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2015학년도 수능 해설

수학 영역(A형)

2014년 11월 13일(목) 시행

2015학년도 대학수학능력시험 해설

2교시  <수학 영역>

전국모의고사 전문  비상

￭ 본 해설은 비상 모의고사 출제개발부

교과 연구팀에서 작성한 자료입니다.

수학 영역_A형

1. ①	2. ⑤	3. ④	4. ③	5. ④

6. ③	7. ②	8. ④	9. ②	10. ③

11. ①	12. ②	13. ③	14. ①	15. ⑤

16. ⑤	17. ④	18. ②	19. ⑤	20. ①

21. ⑤	22. [eqn: 7]	23. [eqn: 11]	24. [eqn: 54]	25. [eqn: 20]

26. [eqn: 12]	27. [eqn: 5]	28. [eqn: 33]	29. [eqn: 16]	30. [eqn: 120]

1. 지수와 지수함수	①

정답

[eqn: 5 times 8 ^{{ 1} over { 3}} = 5 times (2^3 ) ^{1over3} = 5 times 2 ^{3 times 1over3} = 5 times 2 =10]

2. 행렬과 그래프	⑤

정답

[eqn: A+B = pmatrix{``1&&1``#``0&&2``} + pmatrix{``1&&1``#``3&&0``} = pmatrix{``2&&2``#``3&&2``}]

따라서 행렬 [eqn: A+B]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+2+3+2=9]이다.

3. 수열의 극한	④

정답

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 4n^2 +6} over { n^ 2 +3n} } = lim _{ n`->`inf} { { 4 + 6 over n^2} over { 1 + 3 overn } } = { 4+0} over { 1+0}=4]

4. 행렬과 그래프	③

정답

주어진 그래프의 꼭짓점이 [eqn: 5]개, 변이 [eqn: 6]개이므로

그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는

행렬은 [eqn: 5 times 5]행렬이고 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수가

[eqn: 6times 2 =12]이다.

따라서 행렬의 성분 중 [eqn: 0]의 개수는

[eqn: 25-12 =13]이다.

5. 수열	④

정답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r`(r>0)]라 하면 [eqn: a_1 =3]이므로

[eqn: a _{5} =a _{1} r ^{4} =3r ^{4} =48]

따라서 [eqn: r^4 = 16], [eqn: r =2] [eqn: ( because```r>0)]

[eqn: therefore```][eqn: a _{3} =a _{1} r ^{2} =3 TIMES 2 ^{2} =12]

6. 다항함수의 적분법	③

정답

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { (2x+a ) dx} = left[x^2 +ax right]_0^1]

[eqn: =1+a=4]

[eqn: therefore```][eqn: a=3]

7. 확률	②

정답

다항식 [eqn: (x+a)^6]의 전개식에서 일반항은

[eqn: ` _{6} {rm C} it _{r} (x) ^{6-r} (a) ^{r} = _{6} rm C it rm _{r} TIMES a ^{r} TIMES x ^{6-r} ``(r=0,``1,`` CDOTS ,``6)]

[eqn: x^4]항은 [eqn: 6-r =4]에서 [eqn: r=2]일 때이므로

[eqn: ` _{6} rm C it rm _{2} TIMES `a ^{2} = {6 TIMES 5} over {2 TIMES 1} TIMES a ^{2} =15a ^{2} =60]

[eqn: a^2 =4]이므로 [eqn: a =2] [eqn: (because```a>0)]

8. 함수의 극한과 연속	④

정답

[eqn: lim _{ x`->`-0} { f(x) } ``+ lim _{ x`->`1+0} { f(x)}=2+2=4]

9. 수열	②

정답

[eqn: a_1 =S_1 = 1 over2]

[eqn: a_n][eqn: = S_n - S_n-1]
[eqn: = { n} over { n+1} - { n-1} over { n}][eqn: = { 1} over { n(n+1)}`(n ge2 )]

[eqn: therefore```][eqn: a_4 = { 1} over { 4 times 5 } = { 1} over { 20}]

10. 로그와 로그함수	③

정답

[eqn: P_A`][eqn: = 20 `log` 255 - 10 `log` E_A]

[eqn: P_B`][eqn: = 20`log`255 - 10`log` E_B]
[eqn: =20`log`255 - 10`log`100E_A]
[eqn: =20`log`255 - 10`(2+log`E_A )]

[eqn: therefore```][eqn: P_A - P_B][eqn: = (20`log`255 - 10`log`E_A )]

[eqn: - (20`log`255 -20-10`log`E_A )]

[eqn: =20`log`255 - 10`log`E_A]

[eqn: - 20`log`255 +20+10`log`E_A]

[eqn: =20]

11. 수열의 극한	①

정답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{2} =a _{1} r=3r=1]에서 [eqn: r = { 1} over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: a _{n} =3 TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} =3 ^{-n+2}]

[eqn: therefore```][eqn: (a _{n} ) ^{2} =(3 ^{-n+2} ) ^{2} =3 ^{-2n+4} =81 TIMES LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{n}]

따라서 수열 [eqn: left{a_n ^{````2} right}]은 첫째항이 [eqn: 9], 공비가 [eqn: { 1} over { 9}]인 등비수열이다.

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}(a_ n )^2 = { 9} over { 1 - 1over9} = { 9} over { 8over9} = { 81} over { 8}]

12. 통계	②

정답

토마토 모종을 심은 지 [eqn: 3]주가 지났을 때

토마토 줄기의 길이를 확률변수 [eqn: X]라 하면

[eqn: X sim \N (30,~2^2 )]이다.

[eqn: therefore```][eqn: {\P}(27 le X le 32 )][eqn: = rm P it LEFT ( {27-30} over {2} LEQ Z LEQ {32-30} over {2} RIGHT )]
[eqn: = rm P it (-1.5 LEQ Z LEQ 1)]
[eqn: = rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.5)]

[eqn: + rm P it (0 LEQ Z LEQ 1)]

[eqn: = 0.4332+0.3413]

[eqn: =0.7745]

13. 행렬과 그래프	③

정답

[eqn: A` pmatrix{0#f(a)} = pmatrix{``2&&1``#``0&&3``} pmatrix{0#f(a)} = pmatrix{f(a) # 3f(a)} = pmatrix{``0``#0}]

에서 [eqn: f(a)=0]이다.

함수 [eqn: f(a)= a(a+1)(a-4)=0]일 때,

[eqn: a=0,~-1,~4]이므로

구하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: 0+(-1)+4=3]이다.

14. 다항함수의 미분법	①

정답

직선 [eqn: y =5x+k]와 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나려면 직선 [eqn: y = 5x+k]와 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 접해야 한다. 이때 접점을 [eqn: {\P}(a,~f(a) )]라 하면

[eqn: f(x)= x(x+1)(x-4)=x^3 -3x^2 -4x]

[eqn: f`'(x) = 3x^2 -6x-4]이므로

점 [eqn: \P]에서 그은 접선의 기울기가 [eqn: f`'(a) = 3a^2 -6a-4]이다.

직선의 기울기가 [eqn: 5]이므로

[eqn: 3a^2 -6a -4=5], [eqn: 3a^2 -6a-9=0]

[eqn: 3(a+1)(a-3)=0]

[eqn: THEREFORE ~a=-1] 또는 [eqn: a=3]

(ⅰ) [eqn: a=-1]일 때

[eqn: f(-1)=-1-3+4=0]이므로

직선 [eqn: y =5x+k]가 점 [eqn: \P(-1,~0)]를 지나야 한다.

따라서 [eqn: -5+k=0], [eqn: k=5]

(ⅱ) [eqn: a=3]일 때,

[eqn: f(3)=27-27-12=-12]이므로

직선 [eqn: y =5x+k]가 점 [eqn: \P(3,~-12)]를 지나야 한다.

따라서 [eqn: 15+k =-12], [eqn: k=-27]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 양수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 5]이다.

15. 지수와 지수함수	⑤

정답

[eqn: LEFT ( 1over5 RIGHT )^1-2x le 5^{x+4}]

[eqn: (5)^{-1+2x} le 5^{x+4}]에서 밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: -1+2x le x+4], [eqn: x le 5]

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 1+2+3+4+5=15]이다.

16. 확률	⑤

정답

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B ^{C} `)= rm P it (A)- rm P it (A SMALLINTER B`)]

[eqn: = {1} over {3} - {1} over {8} = {5} over {24}]

이므로

[eqn: {\P}(B^C`` |`A ) = { {\P}(A cap B^C`)} over { {\P}(A)} = { 5 over24} over { 1over3} = { 5} over { 8}]

17. 수열	④

정답

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{2k-1} =3n ^{2} +n]에서

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} =3+1=4]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{2} a _{2k-1} =a _{1} +a _{3} =4+a _{3} =14]

[eqn: THEREFORE ~a _{3} =10]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} =a _{1} +2d=4+2d=10]이므로 [eqn: d=3]

[eqn: THEREFORE ~a _{8} =a _{1} +7d=4+7 TIMES 3=25]

18. 확률	②

정답

[eqn: cases{x+y+z+3w=14&&cdots cdots㉠#x+y+z+w=10&&cdots cdots㉡}]

[eqn: ㉠-㉡]을 하면 [eqn: 2w=4], [eqn: w=2]이므로

[eqn: cases{x+y+z+6=14#x+y+z+2=10}]에서

[eqn: x+y+z=8]이다.

따라서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (x,~y,~z,`w)]의 개수는

방정식 [eqn: x+y+z=8]을 만족시키는 음이 아닌 정수

[eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,~y,~z)]의 개수와 같다.

즉, 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 8]개를 택하는 중복조합의 개수와 같다.

[eqn: therefore```][eqn: `_3+8-1 \C _8 = _10 C_8 = _10 C_2 = { 10times9} over { 2 times1} = 45]

19. 행렬과 그래프	⑤

정답

ㄱ. (참) [eqn: A^2 - AB =3E]에서 [eqn: A(A-B` )=3E]이므로

[eqn: A^-1 = { 1} over { 3} (A-B`)]이다.

ㄴ. (참) [eqn: A^2 - AB =3E]에서 양변의 왼쪽에 각각

[eqn: A^-1]을 곱하면 [eqn: A-B =3A^-1]	…… ㉠

식 ㉠의 양변의 오른쪽에 각각 행렬 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A^2 -BA =3E]이다.

따라서 [eqn: A^2 -AB =A^2 -BA]

[eqn: therefore```][eqn: AB=BA]

ㄷ. (참) [eqn: A^2 - AB =3E]	…… ㉡

㉡의 양변의 왼쪽에 각각 행렬 [eqn: B]를 곱하면

[eqn: A^2 B -AB^2 =3B]

이때, [eqn: AB=BA]이므로

[eqn: A^2 B - AB^2 =A^2 B -B^2 A =A+B]

이다.

따라서 [eqn: 3B =A+B], [eqn: A=2B]	…… ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면 [eqn: 4B^2 -2B^2 =2B^2 =3E]

[eqn: therefore```][eqn: (A+2B)^2][eqn: = (4B)^2 =16B^2 =8 times 2B^2]
[eqn: = 8 times 3E =24E]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

20. 다항함수의 적분법	①

정답

함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{ -a} ^{a } { f(x)dx} = 2 int _{ 0} ^{a } { f(x)dx} =13]이다.

[eqn: therefore```][eqn: int _{ 0} ^{a } { f(x) dx= { 13} over { 2} }]

[eqn: int _{ 0} ^{3 } { f(x)dx} `= (3+1) times 1 times { 1} over { 2} =2]이고

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+3) = f(x)]이므로

함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 주기가 [eqn: 3]이다. 따라서

[eqn: int _{ 0} ^{3 } { f(x)dx} = int _{ 3} ^{6 } { f(x)dx} = int _{ 6} ^{9 } { f(x)dx} = cdots]

[eqn: therefore```][eqn: int _{ 0} ^{9 } { f(x)dx}][eqn: = int _{ 0} ^{3 } { f(x)} + int _{ 3} ^{6 } { f(x)} + int _{ 6} ^{ 9} { f(x)dx}]
[eqn: =2+2+2=6]

[eqn: 13 over2 = 6 + int _{ 9} ^{a } { f(x)dx}]에서 [eqn: int _{ 9} ^{ a} { f(x)dx = 1over2}]

[eqn: therefore```][eqn: a=10]

21. 다항함수의 미분법	⑤

정답

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c` LEFT ( a,~b,~c는`상수 RIGHT )]라 하면

[eqn: f`'(x) =3x^2 +2ax+b]

(나)에서 [eqn: f(0)=f`'(0)]이므로 [eqn: b=c]이다.

[eqn: g(x) =f(x) - f`'(x)]라 하면

[eqn: g(x)][eqn: = x^3 +ax^2 +bx+b-3x^2 -2ax-b]
[eqn: =x^3 +(a-3)x^2 +(b-2a)x]

[eqn: g(0)=0]이고

(다)에서 [eqn: x ge-1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: rmO]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: g(x)ge0]이므로

[eqn: g(-1)][eqn: =-1 +(a-3) -(b-2a)]
[eqn: = 3a-b-4 ge0]	…… ㉠

따라서 함수 [eqn: g(x)]의 그래프의 개형이 다음과 같다.

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 가지므로

[eqn: g`'(x) = 3x^2 +2(a-3)x +(b-2a)]에서

[eqn: g`'(0) = b-2a=0]

[eqn: therefore```][eqn: b=2a]	…… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: 3a-2a-4 ge0]

[eqn: therefore```][eqn: a ge 4]

[eqn: f(2) = 8+4a+4a+2a]

[eqn: =10a+8][eqn: ge 10 times 4 +8][eqn: =48]

22. 함수의 극한과 연속	[eqn: 7]

정답

[eqn: lim _{ x`->`0} { { x(x+7)} over { x} } = lim _{ x`->`0} { (x+7)}=7]

23. 함수의 극한과 연속	[eqn: 11]

정답

함수 [eqn: f(x) = cases{2x+10&& (x<1)#x+a&& ( x ge 1)}]

가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면

[eqn: x=1]일 때 연속이면 된다.

[eqn: lim _{ x`->`1+0} { f(x)} = lim _{ x`->`1-0} { f(x)} = f(1)]

[eqn: 1+ a=12]

[eqn: therefore```][eqn: a=11]

24. 수열의 극한	[eqn: 54]

정답

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}(a_n +5b_n )][eqn: = sum _{ n=1} ^{ inf}a_n + 5 sum _{ n=1} ^{ inf}b_n]

[eqn: =4+ 5 times10 = 54]

25. 통계	[eqn: 20]

정답

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {\B} LEFT ( n,~ 1over3 RIGHT )]을 따르므로

[eqn: {\V}(3X ) = 9{\V} (X) = 9 times n times { 1} over { 3} times { 2} over { 3} = 40]

[eqn: 2n=40]

[eqn: therefore```][eqn: n=20]

26. 다항함수의 적분법	[eqn: 12]

정답

[eqn: f`'(x) = 6x^2 +4]이므로

[eqn: f(x)][eqn: = int _{} ^{} {f` prime (x)dx} = int _{} ^{} {LEFT ( 6x ^{2} +4 RIGHT ) `dx}]
[eqn: = 2 x^3 +4x+C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

이때, 함수 [eqn: y =f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (0,~6)]을 지나므로

[eqn: f(0)=C=6]이다.

[eqn: therefore```][eqn: f(x) =2x^3 +4x+6]

[eqn: therefore```][eqn: f(1) = 2+4+6=12]

27. 통계	[eqn: 5]

정답

구간 [eqn: [`0,~3`]]의 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수 [eqn: X]에 대하여

[eqn: {\P}(0 le X le 3) = 3k +3 times 2k times { 1} over { 2} = 6k =1]

[eqn: therefore```][eqn: k = 1over6]

따라서 [eqn: {\P}(0 le X le 2 )][eqn: = LEFT ( 1over 6 + 1over2 RIGHT ) times2 times { 1} over { 2}][eqn: = { 2} over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: p=3], [eqn: q=2]

[eqn: THEREFORE ```p+q=5]

28. 수열의 극한	[eqn: 33]

정답

(ⅰ) [eqn: 1le k le 5]일 때 [eqn: 6 over k >1]이므로

[eqn: a_k = lim _{ n`->`inf} { { LEFT ( 6 over k RIGHT )^n+1 } over { LEFT ( 6 over k RIGHT )^n +1 } } = lim _{ n`->`inf} { { 6 over k} over { 1 + { 1} over { LEFT ( 6 over k RIGHT )^n } } } = { 6 over k} over { 1+0} = 6 over k]

(ⅱ) [eqn: k =6]일 때 [eqn: 6 over k =1]이므로

[eqn: a_k = lim _{ n`->`inf} { { LEFT ( 6 over k RIGHT )^n+1 } over { LEFT ( 6 over k RIGHT )^n +1 } } = { 1} over { 1+1} = 1over2]

(ⅲ) [eqn: k ge 7]일 때 [eqn: 0 < 6 over k <1]이므로

[eqn: a_k = lim _{ n`->`inf} { { LEFT ( 6 over k RIGHT )^n+1 } over { LEFT ( 6 over k RIGHT )^n +1} } = { 0} over { 0+1}=0]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 10}k `a_k][eqn: = LEFT ( 1 TIMES {6} over {1} RIGHT ) + LEFT ( 2 TIMES {6} over {2} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( 5 TIMES {6} over {5} RIGHT ) +6 TIMES {1} over {2}]
[eqn: = 6 times 5 +3 =33]

29. 다항함수의 미분법	[eqn: 16]

정답

[eqn: g(x) = (x^3 +2)f(x)]

[eqn: g`'(x) = 3x^2 f(x) +(x^3 +2)f`'(x)]

[eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 24]를 가지므로

[eqn: g(1)= 3f(1) = 24]

[eqn: therefore```][eqn: f(1) = 8]

[eqn: g`'(1) = 3f(1)+3f`'(1)=24+3f`'(1)=0]

[eqn: therefore```][eqn: f`'(1)=-8]

[eqn: therefore```][eqn: f(1)-f`'(1)=8-(-8)=16]

30. 로그와 로그함수	[eqn: 120]

정답

삼각형 [eqn: \OAB]의 넓이를 [eqn: S]라 하자.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: \A(-2,~3)]이므로

[eqn: S][eqn: = LEFT { (3+b) TIMES (a+2) RIGHT } TIMES {1} over {2} - {1} over {2} ab-3]
[eqn: = 3over2 a + b le 50]	…… ㉠

[eqn: b ge log_2 `a], [eqn: a ge 2^b]	…… ㉡

㉠, ㉡을 모두 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 다음과 같다.

[eqn: (2,~1)], [eqn: (3,~1)], [eqn: (4,~1)], [eqn: cdots], [eqn: (32,~1)] : [eqn: 31]개

[eqn: (4,~2)], [eqn: (5,~2)], [eqn: (6,~2)], [eqn: cdots], [eqn: (32,~2)] : [eqn: 29]개

[eqn: (8,~3)], [eqn: (9,~3)], [eqn: (10,~3)], [eqn: cdots], [eqn: (31,~3)] : [eqn: 24]개

[eqn: (16,~4)], [eqn: (17,~4)], [eqn: (18,~4)], [eqn: cdots], [eqn: (30,~4)] : [eqn: 15]개

[eqn: b ge 5]일 때는 만족하지 않는다.

[eqn: THEREFORE ```f(1)=31+29+24+15=99]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: \A(-2,~9)]이므로

[eqn: S][eqn: = LEFT { (9+b) TIMES (a+2) RIGHT } TIMES {1} over {2} - {1} over {2} ab-9]
[eqn: = 9 over2 a +b le 50]	…… ㉢

㉡, ㉢을 모두 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 다음과 같다.

[eqn: (2,~1)], [eqn: (3,~1)], [eqn: (4,~1)], [eqn: cdots], [eqn: (10,~1)] : [eqn: 9]개

[eqn: (4,~2)], [eqn: (5,~2)], [eqn: (6,~2)], [eqn: cdots], [eqn: (10,~2)] : [eqn: 7]개

[eqn: (8,~3)], [eqn: (9,~3)], [eqn: (10,~3)] : [eqn: 3]개

[eqn: b ge 4]일 때는 만족하지 않는다.

[eqn: therefore```][eqn: f(2)=9+7+3=19]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: \A(-2,~27)]이므로

[eqn: S][eqn: = LEFT { (27+b) TIMES (a+2) RIGHT } TIMES {1} over {2} - {1} over {2} ab-27]
[eqn: = 27 over2 a +b le 50]	…… ㉣

㉡, ㉣을 모두 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 다음과 같다.

[eqn: (2,~1)], [eqn: (3,~1)] : [eqn: 2]개

[eqn: b ge 2]일 때는 만족하지 않는다.

[eqn: therefore```][eqn: f(3)=2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: f(1)+f(2)+f(3) = 99+19+2=120]

수학 영역_B형

1. ⑤	2. ③	3. ①	4. ②	5. ④

6. ③	7. ①	8. ②	9. ②	10. ①

11. ⑤	12. ①	13. ③	14. ④	15. ④

16. ⑤	17. ③	18. ⑤	19. ②	20. ④

21. ①	22. [eqn: 26]	23. [eqn: 8]	24. [eqn: 25]	25. [eqn: 20]

26. [eqn: 220]	27. [eqn: 12]	28. [eqn: 96]	29. [eqn: 9]	30. [eqn: 39]

수학 영역(B형)

1. 행렬과 그래프	⑤

정답

[eqn: A+B = pmatrix{``1&&1``#``0&&2``} + pmatrix{``1&&1``#``3&&0``} = pmatrix{``2&&2``#``3&&2``}]

따라서 행렬 [eqn: A+B]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+2+3+2=9]이다.

2. 함수의 극한과 연속	③

정답

[eqn: lim _{x` -> `0} {{ln(1+x)} over {3x}} = lim _{x` -> `0} {{1} over {3} TIMES {ln(1+x)} over {x}}]

[eqn: ```= {1} over {3} TIMES 1= {1} over {3} `]

3. 삼각함수	①

정답

[eqn: f(x)][eqn: = sin x + sqrt { 7} `cos x - sqrt { 2}]
[eqn: = 2 sqrt { 2} `sin (x+alpha) - sqrt { 2}]

[eqn: LEFT ( 단,~cos alpha = {sqrt {2}} over {4} ,~sin alpha = {sqrt {14}} over {4} RIGHT )]

이때, [eqn: -1 le sin (x+alpha) le 1]이므로

함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 2sqrt { 2} - sqrt { 2} = sqrt { 2}]이다.

4. 적분법	②

정답

[eqn: int _{0} ^{1} {3 sqrt {x} dx} = int _{0} ^{1} {3x ^{{1} over {2}} `dx=} LEFT [ 3 TIMES {2} over {3} TIMES x ^{{3} over {2}} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: ``=3 TIMES {2} over {3} TIMES 1=2]

5. 공간도형과 공간좌표	④

정답

두 점 [eqn: {\A}(2,~a,```-2)], [eqn: {\B}(5,```-3,~b)]에 대하여 선분 [eqn: \AB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점은

[eqn: LEFT ( { 2 times 5 + 1 times 2} over { 2+1},~ { 2 times (-3) +1 times a} over {2+1 },~ { 2 times b +1 times (-2)} over { 2+1} RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 12 over3 ,~ { -6+a} over {3 },~ { 2b-2} over {3 } RIGHT )]

이때, 이 점이 [eqn: x]축 위에 있으므로

[eqn: { -6+a} over { 3} =0], [eqn: { 2b-2} over { 3} =0]

[eqn: -6+a =0], [eqn: 2b-2=0]

[eqn: therefore```][eqn: a=6], [eqn: b=1], [eqn: a+b=7]

6. 일차변환과 행렬	③

정답

합성변환 [eqn: f circ g]를 나타내는 행렬이

[eqn: pmatrix { ``2& &1`` # ``4& &2`` } pmatrix{``2&&```````0``#``1&&-1``} =pmatrix{``5&&-1``#``10&&-2``}]이므로

[eqn: pmatrix{``5&&-1``#``10&&-2``} pmatrix{``1``#2} =pmatrix{``a``#6}], [eqn: pmatrix{``3``#6} =pmatrix{``a``#6}]

[eqn: therefore```][eqn: a=3]

7. 수열의 극한	①

정답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{2} =a _{1} r=3r=1]에서 [eqn: r = { 1} over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: a _{n} =3 TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} =3 ^{-n+2}]

[eqn: therefore```][eqn: (a _{n} ) ^{2} =(3 ^{-n+2} ) ^{2} =3 ^{-2n+4} =81 TIMES LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{n}]

따라서 수열 [eqn: left{a_n ^{````2} right}]은 첫째항이 [eqn: 9], 공비가 [eqn: { 1} over { 9}]인 등비수열이다.

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}(a_ n )^2 = { 9} over { 1 - 1over9} = { 9} over { 8over9} = { 81} over { 8}]

8. 확률	②

정답

두 사건 [eqn: A^C]과 [eqn: B]가 서로 배반사건이므로

[eqn: A^C cap B = phi], 즉 [eqn: A SUPERSET B]이다.

따라서 [eqn: {\P} (A cap B^C`)][eqn: = {\P} (A-B`) = {\P}(A)- {\P}(B`)]
[eqn: =2{\P}(B`) - {\P}(B`) = {\P}(B`)]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {3} over {5} = {3} over {10}]

9. 적분법	②

정답

[eqn: lim _{ n`->`inf} { sum _{ k=1} ^{ n} f LEFT ( 1 + 2k over n RIGHT ) 2 over n}][eqn: = int _{ 1} ^{3 } { f(x)dx}][eqn: = int _{ 1} ^{3 } { 1 over x dx } = left [ ln x right]_1^3]
[eqn: = ln 3 - ln1 = ln 3]

10. 이차곡선	①

정답

포물선 [eqn: y^2 = 12x]의 초점 [eqn: \F]가 [eqn: \F(3,~0)]이고, 준선의 방정식인 [eqn: x=-3]이고, [eqn: bar{rmAC}=4]이므로 점 [eqn: \A]의 [eqn: x]좌표가

[eqn: 1]이다. 따라서 [eqn: y^2 = 12]에서  [eqn: y=±2 sqrt {3}]이므로 점 [eqn: \A]의 좌표는 [eqn: rm (1,~2 sqrt {3} )]이다.

두 점 [eqn: \A(1,~2 sqrt { 3})], [eqn: \F(3,~0)]을 지나는 직선의 방정식이

[eqn: y = { -2 sqrt { 3} } over { 3-1} (x-3) = - sqrt { 3}(x-3)]	…… ㉠

이므로 ㉠을 포물선 [eqn: y^2 = 12x]에 대입하면

[eqn: left{- sqrt { 3} (x-3) right}^2 = 12x], [eqn: 3(x-3)^2 =12x]

[eqn: 3x^2 - 30x +27 =0], [eqn: 3(x-1)(x-9)=0]

[eqn: therefore```][eqn: x=1] 또는 [eqn: x=9]

따라서 점 [eqn: \B]의 좌표는 [eqn: rm (9,~6 sqrt {3} )]이다.

[eqn: rm THEREFORE ~ bar{BD} =9-(-3)=12]

11. 통계	⑤

정답

어느 공장에서 생산되는 과자 [eqn: 1]봉지의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X sim {\N} (75,~2^2 )]이다.

[eqn: therefore```][eqn: {\P}(76 le X le 78)]
[eqn: ={\P} LEFT ( 76-75 over2 le Z le 78-75 over2 RIGHT )]
[eqn: ={\P} (0.5 le Z le 1.5)][eqn: = {\P} (0 le Z le 1.5) - {\P} (0le Z le0.5)]
[eqn: =0.4332-0.1915][eqn: =0.2417]

12. 공간도형과 공간좌표	①

정답

[eqn: RMP]

[eqn: RMB]

[eqn: RMA]

[eqn: RMM]

[eqn: rm bar AB]의 중점을 [eqn: \M]이라 하자.

[eqn: rm bar PA = bar PB = bar AB]이므로

[eqn: rm bar PM bot bar AB]이고 [eqn: rm bar PH bot alpha]이므로 삼수선 정리에 의해 [eqn: rm bar HM bot bar AB] 또한, [eqn: rm bar PH bot alpha]이므로 [eqn: rm bar AH bot bar PH]

[eqn: therefore```][eqn: rm {bar AH}^2 = {bar PA}^2 - {bar PH}^2 = 6^2 -4^2 =36-16=20]

이때, [eqn: rm bar AM = { bar AB} over { 2} =3]이므로

[eqn: rm bar HM = sqrt { {bar AH}^2 - {bar AM}^2} = sqrt { 20-9} = sqrt { 11}]

13. 수열의 극한	③

정답

[eqn: a>3]이므로 [eqn: a over3 >1]이다.

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { { LEFT ( a over3 RIGHT ) ^n+k} over { LEFT ( a over3 RIGHT ) ^n+1 +1 } } = lim _{ n`->`inf} { { LEFT ( a over3 RIGHT )^k-1 } over { 1 + { 1} over { { LEFT ( a over3 RIGHT )^n+1 } } } = LEFT ( a over3 RIGHT )^{k-1}]

이때, 두 곡선 [eqn: y =a^x-1]과 [eqn: y =3^x]의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: k]이므로

[eqn: a^k-1 = 3^k], [eqn: { a^k-1} over { 3^k}=1], [eqn: LEFT ( a over 3 RIGHT )^k-1 = 3]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { { LEFT ( a over3 RIGHT )^n+k } over { LEFT ( a over3 RIGHT ) ^n+1 +1} } = LEFT ( a over3 RIGHT )^k-1 = 3]

14. 미분법	④

정답

[eqn: f(x) =3^x], [eqn: g(x) = a^x-1]이라 하면

[eqn: f`'(x) = 3^x `ln 3], [eqn: g`'(x) = a ^x-1 `ln a]

곡선 [eqn: y =3^x]위의 점 [eqn: rm P LEFT ( itk,~3 ^{ k} RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y -3^k = (3^k ``ln 3 )(x-k)]이므로

[eqn: 0-3^k = (3^k ``ln3 )(x-k)]에서

[eqn: x-k = - { 1} over { ln 3}], [eqn: x = - { 1} over { ln 3} +k] 따라서 [eqn: {\A} LEFT ( { -1} over {ln 3 }+k,~0 RIGHT )]

곡선 [eqn: y = a^x-1]위의 점 [eqn: rm P LEFT (it k,~a ^{ k-1} RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-a ^{k-1} = LEFT ( a ^{k-1} `lna RIGHT ) (x-k)]이므로

[eqn: 0 - a^k-1 = LEFT ( a^k-1 `lna RIGHT )(x-k)]에서

[eqn: -{ 1} over { lna} = x-k], [eqn: x = k - { 1} over { lna}] 따라서 [eqn: rm B it = LEFT ( k- {1} over {lna} ,``0 RIGHT )]

점 [eqn: rmH LEFT ( ITk,~0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm bar{AH} = it k- LEFT ( {-1} over {ln3} +k RIGHT ) = {1} over {ln3}],

[eqn: rm bar{BH} = it k- LEFT ( k- {1} over {lna} RIGHT ) = {1} over {lna}]이고 [eqn: rm bar AH = 2 bar BH]이므로

[eqn: { 1} over { ln3} = { 2} over { ln a}], [eqn: ln3 = { lna} over { 2}], [eqn: lna = 2 ln 3]

[eqn: therefore```][eqn: a = 3^2 =9]

15. 확률	④

정답

이 학교의 남학생의 수를 [eqn: x]라 하면 여학생의 수는 [eqn: 320-x]

수학동아리에 가입한 남학생의 수는 [eqn: 0.6x]

수학동아리에 가입한 여학생의 수는 [eqn: 0.5(320-x)]이다.

따라서 수학동아리에 가입한 전체 학생 수는

[eqn: 0.6x +160-0.5x = 0.1x +160]이므로

[eqn: p_1 = { 0.6x} over { 0.1x +160}], [eqn: p_2 ={ 160-0.5x} over { 0.1x +160}]이다.

이때, [eqn: p_1 = 2 p_2]이므로 [eqn: { 0.6x} over { 0.1x +160} = { 320-x} over { 0.1x +160}]

[eqn: 0.6x = 320-x], [eqn: 1.6x =320]

[eqn: therefore```][eqn: x = { 320 } over { 1.6} = 200](명)

16. 행렬과 그래프	⑤

정답

ㄱ. (참) [eqn: A^2 - AB =3E]에서 [eqn: A(A-B` )=3E]이므로

[eqn: A^-1 = { 1} over { 3} (A-B`)]이다.

ㄴ. (참) [eqn: A^2 - AB =3E]에서 양변의 왼쪽에 각각

[eqn: A^-1]을 곱하면 [eqn: A-B =3A^-1]	…… ㉠

식 ㉠의 양변의 오른쪽에 각각 행렬 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A^2 -BA =3E]이다. 따라서 [eqn: A^2 -AB =A^2 -BA]

[eqn: therefore```][eqn: AB=BA]

ㄷ. (참) [eqn: A^2 - AB =3E]	…… ㉡

㉡의 양변의 왼쪽에 각각 행렬 [eqn: B]를 곱하면

[eqn: A^2 B -AB^2 =3B], [eqn: AB=BA]이므로

[eqn: A^2 B - AB^2 =A^2 B -B^2 A =A+B]이다.

따라서 [eqn: 3B =A+B], [eqn: A=2B]	…… ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면 [eqn: 4B^2 -2B^2 =2B^2 =3E]

[eqn: therefore```][eqn: (A+2B)^2][eqn: = (4B)^2 =16B^2 =8 times 2B^2]
[eqn: = 8 times 3E =24E]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

17. 수열	③

정답

[eqn: S_n+1][eqn: = a_n+1 +S_n][eqn: = (n+1) S_n +n! +S_n]
[eqn: =(n+2) S_n +n! ``(n ge 1)]

위 등식의 양변을 [eqn: (n+2)!]로 나누면

[eqn: { S_n+1} over { (n+2)!} = { S_n} over { (n+1)!} + { 1} over { (n+1)(n+2)}]이다.

[eqn: b_n = { S_n} over { (n+1)!}]이라 하면 [eqn: b_1 = { 1} over { 2}]이고

[eqn: b_n+1 = b_n + { 1} over { (n+1)(n+2)}]이므로

[eqn: b_n+1 - b_n = { 1} over { (n+1)(n+2)}]이다. 따라서

[eqn: b_n][eqn: =b_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1} { 1} over { (k+1)(k+2)}][eqn: = { 1} over { 2} + sum _{ k=1} ^{ n-1} LEFT ( 1 over k+1 - { 1} over {k+2 } RIGHT )]

[eqn: = { 1} over { 2} + left{ LEFT ( 1over2 - 1over3 RIGHT ) + LEFT ( 1over3 - 1over4 RIGHT ) +cdots + LEFT ( 1overn - 1over n+1 RIGHT ) right}]

[eqn: = { 1} over { 2} + { 1} over { 2} - { 1} over { n+1} =1 - { 1} over { n+1} = { n} over { n+1}`(n ge 2)]

[eqn: b_1 = { 1} over { 1+1} = { 1} over { 2}]이므로 [eqn: n=1]일 때도 성립한다.

[eqn: therefore```][eqn: b_n = { n} over { n+1}]

[eqn: S_n = b_n times (n+1)! = { n} over { n+1} times (n+1)! = n times n!]

[eqn: a_n][eqn: = S_n - S _n-1 = n times n! - (n-1)(n-1)!]
[eqn: =(n-1) ! left{n^2 - (n-1) right}]
[eqn: =][eqn: (n^2 -n+1)][eqn: (n-1)!`(n GEQ 2)]

[eqn: n=1]일 때도 성립하므로 [eqn: a_{ n}][eqn: =][eqn: (n-1)! `]

[eqn: (n^2 -n+1)]

[eqn: therefore```][eqn: f(n) =n], [eqn: g(n)=n^2 -n+1]

[eqn: therefore```][eqn: f(7) +g(6) = 7+6^2 - 6+1 =38]

18. 통계	⑤

정답

[eqn: bar {X``} = 2]인 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 2]의 숫자가 적혀있는 공만 [eqn: 2]번 꺼낸 경우

[eqn: { 2} over { 8} times { 2} over { 8} = { 4} over { 64}]

(ⅱ) [eqn: 1]의 숫자가 적혀있는 공과 [eqn: 3]의 숫자가 적혀있는 공을 한 번씩 꺼낸 경우

[eqn: { 1} over { 8} times { 5} over { 8} times 2 = { 10} over { 64}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: {\P} (bar{X``} = 2) = { 4} over { 64 } + { 10} over { 64} = { 14} over { 64} = { 7} over { 32}]

19. 벡터	②

정답

[eqn: rm vec AP bot vec PQ]이므로 [eqn: rm vec AP cdot vec AQ = |`vec AP`|^2 =6]

[eqn: l: {x} over {2} =6-y=z-6=t`(t>0)]라 놓으면

점 [eqn: {\A}(a,~b,~c)]가 직선 [eqn: l] 위에 있으므로

[eqn: a =2t], [eqn: b =6-t], [eqn: c =t+6]

[eqn: therefore```][eqn: rm | vecAP |^2][eqn: = (2t-2)^2 +(6-t-5)^2 +(t+6-7)^2]
[eqn: = 4t^2 -8t +4+t^2 -2t+1+t^2 -2t+1]
[eqn: = 6t^2 -12t+6=6]

[eqn: 6t(t-2)=0]   [eqn: therefore```][eqn: t = 2``(because``` t>0)]

따라서 [eqn: \A(4,~4,~8)]이다.

[eqn: therefore```][eqn: a+b+c = 4+4+8=16]

20. 함수의 극한과 연속	④

정답

[eqn: RMP]

[eqn: RMQ]

[eqn: RMO]

․

[eqn: rm bar AC]와 원이 내접하는 점을 [eqn: \P], 내접원의 중심을 [eqn: \O]라 하면

[eqn: rm bar AP = { 1} over {tan theta over2 }]이므로

[eqn: rm bar{AB} = {bar{rm AP}} over {cos theta } = {{1} over {tan {theta } over {2}}} over {cos theta } = {1} over {cos theta `tan {theta } over {2}} = rm bar{CB}]

한편, 점 [eqn: \C]에서 [eqn: rm bar AD]의 연장선에 그은 수선의 발을

[eqn: \Q]라 하면

[eqn: rm bar{CQ} =sin theta TIMES rm bar{AC}]

[eqn: =sin theta TIMES 2 TIMES rm bar{AP}][eqn: = {2sin theta } over {tan {theta } over {2}}]

[eqn: rm angle ADC = pi - 3 theta]이므로

[eqn: rm angle CDQ = pi -( pi- 3 theta ) = 3 theta]

[eqn: therefore```][eqn: rm bar{CD} = {rm bar{CQ}} over {sin3 theta } = {{2sin theta } over {tan {theta } over {2}}} over {sin3 theta }]

[eqn: = {2sin theta } over {tan {theta } over {2} `sin3 theta }]

[eqn: therefore```][eqn: S`( theta)][eqn: = { 1} over { 2} times rm bar CB times bar CD times sin theta]
[eqn: = { 1} over { 2} times { 1} over { cos theta `tan theta over2} times { 2 sin theta} over { tan theta over2 ` sin 3 theta} times sin theta]
[eqn: = { sin^2 theta} over { tan^2 theta over2 `cos theta` sin 3 theta}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ theta`->`+0} { left{ theta times S`( theta ) right}}]

[eqn: = lim _{theta -> +0} {} {theta `sin ^{2} theta } over {tan ^{2} {theta } over {2} `cos theta `sin3 theta }]

[eqn: = lim _{theta ` -> `+0} {LEFT { LEFT ( {sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( {{theta } over {2}} over {tan {theta } over {2}} RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {cos theta } TIMES {3 theta } over {sin3 theta } TIMES {4} over {3} RIGHT }}][eqn: = 1^2 times 1^2 times 1 times 1 times 4 over3 = 4 over3]

21. 수열	①

정답

두 점 [eqn: \B(1,~0)]과 [eqn: rm C it (2 ^{m,} `m)]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y = { m} over { 2^m -1} (x-1)]이므로

점 [eqn: \D]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2^n ,~ { m} over {2^m -1 } (2^n -1) RIGHT )]이다.

또한, (가)에서 점 [eqn: rm A]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 2 ^{ n},~0 RIGHT )]이므로

삼각형 [eqn: \ABD]의 넓이는

[eqn: rm bar AB times bar AD times { 1} over {2 }][eqn: = (2^n -1) times { m} over { 2^m -1} (2^n -1) times { 1} over { 2}]
[eqn: = { m(2^n -1)^2} over { 2(2^m -1)}]

이때, 삼각형 [eqn: \ABD]의 넓이는 [eqn: { m} over { 2}]보다 작거나 같으므로

[eqn: { m(2^n -1)^2} over { 2(2^m -1)} le m over2]

[eqn: { (2^n -1)^2} over { 2^m -1} le 1]

[eqn: (2^n -1)^2 le 2^m -1]

[eqn: n=1]일 때 자연수 [eqn: m]의 최솟값은 [eqn: 1]이므로 [eqn: a_1 =1]

[eqn: n=2]일 때 자연수 [eqn: m]의 최솟값은 [eqn: 4]이므로 [eqn: a_2 =4]

[eqn: n=3]일 때 자연수 [eqn: m]의 최솟값은 [eqn: 6]이므로 [eqn: a _{3} =6]

[eqn: vdots]

[eqn: n ge2]일 때 자연수 [eqn: m]의 최솟값은 [eqn: 2n]이다.

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ n=1} ^{ 10}a_n][eqn: =1+ (4+6+8+cdots+20)]
[eqn: = 1+ { 9 (4+20)} over { 2} = 1+108=109]

참고

[eqn: (2^n -1)^2 = 2^2n - 2^n+1 +1 le 2^2n -1 `` (n ge 2)]

22. 로그와 로그함수	[eqn: 26]

정답

[eqn: log_2 `(x+6) =5]

[eqn: x+6 = 2^5 =32]

[eqn: therefore```][eqn: x =26]

23. 미분법	[eqn: 8]

정답

[eqn: f(x) = cos x +4e^2x]

[eqn: f`'(x) = - sin x +2times 4e^2x]

[eqn: therefore```][eqn: f`'(0) = 0 + 2 times 4 =8]

24. 방정식과 부등식	[eqn: 25]

정답

[eqn: x^2 - 6x - sqrt { x^2 -6x-1} =3]에서 [eqn: x^2 -6x =t]로 놓으면

[eqn: t - sqrt { t-1}=3]	…… ㉠

[eqn: t -3 = sqrt { t-1}]

위 등식의 양변을 각각 제곱하면

[eqn: (t-3)^2 =t-1], [eqn: t^2 - 7t +10=0], [eqn: (t-2)(t-5)=0]

[eqn: therefore```][eqn: t=2] 또는 [eqn: t=5]

[eqn: t=2]를 ㉠에 대입하면 성립하지 않는다.

[eqn: therefore```][eqn: t=5]

[eqn: x^2 -6x =5], [eqn: x^2 -6x -5=0]

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: k =-5]

[eqn: therefore```][eqn: k^2 =25]

25. 로그와 로그함수	[eqn: 20]

정답

[eqn: P_A`][eqn: = 20 `log` 255 - 10 `log` E_A]

[eqn: P_B`][eqn: = 20`log`255 - 10`log` E_B][eqn: =20`log`255 - 10`log`100E_A]
[eqn: =20`log`255 - 10`(2+log`E_A )]

[eqn: therefore```][eqn: P_A - P_B][eqn: = (20`log`255 - 10`log`E_A )]

[eqn: - (20`log`255 -20-10`log`E_A )]

[eqn: =20`log`255 - 10`log`E_A]

[eqn: - 20`log`255 +20+10`log`E_A]

[eqn: =20]

26. 순열과 조합	[eqn: 220]

정답

(가)에서 [eqn: a times b times c]는 홀수이므로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 홀수이어야 한다.

또한, [eqn: 20]보다 작은 서로 다른 세 홀수를 선택하면 작은 수부터 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]다 되므로 구하는 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]의 개수는 [eqn: 10]개의 홀수 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 선택하는 중복조합의 수와 같다.

[eqn: therefore```][eqn: `_10 rm H_3 = _10+3-1 C_3 = _12 C_3 = { 12 times11 times 10 } over { 3 times 2 times 1} = 220]

27. 이차곡선	[eqn: 12]

정답

타원 [eqn: { x^2} over { 9} + { y^2} over { 4} =1]의 초점 [eqn: \F], [eqn: \F']의 좌표는

[eqn: rm F( sqrt { 5},~0)], [eqn: rm F' (- sqrt { 5},~0)]이므로 [eqn: bar{rmFF prime }=2 sqrt { 5}]

따라서 직각삼각형 [eqn: rm F' FP]에서 피타고라스정리에 의해

[eqn: rm {bar {F' P}}^2 + {bar FP}^2 = { bar {F' F} }^2 = 20]	…… ㉠

또한, 타원의 정의에 의해

[eqn: rm bar{ F' }P + bar FP = 6]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: rm bar{F' P} =4], [eqn: rm bar FP = 2] [eqn: ( BECAUSE ``` rm bar{F prime P} > bar{FP} )]

[eqn: rm bar PQ = bar FQ - bar FP = 6-2=4]이므로

[eqn: rm bar{F prime Q}][eqn: = rm sqrt {{ bar{F' P}}^2 + {bar PQ}^2} } = sqrt { 16+16} = sqrt { 32} = 4 sqrt { 2}]

따라서 [eqn: rm angle F' Q P= theta]라 하면

[eqn: sin theta = rm { bar{F' P}} over { bar {F' Q}} - { 4} over { 4 sqrt { 2} } = { 1} over { sqrt { 2} } = { sqrt { 2} } over { 2}]

[eqn: therefore```](삼각형 [eqn: rm QF'F]의 넓이)[eqn: = { 1} over { 2} times rm bar {F' Q} times bar FQ times sin theta]
[eqn: = { 1} over { 2} times 4 sqrt { 2} times 6 times { sqrt2} over { 2}][eqn: =12]

28. 적분법	[eqn: 96]

정답

[eqn: f(x) = int _{ 0} ^{x } { (a-t) e^t `dt}]

[eqn: f`'(x) = (a-x) e^x =0]에서

[eqn: x=a]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에 최댓값 [eqn: 32]를 갖는다.

[eqn: therefore```][eqn: f(a)][eqn: = int _{ 0} ^{a } { (a-t)e^t` dt}][eqn: = left[ (a-t)e^t right]_0^a - int _{ 0} ^{ a} { -e^t `dt}]   [eqn: =(0-a) - left[-e^t right ]_0^a][eqn: =-a - LEFT ( -e^a +1 RIGHT )]

[eqn: =-a+e ^{a} -1][eqn: = 32]

[eqn: therefore```][eqn: e^a -a=33]

곡선 [eqn: y =3e^x]과 두 직선 [eqn: x=a],

[eqn: y=3e ^{ x}]

[eqn: x=a]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=3]

[eqn: 3]

[eqn: rmO]

[eqn: y=3]으로 둘러싸인 부분은

오른쪽의 색칠한 부분과 같다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{ 0} ^{a } { 3e^x`dx} - 3a][eqn: = left[ 3e^x right]_0^a -3a]

[eqn: = 3e^a -3 -3a]

[eqn: = 3(e^a - a)-3]
[eqn: =3 TIMES 33-3=96]

29. 벡터	[eqn: 9]

정답

점 [eqn: \P(0,~5,~5)]를 지나는 평면을 [eqn: alpha],

평면 [eqn: alpha]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면

평면 [eqn: alpha]와 [eqn: xy]평면이 만나서 생긴 원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: pi]이므로

원 [eqn: C]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: pi times cos theta ``left( 0 le theta le pi over2 right)]이다.

따라서 이 정사영의 넓이가 최대가 되려면 [eqn: theta]의 값이 최소가 되어야 한다.

이때, 점 [eqn: \P]는 원 [eqn: C] 위의 점이므로 다음 그림과 같이 원 [eqn: C]가 생길 때가 [eqn: theta]가 최소일 때이다.

[eqn: C]

•

[eqn: RMO]

[eqn: xy]평면

구 [eqn: S]의 중심을 [eqn: \O], 원 [eqn: C]의 중심을 [eqn: \C]라 하면

[eqn: rm bar OP = 5 sqrt { 2}], [eqn: rm bar CP =1]이고[eqn: rm angle OCP = pi over2]이므로

[eqn: y]

[eqn: z]

[eqn: rm O]

•

[eqn: rm P]

[eqn: rm C]

•

[eqn: rm Q]

[eqn: theta]

[eqn: {pi } over {4}]

[eqn: beta]

[eqn: {pi } over {4}]

[eqn: rm bar OC = sqrt { 50-1} =7]이다.

따라서 [eqn: rm angle COP = beta]라 하면

[eqn: cos beta = rm {bar{OC}} over {bar{OP}}][eqn: = {7} over {5 sqrt {2}} = {7 sqrt {2}} over {10}]

[eqn: sin beta = rm { bar CP} over { bar OP} = { 1} over { 5 sqrt { 2} } = { sqrt2} over { 10}]

이때, 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발은 [eqn: rmQ LEFT ( 0, 5, 0 RIGHT )]라 하면

[eqn: rm angle POQ = pi over4]이므로

[eqn: theta = { pi - 2 beta} over { 2} - pi over4 = { 2pi - 4 beta - pi} over { 4} = pi over4 - beta]

따라서 [eqn: cos theta][eqn: = cos LEFT ( pi over 4 - beta RIGHT )][eqn: = cos { pi } over { 4} `cos beta + sin { pi} over { 4} `sin beta]
[eqn: = { 1} over { sqrt { 2} } times { 7 sqrt { 2} } over { 10} + { 1} over { sqrt { 2} } times { sqrt { 2} } over { 10}]
[eqn: = { 7} over { 10} + { 1} over { 10} = { 8} over { 10} = { 4} over { 5}]

이므로 구하는 정사영의 넓이의 최댓값은 [eqn: 4 over5 pi]이다.

[eqn: therefore```][eqn: p=5], [eqn: q=4], [eqn: p+q=9]

30. 미분법	[eqn: 39]

정답

[eqn: f(x) =e^x+1 -1], [eqn: |`f(x)`| = cases{e^x+1 -1 && (x ge -1)#-e^x+1 +1 && (x< -1 )}]

[eqn: -1]

[eqn: rm O]

[eqn: e-1]

[eqn: y= LEFT | f(x)RIGHT |]

[eqn: x]

[eqn: y]

이므로 함수 [eqn: y = |`f(x)`|]는 [eqn: x=-1]에서

미분가능하지 않다.

[eqn: f(x^k ) = e^{x^k +1} -1]에서

(ⅰ) [eqn: k=2m]([eqn: m]은 자연수)일 때

[eqn: f(x ^{k} )=f(x ^{2m} )][eqn: =e ^{x ^{2m} +1} -1]

이므로 함수 [eqn: f(x^k )]의 최솟값이 [eqn: e-1]이다.

즉, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 [eqn: f(x^k )>0]이므로 [eqn: |`f(x^k )`| = f(x^k )] ([eqn: k=2m,~m]은 자연수)

따라서 함수 [eqn: y =|`f(x^k )`|]([eqn: k]는 짝수)는

모든 실수 [eqn: x]에서 미분가능하다.

(ⅱ) [eqn: k = 2m-1]([eqn: m]은 자연수)일 때,

[eqn: f(x^k ) = f(x^2m-1 ) = e^{x^2m-1 +1}-1]이므로

[eqn: |`f(x^k )`|][eqn: =|`f(x^2m-1 )`|][eqn: = {cases{e ^{x ^{2m-1} +1} -1&(x GEQ -1)&#-e ^{x ^{2m-1} +1} +1&(x`<`-1)&}}]

따라서 함수 [eqn: y =|`f(x^k )`|]([eqn: k]는 홀수)는

[eqn: x=-1]에서 미분가능하지 않다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 함수 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서

미분가능하려면 [eqn: x=-1]에서 미분가능해야 한다.

① [eqn: x ge -1]일 때

[eqn: g(x)][eqn: = 100 (e^x+1 -1) - sum _{ k=1} ^{ n} LEFT ( e^{x^k +1 } -1 RIGHT )][eqn: = 100 (e^x+1 -1 ) - (e^x+1 -1) - (e^{x^2 +1 }-1)]

[eqn: - cdots- (e^{x^n +1}-1 )]

[eqn: g`'(x) = 100 cdot e^x+1 - e^x+1 - 2x cdot e^{x^2 +1}]

[eqn: - 3x^2 e^{x^3 +1}][eqn: - cdots][eqn: - nx^{n-1} cdot e^{x^n +1}]

[eqn: g`'(-1) = 100 -1 +2e^2 -3 +4e^2 - cdots]

[eqn: - n (-1)^n-1` e^{(-1)^n +1}]	…… ㉠

② [eqn: x< -1]일 때

[eqn: g(x)][eqn: =100 (-e^x+1 +1)][eqn: - left{ (-e^x+1 +1)][eqn: +(e^{x^2 +1}-1 )][eqn: +(-e^{x^3 +1}+1 )][eqn: +(e^{x^4 +1}-1 )][eqn: +(-e^{x^5 +1}+1)][eqn: +cdots+ (-1)^n (e^{x^n +1}-1 )right}]

[eqn: g`'(x) =100 cdot (-e^x+1 ) + e^{x+1} - 2x cdot e^{x^2 +1}]

[eqn: + 3x^2 cdot e^{x^ 3 +1}][eqn: -4x^3 cdot e^{x^4 +1}][eqn: + cdots][eqn: - (-1)^n cdot nx^n-1 cdot e^{{x^n}+1}]

[eqn: g`'(-1)][eqn: =cases{-100 +1+2e^2 +3+4e^2 +cdots+n e^2 &(n은 짝수)#&``````cdotscdots㉡#-100 +1+2e^2 +3+4e^2 +cdots+n&(n은 홀수)#&``````cdotscdots㉢}]

따라서 ①, ②에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=-1]에서

미분가능하려면 [eqn: n]이 짝수일 때, ㉠[eqn: =]㉡ 즉,

[eqn: 100-1+2e^2 -3+4e^2 - cdots+n e^2]

[eqn: =-100 +1+2e^2 +3 +4e^2 +Cdots +n e^2]

[eqn: 200 =2+6+cdots+2(n-1)]

[eqn: 100 = 1+3+5+cdots +(n-1)]

[eqn: therefore```][eqn: n=20]

[eqn: n]이 홀수일 때, ㉠[eqn: =]㉢ 즉,

[eqn: 100-1+2e^2 -3 +4e^2 - cdots-n]

[eqn: =-100 +1+2e^2 +3+4e^2 +cdots+n]

[eqn: 200 =2+6+cdots+2n], [eqn: 100 = 1+3+cdots+n]

[eqn: therefore```][eqn: n=19]

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 20+19=39]이다.