2013학년도 3월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 수학 영역 •

정 답

1	②	2	⑤	3	①	4	①	5	③
6	⑤	7	①	8	⑤	9	③	10	②
11	④	12	③	13	①	14	②	15	③
16	④	17	④	18	③	19	④	20	②
21	⑤	22	[eqn: 40]	23	[eqn: 3]	24	[eqn: 17]	25	[eqn: 18]
26	[eqn: 20]	27	[eqn: 25]	28	[eqn: 432]	29	[eqn: 120]	30	[eqn: 12]

해 설

1. [출제의도] 유리수의 사칙연산 계산하기

[eqn: {3} over {8} TIMES {2} over {9} ÷ LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {3} over {8} TIMES {2} over {9} TIMES 4= {1} over {3}]

2. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: 4x ^{2} +3x-1- LEFT ( 2x ^{2} -x-6 RIGHT ) =2x ^{2} +4x+5]

따라서 [eqn: x]의 계수와 상수항의 합은 [eqn: 9]

3. [출제의도] 인수분해 이해하기

[eqn: x ^{2} -11x+28= LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-7 RIGHT )]이므로 [eqn: a=4`]

4. [출제의도] 제곱근의 성질 이해하기

[eqn: a>0,```b<0`]이므로

[eqn: sqrt {a ^{2}} + sqrt {b ^{2}} `= LEFT | `a` RIGHT | + LEFT | `b` RIGHT | =a-b`= LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) - LEFT ( sqrt {3} -2 RIGHT ) =1]

5. [출제의도] 집합의 성질 이해하기

[eqn: A=B``]이므로 [eqn: a=5`,```a+b=20`]

따라서 [eqn: b=15``]

6. [출제의도] 경우의 수 계산하기

남학생 [eqn: 5]명 중에서 [eqn: 2]명을 뽑을 경우의 수는 [eqn: 10],

여학생 [eqn: 6]명 중에서 [eqn: 1]명을 뽑을 경우의 수는 [eqn: 6]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 10 TIMES 6``=60``]

7. [출제의도] 일차함수 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax+b`]라 하자. [eqn: x]의 값이 [eqn: 3]만큼 증가할 때, [eqn: y]의 값은 [eqn: 6]만큼 감소하므로 기울기 [eqn: a=`-2]이다.

[eqn: THEREFORE ````f(5)-f(2)=(-10+b)-(-4+b)=`-6]

8. [출제의도] 최소공배수 이해하기

[eqn: 24=2 ^{3} TIMES 3`]이므로 세 수의 최소공배수는 [eqn: 2 ^{3} TIMES 3 ^{2} TIMES 5 TIMES 7]

9. [출제의도] 삼각비 문제 해결하기

[eqn: ANGLE rm CBA it = ANGLE rm CDE it =x DEG `]이고 [eqn: bar{rm BC it} `=10`]이므로 [eqn: sin`x Deg= {3} over {5}]

10. [출제의도] 이차방정식 문제 해결하기

높이가 [eqn: 75]이므로 [eqn: 75`=`-5x ^{2} +30x+35`]

이 식을 정리하여 풀면 [eqn: `x=2``] 또는 [eqn: x=4`]

따라서 처음으로 도달하는 데 걸리는 시간은 [eqn: 2`]초

11. [출제의도] 이차함수 문제 해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`-5x ^{2} +30x+35`]이므로 [eqn: y= {1} over {5} f LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{2} +6x+7]

[eqn: x ^{2} -6x-7= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-7 RIGHT ) =0`]에서 [eqn: rm A LEFT ( 7,``0 RIGHT )]

[eqn: `y=`-x ^{2} +6x+7=`- LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +16`]에서 [eqn: rm B` LEFT ( 3,``16 RIGHT )]

[eqn: rm THEREFORE ```` TRIANGLE OAB= {1} over {2} TIMES 7 TIMES 16=56``]

12. [출제의도] 실수의 대소관계 문제 해결하기

[eqn: -0.1>`- sqrt {0.1} ``]이고 [eqn: sqrt {5} -1>3- sqrt {5} >1- sqrt {5}]이므로 도착할 장소는 체육관이다.

13. [출제의도] 이차함수의 그래프 이해하기

[eqn: y=ax+b``]에서 [eqn: a{<}0,] [eqn: b>0]

[eqn: y=a(x+b) ^{2}]의 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표가 [eqn: (-b,~0)]이므로 알맞은 그래프는 ①이다.

14. [출제의도] 사다리꼴의 넓이 문제 해결하기

사다리꼴 [eqn: rm ABCD``]의 넓이가 [eqn: 6x`]이므로 [eqn: 40 LEQ 6x LEQ 60`]  [eqn: THEREFORE ````` {20} over {3} LEQ x LEQ 10]

따라서 가능한 모든 자연수는 [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10]이고

개수는 [eqn: 4`]

15. [출제의도] 비례관계를 이용하여 삼각형의 넓이
추론하기

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm P`]

[eqn: rm F]

[eqn: rm TRIANGLE BPA=2 TRIANGLE BPD], [eqn: rm TRIANGLE BCP=3 TRIANGLE BFP]

[eqn: rm TRIANGLE BEA= TRIANGLE BCE]이고 [eqn: rm TRIANGLE PEA= TRIANGLE PCE]이므로

[eqn: rm TRIANGLE BPA= TRIANGLE BCP]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm 2 TRIANGLE BPD=3 TRIANGLE BFP]

따라서 [eqn: rm TRIANGLE BFP=` {2} over {3} TRIANGLE BPD=24]

16. [출제의도] 연립방정식 문제 해결하기

[eqn: 30]초짜리 광고가 [eqn: 3]개이므로

[eqn: {cases{```a`+```b``=``7``#```10a+20b``=``90``}}]

이 식을 풀면 [eqn: `a``=``5`,~b``=``2`]이므로 [eqn: a-b=3]

17. [출제의도] 피타고라스의 정리 추론하기

[eqn: rmG`]가 무게중심이므로 [eqn: bar{rm AG it} =2x`], [eqn: bar{rm CG it} =2y`]이고, 삼각형 [eqn: rm ADG], 삼각형 [eqn: rm CGE]가 직각삼각형이므로

[eqn: rm bar{AD} ` ^{2} =][eqn: `4x ^{2} +y ^{2}], [eqn: bar{rm CE it} ` ^{2} =`x ^{2} +4y ^{2}]이다. 한편 [eqn: rm bar{AD} = bar{BD} `], [eqn: rm bar{CE} = bar{BE} `]이므로 [eqn: rm bar{BD} ` ^{2} + bar{BE} ` ^{2} =][eqn: `5 LEFT ( `x ^{2} +y ^{2} ` RIGHT )]이다.

[eqn: a=2,``b=4,``c=5`]이므로 [eqn: a+b+c=11`]

18. [출제의도] 피타고라스의 정리 문제 해결하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm O]

[eqn: rm rmO']

[eqn: rmH`]

선분 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rm O]라 하고 선분 [eqn: rmAB], 호 [eqn: rm BC],
호 [eqn: rmAC]에 동시에 접하는 원 [eqn: rm O prime]의 반지름의 길이를 [eqn: r`], 중심에서 선분 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하자. [eqn: bar{rm BO prime it} =10-r`], [eqn: bar{rm BH it} =r`], [eqn: bar{rm HO it} =5-r`], [eqn: bar{rm OO prime it} =5+r`]이므로

[eqn: LEFT ( 10-r RIGHT ) ^{2} -r ^{2} = LEFT ( 5+r RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 5-r RIGHT ) ^{2} `]이다. [eqn: THEREFORE `r= {5} over {2}]

원의 넓이는 [eqn: {25} over {4} pi `]이므로 [eqn: p+q=29`]

19. [출제의도] 원에 내접하는 사각형 이해하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B]

[eqn: rm E]

[eqn: 72Deg]

[eqn: ANGLE rm BAD=72 DEG], [eqn: bar{rm AB it} = bar{rm AD it} `]이므로 [eqn: ANGLE rm ABD= ANGLE rm ADB=54 DEG]

사각형 [eqn: rm ABDE]가 원에 내접하므로

[eqn: ANGLE rm ABD+ ANGLE rm AED=180 DEG]   [eqn: THEREFORE ```` ANGLE rm AED`=126 DEG]

20. [출제의도] 평균과 분산 문제 해결하기

학생 [eqn: 10`]명의 평균은 [eqn: {6 TIMES 8+5+7} over {10} `=`6``]이다. [eqn: 8`]명과 [eqn: 10`]명의 평균이 일치하므로 학생 [eqn: 10]명의 분산은

[eqn: {4 TIMES 8+(5-6) ^{2`} `+(7-6) ^{2}} over {10} `=3.4]

21. [출제의도] 원주각 추론하기

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm P]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

ㄱ. [eqn: ANGLE rmBPD`=`90 DEG``]이므로 삼각형 [eqn: rm BEP]는 직각이등변삼각형이다.  (참)

ㄴ. [eqn: rm ANGLE PBA`=`45 DEG`-` ANGLE PBD`=` ANGLE DBE``]  (참)

ㄷ. 호 [eqn: rmDC``]와 선분 [eqn: rmBE``]의 교점을 [eqn: rmF``]라 하자.

[eqn: ANGLE rm PBA`=` ANGLE rm DBF], [eqn: ANGLE rmABP`=` ANGLE rm ACP](원주각)

따라서 [eqn: ANGLE rm ACP= ANGLE rm DBF]

[eqn: rm bar{AC} `=` bar{BD} ``], [eqn: ANGLE rm APC= ANGLE rm DFB=90Deg]이므로

[eqn: △ rm ACP == △DBF]

따라서 [eqn: rm bar{AP} `+` bar{PC} = rm bar{DF} `+` bar{BF} =` rm bar{FE} + bar{BF} `= bar{BE} `````](참)

22. [출제의도] 순환소수 계산하기

[eqn: a=0. dot{3} = {1} over {3}]이므로 [eqn: 120a=40`]

23. [출제의도] 일차함수 이해하기

기울기는 [eqn: 2`], [eqn: y`]절편은 [eqn: 1]이므로 [eqn: y=2x+1`]

[eqn: THEREFORE ```a+b=3]

24. [출제의도] 이진법 계산하기

[eqn: 110011 _{LEFT ( 2 RIGHT )} `=1 TIMES 2 ^{5} +1 TIMES 2 ^{4} +1 TIMES 2+1 TIMES 1=51]

[eqn: 11 _{LEFT ( 2 RIGHT )} `=1 TIMES 2+1 TIMES 1=3]

[eqn: a=51`,```b=3`]이므로 [eqn: {a} over {b} =17]

25. [출제의도] 이차함수 최댓값 이해하기

점[eqn: LEFT ( `1`,``13` RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 13=`-1`+`a`+`10]

[eqn: THEREFORE ``a=4]

[eqn: y=`-x ^{2} `+`4x`+10=`- LEFT ( `x`-`2` RIGHT ) ^{2} `+`14]이므로 [eqn: M``=14]

따라서 [eqn: a`+`M``=18]

26. [출제의도] 각의 이등분선 이해하기

[eqn: rm bar{BC} `=`5 sqrt {5}] 이고, [eqn: rmbarAD``]는 [eqn: rmANGLE A``]의 이등분선이므로

[eqn: rm bar{BD} ``:`` bar{DC} `=3``:`2```]이다. 따라서

[eqn: rm bar{DC} ``=` {2} over {5} TIMES ` bar{BC} `=` {2} over {5} TIMES `5 sqrt {5} `=2 sqrt {5} ``]  [eqn: rm THEREFORE ``` bar{DC} ` ^{2} =20]

27. [출제의도] 확률 문제 해결하기

[eqn: rmA,~B``]를 동시에 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 6=36]이고, 주사위 [eqn: rmB``]의 눈의 수가 주사위 [eqn: rmA`]의 눈의 수의 배수가 되는 경우는 [eqn: LEFT ( 1,1 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 1,2 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 1,3 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 1,4 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 1,5 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 1,6 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 2,2 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 2,4 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 2,6 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 3,3 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 3,6 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 4,4 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 5,5 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 6,6 RIGHT )]의 [eqn: 14]가지이므로 확률은 [eqn: {14} over {36}= { 7} over {18 }]  [eqn: THEREFORE ``p+q=25`]

28. [출제의도] 원에서 현의 관계 이해하기

[eqn: 12 sqrt {3}]

[eqn: R]

[eqn: r]

큰 원과 작은 원의 반지름을 각각 [eqn: R`], [eqn: r`]라 하면

두 원의 넓이의 차 [eqn: pi LEFT ( R ^{2} -r ^{2} RIGHT ) = LEFT ( 12 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} pi =432` pi]이다.

[eqn: THEREFORE ```a=432`]

29. [출제의도] 일차부등식 이해하기

[eqn: {9} over {2} LEQ {a} over {b} < {11} over {2}], [eqn: 9b LEQ 2a<11b]

[eqn: 9b LEQ 23`+`5b<11b]에서

[eqn: 3.83 CDOTS `= {23} over {6} <b LEQ {23} over {4} =5.75]

[eqn: THEREFORE `b=4] 또는 [eqn: b=5]

[eqn: b=4`]이면 [eqn: a= {43} over {2} `]이므로 부적합.

[eqn: THEREFORE `b=5`]이고 [eqn: a=24]

따라서 [eqn: `ab=120]

30. [출제의도] 삼각비 추론하기

[eqn: rmA`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D~]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm I]

[eqn: rm J]

[eqn: rm H]

[eqn: rm G]

[eqn: rm F]

[eqn: rm I]

[eqn: rm (J)]

[eqn: rm G]

[eqn: RARROW]

도형 [eqn: rm ABCDE`]의 넓이가 [eqn: 3`]이므로 [eqn: bar{rm BJ it} `= sqrt {3} `]

[eqn: bar{rm BF it} `=1`]이므로 [eqn: ANGLE rm BFJ`=60Deg]이고 [eqn: ANGLE rm GFI`=30Deg]

[eqn: bar{rm GI it} `= sqrt {3} -1`]이므로 [eqn: bar{rm FG it} `= sqrt {3} ` LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )]

[eqn: S``= {1} over {2} TIMES sqrt {3} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) ^{2} =2 sqrt {3} -3`]    [eqn: THEREFORE ```` LEFT ( S+3 RIGHT ) ^{2} `=12`]