◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

2009학년도 9월 고1 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						1

수리 영역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수리 영역

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. 세 다항식 [eqn: A``=`x`+`2`], [eqn: B``=`x`-`1`], [eqn: C``=`x`]에 대하여 [eqn: A``-`(`B``-`C``)`]를 간단히 한 것은? [2점]

① [eqn: x+3]	② [eqn: x-3]	③ [eqn: 3x+2]

④ [eqn: x+1]	⑤ [eqn: 2x+3]

2. [eqn: (`x`-`1`)`+`(`x`+`2`y`)`i``=``2`-`3`i`]를 만족하는 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [2점]

① [eqn: x=2`], [eqn: y=-1`]	② [eqn: x=2`], [eqn: y=-3`]	③ [eqn: x=3`], [eqn: y=0`]	④ [eqn: x=3`], [eqn: y=-3`]	⑤ [eqn: x=-3`], [eqn: y=3`]

3. 수직선 위의 두 점 [eqn: A`(`-1`)`], [eqn: B`(`2`)`]를 이은 선분 [eqn: AB`]를 [eqn: 3``:`2`]로 외분하는 점 [eqn: rm P`]의 좌표는? [2점]

① [eqn: P` LEFT ( {4} over {5} RIGHT )]	② [eqn: P`left({6} over {5}right)]	③ [eqn: P`left( {8} over {5}right)]

④ [eqn: P`left(4)]	⑤ [eqn: P`left(`8)]

4. 부등식 [eqn: `|``x-2``|` LEQ 3`]을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

5. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: sqrt {-2} sqrt {-8} =`-4] ㄴ. [eqn: {4} over {sqrt {(-2) ^{2}}}` =`2] ㄷ. [eqn: {sqrt {8}} over {sqrt {-2}} ``=``-2`i] (단, [eqn: i= sqrt {-1}])

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6. 이차부등식 [eqn: `ax ^{2} +bx+c` GEQ `0`]의 해집합이 [eqn: LEFT { `3` RIGHT }]일 때, 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 부호를 바르게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: a<`0`], [eqn: b>`0`], [eqn: c<`0`]	② [eqn: a<`0`], [eqn: b<`0`], [eqn: c>`0`]

③ [eqn: a<`0`], [eqn: b>`0`], [eqn: c>`0`]	④ [eqn: a>`0`], [eqn: b>`0`], [eqn: c<`0`]

⑤ [eqn: a>`0`], [eqn: b<`0`], [eqn: c>`0`]

7. 최고차 항의 계수가 [eqn: 1]인 두 이차다항식 [eqn: f`(`x`)`], [eqn: g`(`x`)`]의 최대공약수가 [eqn: x-1`], 최소공배수가 [eqn: x ` ^{3} `-7x`+`6`]일 때, [eqn: f`(`0`)`+`g`(`0`)`]의 값은?                                                          [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

8. [eqn: x(x-1) != 0`]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: 1- 1 over { 1- 1 over 1-x}~=~ a over x+b]

이 성립하도록 하는 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

9. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -4x ^{2} +4x-3`=`0``]의 한 허근이 [eqn: alpha ``]라 한다.

이 때,  [eqn: {bar{alpha }} over {alpha } + {alpha } over {bar{alpha }} `]의 값은? (단, [eqn: bar{alpha }`]는 [eqn: alpha `]의 켤레복소수) [3점]

① [eqn: 0``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: -1``]	④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: -2``]

10. 전체집합 [eqn: U``]에 대하여 세 조건 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`], [eqn: R`]라 하자. 명제 [eqn: p`->`q`,] [eqn: SIMp`->`q], [eqn: simp`->`r`]가 참일 때,   <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: Q``-R^c`=`R] ㄴ. [eqn: P`-R`=`emptyset`] ㄷ. [eqn: Q``-`P`subset`R]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11. 임의의 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a TIMES 0`=`0]임을 증명하는 과정이다.

<증명>

[eqn: a TIMES 0=a TIMES (0+0)]

[eqn: a TIMES 0=a TIMES 0+a TIMES 0]

양변에 [eqn: -a TIMES 0`]을 더하면

[eqn: a TIMES 0+(-a TIMES 0)= LEFT ( a TIMES 0+a TIMES 0 RIGHT ) +(-a TIMES 0)]

(가)

(나)

(다)

[eqn: a TIMES 0+(-a TIMES 0)=a TIMES 0+ LEFT { a TIMES 0+(-a TIMES 0) RIGHT }]

[eqn: 0=a TIMES 0+0]

[eqn: 0=a TIMES 0]

위 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 사용된 실수의 연산에 대한 기본 성질이 바르게 짝지어진 것은? [3점]

(가)                 (나)               (다)

①    분배법칙          곱셈에 대한 역원    덧셈에 대한 항등원

②    분배법칙           덧셈에 대한 역원    곱셈에 대한 항등원

③ 덧셈에 대한 결합법칙      분배법칙         덧셈에 대한 역원

④ 덧셈에 대한 결합법칙   덧셈에 대한 역원    덧셈에 대한 항등원

⑤ 덧셈에 대한 결합법칙  곱셈에 대한 역원    곱셈에 대한 항등원

12. 이차방정식 [eqn: x`^2 - a`x + b = 0]의 두 근이 [eqn: c`]와 [eqn: `d`]일 때, 다음 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: (a`,```b)]의 개수는?(단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 상수이다)

[4점]

(가) [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]는 [eqn: 100] 이하의 서로 다른 자연수이다.

(나) [eqn: c`]와 [eqn: `d`]는 각각 [eqn: 3]개의 양의 약수를 가진다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

13. 다음은 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a>0`], [eqn: b>0`]일 때,

[eqn: left(a+`1overb right)left(b+`4overa right)]의 최솟값을 구하는 과정으로, 어떤 학생의 오답에 대한 선생님의 첨삭지도 일부이다.

<학생풀이>              2009년 ○○월 ○○일

산술평균과 기하평균의 대소관계를 적용하면

[eqn: a+`1overb geq2`sqrt{a overb}``cdots]㉠   [eqn: b+`4overa `geq2`sqrt{4b over a}``cdots]㉡

㉠, ㉡의 양변을 각각 곱하면

[eqn: LEFT ( a+` {1} over {b} RIGHT ) LEFT ( b+` {4} over {a} RIGHT ) GEQ 4` sqrt {{a} over {b} CDOT {4b} over {a}} =8``` CDOTS]㉢

그러므로 구하는 최솟값은 [eqn: 8]이다.

<첨삭내용>                       ○ ○ ○ (인)

㉠의 등호가 성립할 때는  이고

(가)

㉡의 등호가 성립할 때는  이다.

(나)

따라서 (가)와 (나)를 동시에 만족하는 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]는 존재하지 않으므로 최솟값은 8이 될 수 없다.

(가), (나)에 알맞은 것과 최솟값을 바르게 구한 것은? [4점]

(가)	(나)	최솟값

①     [eqn: a`b`=`1`]	[eqn: a``=`4`b]	[eqn: 10]

②     [eqn: a`b`=`1`]	[eqn: a`b`=`4`]	[eqn: 10]

③     [eqn: a`=`b`]	[eqn: a``=``b]	[eqn: 10]

④     [eqn: a`=`b`]	[eqn: a`b`=`1`]	[eqn: 9]

⑤     [eqn: a`b`=`1`]	[eqn: a`b`=`4`]	[eqn: 9]

14. 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 세 변 [eqn: rm AB`], [eqn: rm BC`], [eqn: rm CA`]의 중점이 각각 [eqn: (`1`,```2`)`], [eqn: (`3`,```5`)`], [eqn: (`a`,```b`)`]일 때, [eqn: TRIANGLE rm ABC`]의 무게중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( ` {8} over {3}` ,``` {14} over {3} ` RIGHT ) `]이다. 이 때, [eqn: a`+`b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

15. [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]에 대한 연립방정식

[eqn: cases{x+ay+a ^{2} ```=`z#x+by+`b ^{2} ```=`z}]

에 대하여 [eqn: a ^{2} `+b ^{2} `]을 [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]로 나타낸 것은? (단, [eqn: a`와```b`]는 서로 다른 상수이다.) [4점]

① [eqn: x ^{2} -2y+2z]	② [eqn: x ^{2} -2z+2y]

③ [eqn: y ^{2}-2x+2z]	④ [eqn: y ^{2} +2z+2x]

⑤ [eqn: z ^{2} +2x+2y]

16. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(a ^{2} -4a+3)x-a+2=0`]이 서로 다른 부호의 두 실근을 가진다. 음의 근의 절댓값이 양의 근보다 클 때, 실수 [eqn: a`]값의 범위는? [3점]

① [eqn: a>3`]	② [eqn: a>2]

③ [eqn: 1<`a`<2]	④ [eqn: 2<`a` < 3]

⑤ [eqn: a`<1`] 또는 [eqn: a>3]

17. 삼각형의 세 변의 길이가 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]이고,

[eqn: a ` ^{3} +``c `^{3`} +a `^{2} `c`+ac `^{2} `-ab ` ^{2} ``-b ` ^{2} `c`=0`]

을 만족할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? [3점]

① 정삼각형	② [eqn: a=b`]인 이등변삼각형

③ [eqn: b=c`]인 이등변삼각형	④ [eqn: a`]가 빗변인 직각삼각형

⑤ [eqn: b`]가 빗변인 직각삼각형

18. 집합 [eqn: S``= LEFT { `a`,```b`,```c`` RIGHT }`]의 부분집합을 원소로 갖는 집합 [eqn: X``]가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) [eqn: A` IN X``이면```S``-A`IN X``]

(나) [eqn: A` IN X`], [eqn: B` IN X`]이면 [eqn: `A` CUP `B`` IN X]

이 때, 집합 [eqn: X]의 개수는? (단, [eqn: X` != `emptyset`]) [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

19.  <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: |`a`+`b``|`` GEQ `|`a`|`-`|`b`|] ㄴ. [eqn: a GEQ b GEQ 0]이면 [eqn: sqrt a-b` geq`sqrt a - sqrt b] ㄷ. [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 양수이면 [eqn: b+c over a + c+a over b + a+b over c `geq`6]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식

[eqn: -1` LEQ `(`a`-`1`)`x`+`b` LEQ `x` ^{2} `+2x`+`2]

이 성립할 때, 점 [eqn: (`a`,```b`)`]가 나타내는 도형의 길이는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 5over4]	③ [eqn: 7over4]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {9} over {4}]

21. 두 집합

[eqn: A`]=[eqn: LEFT { x`|``x` ^{2}` -`6x`+`a LEQ` 0 RIGHT }], [eqn: B`]=[eqn: LEFT { x`|``x` ^{2}` -`x`+`b` <`` 0 RIGHT }]

에 대하여 [eqn: A `cup` B`]=[eqn: LEFT { x vert -1`<`x` LEQ `4 RIGHT }]를 만족시키는 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

단답형(22~30)

22. [eqn: x=`3+2 sqrt {2}`], [eqn: y`=` {3-2 sqrt {2}}`]이면 [eqn: x ` ^{2} `-`y ` ^{2} `=`p` sqrt {2}]이다. 이 때, 유리수 [eqn: p]의 값을 구하시오. [3점]

23. 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 연산 ◎를 다음과 같이 정의하면 연산 ◎에 대한 항등원이 존재한다.

[eqn: a`◎`b`=`(a`-`1)(b`-`1)`+`k-1`]

이 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점]

24. 집합 [eqn: S`= LEFT { 1`,```2`,```3`,```4`,```5` RIGHT }`]에 대하여 집합 [eqn: X`]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: X`= LEFT { (`p`,```q`)`□``p`` IN `S``,``q`` IN `S``,``p`는````q`의```약수 RIGHT }]

이 때, 집합 [eqn: X`]의 원소의 개수를 구하시오. [3점]

25. 함수 [eqn: f(x)`=`x `^{2``} -7x+12`]에 대하여 [eqn: f(` alpha `)`=`1]이고 [eqn: f(` beta `)`=`1`]일 때, [eqn: f(` alpha ` beta `)`]의 값을 구하시오. [4점]

26. 올해 [eqn: 4]월에 인플루엔자 A/H1N1(신종 플루) 바이러스 감염이 의심되어 H병원을 찾은 환자 [eqn: 90]명은 고열, 기침, 목통증 중 한 가지 이상의 증세를 보였다. 고열 증세가 있는 환자는 [eqn: 45]명, 기침을 하는 환자는 [eqn: 37]명, 목통증을 호소하는 환자는 [eqn: 29]명, 기침과 목통증이 있는 환자는 [eqn: 6]명이었다. 병원 당국은 고열과 기침 증세가 동시에 있거나 고열과 목통증이 동시에 있는 환자를 신종 플루 바이러스 감염 대상자로 일차 분류한다. 일차 분류된 환자의 수를 구하시오. [4점]

27. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 집합

[eqn: A _{n} = LEFT { x`|`n ` ^{2} +3n+2 LEQ x LEQ n ` ^{2} +3n+6` RIGHT } ,]                        [eqn: B _{n} = LEFT { x`|`2n `^{2} `+2 LEQ x LEQ 2n ` ^{2} +5`RIGHT }]

가 있다.  연산 [eqn: TRIANGLE]을

[eqn: A _{n} TRIANGLE `B _{n} =(A _{n} CUP B _{n} )-(A _{n} SMALLINTER B _{n} )]

으로 정의하고, 집합 [eqn: A _{n} TRIANGLE `B _{n}]의 원소 중 최솟값을 [eqn: f(n)]이라 하면           [eqn: {1} over {f(4)} + {1} over {f(5)} + CDOTS + {1} over {f(9)} `=`K]

이다.  이 때, [eqn: 110`K]의 값을 구하시오. [4점]

28. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x`^2 `-`8x `+`12`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2x+1`]이고, [eqn: (x ` ^{2} +1)``f(x+3)`]을 [eqn: x `^{2} `-`2x`-`3`]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: R`(`x`)`]일 때, [eqn: R`(`1`)`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림은 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정삼각형 [eqn: OAB`]를 꼭짓점 [eqn: O`]를 중심으로 반시계 방향으로 [eqn: 30 DEG]씩 연속하여 회전한 모양과 그 결과로 만들어진 다각형이다.

이 다각형의 넓이를 [eqn: a`+b sqrt3`]라 할 때, [eqn: b-a`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 유리수이다.) [4점]

30. 사차방정식 [eqn: x ` ^{4} -`x` ^{3} `+`ax`+b`=`0]의 두 근이 [eqn: 1`], [eqn: -2`]일 때, 나머지 두 근 [eqn: alpha`], [eqn: beta `]에 대하여 [eqn: |`` alpha` ^{4} `+` beta`` ^{4} ``|]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 상수이다)[4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.