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6월 모의평가 해설

수학 영역(A형)

2013년 6월 5일(수) 시행

6월 모의평가 해설

2교시  <수학 영역>

전국모의고사 전문  비상

￭ 본 해설은 비상 모의고사 출제개발부

교과 연구팀에서 작성한 자료입니다.

수학 영역_A형

1. ③	2. ④	3. ⑤	4. ②	5. ②

6. ③	7. ①	8. ④	9. ⑤	10. ②

11. ③	12. ①	13. ①	14. ④	15. ③

16. ①	17. ②	18. ④	19. ⑤	20. ④

21. ⑤	22. [eqn: 26]	23. [eqn: 13]	24. [eqn: 15]	25. [eqn: 21]

26. [eqn: 28]	27. [eqn: 4]	28. [eqn: 11]	29. [eqn: 31]	30. [eqn: 12]

1. 지수와 지수함수	③

정답

[eqn: 4 ^{1over2} times 27 ^{1over3} = (2^2 )^{1over2} times (3^3 ) ^{1over3} = 2 times 3 = 6]

2. 행렬과 그래프	④

정답

[eqn: 2A-B`][eqn: = 2 pmatrix{`1&&2`#`0&&3`} - pmatrix{`0&&-1`#`2&&```````2`}]
[eqn: = pmatrix{`2&&4`#`0&&6`} - pmatrix{`0&&-1`#`2&&```````2`} = pmatrix{````````2&&5`#`-2&&4`}]

따라서 행렬 [eqn: 2A-B`]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+5-2+4=9]

3. 수열의 극한	⑤

정답

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 5 times 7`^{n+1} + 3} over { 7`^n} }][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 5 TIMES 7+ {3} over {7` ^{n}} RIGHT )} =35]

4. 행렬과 그래프	②

정답

구하는 행의 개수는 주어진 그래프의 꼭짓점 중에서 연결된 변의 개수가 [eqn: 3]인 꼭짓점의 개수와 같다. 따라서 구하는 행의 개수는 [eqn: 2]이다.

5. 로그와 로그함수	②

정답

[eqn: log`_5 (6 - sqrt { 11}) + log`_5 (6 + sqrt { 11} )]

[eqn: =log` _{5} (6- sqrt {11} )(6+ sqrt {11} )]

[eqn: = log`_5 `25 = log`_5 `5^2 = 2]

6. 다항함수의 미분법	③

정답

[eqn: f(x) = x^ 3 -x]에서 [eqn: f`'(x) = 3x^2 -1]

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(1+3h)-f(1)} over {2h}}][eqn: = lim _{`h -> `0} {{f(1+3h)-f(1)} over {3h}} TIMES {3} over {2}]
[eqn: = { 3} over { 2} f`' (1)]

[eqn: therefore```][eqn: { 3} over { 2} f`'(1) = { 3} over { 2} times 2 = 3]

7. 수열	①

정답

공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a_1 `a_9 = a_1 times a_1 ` r^8 = a_1^{``2}` r^8 = 4]

[eqn: therefore```][eqn: a_2 `a_8 + a_4` a_6][eqn: = a _1` r times a_1` r^7 + a_1` r^3 times a_1` r^5]
[eqn: = a_1 ^{``2} `r^8 + a_1 ^{``2} `r^8 =4+4 =8]

8. 행렬과 그래프	④

정답

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식

[eqn: pmatrix { `t&& -2` # `3 & & t-7` } pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#`0`}]이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가져야 하므로 행렬 [eqn: pmatrix { `t&& -2` # `3 & & t-7` }]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

[eqn: t (t-7 ) +6=0], [eqn: t^2 - 7t+6=0]

[eqn: therefore```][eqn: t =1] 또는 [eqn: t =6]

(ⅰ) [eqn: t=1]일 때
행렬 [eqn: pmatrix{`1&&-2`#`3&&-6`}]의 역행렬이 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: t =6]일 때
행렬 [eqn: pmatrix{`6&&-2`#`3&&-1`}]의 역행렬이 존재하지 않는다.

따라서 구하는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 합은 [eqn: 1+6 =7]

9. 함수의 극한과 연속	⑤

정답

[eqn: lim _{ x`->`2} { { f(x) -3} over {x-2 } } =5]에서 [eqn: x`->`2]일 때 (분모)[eqn: `->`0]이므로

(분자)[eqn: `->`0]이어야 한다. 즉, [eqn: lim _{x -> 2} {} f(x)=3,~f(2)=3]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{x` -> `2} {{x-2} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} -9}}][eqn: = lim _{ x`->`2} { { x-2} over { left{ f(x) -3 right} left{ f(x) + 3 right}} }]
[eqn: = lim _{ x`->`2} { { x-2} over {f(x) -3 } } times lim _{ x`->`2} { { 1} over {f(x) +3 } }]
[eqn: = {1 } over { 5} times { 1} over { 6} = { 1} over { 30}]

10. 함수의 극한과 연속	②

정답

[eqn: f(x) = cases{` x+a && (x le 1 )#&&#` lim _{ n`->`inf} { { 2 x^n+1 + 3x^n} over {x^n +1 }&&& (x>1 ) } }]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=1]에서의 함숫값과 극한값이 서로 같아야 한다.

[eqn: f(1)=a+1]

[eqn: x>1]일 때 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {x ^{n} = INF }]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{2x ^{n+1} +3x ^{n}} over {x ^{n} +1}}][eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 2x +3} over {1 + { 1} over {x^n } } }]
[eqn: = 2x+3]

[eqn: f(1)= lim _{x` -> `1+0} {} LEFT ( 2x+3 RIGHT ) =5]에서 [eqn: a+1 = 5]

[eqn: therefore```][eqn: a=4]

11. 함수의 극한과 연속	③

정답

ㄱ. (참) [eqn: lim _{ x`->`+0} { f(x)=1}]

ㄴ. (거짓) [eqn: lim _{ x`->`2-0} { f(x)=1}]

ㄷ. (참) ㄴ에서 [eqn: lim _{ x`->`2-0} { |`f(x)`|}}` =1]

[eqn: lim _{ x`->`2+0} {|`f(x)`| }`= |`-1`| =1]이므로

[eqn: lim _{ x`->`2} { `|`f(x)`|}` =1]

[eqn: |`f(2)`| `= |`-1`| =1]

[eqn: x=2]에서 함숫값과 극한값이 서로 같으므로

함수 [eqn: |`f(x)`|]는 [eqn: x=2]에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

12. 수열	①

정답

[eqn: a`_1 = S`_1 = 1^2 - 10 =-9]

[eqn: n ge 2]일 때

[eqn: a_n][eqn: = S_n -S_n-1]
[eqn: =(n^2 - 10n ) - left{ (n-1)^2 - 10(n-1) right}]
[eqn: = (n^2 - 10n ) - (n^2 - 12n+11)]
[eqn: = 2n-11]

[eqn: a_n <0]에서 [eqn: 2n-11 <0]

[eqn: therefore```][eqn: n < { 11} over { 2}]

따라서 [eqn: a_n <0]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 [eqn: 5]개이다.

13. 함수의 극한과 연속	①

정답

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이 되려면 [eqn: x=0]에서의 극한값이 존재하고 함숫값과 극한값이 서로 같아야 한다.

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) LEFT { f LEFT ( 0 RIGHT ) +k RIGHT } =2 LEFT ( 2+k RIGHT ) =2k+4]

[eqn: lim _{ x`->`+0} { g(x)}][eqn: `= lim _{ x`->`-0} { g(x)}]에서

[eqn: lim _{x` -> `+0} {g(x)}][eqn: `= lim _{x` -> `+0} {f(x) LEFT { f(x)+k RIGHT }}][eqn: `=0 TIMES k=0]

[eqn: lim _{x` -> `-0} {g(x)}][eqn: `= lim _{x` -> `-0} {f(x) LEFT { f(x)+k RIGHT }}][eqn: `=2k+4]

따라서 [eqn: 2k+4=0]에서 [eqn: k=][eqn: -2]

14. 수열의 극한	④

정답

[eqn: f(x) = cases{`x+2&& (x le0)#&&# ` - 1over2 x && (x>0 )}]

[eqn: a_n+1 = f(f(a_n ))][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]에서

[eqn: a_1 =1]

[eqn: a_2][eqn: =f(f(a _{1} ))=f(f(1))=- {1} over {2} TIMES 1+2][eqn: = {3} over { 2}]

[eqn: a_3][eqn: =f(f(a _{2} ))=f LEFT ( f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) RIGHT ) =- {1} over {2} TIMES {3} over {2} +2][eqn: = 5over 4]

[eqn: a_4][eqn: =f(f(a _{3} ))=f LEFT ( f LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) RIGHT ) =- {1} over {2} TIMES {5} over {4} +2][eqn: = 11over 8]

[eqn: a_5][eqn: =f(f(a _{4} ))=f LEFT ( f LEFT ( {11} over {8} RIGHT ) RIGHT ) =- {1} over {2} TIMES {11} over {8} +2][eqn: = 21 over 16]

[eqn: vdots]

에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n >0]이므로

[eqn: a_n+1][eqn: = - 1over2 a_n + 2]	…… ㉠

[eqn: lim _{ n`->`inf} { a_n =alpha}`]라 하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n+1} = alpha }]이므로

㉠에서 [eqn: alpha =][eqn: - 1over2 alpha +2], [eqn: { 3} over { 2} alpha =2]

[eqn: therefore```][eqn: alpha = 4over 3]

15. 지수와 지수함수	③

정답

[eqn: \A]지역의 대기 안정도 계수를 [eqn: k`]라 하면

[eqn: 8 = 2 times LEFT ( 36 over 12 RIGHT )^{2 over 2-k}], [eqn: 4=3 ^{{2} over {2-k}}]	…… ㉠

[eqn: \B]지역의 대기 안정도 계수는 [eqn: \A]지역의 대기 안정도 계수와 같으므로

[eqn: b=a TIMES 9 ^{{2} over {2-k}}]	…… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: {b} over {a} =9 ^{{2} over {2-k}} = LEFT ( 3 ^{{2} over {2-k}} RIGHT ) ^{2} =4 ^{2} =16]

16. 수열	①

정답

원점 [eqn: \O]를 점 [eqn: \P_0]라 하면

[eqn: bar{ \P_{itn-1} P_{it n} }= n sqrt { 2}`` (n ge 1 )]

따라서 원점에서 출발한 점 [eqn: \Q]가 점 [eqn: \P_{it n}]까지 움직일 때 지나는 선분의 길이는

[eqn: sum _{ k=1} ^{ n} k sqrt { 2} = { n(n+1)} over {2 } sqrt { 2}]

점 [eqn: \Q]는 한 번에 [eqn: sqrt { 2}]만큼 [eqn: 55]번 이동했으므로 점 [eqn: \Q]가 이동한 거리는 [eqn: 55 sqrt { 2}]

[eqn: { n(n+1)} over { 2} sqrt { 2 } = 55 sqrt { 2}], [eqn: n=10]

따라서 점 [eqn: \Q]는 점 [eqn: \P_10]의 위치에 있다.

점 [eqn: \P_{it 2n}]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -n]이므로 [eqn: \P_10]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -5]이다.

따라서 점 [eqn: \Q]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -5]이다.

17. 다항함수의 미분법	②

정답

[eqn: f(x) = x^3 - 3x^2 +x+1]이라 하면

[eqn: f`'(x) = 3x^2 - 6x +1]

점 [eqn: \A]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 3]이므로 점 [eqn: \A]에서의 접선의 방정식의 기울기는 [eqn: f`'(3)=10]

점 [eqn: \B]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a(a!=3)]라 하면

점 [eqn: \B]에서의 접선의 방정식의 기울기가 [eqn: 10]이므로

[eqn: f`'(a) = 3a^2 -6a+1=10]

[eqn: a^2 -2a-3=0]에서 [eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=3]

[eqn: therefore```][eqn: a=-1][eqn: ( BECAUSE a != 3)]

점 [eqn: rm B LEFT ( -1,~-4 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y= 10 (x+1)-4= 10x+6]

따라서 구하는 [eqn: y]절편의 값은 [eqn: 6]

18. 수열의 극한	④

정답

[eqn: rm bar{HG} = it k]라 하면 [eqn: rm bar{HE} =2 it k]

피타고라스 정리에 의하여 [eqn: rm bar BD = sqrt { 5}]

[eqn: rm angle ADB = theta]라 하면 세 삼각형 [eqn: rm ABD], [eqn: rm AEH], [eqn: rm GHD]는 서로 닮음이므로 [eqn: rm angle AHE = theta]

[eqn: rm triangle ABD]에서 [eqn: cos` theta = { 2 sqrt5} over { 5}], [eqn: sin` theta = { sqrt { 5} } over { 5}]

[eqn: rm barDH = ita]라 하면 [eqn: rm triangle GHD]에서

[eqn: sin` theta = { k} over { a} = { sqrt { 5} } over { 5}], [eqn: a = sqrt { 5}k]

[eqn: rm bar{AH} = it 2-a=2- sqrt {5} k]

[eqn: rm triangle AEH]에서 [eqn: cos ` theta = { 2 - sqrt { 5} k} over { 2k} = { 2 sqrt { 5} } over {5 }]

[eqn: 4 sqrt { 5} k = 10 - 5 sqrt { 5}k], [eqn: 9 sqrt { 5} k=10]

[eqn: k = { 2 sqrt { 5} } over { 9}]

따라서 사각형 [eqn: \EFGH]의 넓이는 [eqn: { 2 sqrt { 5} } over { 9} times { 4 sqrt { 5} } over { 9} = { 40} over { 81}]

한편 사각형 [eqn: \ABCD]의 넓이는 [eqn: 2]이므로 두 사각형 [eqn: \ABCD]과 [eqn: \EFGH]의 넓이의 비는 [eqn: 1: { 20} over { 81}]

따라서 구하는 극한값은 [eqn: lim _{ n`->`inf} { S_n}= { 40 over 81} over { 1 - 20 over 81} = 40 over 61]

19. 수열	⑤

정답

[eqn: n^2 `a_n+1 = (n^2 -1 )a_n + n (n+1)2^n ``(n ge 1 )]	…… ㉠

주어진 식 ㉠의 양변을 [eqn: n^2]으로 나누면

[eqn: a_n+1 = { (n+1)(n-1)} over { n^2}a_n + { n+1} over { n}2^n]

이다. 위 식의 양변에 [eqn: { n} over { n+1}]을 곱하면

[eqn: n over n+1 a_n+1 = { n-1} over { n}a_n +2^n]	…… ㉡

[eqn: b_n = { n-1} over { n}a_n]이라 하면 [eqn: b_n+1 = { n} over { n+1}a_n+1]이므로

㉡에 의하여

[eqn: b_n+1 = b_n +] [eqn: (n ge 1)]

[eqn: 2^n]

이때, [eqn: b_1 =0]이므로

[eqn: b_n][eqn: = b_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1} 2^k]
[eqn: =0+ {2(2 ^{n-1} -1)} over {2-1} =2 ^{n} -2`(n GEQ 2)]	…… ㉢

㉢에서 [eqn: n=1]일 때, [eqn: b_1 =0]이므로

[eqn: b_n =] [eqn: (n ge 1)]

[eqn: 2^n -2]

그러므로

[eqn: a_n = cases{`2&& (n=1)#&&# ` { n} over { n-1} times (2^n -2 ) && (n ge 2 )}]

이다.

따라서 [eqn: f(n ) = 2^n], [eqn: g(n) = 2^n -2]이므로

[eqn: f(5) =2^5], [eqn: g(10)= 2^10 -2]

[eqn: therefore```][eqn: f(5) +g(10)=1054]

20. 로그와 로그함수	④

정답

점 [eqn: \A]의 좌표가 [eqn: {\A}(a,~2^a )]이므로

[eqn: 15 cdot 2^-x = 2^a], [eqn: 2^-x = { 2^a} over { 15}]	…… ㉠

㉠의 양변에 밑이 [eqn: 2]인 로그를 취하면

[eqn: -x` log`_2 ` 2 = a log`_2 `2 - log`_2 `15]

[eqn: x = log`_2 ` 15 - a]

따라서 점 [eqn: \B]의 좌표는 [eqn: {\B} (log`_2` 15 - a,~ 2^a )]이다.

그러므로 [eqn: rm bar AB = it a - (log`_2 `15 - a ) = 2a - log`_2 `15]

[eqn: rm 1 < bar AB < 100]이므로 [eqn: 1 <2a - log`_2 ` 15 <100]

[eqn: { 1+ log`_2 `15} over { 2} < a < { 100+ log`_2 `15} over { 2}]

[eqn: 2. times times times < a < 51. times times times]

따라서 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: cdots], [eqn: 51]인 [eqn: 49]개이다.

21. 다항함수의 미분법	⑤

정답

[eqn: f(x) = cases{`a(3x-x^3 )&& (x <0 )#&&# ` x^3 -ax && (x ge0 )}]

(ⅰ) [eqn: a>0]일 때

함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: 0]이다.

(ⅱ) [eqn: a=0]일 때

함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 존재하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: a<0]일 때

함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 [eqn: x<0]일 때 극댓값이 존재하므로

[eqn: f` prime (x)=3a(1-x)(1+x)=0]에서 [eqn: x=-1]

[eqn: x=-1]일 때의 극댓값이 [eqn: 5]이므로

[eqn: f(-1) = -2a =5], [eqn: a = - 5 over2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: f(x)= {cases{`- {5} over {2} (3x-x ^{3} )&&(x<0)#&&#`x ^{3} + {5} over {2} x&&(x GEQ 0)}}]

[eqn: therefore```][eqn: f(2)=2 ^{3} + {5} over {2} TIMES 2=13]

22. 수열	[eqn: 26]

정답

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a _{1}], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a_3 = a_1 +2d =8]

[eqn: a_6 - a_4 = a_1 + 5d - (a_1 + 3d ) = 2d =12]

[eqn: therefore```][eqn: d = 6], [eqn: a_1 = -4]

[eqn: therefore```][eqn: a_6 = -4 + 5 times 6 = 26]

23. 다항함수의 미분법	[eqn: 13]

정답

[eqn: f(x) = 5x^2 +3x -1]에서 [eqn: f`' (x) = 10x +3]

[eqn: therefore```][eqn: f`'(1) = 13]

24. 수열의 극한	[eqn: 15]

정답

[eqn: 3 n^2 +2n < a_n < 3n^2 +3n]에서 각각을 [eqn: n^2]으로 나누면

[eqn: { 3n^2 +2n} over { n^2} < { a_n} over { n^2}< { 3n^2 +3n} over { n^2}]

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 3n^2 +2n} over {n^2 } } = lim _{ n`->`inf} { { 3n^2 +3n} over { n^2} } =3]이므로

수열의 극한값의 대소 관계에 의하여 [eqn: lim _{ n`->`inf} { { a_n} over {n^2 } } =3]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { { 5 a_n} over {n^2 +2n } } = lim _{ n`->`inf} { { 5 times { a_n} over {n^2 } } over { 1+ 2 over n} }][eqn: = 5 times 3][eqn: = 15]

25. 함수의 극한과 연속	[eqn: 21]

정답

[eqn: lim _{ x`->`2} { { sqrt { x+a} -2} over { x-2} } =b]에서 [eqn: x`->`2]일 때 (분모)[eqn: `->`0]

이므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.

[eqn: sqrt { 2+a} -2=0]에서 [eqn: a=2]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ x`->`2} { { sqrt { x+2} -2} over { x-2} }]
[eqn: = lim _{ x`->`2} { { ( sqrt { x+2} -2 )( sqrt { x+2} +2)} over { (x-2) ( sqrt { x+2} +2)} }]
[eqn: = lim _{ x`->`2} { } { x-2} over {(x-2)( sqrt { x+2}+2) }]
[eqn: = lim _{ x`->`2} { { 1} over { sqrt { x+2} +2} } = { 1} over { 4}]

이므로 [eqn: b = { 1} over { 4}]

[eqn: therefore```][eqn: 10a +4b = 20+1 =21]

26. 다항함수의 미분법	[eqn: 28]

정답

[eqn: f(2)=1], [eqn: f`'(2)=2]

[eqn: g(x) = x^3 `f(x)]에서 [eqn: g'(x) = 3x^2 f(x) +x^3 f`'(x)]

[eqn: therefore```][eqn: g'(2)][eqn: = 3 times 2 ^2 times f(2) + 2^3 times f`'(2)]
[eqn: = 28]

27. 로그와 로그함수	[eqn: 4]

정답

[eqn: x ^{log`_2` x} = 8x^2]	…… ㉠

㉠의 양변에 밑이 [eqn: 2]인 로그를 취하면

[eqn: log`_2 `x ^{log`_2 `x} = log`_2 `8x^2]

[eqn: (log`_2 `x )^2 = 3+ 2 log`_2 `x]

[eqn: log`_2 `x = t]로 치환하면

[eqn: t^2 - 2t -3 =0], [eqn: (t-3)(t+1)=0]

[eqn: therefore```][eqn: t=-1] 또는 [eqn: t=3]

[eqn: log`_2 `x =-1]에서 [eqn: x = 1over2]

[eqn: log`_2 `x =3]에서 [eqn: x=8]

㉠의 두 실근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: therefore```][eqn: alpha beta = 1 over2 times 8 = 4]

28. 수열	[eqn: 11]

정답

[eqn: a _{1} =7]이고, [eqn: a _{2} =k]라 하면

[eqn: a_n+2 = a_n -4][eqn: LEFT ( n=1,~2,~3,~4 RIGHT )]에서

[eqn: n=1]일 때 [eqn: a_3 = a_1 -4 =3]

[eqn: n=2]일 때 [eqn: a _{4} =a _{2} -4=k-4]

[eqn: n=3]일 때 [eqn: a_5 = a_3 -4=-1]

[eqn: n=4]일 때 [eqn: a _{6} =a _{4} -4=a _{2} -8=k-8]

(나)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+6 = a_n]이므로

[eqn: a_1 = a_7 = cdots], [eqn: a_2 = a_8 = cdots], [eqn: a_3 = a_9 = cdots],

[eqn: a_4 = a_10 = cdots], [eqn: a_5 = a_11 = cdots], [eqn: a_6 = a_12 = cdots]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 50}a_k][eqn: = 8 (a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5 +a_6 ) +a_1 +a_2]
[eqn: =8 LEFT { 7+k+3+(k-4)-1+(k-8) RIGHT } +7+k]
[eqn: =25k-17=258]

[eqn: 25k=275,~k=11]

[eqn: therefore```][eqn: a_2 =11]

29. 행렬과 그래프	[eqn: 31]

정답

(가)에서 [eqn: A^3 - E = (A-E `)(A^2 +A+E`) = O]	…… ㉠

(나)에서 행렬 [eqn: A-E`]의 역행렬이 존재하므로

㉠에 행렬 [eqn: A-E`]의 역행렬을 왼쪽에 각각 곱하면

[eqn: A^2 +A +E =O], [eqn: A^2 = -A -E]	…… ㉡

[eqn: (A-E)^2 =A^2 -2A+E]에 ㉡을 대입하면

[eqn: -A -E -2A +E =-3A]

[eqn: (A-E)^2 =-3A]	…… ㉢

㉢의 양변을 [eqn: 30]제곱하면

[eqn: (A-E)^60][eqn: = (-3)^30 A^30]
[eqn: = 3^30 (E )^10 = 3^30 E]

따라서 행렬 [eqn: (A-E)^60]의 모든 성분의 합은

[eqn: 3^30 + 3 ^30 = 2 times 3^30]

[eqn: therefore```][eqn: a=1], [eqn: b=30], [eqn: a+b=31]

30. 로그와 로그함수	[eqn: 12]

정답

자연수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: log`m]의 지표와 가수를 각각 [eqn: a], [eqn: alpha]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log`n]의 지표와 가수를 각각 [eqn: b], [eqn: beta]

라 하면 [eqn: {\P}_{ m }(a,~ alpha )], [eqn: {\P}_{n }(b,~ beta )]

(나)에서 [eqn: rm{ bar{P_{it m }P_{it n }}}^2][eqn: = 1 + (log` 2 )^2]
[eqn: = (a-b)^2 +(alpha - beta )^2]

이고 [eqn: a], [eqn: b]는 정수이므로

[eqn: |`a-b`| =1], [eqn: |`alpha -beta`| = log`2]

(가)에서 [eqn: m <n]이므로 [eqn: b= a+1]

즉, [eqn: m]은 일의 자리 자연수이고, [eqn: n]은 십의 자리 자연수이다.

(ⅰ) [eqn: alpha > beta]일 때

[eqn: alpha -beta = log`2]에서 [eqn: alpha = log`2 + beta]

[eqn: log`m = a + alpha = a + beta + log`2]	…… ㉠

[eqn: log`n = b + beta = a +1 + beta]	…… ㉡

㉡에서 ㉠을 빼면

[eqn: log`n - log`m = 1- log`2], [eqn: log { n} over { m} = log`5]

[eqn: { n} over { m} = 5], [eqn: n = 5m]

이 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (m,~n)]은

[eqn: (2,~10)], [eqn: (3,~15)], [eqn: (4,~20)], [eqn: (5,~25)], [eqn: (6,~30)], [eqn: (7,~35)], [eqn: (8,~40)], [eqn: (9,~45)]인 [eqn: 8]개이다.

(ⅱ) [eqn: alpha < beta]일 때

[eqn: alpha - beta =- log`2]에서 [eqn: alpha = beta - log`2]

[eqn: log`m = a+alpha = a+ beta - log`2]	…… ㉢

[eqn: log`n = b + beta = a +1 + beta]	…… ㉣

㉣에서 ㉢을 빼면

[eqn: log`n - log`m = 1+ log`2], [eqn: log { n} over { m} = log`20]

[eqn: { n} over { m} = 20], [eqn: n = 20m]

이 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (m,~n )]은

[eqn: (1,~20)], [eqn: (2,~40)], [eqn: (3,~60)], [eqn: (4,~80)]인 [eqn: 4]개이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 순서쌍 [eqn: (m,~n)]의 개수는 [eqn: 12]개이다.

수학 영역_B형

1. ⑤	2. ④	3. ⑤	4. ③	5. ②

6. ①	7. ①	8. ⑤	9. ①	10. ②

11. ⑤	12. ①	13. ⑤	14. ②	15. ④

16. ③	17. ④	18. ③	19. ②	20. ④

21. ③	22. [eqn: 22]	23. [eqn: 12]	24. [eqn: 16]	25. [eqn: 7]

26. [eqn: 450]	27. [eqn: 9]	28. [eqn: 10]	29. [eqn: 14]	30. [eqn: 109]

수학 영역(B형)

1. 지수와 지수함수	⑤

정답

[eqn: 4^{ 3 over2 } times 27^{1over3 }][eqn: = (2^2 ) ^{ 3 over2 } times (3^3 )^{ 1over3 } = 2^3 times 3][eqn: = 24]

2. 행렬과 그래프	④

정답

[eqn: A^-1 = pmatrix{````````1&&-1`#`-2&&```````3`}]이므로 [eqn: AX=B`]에서

[eqn: X = A^-1 B `= pmatrix{````````1& &-1`#`-2&& ```````3`} pmatrix{`4&& 0`#`0&& 4`} = pmatrix{```````4&& -4`#-8&& ```12`}]

따라서 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4]이다.

3. 수열의 극한	⑤

정답

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 5 times 7`^{n+1} + 3} over { 7`^n} }][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 5 TIMES 7+ {3} over {7` ^{n}} RIGHT )} =35]

4. 수열	③

정답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_1 +a_2 = a_1 +a_1 r = a_1 (1+r)=12]	…… ㉠

[eqn: { a_3 + a_7} over { a_1 +a_5}][eqn: = { a_1 r^2 +a_1 r^6} over { a_1 +a_1 r^4} = { a_1 r^2 (1+r^4 )} over { a_1 (1+r^4 )}]
[eqn: = r^2 =4]

따라서 [eqn: r = 2``(because```r>0 )]	…… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: 3a_1 = 12], [eqn: a_1 =4]

[eqn: therefore```][eqn: a _{4} =a _{1} r ^{3} =4 TIMES 2 ^{3} =32]

5. 순열과 조합	②

정답

○○○○○○에 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수를 주어진 조건에 맞게 나열한다고 하자.

[eqn: 2], [eqn: 4]가 나열되는 두 자리를 선택하는 경우의 수는

[eqn: ` _6 rmC _2 = { 6 times 5} over { 2 times 1} = 15](가지)

이때, 선택한 두 자리의 왼쪽에 [eqn: 2], 남은 자리에 [eqn: 4]를 나열한다.

남은 네 자리에 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]가 나열되는 세 자리를 선택하는 경우의 수는 [eqn: ` _4 rmC _3 = 4](가지)

이때, 선택한 세 자리의 왼쪽부터 작은 수를 차례로 나열한다.

그리고 남은 한 자리에 [eqn: 6]을 나열한다.

따라서 구하고자 하는 경우의 수는 [eqn: 15 times 4 = 60]이다.

6. 함수의 극한과 연속	①

정답

[eqn: lim _{ x`->`1} { { x-1} over {f(x) } } =2]에서 [eqn: x`->`1]일 때,

(분자)[eqn: `->`0]이므로 (분모)[eqn: `->`0]이어야 한다.

[eqn: therefore```][eqn: f(1)=0]	…… ㉠

[eqn: lim _{ x`->`1} { { f(f(x))} over { 2x^2 -x-1} } = lim _{ x`->`1} { left{ { f(f(x))} over f(x) times { f(x)} over {2x^2 -x -1 } } right}]

[eqn: f(x) = t]라 하면 [eqn: x` -> 1]일 때, [eqn: t`->`0]([eqn: because```]㉠)

이므로 [eqn: lim _{ x`->`1} { { f(f(x))} over {f(x) } } = lim _{ t`->`0} { { f(t)} over { t} } =1]이다.

[eqn: THEREFORE ~ lim _{x` -> `1} {{f(f(x))} over {2x ^{2} -x-1}}][eqn: = lim _{ x`->`1} { { f(f(x))} over {f(x) } } times lim _{ x`->`1} { { f(x)} over { x-1} } times lim _{ x`->`1} { { 1} over { 2x+1} }]
[eqn: =1 times { 1} over { 2} times { 1} over { 3} = { 1} over { 6}]

7. 일차변환과 행렬	①

정답

일차변환 [eqn: g]를 나타내는 행렬을 [eqn: A]라 하면

[eqn: A pmatrix{`1&&0` #`0&& 1`} = pmatrix{`1&&1` #`2&& 3`}]이므로

행렬 [eqn: A]는 [eqn: pmatrix{`1&&1` #`2&& 3`}]이다. 따라서 합성변환 [eqn: g circ f]를 나타내는 행렬은

[eqn: pmatrix{`1&&1` #`2&& 3`} pmatrix{`1&&0` #`1&& 2`} =pmatrix{`2&&2` #`5&& 6`}]

함성변환 [eqn: g circ f]에 의하여 점 [eqn: \C (2,~1)]이 점 [eqn: \C' (alpha,~ beta)]로 옮겨지므로

[eqn: pmatrix{`2&&2` #`5&& 6`} pmatrix{`2`#`1`} = pmatrix{`6`#`16`} = pmatrix{`alpha`#` beta `}]

[eqn: therefore```][eqn: alpha +beta= 6+16= 22]

8. 미분법	⑤

정답

[eqn: \A(1,~0)], [eqn: \B(itt,~ 2 sqrt { t})], [eqn: \C(it t,~0)]이므로

삼각형 [eqn: \BAC]의 넓이 [eqn: f(t)]는

[eqn: f(t)= {1} over {2} TIMES rm bar{AC} TIMES bar{BC} = {1} over {2} TIMES it (t-1) TIMES 2 sqrt {t}]                [eqn: = sqrt {t} (t-1)=t ^{{3} over {2}} -t ^{{1} over {2}}]

[eqn: f`'(t) = 3over2 t^{1over2} - 1 over2 t^{- 1over2 } = { 3 sqrt { t} } over { 2} - { 1} over { 2 sqrt { t} }]

[eqn: therefore```][eqn: f`'(9) = { 9} over { 2} - { 1} over { 6} = { 26} over { 6} = { 13} over { 3}]

9. 적분법	①

정답

[eqn: rm bar AB ``:`` bar AD = 3``:``1]이고, 삼각형 [eqn: \BAC]와 삼각형 [eqn: \DAO]가 닮음이므로 [eqn: rm bar{AC} ``:`` bar{AO} =3``:``1]이다.

점 [eqn: \A(1,~0)]이고, 점 [eqn: rm C( it a,~0)]이므로

[eqn: 3 rm bar{AO} = bar{AC}], [eqn: 3 =a-1]  [eqn: therefore```][eqn: a =4]

따라서 구하는 회전체의 부피 [eqn: V]는

[eqn: V `][eqn: = pi int _{ 0} ^{4 } { (2 sqrt { x} )^2 dx = pi int _{ 0} ^{ 4} {4x` dx } }][eqn: = pi left[ 2x^2 right]_0^4 = 32pi]

10. 순열과 조합	②

정답

세 종류의 피자 중에서 [eqn: m]개를 주문하는 경우의 수는

[eqn: `_3 rm H_{it m }][eqn: = _3+m-1 {rm C}_m = _2+m {rm C}_m = _2+m {rm C}_2]
[eqn: = { (2+m )(1+m)} over { 2} = 36]

[eqn: m^2 +3m+2 =72], [eqn: m^2 +3m -70=0]

[eqn: (m+10)(m-7)=0]

[eqn: therefore```][eqn: m=7][eqn: (because``` m>0)]

고구마피자, 새우피자, 불고기피자를 적어도 하나씩 포함하여 [eqn: 7]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: x+y+z=7]([eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 자연수)의 해의 순서쌍의 개수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: `_3 rm H _4][eqn: = _3+4-1 rm C_4 = _6 C_4 = _6 C_2][eqn: = { 6 times 5} over { 2 times 1} = 15]

11. 삼각함수	⑤

정답

[eqn: rm angle AOB = theta]이므로 원주각의 성질에 의하여

[eqn: rm angle ACB = { theta} over { 2}]이다.

(삼각형 [eqn: \ABC]의 넓이)[eqn: = { 1} over { 2} times 4 times 3 times sin { theta} over { 2}]
[eqn: =6`sin {theta } over {2} =2]

[eqn: therefore```][eqn: sin { theta} over { 2} = { 1} over { 3}]

[eqn: cos { theta} over { 2} = sqrt { 1 - 1over 9} = { 2 sqrt { 2} } over { 3}][eqn: (because``` 0 < theta < pi )]

[eqn: therefore```][eqn: sin theta = 2 sin { theta} over { 2}` cos { theta} over { 2} = 2 times { 1} over { 3} times { 2 sqrt { 2} } over { 3} = { 4 sqrt2} over { 9}]

12. 이차곡선	①

정답

쌍곡선 [eqn: {4x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {40} =1]의 꼭짓점의 좌표를 [eqn: (a,~0)],

한 초점의 좌표를 [eqn: (c,~0)]이라 하면

[eqn: a = { 3} over { 2}], [eqn: c = sqrt { 40 + 9 over 4} = { 13} over { 2}]

즉, [eqn: \F LEFT ( 13 over2 ,~ 0 RIGHT )], [eqn: \F' LEFT ( - 13 over2 ,~ 0 RIGHT )]이므로

원 [eqn: C]의 반지름의 길이는 [eqn: { 13} over { 2} - { 3} over { 2} = 5]이다.

[eqn: rm angle PQF = pi over2]이므로 피타고라스정리에 의하여

[eqn: rm {bar PF}^2 = {bar PQ}^2 +{ bar QF}^2 = 144+25 = 169]

[eqn: therefore```][eqn: rm bar PF = 13]

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: rm bar PF - bar PF' = 3]

[eqn: therefore```][eqn: rm bar PF' = bar PF - 3 = 13-3 =10]

13. 수열	⑤

정답

[eqn: n^2 `a_n+1 = (n^2 -1 )a_n + n (n+1)2^n ``(n ge 1 )]	…… ㉠

주어진 식 ㉠의 양변을 [eqn: n^2]으로 나누면

[eqn: a_n+1 = { (n+1)(n-1)} over { n^2}a_n + { n+1} over { n}2^n]

이다. 위 식의 양변에 [eqn: { n} over { n+1}]을 곱하면

[eqn: n over n+1 a_n+1 = { n-1} over { n}a_n +2^n]	…… ㉡

[eqn: b_n = { n-1} over { n}a_n]이라 하면 [eqn: b_n+1 = { n} over { n+1}a_n+1]이므로

㉡에 의하여

[eqn: b_n+1 = b_n +] [eqn: (n ge 1)]

[eqn: 2^n]

이때, [eqn: b_1 =0]이므로

[eqn: b_n][eqn: = b_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1} 2^k]
[eqn: = 0 + { 2(2^n-1 -1)} over { 2-1} = 2^n -2`(n ge 2 )]	…… ㉢

㉢에서 [eqn: n=1]일 때 [eqn: b_1 =0]이므로

[eqn: b_n =] [eqn: (n ge 1)]

[eqn: 2^n -2]

그러므로

[eqn: a_n = cases{`2&& (n=1)#&&# ` { n} over { n-1} times (2^n -2 ) && (n ge 2 )}]

이다.

따라서 [eqn: f(n ) = 2^n], [eqn: g(n) = 2^n -2]이므로

[eqn: f(5) =2^5], [eqn: g(10)= 2^10 -2]

[eqn: therefore```][eqn: f(5) +g(10)=1054]

14. 행렬과 그래프	②

정답

(가)에서 [eqn: A^3 - E = (A-E `)(A^2 +A+E`) = O]	…… ㉠

(나)에서 행렬 [eqn: A-E`]의 역행렬이 존재하므로

㉠에 행렬 [eqn: A-E`]의 역행렬을 왼쪽에 각각 곱하면

[eqn: A^2 +A +E =O], [eqn: A^2 = -A -E]	…… ㉡

[eqn: (A-E)^2 =A^2 -2A+E]에 ㉡을 대입하면

[eqn: -A -E -2A +E =-3A]

[eqn: (A-E)^2 =-3A]	…… ㉢

㉢의 양변을 [eqn: 30]제곱하면

[eqn: (A-E)^60][eqn: = (-3)^30 A^30]
[eqn: = 3^30 (E )^10 = 3^30 E]

따라서 행렬 [eqn: (A-E)^60]의 모든 성분의 합은

[eqn: 3 ^{30} +3 ^{30} =2ㆍ3 ^{30}]

15. 일차변환과 행렬	④

정답

원점을 중심으로 각 [eqn: theta]만큼 회전하는 회전변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬을 [eqn: A]라 하면 [eqn: A = pmatrix {` cos theta &&- sin theta`# `sin theta && ```````cos theta`}]이다.

따라서 점 [eqn: \P(1,~0)]을 원점을 중심으로 각 [eqn: theta]만큼 회전시킨 점 [eqn: \R]의 좌표는 [eqn: pmatrix {` cos theta &&- sin theta`# `sin theta && ```````cos theta`} pmatrix{`1`#`0`} = pmatrix{`cos theta` # sin theta}]에서

[eqn: \R(cos theta,~ sin theta)]이다.

선분 [eqn: \OR]과 선분 [eqn: \PQ]가 만나는 점을 [eqn: \S]라 놓으면 삼각형 [eqn: \OPQ]와 삼각형 [eqn: \OPR]의 공통부분은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같고 넓이가 삼각형 [eqn: \OPQ]의 넓이의 [eqn: { 2} over { 3}]배이므로 점 [eqn: \S]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: { 2} over { 3}]이다.

또, 직선 [eqn: \PQ]와 직선 [eqn: \OR]의 방정식을 구하면 각각

[eqn: y = -x+1], [eqn: y= { sin theta} over { cos theta}x = tan theta x]이므로

두 직선의 교점 [eqn: \S]의 [eqn: y]좌표는

[eqn: y = { tan theta} over { 1 + tan theta} = { 2} over { 3}]이다.

[eqn: 3 tan theta = 2+ 2 tan theta], [eqn: tan theta =2]

[eqn: therefore```][eqn: cos theta = {sqrt {5}} over {5}], [eqn: sin theta = {2 sqrt {5}} over {5}]

따라서 회전변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은

[eqn: {sqrt {5}} over {5} + {sqrt {5}} over {5} + {2 sqrt {5}} over {5} + LEFT ( - {2 sqrt {5}} over {5} RIGHT )][eqn: = { 2 sqrt {5 } } over { 5}]

16. 미분법	③

정답

점 [eqn: (t,~t^3 )]과 직선 [eqn: y=x+6] 사이의 거리 [eqn: g(t)]는

[eqn: g(t)][eqn: ={ |`t-t^3 +6`|} over { sqrt { 2} } = { |`-t^3 +t+6`|} over { sqrt { 2} }]
[eqn: = cases{ { -t^3 +t+6} over { sqrt { 2} } && ( x le 2) # {{ t^3 -t -6} over { sqrt { 2}} && (x>2 )}]

[eqn: g'(t)][eqn: = cases{ {{ 1} over {sqrt2 }(-3t^2 +1) } && ( x le 2) # { { 1} over { sqrt2} (3t^2 -1)} && (x>2 )}}]

[eqn: g'(t)=0]에서 [eqn: t = { 1} over { sqrt { 3} }] 또는 [eqn: t = - { 1} over { sqrt { 3} }]이므로

함수 [eqn: g(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: cdots]	[eqn: - { 1} over { sqrt { 3} }]		[eqn: { 1} over { sqrt { 3} }]		[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g'(t)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]		[eqn: +]
[eqn: g(t)]	↘	극소	↗	극대	↘	[eqn: 0]	↗

[eqn: g LEFT ( - 1over sqrt { 3} RIGHT )>0], [eqn: g LEFT ( { 1} over sqrt { 3} { } RIGHT )>0], [eqn: g(2)=0]이므로

함수 [eqn: g(t)]의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

ㄱ. (참) 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

ㄴ. (참) 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t = - { 1} over { sqrt { 3} }]에서 극소이고,

[eqn: g LEFT ( - 1 over sqrt { 3} RIGHT )>0]이므로 함수 [eqn: g(t)]는 양수인 극솟값을 갖는다.

ㄷ. (거짓) [eqn: lim _{ t`->`2-0} { g'(t) = - { 11} over { sqrt { 2} } }]

[eqn: lim _{ t`->`2+0} { g'(t) = 11 over sqrt2}]이므로

[eqn: lim _{ t`->`2-0} { g'(t) != lim _{ t`->`2+0}g'(t) { } }]이다.

따라서 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=2]에서 미분가능하지 않다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17. 로그와 로그함수	④

정답

점 [eqn: \A]의 좌표가 [eqn: {\A}(a,~2^a )]이므로

[eqn: 15 cdot 2^-x = 2^a], [eqn: 2^-x = { 2^a} over { 15}]	…… ㉠

㉠의 양변에 밑이 [eqn: 2]인 로그를 취하면

[eqn: -x` log`_2 ` 2 = a log`_2 `2 - log`_2 `15]

[eqn: x = log`_2 ` 15 - a]

따라서 점 [eqn: \B]의 좌표는 [eqn: {\B} (log`_2` 15 - a,~ 2^a )]이다.

그러므로 [eqn: rm bar AB = it a - (log`_2 `15 - a ) = 2a - log`_2 `15]

[eqn: rm 1 < bar AB < 100]이므로 [eqn: 1 <2a - log`_2 ` 15 <100]

[eqn: { 1+ log`_2 `15} over { 2} < a < { 100+ log`_2 `15} over { 2}]

[eqn: 2. times times times < a < 51. times times times]

따라서 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: cdots], [eqn: 51]인 [eqn: 49]개다.

18. 적분법	③

정답

[eqn: x_k = 1 + { k} over { n}]이므로 [eqn: f(x_k ) = e^{1+ k over n}]

따라서 [eqn: A_k = { 1} over { 2} times LEFT ( 1 + k over n RIGHT ) times e^{1 + k over n}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { 1 over n } sum _{ k=1} ^{ n}A_k]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { 1 overn } sum _{ k=1} ^{ n} 1over2 times LEFT ( 1 + k over n RIGHT ) times e^{ 1 + k over n}]
[eqn: = 1 over2 lim _{ n`->`inf} { 1 over n } sum _{ k=1} ^{ n} LEFT ( 1+ k over n RIGHT )e^{1 + k over n}]
[eqn: = 1over2 int _{ 1} ^{ 2} { x`e^x `dx}]	…… ㉠

부분적분법에 의하여

(㉠)[eqn: = { 1} over { 2} left{ left[x e^x right]_1^2 - int _{ 1} ^{2 } {e^x`dx } right}]
[eqn: = { 1} over { 2} left{( 2e^2 -e ) - left[e^x right]_1^2 right}]
[eqn: = 1over2 left{ (2e^2 -e ) - (e^2 -e) right}]
[eqn: = 1over2 (2e^2 -e -e^2 +e ) = 1over2 e^2]

19. 이차곡선	②

정답

타원 [eqn: x^2 + {y^2} over { 2} =1]의 접선의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때,

접선의 방정식은 [eqn: y = mx+- sqrt { m^2 +2}]이다.

이 접선이 점 [eqn: \P (itk,~2)]를 지나므로

[eqn: 2 =mk +- sqrt { m^2 +2}], [eqn: 2-mk = +- sqrt { m^2 +2}]

양변을 제곱하면

[eqn: (2-mk )^2 = m^2 +2], [eqn: 4 -4mk + m^2 k^2 =m^2 +2]

[eqn: (k ^{2} -1)m ^{2} -4km+2=0]	…… ㉠

이때, 두 접선의 기울기의 곱이 [eqn: { 1} over { 3}]이므로

㉠의 두 실근의 곱이 [eqn: { 1} over { 3}]이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: { 2} over { k^2 -1} = { 1} over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: k^2 -1 =6], [eqn: k^2 =7]

20. 방정식과 부등식	④

정답

무리방정식

[eqn: sqrt { f(x) - mx} = f(x) - mx-2]에서

[eqn: f(x)-mx = t`(t ge 2 )]라 하면

[eqn: sqrt { t} = t-2], [eqn: t = (t-2)^2]

[eqn: t^2 - 5t +4=0]   [eqn: therefore```][eqn: t=4][eqn: (because``` t ge 2 )]

즉, [eqn: f(x) -mx =4], [eqn: f(x) = mx+4]

그러므로 함수 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y =mx+4]가 만나는 점이 [eqn: 4]개 이하가 되어야 한다.

따라서 주어진 조건 (가), (나)를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y =mx+4]를 나타내면 그림과 같다.

위 그림과 같이 두 함수의 교점이 [eqn: 4]개일 때,

직선 [eqn: y = mx+4]는 점 [eqn: (6,~7)]을 지나므로 [eqn: m = { 1} over { 2}]이다.

따라서 교점이 [eqn: 4]개 이하가 되려면 기울기 [eqn: m]이 [eqn: { 1} over { 2}]보다 크거나 같아야 한다. 따라서 [eqn: m]의 최솟값은 [eqn: { 1} over { 2}]이다.

21. 함수의 극한과 연속	③

정답

[eqn: rm bar AO =1], [eqn: rm bar OO' = 2]이므로 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm bar AO' = sqrt { 1+4 - 4 cos theta} = sqrt { 5 - 4 cos theta}]

[eqn: rm angle O' PA = pi over 2]이므로 삼각형 [eqn: rm O'PA]에서

피타고라스 정리에 의하여 [eqn: rm {barAO'}^2 = {bar AP}^2 + {bar PO' }^2]

[eqn: 5 - 4 cos theta = rm {bar AP}^2 +1], [eqn: rm bar AP = sqrt { 4 - 4 cos theta}]이다.

이때 [eqn: rm bar AO']은 [eqn: rm bar PQ]를 수직이등분하므로

선분 [eqn: rm AO']과 선분 [eqn: rm PQ]의 교점을 [eqn: \R]라 하면

삼각형 [eqn: \PAO']에서 [eqn: rm {bar AO'} times bar PR = bar AP times barPO']이 성립한다.

[eqn: sqrt { 5 - 4 cos theta} times rm{bar PR} = sqrt { 4 - 4 cos theta} times 1]

[eqn: therefore```][eqn: rm bar PR][eqn: = { sqrt { 4 - 4 cos theta} } over { sqrt { 5 - 4 cos theta} } = { 2 sqrt { 1- cos theta} } over { sqrt { 5 - 4 cos theta} }]

[eqn: rm bar PQ = 2 bar PR]이므로

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ theta`->` +0} { rm { bar PQ} over { theta} }]
[eqn: = lim _{theta ` -> `+0} {{4 sqrt {1-cos theta }} over {theta sqrt {5-4cos theta }}}]
[eqn: = lim _{ theta `->`+0} { 4 sqrt { { (1- cos theta ) (1+ cos theta)} over { theta^2 (5 - 4 cos theta )(1+ cos theta )} } }]
[eqn: = lim _{ theta`->`+0} { 4 sqrt { { sin^2 theta} over { theta^2} times { 1} over {(5- 4 cos theta )(1+ cos theta ) } } }]
[eqn: = 4 sqrt { 1 times { 1} over { 2} } ``left(because``` lim _{ theta`->`0} { { sin theta} over {theta } =1 right)}]
[eqn: = { 4} over { sqrt { 2} } = 2 sqrt { 2}]

22. 수열	[eqn: 22]

정답

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: a_3 = a+2d =10]	…… ㉠

[eqn: a_2 +a_5 = (a+d) + (a+4d) = 2a+5d =24]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=2], [eqn: d=4]

[eqn: therefore```][eqn: a_6 = a+5d = 2+20 =22]

23. 함수의 극한과 연속	[eqn: 12]

정답

[eqn: lim _{ x`->`0} { { e^2x +10x -1} over { x} }][eqn: = lim _{x` -> 0} {LEFT { 2 LEFT ( {e ^{2x} -1} over {2x} RIGHT ) +10 RIGHT }}]
[eqn: = 2 times 1 +10][eqn: left(because``` lim _{ x`->`0} { { e^x -1} over {x } } = 1 right)]
[eqn: = 12]

24. 지수와 지수함수	[eqn: 16]

정답

[eqn: \A]지역의 대기 안정도 계수를 [eqn: k`]라 하면

[eqn: 8 = 2 times LEFT ( 36 over 12 RIGHT )^{2 over 2-k}], [eqn: 4=3 ^{{2} over {2-k}}]	…… ㉠

[eqn: \B]지역의 대기 안정도 계수는 [eqn: \A]지역의 대기 안정도 계수와 같으므로

[eqn: b=a TIMES 9 ^{{2} over {2-k}}]	…… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: {b} over {a} =9 ^{{2} over {2-k}} = LEFT ( 3 ^{{2} over {2-k}} RIGHT ) ^{2} =4 ^{2} =16]

25. 삼각함수	[eqn: 7]

정답

삼각함수의 합성에 의하여

[eqn: sqrt { 6}` sin x - sqrt { 2} `cos x][eqn: = sqrt { 6+2} `sin LEFT ( x- pi over 6 RIGHT )]
[eqn: = 2 sqrt { 2} ` sin LEFT ( x- pi over 6 RIGHT )]

이므로 삼각방정식

[eqn: sqrt { 6}`sin x - sqrt { 2}` cos x -2=0]

[eqn: 2 sqrt { 2}`sin LEFT ( x- pi over 6 RIGHT ) -2 =0]에서

[eqn: sin LEFT ( x- {pi } over {6} RIGHT ) = {sqrt {2}} over {2}]	…… ㉠

[eqn: 0 le x le 2 pi]이므로 [eqn: - pi over 6 le x - pi over 6 le 11 over 6 pi]

따라서 ㉠을 만족시키려면

[eqn: x - pi over 6 = pi over 4] 또는 [eqn: x - pi over 6 = 3 over4 pi]

즉, [eqn: x = 5 over12 pi] 또는 [eqn: x = 11 over12 pi]

따라서 주어진 삼각방정식의 모든 실근의 합은

[eqn: { 5} over { 12} pi + { 11} over { 12} pi = { 16} over { 12} pi = { 4} over { 3}pi]

[eqn: THEREFORE ~p=3], [eqn: q=4], [eqn: p+q=7]

26. 수열의 극한	[eqn: 450]

정답

(가)에서 [eqn: log `a_n]과 [eqn: log`a_n+1]의 가수가 같으므로

[eqn: log` a_n - log`a_n+1 =k]([eqn: k]는 정수)가 성립한다.

[eqn: log` { a_n} over { a_n+1} = k], [eqn: { a_n} over { a_n+1} = 10^k]

(나)에서 [eqn: 1< { a_n} over { a_n+1}< 100]이므로

[eqn: 1< 10^k <100], [eqn: 0<k <2]

[eqn: therefore```][eqn: k=1]([eqn: because```][eqn: k]는 정수)

따라서 [eqn: { a_n} over { a_n+1} =10], [eqn: a_n+1 = { 1} over { 10}a_n]

즉, 수열 [eqn: left{a_n right}]은 공비가 [eqn: { 1} over { 10]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ~ sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {a _{1}} over {1- {1} over {10}} = {10} over {9} a _{1} =500]

[eqn: therefore```][eqn: a_1 = 450]

27. 적분법	[eqn: 9]

정답

[eqn: F`(x) = int _{ 0} ^{x } { t`f(x-t)dt}]에서

[eqn: x-t=s]라 하면 [eqn: -dt = ds],

[eqn: t=0]일 때 [eqn: s=x], [eqn: t=x]일 때 [eqn: s=0]이므로

[eqn: F`(x)][eqn: = int _{ 0} ^{ x} { t``f(x-t)dt}]
[eqn: = int _{x} ^{0} {(x-s)f(s)(-ds)}]
[eqn: = int _{ 0} ^{ x} { (x-s)f(s)ds}]
[eqn: = int _{ 0} ^{ x} { xf(s)ds} - int _{ 0} ^{ x} { sf(s)ds}]
[eqn: =x int _{0} ^{x} {f(s)ds} - int _{0} ^{x} {sf(s)ds}]

[eqn: F``'(x)][eqn: = int _{ 0} ^{ x} { f(s)ds} +x f(x) -x f(x)]
[eqn: = int _{ 0} ^{ x} {f(s)ds } ` = int _{ 0} ^{ x} {1 over 1+s ds }]
[eqn: = left[ln |`1+s`|right]_0^x = ln |`1+x`|]
[eqn: = ln (1+x)] [eqn: (because``` x ge 0)]

[eqn: therefore```][eqn: F``'(a) = ln (1+a) = ln 10]

[eqn: therefore```][eqn: a=9]

28. 방정식과 부등식	[eqn: 10]

정답

(나)에서 이차함수 [eqn: g(x) = k (x+1)(x-2)``(k>0)]라 할 수 있다.

[eqn: therefore```][eqn: g(x-2) = k (x-1)(x-4)``(k>0)]

(다)에서 [eqn: f(x) = g(x-2)]의 네 근이 [eqn: -2], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 6]이므로

[eqn: f(x)- g(x-2)= l(x+2)(x-1)(x-2)(x-6)(l>0)]라 할 수 있다.

[eqn: { f(x)} over { g(x-2)} le 1]

[eqn: LRARROW { f(x) - g(x-2)} over { g(x-2)} le 0]

[eqn: LRARROW { l (x+2)(x-1)(x-2)(x-6)} over { k (x-1)(x-4)} le 0]

[eqn: LRARROW (x+2)(x-1)^2 (x-2)(x-4)(x-6)le 0]

(단, [eqn: x!=1]이고 [eqn: x!=4])

[eqn: LRARROW (x+2)(x-2)(x-4)(x-6) le 0]

(단, [eqn: x!=1]이고 [eqn: x!=4])

[eqn: LRARROW-2 le x <1] 또는 [eqn: 1<x le 2] 또는 [eqn: 4< x le 6]

따라서 주어진 분수부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 값은 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 6]이므로 구하는 모든 합은

[eqn: (-2) +(-1) +0+2+5+6 =10]

29. 이차곡선	[eqn: 14]

정답

점 [eqn: \A]를 [eqn: \A(it x_1 ,~y_1 )]이라 하면 포물선 [eqn: y^2 = 16x]의 점 [eqn: \A]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y_1 y = 8(x+x_1 )]이다.

[eqn: x=0]일 때, [eqn: y _{1} y=8x _{1}]이고, 점 [eqn: rm A(itx _{1} ,~y _{1} )]이 포물선 위의 점이므로 [eqn: y_1 ^{``2} = 16x_1]이다.

[eqn: therefore```][eqn: y= {8x _{1}} over {y _{1}} = {8 TIMES {y _{1} ^{```2}} over {16}} over {y _{1}} = {y _{1}} over {2}]

따라서 포물선 [eqn: y ^{2} =16x] 위의 점 [eqn: \A]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: \C]라 하면 [eqn: \C LEFT ( 0 ,~ it { y_1 } over { 2} RIGHT )]이다.

따라서 삼각형 [eqn: \ACO]의 무게중심의 좌표는

[eqn: LEFT ( { x_1 +0+0} over { 3} ,~ { y_1 + y_1 over2 +0} over { 3} RIGHT )]

즉, [eqn: \B LEFT ( it x_1 over3 ,~ y_1 over2 RIGHT )]이다.

[eqn: x_1 over3 = X], [eqn: { y_1} over { 2} =Y`]라 하면

[eqn: x_1 = 3X], [eqn: y_1 = 2Y]

[eqn: therefore```][eqn: (2Y`) ^{2} =48X`], [eqn: Y^2 = 12X]

즉, 곡선 [eqn: C`]는 [eqn: y ^2 = 12x]이다.

포물선 [eqn: C]의 초점이 [eqn: \F(3,~0)]이고, 준선의 방정식이 [eqn: x=-3]이므로 점 [eqn: \P]와 점 [eqn: \Q]에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \M], [eqn: \N]이라 하면

포물선의 정의에 의하여 [eqn: rm bar PQ = bar PM +bar QN]

점 [eqn: \P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a], 점 [eqn: \Q]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: b]라 하면

[eqn: rmbar PQ = it (a+3)+(b+3) = a+b+6 =20]

[eqn: therefore```][eqn: a+b =14]

30. 미분법	[eqn: 109]

정답

위 그림의 어두운 부분의 넓이 [eqn: k]는

[eqn: k][eqn: = { 1} over { 2} times t times (t^2 +t ) - 1over2 times s times (s^2 +s )]

[eqn: - int _{ s} ^{t } { (x^2 +x )dx}]

[eqn: = { t^3} over { 2} + { t^2} over { 2} - { s^3} over { 2} - { s^2} over { 2} - left[ { x^3} over { 3} + { x^2} over { 2} right]_s^t]
[eqn: = { t^3} over { 2} + { t^2} over { 2} - { s^3} over { 2} - { s^2} over { 2} - left{ { t^3} over { 3} + { t^2} over { 2} - LEFT ( s^3 over 3 + s^2 over2 RIGHT ) right}]
[eqn: = t^3 over 6 - s^3 over 6]

[eqn: therefore```][eqn: t^3 - s^2 = 6k]

따라서 점 [eqn: (s,~t)]가 나타내는 곡선 [eqn: C`]는 [eqn: t^3 = s^3 +6k]이다.

곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: (1,~0)]과 점 [eqn: (x,~y)] 사이의 거리를 [eqn: d]라 하면

[eqn: d^2 = (x-1)^2 +y^2 = (x-1)^2 +(x^3 +6k )^{2over3}]

[eqn: d]가 최소이면 [eqn: d^2]도 최소이므로

[eqn: f(x) = (x-1)^2 +(x^3 +6k )^{2 over3 }]이라 하면

[eqn: x = { 2} over { 3}]일 때, [eqn: f(x)]가 최소이므로 [eqn: f`' LEFT ( 2over3 RIGHT )=0]이다.

[eqn: f`'(x)][eqn: = 2(x-1) + { 2} over { 3} (x^3 +6k )^{ - 1over3 } times 3x^2]
[eqn: = 2(x-1) +2x^2 (x^3 +6k)^{ - 1over3}]

[eqn: f`' LEFT ( 2over3 RIGHT )][eqn: = 2 LEFT ( 2over3 -1 RIGHT ) + 2 times { 4} over { 9} LEFT ( 8 over 27 + 6k RIGHT )^{- 1over3}]
[eqn: = - 2over3 + 8 over 9 LEFT ( 8 over 27 + 6k RIGHT )^{- { 1} over { 3}} = 0]

[eqn: LEFT ( 8 over 27 + 6k RIGHT )^{- 1over3 } = 3 over 4]

[eqn: 8 over 27 + 6k = left( 4 over 3 right)^3 = { 64} over { 27}]

[eqn: 6k = { 64} over { 27} - { 8} over { 27} = { 56} over { 27}]

[eqn: therefore```][eqn: k = { 28} over { 81}]

[eqn: therefore```][eqn: p+q = 81+28 = 109]