◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2009학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						3

‘나’형

수리 영역

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수리 영역

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◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: 9 ^ {- 1over2}`]의 값은? [2점]

① [eqn: {1`} over {3`}]	② [eqn: {sqrt{3`}} over {3}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: sqrt {3`}]	⑤ [eqn: 3]

2. 두 행렬 [eqn: A=pmatrix{`1``&``1`#`3`&``4`}`], [eqn: B```=pmatrix{``-1``&``2`#````````3`&``4`}`]에 대하여 등식 [eqn: AX```=B``]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

3. [eqn: lim _{n -> INF } {} `{sqrt {n+2`}`` - sqrt {n`}`} over {sqrt {n+1`}`` - sqrt {n`}`} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1`} over {2`}]	② [eqn: `sqrt{2`}_` over {`2`}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: root2]	⑤ [eqn: 2]

4. 두 등비수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``], [eqn: LEFT {` b _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여

[eqn: a _{4}`` b _{4} =``3],  [eqn: a _{7}`` b _{7} =``6]

일 때, [eqn: a _{16}`` b _{16} ``]의 값은? [3점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 42]	④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 54]

5. [eqn: 2`]의 네제곱근 중 양수인 것을 [eqn: x`]라 할 때, [eqn: x ^{n}`]이 세 자리의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 96]	② [eqn: 97]	③ [eqn: 98]	④ [eqn: 99]	⑤ [eqn: 100]

‘나’형

6. 수직선 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A it (`a)`], [eqn: rm B it (`b)`]에 대하여 선분 [eqn: \AB`]를 [eqn: 2```:`1`]로 내분하는 점과 외분하는 점을 각각 [eqn: {\P}(c)`], [eqn: rm Q it (d)`]라 하자. 행렬 [eqn: pmatrix{`a``&``b#c&``d`}`]의 역행렬이 존재하지 않을 때, [eqn: {b`} over {a`}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {3`}over{2`}]	③ [eqn: {3`} over {4`}]	④ [eqn: {2`}over{3`}]	⑤ [eqn: {1`}over{2`}]

7. 수렴하는 수열 [eqn: LEFT {` a_n` RIGHT }`]에 대하여

[eqn: a _{n} +2`＜``3`a _{n+1} `＜``2`a _{n} +1`] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS])

이 성립할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {1`} over {3`}]	② [eqn: {2`} over {3`}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {4`} over {3`}]	⑤ [eqn: {5`} over {3`}]

8. 수열 [eqn: LEFT { sqrt {16 ^{n} +a ^{n}} ``-`4 ^{n} ` RIGHT } `]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. [eqn: log ``x``` =` 5.65`], [eqn: log`` y``` =` -1.35`]를 만족시키는 두 양수 [eqn: x`], [eqn: y`]를

[eqn: x= a × 10`^m`]	([eqn: m`]은 정수, [eqn: 1<= a<10`])

[eqn: y= b × 10`^n`]	([eqn: n`]은 정수, [eqn: 1<= b<10`])

으로 나타낼 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: {x`} over {y`}`]의 값은 자연수이다. ㄴ. [eqn: m+n=4] ㄷ. [eqn: a`b>10`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

‘나’형

10. 함수 [eqn: y=x ^{2}`]의 그래프 위에 다음 조건을 만족시키도록 점 [eqn: rm P _{1}`], [eqn: rm P _{2}`], [eqn: rm P _{3}`], [eqn: cdots`]을 차례로 정한다.

(가) 점 [eqn: \P_1`]의 좌표는 [eqn: (1`,``1)`]이다.

(나) 직선 [eqn: rm P _{it n rm}` P _{it n+1 rm}`]의 기울기는 [eqn: n`]이다. ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS])

점 [eqn: rm P _{2009}`]의 [eqn: x`]좌표는? [4점]

① [eqn: 1001]	② [eqn: 1002]	③ [eqn: 1003]

④ [eqn: 1004]	⑤ [eqn: 1005]

11. [eqn: n`]이 [eqn: 3] 이상의 자연수일 때, 네 점 [eqn: (`n`,``0)`], [eqn: left (` {3n`} over{2`}` ,``0 Right)`], [eqn: left (` {3n`} over{2`}` ,``{n`} over{2`} Right)`], [eqn: LEFT ( `n`,`` {n`} over{2`} RIGHT )`]을 꼭짓점으로 하는 정사각형을 [eqn: A_n`]이라 하자. 두 정사각형 [eqn: A_n`], [eqn: A_n+1`]이 겹치는 부분(어두운 부분)의 넓이를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: sum_n=3^10 {1`}over {a_n`}`]의 값은? [4점]

① [eqn: {113`} over {45`}]	② [eqn: {116`}over{45`}]	③ [eqn: {118`} over {45`}]

④ [eqn: {121`} over {45`}]	⑤ [eqn: 124 over 45]

12. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`] 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A`(E```+B``) ```= E]

(나) [eqn: AB```-`BA```=A``+B]

다음 중 행렬 [eqn: (A B`)^20`]과 항상 같은 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

① [eqn: -E]	② [eqn: 20E]	③ [eqn: -A]	④ [eqn: A]	⑤ [eqn: 20A]

13. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식

[eqn: sum _{k=1} ^{2n} {(-1) ` ^{k-1}} over {k}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k} ````] …… (*)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

[eqn: S_n = sum _{k=1} ^{2n} {(-1) ` ^{k-1}} over {k}`], [eqn: T_n = sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}`]이라 하자.

(1) [eqn: n=1`]일 때, [eqn: S_1 =`]         [eqn: =T` _{1}`]이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: S_m+1 =S_m +]

[eqn: T_m+1 = {1} over {m+2`} `+ {1} over {m+3`}` + {1} over {m+4`}` +` CDOTS `+ {1} over {2m+2`}]

[eqn: =T_m -]         [eqn: + {1} over {2m+1`} `+ {1} over {2m+2`}]

[eqn: =T_m +]

이므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

(가)

(나)

(다)

(나)

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 것으로 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: 1]	[eqn: {1} over {2m+1}]	[eqn: {1} over {m}]

②	[eqn: 1]	[eqn: {1} over {2m+1}]	[eqn: {1} over {m+1}]

③	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2m+1} - {1} over {2m+2}]	[eqn: {1} over {m+1}]

④	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2m+1} - {1} over {2m+2}]	[eqn: {1} over {m}]

⑤	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {2m+1}]	[eqn: {1} over {m+1}]

14. 수열 [eqn: left{ (-1) ` ^{n-1} right}`]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n}`]이라 할 때, <보기>의 수열 중 수렴하는 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: left{ {S ` _{n}} right}] ㄴ. [eqn: left{ {S` _{n}} over n right}] ㄷ. [eqn: left{ {S`_1 +S`_2 +S`_3 + `cdots`+S`_n} over n right}]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

‘나’형

15. 집합 [eqn: S```= LEFT { `X```` LEFT | ``X`` ^{2} `=O` RIGHT . RIGHT .], [eqn: X`]는 이차정사각행렬[eqn: LEFT . ` RIGHT }] 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A` in` S`]이면 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하지 않는다. ㄴ. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하지 않으면 [eqn: A` in` S`]이다. ㄷ. [eqn: A` in` S`], [eqn: B` `in` S`]이면 [eqn: AB` `in ` S`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

16. 원기둥 모양의 수도관에서 단면인 원의 넓이를 [eqn: S`], 원의 둘레의 길이를 [eqn: L`]이라 하고, 수도관의 기울기를 [eqn: I``]라 하자. 이 수도관에서 물이 가득 찬 상태로 흐를 때 물의 속력을 [eqn: v`]라 하면

[eqn: v`=c `LEFT ( {S} over {L} RIGHT ) ^{{2} over {3}} cdot {I``}^{1over2}] (단, [eqn: c`]는 상수이다.)

이 성립한다고 한다.

단면인 원의 반지름의 길이가 각각 [eqn: a`], [eqn: b `]인 원기둥 모양의 두 수도관 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]에서 물이 가득 찬 상태로 흐르고 있다. 두 수도관 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]의 기울기가 각각 [eqn: 0.01`], [eqn: 0.04`]이고, 흐르는 물의 속력을 각각 [eqn: v_{rm A}`], [eqn: v_{rm B}`]라고 하자. [eqn: {v_{rm A}} over{ v_{rm B}} =2`]일 때, [eqn: a over b`]의 값은? (단, 두 수도관 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]에 대한 상수 [eqn: c`]의 값은 서로 같다.) [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 4 sqrt{2`}]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 8 sqrt{2`}]	⑤ [eqn: 16]

‘나’형

17. 그림은 다음과 같은 규칙으로 제[eqn: `n`]행에 [eqn: n`]개의 바둑돌을 놓은 것이다. ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS])

(가) 제[eqn: `1`]행에는 검은 돌, 제[eqn: `2`]행에는 흰 돌을 놓는다.

(나) 각 행에 놓은 바둑돌은 좌우대칭이 되도록 한다.

(다) 각 행에서 두 검은 돌 사이에는 흰 돌을 두 개 놓는다.

(라) 각 행에서 흰 돌은 세 개 이상 연속되지 않게 놓는다.

제[eqn: `n`]행에 놓인 검은 돌의 개수를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^30 a_n`]의 값은?

[4점]

① [eqn: 135]	② [eqn: 140]	③ [eqn: 145]

④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 155]

단답형(18~25)

18. [eqn: log`_3` `4`^3 times` log`_2`` 9`^3 `]의 값을 구하시오. [3점]

‘나’형

19. 첫째항이 [eqn: 1`]인 등차수열 [eqn: LEFT {` a_n` RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a_2 +a_4 =`2`(a_5 -4)]일 때, 수열 [eqn: LEFT {` a_n` RIGHT }`]의 첫째항부터 제[eqn: `10`]항까지의 합을 구하시오. [3점]

20. 행렬 [eqn: A = LEFT ( matrix{````1&```1``#`-1````&0} RIGHT )]에 대하여 [eqn: (A ^{n}` )` ^{2} =E``]를 만족시키는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

21. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n^2`]을 [eqn: 6`]으로 나눈 나머지를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: a_n =4`]를 만족시키는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n`]의 개수를 구하시오.

[3점]

22. 행렬 [eqn: A={pmatrix{```m``&``0`#`m-5``&``5`} }`]에 대하여 행렬 [eqn: A^n`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2^49`]이 되도록 하는 두 자연수 [eqn: m`], [eqn: n`]의 순서쌍 [eqn: (`m`,``n)`]의 개수를 구하시오. [4점]

23. [eqn: log` _{3} `n`]의 정수부분과 [eqn: log` _{4} `n`]의 정수부분이 같도록 하는 두 자리의 자연수 [eqn: n`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

24. 자연수 [eqn: k`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: log`k`]의 지표는 [eqn: 5`]이다.

(나) [eqn: log` {root k over 7}`]의 가수는 [eqn: 0`]이다.

[eqn: k over 1000`]의 값을 구하시오. [4점]

‘나’형

25. 한 평면 위에 다음과 같은 규칙으로 직선들을 차례로 그려 나간다.

[[eqn: 1`]단계] : 직선을 [eqn: 1`]개 그린다.

[[eqn: 2`]단계] : [[eqn: 1`]단계]에서 그린 직선과 수직인 직선을 [eqn: 2`]개 그린다.

[[eqn: 3`]단계] : [[eqn: 2`]단계]에서 그린 직선과 수직인 직선을 [eqn: 3`]개 그린다.

[eqn: vdots]

[[eqn: n`]단계] : [[eqn: (n-1)`]단계]에서 그린 직선과 수직인 직선을 [eqn: n`]개   그린다. ([eqn: n=2,``3,``4,``cdots])

			[eqn: CDOTS]
[[eqn: 1`]단계]	[[eqn: 2`]단계]	[[eqn: 3`]단계]

[[eqn: 1`]단계]부터 [[eqn: n`]단계]까지 그린 직선들의 모든 교점의 개수를 [eqn: a _{n}`] ([eqn: n=2,``3,``4,``cdots])이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{2} =`2`], [eqn: a _{3} =`8`]이다.

[eqn: a _{15} -`a _{14} `]의 값을 구하시오. (단, 모든 직선은 서로 겹치지 않도록 그린다.) [4점]

5지 선다형

26. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix{`a+2&`````1`#``3&`````a`} pmatrix{`x`#`y`} ``= pmatrix{`0`#`0`} `]이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

27. 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 3` ^{a} =12` ^{b} =6`]이 성립할 때, [eqn: {1} over {a}` + {1} over {b}`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over 3]	③ [eqn: 4 over 3]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2 over 3]

28. 수열 [eqn: LEFT {` a _{n}` RIGHT }`]이

[eqn: a _{1} =1`], [eqn: p`a _{n+1} =` q`a _{n} +1`] [eqn: (n=1,``2,``3,``CDOTS )]

일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: p``=q`]일 때, 수열 [eqn: LEFT {` a _{n}` RIGHT }`]은 등차수열이다. ㄴ. [eqn: p` != q`]일 때, 수열 [eqn: LEFT {` a _{n} - {1} over {p-q}`RIGHT } `]은 등비수열이다. ㄷ. [eqn: -1< {q} over {p} `<1`]일 때, 수열 [eqn: LEFT {` a _{n}` RIGHT }`]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

‘나’형

29. 그림은 함수 [eqn: f(x)=2 LEFT ∣ x- {1} over {2} RIGHT ∣`]([eqn: 0 <= x <= 1])의 그래프이다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: A`_n`]을

[eqn: A` _{n} = LEFT { ``x ```left|`` f`` ^{n} (x)=1 RIGHT .], [eqn: 0 <= x <= 1][eqn: LEFT. ` RIGHT }]

이라 할 때, 집합 [eqn: A`_n`]의 원소의 개수를 [eqn: a _{n}`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: A _{1} = LEFT {` 0`,``1` RIGHT }], [eqn: A _{2} = LEFT {` 0`,``1over2` ,``1 `RIGHT }]이므로 [eqn: a _{1} =2`], [eqn: a _{2} =3`]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {a _{n+1}`]의 값은? (단, [eqn: f` ^{1} =f`], [eqn: f` ^{n+1} =f CIRC f ` ^{n}`] [eqn: (n=1,``2,``3, CDOTS )] 이다.) [4점]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: 3over4]	⑤ [eqn: 1]

단답형

30. 어느 컴퓨터 게임은 [eqn: 1000`][eqn: rm cal`]의 에너지와 [eqn: 100`]점에서 시작되어 게임자가 아이템 [eqn: rm P] 또는 [eqn: rm Q`]를 획득할 때마다 에너지가 소모되면서 점수를 얻는 방식으로 진행된다고 한다. 이때, 게임자가 아이템 [eqn: rm P`]를 한 개 획득할 때마다 [eqn: 2`][eqn: rm cal`]의 에너지가 소모되면서 [eqn: 10`]점을 얻고, 아이템 [eqn: rm Q`]를 한 개 획득할 때마다 [eqn: 3`][eqn: rm cal`]의 에너지가 소모되면서 [eqn: 20`]점을 얻는다.

이 게임을 시작하여 두 가지 아이템 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]를 각각 [eqn: x`]개, [eqn: y`]개 획득했을 때, 행렬 [eqn: A`]를

[eqn: A=][eqn: pmatrix{`a``&``b#c&``d`}`pmatrix{`x`#`y`}`+`pmatrix{`1000`#`100`}]

이라 하면 행렬 [eqn: A`]의 제[eqn: `1`]행의 성분은 남아 있는 에너지를 나타내고, 제[eqn: `2`]행의 성분은 현재의 점수를 나타낸다. 네 상수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]의 합 [eqn: a+b+c+d`]의 값을 구하시오. [3점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.