수학 영역 (B형)

고 2

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수학 영역 (B형)

고 2

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2014학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시          수학 영역 (B형)

12

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: 9 ^{{2} over {3}} TIMES 3 ^{- {1} over {3}}]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. [eqn: log_3 {27^3} + left(log_3 {27} right) ^3 ``]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 27`]	② [eqn: 30`]	③ [eqn: 33`]	④ [eqn: 36`]	⑤ [eqn: 39`]

3. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{~~``3&~0``#``-1&~2``}} `,~B= {pmatrix{``0&~2``#``1&~0``}}`]에 대하여

행렬 [eqn: 2A-AB``]는? [2점]

① [eqn: {pmatrix{``6&~6``#``4&~6``}}]	② [eqn: {pmatrix{``~~6&~-6``#``-4&~~~6``}}]	③ [eqn: {pmatrix{~~``6&~4``#``-4&~6``}}]	④ [eqn: {pmatrix{``6&~-4``#``4&~~~6``}}]	⑤ [eqn: {pmatrix{~~``6&~-6``#``-4&~-6``}}]

4. 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: A+A ^{-1} =3E``]일 때,
행렬 [eqn: A ^{2} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{2} `]과 같은 행렬은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)                                                           [3점]

① [eqn: E]	② [eqn: 3E]	③ [eqn: 5E]	④ [eqn: 7E]	⑤ [eqn: 9E]

5. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{100} -a _{98} =`6`]일 때, [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{10}]의 값은? [3점]

① [eqn: 155]	② [eqn: 158]	③ [eqn: 161]	④ [eqn: 164]	⑤ [eqn: 167]

6. [eqn: x,~y`]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{2 ^{a} ````&-1`#```8~~`&2 ^{a} -6``}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`0`#`0`}} `]

이 [eqn: x=0,````y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은?                                                        [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

7. 지수함수 [eqn: y=3 ^{{x-1} over {2}} -``4`]의 역함수가 [eqn: y=a`log _{3} LEFT ( x+b RIGHT ) +c`]일 때,

세 상수 [eqn: a,``b,``c`]의 합 [eqn: a+b+c`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

8. 물 [eqn: 800rmml`]를 [eqn: 5`]개의 컵 [eqn: A`,``B`,``C`,``D`,``E``]에 적당히 나누어 모두 부었더니 [eqn: 5`]개의 컵에 들어 있는 물의 양이 이 순서대로 등차수열을 이루었다. 컵 [eqn: C``]에 들어 있는 물의 양([eqn: rm ml])은?	(단, [eqn: 5`]개의 컵 [eqn: A`,``B`,``C`,``D`,``E``]에 들어 있는 물의 양의 합은 [eqn: 800rmml`]이다.) [3점]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: D]

[eqn: E]

① [eqn: 120 rm]	② [eqn: 140 rm]	③ [eqn: 160 rm]	④ [eqn: 180 rm]	⑤ [eqn: 200 rm]

9. 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: a ^{logx} =x,] [eqn: x ^{logb} =b`]가 성립한다. 두 상수 [eqn: a,``b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: log`]는 상용로그이다.) [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

10. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 모양의 종이를 [eqn: 9`]개의 정사각형으로 [eqn: 9`]등분한 후 중앙의 정사각형 부분을 잘라내고 남은 도형을 [eqn: A _{1} `]이라 하자. [eqn: A _{1} `]에서 [eqn: 8`]개의 정사각형 각각을 다시 [eqn: 9`]등분하여 중앙의 정사각형 부분을 각각 잘라내고 남은 도형을 [eqn: A _{2} `]라 하자.	이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 도형을 [eqn: A _{n} `]이라 하자.

[eqn: A_1]

[eqn: A_2]

[eqn: boldCDOTS]

[eqn: boldCDOTS]

[eqn: A _{n} `]의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 8 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{11} RIGHT }]	② [eqn: 8 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]	③ [eqn: 9 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{11} RIGHT }]

④ [eqn: 9LEFT { 1- LEFT ( 8 over9 RIGHT )^10 RIGHT }]	⑤ [eqn: 10LEFT {1- LEFT ( 8 over9 RIGHT )^11RIGHT }]

11. 단원자 이상기체의 단열 과정에서 단열 팽창 전 온도와 부피를 각각 [eqn: T_i] , [eqn: V_i] 라 하고 단열 팽창 후 온도와 부피를 각각 [eqn: T_f] , [eqn: V_f] 라 하자. 단열 팽창 전과 단열 팽창 후의 온도와 부피 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: T _{i} V _{i} ^{```` gamma `-1} =T _{f} V _{f} ^{``` gamma `-1}]

(단, 기체몰 열용량의 비 [eqn: gamma = 5 over3]이고, 온도의 단위는 [eqn: rmK`], 부피의 단위는 [eqn: rmm ^{3} `]이다.)

단열 팽창 전 온도가 [eqn: 480]([eqn: rmK])이고 부피가 [eqn: 5]([eqn: rmm ^{3} `])인 단원자 이상기체가 있다. 이 기체가 단열 팽창하여 기체의 온도가 [eqn: 270`]([eqn: rmK])가 되었을 때, 기체의 부피([eqn: rmm ^{3} `])는? [3점]

① [eqn: {308} over {27}]	② [eqn: {311} over {27}]	③ [eqn: {314} over {27}]	④ [eqn: {317} over {27}]	⑤ [eqn: {320} over {27}]

12. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]가

[eqn: B ^{`2} -A`=E`], [eqn: B ^{``4} =A+2E`]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A ^{2} +A=E`] ㄴ. [eqn: AB=BA``] ㄷ. [eqn: AB`]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[13 ~ 14] 그림과 같이 곡선 [eqn: bold{y= LEFT | `log _{2} x` RIGHT | }`]와 직선 [eqn: {bold{y=k}} `]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm {bold{A,}}] [eqn: rm {bold{B}} `]라 하고 곡선 [eqn: bold{y= LEFT | `log _{2} x` RIGHT | }`]와 [eqn: bold x`]축이 만나는 점을 [eqn: rm bold C]라 하자.
13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=k]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: y= LEFT | `log _{2} x` RIGHT | `]

13. [eqn: k`]가 자연수일 때, 선분 [eqn: rm`AB`] 위의 점(양 끝점 포함) 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2 ^{m}]([eqn: m]은 정수) 꼴인 점의 개수를 [eqn: a _{k} `]라 하자.
[eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{k} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 240]	② [eqn: 245]	③ [eqn: 250]	④ [eqn: 255]	⑤ [eqn: 260]

14. [eqn: rm` bar{AB} `=4`]일 때, 삼각형 [eqn: rm `ABC`]의 넓이를 [eqn: S``]라 하자.
[eqn: 2 ^{S} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 3+2 sqrt {5}]	② [eqn: 5+2 sqrt {5}]	③ [eqn: 7+2 sqrt {5}]

④ [eqn: 7+4 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 9+4 sqrt {5}]

15. 다음은 [eqn: root {3``} of {2+ sqrt {5}} ``]를 [eqn: p+q sqrt {5} `]([eqn: p`], [eqn: q`]는 유리수) 꼴로 나타내는 과정이다.

[eqn: alpha =` root {3``} of {2+ sqrt {5}}], [eqn: beta = root {3``} of {2- sqrt {5}} ``]라 두면 [eqn: alpha beta = {BOX{~~~(가)~~~}}]이다.

[eqn: alpha + beta =x``]라 하면

[eqn: ( alpha + beta ) ^{3} = alpha ^{3} +3 alpha ^{2} ` beta `+3 alpha beta ^{`2} + beta ` ^{3}]을 이용하여

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +3x-4=0`]을 얻을 수 있다.

이 방정식의 실근은 [eqn: x=1`]뿐이므로 [eqn: alpha + beta =1`]이다.

따라서 [eqn: alpha + beta =1`]과 [eqn: alpha beta = {BOX{~~~(가)~~~}}]인 실수 [eqn: alpha ``], [eqn: `beta `]를 두 근으로 하는 이차방정식은 [eqn: {BOX{`~~~~~~~~~}}]이다.

이 이차방정식의 두 근 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]가 [eqn: beta <0< alpha ``]이므로

[eqn: ` root {3``} of {2+ sqrt {5}} = {BOX{~~~(나)~~~}}]이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 들어갈 수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`]라 할 때, [eqn: a+10b`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1+2 sqrt {5}]	② [eqn: 2+3 sqrt {5}]	③ [eqn: 3+4 sqrt {5}]

④ [eqn: 4+5 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 5+6 sqrt {5}]

16. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: sum _{k=m} ^{m ^{2}} a _{k`} `=m ^{2}]을 만족한다. [eqn: sum _{k=1} ^{677} `a _{k} ``=777]일 때, [eqn: a _{677}]의 값은? [4점]

① [eqn: 71]	② [eqn: 75]	③ [eqn: 79]	④ [eqn: 83]	⑤ [eqn: 87]

17. 두 집합

[eqn: A= LEFT { x` LEFT | ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x ^{2}} -` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{13x-6} GEQ 0`,```x`는`````정수`` RIGHT } RIGHT .]

[eqn: B= LEFT { x` LEFT | `log _{3} LEFT ( 5x+6 RIGHT ) `- {2} over {log _{x} 3} >0`,```x`는`````정수`` RIGHT } RIGHT .]

에 대하여 집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

18. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]을

[eqn: a _{n} =`](자연수 [eqn: n`]을 [eqn: n`]개 이어 붙여 만든 자연수)

라 하자. 예를 들면 [eqn: a _{2} =22,```a _{10} =10101010101010101010`]이다. [eqn: log`a _{n}]의 지표를 [eqn: b _{n}]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]에 대하여
[eqn: sum _{n=1} ^{20} b _{n}]의 값은? (단, [eqn: log`]는 상용로그이다.) [4점]

① [eqn: 335]	② [eqn: 345]	③ [eqn: 355]	④ [eqn: 365]	⑤ [eqn: 375]

19. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x`] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C`]
에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rm E], [eqn: rmF`]라 하자.
세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C`]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 공차가 양수인 등차수열을 이루고 점 [eqn: rm F`]는 선분 [eqn: rm DE`]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점일 때, 원점 [eqn: rmO`]에 대하여 [eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q`]의 값은?
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: y=log _{2} x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

① [eqn: 61]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 63]	④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 65]

20. 그림과 같이 [eqn: m]행 [eqn: n]열의 수를 [eqn: N`(m,~n)`]이라 하고 다음 규칙에 따라 사각형 안에 수를 적는다.

(가) 모든 자연수 [eqn: m,~n]에 대하여

[eqn: N`(m,~1)=m`]이고, [eqn: N`(1,~n)=n`]이다.

(나) 1보다 큰 자연수 [eqn: m,~n`]에 대하여

[eqn: N`(m,~n)=N`(m,~n-1)+N`(m-1,~n)`]이다.

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열	[eqn: 4]열	[eqn: 5]열	[eqn: cdots]
[eqn: 1]행	[eqn: 1]	2	3	4	5	[eqn: cdots]
[eqn: 2]행	2	4	7	11	16	[eqn: cdots]
[eqn: 3]행	3	7	14	25	41	[eqn: cdots]
[eqn: 4]행	4	11	25	50	91	[eqn: cdots]
[eqn: 5]행	5	16	41	91	182	[eqn: cdots]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: DDOTS]

자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: a _{k} =N` LEFT ( 1,~k RIGHT ) +N` LEFT ( 2,~k-1 RIGHT ) +` CDOTS `+N` LEFT ( k,~1 RIGHT )]

이라 하자. 예를 들면 [eqn: a _{1} =1,] [eqn: a _{3} =3+4+3=10]이다. [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{20} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 3`·`2 ^{20} `-42]	② [eqn: 3`·`2 ^{20} `-43]	③ [eqn: 3`·`2 ^{21} `-41]

④ [eqn: 3`·`2 ^{21} `-42]	⑤ [eqn: 3`·`2 ^{21} `-43]

21.  중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원의 내부의
점 [eqn: rm`P(itx,`y)]와 곡선 [eqn: y= {1} over {4} x ^{2} +1] 위의 점 [eqn: rm `Q( it a,~b)]의 좌표를 이용하여 만든 행렬 [eqn: LEFT ( ` {matrix{``x&~y``#``a&~b``}} ` RIGHT ) `]가 역행렬을 갖지 않는다.
점 [eqn: rmQ`]가 곡선 [eqn: y= {1} over {4} x ^{2} +1] 위를 움직일 때, 점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이는? [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: rm Q itLEFT (a,~b RIGHT )]

[eqn: rm P LEFT ( it x,~y RIGHT )]

[eqn: y= {1} over {4} x ^{2} +1]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]

① [eqn: { pi } over {6}]	② [eqn: {pi } over {3}]	③ [eqn: { pi } over {2}]	④ [eqn: {2} over {3} pi]	⑤ [eqn: {5} over {6} pi]

단답형(22 ~ 30)

22. 첫째항이 [eqn: 2`]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{3} =8`]일 때,
[eqn: a _{5} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

24. [eqn: sum _{k=1} ^{9} {2} over {(2k-1)(2k+1)} = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`,~q``]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

25. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``1&~0``#``3&~1``}}]과  자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A ^{n}]의 [eqn: LEFT ( 2,```1 RIGHT ) `]의 성분을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: a _{n} >100]을 만족하는 [eqn: n`]의 최솟값을 구하시오. [3점]

26. 첫째항이 [eqn: 1`]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 다음 조건을 만족한다.

(가) 수열 [eqn: LEFT { a _{2n-1} RIGHT }]은 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열이다.

(나) 수열 [eqn: LEFT { S _{2n-1} RIGHT }]은 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열이다.

[eqn: a _{14} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} ``], [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6`]과 두 직선 [eqn: y=2x+1`], [eqn: y=2x+9`]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.                                                            [4점]

[eqn: y=2x+9]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6`]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: 1]

[eqn: y=2x+1]

28. [eqn: x>1`], [eqn: y>1]일 때, 연립방정식

[eqn: {cases{``x ^{2} =y ^{3}#``x ^{`y} =y ^{`x}}}]

의 해를 [eqn: x= alpha` ,~y= beta]라 할 때, [eqn: 16( alpha + beta )`]의 값을 구하시오.
[4점]

29. 그림과 같이 세 원 [eqn: C _{`1} `], [eqn: C _{2} `], [eqn: C _{`3} `]은 직선 [eqn: y= sqrt {3} x`]와 [eqn: x`]축에 동시에 접하고, 원 [eqn: C _{2} `]는 두 원 [eqn: C _{`1} `], [eqn: C _{`3} `]과 각각 외접하고 있다.

세 원 [eqn: C _{`1} `], [eqn: C _{2} `], [eqn: C _{`3} `]의 반지름의 길이는 이 순서대로 등비수열을 이루고 원 [eqn: C _{`1} `]의 중심과 원 [eqn: C _{`3} `]의 중심 사이의 거리는 [eqn: 12]일 때, 세 원의 넓이의 합은 [eqn: {q} over {p} pi `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, 세 원 [eqn: C _{`1} `], [eqn: C _{2} `], [eqn: C _{`3} `]의 중심은 제[eqn: 1]사분면에 있고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: C _{1}]

[eqn: y= sqrt {3} x]

[eqn: C_2]

[eqn: C_3]

30. 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log``x`]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. 양수 [eqn: a`]가 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{10} f LEFT ( root {10} of {10 ^{k}} `a RIGHT ) `=`94]

(나) [eqn: 100``g LEFT ( a RIGHT )]의 값은 자연수이다.

[eqn: 100``g LEFT ( a RIGHT )]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M`,~m`]이라 할 때, [eqn: M+m`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.