◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2009학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역 (나형)

성명			수험번호						3

◦ 문제지에 성명과 수험번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

제 2 교시

고 3	수리 영역 (나형)

	수리 영역 (나형)	고 3

8

8

1. [eqn: log_4 {16 over 9}+log_2 `3]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

2. [eqn: lim _{n -> ` INF } {} ( sqrt {n ^{2} +2n+3} -n)]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: sqrt {2}]     ③ [eqn: {3} over {2}]       ④ [eqn: 2]        ⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

3. 이차정사각행렬 [eqn: X`]에 대하여

[eqn: X`` pmatrix{`1`#`2`} `= pmatrix{`3`#`4`}], [eqn: X``^{-1} pmatrix{`5`#`6`} `= pmatrix{`3`#`4`}]일 때, [eqn: X``^2 ``pmatrix{`1`#`2`}]의 모든 성분의 합은?

[[eqn: 2]점]

① [eqn: 8]        ② [eqn: 9]        ③ [eqn: 10]       ④ [eqn: 11]      ⑤ [eqn: 12]

4. 자연수 [eqn: n]을 [eqn: 2]진법으로 나타냈을 때, 일의 자리의 수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{30}` k`a _{k}]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 225]      ② [eqn: 226]     ③ [eqn: 227]      ④ [eqn: 228]     ⑤ [eqn: 229]

5. 행렬 [eqn: A it `= pmatrix{`1~&m`#`0~&1`}], [eqn: B it` = pmatrix{`0~&1`#`1~&0`}]에 대하여 이차정사각행렬 [eqn: X`]는 [eqn: BX=AB`]가 성립한다. [eqn: X ^{10}]의 모든 성분의 합이 [eqn: 52]일 때, [eqn: m]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 2]        ② [eqn: 3]        ③ [eqn: 4]        ④ [eqn: 5]        ⑤ [eqn: 6]

6. 원점 [eqn: rm O]에서 함수 [eqn: f(x)=4 ^{x} `]위의 한 점 [eqn: rm P]를 잇는 선분 [eqn: rm {OP}]가 있다. 함수 [eqn: g(x)=2 ^{x} `]의 그래프가 선분 [eqn: rm {OP}]를 [eqn: 1``:``3`]으로 내분할 때, 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {4} over {7}]       ② [eqn: {5} over {7}]       ③ [eqn: 6over {7}]      ④ [eqn: 1]        ⑤ [eqn: 8} over {7}]

7. 넓이가 [eqn: A`]인 원을 중심각이 [eqn: theta _{1} ,~ theta _{2} ,~ theta _{3} ,~ CDOTS `,~ theta _{n}]인 [eqn: n`]개의 부채꼴로 나누고 중심각이 [eqn: theta _{k}][eqn: (k=1`,```2`,``` CDOTS `,```n)`]인 부채꼴의 넓이를 [eqn: A _{k}]이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { theta _{n} RIGHT }]이 등차수열을 이루고, [eqn: sum _{k=1} ^{n} theta _{k} =2 pi `]이다. [eqn: A _{1} +A _{n} = {1} over {5} A`]일 때, [eqn: n]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

8. [eqn: log`x]의 지표를 [eqn: f(x)`], 가수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: m,~n]은 [eqn: 1]보다 큰 자연수) [[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(x^m+n )=f(x^m )+f(x^n )] ㄴ. 모든 짝수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: g(a·5 ^{n})`=`0]이 되는 자연수 [eqn: n]이 존재한다. ㄷ. [eqn: g(x)`+`g(x ^{2} `)`+`` CDOTS ``+`g(x ^{n} `)=1]이면 [eqn: {n(n+1)} over {2} `log`x`=`f(x)`+`f(x ^{2} `)`+`` CDOTS ``+f(x ^{n} `)`+`1]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 두 부등식 [eqn: x>0], [eqn: y>x`]의 영역에 속하는 점 [eqn: {rmP}`(`a`,~b`)]에서 두 직선 [eqn: y=x,~y=`-x]에 이르는 거리를 각각 [eqn: c`,~d`]라 하자. 이차정사각행렬 [eqn: M``]이 [eqn: M`` pmatrix{`a`#`b`}` = pmatrix{`c`#`d`} `]를 만족할 때,

행렬 [eqn: M`+M`` ^{-1}]의 모든 성분의 합은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2root2]	⑤ [eqn: 3]

10. 세 양수 [eqn: a,~b,~c`]가 [eqn: a ^{x} =b ^{2y} =c ^{3z} =7,~abc=49`]를 만족할 때, [eqn: {6} over {x} + {3} over {y} + {2} over {z} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

11. 자연수 [eqn: N]에 대하여

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]을 [eqn: a _{n} =n(n+1)(n+2) CDOTS (n+N-1)]이라 하자.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k}] [eqn: = {N+n} over {N+1} ``a _{n}] [eqn: CDOTS CDOTS CDOTS] (★)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

	<증명> (1) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = sum _{k=1} ^{1} a _{k} `=`a _{1} `] [eqn: =] (가) (우변)[eqn: =] [eqn: {N+1} over {N+1} ``a _{1} `=`a _{1} `] [eqn: =] (가) 이므로 (★)이 성립한다. (2) [eqn: n=m`]일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} `] [eqn: = {N+m} over {N+1} ``a _{m}]이다. [eqn: n=m+1]일 때, (★)이 성립함을 보이자. [eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} `][eqn: = {N+m} over {N+1} ``a _{m} `+] (나) [eqn: = {1} over {N+1} × {(m+N``)!} over (m-1)! ~+~] [eqn: = {1} over {N+1}][eqn: LEFT { RIGHT .][eqn: LEFT . RIGHT }] (나) (다) [eqn: = {N+m+1} over {N+1} ``a _{m+1}] 그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (★)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (★)이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 4]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: N~!]	[eqn: {(m+N``)!} over m!]	[eqn: (m+N-1)! over m!]
②	[eqn: (N+1)~!]	[eqn: (m+N-1)! over m!]	[eqn: {(m+N``)!} over m!]
③	[eqn: N~!]	[eqn: {(m+N``)!} over m!]	[eqn: (m+N+1)! over m!]
④	[eqn: (N+1)~!]	[eqn: {(m+N``)!} over m!]	[eqn: (m+N+1)! over m!]
⑤	[eqn: N~!]	[eqn: (m+N-1)! over m!]	[eqn: {(m+N``)!} over m!]

12. 다음 조건을 만족하는 상자가 [eqn: n]([eqn: n>=2])개 있다.

	[상자[eqn: 1]] 흰 구슬 [eqn: 1]개, 검은 구슬 [eqn: n-1]개 [상자[eqn: 2]] 흰 구슬 [eqn: 2]개, 검은 구슬 [eqn: n-2]개 [상자[eqn: 3]] 흰 구슬 [eqn: 3]개, 검은 구슬 [eqn: n-3]개 ⋮ [상자[eqn: n]] 흰 구슬 [eqn: n]개, 검은 구슬 [eqn: 0]개

[eqn: n]개의 상자에서 임의로 한 상자를 택하여 [eqn: 2]개의 구슬을 동시에      꺼낼 때, 모두 흰 구슬이 나올 확률을 [eqn: {rmP}_n]이라 하자. [eqn: {rmP} _{10}]의

값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: {19} over {60}]      ② [eqn: 1 over 3]      ③ [eqn: 7 over 20]      ④ [eqn: 11 over 30]      ⑤ [eqn: 23over 60]

13. 정의역이 [eqn: x<4]인 두 함수 [eqn: f(x)=2 ^{x} `], [eqn: g(x)=x ^{2} `]의 그래프가 만나는 두 점을 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT ) ,~ LEFT ( x _{2} ,~y _{2} RIGHT )]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x _{1} <x _{2} `]) [[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: x _{1} +x _{2} >0`] ㄴ. [eqn: x _{1} ``․``y _{1} +x _{2} ``․``y _{2}<0] ㄷ. [eqn: LEFT |` `x _{1} ``․``y _{2} `` RIGHT |` -` LEFT | ``x _{2} ``․``y _{1} `` RIGHT | ``>0]

① ㄱ               ② ㄴ               ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정[eqn: n]각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 [eqn: n]이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끝의 이동거리가 최소가 되도록 정[eqn: n]각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. 예를 들어 [eqn: S _{3}]은 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 [eqn: 3]이 되도록 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이 때, [eqn: S _{20}]의 값은? (단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: {287} over {2} pi]	② [eqn: {289} over {2} pi]	③ [eqn: {291} over {2} pi]

④	[eqn: {293} over {2} pi]	⑤ [eqn: {295} over {2} pi]

15. [eqn: 2^4 ×3^3]의 서로 다른 모든 양의 약수의 곱을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: A]는 [eqn: n]자리 정수이다. [eqn: LEFT [ {A} over {10 ^{n-1}} RIGHT ]]의 값은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수, [eqn: log`2=0.3010], [eqn: log`3=0.4771]) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

16. [eqn: A`]대학교에서는 수시 입학 전형을 위한 입학사정관을 선정하기 위하여 공모한 결과 남자 [eqn: 5]명과 여자 [eqn: 3]명이 응모하였다. 남녀 혼성으로 [eqn: 4]명의 입학사정관을 선정하여 [eqn: 4`]가지 업무를 한 가지씩 [eqn: 4`]명에게 모두 배정하는 경우의 수는? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 1080]               ② [eqn: 1200]               ③ [eqn: 1320]

④ [eqn: 1440]               ⑤ [eqn: 1560]

17. 기울기가 [eqn: 0`]이 아닌 두 직선 [eqn: y=ax+b,~y=cx+d`]에 대하여 행렬 [eqn: A=pmatrix{`a~&b`#`c~&d`} `]라고 정의할 때, <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. 두 직선이 만나지 않으면 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. 두 직선이 일치하면 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않는다. ㄷ. 두 직선이 [eqn: x`]축 위에서 만나면 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재 하지 않는다.

① ㄱ               ② ㄷ               ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

18. [eqn: a>0`], [eqn: a != 1`]에 대하여 [eqn: LEFT { {sqrt {a ^{3}}} over {sqrt {root {3} of {a ^{4}}}} ``` TIMES ` sqrt {left( {1} over {a}right ) ^{-4}} ``RIGHT } ^{6} `=`a ^{k}`]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

19. 공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 [eqn: b _{n} =a _{3n-2} +2a _{3n-1} +a _{3n}]이다. [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =A _{n} `], [eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} =B _{n} `]일 때 [eqn: lim _{n -> `INF } {{B _{n}} over {A _{n}} `}]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

20. 공비가 [eqn: r]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ->` INF }{} {{S _{n}} over {a _{n}}} = 15 over 14]이다. [eqn: r]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

21. 좌표평면 위의 네 점

[eqn: rm A(3`,~-1)`,~B(5`,~-1)`,~`C(5`,~2)`,~rm D(3`,~2)]를 연결하여 만든 직사각형이 있다. 로그함수 [eqn: y`=`log _{a} (x-1)-4]가 직사각형 [eqn: rm ABCD]와 만나기 위한 [eqn: a`]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: N`]이라 할 때, [eqn: LEFT ( {M} over {N} ` RIGHT ) ^{12} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

22. [eqn: x,~y]에 대한 연립방정식 [eqn: cases{2 ^{x} -`3 ^{y-1} =5#`2 ^{x+1} -`3 ^{y} =-17}]을 만족하는 해를 [eqn: x=a,~y=b]라 하자. [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: a`b]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

23. 수진이가 [eqn: 10]가지 종류의 놀이기구 중 서로 다른 놀이기구의 이용권을 [eqn: 8]장 구입하여 [eqn: 3]장, [eqn: 3]장, [eqn: 2]장으로 나눈 후, 수진, 현아, 원일 세 사람이 나누어 갖는 경우의 수를 [eqn: x]라 할 때, [eqn: x over 100]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

[eqn: _{ 2}C_2 TIMES 2!]

24. 그림과 같이 세 점 [eqn: rm O(0,~0),~A _{1} `(0,~4),~A _{2} `(2,~0)]으로 이루어진 [eqn: TRIANGLE rm OA _{1} `A _{2}]에 내접하는 원을 [eqn: rm O _{1}]이라 하자. [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rm A _{3}]이 선분 [eqn: rm A _{1} `A _{2}]의 기울기와 선분 [eqn: rm A _{2} A _{3}]의 기울기의 곱이 [eqn: 1]이 되도록 하는 점일 때, [eqn: TRIANGLE rm OA _{2} `A _{3}]에 내접하는 원을 [eqn: rm O _{2}`]라 하자.

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm A _{4}]가 선분 [eqn: rm A _{2} `A _{3}]의 기울기와 선분 [eqn: rm A _{3} A _{4}]의 기울기의 곱이 [eqn: 1]이 되도록 하는 점일 때, [eqn: TRIANGLE rm OA _{3} `A _{4}]에 내접하는 원을 [eqn: rm O _{3}`]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 생기는 [eqn: TRIANGLE rm OA _{it n rm} `A _{it n+1 rm}]에 내접하는 원을 [eqn: rm O _{it n rm}`]이라 하고, [eqn: rm O _{it n rm}`]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } r _{n} `=a-2`rootb] ([eqn: a,~b]는 자연수)이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

25. 그림과 같이 [eqn: 12`]개의 전구와 전광판으로 이루어진 신호기가 있다. [eqn: m]열의 전구가 [eqn: n]개 켜져 있는 경우 [eqn: n`․``4 ^{m-1}]으로 계산되고, 네 개의 열이 계산된 수의 합이 전광판에 나타난다. 예를 들어 [eqn: 1]열에서 [eqn: 1]개, [eqn: 3]열에서 [eqn: 2]개의 전구가 켜진 경우, 전광판에 [eqn: 33]이 나타난다. [eqn: 12]개의 전구 중 임의로 [eqn: 2]개를 켤 때, 전광판에 짝수가 나타날 확률을 [eqn: {q} over {p}]([eqn: p,~q]는 서로소)라 하자. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

5지선다형

26. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: k`․`2^x ≦ 4^x -2^x +4]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k`]값의 범위는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: k <= -1]	② [eqn: -4≦k≦3]	③ [eqn: -1≦k≦3]	④ [eqn: k≦3]	⑤ [eqn: k≧0]

27. 그림과 같이 두 함수 [eqn: y=log _{{1} over {2}} `x`]와 [eqn: y=log`` _{2} ``x]가 직선 [eqn: y=k]와 만나는 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm E]라 하자. [eqn: y=log _{{1} over {2}} ``x]와 [eqn: y=log`` _{2} ``x]의 교점 [eqn: rm D]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rm ACD], [eqn: TRIANGLE rm BDE], [eqn: TRIANGLE rm ADB]의 넓이를 각각 [eqn: rm S _{1}], [eqn: rm S _{2}], [eqn: rm S _{3}]이라 할 때, [eqn: rm S _{1}], [eqn: rm S _{2}], [eqn: rm S _{3}]은 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 양수 [eqn: k]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

28. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]은

[eqn: a _{1} =5×6^5 +5×6^4 +5×6^3 +5×6^2 +5×6 +5],

[eqn: a _{n+1} = cases{{1} over {6} a _{n} `````````````(a _{n} 이~6의~배수일~때)#`a _{n} -1```````(a _{n} 이~6의~배수가~아닐~때)}]

이다. [eqn: a _k = 1]일 때, [eqn: k]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 34]       ② [eqn: 35]       ③ [eqn: 36]      ④ [eqn: 37]       ⑤ [eqn: 38]

29. 어느 고등학교의 [eqn: 3]학년 학생들을 대상으로 주거형태를 조사한 결과 [eqn: A]형과 [eqn: B`]형 두 가지였다. 주거형태가 [eqn: B`]형인 남학생의 수는 주거형태가 [eqn: A]형인 여학생수의 [eqn: 2]배이고, 주거형태가 [eqn: A]형인 학생 중 여학생의 비율은 [eqn: 40%]이다. [eqn: 3]학년 학생 중 임의로 한명을 뽑았더니 남학생이었다. 이 학생의 주거형태가 [eqn: A]형일 확률은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: {2} over {7}]	② [eqn: {3} over {7}]	③ [eqn: {4} over {7}]	④ [eqn: {5} over {7}]	⑤ [eqn: {6} over {7}]

단답형

30. 그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 성냥개비를 이용하여 가로의 길이가 [eqn: n`], 세로의 길이가 [eqn: 1], 높이가 [eqn: n`]인 직육면체 모양의 [eqn: {rmA} _{n}]을 계속 만들자.

직육면체 모양의 [eqn: {rmA} _{n}]을 만드는데 필요한 성냥개비의 개수와     겉넓이를 각각 [eqn: a _{n`}], [eqn: b _{n`}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> `INF } {} {a _{n}b _{n}} over n^4]의 값을 구하시오.

(단, 성냥개비의 두께는 무시한다.) [[eqn: 4]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.