• 수학 영역 [A형] •

2013학년도 3월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

정 답

1	①	2	③	3	④	4	②	5	①
6	⑤	7	②	8	③	9	②	10	③
11	④	12	③	13	②	14	②	15	④
16	①	17	①	18	④	19	⑤	20	⑤
21	⑤	22	[eqn: 26]	23	[eqn: 11]	24	[eqn: 129]	25	[eqn: 63]
26	[eqn: 60]	27	[eqn: 4]	28	[eqn: 18]	29	[eqn: 250]	30	[eqn: 134]

해 설

1. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 식의 값 계산하기

[eqn: (x-1) ^{2} +(y+3) ^{2} =0`]이므로 [eqn: x-1=0`,``y+3=0`]
[eqn: THEREFORE ```x+y=`-2]

2. [출제의도] 이차부등식의 해 구하기

[eqn: x(x-8)<0`]의 해를 구하면 [eqn: 0<x<8`]이므로
만족시키는 자연수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 7`]

3. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 계산하기

6명 중 2명을 임의로 뽑는 경우이므로 [eqn: {} _{6} rm C _{2} =15]

4. [출제의도] 절댓값의 성질 이해하기

(준식)[eqn: = LEFT | ` {b-a} ` RIGHT |][eqn: =`-(b-a)`] [eqn: (` BECAUSE `a>b`)]

[eqn: = {a-b}]

5. [출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

[eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동하면
[eqn: 3(x`-`a)`+`2y`+`9`=`0`]
이 직선이 원점을 지나므로 [eqn: a`=`3`]

6. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: (A CUP B) ^{∁} SMALLINTER C`=`C`-(A CUP B)`]이므로

원소 [eqn: x`]가 속하는 영역은 그림에서 색칠된 부분이다.

[eqn: C`]

[eqn: B`]

[eqn: A]

[eqn: U]

① [eqn: x NOTIN B] (거짓)	② [eqn: x NOTIN A SMALLINTER B] (거짓)
③ [eqn: x NOTIN B SMALLINTER C] (거짓)	④ [eqn: x NOTIN A-B] (거짓)
⑤ [eqn: x IN C-A`] (참)

7. [출제의도] 삼각함수를 이용하여 실생활문제 해결하기

[eqn: t`=`20`]일 때, [eqn: T=B- {k} over {6} `cos {pi } over {3} =B- {k} over {12} =18`]
[eqn: t`=`40`]일 때, [eqn: T=B- {k} over {6} `cos {2} over {3} pi =B+ {k} over {12} =20`]
위의 두 식을 연립하여 풀면 [eqn: k=12`]

8. [출제의도] 선분의 내분점과 외분점 이해하기

점 [eqn: \A`]는 선분 [eqn: \PQ`]의 중점이다.

점 [eqn: \B`]는 선분 [eqn: \PQ`]를 [eqn: 1`:`3`]으로 내분한 점이다.
점 [eqn: \C`]는 선분 [eqn: \PQ`]를 [eqn: 3`:`1`]로 외분한 점이다.

따라서 세 점의 위치를 왼쪽부터 순서대로 나열하면
[eqn: \B`,``A`,``C`]

[eqn: rm Q` LEFT ( sqrt {3} RIGHT )]

[eqn: \B]

[eqn: rm P LEFT ( sqrt {2} RIGHT )]

[eqn: \C`]

[eqn: \A]

[eqn: x`]

9. [출제의도] 분수함수의 역함수 이해하기

[eqn: g LEFT ( `3` RIGHT ) =k]라 하면 [eqn: f LEFT ( `k` RIGHT ) =3]이므로
[eqn: {3} over {k`-`1} `+`2=3]에서 [eqn: {3} over {k`-`1} =1]
[eqn: THEREFORE `k=4]

10. [출제의도] 산술평균과 기하평균의 대소관계를
이용하여 최솟값 계산하기

[eqn: a`-`1>0`,``b`-`2>0`]이므로

[eqn: (`a`-`1`)+(`b`-`2`)=(`a`-`1`)+ {3} over {a`-`1} GEQ 2 sqrt {(`a`-`1`) TIMES {3} over {a`-`1}}]
[eqn: =2 sqrt {3}]
(단, 등호는 [eqn: a=1`+ sqrt {3} `]일 때 성립한다.)

11. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

[eqn: alpha + beta =`-4`,`` alpha beta =2`]이므로 두 근의 부호는 모두 음이다.
[eqn: {1} over {LEFT | alpha RIGHT |} `+` {1} over {LEFT | beta RIGHT |} `=`- {1} over {alpha } `-` {1} over {beta } `=`-` LEFT ( {1} over {alpha } `+` {1} over {beta } RIGHT ) `=`-` {alpha + beta } over {alpha beta } `=`2`]

12. [출제의도] 경우의 수 이해하기

가장 큰 수는 [eqn: 1+2+3456=3459]

가장 작은 수는 [eqn: 12+34+56=102]

[eqn: THEREFORE``` 3459`-`102`=`3357`]

13. [출제의도] 최대공약수와 최소공배수를 이용하여
다항식 구하기

[eqn: B=(x`+`2)(x`-`3)``cdots``㉠`]
[eqn: x ^{3} `-`2x ^{2} `-`5x`+6=(x`+`2)(x`-`3)box{`(x`-`1)`}`` CDOTS ``㉡]
[eqn: ㉡`]에서 [eqn: f(x)=x`-`1`]
[eqn: ㉠`,``㉡`]에 의하여
[eqn: A=box{`(x`-`1)(x`-`3)`}`,``C=box{`(x`+`2)(x`-`1)`}]
[eqn: g(x)=(x`-`1)(x`-`3),``h(x)=(x`+`2)(x`-`1)`]
따라서 [eqn: f(1)`+`g(2)`+`h(3)=9`]

14. [출제의도] 라디안의 정의와 사인법칙을 이용하여 현의 길이 구하기

넓이가 [eqn: 100 pi`]이므로 반지름의 길이는 [eqn: 10`]이다.
또한 호 [eqn: rmAB`]의 길이는 지름의 길이와 같으므로
호 [eqn: rmAB`]의 중심각의 크기는 [eqn: 2`]라디안이다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

원 위의 점 중 호 [eqn: rmAB`] 위의 점이 아닌 점 [eqn: rmP`]에
대하여 호 [eqn: rmAB`]의 원주각의 크기가 [eqn: 1`]라디안이므로
삼각형 [eqn: rmAPB``]에서 사인법칙에 의하여
[eqn: {bar{rm AB it}} over {sin`( ANGLE rm APB) it} =2 TIMES 10`]이므로 [eqn: {rm bar{AB}} =20sin`1`]

15. [출제의도] 정의된 연산을 이용하여 문제 해결하기

변환장치를 이용하여 계산하면
[eqn: 2xy over {x`+`y} `+`{ 2 times 1 over xy} over {1 over x`+`1 over y} `=` 2xy over {x`+`y}+{ 2 over xy} over{{x`+`y} over xy}]
[eqn: = 2xy over {x`+`y} + 2 over {x`+`y}]
[eqn: = 2xy+2over {x`+`y}]
이므로 (가)에 알맞은 식은 [eqn: 2xy+2`]

16. [출제의도] 켤레복소수의 성질을 이용하여
곱셈공식의 변형 이해하기

[eqn: z=a+bi`]([eqn: a`,``b]는 실수)로 놓으면  [eqn: bar{z} =a-bi]
[eqn: z ^{2} =(a+bi) ^{2} =3+4i`]에서
[eqn: a ^{2} -b ^{2} +2abi=3+4i`]이므로 [eqn: a ^{2} -b ^{2} =3`,``ab=2`]
[eqn: THEREFORE ```z bar{z}][eqn: =(a+bi)(a-bi)]
[eqn: =a ^{2} +b ^{2}]=[eqn: sqrt {(a ^{2} +b ^{2} ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {(a ^{2} -b ^{2} ) ^{2} +4a ^{2} b ^{2}}]
[eqn: = sqrt {3 ^{2} +4 TIMES 2 ^{2}} =5]
[다른풀이]

[eqn: right(z bar{z} )^2 = z^2 {(bar{z} )^2 = z^2 `bar{z^2 } =25`]
[eqn: therefore``` z bar{z} = 5``( because``z bar{z} ge 0`)`]

17. [출제의도] 원을 이용하여 넓이 문제 증명하기

두 원 [eqn: C_1`,``C_2 `]의 반지름의 길이가 각각
[eqn: r_1 `], [eqn: r _2`][eqn: (`r _{1} `>r _{2} `)]이므로
실경은 [eqn: BOX{`r _{1} -r _{2} `}], 정주는 [eqn: 2 pi times BOX{` LEFT ( r _{2} `+` {r _{1} `-`r _{2}} over {2} RIGHT ) `}]
(실경)[eqn: TIMES](정주)[eqn: `=(` BOX{`r _{1} -r _{2} `} `) TIMES LEFT ( `2 pi TIMES BOX{{r _{1} +`r _{2}} over {2}} `` RIGHT ) `]
[eqn: `=` pi r _{1} ^{```2} - pi r _{2} ^{```2}]
[eqn: =`](환의 넓이)
(가), (나)에 알맞은 식을 더하면
[eqn: {3} over {2} r _{1} - {1} over {2} r _{2} `]이므로 [eqn: 8(`p ^{2} `+`q ^{2} `)`=`20`]

18. [출제의도] 이차함수의 그래프 이해하기

[eqn: f(x)`=` LEFT ( `x`-`1` RIGHT ) ^{2} `-`4]

[eqn: g(x)= {cases{f(x)`````(x LEQ -1`,``x GEQ 3`)#`````0~~~(-1<x<3)}}]
이므로 함수 [eqn: g(x)`]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: \O]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

ㄱ. [eqn: y=g(x)`]는 [eqn: x=1`]에 대하여 대칭이다.(거짓)
ㄴ. [eqn: y=g(x)`]와 [eqn: y=1`]은 서로 다른 두 점에서 만난다.
방정식 [eqn: g(x)=1`]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)
ㄷ. [eqn: g(x) le 0`]의 해는 [eqn: -1 le x le 3`](참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

19. [출제의도] 원의 방정식을 이용하여 점과 직선
사이의 거리 구하기

주어진 등식 [eqn: (x`-`y`-`3)(x`+`y`-`2)`=`0`]을 만족하는
도형은 아래 두 직선과 같다.

[eqn: 6(x ^{2} `+`y ^{2} )`]에서 [eqn: x^2 `+`y^2 =k`]라 두면 점 [eqn: (x`,``y`)`]는
중심이 원점이고, 반지름의 길이가 [eqn: rootk `]인 원 위의 점이다. 따라서 원이 [eqn: y`=`-x`+` 2`]에 접할 경우 [eqn: k`]의 값이
최소이다. 원점과 직선 [eqn: x`+`y`-`2`=`0`] 사이의 거리가
[eqn: sqrt { k}]의 최솟값이므로 [eqn: {LEFT | `0`+`0`-`2` RIGHT |} over {sqrt {2}} `= sqrt {2`} `,`` sqrt {k} `` GEQ sqrt {2}]
[eqn: THEREFORE ```6(x ^{2} `+`y ^{2} )`=6k GEQ 12`]

[eqn: \O]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: y=`-x`+`2`]

[eqn: y=x-3]

[eqn: y]

[eqn: x`]

[eqn: 3]

[eqn: -3]

20. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 실생활문제
해결하기

가격이 [eqn: 500`]원인 음료수의 개수를 [eqn: x`], [eqn: 700`]원인 음료수의 개수를 [eqn: y`], [eqn: 900`]원인 음료수의 개수를 [eqn: z`]라 하자.
[eqn: x+y+z=40`,``500x+700y`+900z`=28000`]
[eqn: `(`x GEQ 2`,``y GEQ 2`,``z GEQ 2`)`]
연립방정식을 풀면 [eqn: y`+`2z`=40`,``x=z`]이므로
[eqn: z`]의 최댓값은 [eqn: 19`]이다.
[eqn: x=z`]이므로 가격이 [eqn: 500`]원인 음료수의 최대 개수는 [eqn: 19`]

21. [출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 방정식
문제 해결하기

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= x over pi]

[eqn: \O]

[eqn: 1]

[eqn: y`=`f(x)`]

[eqn: - pi]

[eqn: pi]

[eqn: pi over 2]

[eqn: - pi over 2]

[eqn: -1]

위의 그림에서 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= {x} over { pi }]가 만나는 점의 개수는 [eqn: 8`]이다.

22. [출제의도] 진리집합 이해하기

명제 [eqn: p`` -> ``q`]가 참이므로

조건 [eqn: p`]의 진리집합 [eqn: P`]가 조건 [eqn: q`]의 진리집합 [eqn: Q`]의
부분집합이다. 따라서 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 26`]

23. [출제의도] 무리함수 이해하기

[eqn: f(x)`=` sqrt {4(x`+`3)} -`1`]

[eqn: = sqrt {4`x+`12} -`1]

[eqn: a=`12`,``b=`-1`]이므로 [eqn: a`+`b=11]

24. [출제의도] 다항식 계산하기

(나)
[eqn: 2x-2`]	[eqn: 2x^2 +4x`]
(가)		[eqn: -x^2 +x-3`]

위의 그림과 같이 (나)에 다항식 [eqn: g(x)`]가 있을 때,
대각선방향(↖)의 다항식의 합은
[eqn: g(x)`+(2x ^{2} +4x)+(-x ^{2} +x-3)=6x ^{2} +12x`]
이므로 [eqn: g(x)=5x ^{2} +7x+3`]
[eqn: f(x)+(2x`-`2)+(5x ^{2} `+`7x`+`3)=6x ^{2} `+`12x`]
[eqn: f(x)=x ^{2} +3x-1`]
따라서 [eqn: f(10)=129`]

[eqn: 5x^2 +7x+3`]	[eqn: -2x^2 -4`]	[eqn: 3x^2 +5x+1`]
[eqn: 2x-2`]	[eqn: 2x^2 +4x`]	[eqn: 4x^2 +6x+2`]
[eqn: x^2 +3x-1`]	[eqn: 6x^2 +8x+4`]	[eqn: -x^2 +x-3`]

25. [출제의도] 나머지정리 이해하기

[eqn: P(x)`]를 [eqn: 2x^2 -5x-3`]으로 나누었을 때의 몫을
[eqn: Q(x)`]라 하고 나머지가 [eqn: 2x+3`]이므로

[eqn: P(x)=(2x^2 -5x-3)Q(x)+2x+3`]

[eqn: =(2x+1)(x-3)Q(x)+2x+3]

[eqn: (x^2 -2)P(x)`]를 [eqn: x-3`]으로 나눈 나머지는 [eqn: 7 ` times `P(3)`]
[eqn: P(3)`=`9`]이므로 [eqn: 7` times 9 `=`63``]

26. [출제의도] 이중근호를 이용하여 식의 값 구하기

[eqn: sqrt{7+ 4 sqrt{3}}=sqrt{7+ 2 sqrt{12}}= 2 + sqrt{3}`]이므로

[eqn: a=3`,``b=sqrt{3}-1`]

[eqn: a`-`b`-` 1 over {a`+`b} =4`-`sqrt{3}- 1 over {2`+` sqrt{3}}=4`-` sqrt{3}-(`2`-` sqrt{3}`)`]              [eqn: = 2`]

∴ [eqn: 30 ` times `2 `=`60`]

27. [출제의도] 삼각함수의 성질 이해하기

[eqn: a`]는 주사위의 눈의 수이므로 [eqn: A= LEFT { 1`,``2`,``3`,``4`,``5`,``6 RIGHT } `]이다.
[eqn: sin` {pi } over {6} = {1} over {2} `,``sin` {2} over {6} pi = {sqrt {3}} over {2} `,``sin` {3} over {6} pi =1`]

[eqn: sin` {4} over {6} pi = {sqrt {3}} over {2} `,``sin` {5} over {6} pi = {1} over {2} `,``sin` {6} over {6} pi =0`]이므로
[eqn: X= LEFT { `0`,`` {1} over {2} `,`` {sqrt {3}} over {2} `,``1` RIGHT }]

따라서 [eqn: 4]

28. [출제의도] 직선의 방정식 이해하기

직사각형의 두 대각선의 교점을 지나는 직선은
그 직사각형의 넓이를 이등분한다.
직사각형 [eqn: \ABCD `]의 대각선의 교점의 좌표는
선분 [eqn: rm AC`]의 중점이므로 좌표는
[eqn: left( {-2`+`4} over 2 `,``{7`+`(-1)} over 2 right)`=` (1`,``3)`]
직사각형 [eqn: \EFGH `]의 대각선의 교점의 좌표는
선분 [eqn: rm EG `]의 중점이므로 좌표는
[eqn: left( {-3`+`1} over 2 `,``{1`+`(-1)} over 2 right)`=` (-1`,``0)`]
따라서 [eqn: m`=` {3`-`0} over {1`-`(-1)} `=` 3 over 2 `]

[eqn: THEREFORE```12m`=`18 `]

29. [출제의도] 부등식의 영역 이해하기

실수 [eqn: x`,``y`]에 대하여
[eqn: 3y`-`2x` le ` x`+`y`]이므로 [eqn: y le {3} over {2} x ` CDOTS` ㉠`]
또 [eqn: y `le ` 3y`-`2x `le ` 50`]이므로 [eqn: x ` le `y ` le ` {2x+50} over {3} ` CDOTS `㉡``]

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 영역은 아래 그림의
색칠한 부분과 같다.

[eqn: 30]

[eqn: 20]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: y`=` {2} over {3} x+ {50} over {3}]

[eqn: y= 3 over 2 x]

[eqn: 50]

[eqn: y=x]

[eqn: 50]

[eqn: (20`,``30)`]과 직선 [eqn: y=x`] 사이의 거리는
[eqn: {□`20-30`□} over {sqrt {2}} =5 sqrt {2} `]이다.
점 [eqn: LEFT ( `x`,``y` RIGHT ) `]가 존재하는 영역의 넓이는
[eqn: {1} over {2} TIMES 50 sqrt {2} TIMES 5 sqrt {2} =250`]

30. [출제의도] 함수의 뜻 이해하기

[eqn: f(1)=1`]
[eqn: f(2)=f(1)=1`]
[eqn: f(3)=f(1)`+`1`=2`]
[eqn: f(4)=f(2)=f(1)=1`]
[eqn: f(5)=f(2)`+`1=f(1)`+`1=2`]
[eqn: f(6)=f(3)=f(1)`+`1=2`]
[eqn: f(7)=f(3)+1=f(1)`+`1`+`1=3]
[eqn: f(8)=f(4)=f(2)=f(1)=1`]
[eqn: f(9)=f(4)`+`1=f(2)`+`1=f(1)`+`1=2`]
[eqn: f(10)=f(5)=f(2)`+`1=f(1)`+`1=2`]
[eqn: vdots`]
[eqn: f(128)&=f(64)=f(32)=f(16)#&=f(8)=f(4)=f(2)=f(1)=1]
[eqn: 1 le n le 128`]인 [eqn: n`]에서
[eqn: f(1)=1`]
[eqn: f(3)=f(1)`+`1`=2`]
[eqn: f(7)=f(3)`+`1=3]
[eqn: f(15)=f(7)`+`1=4`]
[eqn: f(31)=f(15)`+`1=5`]
[eqn: f(63)=f(31)`+`1=6`]
[eqn: f(127)=f(63)`+`1]

[eqn: =f(31)`+`1`+`1]
[eqn: =f(15)`+`1`+`1`+`1]
[eqn: =f(7)`+`1`+`1`+`1`+`1]
[eqn: =f(3)``+`1`+`1`+`1`+`1`+`1]
[eqn: =f(1)`+`1`+`1`+`1`+`1`+`1`+`1]

[eqn: =7]
[eqn: f(n)`]은 [eqn: n=127`]일 때 최댓값 [eqn: 7`]을 갖는다.
따라서 [eqn: a`+`M=127`+`7=134`]

• 수학 영역 [B형] •

정 답

1	①	2	⑤	3	③	4	②	5	③
6	⑤	7	④	8	①	9	③	10	②
11	①	12	①	13	⑤	14	②	15	②
16	④	17	①	18	③	19	④	20	⑤
21	④	22	[eqn: 8]	23	[eqn: 6]	24	[eqn: 60]	25	[eqn: 10]
26	[eqn: 80]	27	[eqn: 45]	28	[eqn: 20]	29	[eqn: 100]	30	[eqn: 505]

해 설

1. [출제의도] 복소수가 서로 같을 조건 이해하기

[eqn: x`+`3`=`9`,``y`=`8`]이므로 [eqn: x`+`y`=`6`+`8`=`14`]

2. [출제의도] 삼각형의 무게중심의 좌표 구하기

[eqn: {a`-`1`+`4} over {3}` =`4`]이므로 [eqn: a`=`9`]
[eqn: {3`+`b`-`5} over {3} `=`0`]이므로 [eqn: b`=`2`]

∴ [eqn: a`+`b`=`11`]

3. [출제의도] 충분조건 이해하기

조건 [eqn: p`]의 진리집합은 [eqn: P`=` LEFT {` x``□``3` LEQ` x` LEQ `7` RIGHT }`]
조건 [eqn: q`]의 진리집합은 [eqn: Q`=` LEFT {` x``□``x` LEQ ` k` RIGHT }`]
[eqn: P` SUBSET ` Q`]가 성립하려면 [eqn: k` GEQ `7`]

따라서 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 7`]

4. [출제의도] 합성함수와 역함수의 뜻 이해하기

[eqn: LEFT (` f`^-1` CIRC`g` RIGHT )`(`4`)`=`f`^-1 `(`3`)`=`2`]

5. [출제의도] 분수함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: f`(`x`)`=` {ax`+`b} over {x`+`c} `]의 그래프의 점근선이 두 직선
[eqn: x`=`-1`,``y`=`-2`]이므로 [eqn: f`(`x`)`=` {k} over {x`+`1} `-`2`]([eqn: k` !=` 0])이다.

[eqn: f`(`0`)`=`k`-`2`=`1`]에서 [eqn: k`=`3`]
∴ [eqn: f`(`-4`)`=` -3`]

6. [출제의도] 주어진 범위에서 이차함수의 최댓값
구하기

[eqn: f`(`x`)`=`x ^{2} `-`2x`+`m`=`(`x`-`1`) ^{2} `+`m`-`1`]에서
최고차항의 계수가 양수이고, 축이 [eqn: x`=`1`]이므로
함수 [eqn: y`=`f`(`x`)`]는 [eqn: x`=`1`]에서 최솟값, [eqn: x`=`3`]에서
최댓값을 갖는다.
함수 [eqn: y`=`f`(`x`)`]의 최솟값이 [eqn: 5`]이므로 [eqn: m`=`6`]이다.

따라서 최댓값은 [eqn: f`(`3`)`=`3 ^{2}` -`2 `TIMES` 3`+`6`=`9`]

7. [출제의도] 삼차방정식 문제 해결하기

한 근 [eqn: sqrt { 2}`]를 주어진 방정식의 [eqn: x`]에 대입하면

[eqn: (sqrt { 2}` )^3 `+`a`( sqrt { 2}`)^2` +`b`( sqrt { 2}`)`-`6`=`0`]

[eqn: (`2a`-`6`)`+`(`2`+`b`) sqrt { 2} `=`0`]

따라서 [eqn: a=3`,``b=`-2`]이므로 [eqn: a`+`b=1`]

8. [출제의도] 사인법칙을 이용하여 선분의 길이 구하기

[eqn: rmANGLE C=45 ^{CIRC }]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm AC it}} over {sin30 ^{CIRC }}` = `{12} over {sin45 ^{CIRC }}`]

따라서 [eqn: rm bar{AC}`=`6 sqrt { 2}`]에서 [eqn: rm {bar{AC}} ^{`2} `=`72`]

9. [출제의도] 부분집합의 개수 구하기

[eqn: A`=` LEFT {` 1`,``3`,``7`,``9` RIGHT }`,``B`=` LEFT {` 1`,``9` RIGHT }`]이므로
[eqn: LEFT { `1`,``9 `RIGHT }` SUBSET `X` SUBSET `LEFT {` 1`,``3`,``7`,``9 `RIGHT }`]

즉, 집합 [eqn: X`]는 집합 [eqn: LEFT { `1`,``3`,``7`,``9` RIGHT }`]의 부분집합 중
[eqn: 1`]과 [eqn: 9`]를 모두 원소로 가지는 집합이다.

따라서 주어진 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수는
[eqn: 2 `^{4`-`2}` =`2` ^{2} `=`4`]

10. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 구하기

집합 [eqn: C``= LEFT { `(`a`,``b`)``□``a` IN `A`,``b` IN `B` RIGHT } `]의 모든 원소를 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 7]

[eqn: 9]

[eqn: b]

[eqn: 1]

[eqn: 9]

[eqn: a]

세 점이 삼각형의 꼭짓점이 되려면 한 직선 위에
놓이지 않아야 한다.

따라서 서로 다른 삼각형의 개수는
[eqn: {} _{8} rmC _{3} `- `LEFT (` {} _{4} C _{3} `+` _{4} C _{3}` RIGHT ) `=`48`]

11. [출제의도] 원을 이용하여 넓이 문제 증명하기

두 원 [eqn: C_1`,``C_2 `]의 반지름의 길이가 각각
[eqn: r_1 `], [eqn: r _2`][eqn: (`r _{1} `>r _{2} `)]이므로
실경은 [eqn: BOX{`r _{1} -r _{2} `}], 정주는 [eqn: 2 pi times BOX{` LEFT ( r _{2} `+` {r _{1} `-`r _{2}} over {2} RIGHT ) `}]

(실경)[eqn: TIMES](정주)[eqn: `=(` BOX{`r _{1} -r _{2} `} `) TIMES LEFT ( `2 pi TIMES BOX{{r _{1} +`r _{2}} over {2}} `` RIGHT ) `]

[eqn: `=` pi r _{1} ^{```2} - pi r _{2} ^{```2}]

[eqn: =`](환의 넓이)
(가), (나)에 알맞은 식을 더하면
[eqn: {3} over {2} r _{1} - {1} over {2} r _{2} `]이므로 [eqn: 8(`p ^{2} `+`q ^{2} `)`=`20`]

12. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 1`]

[eqn: 3]

[eqn: k]

[eqn: y`=` sqrt { x`-`k}]

[eqn: y`=` sqrt {`x`-`k`}]의 그래프가 점 [eqn: (`-1`,``3`)`]을 지날 때 [eqn: k`]의 값은 최소가 된다.

따라서 [eqn: 3`=` sqrt {-1`-`k}]이므로 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: -10`]

13. [출제의도] 두 직선의 위치 관계 이해하기

[eqn: f`(`x`)`=`a`(`x`-`2`)`+`3``(`a` != `0`)`], [eqn: g`(`x`)`=`- {1} over {a}` (`x`-`2`)`+`3``(`a` != `0`)`]
으로 놓을 수 있다.
[eqn: f`(`-2`)`=`g`(`6`)`]이므로 [eqn: -4a`+`3`=`- {4} over {a}` +`3`]
따라서 [eqn: a=`±1`]이므로
[eqn: cases{`f`(`x`)`=`x`+`1`#`g`(`x`)`=`-x`+`5`] 또는 [eqn: cases{`f`(`x`)`=`-x`+`5`#`g`(`x`)`=`x`+`1`]
∴ [eqn: f`(`3`)` TIMES `g`(`3`)`=`8`]

14. [출제의도] 함숫값 추론하기

[eqn: f`(`14`)`=`2`f`(`7`)`=`2` TIMES`(`-1`)^4`=`2`]
[eqn: f`(`20`)`=`2`f`(`10`)`=`4`f`(`5`)`=`4` TIMES`(`-1`)^3`=`-4`]
[eqn: THEREFORE ```f`(`14`)`+`f`(`20`)`=`-2`]

15. [출제의도] 비례식의 성질을 이용하여 실생활
문제 해결하기

이 문구점에서 연필, 지우개, 공책의
가격을 각각 [eqn: x`,``y`,``z`]로 두면 [eqn: cases{``2x`+`y`=`z#``y`+`z`=`5x}`]이다.
[eqn: x]와 [eqn: z`]를 각각 [eqn: y`]에 대한 식으로 나타내면
[eqn: x= {2} over {3} y`,``z= {7} over {3} y`]이고
[eqn: 10x`+`4z`=` { 20} over { 3}y`+ `{ 28} over {3 }y `=`16y`]이므로
이 문구점에서 연필 [eqn: 10`]자루의 가격과 공책 [eqn: 4`]권의 가격을 더하면 지우개 [eqn: 16`]개의 가격과 같다.

16. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 다항식의 값
구하기

(가), (나)에서
[eqn: f`(`x`)`=`(`x^3 `+`1`)`(`x`+`2`)`+`ax^2 `+`bx`+`c]

[eqn: =`(`x `+`1`)`(`x^2 `-`x`+`1`)`(`x`+`2`)`+`ax^2 `+`bx`+`c]

[eqn: =`(`x^2 `-`x`+`1`)`(`x^2 `+`3x`+`2`)`+`a(`x^2 `-x`+`1`)`+`x`-6`]

(다)에서 [eqn: f`(`1`)`=`-2`]이므로 [eqn: a`=`-3`]

∴ [eqn: f(0)`=`-7]

17. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여
문제 해결하기

두 직선 [eqn: y`=`2x`,``y`=`- {1} over {2} x`]가 서로 수직이므로
세 직선 [eqn: y`=`2x`,``y`=`- {1} over {2} x`,``y`=`mx`+`5`]로
둘러싸인 삼각형 [eqn: rmAOB`]는 직각이등변삼각형이다.

직선 [eqn: y`=`mx`+`5`]는 각 [eqn: RM AOB`]를 이등분하는 직선 [eqn: l]과
수직이다. 두 직선 [eqn: y`=`2x`,``y`=`- {1} over {2} x`]가 이루는 각을
이등분하는 직선의 방정식은
[eqn: {LEFT | ``2x`-`y` `RIGHT |} over {sqrt {5}}` =` {LEFT |`` x`+`2y`` RIGHT |} over {sqrt {5}} `]에서 [eqn: y`= `{1} over {3} x`,``y`=`-3x`]이다.
[eqn: m`>`0`]이므로 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y`=`-3x`]이고
[eqn: m`=` {1} over {3} `]
[다른풀이]
두 직선 [eqn: y`=`2x`,``y`=`- {1} over {2} x`]가 서로 수직이므로
세 직선 [eqn: y`=`2x`,``y`=`- {1} over {2} x`,``y`=`mx`+`5`]로
둘러싸인 삼각형 [eqn: rmAOB`]는 직각이등변삼각형이다.

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: l]

[eqn: y]

[eqn: y`=`mx`+`5]

[eqn: y=`- {1} over {2} x]

[eqn: y=2x]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm B prime]

[eqn: x]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: y]

[eqn: y`=`mx`+`5]

[eqn: y=`- {1} over {2} x]

[eqn: y=2x]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A prime]

두 점 [eqn: rm A`,``B`]를 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA prime `,``B prime `]이라 하면 삼각형 [eqn: rm AA prime O`]와 삼각형 [eqn: rm OB prime B`]는 서로
합동이다. [eqn: a`>`0`]에 대하여 점 [eqn: rm B it (`a`,``2a`)`], [eqn: rm A it (`-2a`,``a`)`]이므로 [eqn: m`=` {2a-a} over {a-(-2a)} `=` {1} over {3} `]

18. [출제의도] 인수정리를 이용하여 식의 값 구하기

[eqn: n]차 다항식 [eqn: P`(`x`)`]는
[eqn: (`k`+`1`)P`(`k`)`-`k`=`0````(`k`=`0`,``1`,``2`,`` CDOTS `,``n`)`]
을 만족시킨다.
[eqn: Q`(`x`)`=`(`x`+`1`)`P`(`x`)`-`x`]
라 두면 [eqn: Q`(`x`)`]는 [eqn: n`+`1`]차 다항식이고
[eqn: Q`(`0`)`=`Q`(`1`)`=Q`(`2`)`=` CDOTS `=`Q`(`n`)`=`0`]
이므로 [eqn: 0`]이 아닌 상수 [eqn: a`]에 대하여
[eqn: Q`(`x`)`=`a`x`(`x`-`1`)`(`x`-`2`)` CDOTS `(`x`-`n`)`]
으로 나타낼 수 있다. 따라서
[eqn: (`x`+`1`)`P`(`x`)`-`x`]
[eqn: =`a`x`(`x`-`1`)`(`x`-`2`)` CDOTS `(`x`-`n`)`]  [eqn: CDOTS `㉠]
이다. [eqn: ㉠`]의 양변에 [eqn: x=`-1`]을 대입하면
[eqn: a`=` { (`-1`)^{n`+`1}} over {box{```(`n`+`1`)`!```}}`]

이고, [eqn: ㉠`]의 양변에 [eqn: x`=`n`+`1`]을 대입하여 정리하면

[eqn: (`n`+`2`)`P`(`n`+`1`)`-`(`n`+`1`)`=`box{```(`-1`)^{n`+`1}```}`]

이므로

[eqn: P`(`n`+`1`)`=` { box{```(`-1`)^{n`+`1}```}`+`n`+`1} over {n`+`2 }]

이다. 따라서
[eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: P`(`n`+`1`)`=`1`]이고,
[eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: P`(`n`+`1`)`=`box{``` { n} over {n`+`2 } ```}`]이다.

∴ [eqn: {f`(`4`)` TIMES `g`(`5`)`} over {h`(`6`)`} `=160`]

19. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

두 근을 [eqn: alpha `,`` beta `]라 하면
[eqn: alpha` +` beta `=`a`,``alpha` beta` =`-3a`,``LEFT | ``alpha`` RIGHT |`+` LEFT | `` beta ``RIGHT |`=`8`]이다.

[eqn: a`>`0`]이므로 [eqn: alpha `+ `beta `>0`,`` alpha ` beta` <`0`]에서 [eqn: alpha`<`0`< `beta`]라 하면

[eqn: (` LEFT | `` alpha `` RIGHT | `+` LEFT | `` beta `` RIGHT | `) ^{2} =`(- alpha `+` beta `) ^{2} `][eqn: =(` alpha `+` beta `) ^{2} `-`4 alpha beta]
[eqn: =`a ^{2} `+12a`=`64`]
이므로 [eqn: a`=`4`]이다.
∴ [eqn: alpha ^{2} `+` beta ` ^{2} `=(` alpha `+` beta `) ^{2} `-2 alpha beta `=a ^{2} `+`6a`=`40`]

[다른풀이]

두 근을 [eqn: alpha `,`` beta `]라 하면
[eqn: alpha` +` beta `=`a`,``alpha` beta` =`-3a`,``LEFT | ``alpha`` RIGHT |`+` LEFT | `` beta ``RIGHT |`=`8`]이다.

[eqn: a`>`0`]이므로 [eqn: alpha `+ `beta `>0`,`` alpha ` beta` <`0`]에서 [eqn: alpha`<`0`< `beta`]라 하면
[eqn: -alpha`+`beta`=`8`,``beta `=` alpha `+`8`]이다.

[eqn: alpha`+ `beta `=`a`,``alpha ` beta` =`-3a`]에서 [eqn: alpha` beta`=`-3`(` alpha`+ `beta`)`]이므로
[eqn: alpha`(`alpha`+`8`)`=`-3`(`2 alpha`+`8` )`], [eqn: alpha^2 `+`14 alpha`+`24`=`0`],
[eqn: (`alpha`+`2`)`(` alpha`+`12`)`=`0`]

[eqn: alpha`=`-12`]이면 [eqn: beta`=`-4`]이므로 [eqn: alpha`<`0`<` beta`]에 모순이고,

[eqn: alpha`=`-2`]이면 [eqn: beta`=`6`]이므로 주어진 조건을 만족한다.

∴ [eqn: alpha ^{2} `+` beta ` ^{2} `=40`]

20. [출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: (`a^2 `+`b`^2` -`4` )`x `+`(`a^2` - `b^2` )` LEQ`0`]이므로
[eqn: a^2` +`b^2` =`4`]이고 [eqn: a^2 `-` b^2 `LEQ` 0`]이다.

따라서 구하는 도형 전체의 길이는 [eqn: 2pi`]

[eqn: a]

[eqn: rmO]

[eqn: b]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: a^2 `+`b^2` =`4`]

[eqn: b`=`a`]

[eqn: b`=`-a`]

21. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 집합 구하기

ㄱ. 반례 : [eqn: A`= `LEFT { `0`,``1` RIGHT }`] (거짓)

ㄴ. 집합 [eqn: A`]가 곱셈에 대하여 닫혀 있으므로
[eqn: a` IN ` A`]이면 [eqn: a ^{2}` IN `A`,``a ^{3}` IN `A`,``a ^{4} ` IN `A`], …
만약, [eqn: 0`<` LEFT | ``a`` RIGHT |` <`1`] 또는 [eqn: LEFT | ``a`` RIGHT |` >`1`]이면
[eqn: a`,`a ^{2} `,`a ^{3} `,`a ^{4} `,` CDOTS `]은 서로 다르므로
집합 [eqn: A`]는 유한집합이 될 수 없다.
따라서 [eqn: LEFT | ``a`` RIGHT |`=`0`] 또는 [eqn: LEFT | ``a`` RIGHT |`=`1`]

즉, 집합 [eqn: A`]의 원소가 될 수 있는 수는
[eqn: -1`,``0`,``1`]뿐이고, 집합 [eqn: LEFT {` -1`,``0`,``1` RIGHT }`]이 집합 [eqn: A`]가
될 수 있으므로 [eqn: n`(`A`)`]의 최댓값은 [eqn: 3`] (참)

ㄷ. ㄴ에서 집합 [eqn: A`]의 원소가 될 수 있는 수는
[eqn: -1`,``0`,``1`]뿐이므로 곱셈에 대하여 닫혀 있는
집합 [eqn: A`]는
[eqn: LEFT {` 0` RIGHT }` ,`` LEFT {` 1` RIGHT }` ,`` LEFT {` 0`,``1 `RIGHT } `,`` LEFT { `-1`,``1` RIGHT }` ,`` LEFT {` -1`,``0`,``1` RIGHT }`]
중의 하나이다.

따라서 집합 [eqn: A`]의 개수는 [eqn: 5`] (참)

22. [출제의도] 순열과 조합의 수 계산하기

[eqn: n`(`n`-`1`)`=` {n`(`n`-`1`)`(`n`-`2`)} over {6}]에서 [eqn: n`-`2`=`6`]

∴ [eqn: n`=`8`]

23. [출제의도] 사인함수의 그래프 이해하기

주어진 그래프는 삼각함수 [eqn: y`=`3 `sin`2x`]의
그래프이므로 [eqn: a`=`3`,``b`=`2`]

∴ [eqn: a`b`=`6`]

24. [출제의도] 이중근호를 이용하여 식의 값 구하기

[eqn: sqrt{7+ 4 sqrt{3}}=sqrt{7+ 2 sqrt{12}}= 2 + sqrt{3}`]이므로

[eqn: a=3`,``b=sqrt{3}-1`]

[eqn: a`-`b`-` 1 over {a`+`b} =4`-`sqrt{3}- 1 over {2`+` sqrt{3}}=4`-` sqrt{3}-(`2`-` sqrt{3}`)`]              [eqn: = 2`]

∴ [eqn: 30` TIMES `2`=`60`]

25. [출제의도] 산술·기하평균을 이용하여 최솟값 구하기

[eqn: x`>`1`]이므로 [eqn: x`-`1`>`0`], [eqn: { 16} over { x`-`1}`>`0`]
[eqn: x`+`1`+` { 16} over {x`-`1 } `=`2`+` LEFT ( ` x`-`1`+` { 16} over { x`-`1}` RIGHT )`]

[eqn: GEQ `2`+`2 sqrt {(`x`-`1`)` TIMES ` {16} over {x`-`1}} `][eqn: =`10`]

(단, 등호는 [eqn: x`-`1`=`{ 16} over { x`-`1}`] 즉, [eqn: x`=`5`]일 때 성립한다.)

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: 10`]

26. [출제의도] 조합의 수 구하기

[eqn: 5`]개 학교 중 [eqn: 3`]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: ` _{5} ` rm C _{3}]
[eqn: 2`]명 중에서 한 명을 택하는 경우의 수는 [eqn: ` _{2} ` rm C _{1}]
따라서 전체 경우의 수는 [eqn: ` _{5} ` rm C _{3} ` TIMES ` LEFT ( ` _{2} ` rm C _{1} RIGHT ) ^{3} `=`80`]

27. [출제의도] 도형의 대칭이동 문제 해결하기

점 [eqn: rm A]를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rm A prime (`1`,``0)`]에
대하여 [eqn: rm bar{AP} `+` bar{PQ} `=` bar{A prime P} `+` bar{PQ} ` GEQ ` bar{A prime Q} `]이다.
[eqn: bar{rm A prime Q it} `]의 최솟값은 점 [eqn: rm A prime `(`1`,``0`)`]과 원 [eqn: C``]의
중심 [eqn: (`-3`,``8)`] 사이의 거리에서 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이 [eqn: sqrt {5} `]를 뺀 값이다. 따라서 [eqn: k=4 sqrt {5} `- sqrt {5} `=`3 sqrt {5} `]

∴ [eqn: k` ^{2} =45`]

28. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계 이해하기

직선 [eqn: y`=`k`x`]가 원 [eqn: (`x`-`1`) ^{2}` +`(`y`-`3`) ^{2}` =`2`]에
접하기 위한 필요충분조건은

방정식 [eqn: (`x`-`1`) ^{2} `+`(`k`x`-`3`) ^{2} `=`2`]     …… ①

이 중근을 가지는 것이다.

①을 정리하면
[eqn: (`k` ^{2}` +`1`)`x ^{2}` -`2`(`3k`+`1`)`x`+`8`=`0`]이고,
[eqn: { D} over {4 } `=`(`3k`+`1`) ^{2} `-`8`(`k` ^{2}` +`1`)`=`0`]이므로
[eqn: k`=`-7`] 또는 [eqn: k`=`1`]

[eqn: y`=`7` LEFT | ` x`RIGHT |]

[eqn: y`=` LEFT | ` x` RIGHT |`]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

그림과 같이
원 [eqn: (`x`-`1`) ^{2} `+`(`y`-`3`) ^{2} `=`2`]와 [eqn: y`=`m` LEFT | ``x`` RIGHT | `]의 그래프가
서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 [eqn: m`]의 범위는 [eqn: 1`<`m`<`7`]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: m`]의 값의 합은 [eqn: 20`]

29. [출제의도] 코사인법칙을 이용하여 실생활
문제 해결하기

[eqn: 120 DEG]

[eqn: t`rmm]

[eqn: t`rmm]

[eqn: t`rmm]

[eqn: 300`rmm]

[eqn: 300` ^{2} `=`t` ^{2} `+`t` ^{2}` -`2 `TIMES `t` TIMES` t` TIMES` cos120 ^{CIRC }`]

따라서 [eqn: t`=`100 sqrt {3} `]에서 [eqn: x`=`100`]

30. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 실생활
문제 해결하기

점 [eqn: rmA`]가 원점 [eqn: rmO`]에, 점 [eqn: rmB`]는 [eqn: x`]축 위에, 점 [eqn: rmC`]는
[eqn: y`]축 위에 오도록 직각삼각형 [eqn: rmABC`]를 좌표평면 위에 두면 [eqn: rm B`(`6`,``0`)`,``rm C(`0`,``8`)`]이다.

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rm A]

[eqn: 8]

[eqn: 6]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm E]

[eqn: rm D]

[eqn: rmF]

[eqn: rm P]

두 지점 [eqn: rmB`,``C`]에 설치된 기지국에서 보내는 전파를 동시에 받는 지점 [eqn: rmD`]는 선분 [eqn: rmBC`]를 [eqn: 2``:``3`]으로 내분하는 점이므로 [eqn: rmD` left(` {18} over {5}`,` `{16} over {5}` right)`]이다. 이 도시에서 전파가 수신되지 않는 지역이 없도록 하기 위해서는  두 지점 [eqn: rm E`(`0`,``2`)`,``rm F`(`2`,``0`)`]에 대하여 도형 [eqn: rm AFDE`]를 포함하는 원의 중심에 새로운 기지국을 설치하면 된다. 한편, 사각형 [eqn: rm AFDE`]에 대하여 각 [eqn: rm AFD`]와 각 [eqn: rm DEA`]가 둔각이므로 새로운 기지국의 전파의 수신 반경을 최소로 하기 위해서는 선분 [eqn: rm AD`]를 지름으로 하는 원의 중심 [eqn: rmP LEFT ( ` {9} over {5} `,`` {8} over {5} ` RIGHT ) `]에 새로운 기지국을 설치하면 된다. 따라서 두 점 [eqn: rm P` LEFT (` {9} over {5}` ,`` {8} over {5} `RIGHT ) `,``rm B`(`6`,``0`)`] 사이의 거리는 [eqn: {sqrt {505}} over {5}`]

∴ [eqn: k`=`505`]