수학 영역 (B형)

고 2

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수학 영역 (B형)

고 2

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2013학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시          수학 영역 (B형)

8

5지 선다형(1 ~ 21)

1. 두 실수 [eqn: x`,``y`]가 등식 [eqn: (`x`+`3`)`-`yi`=`9`-`8i`]를 만족시킬 때, [eqn: x`+y`]의 값은? (단, [eqn: i`=` sqrt {-1}`]이다.) [2점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

2. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A it (`a`,``3`)`], [eqn: rm B it (`-1`,``b`)`], [eqn: rm C(`4`,``-5`)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 무게중심의 좌표가 [eqn: (`4`,``0`)`]일 때, [eqn: a`+`b`]의 값은? [2점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

3. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`,``q`]를 각각
[eqn: p``:` LEFT ( `x`-`3` RIGHT ) LEFT ( `x`-`7` RIGHT ) ` LEQ 0`]
[eqn: q``:`x` LEQ k`]
라 할 때, 조건 [eqn: p`]가 조건 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는
상수 [eqn: k`]의 최솟값은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

4. 집합 [eqn: X`=` LEFT { `1`,``2`,``3`,``4`,``5` RIGHT } `]에 대하여
[eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 두 함수 [eqn: f`,``g`]가 각각 그림과 같을 때,
[eqn: LEFT ( `f ^{`-1} CIRC g` RIGHT ) `(`4`)`]의 값은? (단, [eqn: f`^-1`]는 [eqn: f`]의 역함수이다.) [3점]

[eqn: f]

[eqn: X]

[eqn: g]

[eqn: X]

[eqn: 1]

[eqn: X]

[eqn: X]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 5]

[eqn: 5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 세 상수 [eqn: a`,``b`,``c`]에 대하여
분수함수 [eqn: f`(`x`)`=` {ax`+`b} over {x`+`c} `]의 그래프가 점 [eqn: (`0`,``1`)`]을 지나고 점근선이 두 직선 [eqn: x`=`-1`,~y`=`-2`]일 때, [eqn: f`(`-4`)`]의 값은?
[3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

6. 정의역이 [eqn: LEFT { `x``□``0 `LEQ` x` LEQ `3` RIGHT }`]인 이차함수 [eqn: f`(`x`)`=`x ^{2} `-`2x`+`m`]의
최솟값이 [eqn: 5`]일 때, [eqn: f` LEFT ( `x` RIGHT )]의 최댓값은? (단, [eqn: m`]은 상수이다.) [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: {15} over {2}]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: 9]

7. 두 유리수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`ax ^{2}` +`bx`-`6`=`0`]의 한 근이 [eqn: sqrt { 2}`]일 때, [eqn: a`+`b`]의 값은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

8. 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 [eqn: rm ANGLE A`=`105 ^{°} `,`` rm ANGLE B`=`30 ^{°} `]이고 [eqn: rm bar{AB`} `=`12`]일 때, [eqn: rm{ bar{AC }} ^{`2}} `]의 값은? [3점]

[eqn: bold{rm A}]

[eqn: bold{rm B}]

[eqn: bold{rm C}]

[eqn: rm 105 DEG]

[eqn: rm 30 DEG]

[eqn: 12]

① [eqn: 72]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 80]	④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 88]

[9~10] 음이 아닌 정수 전체의 집합 [eqn: boldU`]의 두 부분집합 [eqn: bold{A `,``B`}]
는 다음과 같다.
[eqn: bold{A`=}]{[eqn: bold{x``□``x`}]는 [eqn: bold3 ^{n} `]을 [eqn: bold10`]으로 나눈 나머지, [eqn: boldn`]은 자연수}
[eqn: bold{B``} =]{[eqn: bold{x``□``x`}]는 [eqn: bold9 ^{n} `]을 [eqn: bold10`]으로 나눈 나머지, [eqn: boldn`]은 자연수}
9번과 10번의 두 물음에 답하시오.

9. 집합 [eqn: U`]의 부분집합 [eqn: X`]가
[eqn: LEFT ( `A` SMALLINTER `B` RIGHT ) ` SUBSET X` SUBSET LEFT ( `A` CUP `B` RIGHT ) `]
를 만족시킬 때, 집합 [eqn: X`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

10. 집합 [eqn: C``= LEFT { `(`a`,``b`)``□``a` IN `A`,``b` IN `B` RIGHT } `]의 모든 원소들을 좌표평면에 나타낸 점들 중에서 임의로 뽑은 세 점을 꼭짓점으로 하는 서로 다른 삼각형의 개수는? (단, 꼭짓점의 좌표가 다른 삼각형은 서로 다른 것으로 한다.) [3점]

① [eqn: 46]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 50]	④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 54]

11. 조선시대 산학서에서 중심이 같은 서로 다른 두 원으로 둘러싸인 도형을 환(環)이라 불렀다.

환(環)

다음은 실경과 정주라는 것을 이용하여 환의 넓이를 구하는
과정이다.

그림에서 두 원 [eqn: C _{1}`,``C_2`]는 모두 중심이 [eqn: \O`]인 원이다.
두 원 [eqn: C _{1} `,``C _{2} `]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r_1`,``r_2`][eqn: (`r _{1} `>`r _{2} `)`]라
하고, 원의 중심 [eqn: rm O`]와 원 [eqn: C _{1}] 위의 점 [eqn: \P`]를 연결한 선분이
원 [eqn: C_2`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자.
선분 [eqn: \PQ`]의 중점을 [eqn: \R`]라 하고, 중심이 [eqn: \O`]이고 선분 [eqn: \OR`]를 반지름으로 하는 원 [eqn: D`]를 그린다.

이때 선분 [eqn: \PQ`]의 길이를 실경, 원 [eqn: D`]의 둘레의 길이를
정주라 한다.
위에서 실경은 [eqn: box{~~(가)~~}`], 정주는 [eqn: 2 pi TIMES BOX{~~(나)~~} `]이므로
(실경)[eqn: `TIMES `](정주)[eqn: `=`(`` BOX{~~(가)~~} ``)` TIMES `(`2 pi TIMES ` BOX{~~(나)~~} ``)]
[eqn: =` pi r _{1} ^{```2} `-` pi r _{2} ^{```2}]
[eqn: =`(`]환의 넓이[eqn: `)`]
이다. 따라서 환의 넓이는 실경과 정주의 곱으로 구할 수 있다.

[eqn: bold D`]

[eqn: bold C_2`]

[eqn: bold{ C _{1}}]

[eqn: bold\Q]

[eqn: bold\O]

[eqn: bold {rm R}]

[eqn: bold\P]

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 더하면 [eqn: p`r _{1} `+`q`r _{2} `]이다.
[eqn: 8(`p` ^{2} `+`q` ^{2} `)`]의 값은? (단, [eqn: p`,``q`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 36]

12. 두 집합
[eqn: A= LEFT { `(`x`,``y`)``□``-1` LEQ `x` LEQ `1`,~1` LEQ `y` LEQ 3` RIGHT } `]
[eqn: B``= LEFT { `(`x`,``y`)``□``y= sqrt {x`-`k} ` RIGHT } `]
에 대하여 [eqn: A` SMALLINTER `B != EMPTYSET `]을 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]	④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

13. 좌표평면에서 두 일차함수 [eqn: y`=`f(`x`)`], [eqn: y`=`g(`x`)`]의 그래프가
점 [eqn: (`2`,``3`)`]에서 서로 수직으로 만나고 [eqn: f`(`-2`)`=`g`(`6`)`]일 때, [eqn: f`(`3`)` TIMES `g`(`3`)`]의 값은? [3점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

14. 자연수 전체의 집합을 [eqn: N`], 정수 전체의 집합을 [eqn: Z`]라 할 때,
모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f`:`N`` -> ``Z`]는
[eqn: f`(`2n`-`1`)`=`(`-1`) ^{n} `], [eqn: f`(`2n`)`=`2f`(`n`)`]
을 만족시킨다. [eqn: f` ( `14`) `+`f` ( `20` ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

15. 어느 문구점에서 연필 [eqn: 2`]자루의 가격과 지우개 [eqn: 1`]개의 가격을 더하면 공책 [eqn: 1`]권의 가격과 같고, 지우개 [eqn: 1`]개의 가격과
공책 [eqn: 1`]권의 가격을 더하면 연필 [eqn: 5`]자루의 가격과 같다.
이 문구점에서 연필 [eqn: 10`]자루의 가격과 공책 [eqn: 4`]권의 가격을 더하면 지우개 [eqn: n`]개의 가격과 같다. [eqn: n`]의 값은?
(단, 이 문구점에서 동일한 종류의 문구 가격은 같은 것으로 한다.) [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

16. 다항식 [eqn: f`(`x`)`]가 다음 세 조건을 만족시킬 때, [eqn: f`(`0`)`]의 값은?
[4점]

(가) [eqn: f`(`x`)`]를 [eqn: x^3 `+`1`]로 나눈 몫은 [eqn: x`+`2`]이다.

(나) [eqn: f`(`x`)`]를 [eqn: x^2`-`x`+`1`]로 나눈 나머지는 [eqn: x`-`6`]이다.

(다) [eqn: f`(`x`)`]를 [eqn: x `-`1`]로 나눈 나머지는 [eqn: -2`]이다.

① [eqn: -10]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -8]	④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -6]

17. 좌표평면에서 세 직선
[eqn: y`=`2x`], [eqn: y`=`- {1} over {2} x`], [eqn: y`=`mx`+`5``(`m`>`0`)`]
로 둘러싸인 도형이 이등변삼각형일 때, [eqn: m`]의 값은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: y`=`mx`+`5]

[eqn: y`=`- {1} over {2} x]

[eqn: y`=`2x]

[eqn: x]

[eqn: bold{rm O}]

[eqn: 5]

① [eqn: {1} over {3} `]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {7} over {15} `]	④ [eqn: {8} over {15} `]	⑤ [eqn: {3} over {5} `]

18. 다음은 [eqn: n`]차 다항식 [eqn: P`(`x`)`]가
[eqn: P`(`k`)`=` {k} over {k`+`1} ``(`k`=`0`,``1`,``2`,`` CDOTS `,``n`)`]
를 만족시킬 때, [eqn: P`(`n`+`1`)`]의 값을 구하는 과정이다.

[eqn: n]차 다항식 [eqn: P`(`x`)`]는
[eqn: (`k`+`1`)P`(`k`)`-`k`=`0` ``(`k`=`0`,``1`,``2`,`` CDOTS `,``n`)`]
을 만족시킨다.
[eqn: Q`(`x`)`=`(`x`+`1`)`P`(`x`)`-`x`]
라 두면 [eqn: Q`(`x`)`]는 [eqn: n`+`1`]차 다항식이고
[eqn: Q`(`0`)`=`Q`(`1`)`=Q`(`2`)`=` CDOTS `=`Q`(`n`)`=`0`]
이므로 [eqn: 0`]이 아닌 상수 [eqn: a`]에 대하여
[eqn: Q`(`x`)`=`a`x`(`x`-`1`)`(`x`-`2`)`` CDOTS `(`x`-`n`)`]
으로 나타낼 수 있다. 따라서
[eqn: (`x`+`1`)`P`(`x`)`-`x`][eqn: =`a`x`(`x`-`1`)`(`x`-`2`)`` CDOTS `(`x`-`n`)`]  [eqn: CDOTS `㉠]  이다. [eqn: ㉠`]의 양변에 [eqn: x=`-1`]을 대입하면
[eqn: a`=` {(`-1`) ^{n`+`1}} over {BOX{~~(가)~~}} `]
이고, [eqn: ㉠`]의 양변에 [eqn: x=`n+1`]을 대입하여 정리하면
[eqn: (`n`+`2`)`P`(`n`+`1`)`-`(`n`+`1`)`=` BOX{~~(나)~~} `]
이므로
[eqn: P`(`n`+`1`)`=` {BOX{~~(나)~~} `+`n`+`1} over {n`+`2}]
이다. 따라서
[eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: P`(`n`+`1`)`=`1`]이고,
[eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: P`(`n`+`1`)`=` BOX{~~(다)~~} `]이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각
[eqn: f`(`n`)`,``g`(`n`)`,``h`(`n`)`]이라 할 때, [eqn: {f`(`4`)` TIMES `g`(`5`)`} over {h`(`6`)`} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 150]	② [eqn: 155]	③ [eqn: 160]	④ [eqn: 165]	⑤ [eqn: 170]

19. 이차방정식 [eqn: x ^{2} `-`ax`-`3a`=`0``(`a`＞`0`)`]의 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha `,`` beta `]에 대하여 [eqn: LEFT |` `alpha` ` RIGHT |` +` LEFT | ``beta ``RIGHT |` =`8`]일 때, [eqn: alpha ^{2} `+` beta ` ^{2} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 34]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 38]	④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 42]

20. 모든 실수 [eqn: x`]가 부등식
[eqn: ( `x`+`1` ) `a ^{2} `+`(`x`-`1`)`b ^{2} LEQ 4x`]
를 만족시킬 때, 좌표평면에서 점 [eqn: (`a`,``b`)`]가 나타내는
도형 전체의 길이는? [4점]

① [eqn: {2} over {3} pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {4} over {3} pi]	④ [eqn: {5} over {3} pi]	⑤ [eqn: 2 pi]

21. 실수 전체의 집합의 부분집합 [eqn: A`]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: A`]는 공집합이 아닌 유한집합이다.

(나) 집합 [eqn: A`]는 곱셈에 대하여 닫혀 있다.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a` IN `A]이면 [eqn: -a` IN `A]이다. ㄴ. [eqn: n` LEFT ( `A` RIGHT ) `]의 최댓값은 [eqn: 3`]이다. (단, [eqn: n` LEFT ( `A` RIGHT ) `]는 집합 [eqn: A`]의 원소의 개수이다.) ㄷ. 집합 [eqn: A`]의 개수는 [eqn: 5`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형(22 ~ 30)

22. 등식 [eqn: {} _{`n it}{ rm P} it rm _{2} `=` _{n} {rm C }it rm _{3} `][eqn: (`n` GEQ`3`)`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 값을
구하시오. [3점]

23. 두 양수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 삼각함수 [eqn: y`=`a`sin`bx`]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a`b`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: y]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: bold{rmO}]

[eqn: { pi } over { 4}]

[eqn: -3]

[eqn: { 5} over {4 } pi]

[eqn: { 9} over { 4} pi]

[eqn: y`=`a`sin`bx`]

24. [eqn: sqrt {`7`+`4 sqrt {3}} `]의 정수 부분을 [eqn: a`], 소수 부분을 [eqn: b`]라 할 때,
[eqn: 30` LEFT ( `a`-`b`-` {1} over {a+b} ` RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: x`>`1`]일 때, [eqn: x`+`1`+` {16} over {x`-`1} `]의 최솟값을 구하시오. [3점]

26. 서로 다른 [eqn: 5`]개 학교의 학생이 각각 [eqn: 2]명씩 있다. 이 [eqn: 10]명의 학생 중 임의로 [eqn: 3]명을 선택할 때, 같은 학교의 학생이 동시에 선택되지 않을 경우의 수를 구하시오. [4점]

27. 좌표평면 위에
점 [eqn: rm A`(`-1`,``0)`]과 원 [eqn: C```: it `(`x`+`3`) ^{2} `+`(`y`-`8`) ^{2} `=`5`]가 있다.
[eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rm P it `]와 원 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rmQ`]에 대하여
[eqn: bar{rm AP it}` + `bar{rmPQ} `]의 최솟값을 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: k` ^{2} `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: y]

[eqn: bold{rm Q}]

[eqn: x]

[eqn: bold{rm O}]

[eqn: bold{rm P}]

[eqn: bold{rm A}]

[eqn: -3]

[eqn: -1]

[eqn: 8]

[eqn: (`x`+`3`) ^{2} `+`(`y`-`8`) ^{2} `=`5`]

28. 좌표평면에서 원 [eqn: (`x`-`1`) ^{2} `+`(`y`-`3`) ^{2} `=`2`]와
함수 [eqn: y`=`m` LEFT | `x` RIGHT | `]의 그래프가 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 정수 [eqn: m`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같이 바다에 인접해 있는 두 해안 도로가 [eqn: 60 DEG]의 각을 이루며 만나고 있다. 두 해안 도로가 만나는 지점에서 바다쪽으로 [eqn: x sqrt {3} ` rm m`] 떨어져 있는 배에서 출발하여
두 해안 도로를 차례대로 한 번씩 거쳐 다시 배로 되돌아오는 수영코스의 최단길이가 [eqn: 300`rmm`]일 때, [eqn: x`]의 값을 구하시오.
(단, 배는 정지해 있고, 두 해안 도로는 일직선 모양이며 그 폭은 무시한다.) [4점]

[eqn: 60 DEG]

해안 도로

해안 도로

[eqn: bold{x sqrt {3} ` rm m it}]

30. 그림과 같이 세 지점 [eqn: rmA`,``B`,``C`]를 꼭짓점으로 하고 각 [eqn: rmA`]가 [eqn: 90 DEG]인 직각삼각형 모양의 도시가 있다. 두 지점 [eqn: rm A`,``B`] 사이의 거리는 [eqn: 6 rm `km`]이고 두 지점 [eqn: rm A`,``C`] 사이의 거리는 [eqn: 8` rm km`]이다.   [eqn: rm B`]지점과 [eqn: rm C`]지점에 전파의 수신 반경이 각각 [eqn: 4` rm km`], [eqn: 6` rm km`]인 기지국이 설치되어 있다. 이 도시 내부에 전파의 수신 반경이 최소인 기지국 하나를 새로 설치하여 전파가 수신되지 않는 지역이 없도록 할 때, 새로 설치하는 기지국의 위치는 [eqn: rmB]지점에서 [eqn: {sqrt {k}} over {5} ` rm km`] 떨어진 지점이다. [eqn: k`]의 값을 구하시오.
(단, 기지국의 높이는 무시하고 모든 지점과 기지국은 동일 평면 위에 있으며, 전파의 수신 반경은 기지국을 중심으로 전파가 수신되는 원모양 지역의 반지름의 길이를 의미한다.)                                                          [4점]

[eqn: bold{8` rm km}]

[eqn: bold{6` rm km}]

[eqn: bold{rm A}]

[eqn: bold{rm B}]

[eqn: bold{rm C}]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.