2011년 6월 2일(목) 시행

2011년 6월 모의평가 해설

2교시  <수리 영역>

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전국모의고사 전문  비상에듀

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수리 영역_가형

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2011년 6월 모의평가 해설

수리 영역

1. ③	2. ③	3. ①	4. ②	5. ④

6. ①	7. ⑤	8. ④	9. ⑤	10. ④

11. ④	12. ②	13. ②	14. ③	15. ②

16. ③	17. ①	18. ⑤	19. ④	20. ③

21. ⑤	22. [eqn: 171]	23. [eqn: 310]	24. [eqn: 41]	25. [eqn: 12]

26. [eqn: 10]	27. [eqn: 17]	28. [eqn: 32]	29. [eqn: 8]	30. [eqn: 25]

1. 지수와 지수함수	③

정답

[eqn: 4 times 8 ^{1over3}][eqn: = 2 ^2 times (2^3 )^{1over3}]
[eqn: = 2 ^2 times 2^1]

[eqn: = 2^3]

[eqn: = 8]

2. 함수의 극한과 연속	③

정답

[eqn: lim _{ x`->`0} { (1+3x)^{ 1 over 6x}}][eqn: = lim _{ x`->`0} { left{ (1+3x )^{1 over 3x}} right}^{1over2}]
[eqn: = e^{1over2}]

[eqn: = sqrt { e}]

3. 일차변환과 행렬	①

정답

주어진 일차변환 [eqn: f]에 의하여 점 [eqn: (x,~y)]가 옮겨진 점의 좌표를 [eqn: (x',~ y' )]이라 하고, 일차변환 [eqn: f]를 행렬로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: pmatrix{`x' `# `y'`} ` = pmatrix{`3&````-1`#`1&```````````a`} pmatrix{`x`#y}]

이때, 일차변환 [eqn: f]에 의하여 점 [eqn: (1,~-1)]이 점 [eqn: (4,~0)]으로 옮겨지므로

[eqn: pmatrix{`4 `# `0`} ` = pmatrix{`3&````-1`#`1&```````````a`} pmatrix{````````1`#`-1`}` = pmatrix{4#1-a}]

[eqn: 1-a=0]

[eqn: therefore```][eqn: a=1]

4. 행렬과 그래프	②

정답

주어진 그래프의 각 꼭짓점을 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \E]라 하면 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬은 다음과 같다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: ⇔]

	[eqn: \A] [eqn: \B] [eqn: \C] [eqn: \D] [eqn: \E]
[eqn: \A] [eqn: \B] [eqn: \C] [eqn: \D] [eqn: \E]	[eqn: LEFT ( ``` pile{pile{pile{pile{0#1}#1}#0}#0} ~~ pile{pile{pile{pile{1#0}#1}#0}#0} ~~ pile{pile{pile{pile{1#1}#0}#1}#0} ~~ pile{pile{pile{pile{0#0}#1}#0}#1} ~~ pile{pile{pile{pile{0#0}#0}#1}#0} ``` RIGHT )]

따라서 구하는 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 [eqn: 10]이다.

【다른 풀이】 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 그래프의 변의 개수의 [eqn: 2]배와 같다.

그런데 주어진 그래프에서 변의 개수는 [eqn: 5]이므로 구하는 성분 [eqn: 1]의 개수는

[eqn: 5 times 2 = 10](개)

5. 방정식과 부등식	④

정답

[eqn: (2x+1)^4 - 7 (2x+1)^3 le 0]에서

[eqn: (2x+1)^3 (2x-6) le 0]

그런데 [eqn: (2x+1)^2 ge 0]이므로

[eqn: 2(2x+1) (x-3) le 0]

[eqn: therefore```][eqn: - 1over2 le x le 3]

따라서 구하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]의 [eqn: 4]개이다.

6. 함수의 극한과 연속	①

정답

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=2]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{ x`->~2} { { x^2 +ax-10} over { x-2} } = f(2) =b]	…… ㉠

그런데 [eqn: x`->`2]일 때, (분모)[eqn: `->`0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `->`0]이다. 즉,

[eqn: lim _{ x`->`2} { (x^2 +ax-10) = 2a-6=0}]

[eqn: therefore```][eqn: a=3]

이때, ㉠에 [eqn: a=3]을 대입하면

[eqn: b][eqn: = lim _{ x`->`2} { { x^2 +3x-10} over {x-2 } }]

[eqn: = lim _{ x`->`2} { { (x-2)(x+5)} over { x-2} }]
[eqn: = lim _{ x`->`2} { (x+5)}]

[eqn: =7]

[eqn: therefore```][eqn: a+b=3+7=10]

7. 일차변환과 행렬	⑤

정답

원점을 중심으로 [eqn: 90°]만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 행렬 [eqn: A]는 다음과 같다.

[eqn: A = pmatrix{ `cos`90° & ```- sin `90°`# `sin` 90°& ``````````cos` 90°`} = pmatrix{`0&````-1`#`1&```````````0`}]

[eqn: A^2 = pmatrix{`0&````-1`#`1&```````````0`} pmatrix{`0&````-1`#`1&```````````0`}]

[eqn: = pmatrix{`-1&```````````0`#````````0&````-1`} = -E]

[eqn: A^3 = A^2 A = (-E`)A = -A]

[eqn: A^4 =(A^2 )^2 = (-E`)^2 =E]

[eqn: A^5 = A^4 A = EA =A]

[eqn: therefore```][eqn: A +A^2 +A^3 +A^4 +A^5]
[eqn: = A +(-E`) +(-A)+E`+A]

[eqn: =A]

즉, 일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬이 [eqn: A]이므로

[eqn: pmatrix{`a`#b} = pmatrix{ `0 & ````-1`#`1&```````````0`} pmatrix{`2`#0} = pmatrix{`0`#2}]

[eqn: therefore```][eqn: a+b = 0+2=2]

8. 미분법	④

정답

함수 [eqn: f(x) = { 1} over { 2}x^2 - a`ln `x ``(a>0)]에서

[eqn: f`'(x) = x - a over x]

[eqn: f`' (x) = 0]에서

[eqn: x - a over x = 0], [eqn: {x^2 -a}over{x}=0]

[eqn: x^2 -a =(x+sqrt{a})(x-sqrt{a})=0]

[eqn: therefore```][eqn: x = sqrt { a}]([eqn: because```][eqn: x>0])

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 증가 또는 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: sqrt { a}]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↘	극소	↗

즉, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = sqrt { a}]에서 극소이고 극솟값이 [eqn: 0]이므로

[eqn: f( sqrt { a} ) = a over2 - a`ln`sqrt { a} = 0]

[eqn: a over2 - a over 2 `ln `a = a over2 (1 - ln a ) =0]

[eqn: a>0]이므로

[eqn: 1- ln`a =0], [eqn: ln`a =1]

[eqn: therefore```][eqn: a=e]

9. 행렬과 그래프	⑤

정답

ㄱ. (거짓) [eqn: A-B][eqn: = pmatrix{`1&&a`#`0&&1`} - pmatrix{`1&&0`#`b&&1`}]
[eqn: = pmatrix{ ```````0 &&a`#-b&&0`}]

[eqn: (A-B)^2][eqn: = pmatrix{```````0 &&a`#-b&&0`} pmatrix{```````0 &&a`#-b&&0`}]
[eqn: = pmatrix{`-ab& ```````````````0` #````````````0 &```` -ab`}][eqn: = -abE]

[eqn: therefore```][eqn: (A-B)^2 != abE]

ㄴ. (참) [eqn: A^-1 = pmatrix{`1&`````-a`#`0&````````````1`}]

[eqn: 2E-A = pmatrix{`2&&0`#`0&&2`}`- pmatrix{`1&&a`#`0&&1`}]

[eqn: `= pmatrix{`1&`````-a`#`0&````````````1`}]

[eqn: therefore```][eqn: A^-1 = 2E-A]

ㄷ. (참)

[eqn: A+A^-1 = pmatrix{`1&&a`#`0&&1`} `+ pmatrix{`1&`````-a`#`0&````````````1`} `= pmatrix{`2&&0`#`0&&2`}]

[eqn: B+B^-1 = pmatrix{`1&&0`#`b&&1`} `+ pmatrix{````````1&&`0`#`-b&&`1`} `= pmatrix{`2&&0`#`0&&2`}]

[eqn: therefore```][eqn: A+A^-1 = B``+B^-1]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

10. 수열	④

정답

주어진 식으로부터

[eqn: a_2][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 1}2^{1-k} `a_k]
[eqn: = 2^{1-1}a_1]

[eqn: = 1 cdot 1 =]

[eqn: 1]

자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+2][eqn: = sum _{ k=1} ^{ n+1} 2^{n+1-k}`a_k]
[eqn: = sum _{ k=1} ^{ n}2^{n+1-k}`a_k +a_n+1]
[eqn: =][eqn: sum _{ k=1} ^{ n} 2^{n-k}`a_k +a_n+1]
[eqn: = 2a_n+1 +a_n+1]
[eqn: =][eqn: a_n+1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

이다.

따라서 [eqn: a_1 = 1]이고, [eqn: n ge 2]일 때

[eqn: a_n = a_2 cdot 3^n-2 = 3^n-2]

[eqn: therefore```][eqn: p+q+r = 1+2+3=6]

11. 삼각함수	④

정답

[eqn: f(x)][eqn: = sqrt { 3} `sin`x + cos`x +1]
[eqn: = 2 LEFT ( { sqrt3} over { 2} `sin`x + 1over2 `cos`x RIGHT ) +1]
[eqn: = 2 `sin` LEFT ( x + pi over 6 RIGHT ) +1]

[eqn: x + pi over 6 = t]라 하면

[eqn: g(t) = 2 `sin`t +1] [eqn: LEFT ( pi over3 le t le pi RIGHT )]

이고, [eqn: 0 le sin`t le 1]이므로 [eqn: 1 le g(t) le 3]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: t = pi over 2], 즉 [eqn: x = pi over 3]일 때 최대이므로

[eqn: M = 2`sin`pi over2 +1 = 2 cdot 1 +1 =3]

또, [eqn: t = pi], 즉 [eqn: x = 5 over 6 pi]일 때 최소이므로

[eqn: m = 2`sin`pi +1 = 2 cdot 0 +1=1]

[eqn: therefore```][eqn: M +m = 3+1=4]

12. 로그와 로그함수	②

정답

[eqn: c_0 = 1over99]이므로 [eqn: c_n = 1.004 times c_n-1]에서

[eqn: c_1 = 1.004 times c_0 = 1.004 times { 1} over { 99}]

[eqn: c_2 = 1.004 times c_1 = (1.004)^2 times { 1} over { 99}]

[eqn: c_3 = 1.004 times c_2 = (1.004)^3 times { 1} over { 99}]

[eqn: vdots]

[eqn: therefore```][eqn: c_n = (1.004)^n times { 1} over { 99}]

이때, [eqn: c_n ge 1over9]을 만족하는 [eqn: n]의 값을 구해 보면

[eqn: (1.004)^n times { 1} over { 99} ge 1over9]

[eqn: (1.004)^n ge 11]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n log `1.004 ge log`11 = log` (1.1 times 10)]

주어진 조건에서

[eqn: log`1.004=0.0017], [eqn: log`1.1`=0.0414]

이므로 이를 대입하면

[eqn: 0.0017 times n ge 1.0414]

[eqn: n ge { 1.0414} over { 0.0017} = 612.5 timestimestimes]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 613]이다.

13. 이차곡선	②

정답

원 [eqn: (x-4)^2 +y^ 2 =r^2]이 쌍곡선 [eqn: x^2 -2y^2 =1]과 서로 다른 세 점에서 만나려면 다음 그림과 같이 원이 쌍곡선 의 꼭짓점을 지나야 한다.

(ⅰ) 원이 점 [eqn: (-1,``0)]을 지날 때,

[eqn: r^2 =25]    [eqn: ∴~] [eqn: r=5]

(ⅱ) 원이 점 [eqn: (1,``0)]을 지날 때,

[eqn: r^2 =9]    [eqn: ∴~] [eqn: r=3]

따라서 구하는 양수 [eqn: r]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

14. 수열의 극한	③

정답

중심이 [eqn: (a_n ,~b_n )]이고 [eqn: y]축에 접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하면

[eqn: r_n =][eqn: a_n = LEFT ( 1over2 RIGHT )^n-1]

이고, [eqn: r_n+1 =a_n+1 =left(1over2 right)^n]이므로

[eqn: r_n+1 ={1over2}r_n]

즉, 도형 [eqn: P_n]과 [eqn: P_n+1]은 닮음비가 [eqn: 1:{1over2}]인 닮은 도형이므로 넓이의 비는 [eqn: 1:{1over4}]이다.

[eqn: ∴~][eqn: S_n+1 ={1over4}`S_n]

이때, [eqn: a_1 =b_1 =1]이므로 [eqn: P_1]의 넓이는

[eqn: pi over4 times a_1 ^{```2} - 1over2 times 1over2 a_1 times b_1]

[eqn: = pi over 4 cdot 1 - 1over2 cdot 1over2 cdot1]

[eqn: = { pi-1} over { 4}]

[eqn: therefore```][eqn: S`_1 = 2 times { pi-1} over { 4} = { pi-1} over { 2}]

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: {pi-1}over2]이고 공비가 [eqn: 1over4]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}S_n][eqn: = { {pi-1}over2} over { 1 - 1over4} = { {pi-1}over2} over { 3over4}]
[eqn: = { 2(pi-1)} over { 3}]

15. 순열과 조합	②

정답

위의 그림과 같이 원의 내부 또는 정삼각형의 내부에 만들어지는 [eqn: 7]개의 영역을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \E], [eqn: \F], [eqn: \G]라 하면

(ⅰ) [eqn: \A] 영역에 색을 칠하는 방법의 수는 [eqn: 7](가지)

(ⅱ) [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D] 영역에 칠할 색을 선택하는 방법의 수는 [eqn: rm`_6 C_3](가지)
선택한 세 가지의 색을 각 영역에 칠하는 방법의 수는 원순열의 수와 같으므로
[eqn: (3-1)! = 2!](가지)

[eqn: therefore```][eqn: rm`_6 C_3 times 2!][eqn: = { 6 cdot 5 cdot 4} over { 3 cdot 2 cdot 1} times 2]
[eqn: = 40](가지)

(ⅲ) [eqn: \E], [eqn: \F], [eqn: \G] 영역에는 남은 세 가지의 색을 칠하면 되므로
[eqn: 3! = 3 times 2 times 1 = 6](가지)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 7 times 40 times 6 = 1680](가지)

16. 방정식과 부등식	③

정답

주어진 방정식의 양변에 [eqn: f(x) f(-x)]를 곱하면

[eqn: f(-x) - f(x) = f(x) f(-x) - left{ f(x) right}^2]

[eqn: f(x) left{ f(x) -1 right} - f(-x) left{ f(x)-1 right} =0]

[eqn: left{ f(x)-1 right} left{ f(x)- f(-x) right} = 0],

[eqn: f(x)!=0], [eqn: f(-x)!=0]

[eqn: therefore```][eqn: f(x)=1] 또는 [eqn: f(x)=f(-x)]

(단, [eqn: f(x)!=0], [eqn: f(-x)!=0])

이때, 함수 [eqn: y = f(-x)]의 그래프는 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 것이므로 다음 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: f(x)=1]에서

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=b]

그런데 [eqn: x=2]이면 [eqn: f(-x)=0]이므로

[eqn: x=2]는 무연근이다.

[eqn: ∴~][eqn: x=a] 또는 [eqn: x=b]

(ⅱ) [eqn: f(x) = f(-x)]에서
[eqn: x = alpha] 또는 [eqn: x = - alpha] 또는 [eqn: x = beta] 또는 [eqn: x = - beta]
([eqn: because```][eqn: f(x)!=0], [eqn: f(-x)!=0])

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 실근의 개수는 [eqn: 6]이다.

17. 수열	①

정답

주어진 규칙에 따라 [eqn: {rmA}_n]의 좌표를 구해 보면 다음 그림과 같다.

[eqn: {rmA}_n (x_n ,~ y_n )] [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]이라 하면

(ⅰ) [eqn: n][eqn: = 2p] [eqn: (p=1,~2,~3,~cdots)]일 때

[eqn: x_2p =p+2]

[eqn: y_2p = 2+ (p-1)cdot(-1) =-p+3]

이때, 점 [eqn: (7,~-2)]는 [eqn: p=5]일 때와 같으므로

[eqn: k = 2 times 5 =10]

(ⅱ) [eqn: n = 2p+1] [eqn: (p=1,~2,~3,~cdots)]일 때

[eqn: x_2p+1 = p+1]

[eqn: y_2p+1 = 0 + (p-1) cdot (-1)=-p+1]

이때, 점 [eqn: (9,~-7)]은 [eqn: p=8]일 때와 같으므로

[eqn: l = 2 times 8 + 1= 17]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: k+l = 10+17=27]

18. 적분법	⑤

정답

ㄱ. (참) [eqn: 1 le x le e]일 때, [eqn: 0 le ln `x le 1]이고
[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n]의 값이 증가할 때, [eqn: f(n)][eqn: = (ln `x )^n]의 값은 감소하므로
[eqn: (ln `x )^n ge (ln `x )^n+1]

ㄴ. (참) [eqn: S_n = 1 + int _{ 1} ^{e } { left{ 1 - (ln `x )^n right}dx}]이므로
[eqn: S_n+1 - S_n]
[eqn: = left[ 1 + int _{ 1} ^{e } {left{1 - (ln` x )^n+1 right} dx }right]]	[eqn: - left[ 1 + int _{ 1} ^{e } { left{ 1 - (ln`x )^n right}dx} right]]
[eqn: = int _{ 1} ^{ e} { left[ left{ 1 - (ln`x )^n+1 right}} - left{ 1 -(ln `x )^n right} right] dx]
[eqn: = int _{ 1} ^{ e} { left{(ln`x )^n - (ln`x )^n+1 right}dx}]
그런데 ㄱ에서 [eqn: 1le x`le e]일 때,

[eqn: (ln `x )^n ge (ln `x)^n+1]이므로
[eqn: (ln`x )^n - (ln` x )^n+1 ge 0]
[eqn: therefore```][eqn: S_n+1 - S_n]
[eqn: = int _{ 1} ^{e } { left{ (ln` x )^n - (ln`x )^n+1 right} dx >0 }]

ㄷ. (참) 함수 [eqn: y=f(x)]와 함수 [eqn: y = g(x)]는 역함수 관계이므로 그래프는 다음 그림과 같이 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

[eqn: therefore```][eqn: S_n = int _{ 0} ^{1 } {g(x)dx }]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

19. 적분법	④

정답

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { f(x) g'(x)dx} }]

[eqn: = left[ f(x) g(x) right]_0^1 - int _{ 0} ^{ 1} { f`'(x) g(x)dx]

[eqn: = f(1) g(1) - f(0)g(0) - int _{ 0} ^{ 1} { { x^2} over { (1+x^3 )^2} }dx]

그런데 [eqn: g(0)=0], [eqn: g(1)=1]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { f(x)g'(x)dx}` = f(1) - int _{ 0} ^{1 } { { x^2} over {(1+x^3 )^2 } }dx]	…… ㉠

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { { x^2} over {(1+x^3 )^2 } }dx]에서 [eqn: 1+x^3 =t]로 치환하면

[eqn: 3x^2 dx =dt]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=2]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { { x^2} over {(1+x^3 )^2 } }dx][eqn: = int _{ 1} ^{2 } { { 1} over {3t^2 } dt}]
[eqn: = { 1} over { 3} int _{ 1} ^{ 2} { { 1} over {t^2 } }dt]
[eqn: = 1over3 left[ - 1over t right]_1^2]
[eqn: = { 1} over { 3} LEFT ( - 1over2 +1 RIGHT )]
[eqn: = { 1} over { 6}]

㉠에서

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { f(x)g'(x)} = f(1)- 1over6 = 1over 6]

[eqn: therefore```][eqn: f(1) = { 1} over { 6} + { 1} over { 6} = { 1} over { 3}]

20. 수열의 극한	③

정답

[eqn: {rmP}_n (n,~2^n )], [eqn: {rmQ} _n (n,~ 3^n )]이고

삼각형 [eqn: {rmP}_n {rmQ}_n {rmP}_n-1]의 높이는 [eqn: 1]이므로

[eqn: S_n][eqn: = { 1} over { 2} times bar{{rmP}_n {rmQ}_n} times 1][eqn: = 1over2 (3^n - 2^n )]

[eqn: T_n][eqn: = sum _{ k=1} ^{ n}S_k]
[eqn: = sum _{ k=1} ^{ n} 1over2 (3^k -2^k )]
[eqn: = 1over2 left( sum _{ k=1} ^{ n}3^k - sum _{ k=1} ^{ n}2^k right)]
[eqn: = { 1} over { 2} left{ { 3(3^n -1)} over {3-1 } - { 2(2^n -1)} over { 2-1} right}]
[eqn: = 3over4 (3^n -1 ) - (2^n -1)]
[eqn: = 3over4 cdot 3^n - 2^n + 1over4]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { { T_n} over {3^n } }][eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 3over4 cdot 3^n - 2^n + 1over4} over { 3^n} }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { left { 3over4 - LEFT ( 2over3 RIGHT ) ^n + { 1} over {4}cdot left(1over 3right)^n } right} }]
[eqn: = 3over4]

21. 미분법	⑤

정답

ㄱ. (참)  [eqn: f`'(x) = { 1} over { 27} (4x^3 - 18x^2 +24x +19)]

[eqn: f`'' (x)][eqn: = { 1} over { 27} (12x^2 -36x +24])
[eqn: = { 4} over { 9} (x^2 - 3x+2)]
[eqn: = { 4} over { 9}(x-1)(x-2)]

[eqn: f`''(x)=0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

이때, [eqn: f(1) = { 26} over { 27}], [eqn: f(2)=2]이고,

[eqn: x=2]의 좌우에서 [eqn: f''(x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 점 [eqn: (2,~2)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

ㄴ. (참) [eqn: { 1} over { 27} (x^4 - 6x^3 +12x^2 +19x )=x]에서

[eqn: x^4 -6x^3 +12x^2 -8x =0], [eqn: x(x-2)^3 =0]

[eqn: therefore```][eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

그러므로 방정식 [eqn: f(x)=x]의 실근 중 양수인 것은 [eqn: x=2] 하나뿐이다.

ㄷ. (참) 함수 [eqn: f(x)]가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 역함수 [eqn: g(x)]도 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.  이때, [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 역함수 관계이므로 ㄴ에서 [eqn: f(2)=2 = g(2)]

또, [eqn: f`'(2) =1]이므로 두 함수 [eqn: y= f(x)], [eqn: y = g(x)]의 그래프는 [eqn: x=2]에서 직선 [eqn: y=x]와 접한다.

[eqn: h(x) = |`f(x)- g(x)`|]라 하면

[eqn: h(x) = cases{`f(x)-g(x)&& (x ge2)#` g(x) - f(x)&& (x<2 ) }]에서

[eqn: lim _{ x`->`2+0} { h(x) = lim _{ x`->`2-0} {h(x)=0 } }]

[eqn: h(2) = f(2)-g(2)=0]

따라서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=2]에서 연속이다.

[eqn: h'(x) = cases{ `f`'(x)-g'(x)&& (x>2)#`g'(x) - f`'(x) && (x<2)}]에서

[eqn: g'(2) = { 1} over { f`'(2)}=1]이므로

[eqn: lim _{ x`->`2+0} { h'(x) = lim _{ x`->`2-0} { h'(x)=0} }]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ x`->`2} { `h(x)=0}]

그러므로 함수 [eqn: |`f(x)-g(x)`|]는 [eqn: x=2]에서
미분가능하다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

22. 순열과 조합	[eqn: 171]

정답

순서쌍 [eqn: (x,~y,~z)]의 개수는 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 [eqn: 3]개 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 17]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

[eqn: therefore```][eqn: rm`_3 H_17][eqn: rm=_3+17-1 C_17]
[eqn: rm=_19 C_17 = _19 C _2]
[eqn: = { 19 cdot18} over { 2 cdot1}]
[eqn: = 171](개)

23. 수열	[eqn: 310]

정답

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_n = 2+ (n-1)cdotd]

[eqn: a_4 - a_2][eqn: = (2+3d)-(2+d)]
[eqn: =2d=4]

[eqn: therefore```][eqn: d=2]

따라서 [eqn: a_n = 2+(n-1) cdot 2 =2n]이므로

[eqn: sum _{ k=11} ^{ 20} a_k][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 20}a_k - sum _{ k=1} ^{ 10}a_k]
[eqn: = sum _{ k=1} ^{ 20}2k - sum _{ k=1} ^{ 10}2k]
[eqn: = 2 cdot { 20 cdot21} over { 2} - 2 cdot { 10 cdot11} over { 2}]
[eqn: =420-110]
[eqn: =310]

24. 적분법	[eqn: 41]

정답

구하는 회전체의 부피는

[eqn: pi int _{ 0} ^{1 } { (e^x - 1 )^2 dx}][eqn: = pi int _{ 0} ^{ 1} { (e^2x - 2e^x +1) dx}]
[eqn: = pi left[ 1over2 e^2x - 2 e^x +x right]_0^1]
[eqn: = pi left{ LEFT ( 1over2 e^2 - 2e +1 RIGHT ) - LEFT ( 1over2 -2 RIGHT ) right}]
[eqn: = pi LEFT ( 1over2 e^2 - 2e + 5over2 RIGHT )]
[eqn: = pi over2 (e^2 -4e+5)]

[eqn: therefore```][eqn: a=-4], [eqn: b=5]

[eqn: therefore```][eqn: a^2 +b^2 = (-4)^2 +5^2 = 41]

25. 삼각함수	[eqn: 12]

정답

[eqn: tan `2 alpha = { 2` tan` alpha} over { 1- tan^2 `alpha}]이므로

[eqn: { 2p} over { 1-p^2} = { 5} over { 12}]

[eqn: 5p^2 +24p-5=0], [eqn: (p+5)(5p-1)=0]

[eqn: therefore```][eqn: p = 1over 5] [eqn: LEFT ( because``` 0 < alpha < pi over 4 RIGHT )]

[eqn: therefore```][eqn: 60p = 60 times 1over5 = 12]

26. 미분법	[eqn: 10]

정답

[eqn: h(x) = (g circ f)(x)]에서

[eqn: h'(x) = (g circ f ) ' (x) = g' (f(x)) f`' (x)]

[eqn: f(x) = (x+1)^{3over2}]에서

[eqn: f`'(x) = 3over2 (x+1)^{1over2}]

이고, [eqn: f(0)=1], [eqn: f'(0)={3over2}]이므로

[eqn: h'(0)][eqn: = g' (f(0))f'`(0)]
[eqn: = g'(1) times 3over2 = 15]

[eqn: therefore```][eqn: g' (1)=15times{2over3}=10]

27. 함수의 극한과 연속	[eqn: 17]

정답

[eqn: rm angle PAB =theta]이고, 직선 [eqn: rm AP]와 직선 [eqn: rmOQ]가 평행하므로

[eqn: rm angle QOB = theta]

그러므로 [eqn: rm bar OQ = cos theta]이고, [eqn: rmbar OR = 1]이므로

[eqn: rmbar QR = 1 - cos theta]

[eqn: therefore```][eqn: S`(theta) = pi LEFT ( { 1- cos theta} over { 2} RIGHT )^2]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ theta`->`+0} { { S`(theta)} over {theta^4 } }]
[eqn: = pi over 4 lim _{ theta`->`+0} { { (1- cos theta )^2} over { theta^4} }]
[eqn: = pi over 4 lim _{ theta`->`+0} { { (1- cos theta )^2 (1+ cos theta)^2} over { theta ^4 ( 1+ cos theta )^2} }]
[eqn: = pi over 4 lim _{ theta `->`+0} { { (1- cos^2 theta )^2} over { theta ^4 (1+ cos theta )^2} }]
[eqn: = pi over 4 left{ lim _{ theta `->`+0} { { sin ^4 theta} over {theta^4 } } times lim _{ theta `->`+0} { { 1} over {(1+ cos theta )^2 } } right}]
[eqn: = pi over 4 LEFT ( 1 times 1over4 RIGHT )]
[eqn: = pi over 16]

[eqn: therefore```][eqn: p=16], [eqn: q=1]

[eqn: therefore```][eqn: p+q = 16+1=17]

28. 이차곡선	[eqn: 32]

정답

타원 [eqn: { x^2 } over { 8} + { y^2} over { 2} =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하면

[eqn: rmF (- sqrt { 6},~0)], [eqn: rmF' ( sqrt { 6},~0)]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x_1 ,~y_1 )]이라 하면

[eqn: { x_1 ^{```2}} over { 8} + { y_1 ^{```2}} over { 2} =1]	…… ㉠

한편, 접선의 방정식은

[eqn: { x_1 x} over { 8} + { y_1 y} over { 2} =1]

이고, 이 접선이 점 [eqn: (0,~2)]를 지나므로

[eqn: y_1 =1]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: { x_1 ^{```2}} over { 8} + { 1} over { 2} =1], [eqn: x_1 ^{```2} = 4]

[eqn: therefore```][eqn: x_1 =-2]([eqn: because```][eqn: x_1 <0])

따라서 [eqn: rmP (-2,~1)]이고 점 [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 것과 같으므로 [eqn: rmQ(2,~1)]

이때, 타원의 정의에 의해

[eqn: rmbar PF + barPF' = 2 cdot 2 sqrt { 2} = 4 sqrt { 2}]

이고, [eqn: rmbar PF' = bar QF]이므로

(삼각형 [eqn: rm PFQ]의 둘레의 길이)

[eqn: = rm barPF +barPQ +BarQF]

[eqn: = rm bar PF + barPQ +BarPF']

[eqn: = rm bar PQ + (barPF +barPF' )]

[eqn: = 4 + 4 sqrt { 2}]

[eqn: therefore```][eqn: a^2 +b^2 =4^2 +4^2 = 32]

29. 이차곡선	[eqn: 8]

정답

선분 [eqn: rmAB]와 [eqn: x]축과의 교점을 [eqn: \C]라 하면

[eqn: rmbarOC =3]

이므로 [eqn: rmbar OG = 2]   [eqn: therefore```][eqn: rmG (2,~0)]

이때, 포물선의 초점이 [eqn: rmG(2,~0)]이므로 포물선의 방정식은

[eqn: y^2 = 8x]	…… ㉠

이고, 준선은 [eqn: x=-2]이다.

한편, [eqn: rmB(3,``` sqrt { 3} )]이므로 두 점 [eqn: rmG], [eqn: rmB]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y][eqn: = { sqrt { 3} -0} over { 3-2} (x-2)][eqn: = sqrt { 3} (x-2)]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: 3(x-2)^2 = 8x], [eqn: 3x^2 -20x +12=0]

[eqn: (3x-2)(x-6)=0]

[eqn: therefore```][eqn: x = 2over3] 또는 [eqn: x=6]

따라서 [eqn: rmP (6,~4 sqrt { 3})]이고, 점 [eqn: rmP]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 포물선의 정의에 의해

[eqn: rmbar GP = bar PH = 2+6 =8]

30. 로그와 로그함수	[eqn: 25]

정답

[eqn: log_{`2}`n - log_{`2} `k = log_{`2}` { n} over { k} = p]([eqn: p]는 정수)

라 하면 [eqn: { n} over { k} = 2^p]

(ⅰ) [eqn: n= 2l] [eqn: (l=1,~2,~cdots,~50)]일 때
[eqn: { n} over { k} = { 2l} over { k} = 2^p]
[eqn: k=l]이면 [eqn: p=1]
[eqn: k=2l]이면 [eqn: p=0]
[eqn: therefore```][eqn: f(n) ge 2]

(ⅱ) [eqn: 1 le n le 50]일 때
[eqn: k=n]이면 [eqn: p=0]
[eqn: k=2n]이면 [eqn: p=-1]
[eqn: therefore```][eqn: f(n) ge 2]

(ⅲ) [eqn: n]이 [eqn: 51] 이상의 홀수일 때
[eqn: n overk = 2^p]의 꼴이 되려면 [eqn: k=n]인 경우뿐이므로
[eqn: p=0]
[eqn: therefore```][eqn: f(n)=1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 자연수 [eqn: n]은

[eqn: 51], [eqn: 53], [eqn: 55], [eqn: cdots], [eqn: 99]의 [eqn: 25]개이다.

수리 영역_나형

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2011년 6월 모의평가 해설

수리 영역

1. ③	2. ⑤	3. ③	4. ②	5. ①

6. ②	7. ⑤	8. ④	9. ⑤	10. ④

11. ①	12. ②	13. ②	14. ③	15. ④

16. ⑤	17. ①	18. ④	19. ③	20. ③

21. ①	22. [eqn: 16]	23. [eqn: 310]	24. [eqn: 17]	25. [eqn: 29]

26. [eqn: 12]	27. [eqn: 13]	28. [eqn: 30]	29. [eqn: 11]	30. [eqn: 25]

1. 지수와 지수함수	③

정답

[eqn: 4 times 8 ^{1over3}][eqn: = 2 ^2 times (2^3 )^{1over3}]
[eqn: = 2 ^2 times 2^1]

[eqn: = 2^3 = 8]

2. 행렬과 그래프	⑤

정답

[eqn: 2A +B][eqn: = 2 ` pmatrix{`1&&2`#`1&&0`} + pmatrix{`2&``````````0`#`1&```-1`}]
[eqn: = pmatrix{`2&&4`#`2&&0`} + pmatrix{`2&``````````0`#`1&```-1`}]
[eqn: = pmatrix{`4&``````````4`#`3&```-1`}]

따라서 행렬 [eqn: 2A +B]의 모든 성분의 합은

[eqn: 4+4+3+(-1)=10]

3. 수열의 극한	③

정답

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 3n} over {2n+1 } }][eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 3 } over {2 + 1 over n } }][eqn: = { 3} over { 2+0}][eqn: = 3over2]

4. 행렬과 그래프	②

정답

주어진 그래프의 각 꼭짓점을 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \E]라 하면 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬은 다음과 같다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: ⇔]

	[eqn: \A] [eqn: \B] [eqn: \C] [eqn: \D] [eqn: \E]
[eqn: \A] [eqn: \B] [eqn: \C] [eqn: \D] [eqn: \E]	[eqn: LEFT ( ``` pile{pile{pile{pile{0#1}#1}#0}#0} ~~ pile{pile{pile{pile{1#0}#1}#0}#0} ~~ pile{pile{pile{pile{1#1}#0}#1}#0} ~~ pile{pile{pile{pile{0#0}#1}#0}#1} ~~ pile{pile{pile{pile{0#0}#0}#1}#0} ``` RIGHT )]

따라서 구하는 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 [eqn: 10]이다.

【다른 풀이】 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는 그래프의 변의 개수의 [eqn: 2]배와 같다. 그런데 주어진 그래프에서 변의 개수는 [eqn: 5]이므로 구하는 성분 [eqn: 1]의 개수는

[eqn: 5 times 2 = 10](개)

5. 함수의 극한과 연속	①

정답

[eqn: lim _{ x`->`0} { { f (x)} over {x } }][eqn: = lim _{ x`->`0} { { x^2 +ax} over { x} }]
[eqn: = lim _{ x`->`0} { (x+a)}]
[eqn: = 0+a=4]

[eqn: therefore```][eqn: a=4]

6. 수열	②

정답

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a]로 놓으면

[eqn: a_2 = a+6], [eqn: a_3 = a+12]이므로

[eqn: |`(a+6) -3`| = |`(a+12)-3`|]

[eqn: a+9>a+3]이므로

[eqn: a+3 = - (a+9)], [eqn: 2a=-12]

[eqn: therefore```][eqn: a = -6]

[eqn: therefore```][eqn: a_5 = -6+ 4 cdot 6 = 18]

7. 함수의 극한과 연속	⑤

정답

주어진 그래프에서

[eqn: lim _{ x`->`-1-0} { f(x)=1}], [eqn: lim _{ x`->`1+0} { f(x)=1}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{x` -> `-1-0} {f(x)} + lim _{x` -> `1+0} {f(x)}=1+1=2]

8. 수열	④

정답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]로 놓으면

[eqn: a_3 = ar^2 = sqrt { 5}]	…… ㉠

[eqn: therefore```][eqn: a_1 times a_2 times a_4 timesa _5][eqn: = a times ar times ar^3 times ar^4]
[eqn: = a^4 r^8]
[eqn: = (ar^2 )^4]
[eqn: = ( sqrt { 5})^4] ([eqn: because```]㉠)
[eqn: = 25]

9. 행렬과 그래프	⑤

정답

ㄱ. (거짓) [eqn: A-B][eqn: = pmatrix{`1&&a`#`0&&1`} - pmatrix{`1&&0`#`b&&1`}]
[eqn: = pmatrix{ ```````0 &&a`#-b&&0`}]

[eqn: (A-B)^2][eqn: = pmatrix{```````0 &&a`#-b&&0`} pmatrix{```````0 &&a`#-b&&0`}]
[eqn: = pmatrix{`-ab& ```````````````0` #````````````0 &```` -ab`}][eqn: = -abE]

[eqn: therefore```][eqn: (A-B)^2 != abE]

ㄴ. (참) [eqn: A^-1 = pmatrix{`1&`````-a`#`0&````````````1`}]

[eqn: 2E-A = pmatrix{`2&&0`#`0&&2`}`- pmatrix{`1&&a`#`0&&1`} `= pmatrix{`1&`````-a`#`0&````````````1`}]

[eqn: therefore```][eqn: A^-1 = 2E-A]

ㄷ. (참)

[eqn: A+A^-1 = pmatrix{`1&&a`#`0&&1`} `+ pmatrix{`1&`````-a`#`0&````````````1`} `= pmatrix{`2&&0`#`0&&2`}]

[eqn: B+B^-1 = pmatrix{`1&&0`#`b&&1`} `+ pmatrix{````````1&&`0`#`-b&&`1`} `= pmatrix{`2&&0`#`0&&2`}]

[eqn: therefore```][eqn: A+A^-1 = B``+B^-1]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

10. 수열	④

정답

주어진 식으로부터

[eqn: a_2][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 1}2^{1-k} `a_k]
[eqn: = 2^{1-1}a_1 = 1 cdot 1 =]

[eqn: 1]

자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+2][eqn: = sum _{ k=1} ^{ n+1} 2^{n+1-k}`a_k]
[eqn: = sum _{ k=1} ^{ n}2^{n+1-k}`a_k +a_n+1]
[eqn: =][eqn: sum _{ k=1} ^{ n} 2^{n-k}`a_k +a_n+1]
[eqn: = 2a_n+1 +a_n+1]
[eqn: =][eqn: a_n+1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

이다.

따라서 [eqn: a_1 = 1]이고, [eqn: n ge 2]일 때

[eqn: a_n = a_2 cdot 3^n-2 = 3^n-2]

[eqn: therefore```][eqn: p+q+r = 1+2+3=6]

11. 다항함수의 미분법	①

정답

[eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x) -2} over { x^2 -1} } =3]에서

[eqn: x`->`1]일 때, (분모)[eqn: `->`0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.

[eqn: lim _{ x`->`1} { left{f(x) -2 right} = 0}]

[eqn: therefore~f(1)=2]

[eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x) -2} over { x^2 -1} }][eqn: = lim _{ x`->`1} { { f(x) - f(1)} over {x-1 } } times lim _{ x`->`1} { { 1} over {x+1 } }]
[eqn: = { 1} over { 2}f`' (1)=3]

[eqn: therefore```][eqn: f`'(1)=6]

[eqn: therefore```][eqn: { f`'(1)} over {f(1) } = { 6} over { 2} = 3]

12. 로그와 로그함수	②

정답

[eqn: c_0 = 1over99]이므로 [eqn: c_n = 1.004 times c_n-1]에서

[eqn: c_1 = 1.004 times c_0 = 1.004 times { 1} over { 99}]

[eqn: c_2 = 1.004 times c_1 = (1.004)^2 times { 1} over { 99}]

[eqn: c_3 = 1.004 times c_2 = (1.004)^3 times { 1} over { 99}]

[eqn: vdots]

[eqn: therefore```][eqn: c_n = (1.004)^n times { 1} over { 99}]

이때, [eqn: c_n ge 1over9]을 만족하는 [eqn: n]의 값을 구해 보면

[eqn: (1.004)^n times { 1} over { 99} ge 1over9], [eqn: (1.004)^n ge 11]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n log `1.004 ge log`11 = log` (1.1 times 10)]

주어진 조건에서

[eqn: log`1.004=0.0017], [eqn: log`1.1`=0.0414]

이므로 이를 대입하면

[eqn: 0.0017 times n ge 1.0414]

[eqn: n ge { 1.0414} over { 0.0017} = 612.5 timestimestimes]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 613]이다.

13. 로그와 로그함수	②

정답

주어진 곡선이 점 [eqn: (0,~2)]를 지나므로

[eqn: 2 = log_{`2} (a cdot 0+ b )= log_{`2} `b]

[eqn: therefore```][eqn: b =4]

또, 점 [eqn: (-1,~0)]을 지나므로

[eqn: 0 = log_{`2} (-a+b ) = log_{`2} (-a+4)]

[eqn: -a+4=1]

[eqn: therefore```][eqn: a=3]

[eqn: therefore```][eqn: a+b = 3+4=7]

14. 수열의 극한	③

정답

중심이 [eqn: (a_n ,~b_n )]이고 [eqn: y]축에 접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하면

[eqn: r_n =][eqn: a_n = LEFT ( 1over2 RIGHT )^n-1]

이고, [eqn: r_n+1 =a_n+1 =left(1over2 right)^n]이므로

[eqn: r_n+1 ={1over2}r_n]

즉, 도형 [eqn: P_n]과 [eqn: P_n+1]은 닮음비가 [eqn: 1:{1over2}]인 닮은 도형이므로 넓이의 비는 [eqn: 1:{1over4}]이다.

[eqn: ∴~][eqn: S_n+1 ={1over4}`S_n]

이때, [eqn: a_1 =b_1 =1]이므로 [eqn: P_1]의 넓이는

[eqn: pi over4 times a_1 ^{```2} - 1over2 times 1over2 a_1 times b_1]

[eqn: = pi over 4 cdot 1 - 1over2 cdot 1over2 cdot1]

[eqn: = { pi-1} over { 4}]

[eqn: therefore```][eqn: S`_1 = 2 times { pi-1} over { 4} = { pi-1} over { 2}]

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: {pi-1}over2]이고 공비가 [eqn: 1over4]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}S_n][eqn: = { {pi-1}over2} over { 1 - 1over4}]

[eqn: = { {pi-1}over2} over { 3over4}]
[eqn: = { 2(pi-1)} over { 3}]

15. 다항함수의 미분법	④

정답

삼차함수 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: ( - inf,~ inf)]에서 증가하려면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x) ge 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(x) = x^3 +ax^2 +2ax]에서

[eqn: f`'(x) = 3x^2 +2ax +2a ge0]

이때, [eqn: f`'(x)]의 판별식을 [eqn: D`]라고 하면

[eqn: { D} over { 4} = a^2 -6a le 0], [eqn: a(a-6)le0]

[eqn: therefore```][eqn: 0 le a le 6]

[eqn: therefore```][eqn: M=6], [eqn: m=0]

[eqn: therefore```][eqn: M-m = 6-0 = 6]

16. 로그와 로그함수	⑤

정답

[eqn: log_{`2} `x^2 - log_{`2}` |`x`| le 3]에서 진수 조건에 의해 [eqn: x!=0]이므로

(ⅰ) [eqn: x >0]일 때, [eqn: |`x`|=x]이므로

[eqn: log_{`2} `x^2 - log_{`2} `x][eqn: = 2 `log_{`2} `x - log_{`2}`x]
[eqn: = log_{`2}`x le 3]

[eqn: x le 8]

[eqn: therefore```][eqn: 0 < x le 8]

(ⅱ) [eqn: x<0]일 때, [eqn: |`x`|=-x]이므로

[eqn: log_{`2} `x^2 - log_{`2} `(-x)][eqn: = 2 `log_{`2} (-x) - log_{`2} (-x)]
[eqn: = log_{`2}(-x) le 3]

[eqn: - x le 8], [eqn: x ge -8]

[eqn: therefore```][eqn: -8 le x <0]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: 0 <x le 8] 또는 [eqn: -8 le x <0]

따라서 구하는 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 16](개)이다.

17. 수열	①

정답

주어진 규칙에 따라 [eqn: {rmA}_n]의 좌표를 구해 보면 다음 그림과 같다.

[eqn: {rmA}_n (x_n ,~ y_n )] [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]이라 하면

(ⅰ) [eqn: n][eqn: = 2p] [eqn: (p=1,~2,~3,~cdots)]일 때

[eqn: x_2p =p+2]

[eqn: y_2p = 2+ (p-1)cdot(-1) =-p+3]

이때, 점 [eqn: (7,~-2)]는 [eqn: p=5]일 때와 같으므로

[eqn: k = 2 times 5 =10]

(ⅱ) [eqn: n = 2p+1] [eqn: (p=1,~2,~3,~cdots)]일 때

[eqn: x_2p+1 = p+1]

[eqn: y_2p+1 = 0 + (p-1) cdot (-1)=-p+1]

이때, 점 [eqn: (9,~-7)]은 [eqn: p=8]일 때와 같으므로

[eqn: l = 2 times 8 + 1= 17]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: k+l = 10+17=27]

18. 함수의 극한과 연속	④

정답

함수 [eqn: y = |`x^2 -1`|]의 그래프는 다음과 같다.

이때, [eqn: f(t)]는 함수 [eqn: y = |`x^2 -1`|]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 개수이므로

[eqn: f(t) = cases{````0&& (t<0)#````2&& (t=0)#````4&& (0 < t <1)#````3&&(t=1)#````2&&(t >1 )}]

따라서 함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ t`->`1-0} { f(t) = 4}]

19. 다항함수의 미분법	③

정답

[eqn: h(x) = f(x) - g(x)]에서 [eqn: h' (x) = f`'(x) - g' (x)]이고,

주어진 그래프에서 두 함수 [eqn: y=f'(x)], [eqn: y=g'(x)]의 그래프가 [eqn: x=0], [eqn: x=2]인 점에서 만나므로

[eqn: h'(x) = ax(x-2) ``(a>0)]

함수 [eqn: h(x)]의 증가 또는 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: h'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	↗	극대	↘	극소	↗

ㄱ. (참) 위의 표에서 [eqn: 0 <x<2]일 때 [eqn: h(x)]는 감소한다.

ㄴ. (참) [eqn: x=2]의 좌우에서 [eqn: h'(x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌고, [eqn: h'(2)=0]이므로 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. (거짓) [eqn: f(0)= g(0)]에서 [eqn: h(0)=0]이고, [eqn: f'(0)=g'(0)]에서 [eqn: h'(0)=0]이므로

함수 [eqn: y=h(x)]는 [eqn: x=0]에서 [eqn: x]축에 접한다.

그러므로 방정식 [eqn: h(x) =0]은 중근 한 개와 다른 한 근을 가지므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

20. 수열의 극한	③

정답

[eqn: {rmP}_n (n,~2^n )], [eqn: {rmQ} _n (n,~ 3^n )]이고

삼각형 [eqn: {rmP}_n {rmQ}_n {rmP}_n-1]의 높이는 [eqn: 1]이므로

[eqn: S_n][eqn: = { 1} over { 2} times bar{{rmP}_n {rmQ}_n} times 1]
[eqn: = 1over2 (3^n - 2^n )]

[eqn: T_n][eqn: = sum _{ k=1} ^{ n}S_k]
[eqn: = sum _{ k=1} ^{ n} 1over2 (3^k -2^k )]
[eqn: = 1over2 left( sum _{ k=1} ^{ n}3^k - sum _{ k=1} ^{ n}2^k right)]
[eqn: = { 1} over { 2} left{ { 3(3^n -1)} over {3-1 } - { 2(2^n -1)} over { 2-1} right}]
[eqn: = 3over4 (3^n -1 ) - (2^n -1)]
[eqn: = 3over4 cdot 3^n - 2^n + 1over4]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { { T_n} over {3^n } }][eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 3over4 cdot 3^n - 2^n + 1over4} over { 3^n} }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { left { 3over4 - LEFT ( 2over3 RIGHT ) ^n + { 1} over {4}cdot left(1over 3right)^n } right} }]
[eqn: = 3over4]

21. 다항함수의 미분법	①

정답

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선의 교점의 좌표가 [eqn: (0,~1)]이므로 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1over2 ,~ 1over2 RIGHT )]이다.

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmEFGH]의 두 대각선의 교점이 곡선 [eqn: y = x^2] 위에 있으므로 두 대각선의 교점의 좌표를 [eqn: (t,~t^2 )][eqn: (0 <t<1)]이라 놓으면 점 [eqn: rmE]의 좌표는 [eqn: LEFT ( t - 1over2 ,~ t^2 + 1over2 RIGHT )]이다.

그러므로 두 정사각형 내부의 공통부분은 가로의 길이가

[eqn: 1over2 - LEFT ( t - 1over2 RIGHT ) = 1-t]

이고, 세로의 길이가

[eqn: LEFT ( t^2 + 1over2 RIGHT ) - 1over2 = t^2]

인 직사각형이다.

이제, 두 정사각형 내부의 공통부분의 넓이를

[eqn: f(t) = t^2 (1-t) = -t^3 + t^2]

이라고 하면

[eqn: f`'(t) =- 3t^2 + 2t = -t (3t-2)]

이므로 [eqn: f(t)]의 증가 또는 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: { 2} over { 3}]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]
[eqn: f`'(t)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(t)]		↗	[eqn: { 4} over { 27}]	↘

따라서 구하는 넓이의 최댓값은 [eqn: { 4} over { 27}]이다.

22. 함수의 극한과 연속	[eqn: 16]

정답

[eqn: lim _{ x`->`1} { { x+1} over {x^2 +ax+1 } } =lim _{ x`->`1} {2}over{a+2} = { 1} over {9 }]

[eqn: a+2=18]

[eqn: therefore```][eqn: a =16]

23. 수열	[eqn: 310]

정답

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_n = 2+ (n-1)cdotd]

[eqn: a_4 - a_2][eqn: = (2+3d)-(2+d)]
[eqn: =2d=4]

[eqn: therefore```][eqn: d=2]

따라서 [eqn: a_n = 2+(n-1) cdot 2 =2n]이므로

[eqn: sum _{ k=11} ^{ 20} a_k][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 20}a_k - sum _{ k=1} ^{ 10}a_k]
[eqn: = sum _{ k=1} ^{ 20}2k - sum _{ k=1} ^{ 10}2k]
[eqn: = 2 cdot { 20 cdot21} over { 2} - 2 cdot { 10 cdot11} over { 2}]
[eqn: =420-110]
[eqn: =310]

24. 다항함수의 미분법	[eqn: 17]

정답

[eqn: f(x) = x^2 +3x]에서

[eqn: f(2)=2^2 +3cdot2=10]

[eqn: f`'(x) =2x+3]에서

[eqn: f`'(2) = 2cdot 2+3 =7]

[eqn: therefore```][eqn: f(2) + f`' (2) =10+7=17]

25. 수열	[eqn: 29]

정답

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 14} { 1} over { k (k+1)}][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 14} LEFT ( 1 over k - 1 over k+1 RIGHT )]
[eqn: = left{ LEFT ( 1 - 1over2 RIGHT ) + LEFT ( 1over2 - 1over3 RIGHT ) + LEFT ( 1 over3 - 1over4 RIGHT ) +]
[eqn: cdots + LEFT ( 1 over 14 - 1over 15 RIGHT ) right}]
[eqn: = 1 - 1over 15]
[eqn: = 14over15]

[eqn: therefore```][eqn: p = 15], [eqn: q=14]

[eqn: therefore```][eqn: p+q = 15+14 =29]

26. 행렬과 그래프	[eqn: 12]

정답

[eqn: pmatrix{`2&```-1`#`1&``````````a`}A^-1 = pmatrix{`-1&``````````0`#````````0&```-1`} = -E]에서

[eqn: pmatrix{`-2&``````````1`#`-1& ```-a` } A^-1 = E]이므로

[eqn: (A^-1 )^-1 =A = pmatrix{`-2&``````````1`#`-1& ```-a` }]

그러므로 [eqn: A pmatrix{`3`#`2`} = pmatrix{`b`#`3`}]에 대입하면

[eqn: pmatrix{`-2&``````````1`#`-1& ```-a` } ` pmatrix{`3`#`2`}` = pmatrix{`-4`#`-3-2a`} `=pmatrix{`b`#`3`}]

[eqn: therefore```][eqn: a =-3], [eqn: b=-4]

[eqn: therefore```][eqn: ab=12]

27. 다항함수의 미분법	[eqn: 13]

정답

[eqn: f(x) = x^3 -x^2 +a]라 하면

[eqn: f`' (x) = 3x^2 -2x]

이므로 점 [eqn: (1,~a)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: f`'(1) = 3-2=1]

그러므로 점 [eqn: (1,~a)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-a = x-1]    [eqn: ∴~][eqn: y=x+a-1]

이 직선이 점 [eqn: (0,~12)]를 지나므로

[eqn: 12 = 0+a-1]

[eqn: therefore```][eqn: a=13]

28. 수열의 극한	[eqn: 30]

정답

두 직선 [eqn: 2x+y = 4^n], [eqn: x-2y =2^n]이 만나는 점의 좌표가 [eqn: (a_n ,~b_n )]이므로

[eqn: 2a_n +b_n = 4^n], [eqn: a_n -2b_n =2^n]

두 식을 연립하면

[eqn: a_n -2 (4^n -2a_n ) = 2^n], [eqn: 5a_n = 2cdot 4^n + 2^n]

[eqn: ∴~][eqn: a_n ={2cdot4^n +2^n }over{5}], [eqn: b_n ={4^n -2cdot2^n}over{5}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { { b_n} over { a_n} }][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{{4 ^{n} -2 CDOT 2 ^{n}} over {5}} over {{2 CDOT 4 ^{n} +2 ^{n}} over {5}}}]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 4^n - 2 cdot 2^n} over { 2cdot 4^n +2^n} }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 1 - 2 LEFT ( 1over2 RIGHT ) ^n} over {2 + LEFT ( 1over2 RIGHT ) ^n} }]
[eqn: = {1-2cdot0} over {2+0}]
[eqn: = { 1} over { 2} = p]

[eqn: therefore```][eqn: 60p = 60 times 1over2 = 30]

29. 행렬과 그래프	[eqn: 11]

정답

주어진 집합이 무한집합이므로 연립일차방정식

[eqn: pmatrix{`k+3 &&5`#-1 &&k-3`} pmatrix{`x`#`y`} `= pmatrix{`````10`#`-2`}]

가 무수히 많은 해를 갖는다. 즉, 행렬 [eqn: pmatrix{`k+3 &&5`#-1 &&k-3`}]의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

[eqn: (k+3)(k-3)-(-5) =0]

[eqn: k^2 -4=0]

[eqn: (k+2)(k-2)=0]

[eqn: therefore```][eqn: k=-2] 또는 [eqn: k=2]

(ⅰ) [eqn: k=-2]일 때,
[eqn: pmatrix{````````1&``````````5`#`-1&```-5`} pmatrix{`x`#y} `= pmatrix{`````10`#`-2`}]에서
[eqn: { 1} over { -1} = { 5} over { -5} != { 10} over { -2}]
이므로 해가 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때,
[eqn: pmatrix{````````5&``````````5`#`-1&```-1`} pmatrix{`x`#y} `= pmatrix{`````10`#`-2`}]에서
[eqn: { 5} over { -1} = { 5} over { -1} = { `10} over { -2}]
이므로 해가 무수히 많다.

이때, 연립일차방정식 [eqn: pmatrix{````````5&``````````5`#`-1&```-1`} pmatrix{`x`#y} `= pmatrix{`````10`#`-2`}]의 해는

[eqn: x+y=2], 즉 [eqn: x+y-2=0]을 만족시키므로

[eqn: a=1], [eqn: b=1]

[eqn: therefore```][eqn: 10a +b = 10 cdot 1 +1=11]

30. 로그와 로그함수	[eqn: 25]

정답

[eqn: log_{`2}`n - log_{`2} `k = log_{`2} { n} over { k} = p]([eqn: p]는 정수)

라 하면

[eqn: { n} over { k} = 2^p]

(ⅰ) [eqn: n= 2l] [eqn: (l=1,~2,~cdots,~50)]일 때
[eqn: { n} over { k} = { 2l} over { k} = 2^p]
[eqn: k=l]이면 [eqn: p=1]
[eqn: k=2l]이면 [eqn: p=0]
[eqn: therefore```][eqn: f(n) ge 2]

(ⅱ) [eqn: 1 le n le 50]일 때
[eqn: k=n]이면 [eqn: p=0]
[eqn: k=2n]이면 [eqn: p=-1]
[eqn: therefore```][eqn: f(n) ge 2]

(ⅲ) [eqn: n]이 [eqn: 51] 이상의 홀수일 때
[eqn: n overk = 2^p]의 꼴이 되려면 [eqn: k=n]인 경우뿐이므로
[eqn: p=0]
[eqn: therefore```][eqn: f(n)=1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 자연수 [eqn: n]은

[eqn: 51], [eqn: 53], [eqn: 55], [eqn: cdots], [eqn: 99]의 [eqn: 25]개이다.