◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

수리 영역

‘나’형

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수리 영역

‘나’형

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2010학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						2

‘나’형

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. 전체집합 [eqn: U] = {[eqn: x]|[eqn: x]는 [eqn: 16``]이하의 자연수}의 두 부분집합
[eqn: A] = {[eqn: x]|[eqn: x]는 [eqn: 16``]의 약수}, [eqn: B] = {[eqn: x]|[eqn: x]는 [eqn: 16``]이하의 홀수} 에
대하여 [eqn: A-B ^{`c} ``]의 원소의 개수는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. 행렬 [eqn: A= pmatrix{````````1```&`-2`#`-2```&````````5`} ``]에 대하여 행렬 [eqn: A+A ^{-1} ``]은? [2점]

① [eqn: pmatrix{`4```&```0#`0```&````4`}]	② [eqn: pmatrix{`0```&```2#`2```&````0`}]	③ [eqn: pmatrix{`1```&```0#`0```&````5`}]

④ [eqn: pmatrix{`````````0```&`-4`#`-4```&```````0}]	⑤ [eqn: pmatrix{`6```&```0#`0```&````6`}]

3. 두 행렬 [eqn: A`=` pmatrix{`1-x&``````x+y`#```-1&```````xy``} `], [eqn: B``=` pmatrix{`y-2&`````xy+1#``-1&```````4-xy``} ``]에 대하여
[eqn: A`=B``]일 때, [eqn: x^{`3}+y^{`3}``]의 값은? [2점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

4. 집합 [eqn: X`=` LEFT { `1`,`2`,`3`,`4` RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 함수 [eqn: f``]의 역함수를 [eqn: g``]라 할 때, [eqn: 4`g(1)`+`3`g(2)`+`2`g(3)`+`g(4)``]의 최댓값은?
[3점]

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

5. [eqn: 2000``]보다 크고 [eqn: 7000``]보다 작은 짝수 중에서 각 자리의 숫자가 모두 다른 수의 개수는? [3점]

① [eqn: 1230]	② [eqn: 1232]	③ [eqn: 1234]	④ [eqn: 1236]	⑤ [eqn: 1238]

6. [eqn: y``]축과 서로 다른 두 점 [eqn: rmA`,``B``]에서 만나는
원 [eqn: x ^{`2} +y ^{`2} -4x-2y+k=0``]의 중심을 [eqn: C``] 라 하자.
[eqn: ANGLE rm `ACB=90 DEG]일 때, [eqn: bar{\AB}+k``]의 값은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

7. 이차정사각행렬 [eqn: A`,`B``]에 대하여, 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: AC``=`B``]인 이차정사각행렬 [eqn: C``]가 항상 존재한다. ㄴ. [eqn: A+B=E``]이면 [eqn: A ^{2} -B ^{`2} =A-B``]이다. ㄷ. [eqn: AB=E``]이면 [eqn: A+B``]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 어느 식품회사의 숙성창고 출입문은 다음 규칙에 따라 생성되는 번호  에 의해 작동된다.

(가) 출입문 번호  는 다음 날
[eqn: pmatrix{``1``&``0``#2&1`}][eqn: ` pmatrix{```a`&```b`#``c&```d`} `=` pmatrix{```a prime `&```b prime `#``c prime &```d` prime `}]에 의해 얻어지는 새로운 수
[eqn: a` prime `,``b prime `,``c prime `,``d` prime ``]의 각각의 일의 자리숫자로 구성된
로 자동으로 바뀐다.

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: p]

[eqn: q]

[eqn: r]

[eqn: s]

(나) 출입문 번호는 (가)에 따라 매일 한 번씩 바뀐다.

(다) 처음 설정한 번호가  일 때, 바뀐 번호가 다시  가 되는 날 숙성창고 출입문이 처음으로 열린다.

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

예를 들어, 어느 날 번호가  이면
[eqn: {pmatrix{``1``&``0``#2&1`}}][eqn: {pmatrix{``3``&`8`#2&`4`}}]=[eqn: pmatrix{``3``&``8`#8&``20`}]이므로 다음날 번호는  으로 자동으로 바뀐다. 수요일에 처음 설정한 번호가  일 때, 숙성창고 출입문이 처음으로 열리는 요일은? [3점]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: 3]

[eqn: 8]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 8]

[eqn: 8]

[eqn: 0]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 5]

① 월요일	② 화요일	③ 수요일

④ 목요일	⑤ 금요일

9. 그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} =6``], [eqn: bar{rm AC it} =2], [eqn: ANGLE rm A= {pi} over {3} ``]인 [eqn: TRIANGLE rm ABC``]의 선분 [eqn: rm AB]위에 중심이 있는 서로 외접하는 두 원을 각각 [eqn: O _{`1} ,``O _{`2} ``]라 하자. 점 [eqn: rm `A`,``C``]는 원 [eqn: O _{`1} ``]위에, 점 [eqn: rm `B``]는 원 [eqn: O _{`2} ``]위에 있다. [eqn: TRIANGLE rm ABC``]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R``], 원 [eqn: O _{`1} ``]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{1} ``], 원 [eqn: O _{`2} ``]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{2} ``]라 할 때, [eqn: 3`R ^{`2} +r _{1} ^{```2} +r _{2} ^{```2} ``]의 값은?
[4점]

[eqn: rm A]

[eqn: {pi } over {3}]

[eqn: 2]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: 6]

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

10. 이차정사각행렬 [eqn: A,``B``]가 [eqn: A+B```=`-E``,````AB``=E``]를 만족시킬 때, [eqn: (`A+B``)+(`A ^{2} +B ^{`2} `)+` CDOTS `+(`A ^{2011} +B ^{`2011} `)]을 간단히 한 것은?
(단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: -2E]	② [eqn: -E]	③ [eqn: E]	④ [eqn: 2E]	⑤ [eqn: 3E]

11. 좌표평면 위의 점들의 집합
[eqn: A= LEFT { `(`x`,``y`)``|````|``x``|+|``y``| LEQ 2`,````x``와```y``는~정수` RIGHT } ``]의 원소에 대하여 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A``]의 원소의 개수는 [eqn: 13``]이다. ㄴ. [eqn: A``]의 원소를 연결하여 만들 수 있는 직선의 개수는 [eqn: 28``]이다. ㄷ. [eqn: A``]의 원소를 연결하여 만들 수 있는 삼각형의 개수는 [eqn: 256``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

12. 함수 [eqn: f(x)=x` LEFT | `x` RIGHT | `+p`x+q``](단, [eqn: p,~q``]는 실수)에 대하여 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(-x)=`-`f(x)``]는 [eqn: q=0```]이기 위한 필요충분조건이다. ㄴ. [eqn: p=0``]이면 방정식 [eqn: f(x)=0``]의 실근은 [eqn: 1``]개이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0``]의 실근은 많아야 [eqn: 3``]개이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 그래프와 행렬에 대하여 옳은 설명만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 그래프를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은 변의 개수의 [eqn: 2]배이다. ㄴ. [eqn: 7]개 팀이 출전하는 어떤 축구 경기에서 모든 팀이 홀수 번 경기하도록 대진표를 짤 수 있다. ㄷ. 두 그래프 는 서로 같은 그래프이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. [eqn: x``]에 대한 두 부등식 [eqn: |`2x+a`|` LEQ 3`], [eqn: x ^{2} `+x`+b` LEQ 0`]의 해가
같도록 상수 [eqn: a`,``b``]의 값을 정할 때, [eqn: a`b``]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

15. 다음은 [eqn: k``]가 실수일 때, [eqn: x``]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -x-k=0``]의 두 근 [eqn: alpha `,`` beta ``]와 [eqn: x ^{2} +kx-1=0``]의 두 근 [eqn: gamma `,`` delta ``]에 대하여
[eqn: ( alpha - gamma )( beta - gamma )( alpha - delta )( beta - delta )``]의 값을 구하는 과정이다.

[eqn: f(x)=x ^{2} +kx-1``]이라 할 때, [eqn: f(x)=0``]의 두 근이 [eqn: gamma `,`` delta ``]이므로

[eqn: ( alpha - gamma )( beta - gamma )( alpha - delta )( beta - delta )]

[eqn: =``````````` LEFT ( 가 RIGHT )]

[eqn: = LEFT { LEFT ( ````` LEFT ( 나 RIGHT ) `````)` alpha +k-1 RIGHT } LEFT { LEFT ( ````` LEFT ( 나 RIGHT ) `````)` beta +k-1 RIGHT } RIGHT . RIGHT .]

[eqn: =(`````(나)`````) ^{2} alpha beta +(`````(나)`````)(k-1)( alpha + beta )+ LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =``````````` LEFT ( 다 RIGHT )]

이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: f( alpha )`f( beta )]	[eqn: ``````k+1]	[eqn: ````````k(k ^{2} +3)]
②	[eqn: f( alpha )`f( beta )]	[eqn: ``````k+1]	[eqn: -k(k ^{2} +3)]
③	[eqn: f( alpha )`f( beta )]	[eqn: -k-1]	[eqn: ````````k(k ^{2} +3)]
④	[eqn: f( gamma )`f( delta )]	[eqn: -k-1]	[eqn: -k(k ^{2} +3)]
⑤	[eqn: f( gamma )`f( delta )]	[eqn: -k-1]	[eqn: ````````k(k ^{2} +3)]

16. 이차정사각행렬 [eqn: A`,`B``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A ^{2} `-`AB````=`E`]          (나) [eqn: B ^{``2} ``=`-E``]

[eqn: (`A+`B``) ^{`-1} ``=`pA+q`B``]일 때, 상수 [eqn: p`,``q``]의 합 [eqn: p`+q``]의 값은?
(단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {2} over {3} ``]	③ [eqn: - {1} over {3} ``]	④ [eqn: {1} over {3} ``]	⑤ [eqn: {2} over {3} ``]

17. 계수가 실수인 [eqn: x``]에 대한 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0``]의 두 근을 [eqn: alpha `,`` beta ``]라 하자. [eqn: alpha ``]가 허수이고 [eqn: {alpha ^{2}} over {beta } ``]이 실수일 때,
[eqn: left({alpha } over {beta } right)^{3}``]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: -1]	③ [eqn: i]	④ [eqn: -i]	⑤ [eqn: 1+i]

18. 행렬 [eqn: pmatrix{``0`&`1`&`1`&`1``#1&0&1&1#1&1&0&0#1&1&0&0}] 이 나타내는 그래프는? [3점]

①		②
③		④
⑤

19. [eqn: x``]에 대한 다항식 [eqn: A``]를 [eqn: x ^{2} +1``]로 나눈 나머지를 [eqn: R`(A)``]라 할 때, 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: R`(`x ^{`10} -x+1)=`-x] ㄴ. [eqn: R`(`x ^{`9} +x+1)=R`(`x ^{`5} +x+1)] ㄷ. 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: n=4k+3`]이면 [eqn: R`(`x ^{`n} +x+1)=`-1]이다.

① ㄷ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 두 함수 [eqn: y=4`sin`3x`,~y=3`cos`2x``]의 그래프가 [eqn: x``]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A(ita`,``0)`,``\B`(itb`,``0)``](단, [eqn: 0<a< {pi } over {2} <b< pi])라 하자.
[eqn: y=4`sin`3x``]의 그래프 위의 임의의 점 [eqn: \P`]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rm ABP``]의 넓이의 최댓값은? [3점]

① [eqn: {pi } over {3}]	② [eqn: { pi } over {2}]	③ [eqn: {2pi } over {3}]	④ [eqn: {5 pi } over {6}]	⑤ [eqn: pi]

21. 허수부분이 [eqn: 0``]이 아닌 복소수 [eqn: a+b`i``]에 대하여
[eqn: a+bi= {x+i} over {x-i}``]를 만족시키는 실수 [eqn: x``]가 존재할 때, 점 [eqn: (`a`,``b`)``]가 그리는 도형은? (단, [eqn: a,``b``]는 실수이고, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [4점]

①	[eqn: rm O] [eqn: a] [eqn: b]	②	[eqn: rm O] [eqn: a] [eqn: b]
③	[eqn: rm O] [eqn: a] [eqn: b]	④	[eqn: rm O] [eqn: a] [eqn: b]
⑤	[eqn: b] [eqn: rm O] [eqn: a]

단답형(22~30)

22. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`````````3&````1#`-1&````4`} `,``B``= pmatrix{`4&```-1`#`1&``````````3`} ``]에 대하여 [eqn: A ^{2} +AB``]의
모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

23. 두 점 [eqn: rm A`(`-1,`1),```B`(`4,`6)``]에 대하여, 선분 [eqn: \AB``]를 [eqn: 2:3``]으로 내분하는 점을 [eqn: rm P`(ita`,``b)`], 선분 [eqn: \AB``]를 [eqn: 4:3``]으로 외분하는 점을 [eqn: rm Q`( it c`,``d)``]라 할 때, [eqn: a+b+c+d``]의 값을 구하시오. [3점]

24. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 정삼각형 [eqn: 9``]개를 이어 붙여 만든 도형이 있다. 이 도형의 선들로 이루어지는 평행사변형의 개수를 구하시오. [3점]

25. 모든 실수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: x,`y``]에 대한 연립일차방정식
[eqn: pmatrix{k-a``&``0``#2k`&``b``} pmatrix{``x```#`y``} = pmatrix{`0`&``-1``#`2`&``````````1``} pmatrix{``x```#`y``} ``]가 [eqn: x=0,``y=0``]이외의 해를 가질 때,
[eqn: a ^{`2} +b ^{`2} ``]의 값을 구하시오. [3점]

26. 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B``]와 실수 [eqn: k``]에 대하여
[eqn: A+kB``= pmatrix{`2&````2`#`1&````3`}], [eqn: A+B``=E`,``][eqn: B ^{`2} =B``]
가 성립할 때, [eqn: 10`k``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)
[4점]

27. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6``]인 원에 내접하는 크기가 같은 [eqn: 6``]개의 원이 서로 외접하고 있다. 어두운 부분의 넓이가  [eqn: S``=``p` sqrt {3} +q` pi] (단, [eqn: p,``q``]는 정수)일 때,  [eqn: p+q``] 의 값을 구하시오.                                                        [4점]

28. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``a``&-1`#``1``&``````b} `,~B```= pmatrix{`-1``&-1#````````0``&``-2``} ``]에 대하여
[eqn: AB+A=O``]를 만족시킬 때, [eqn: A+A ^{2} +A ^{3} +` CDOTS `+A ^{2010} = pmatrix{``p``&q`#`r``&`s``} ``]
이다. [eqn: p ^{`2} +q ^{`2} +r ^{`2} +s ^{2} ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: O``]는 영행렬이다.)
[4점]

29. 함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0` LEQ `x` LEQ `1``]일 때, [eqn: f(`x)`=` {2x} over {x`+`1} ``]

(나) [eqn: f(`x)`=`f(`-x)``]

(다) [eqn: f(`x)`=`f(`x`+`2)``]

함수 [eqn: g(x)`= {1} over {6} ` LEFT | `x` RIGHT | ``]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)`-`g(x)=0``]의 실근의 개수를 구하시오. [4점]

30. 자연수 [eqn: a,``b``]는 [eqn: 7``]로 나누면 나머지가 각각 [eqn: 5,``6``]이다.
[eqn: x``]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0``]의 두 근이 [eqn: 9``]이하의
자연수가 되도록 하는 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)``]에 대하여 [eqn: a+b``]의 최댓값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.