능률심화 6과 본문

Nature's Secret Code

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What Are Fibonacci Numbers?

1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89 144  233  377  610 . . .

These numbers may seem to be random, but that is far from true. In fact,

they follow a clear pattern in which each number after the first two (“1” and

“1”) is the sum of the two numbers to its left. This numerical sequence was

discovered by Leonardo Fibonacci, a medieval Italian mathematician.

Fibonacci Numbers in Nature

There is a lot more to Fibonacci numbers than just an interesting pattern.

What is so interesting about Fibonacci numbers is that they describe the

growth of leaves, flowers, and branches.

For example, trees create branches according to the Fibonacci pattern.

There is, first, a trunk, which creates a branch. Then that first branch

becomes two branches, then three, five, eight, thirteen and so on.

피보나치  수열이  무엇인가?

이 번호들이 무작위 인 것처럼 보일지도 모르겠으나 사실과는 다르다. 사실, 이 번호들은 분명한 패턴을 따르는데 이 수들은 처음의 두 수 다음에 오는 각각의 수가 그 왼쪽에 있는 두 수를 합한 값이 된다.이 일련 번호들은 중세시대의 이탈리아 수학자인 레오나르도 피보나치에 의해 발견되었다

자연에서의  피보나치 수열

피보나치수열에는 그저 흥미로운 패턴 그 이상의 것이 있다.

피보나치 숫자에 대해 정말 흥미로운 것은 그것들이 잎, 꽃과 가지들을 묘사한다는 것이다.

예를 들면, 나무가 피보나치 패턴에 따라 가지를 만들어 낸다.

첫째로, 가지를 만들어내는 나무줄기가 있다. 그 첫 번째 가지는 두 개의 가지, 3개, 5개, 8개 13 등등의 가지가 된다.

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Fibonacci numbers can also be employed to create Fibonacci spirals,

which are often found in nature. You can find this pattern in certain flowers,

fruits, and vegetables, like sunflowers, pineapples, and cauliflowers. Other

examples are the chambered nautilus, ram horns, seahorse tails, DNA

molecules, hurricanes, tornadoes, and galaxies, all of which show evidence

of the same Fibonacci sequence.

How to Draw a Fibonacci Spiral

The first two squares are squares drawn with a side length of 1. Then you

draw a square with a side length of 2 and continue drawing squares with a

side length equal to the sequence of Fibonacci numbers in a clockwise

pattern. Next, draw a one quarter circle in each square, then put the quarter

circles together in order to draw a spiral. This will create a Fibonacci spiral.

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What Is the Golden Ratio?

Consider Fibonacci numbers again.

1  1  2  3  5  8  13   21  34  55  89 . . .

This sequence is related to the golden ratio, which is the ratio of the

numbers hat are next to each other in the list. As numbers get larger and

larger, the ratios approach a special number, 1.618+, which is the golden

ratio.

피보나치수열은 또한 피보나치 나선을 만드는데 사용될 수 있고, 이는 종종 자연에서 발견된다. 당신은 이 패턴을 어떤 꽃, 과일과 채소들에서 찾을 수 있다. 해바라기, 파인애플, 콜리플라워스 등과 같은 다른 예로는 앵무조개, 숫양의 뿔, 해마 꼬리, DNA 분자, 허리케인, 토네이도와 은하계, 이 모든 것들은 피보나치 수열의 같은 증거를 보여주는 것이다.

피보나치  나선을  그리는  방법

처음 두 개의 정사각형은 한 면의 길이를 1로 해서 그린다. 그런 다음에 당신은 정사각형을 한 면의 길이를 2로 해서 그리고 시계방향으로 한 면의 길이를 피보나치수열에 맞게 정사각형을 계속 그린다. 그다음, 각 사각형 안에 1/4 원을 그려 넣고, 나선을 그리기 위해 1/4 원을 함께 넣는다. 이것이 피보나치 나선이 그려지는 것이다.

황금비율이란?

피보나치수열을 다시 생각해보자

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 . .

이 수열은 황금비율과 관련이 있고, 이는 목록에 있는 서로 나란히 있는 두 수의 비율이다.

숫자가 점점 더 커짐에 따라, 그 비율은 특별한 수, 1.618에 근접하고, 이것이 황금비율이다

1       1       2       3       5       8       13       21       34       55       89 . . .                2/1     3/2    5/3     8/5    13/8   21/13   34/21  55/34   89/55

=2.0    =1.5 =1.67  =1.6  =1.625 =1.625 =1.619 =1.618 =1.618

The golden ratio is not just some interesting number. It continually pops up

in places where it might not ordinarily be expected. For some reason, it just

appeals to our natural instincts.

Let’s look at the following rectangles.

Which is the most appealing to you? Most people pick the third rectangle.

The ratio of length to width for the third rectangle is closer to the golden

ratio than that of others. A rectangle that conforms to the golden ratio is

called a golden rectangle. Examples of golden rectangles can be found in

many places.

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Golden Rectangles in Architecture, Art and Music

Golden rectangles are prominent in architecture. The Parthenon in Greece

is an excellent example of the beauty and balance achieved by using

golden rectangles. What the picture below illustrates is that many of the

exterior dimensions of the Parthenon are broken down into golden

rectangles. Some modern architecture, like the United Nations Building in

New York, is also influenced by golden rectangles.

황금비율은 그저 몇 가지 흥미로운 숫자가 아니다. 그것은 지속적으로 불쑥 나타난다. 대개 예상되지 못하는 곳에 어떠한 이유에서인지, 그것은 우리의 자연적 본능에 호소하게 된다.

다음의 사각형을 보자

어느 것이 가장 끌리는가?

대부분의 사람들은 3번째 사각형을 고른다. 3번째 사각형의 너비에 대한 길이 비율이 다른 것보다 황금비율에 더 가깝다. 황금비율을 따르는 사각형은 황금 사각형이라 부른다. 황금 사각형의 예들은 많은 곳에서 찾을 수 있다.

건축, 예술과 음악에서의 황금 사각형

황금 사각형은 건축물에서 현저하게 나타난다. 그리스의 파르테논 신전은 황금비율을 사용함으로써 미와 균형을 이룬 훌륭한 보기이다. 그림 아래 그림이 설명해 놓은 것은 파르테논의 외부 치수들이 황금비율의 사각형으로 나뉠 수 있다는 것이다.

뉴욕의 UN 건물과 같은 몇몇 현대 건축물 또한 황금 사각형에 의해 영향을 받는다.

Golden rectangles appear in such masterpieces as the Mona Lisa and The

Last Supper, determining the dimensions and placement of figures. In the

modern period, golden rectangles appeared in the work of Piet Mondrian,

who painted the following Composition with Yellow, Blue and Red in 1942.

There are many golden rectangles in this work.

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The ideal violin is also modeled on golden rectangles. The violins that

produce the most pleasing and agreeable sound conform to this proportion.

Such violins are also more pleasing to look at than those not modeled on

golden rectangles.

The precise reasons for the role played by Fibonacci numbers and the

golden ratio remain something of a mystery. Presumably, nature has

somehow found these numbers to be best suited for a variety of structures,

just as humans have found the golden rectangle to be the most pleasing to

the eye. There can be no question that this is one instance where pure

mathematics meets many seemingly unrelated elements of both natural and

human creation.

능률심화 6과 본문

황금 사각형은 인물의 위치와 치수를 결정하는 모나리자와 최후의 만찬 같은 대작들에 보여 진다. 현대 시대에서, 황금 사각형은 1942년 노랑, 파랑과 빨강을 사용해 작품을 그린 작품인 몬드리안의 작품에도 보여 진다.

이 작품에 많은 황금 사각형이 있다.

이상적인 바이올린이 또한 황금 사각형의 모델이 되었다.

가장 유쾌하고도 기분 좋은 소리를 만드는 바이올린은 이 비율을 따른다. 그러한 바이올린은 또한 황금 사각형을 따르지 않은 것들보다 보기에도 더 즐겁다.

피보나치수열과 황금비율이 왜 그런 역할을 하는지에 대한 정확한 이유는 미스테리로 남아있다. 짐작컨대, 자연은 어떻게든 다양한 구조에 가장 적합한 것이 되는 이 수열을 찾아낸다. 인간이 눈에 가장 즐겁게 되는 황금 사각형을 찾아냈듯이. 이것이 자연이나 인간이 만들어 낸 창조물의, 겉으로는 관련이 없어 보이는 요소들과 순수 수학이 만나게 되는 한 예임에는 틀림이 없다.