수학 영역(나형)

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수학 영역(나형)

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2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: 4 ^{` 1 over 2 } +`` 3^{`0} `]의 값은? [2점]

12

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. 두 집합

[eqn: A= LEFT {` 1,``2,```3,``4,``5` RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `2,``4,``6` RIGHT }]

에 대하여 [eqn: n(A-B`)`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. [eqn: lim_{n` ->` inf }{3 n^{`2} -2n+1}over{2n^{`2} +7 `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 5over2]	⑤ [eqn: 3]

4. 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_{`n+1} =3a_{`n}`]
을 만족시킨다. [eqn: a_{`2} =2`]일 때, [eqn: a_{`4}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

5. 수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf }` {left(2 a_{`n}-5 right)}` = 2017]일 때, [eqn: lim _{ n ` -> ` inf} `{ a_{`n} }`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

6. 함수 [eqn: y= 3 overx-2 +2`]의 그래프는 함수 [eqn: y= a overx`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동한 그래프와 일치한다. [eqn: a+m+n`]의 값은? (단, [eqn: a,``m,``n`]은 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤  [eqn: 9]

7. 함수 [eqn: f(x)=2x+a`]에 대하여 [eqn: f ^{`-1} (1)=2`]일 때, [eqn: f(3)`]의 값은?
(단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

8. [eqn: log``2=a], [eqn: log``3`=b`]라 할 때, [eqn: log`` {4} over {15}`]를 [eqn: a], [eqn: b`]로 나타낸 것은?

[3점]

① [eqn: 3a-b-1]	② [eqn: 3a+b-1]	③ [eqn: 2a-b+1]

④ [eqn: 2a+b-1]	⑤ [eqn: a-3b +1]

9. 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_{`1} =1], [eqn: a_{`n+1} = k over{a_{`n} +2}]
를 만족시킬 때, [eqn: a_{`3} = 3over2`]이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

10. 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 두 조건
[eqn: p`:`x GEQ k`]이고 [eqn: y ge 1],
[eqn: q`:`(x-3) ^{`2} +(y-4) ^{`2} < 1]
에 대하여 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

11. 첫째항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a _{`n} `right}`]이

[eqn: a _{`1} = 4 `a_{`3}], [eqn: a _{`2} +a _{`3} =it -12]
를 만족시킬 때, [eqn: a _{`5}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

12. 실수 [eqn: x`]에 대한 조건
‘모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x^{`2} +4kx + 3k^{`2} ge 2k-3 `]이다.’
가 참인 명제가 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 하자. [eqn: M`- m `]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

13. 집합 [eqn: X = LEFT {` 1,``2,``3,``4, ``5 ` RIGHT }`]에 대하여 일대일 대응인 함수 [eqn: f`:`X```rarrow```X``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(`2) - f(`3) = f(4)- f(`1)=f(`5)]

(나) [eqn: f(`1)< f(`2)<f(4)]

[eqn: f(`2) + f(`5) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

14. 그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y= 1 over n `]과 원 [eqn: x^{`2} + (y-1)^{`2} = 1 `]의 두 교점을 각각 [eqn: rm A_{`it n}], [eqn: rm B_{`it n} `]이라 하자. 선분 [eqn: rm A_{`it n}` rm B_{`it n} `]의 길이를 [eqn: l_{`n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{ n `->` inf } `n`left(` l_{`n`} right)^{`2} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

15. 그림과 같이 좌표평면에 두 함수 [eqn: f(x) = x^{`2}], [eqn: g(x)=x^{`3} `]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x) `] 위의 한 점 [eqn: rmP_{`1}` it (a,``f`(a))`] ([eqn: a>1]) 에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ_{`1}]이라 하자. 선분 [eqn: rmOQ_{`1}`]을 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmOQ_{`1} AB`]의 한 변 [eqn: rm AB`]가 곡선 [eqn: y=g(x)`]와 만나는 점을 [eqn: rmP_{`2}], 점 [eqn: rmP_{`2}`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ_{`2}`]라 하자. 선분 [eqn: rmOQ_{`2}`]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmOQ_{`2} CD`]의 한 변 [eqn: rm CD `]가 곡선 [eqn: y=f(x) `]와 만나는 점을 [eqn: rmP_{`3}], 점 [eqn: rmP_{`3}`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ_{`3}`]이라 하자. 두 점 [eqn: rmQ_{`2}], [eqn: rmQ_{`3}`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: b], [eqn: c`]라 할 때, [eqn: bc=2`]가 되도록 하는 점 [eqn: rmP_{`1}`]의 [eqn: y`]좌표의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이고, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm C`]는 제[eqn: 1`]사분면에 있다.) [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

16. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]가
[eqn: f(x)= {6x+12} over {2x-1}],
[eqn: g(x)= {cases{`1~&(`x가```정수인```경우)#`0&(`x가```정수가```아닌```경우)}}]
일 때, 방정식 [eqn: (g CIRC f)(x)=1`]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

17. 함수

[eqn: f(x)= {cases{root{2x}~ & (x GEQ 0) #`````` 4x &(x<0)}]

의 역함수 [eqn: g(x) `]에 대하여 부등식 [eqn: g(x) LEQ - 1 over 4 x ^{`2} +3 `]의 해가 [eqn: a LEQ x LEQ b `]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

18. 다음은 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y=rootx`]의 그래프와 [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x=n^{`2}`]으로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수 [eqn: a_{`n}`]을 구하는 과정이다.

[eqn: n=2`]일 때, 곡선 [eqn: y=rootx], [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x=4`]로

둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서

[eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점은

[eqn: (2,``1)], [eqn: (3,``1)`]이므로

[eqn: a_{`2} =` box{~ (가) ~}`]

이다.

[eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_{`n}`]을 구하여 보자.

위의 그림과 같이 [eqn: 1 Leq k leqn -1 `]인 정수 [eqn: k`]에 대하여

주어진 도형의 내부에 있는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 정수이고,
[eqn: y`]좌표가 [eqn: k`]인 점은

[eqn: (k ^{`2} +1,``k),``(k ^{`2} +2,``k),`` CDOTS ``,``(`box{~(나)~} ``,``k right)`]

이므로 이 점의 개수를 [eqn: b_{`k}`]라 하면

[eqn: b_{`k} =`BOX{~(나)~} `-k^{`2}`]

이다. 따라서

[eqn: a_{`n} = sum _{k=1} ^{n-1``}` b_{`k}`][eqn: = box{~(다)~}`]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: p+f(4)+g(`6)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 131]	② [eqn: 133]	③ [eqn: 135]	④ [eqn: 137]	⑤ [eqn: 139]

19. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 이 정사각형에 내접하는 원을 [eqn: C _{`1}`]이라 하자. 원 [eqn: C _{`1}`]이 변 [eqn: rmBC], [eqn: rmCD`]와 접하는 점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rm F`]라 하고, 점 [eqn: rm F`]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmE`]를 지나는 원을 [eqn: C _{`2}`]라 하자. 원 [eqn: C _{`1}`]의 내부와 원 [eqn: C _{`2}`]의 외부의 공통부분인  모양의 도형과, 원 [eqn: C _{`1}`]의 외부와 원 [eqn: C _{`2}`]의 내부 및 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1}`]이라 하자.

그림 [eqn: R _{`1}`]에서 두 꼭짓점이 변 [eqn: rm CD] 위에 있고 나머지 두 꼭짓점이 정사각형 [eqn: rmABCD]의 외부에 있으면서 원 [eqn: C _{`2}] 위에 있는 정사각형 [eqn: rmPQRS`]를 그리고, 이 정사각형 안에 그림 [eqn: R _{`1}`]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양과  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2}`]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n}`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n `-> ` INF } `{S _{`n}}`]의 값은? [4점]

[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]
	…
[eqn: R _{3}]	…

① [eqn: {26-5 pi } over {6}]	② [eqn: {28-5 pi } over {6}]	③ [eqn: {30-5 pi } over {6}]

④ [eqn: {32-5 pi } over {6}]	⑤ [eqn: {34-5 pi } over {6}]

20. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건
[eqn: p`:`][eqn: x ^{`2} -x-6<0],
[eqn: q`:`][eqn: x^{`2} + (6-3a)x +2a^{`2} -10a +8 ge`0`]
이 모두 참이 되도록 하는 정수 [eqn: x`]가 오직 하나 존재할 때, 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 11`]

21. 자연수 [eqn: m`]에 대하여 집합 [eqn: A_{`m}`]을

[eqn: A _{`m} = LEFT { `(a,``b)` LEFT | `2 ^{`a} = {m} over {b} ,~a,``b`는~자연수 RIGHT } RIGHT .]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A_{`4} = left{ (1,``2),``(2,``1) right}] ㄴ. 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: m=2^{`k}`]이면 [eqn: n( A_{`m} ) = k`]이다. ㄷ. [eqn: n( A_{`m} )=1 `]이 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: m`]의 개수는 [eqn: 23`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. [eqn: left( 1 over 4 right) ^{ - 2} times log_{`2} ` 8 `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 등차수열 [eqn: left{a_ {`n} right}`]에 대하여 [eqn: a_{`2} =2], [eqn: a_{`5} -a_{`3} =6`]일 때, [eqn: a_{`6}`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 두 수열 [eqn: left{a_{`n} right}], [eqn: left{b_{`n} right}`]이
[eqn: lim_{ n`->`inf } ` (a_{`n} -1) =2], [eqn: lim_{n `->`inf}` (a_{`n} +2b_{`n} )=9]
를 만족시킬 때, [eqn: lim_{n `->` inf} `a_{`n} ( 1+b_{`n} )`]의 값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: 0le x le 3`]일 때, 함수 [eqn: y=2rootx+1 +k`]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m`]이라 하자. [eqn: M`+m=40`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 수열 [eqn: LEFT { a_{`n} RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a_{`1} = 3], [eqn: a_{`n+1} = 2 over3 a_{`n}`]
을 만족시킬 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }` a_{`2n-1} =` q over p`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

27. 함수 [eqn: f(x)=x ^{`2} +x- {1} over {3}`]에 대하여 부등식
[eqn: f(n)<k<f(n)+1] ([eqn: n=1,``2,``3,` cdots`])
을 만족시키는 정수 [eqn: k`]의 값을 [eqn: a _{`n}`]이라 하자.

[eqn: sum _{n=1} ^{100}` {1} over {a _{`n}}= q overp`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는

서로소인 자연수이다.) [4점]

28. 어느 날 [eqn: 2`]개의 놀이 기구 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]가 있는 놀이공원에 다녀온 [eqn: 30`]명의 학생을 대상으로 그날 어떤 놀이 기구를 이용했는지 조사하였더니 놀이 기구 [eqn: rm A`]를 이용한 학생은 [eqn: 23`]명, 놀이 기구 [eqn: rm B`]를 이용한 학생은 [eqn: 16`]명이었다. 놀이 기구 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]를 모두 이용한 학생 수의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M`+m`]의 값을 구하시오. [4점]

29. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: log_{`x}`n] ([eqn: n`]은 [eqn: 1 le n le 300 `]인 자연수)
가 자연수인 [eqn: n`]의 개수를 [eqn: A(x)`]라 하자. 예를 들어, [eqn: A(2)=8], [eqn: A(3)=5`]이다.
집합 [eqn: P`= LEFT { 2,``3,``4,``5,``6,``7,``8 RIGHT } `]의 공집합이 아닌 부분집합 [eqn: X`]에 대하여 집합 [eqn: X`]에서 집합 [eqn: X`]로의 대응 [eqn: f`]를

[eqn: f(x)=A(x) `] ([eqn: x in X `])

로 정의하면 어떤 대응 [eqn: f`]는 함수가 된다. 함수 [eqn: f`]가 일대일 대응이 되도록 하는 집합 [eqn: X`]의 개수를 구하시오. [4점]

30. 자연수 전체의 집합의 부분집합 [eqn: X`]가 상수 [eqn: p`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n(X) =3]

(나) [eqn: x in X `]일 때,

[eqn: x`]가 홀수이면 [eqn: {x +p}over2 in X],

[eqn: x`]가 짝수이면 [eqn: x over 2 inX`]이다.

[eqn: 5 in X`]일 때, 모든 자연수 [eqn: p`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.