• 2교시 수학 영역 •

2013학년도 4월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

[B 형]

1	①	2	⑤	3	④	4	③	5	①
6	④	7	③	8	②	9	④	10	②
11	①	12	③	13	③	14	②	15	⑤
16	④	17	⑤	18	②	19	①	20	③
21	①	22	17	23	50	24	8	25	15
26	30	27	48	28	16	29	100	30	37

1. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: 2B=A- {pmatrix{-3&-1#```````1&```````0}} `= {pmatrix{```````2&-1#-3&```````1}} `- {pmatrix{-3&-1#```````1&```````0}} `= {pmatrix{```````5&````0#-4&````1}}]

이므로 [eqn: B= 1over2{pmatrix{``````` 5&````0#-4&```` 1}}]
따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 1]

2. [출제의도] 삼각함수의 배각의 공식 이해하기

[eqn: sin` theta = sqrt {1-cos ^{2} ` theta } `= {4} over {5}]([eqn: BECAUSE] [eqn: 0< theta < {pi } over {2}])
[eqn: sin2 theta =2sin` theta `cos` theta =`2 TIMES {4} over {5} TIMES {3} over {5} `= {24} over {25}]

따라서 [eqn: sin2`theta= {24} over {25}]

3. [출제의도] 함수의 미분계수 계산하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +2x-3]

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) `=1+0-3=`-2]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =`-2]

4. [출제의도] 일차변환의 성질 이해하기

[eqn: 2f LEFT ( A RIGHT ) +f LEFT ( B` RIGHT ) `=f LEFT ( 2A+B` RIGHT ) `= {pmatrix{````````3&``````1`#`-1&``````2`}} LEFT ( pile{`1`#`5`} RIGHT ) `= LEFT ( pile{`8`#`9`} RIGHT )]

따라서 [eqn: 2f LEFT ( A RIGHT ) +f LEFT ( B` RIGHT ) `= LEFT ( pile{`8`#`9`} RIGHT )]

5. [출제의도] 함수의 극댓값, 극솟값 이해하기

[eqn: f` prime (x)=2e ^{x} cosx=0]([eqn: 0<x<2pi])에서
[eqn: x= pi over 2] 또는 [eqn: x= 3 over 2 pi]이다.

함수 [eqn: f(x)]의 증감표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: cdots]	[eqn: {pi } over {2}]	[eqn: cdots]	[eqn: {3} over {2} pi]	[eqn: cdots]	[eqn: LEFT ( 2 pi RIGHT )]
[eqn: f prime (x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↗	[eqn: e ^{{pi } over {2}}]	↘	[eqn: -e ^{{3} over {2} pi }]	↗

함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: x= pi over 2]에서 극댓값 [eqn: M=e ^{{pi } over {2}}],
[eqn: x= {3} over {2} pi]에서 극솟값 [eqn: m=`-e ^{{3} over {2} pi }]을 갖는다.
따라서 [eqn: M`m=`-e ^{2 pi }]

6. [출제의도] 일차변환과 행렬 사이의 관계 이해하기

직선 [eqn: y=x+1] 위의 점 [eqn: LEFT ( x,``y RIGHT )]가 일차변환에
의하여 점 [eqn: LEFT ( `x` prime ,``y` prime RIGHT )]으로 옮겨진다면
[eqn: LEFT ( pile{`x` prime `#`y` prime `} RIGHT ) `= {pmatrix{`````````1&```a-3`#``-2&````4`}} LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT ) `= LEFT ( pile{`x+ LEFT ( a-3 RIGHT ) y`#`-2x+4y`} RIGHT )]
점 [eqn: LEFT ( `x` prime ,``y` prime ` RIGHT )]이 [eqn: y=`-2x] 위의 점이므로
[eqn: -2x+4y=`-2x-2 LEFT ( a-3 RIGHT ) y]
[eqn: -2x+4 LEFT ( x+1 RIGHT ) `=`-2x-2 LEFT ( a-3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) x+a-1=0] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: ㉠]은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: a-1=0]이다.
따라서 [eqn: a=1]

7. [A형 12번과 동일]

8. [출제의도] 삼각방정식의 실근의 개수 구하기

[eqn: 3 LEFT ( 1-cos ^{2} `x RIGHT ) `+2 LEFT ( 1+cos`x RIGHT ) `-4=0]
[eqn: 3cos ^{2} `x-2cos`x-1=0]
[eqn: LEFT ( 3cos`x+1 RIGHT ) LEFT ( cos`x-1 RIGHT ) `=0]
[eqn: cos`x=`- {1} over {3}] 또는 [eqn: cos`x=1]
[eqn: 0<x<4pi]에서 [eqn: y=cos`x], [eqn: y=`- {1} over {3}], [eqn: y=1]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 5]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=cos`x]

[eqn: y=`- {1} over {3}]

[eqn: y=1]

[eqn: 2pi]

[eqn: 4 pi]

9. [A형 19번과 동일]

10. [출제의도] 함수의 연속의 정의 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {` {e ^{x} -sin`2x-a} over {3x}} `=b]이고 [eqn: lim _{x`-> `0} {`3x} `=0]이므로
[eqn: lim _{x` -> `0} {` LEFT ( e ^{x} -sin`2x-a RIGHT )} `=0]   [eqn: therefore] [eqn: a`=1]

[eqn: lim _{x` -> `0} {` {e ^{x} -sin`2x-1} over {3x}}]

[eqn: = lim _{x` -> `0} {` {1} over {3} LEFT ( {e ^{x} -1} over {x} `- {2sin2x} over {2x} RIGHT )} `=`- {1} over {3}]

[eqn: therefore] [eqn: b``=`- {1} over {3}]

따라서 [eqn: a+b= {2} over {3}]

11. [A형 15번과 동일]

12. [A형 20번과 동일]

13. [출제의도] 분수함수의 정적분 이해하기

[eqn: int _{1} ^{e} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} ``= int _{1} ^{e} {LEFT ( {1} over {x} -2` RIGHT ) `dx}]                                   [eqn: = LEFT [ lnx-2x _{{} _{`}} ^{{} ^{`}} RIGHT ] _{1} ^{e} =3-2e]

14. [출제의도] 분수방정식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: {1} over {x} `-2- {a+1} over {x-1} `=0]
[eqn: {2x ^{2} + LEFT ( a-2 RIGHT ) x+1} over {x LEFT ( x-1 RIGHT )} `=0]
[eqn: x != 1], [eqn: 2x ^{2} + LEFT ( a-2 RIGHT ) x+1=0] [eqn: CDOTS cdots㉠]
ⅰ) [eqn: ㉠]이 무연근 [eqn: 1]을 가질 때,
[eqn: a=`-1], [eqn: x= {1} over {2}]
ⅱ) [eqn: ㉠]이 무연근 [eqn: 1]을 갖지 않을 때,

[eqn: ㉠]의 판별식 [eqn: D``=a ^{2} -4a-4]에 대하여

① [eqn: D``>0]인 경우

[eqn: a<2-2 sqrt {2}]([eqn: a != -1])일 때
[eqn: 1]이 아닌 양의 실근 [eqn: 2]개,

[eqn: a>2+2 sqrt {2}]일 때 음의 실근 [eqn: 2]개

② [eqn: D``=0]인 경우
[eqn: a=`2+2 sqrt {2}]일 때
[eqn: ( sqrt {2} x+1) ^{2} =0]에서 [eqn: x=`- {sqrt {2}} over {2}],

[eqn: a=2-2 sqrt {2}]일 때
[eqn: ( sqrt {2} x-1) ^{2} =0]에서 [eqn: x= {sqrt {2}} over {2}]

③ [eqn: D``<0]인 경우 실근을 갖지 않는다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: a=`-1] 또는 [eqn: a=2-2 sqrt {2}]

따라서 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 1-2 sqrt {2}]

15. [출제의도] 함수의 연속의 정의를 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `1+0} {`f LEFT ( x RIGHT )} `=0]이고
[eqn: lim _{x` -> `1+0} {`f LEFT ( -x RIGHT )} `= lim _{t`-> `-1-0} {`f LEFT ( t RIGHT )} `=0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {` LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x` -> `1+0} {`f LEFT ( x RIGHT )} `+ lim _{x` -> `1+0} {`f LEFT ( -x RIGHT )} `=0] (참)

ㄴ. [eqn: -1 LEQ sin {1} over {x} LEQ 1]([eqn: x!=0])이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ` GEQ 0]이므로
[eqn: -f LEFT ( x RIGHT ) LEQ f LEFT ( x RIGHT ) `sin {1} over {x} ` LEQ f LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: lim _{x` -> `0} {`f LEFT ( x RIGHT ) `=0}]이므로 [eqn: lim _{x` -> `0} {`f LEFT ( x RIGHT ) `sin {1} over {x} `=0}] (참)
ㄷ. 함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( `-2,``2 RIGHT )]에서
연속이려면 [eqn: x=`-1], [eqn: x=1]에서 연속이면 된다.

ⅰ) [eqn: x=1]인 경우
[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) =0]
[eqn: lim _{x` -> `1+0} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) `} = lim _{t` -> `+0} {g LEFT ( t RIGHT )} `=0]
[eqn: lim _{x` -> `1-0} {LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) `} = lim _{t` -> `1-0} {g LEFT ( t RIGHT ) `} =0]

[eqn: therefore] [eqn: x=1]에서 연속

ⅱ) [eqn: x=`-1]인 경우 ⅰ)과 같은 방법으로 연속
ⅰ), ⅱ)에 의하여 열린 구간 [eqn: LEFT ( `-2,``2 RIGHT )]에서
함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]는 연속이다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. [A형 18번과 동일]

17. [A형 16번과 동일]

18. [출제의도] 무리방정식 이해하기

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) `- sqrt {g LEFT ( x RIGHT )} RIGHT } LEFT { `f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) ^{`} RIGHT } `=0],
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) !=g LEFT ( x RIGHT )]이므로

ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`-g LEFT ( x RIGHT )]인 경우

[eqn: x=alpha]([eqn: BECAUSE] [eqn: x=1]은 무연근)

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=`-g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: alpha]

[eqn: y]

ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {g LEFT ( x RIGHT )}]인 경우

[eqn: x=beta]([eqn: BECAUSE] [eqn: x=0], [eqn: x=1]은 무연근)

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y= sqrt {g LEFT ( x RIGHT )}]

[eqn: beta]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 실근은 [eqn: x= alpha] 또는 [eqn: x=beta]

따라서 실근의 개수는 [eqn: 2]

19. [출제의도] 수열의 극한값 추론하기

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `= int _{0} ^{1} {2 LEFT ( 1-x RIGHT ) `dx} `+ int _{1} ^{2} {2 LEFT ( x-1 RIGHT ) `dx} `=2]

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `= int _{2} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=` CDOTS `=` int _{2 LEFT ( k-1 RIGHT )} ^{2k} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=2]
이므로 [eqn: int _{0} ^{2k} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=2k]([eqn: k]는 자연수)
[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `= int _{2k} ^{4k} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]

[eqn: = int _{0} ^{4k} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `- int _{0} ^{2k} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=4k-2k=2k]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} g LEFT ( k RIGHT ) `=} lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} 2k}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {n ^{2}}} `=1]

20. [출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: x LEQ 0]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]이므로

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) `= int _{-1} ^{``0} {e ^{t} f LEFT ( t RIGHT ) `dt} ``= int _{-1} ^{``0} {e ^{t} `dt}]
[eqn: = LEFT [ e ^{t} RIGHT ] _{-1} ^{``0} =1- {1} over {e}] (참)

ㄴ. [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) =0]이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]이므로 [eqn: x=1]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증감표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: g prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g(x)]	↗	[eqn: e-1- {1} over {e}]	↘

[eqn: THEREFORE] [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값 [eqn: e-1- {1} over {e}]을 갖는다. (거짓)

ㄷ. ㄴ의 증감표에 의하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=0]은 많아야 [eqn: 2]개의 실근을 갖는다.

ⅰ) [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) `=0]이므로 한 실근을 갖는다.
ⅱ) [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) `=e-1- {1} over {e} `>0], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) `=`-1- {1} over {e} `<0]
이므로 중간값의 정리에 의하여 열린 구간
[eqn: LEFT ( 1,``2 RIGHT )]에서 적어도 한 실근을 갖는다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=0]의 실근의 개수는 [eqn: 2] (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

21. [출제의도] 미분법을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm bar{BQ} `= it x], [eqn: rm bar{AQ} `= it y]라 하면
[eqn: sqrt {x ^{2} +9} `+ sqrt {y ^{2} +9} `=20] [eqn: CDOTS cdots㉠]
[eqn: ㉠]의 양변을 시간 [eqn: t]에 대하여 미분하면
[eqn: {2x} over {2 sqrt {x ^{2} +9}} · {dx} over {dt} `+ {2y} over {2 sqrt {y ^{2} +9}} · {dy} over {dt} `=0]
[eqn: y=4]일 때 [eqn: x=6 sqrt {6}]이고, [eqn: {dy} over {dt} `=1]이므로
[eqn: {6 sqrt {6}} over {15} · {dx} over {dt} `+ {4} over {5} `=0]에서 [eqn: {dx} over {dt} `=`- {sqrt {6}} over {3}]
따라서 구하는 변화율은 [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]

22. [출제의도] 로그부등식의 정의 이해하기

[eqn: log` _{2} ` LEFT ( x-1 RIGHT ) ``<`log` _{2} LEFT ( 7-x RIGHT )]에서

로그의 정의에 의하여 [eqn: 1<x<7] [eqn: CDOTS cdots㉠]

[eqn: x-1<7-x]에서 [eqn: x<4] [eqn: CDOTS cdots㉡]

[eqn: ㉠], ㉡에서 [eqn: 1<x<4]이므로 [eqn: alpha=1], [eqn: beta =4]
따라서 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{`2} =17]

23. [출제의도] 등차수열의 일반항 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a]라 하면
[eqn: LEFT | `a+2times2-1` RIGHT | `= LEFT | `a+5times2-3` RIGHT |]

[eqn: LEFT | `a+3` RIGHT | `= LEFT | `a+7` RIGHT |]이므로 [eqn: a=`-5]

[eqn: a _{n} =`2n-7>92]   [eqn: therefore] [eqn: n>49.5]
따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 50]

24. [출제의도] 분수부등식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: {4} over {v} `- {4} over {v+2} GEQ {1} over {10}]([eqn: v>0])

[eqn: {-40 LEFT ( v+2 RIGHT ) +40v+v LEFT ( v+2 RIGHT )} over {10v LEFT ( v+2 RIGHT )} LEQ 0]
[eqn: 10v LEFT ( v+2 RIGHT ) LEFT ( v+10 RIGHT ) LEFT ( v-8 RIGHT ) LEQ 0]
[eqn: v>0]이므로 [eqn: 0<v LEQ 8]

따라서 [eqn: v]의 최댓값은 [eqn: 8]

25. [출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: {1} over {2} TIMES 30`sin` theta TIMES 30`cos` theta]

[eqn: = {1} over {2} TIMES (30+30`sin theta +30`cos theta ) TIMES r LEFT ( theta ` RIGHT )]

[eqn: r( theta )= {30sin theta `cos theta } over {sin theta +cos theta +1}]
[eqn: therefore] [eqn: lim _{theta ` -> `+0} {` {r( theta )} over {theta }}]
[eqn: = lim _{theta ` -> `+0} {` LEFT ( {30cos` theta } over {sin theta +cos theta `+1} TIMES {sin` theta } over {theta } RIGHT ) `=15}]

26. [출제의도] 일차변환을 나타내는 행렬 이해하기

일차변환 [eqn: LEFT ( f` CIRC g RIGHT ) ^{-1}]의 역변환이 [eqn: f CIRC g]이므로
일차변환 [eqn: f CIRC g]에 의하여 점 [eqn: LEFT ( sqrt {3} ,``1 RIGHT )]이
점 [eqn: LEFT ( `5,``5 sqrt {3} RIGHT )]으로 옮겨진다.
[eqn: LEFT ( pile{5`#`5 sqrt {3} `} RIGHT ) `= {pmatrix{`k&````0`#`0&````k`}} {pmatrix{cos` theta &````-sin` theta #sin` theta &```````````cos` theta }} LEFT ( pile{sqrt {3} `#1} RIGHT )]
점 [eqn: LEFT ( sqrt {3} ,``1 RIGHT )]을 원점을 중심으로 [eqn: theta = {pi } over {6}]만큼
회전변환시킨 점을 다시 원점을 닮음의 중심으로
하고 닮음비가 [eqn: k=5]인 닮음변환에 의하여 옮긴 점이 [eqn: LEFT ( `5,``5 sqrt {3} RIGHT )]이다.
따라서 [eqn: {k` pi } over {theta } `=30]

27. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm bar{OA} `=4], [eqn: rm bar{AD} `=4tan {theta } over {2}]이므로
[eqn: rm □OADB=2 TIMES {1} over {2} TIMES bar{OA} TIMES bar{AD} =16tan {theta } over {2} =8]에서
[eqn: tan` {theta } over {2} `= {1} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: rm □OAEC=2times {1} over {2} times4times4tan LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT )]
[eqn: =16 TIMES {tan {pi } over {4} +tan {theta } over {2}} over {1-tan {pi } over {4} `tan {theta } over {2}} `=16 TIMES {1+ {1} over {2}} over {1- {1} over {2}}]
[eqn: =48]

28. [출제의도] 접선의 방정식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x ^{4} -2x ^{3} +8]([eqn: x>0])이라 하자.

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `=2x ^{3} -6x ^{2}]

[eqn: f` '' LEFT ( x RIGHT ) `=6x ^{2} -12x=0]에서 [eqn: x=2]([eqn: because] [eqn: x>0])

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `=0], [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) `=`-8]이므로 점 [eqn: LEFT ( 2,``0 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=`-8x+16]

따라서 구하는 도형의 넓이는 [eqn: 16]

29. [출제의도] 정적분과 무한급수의 관계 이해하기

[eqn: S _{k} =1- {1} over {2} TIMES {k} over {n} `- {1} over {2} TIMES {k} over {n} LEFT ( 1- {k} over {n} RIGHT )]

[eqn: =1- {k} over {n} + {1} over {2} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} `= lim _{n -> INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} LEFT { 1- {k} over {n} + {1} over {2} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = int_0^1 left(1-x + 1over 2 x^2 right) dx]

[eqn: = left[ x - 1 over 2 x^2 + 1 over 6 x^3 right]_0^1][eqn: = {2} over {3}]

[eqn: therefore] [eqn: alpha= {2} over {3}]
따라서 [eqn: 150alpha=100]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `=1-sinx GEQ 0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가한다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=k]인 [eqn: x]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=0]이어야 한다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=0]의 해가 [eqn: x=2n pi + {pi} over {2}]([eqn: n]은 정수)이므로
[eqn: k=f LEFT ( 2n pi + {pi} over {2} RIGHT ) `=2n pi + {3} over {4} pi]

[eqn: 0<k<6pi]이므로
[eqn: k= {3} over {4} pi] 또는 [eqn: k= {11} over {4} pi] 또는 [eqn: k= {19} over {4} pi]

[eqn: therefore] [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: {33} over {4} pi]이므로 [eqn: p=4], [eqn: q=33]

따라서 [eqn: p+q=37]