn: =2]

4. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+31]이라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+4+27= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +27 >= 27]

이므로 [eqn: y=3+log _{3} ` LEFT ( x ^{2} -4x+31 RIGHT )]의 최솟값은

[eqn: 3+log _{3} 27=3+3=6]

5. 수열

정답 ⑤

[eqn: a=r,```b=r ^{2} ,```c=r ^{3}] 이므로

[eqn: log _{8} r ^{3} =log _{r} `r ^{2} =2]

∴ [eqn: r ^{3} =8 ^{2} = LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{3}]

∴ [eqn: r=4]

6. 지수와 로그

정답 ②

[eqn: a`logb=logb ^{a} =log LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{log _{2} 10}]

[eqn: log10 ^{log _{2} 2 ^{{3} over {2}}} =log10 ^{{3} over {2}} = {3} over {2}]

7. 지수함수와 로그함수

정답 ①

조건 (가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: a ^{2b-1} =a ^{1-2b}]

∴[eqn: 2b-1=1-2b][eqn: ( BECAUSE a != 1 )]

∴[eqn: b= {1} over {2}]

조건 (나)에서

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT ) =a ^{2-1} +a ^{1-2} = {5} over {2}]

[eqn: a+ {1} over {a} = {5} over {2}]

[eqn: 2a ^{2} -5a+2=0]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( 2a-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE a= {1} over {2} ```` LEFT ( BECAUSE 0<a<1 RIGHT )]

∴[eqn: a+b= {1} over {2} + {1} over {2} =1]

8. 확률분포와 통계적 추정

정답 ①

[eqn: \N LEFT ( 350,```16 ^{2} RIGHT )]인 모집단에서 추출한 크기 [eqn: 64]인 표본 평균을 확률변수 [eqn: bar{X}]라 하면 [eqn: bar{X}]는 정규분포

[eqn: \N LEFT ( 350,```2 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: Z= {bar{X} -350} over {2}]에서

[eqn: {\P} LEFT ( bar{X} <= 346 RIGHT ) +{\P} LEFT ( bar{X} >= 355 RIGHT )]

[eqn: ={\P} LEFT ( Z <= -2 RIGHT ) +{\P} LEFT ( Z >= 2`.`5 RIGHT )]

[eqn: ={\P} LEFT ( Z >= 2 RIGHT ) +{\P} LEFT ( Z >= 2`.`5 RIGHT )]

[eqn: =LEFT {0.5- {\P} ( 0 <= Z <= 2 ) RIGHT }+LEFT {0.5- {\P} LEFT ( 0 <= Z <= 2`.`5 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =1- LEFT { {\P} LEFT ( 0 <= Z <= 2 RIGHT ) +{\P} LEFT ( 0 <= Z <= 2`.`5 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =1- LEFT ( 0`.`4772+0`.`4938 RIGHT )]

[eqn: =0`.`0290]

9. 순열과 조합

정답 ②

[eqn: LEFT ( x+ {1} over {x ^{3}} RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: {1} over {x ^{4}}]항은

[eqn: {} _{4} {\C} _{2} x ^{2} `․` LEFT ( {1} over {x ^{3}} RIGHT ) ^{2} =6`․`x ^{2} `․` {1} over {x ^{6}} =6`․` {1} over {x ^{4}}]

따라서 [eqn: {1} over {x ^{4}}]의 계수는 [eqn: 6]이다.

10. 수열

정답 ④

(1) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = {1_`}over{2`}], (우변)[eqn: =1- {1 _{`}} over {2`} = {1 _{`}} over {2`}]이

므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1 ^{`}} ^{m _{`}} a _{k} `= sum _{k=1 ^{`}} ^{m _{`}} {1 _{`}} over {k ^{2}} - {m _{`}} over {m+1}]

이다. [eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1^`} ^{m +1_`} a_k][eqn: = sum _{k=1 ^{`}} ^{m _{`}} {1 _{`}} over {k ^{2}} - {m _{`}} over {m+1} +a _{m+1}]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over{k^2} - {m_`} over {m+1} + ```{m _{`} ^{2}} over {(m+1)(m+2)}```a_m]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over {k^2} - {m_`} over {m+1}]

[eqn: + {m^2}_` over{(m+1)(m+2)} cdot` {(m-1)^2}_` over {m(m+1)} cdot` CDOTS `cdot` {1^2}_` over {2 CDOT 3} `a_1]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over {k^2} - {m_`} over {m+1} + ``{1 _{`}} over {(m+1) ^{2} (m+2)}]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over {k^2} - {m_`} over {m+1} + {1_`}over {(m+1)^2 }-``{1 _{`}} over {(m+1)(m+2)}]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m +1_`} {1_`}over {k^2} - {m+1_`} over {m+2}]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

11. 지수함수와 로그함수

정답 ⑤

[eqn: p=log _{a} p]에서 [eqn: a ^{p} =p]  ……………………… ㉠

[eqn: q=log _{2a} q]에서 [eqn: ( 2a ) ^{q} =q,````2 ^{q} `․`a ^{q} =q] ……… ㉡

ㄱ. (참) ㉠에 [eqn: p= {1} over {2}]을 대입하면

[eqn: a ^{{1} over {2}} = {1} over {2} ,```` sqrt {a} = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE a= {1} over {4} ` LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT )]

ㄴ. (참) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{a} x,````g LEFT ( x RIGHT ) =log _{2a} x]라 할 때,

[eqn: log _{a} x]의 밑의 크기보다 [eqn: log _{2a} x]의 밑의 크기가

크므로 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,```q LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은

다음과 같다.

이때 [eqn: y=x]와 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,```q LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만

나는 점의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: p,```q]이므로 [eqn: p<q]이다.

ㄷ. (참) [eqn: a ^{p+q} =a ^{p}`․` a ^{q}][eqn: =p`․` {q} over {2 ^{q}} ( BECAUSE ㉠,~㉡ )]

[eqn: = {p`․`q} over {2 ^{q}}]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

12. 행렬

정답 ③

ㄱ. (참) [eqn: A= pmatrix{4&```9#3&```2}]이면

[eqn: log _{4} 2=log _{9} 3= {1} over {2}]이고, [eqn: 4 != 9,```9`․`3=27 != 1]

이므로 [eqn: A IN S]

ㄴ. (거짓)

【반례】 [eqn: A= pmatrix{2&```3#4&```2}]이면 [eqn: 2 cdot 2-3 cdot 4=-8 != 0]

이므로 역행렬을 갖는다.

[eqn: log _{2} 2 != log _{4} 3]이므로 [eqn: A NOTIN S]

ㄷ. (참) 행렬 [eqn: A= pmatrix{a&```b#c&```d}]라 할 때, [eqn: A]가 역행렬을

갖지 않는다면 [eqn: ad-bc=0]

∴[eqn: d= {bc} over {a}]

∴[eqn: log _{a} d=log _{a} {bc} over {a}]

[eqn: =log _{a} b+log _{a} c-1]

[eqn: = {1} over {log _{b} a} + {log _{b} c} over {log _{b} a} -1]

[eqn: = {1+log _{b} c} over {log _{b} a} -1]

[eqn: != log _{b} c````` LEFT ( BECAUSE a != b이므로```log _{b} a != 1` RIGHT )]

즉, [eqn: A NOTIN S``]이다.

그러므로 [eqn: A IN S``]이면 [eqn: A]는 역행렬을 가진다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

13. 수열의 극한

정답 ②

점 [eqn: {\P}_n (n=2,~3,~4,~cdots )]을 차례로 구해보면

[eqn: {\P}_2 (-2,~4)], [eqn: {\P}_3 (3,~9)], [eqn: {\P}_4 (-4,~16)], [eqn: CDOTS] 이므로

[eqn: l _{1} = bar{\P _{0} P _{1}} = sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: l _{2} = bar{\P _{1} P _{2}} = sqrt {LEFT ( -2-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 4-1 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = sqrt {3 ^{2} +3 ^{2}} =3 sqrt {2}]

[eqn: l _{3} = bar{\P _{2} P _{3}} = sqrt {LEFT ( 3+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 9-4 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = sqrt {5 ^{2} +5 ^{2}} =5 sqrt {2}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: l _{n} = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) sqrt {2}]

∴[eqn: lim _{n -> inf} {{sqrt {2} LEFT ( 2n-1 RIGHT )} over {n}} =2 sqrt {2}]

14. 수열의 극한

정답 ③

([eqn: C _{1}]의 넓이)[eqn: = pi `․``1 ^{2} = pi]

[eqn: {r} over {3} = {1} over {sqrt {15}} ``````````````` THEREFORE r= {3} over {sqrt {15}}]

([eqn: C _{2}]의 넓이)[eqn: = pi `․``r ^{2} = pi `․` {9} over {15} = {3} over {5`} pi]

∴[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {pi } over {1- {3} over {5}} = {pi } over {{2} over {5}} = {5} over {2} pi]

15. 순열과 조합

정답 ⑤

[eqn: 1,```2,```3,```4]를 한 개 이상씩 사용하여 총 [eqn: 5]번으로 [eqn: 8]을 만드는 순서쌍을 찾으면 [eqn: \` LEFT ( 1,```1,```1,```1,```4 RIGHT )],

[eqn: \` LEFT ( 1,```1,```1,```2,```3 RIGHT )], [eqn: \` LEFT ( 1,```1,```2,```2,```2 RIGHT )]이다.

즉, [eqn: \ LEFT ( A,```A,```A,```A,```D RIGHT ) ,``` LEFT ( A,```A,```A,```B,```C RIGHT ) ,`]

[eqn: \` LEFT ( A,```A,```B,```B,```B RIGHT )]를 사용하여 계획서를 작성하면 된다.

각각의 경우의 수를 구하여 더하면

[eqn: {5!} over {4!`1!} + {5!} over {3!`1!`1!} + {5!} over {2!`3!} =5+20+10=35]

16. 확률

정답 ①

ⅰ) 첫 번째 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 숫자가 서로

다를 확률 :

[eqn: 1- LEFT ( 서로`같은`구슬을`뽑을`확률 RIGHT )][eqn: =1- {5} over {5 TIMES 5}]

[eqn: = {20} over {25}]

[eqn: = 4 over 5]

ⅱ) 두 번째 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 숫자가 같을

확률 :

철수 영희가 서로 다른 구슬을 각각 1개씩 뽑았

으므로 같은 숫자는 3쌍이 있다.

∴[eqn: {3} over {4 TIMES 4} = {3} over {16}]

ⅰ)과 ⅱ)는 곱 사건이므로 [eqn: {4} over {5} TIMES {3} over {16} = {3} over {20}]이다.

17. 확률

정답 ⑤

ㄱ. (참) 한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나오

는 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: {\P} LEFT ( E RIGHT ) = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE I LEFT ( E RIGHT ) =-log _{2} {1} over {2} =1]

ㄴ. (참) 두 사건 [eqn: A,````B]가 서로 독립이면

[eqn: {\P} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) ={\P} LEFT ( A RIGHT ) `․`{\P} LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: I LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =-log _{2} {\P} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )]

[eqn: =-log _{2} {\P} LEFT ( A RIGHT ) `․`{\P} LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: =-log _{2} {\P} LEFT ( A RIGHT ) `-log _{2} `{\P} LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: =I LEFT ( A RIGHT ) +I LEFT ( B RIGHT )]

ㄷ. (참) [eqn: {\P} LEFT ( A RIGHT ) >0,````{\P} LEFT ( B RIGHT ) >0]일 때,

[eqn: {\P} LEFT ( A CUP B RIGHT ) >= {\P} LEFT ( A RIGHT ) `]에서

[eqn: I LEFT ( A CUP B RIGHT ) =-log _{2} {\P} LEFT ( A CUP B RIGHT ) <= -log` _{2} `{\P} LEFT ( A RIGHT ) =I LEFT ( A RIGHT )]

[eqn: {\P} LEFT ( A CUP B RIGHT ) >= {\P} LEFT ( B RIGHT ) `]에서

[eqn: I LEFT ( A CUP B RIGHT ) =-log _{2} {\P} LEFT ( A CUP B RIGHT ) <= -log` _{2} `{\P} LEFT ( B RIGHT ) =I LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: THEREFORE 2I LEFT ( A CUP B RIGHT ) <= I LEFT ( A RIGHT ) +`I LEFT ( B RIGHT )]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

18. 지수함수와 로그함수

정답 27

[eqn: 5=5 ^{a-1}]에서 [eqn: 1=a-1]

∴[eqn: a=2]

[eqn: b=5 ^{3-1}]에서 [eqn: b=5 ^{2} =25]

∴[eqn: a+b=2+25=27]

19. 수열

정답 32

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{1} +a _{5} +a _{9} =a+a+4d+a+8d=45]

[eqn: 3a+12d=45]

[eqn: d=2]이므로 [eqn: 3a+24=45]

[eqn: 3a=21]

[eqn: THEREFORE a=7]

[eqn: a _{1} +a _{10} =a+a+9d]

[eqn: =2a+9d]

[eqn: =2`․`7+9`․`2]

[eqn: =14+18]

[eqn: =32]

20. 수열의 극한

정답 16

[eqn: a _{n} =a _{1} r ^{n-1}]

[eqn: b _{n} =b _{1} r ^{n-1} = LEFT ( a _{1} -1 RIGHT ) r ^{n-1}]

[eqn: {a_1} over {1-r} =8]  ……………………… ㉠

[eqn: {a_1 -1} over {1-r} =6] ……………………… ㉡

㉠에서 [eqn: a_1 =8-8r]  …………… ㉢

㉡에서 [eqn: a_1 -1=6-6r] ………… ㉣

㉢, ㉣에서 [eqn: r= {1} over {2} ,`````a_1 =4]

∴[eqn: a _{n} =4 cdot left ( 1 over 2 right ) ^{n-1}], [eqn: b_{n} =3 cdot left ( 1 over 2 right ) ^{n-1}]

∴[eqn: a _{n} b _{n}=12 cdot left ( 1 over 4 right ) ^{n-1}]

∴[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} b _{n} = 12 over {1- {1} over {4}} = {12} over {{3} over {4}} =16]

21. 지수와 로그

정답 20

[eqn: 1<a<b]이므로 [eqn: log _{a} b=t``(t>1)]라 하면

[eqn: {3a} over {t} = {bt} over {2} = {3a+b} over {3}]

[eqn: 6a=bt ^{2}]  ……………………… ㉠

[eqn: 6a+2b=3bt] ………………… ㉡

㉠에서 [eqn: a= {1} over {6} bt ^{2}]을 ㉡에 대입하면

[eqn: bt ^{2} +2b=3bt]

[eqn: t ^{2} +2=3t]

[eqn: t ^{2} -3t+2=0]

[eqn: (t-1)(t-2)=0]

∴[eqn: t=1] 또는 [eqn: t=2]

∴[eqn: t=2( BECAUSE t>1)]

∴[eqn: 10log _{a} `b=10`․`t]

[eqn: =10`․`2]

[eqn: =20]

22. 확률

정답 23

[eqn: i` ^{m} `․` LEFT ( -i RIGHT ) ^{n} =i ^{m+n} `․` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}]

ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때,

[eqn: -1 TIMES i ^{m+n} =1]에서 [eqn: i ^{m+n} =-1]

∴[eqn: i ^{2} =i ^{6} =i ^{10} =-1]

([eqn: m,```n])은 [eqn: LEFT ( 1,```1 RIGHT ) ,``` LEFT ( 5,```1 RIGHT ) ,``` LEFT ( 3,```3 RIGHT ) ,``` LEFT ( 1,```5 RIGHT ) ,``` LEFT ( 5,```5 RIGHT )]

로 [eqn: 5]가지이다.

ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때,

[eqn: i ^{m+n} =1]

∴[eqn: i ^{4} =i ^{8} =i ^{12} =1]

([eqn: m,```n])은 [eqn: LEFT ( 2,```2 RIGHT ) ,``` LEFT ( 6,```2 RIGHT ) ,``` LEFT ( 4,```4 RIGHT ) ,``` LEFT ( 2,```6 RIGHT ) ,``` LEFT ( 6,```6 RIGHT )]

으로 [eqn: 5]가지이다.

∴[eqn: {10} over {36} = {5} over {18}]

∴[eqn: p=18,```q=5]

∴[eqn: p+q=18+5=23]

23. 수열

정답 11

[eqn: A]를 [eqn: n]으로 나누었을 때 몫이 [eqn: k]([eqn: 1 <= k <= n-1])이고 나머지가 [eqn: k]라고 하면

[eqn: A=n`․`k+k]이다.

이때, [eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n-1} A]이므로

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( n+1 RIGHT ) k= LEFT ( n+1 RIGHT ) ㆍ sum _{k=1} ^{n-1} k]

[eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) {LEFT ( n-1 RIGHT ) n} over {2}]

[eqn: a _{n} >500]에서 [eqn: {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n-1 RIGHT ) n} over {2} >500]

[eqn: LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n-1 RIGHT ) n>1000]

[eqn: n LEFT ( n ^{2} -1 RIGHT ) >1000]

[eqn: n ^{3} -n>1000]

위의 부등식을 만족하는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 11]이다.

24. 행렬

정답 18

[eqn: A= pmatrix{a&```b#c&```d} 이고,``a+b+c+d=0]

[eqn: A ^{2} +A ^{3} =-3A-3E]

[eqn: A ^{4} +A ^{5} =A^2 (A ^{2} +A ^{3})]

[eqn: =A^2 (-3A-3E)]

[eqn: =-3A ^{3} -3A ^{2}]

[eqn: =-3 LEFT ( A ^{3} +A ^{2} RIGHT )]

[eqn: =-3 LEFT ( -3A-3E RIGHT )]

[eqn: =9A+9E]

[eqn: =9 pmatrix{a&```b#c&```d} +9 pmatrix{1&```0#0&```1}]

[eqn: = pmatrix{9a+9&```9b#9c&```9d+9}]

따라서 모든 성분의 합은

[eqn: LEFT ( 9a+9 RIGHT ) +9b+9c+ LEFT ( 9d+9 RIGHT )]

[eqn: =9 LEFT ( a+b+c+d RIGHT ) +18]

[eqn: =18]

25. 순열과 조합

정답 40

[eqn: \A`` -> `P``` -> `B``:` LEFT { {4`!} over {1!3!} TIMES LEFT ( {4!} over {2!2!} -1 RIGHT ) RIGHT } =20]

[eqn: \A`` -> `Q``` -> `B``:` LEFT { LEFT ( {4!} over {2!2!} -1 RIGHT ) TIMES {4`!} over {1!3!} RIGHT } =20]

∴[eqn: 20+20=40]

26. 확률

정답 ④

[eqn: {\P} LEFT ( B ^{c} RIGHT ) = {2} over {3}]이므로 [eqn: {\P} LEFT ( B RIGHT ) =1-{\P} LEFT ( B ^{c} RIGHT ) =` {1} over {3}]

[eqn: {\P} LEFT ( B``|A RIGHT ) ={{\P} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {{\P} LEFT ( A RIGHT )} = {{\P} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {{1} over {2}} = {1} over {6}]

∴[eqn: {\P} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) = {1} over {12}]

[eqn: {\P} LEFT ( A ^{c} SMALLINTER B RIGHT ) ={\P} LEFT ( B RIGHT ) -{\P} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )]

[eqn: = {1} over {3} - {1} over {12}]

[eqn: = {3} over {12}]

[eqn: = {1} over {4}]

[eqn: {\P} LEFT ( A ^{c} ``|B RIGHT ) = {{\P} LEFT ( A ^{c} SMALLINTER B RIGHT )} over {{\P} LEFT ( B RIGHT )} = {{1} over {4}} over {{1} over {3}} = {3} over {4}]

27. 지수와  로그

정답 ③

[eqn: log`1,```log`2,```log`3,```……,```log`150] 중에서 진수의 배열이 같은 것끼리 모으면

[eqn: log`1,```log`10,```log`100``]

[eqn: log`2,```log`20]

[eqn: log`3,```log`30]

⋮

[eqn: log`9,```log`90]

[eqn: log`11,```log`110]

[eqn: log`12,```log`120]

⋮

[eqn: log`15,```log`150]

이때, 진수의 배열이 같은 것들은 한 번씩만 되어야 하므로 집합 [eqn: A]의 원소의 개수는 [eqn: 150-15=135]

28. 행렬

정답 ③

(나)의 [eqn: ABA=A ^{-1}]에서

[eqn: A ^{-1} ABA=A ^{-1} ㆍA ^{-1}]

[eqn: BA=(A ^{-1})^2]

[eqn: BAA ^{-1} =(A ^{-1})^2 ㆍA ^{-1}]

[eqn: B=(A ^{-1})^3]

[eqn: BAB=E]에 [eqn: B=(A ^{-1})^3]을 대입하면

[eqn: (A ^{-1})^3 A(A ^{-1})^3 =E]에서

[eqn: (A ^{-1})^5 =E]

[eqn: (A ^{-1})^5 ㆍA ^{5} =EA ^{5}]

[eqn: E=A ^{5}]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

29. 확률분포와 통계적 추정

정답 ④

[eqn: {\E} LEFT ( X RIGHT ) ={\E} LEFT ( bar{X} RIGHT ) =18]이므로

[eqn: {\E} LEFT ( X RIGHT ) =10ㆍ {1} over {2} +20ㆍa+30ㆍ LEFT ( {1} over {2} -a RIGHT )]

[eqn: =5+20a+15-30a]

[eqn: =20-10a=18]

∴[eqn: a= {1} over {5}]

확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 10]	[eqn: 20]	[eqn: 30]	계
[eqn: {\P} LEFT ( X=x RIGHT )]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: {3} over {10}]	[eqn: 1]

이때, 크기가 [eqn: 2]인 표본을 복원추출할 때, 확률변수 [eqn: X _{1} ,```X _{2}]에 대하여

표본평균 [eqn: bar{X} = {X _{1} +X _{2}} over {2}]이다.

[eqn: X _{2}] [eqn: X _{1}]	[eqn: 10]	[eqn: 20]	[eqn: 30]
[eqn: 10]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: {1} over {10}]	[eqn: {3} over {20}]
[eqn: 20]	[eqn: {1} over {10}]	[eqn: {1} over {25}]	[eqn: {3} over {50}]
[eqn: 30]	[eqn: {3} over {20}]	[eqn: {3} over {50}]	[eqn: {9} over {100}]

위에서 [eqn: bar{X} =20]일 때는 [eqn: LEFT ( X _{1} ,```X _{2} RIGHT )]가 ([eqn: 10], [eqn: 30]),

([eqn: 20], [eqn: 20]), ([eqn: 30], [eqn: 10])이므로 확률은

[eqn: {3} over {20} + {1} over {25} + {3} over {20} = {15+4+15} over {100}]

[eqn: = {34} over {100}]

[eqn: = {17} over {50}]

30. 확률분포와 통계적 추정

정답 47

[eqn: 1 <= m <= 6,````1 <= n <= 6]인 자연수이고

[eqn: m ^{2} +n ^{2} <= 25]를 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,``n RIGHT )]을 구하면

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2),

(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),

(4, 1), (4, 2), (4, 3)

그러므로 사건 [eqn: E]가 나올 수 있는 확률은 [eqn: {15} over {36} = {5} over {12}]이다.

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {\B} LEFT ( 12,``` {5} over {12} RIGHT )]를 따르므로

[eqn: {\V} LEFT ( X RIGHT ) =12`․` {5} over {12} `․` LEFT ( 1- {5} over {12} RIGHT )]

[eqn: = {35} over {12}]

∴[eqn: p=12], [eqn: q=35]

∴[eqn: p+q=47]