수학 영역(B형)

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수학 영역(B형)

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2015학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 행렬 [eqn: A`= {pmatrix{`0`&`1`#`2`&`0`}} `], [eqn: E`= {pmatrix{`1`&`0`#`0`&`1`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A+E`]의 모든 성분의 합은? [2점]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]	④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

2. [eqn: lim _{x` -> `0} {} {e ^{`x} -1} over {2`x} `]의 값은? [2점]

①　[eqn: 1 over 3]	②　[eqn: 1 over 2]	③　[eqn: {2} over {3}]	④　[eqn: {5} over {6}]	⑤　[eqn: 1`]

12

3. [eqn: sin` theta = {2} over {3} `]일 때, [eqn: cos`2 theta `]의 값은? [2점]

①　[eqn: {1} over {9}]	②　[eqn: {2} over {9}]	③　[eqn: {1} over {3}]	④　[eqn: {4} over {9}]	⑤　[eqn: {5} over {9}]

4. [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {`3`cos`x`dx} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

5. 두 벡터 [eqn: {vec{`a`}} `=(2,~3)]과 [eqn: {vec{`b`}} `=(1,~1)`]에 대하여 [eqn: |` {vec{`a`}} `+` {vec{`b`}} `|`]의 값은?

[3점]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]	④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

6. 무리방정식 [eqn: x ^{2} -3x`= sqrt {x ^{2} -3x+6}]의 모든 실근의 곱은? [3점]

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]	④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

7. 두 사건 [eqn: ` it A`], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: rm P( it A SMALLINTER B)= {1} over {3} `], [eqn: rm P( it A ^{C} SMALLINTER B)= {1} over {4} `]

일 때, [eqn: rm P( it A`|`B)`]의 값은? (단, [eqn: A ^{C} `]은 [eqn: A`]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: 2 over 7]	③ [eqn: 3 over 7]	④ [eqn: 4 over 7]	⑤ [eqn: 5 over 7]

12

8. 일차변환 [eqn: `f`]에 의하여 두 점 [eqn: rm A(1,~0)`], [eqn: rm B(0,~1)`]이 각각 두 점 [eqn: rm A prime (1,~3)], [eqn: rm B prime (2,~0)`]으로 옮겨진다. 일차변환 [eqn: `f`]에 의하여 점 [eqn: it rm C(2,~5)`]가 점 [eqn: rm C prime (ita,~b)`]로 옮겨질 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

9. 수열 [eqn: left{a_n right}`]이 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} - {2n} over {n+3} RIGHT ) =5`]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{5a _{n} -2n} over {a _{n} +2n+1}}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

10. 어떤 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지 [eqn: t`]분 후 정맥에서의 약물 농도가 [eqn: `C``]([eqn: rmng/mL])일 때, 다음 식이 성립한다고 한다.
[eqn: `log` LEFT ( 10-C`` RIGHT ) =1-k`t]
(단, [eqn: C<10`]이고, [eqn: k`]는 양의 상수이다.)
이 약물을 사람의 정맥에 일정한 속도로 주입하기 시작한 지
[eqn: 30`]분 후 정맥에서의 약물 농도는 [eqn: 2`][eqn: rmng/mL]이고, 주입하기 시작한 지 [eqn: 60`]분 후 정맥에서의 약물 농도가 [eqn: a`]([eqn: rmng/mL])일 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 3.2]	③ [eqn: 3.4]	④ [eqn: 3.6]	⑤ [eqn: 3.8]

11. 어느 지역의 전체 고등학생 중 수학 영역에서 [eqn: rm B`]형을 선택하는 학생의 비율을 알아보기 위해 이 지역의 고등학생 [eqn: n`]명을 임의추출하여 조사한 결과 [eqn: rm 20`]％가 수학 영역에서 [eqn: rm B`]형을 선택한다고 답하였다. 이 결과를 이용하여 구한 이 지역의 전체 고등학생 중 수학 영역에서 [eqn: rm B`]형을 선택하는 학생의 비율에 대한 신뢰도 [eqn: rm95`]％의 신뢰구간이 [eqn: [0.144,~0.256]`]이다. [eqn: n`]의 값은?
(단, [eqn: Z``]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P( it LEFT | Z` RIGHT | LEQ 1.96)=0.95`]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 196]	② [eqn: 216]	③ [eqn: 236]

④ [eqn: 256]	⑤ [eqn: 276]

12. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE PAB= theta `]라 하자. 선분 [eqn: rm OB`] 위의
점 [eqn: rm C`]가 [eqn: rm ANGLE APO= ANGLE OPC`]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{theta ` -> +0} {rm {bar{OC}} `} it]의 값은?
(단, [eqn: 0< theta < {` pi `} over {`4`} `]이고, 점 [eqn: rm O`]는 선분 [eqn: rm AB`]의 중점이다.) [3점]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[13 ~ 14] 그림과 같이 좌표평면에 [eqn: {bold{x}} `]축 위의 두 점 [eqn: {bold{rm F it}}], [eqn: {bold{rm F` prime ` it}} `]과 점 [eqn: bold{rmP}][eqn: {bold{(0,~n)}} `] [eqn: {bold{(n>0)}} `]이 있다. 삼각형 [eqn: {bold{rm PF prime F it}} `]가 [eqn: {bold{rm ANGLE FPF prime = {pi } over {2`} it}} `]인 직각이등변삼각형일 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. [eqn: n`]이 자연수일 때 삼각형 [eqn: rm PF prime F`]의 세 변 위에 있는 점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: a _{n} `]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 50]	④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 60]

14. 두 점 [eqn: rm F`], [eqn: rm F` prime `]을 초점으로 하고 점 [eqn: rmP`]를 지나는 타원과
직선 [eqn: rm PF` prime `]이 만나는 점 중 점 [eqn: rmP`]가 아닌 점을 [eqn: rmQ`]라 하자.
삼각형 [eqn: rm FPQ`]의 둘레의 길이가 [eqn: 12 sqrt {2} `]일 때, 삼각형 [eqn: rm FPQ`]의 넓이는? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

15. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{`1} =1`], [eqn: a _{`2} =0`]이고,

[eqn: (n+1)(n+2) a_{`n+2} - n^{`2} a_{`n} =0 `] ([eqn: n ge 1`])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{`n} `]을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: n=2m-1`]([eqn: m`]은 자연수)일 때,

주어진 식을 정리하면

[eqn: a_{`n+2} over a_{`n} = n^{`2} over {(n+1)(n+2)}]

이므로

[eqn: a_{`3} over a_{`1} = 1^{`2} over {2 times 3} `]

[eqn: a_{`5} over a_{`3} = 3^{`2} over {4 times 5} `]

[eqn: vdots]

[eqn: a_{`2m+1} over a_{`2m-1}= box{`````(가)`````}`]

이다. 좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면

[eqn: a _{`2m+1} = {1 TIMES 3 TIMES 5 TIMES ` CDOTS ` TIMES (2m-1)} over {2 TIMES 4 TIMES 6 TIMES ` CDOTS ` TIMES 2m} `times` box{`````(나)`````}`]

[eqn: ={{ `_2m` rm C_{`it m}} over 4^{`m} times box{`````(나)`````}`]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: f(5) times g(4)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 7 over 110]	② [eqn: 4 over 55]	③ [eqn: 9 over 110]

④ [eqn: 1 over 11]	⑤ [eqn: 1 over{ 10}]

16. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: A+B=2E `], [eqn: B ^{2}+ 2AB+5A =4E`]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: AB`= BA `] ㄴ. [eqn: B`]의 역행렬이 존재한다. ㄷ. [eqn: BA^{2} + AB^{`2} =`-12E `]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정삼각형 [eqn: rm A _{`1}` B _{`1}` C _{`1}`]의 무게중심을 [eqn: rm A _{`2}`], 점 [eqn: rm A _{`2}`]를 지나는 원과 두 변 [eqn: rm A _{`1}` B _{`1}`], [eqn: rm A _{`1}` C _{`1}`]의 접점을 각각 [eqn: rm B _{`2}`], [eqn: rm C _{`2}`]라 하자. 호 [eqn: rm A_{`2}` B_{`2}], 선분 [eqn: rm B _{`2} `B _{`1}`], 선분 [eqn: rm B _{`1}` A _{`2}`]와 호 [eqn: rm A_{`2} ` C_{`2} `], 선분 [eqn: rm C _{`2} `C _{`1}`], 선분 [eqn: rm C _{`1}` A _{`2} `]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`1}`]이라 하자.
그림 [eqn: R_{`1}`]에서 삼각형 [eqn: rm A _{`2}` B _{`2}` C _{2} `]의 무게중심을 [eqn: rm A _{`3}`], 점 [eqn: rm A _{`3}`]을 지나는 원과 두 변 [eqn: rm A _{`2}` B _{`2}`], [eqn: rm A _{`2}` C _{`2} `]의 접점을 각각 [eqn: rm B _{`3}`], [eqn: rm C _{`3}`]이라 하자. 그림 [eqn: R_{`1}`]에 호 [eqn: rm A_{`3}` B_{`3} `], 선분 [eqn: rm B _{`3}` B _{`2} `], 선분 [eqn: rm B _{`2}` A _{`3}`]과 호 [eqn: rm A_{`3}` C_{`3} `], 선분 [eqn: rm C _{`3}` C _{`2}`], 선분 [eqn: rm C _{`2}` A _{`3} `]으로 둘러싸인 부분인  모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`2} `]라 하자.
그림 [eqn: R_{`2}`]에서 삼각형 [eqn: rm A _{`3}` B _{`3}` C _{`3} `]의 무게중심을 [eqn: rm A _{`4}`], 점 [eqn: rm A _{`4}`]를 지나는 원과 두 변 [eqn: rm A _{`3} `B _{`3}`], [eqn: rm A _{`3}` C _{`3} `]의 접점을 각각 [eqn: rm B _{`4}`], [eqn: rm C _{`4}`]라 하자. 그림 [eqn: R_{`2}`]에 호 [eqn: rm A_{`4}` B_{`4} `], 선분 [eqn: rm B _{`4}` B _{`3} `], 선분 [eqn: rm B _{`3}` A _{`4}`]와 호 [eqn: rm A_{`4}` C_{`4} `], 선분 [eqn: rm C _{`4}` C _{`3}`], 선분 [eqn: rm C _{`3}` A _{`4} `]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`3} `]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림을 [eqn: R_{`n}`], 그림 [eqn: R_{`n}`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf}` {S_{`n} }`]의 값은?

[4점]

[eqn: R_{`1}`]	[eqn: R_{`2}`]
[eqn: R_{`3}`]	[eqn: cdots]

① [eqn: {1} over {16} (21 sqrt {3} -4 pi )]	② [eqn: {1} over {16} (7 sqrt {3} -2 pi )]

③ [eqn: {1} over {8} (21 sqrt {3} -4 pi )]	④ [eqn: {1} over {8} (7 sqrt {3} -2 pi )]

⑤ [eqn: {1} over {8} (21 sqrt {3} -2 pi )]

18. 다음 조건을 만족시키는 네 자리 자연수의 개수는? [4점]

(가) 각 자리의 수의 합은 [eqn: 14`]이다.

(나) 각 자리의 수는 모두 홀수이다.

① [eqn: 51]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 53]	④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 55]

19. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정팔면체 [eqn: rm ABCDEF`]가 있다. 두 삼각형 [eqn: rm ABC`], [eqn: rm CBF`]의 평면 [eqn: rm BEF] 위로의 정사영의 넓이를 각각 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}]라 할 때, [eqn: S _{`1} +S _{`2} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

20. [eqn: 5`]명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rm E`]가 같은 영화를 보기 위해 함께 상영관에 갔다. 상영관에는 그림과 같이 총 [eqn: 5`]개의 좌석만 남아 있었다. (가) 구역에는 [eqn: 1`]열에 [eqn: 2`]개의 좌석이 남아 있었고, (나) 구역에는 [eqn: 1`]열에 [eqn: 1`]개와 [eqn: 2`]열에 [eqn: 2`]개의 좌석이 남아 있었다. [eqn: 5`]명의 학생 모두가 남아 있는 [eqn: 5`]개의 좌석을 임의로 배정받기로 하였다. 학생 [eqn: rm A`]와 [eqn: rm B`]가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받았을 때, 학생 [eqn: rmC`]와 [eqn: rmD`]가 같은 구역에 있는 같은 열의 좌석을 배정받을 확률은? [4점]

① [eqn: {1} over {18}]	② [eqn: {1} over {12}]	③ [eqn: {1} over {9}]	④ [eqn: {5} over {36}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

21. 함수 [eqn: f(x)=sin` pi x`]와 이차함수 [eqn: g(x)=x(x+1)`]에 대하여
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h(x)`]를

[eqn: h(x)= int _{g(x)} ^{g(x+1)} {f(t)`dt`}]

라 할 때, 닫힌 구간 [eqn: [-1,~1]`]에서 방정식 [eqn: h(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

단답형

22. [eqn: 9 ^{{1} over {2}} TIMES `log _{`2} `8`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 함수 [eqn: f(x)=7e` ^{x ^{2} -1} `]에 대하여 [eqn: f` prime (1)`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 분수부등식

[eqn: {1} over {x-10} LEQ {1} over {x+2}]

을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수를 구하시오. [3점]

25. 좌표평면에서 포물선 [eqn: y ^{`2} =16`x`]에 접하는 기울기가 [eqn: {1} over {2}]인 직선과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

[3점]

26. 한 모서리의 길이가 [eqn: 4`]인 정사면체 [eqn: rm ABCD`]에서 선분 [eqn: rm AD`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm P], [eqn: 3:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 두 평면 [eqn: rm PBC`]와 [eqn: rm QBC`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: cos` theta = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

27. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f`(1)=2`]

(나) [eqn: int _{0} ^{1} {(x-1)`f` prime (x+1)`dx} `=`-4`]

[eqn: int _{1} ^{2} {f(x)`dx} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: f` prime (x)`]는 연속함수이다.)

[4점]

28. 주머니 속에 [eqn: 1`]의 숫자가 적혀 있는 공 [eqn: 1`]개, [eqn: 3`]의 숫자가 적혀 있는 공 [eqn: n`]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1`]개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 2`]번 반복하여 얻은 두 수의 평균을 [eqn: {bar{X``}}]라 하자. [eqn: rm P(` it {bar{X``}} =1)= {1} over {49} `]일 때, [eqn: rm E( it ` {bar{X``}} )= {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

29. 좌표평면에 함수 [eqn: f(x)= sqrt {3} `ln`x`]의 그래프와
직선 [eqn: l`:`y=`- {sqrt {3}} over {2} x+ {sqrt {3}} over {2} `]이 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A( alpha ,~ it f`( alpha ))`], [eqn: rm B( beta ,~ it f`( beta ))`]에서의 접선을 각각 [eqn: m`], [eqn: n`]이라 하자. 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n`]으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, [eqn: 6( alpha + beta )`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 좌표공간에서 구 [eqn: S`:`x ^{2} +y ^{`2} +(z-3) ^{2} =4`]와
평면 [eqn: x-y+z-6=0`]이 만나서 생기는 원을 [eqn: C`] 라 하자.
구 [eqn: S`] 위의 점 [eqn: rm A( sqrt {2} ,~ sqrt {2} ,~3)`]과 원 [eqn: C`] 위를 움직이는 점 [eqn: rm B`]에 대하여 두 벡터 [eqn: rm {vec{OA}}], [eqn: rm {vec{OB}} `]의 내적 [eqn: rm {vec{OA}} BULLET {vec{OB}} `]의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.