2011년 9월 1일(목) 시행

2011년 9월 모의평가 해설

2교시  <수리 영역>

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전국모의고사 전문  비상에듀

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수리 영역_가형

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2011년 9월 모의평가 해설

수리 영역

1. ④	2. ①	3. ④	4. ⑤	5. ④

6. ②	7. ①	8. ①	9. ②	10. ②

11. ⑤	12. ⑤	13. ④	14. ③	15. ⑤

16. ③	17. ③	18. ②	19. ①	20. ④

21. ③	22. [eqn: 21]	23. [eqn: 40]	24. [eqn: 22]	25. [eqn: 35]

26. [eqn: 52]	27. [eqn: 15]	28. [eqn: 19]	29. [eqn: 45]	30. [eqn: 392]

1. 로그와 로그함수	④

정답

[eqn: log_{`2} `12 + log_{`2} ` 4over3][eqn: = log_{`2} LEFT ( 12 times 4over 3 RIGHT )]
[eqn: = log_{`2} `16]

[eqn: = log_{`2} `2^4][eqn: = 4]

2. 벡터	①

정답

두 벡터 [eqn: vec a], [eqn: vec b]가 서로 수직이면

[eqn: vec a ∙ vec b = 0]이므로

[eqn: vec a ∙ vec b][eqn: = (x+1,~ 2 ) ∙ (1,~-x )]
[eqn: = x + 1 +(-2x)]
[eqn: = -x +1=0]

[eqn: therefore```][eqn: x =1]

3. 행렬과 그래프	④

정답

행렬 [eqn: A = pmatrix{`3&&1`#`3&&2`}]에 대하여

[eqn: A^-1 = 1 over 6-3 pmatrix{````````2&````-1`#-3&```````````3`}][eqn: = 1 over 3 pmatrix{````````2&````-1`#-3&```````````3`}]

[eqn: therefore```][eqn: 3A^-1 = pmatrix{````````2&````-1`#-3&```````````3`}]

따라서 행렬 [eqn: 3A^-1]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2 + (-1)+(-3)+3=1]

4. 확률	⑤

정답

[eqn: {\P}(A^C`` ) = 6 over7]에서

[eqn: {\P} (A^C `` ) = 1 - {\P} (A) = 6over7]

[eqn: therefore```][eqn: {\P}(A) = 1over7]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B``]가 독립이므로

[eqn: {\P} (A cap B `) = {\P}(A) {\P} (B`)]

[eqn: therefore```][eqn: {\P} (A cup B`)][eqn: = {\P} (A) +{\P}(B`) - {\P}(A cap B`)]
[eqn: = 1over7 + {\P}(B`) - 1over7 {\P}(B`)]
[eqn: = 1over7 + 6over 7 {\P}(B`)][eqn: = 5over7]

[eqn: therefore```][eqn: {\P}(B`)= 4over7 times 7over 6 = 2over3]

5. 삼각함수	④

정답

직선 [eqn: y=x]와 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha]라 하면

[eqn: tan`alpha =1]

직선 [eqn: y = -2x]와 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 [eqn: beta]라 하면

[eqn: tan`beta =-2]

두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y =-2x]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]이므로

[eqn: theta = |`alpha - beta`|]

[eqn: therefore```][eqn: tan` theta][eqn: = tan`|`alpha-beta`|]
[eqn: = left|`{ tan` alpha- tan` beta } over { 1 + tan `alpha `` tan`beta }`right|]
[eqn: =left|` { 1-(-2)} over {1 + 1cdot(-2) }`right|]
[eqn: =3]

6. 순열과 조합	②

정답

[eqn: \A]와 [eqn: \B]가 이웃하므로 하나로 생각하면 서로 다른 [eqn: 5]개를 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같으므로

[eqn: (5-1)! = 4! = 24](가지)

그런데 [eqn: \A]와 [eqn: \B]를 배열하는 방법은 [eqn: 2]가지이므로

구하는 경우의 수는

[eqn: 24 times 2 = 48](가지)

7. 로그와 로그함수	①

정답

메뉴가 [eqn: 10]개이고 각 메뉴 안에 항목이 [eqn: n]개씩 있을 때, 모든 메뉴에서 항목을 [eqn: 1]개씩 선택하는 데 걸리는 전체 시간은

[eqn: 10 left{ 2 + 1over3 `log_{`2} (n+1) right}](초)

그런데 이 전체 시간이 [eqn: 30]초 이하가 되어야 하므로

[eqn: 10 left{ 2 + 1over3 `log_{`2} (n+1) right} `le 30]

[eqn: 1over3 `log_{`2} (n+1) le 1], [eqn: log_{`2} (n+1) le 3]

[eqn: n+1 le 8]   [eqn: therefore```][eqn: n le 7]

따라서 구하는 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

8. 일차변환과 행렬	①

정답

두 일차변환 [eqn: f], [eqn: g]를 나타내는 행렬이 각각 [eqn: pmatrix{`-1&```````````3`#````````0&````-1`}], [eqn: pmatrix{`3&&1`#`1&&0`}]이므로 합성변환 [eqn: f circ g]를 나타내는 행렬은

[eqn: pmatrix{`-1&```````````3`#````````0&````-1`} pmatrix{`3&&1`#`1&&0`} = pmatrix {````````0&````-1`#`-1&```````````0`}]

이때, 합성변환 [eqn: f circ g]에 의하여 점 [eqn: (-1,~1)]이 옮겨지는 점의 좌표를 [eqn: (p,~q)]라 하면

[eqn: pmatrix { `p` # `q` } = pmatrix {````````0&````-1`#`-1&```````````0`} pmatrix { `-1` # ````````1` } =pmatrix { `-1` # ````````1` }]

따라서 구하는 점의 좌표는 [eqn: (-1,~1)]이다.

9. 함수의 극한과 연속	②

정답

[eqn: f(x) = cases{ { e^3x -1} over { x (e^x +1)}& ~``(x!=0)# &#``````````````a & ~``(x=0) }]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이려면 [eqn: lim _{ x`->`0} { `f(x) = f(0) }]이어야 한다.

[eqn: lim _{ x`->`0} { `f(x)][eqn: = lim _{ x`->`0} {` { e^3x -1} over { x(e^x +1)} }]
[eqn: = lim _{ x`->`0} {` LEFT ( { e^3x -1} over { 3x} cdot { 1} over { e^x +1} cdot 3 RIGHT ) }]
[eqn: = 1 cdot 1 over{1+1} cdot 3 = 3over2]

따라서 [eqn: f(0)=a]이므로 [eqn: a = 3over2]이다.

10. 확률	②

정답

이 학교의 학생 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 남학생일 사건을 [eqn: A], 여학생일 사건을 [eqn: B``]라 하면

[eqn: {\P}(A) = 2over 5], [eqn: {\P} (B`) = 3over 5]

학생이 [eqn: \K]자격증을 가지고 있을 사건을 [eqn: E``]라 하면

[eqn: {\P} (E`) = 7over10], [eqn: {\P} (E^C``) = 3over10]

임의로 선택한 학생이 [eqn: \K]자격증을 가지고 있는 남학생일 확률이 [eqn: 1over5]이므로

[eqn: {\P} (A cap E `) = 1over 5]

그런데 [eqn: {\P}(E`) = {\P} (A cap E`) + {\P} ( B` cap E`)]이므로

[eqn: 7over10 = 1over5 + {\P} (B` cap E `)]

[eqn: therefore```][eqn: {\P} (B`cap E`) = 5over10 = 1over2]

또, [eqn: {\P} (B`) = {\P} (B`cap E`) + {\P} (B cap E^C``)]이므로

[eqn: 3over5 = 1over2 + {\P} (B` cap E^C`` )]

[eqn: therefore```][eqn: {\P} (B` cap E^C``) = 3over5 - 1over2 = 1over10]

따라서 임의로 선택한 학생이 [eqn: \K]자격증을 가지고 있지 않을 때, 이 학생이 여학생일 확률은

[eqn: {\P} (B ```|``E^C``)][eqn: = { {\P} (B` cap E^C``)} over { {\P} (E^C``)}]
[eqn: = { 1over10} over { 3 over10} = 1over3]

11. 함수의 극한과 연속	⑤

정답

주어진 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서

[eqn: f(x) =t]라 하면 [eqn: x `->`+0]일 때, [eqn: t`->`3-0]이므로

[eqn: lim _{ x`->`+0} { f(f(x)) } = lim _{ t`->`3-0} { f(t)=3}]

또, [eqn: x`->`2+0]일 때, [eqn: t=3]이므로

[eqn: lim _{ x`->`2+0} { f(f(x)) = f(3)=2}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ x`->`+0} { f(f(x)) + lim _{ x`->`2+0} { f(f(x)) = 3+2=5} }]

12. 방정식과 부등식	⑤

정답

[eqn: sqrt { f(-x) +5} = f(-x)-1]에서 양변을 제곱하면

[eqn: f(-x) +5 = left{ f(-x) right}^2 - 2 f(-x) +1]

[eqn: left{ f(-x) right}^2 - 3 f(-x)-4=0]

[eqn: left{ f(-x) +1 right} left{ f(-x)-4 right} =0]

[eqn: therefore```][eqn: f(-x)=`-1] 또는 [eqn: f(-x)=4]

그런데 [eqn: f(-x)=-1]일 때, 주어진 무리방정식에서

(좌변)[eqn: =2], (우변)[eqn: =-2]

이므로 [eqn: f(-x)=-1]을 만족시키는 [eqn: x]는 무연근이다.

[eqn: therefore```][eqn: f(-x)=4]

한편, [eqn: y = f(-x)]의 그래프는 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 것이므로 그래프는 다음 그림과 같다.

위의 그림에서 함수 [eqn: y = f(-x)]의 그래프의 대칭축은 [eqn: x=2]이므로 [eqn: f(-x)=4]를 만족시키는 두 실근은 [eqn: 2+ alpha], [eqn: 2 - alpha]로 놓을 수 있다.

따라서 구하는 모든 실근의 합은

[eqn: (2+ alpha)+ (2- alpha) =4]

13. 이차곡선	④

정답

위의 그림과 같이 타원의 중심을 좌표평면의 원점에 두고, 타원의 장축을 [eqn: x]축 위에, 단축을 [eqn: y]축 위에 놓으면 타원의 방정식은 [eqn: { x^2 } over { 25} + { y^2} over { 9} =1]이므로

[eqn: {\F} (4,~0)], [eqn: {\F'}(-4,~0)]으로 놓을 수 있다.

따라서 중심이 [eqn: {\F}]이고 점 [eqn: {\F}']을 지나는 원의 방정식은

[eqn: (x-4)^2 +y^2 =64]

이때, [eqn: rm bar FF' = bar PF = 8]이므로 삼각형 [eqn: rm PFF']은 이등변삼각형이다.

한편, 타원의 정의에 의해

[eqn: rm bar PF + barPF' = 8 + barPF' =10]

이므로 [eqn: rm bar PF' =2]

따라서 점 [eqn: \F]에서 선분 [eqn: \PF']에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면

[eqn: {bar{\FH}}^2 = 8^2 -1^2 = 63]

[eqn: therefore```][eqn: bar{\FH}= sqrt { 63} = 3 sqrt { 7}]

따라서 삼각형 [eqn: rm PFF']의 넓이는

[eqn: 2 times 3 sqrt { 7} times 1over2 = 3 sqrt { 7}]

14. 행렬과 그래프	③

정답

[eqn: B = pmatrix { `x& &y` # `z& & w` }]라 하면 조건 (가)에서

[eqn: pmatrix { `x& &y` # `z& & w` } pmatrix{````````1`#`-1`} = pmatrix { `x-y` # `z-w` }= pmatrix{`0`#`0`}]

[eqn: therefore```][eqn: x=y], [eqn: z=w]

또, 조건 (나)에서

[eqn: AB = pmatrix{`1&````1#`a&```a`} pmatrix{`x&```x`#`z&```z`} = pmatrix{`x+z&```x+z`#`ax+az&```ax+az`} =pmatrix{`2&```2`#`2a&```2a`}]

[eqn: therefore```][eqn: x+z=2]

[eqn: BA = pmatrix{`x&```x`#`z&```z`}pmatrix{`1&````1#`a&```a`} = pmatrix{`x+ax&```x+ax`#`z+az&```z+az`} =pmatrix{`4x&```4x`#`4z&```4z`}]

[eqn: therefore```][eqn: a=3]   [eqn: therefore```][eqn: A = pmatrix{`1&```1#`3&```3``}]

[eqn: therefore```][eqn: A +B][eqn: = pmatrix{`1&```1`#`3&```3`} + pmatrix{`x&```x`#`z&```z`}]
[eqn: = pmatrix{`1+x&```1+x`#`3+z&```3+z`}]

따라서 행렬 [eqn: A+B``]의 [eqn: (1,~2)] 성분과 [eqn: (2,~1)] 성분의 합은

[eqn: (1+x) +(3+z)][eqn: = 4+(x+z)]
[eqn: = 4+2=6]

15. 공간도형과 공간좌표	⑤

정답

주어진 전개도로 사면체를 만들면

오른쪽 그림과 같다.

ㄱ. (참) 삼각형 [eqn: \ACP]는

[eqn: rm bar AP = bar AC]이고

[eqn: rm angle C AP = pi over2]인

직각삼각형이므로

[eqn: rm bar CP = sqrt { 2}` bar AC]

[eqn: = sqrt { 2}`\ bar BE]

[eqn: = sqrt { 2}` bar \BP]

ㄴ. (참) 세 점 [eqn: rm A], [eqn: \B], [eqn: \C]는 한 평면 위의 점이지만 일직선 위의 점은 아니다.
또, 점 [eqn: \P]는 평면 [eqn: \ABC] 위의 점이 아니다.
그러므로 직선 [eqn: \AB]와 직선 [eqn: \CP]는 평행하지도, 만나지도 않는다.
즉, 직선 [eqn: \AB]와 직선 [eqn: \CP]는 꼬인 위치에 있다.

ㄷ. (참) [eqn: rm bar AC bot](평면 [eqn: \ABP])이므로

[eqn: rm bar AC bot bar PM]	…… ㉠

또, 삼각형 [eqn: \PBA]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar PM bot bar AB]	…… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: rm bar PM bot](평면 [eqn: \ABC])이므로

직선 [eqn: \PM]과 직선 [eqn: \BC]는 서로 수직이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

16. 적분법	③

정답

[eqn: A]의 넓이를 [eqn: S_A]라 하면

[eqn: S_A = int _{ 0} ^{ k} {x` sin` x `dx }]

[eqn: f(x)=x], [eqn: g'(x)= sin` x]로 놓으면

[eqn: f'(x) = 1], [eqn: g(x) = `- cos` x]

이므로 부분적분법에 의하여

[eqn: S_A][eqn: = int _{ 0} ^{k } { x` sin` x `dx}]
[eqn: = left[ x (-cos` x )right]_0^k - int _{ 0} ^{k } {1cdot (-cos` x )`dx }]
[eqn: = `- k `cos `k + int _{ 0} ^{ k} {cos`x`dx }]
[eqn: = `-k` cos` k + sin` k]

[eqn: B``]의 넓이를 [eqn: S_B]라 하면

[eqn: S_B][eqn: = int _{ k} ^{ pi over 2 } { LEFT ( pi over2 - x ` sin` x RIGHT ) }`dx]
[eqn: = int _{ k} ^{ pi over2 } { pi over2 `dx - } int _{ k} ^{ pi over2 } { x`sin`x `dx}]
[eqn: =left[ {pi over2}x right]_k ^{pi over2 } - LEFT ( left[ - x` cos` x right]_k ^{pi over2 } + int _{ k} ^{pi over2 } { cos` x `dx} RIGHT )]
[eqn: = pi over2 LEFT ( pi over2 -k RIGHT ) - k`cos` k - left[ sin ` x right]_k ^{ pi over 2}]
[eqn: = pi over2 LEFT ( pi over 2 -k RIGHT ) - k `cos `k - 1 + sin `k]

[eqn: S_A = S_B]에서

[eqn: -k cos` k + sin` k = pi over2 LEFT ( pi over2 - k RIGHT ) - k` cos `k -1 + sin `k]

[eqn: pi over2 LEFT ( pi over2 -k RIGHT ) -1 =0], [eqn: pi over2 -k = 2 over pi]

[eqn: therefore```][eqn: k = pi over2 - 2 over pi]

17. 통계	③

정답

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {\N}(m,~30^2 )]을 따르므로

[eqn: G`(k )][eqn: = {\P} (X le m+ 30k )]
[eqn: = {\P} LEFT ( Z le { m+30k -m} over { 30} RIGHT )]
[eqn: = {\P} ( Z le k )]

또, 표본의 크기가 [eqn: 9]인 표본평균 [eqn: bar {X``}]는 정규분포

[eqn: {\N} (m,~10^2 )]을 따르므로

[eqn: H`(k )][eqn: = {\P} (`bar {X``} ge m-30k )]
[eqn: = {\P} LEFT ( Z ge { m-30k-m} over { 10} RIGHT )]
[eqn: = {\P} (Z ge -3k )]

ㄱ. (참) [eqn: G`(0) = {\P} (Z le 0 )= 0.5]
[eqn: H`(0) = {\P}( Z ge 0 ) = 0.5]

[eqn: therefore```][eqn: G`(0)= H`(0)]

ㄴ. (참) [eqn: G`(3) = {\P} (Z le 3 )]
[eqn: H`(1) = {\P} (Z ge -3 ) = {\P} (Z le 3 )]

[eqn: therefore```][eqn: G`(3) = H`(1)]

ㄷ. (거짓) [eqn: G`(1) = {\P} (Z le 1 )]
[eqn: H`(-1) = {\P} (Z ge 3)]

[eqn: therefore```][eqn: G`(1) +H`(-1)]

[eqn: = {\P} (Z le 1 ) + {\P} ( Z ge 3)]

[eqn: = 1 - {\P} ( 1 le Z le 3 ) <1]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

18. 벡터	②

정답

점 [eqn: (a,~b,~0)][eqn: (a<0)]을 지나고 [eqn: z]축에 평행한 직선을 [eqn: l`]이라 하면 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: x=a], [eqn: y=b]

직선 [eqn: \AB]의 방정식은

[eqn: x-0 over 1 = { y+1} over { 2} = { z-1} over { -1}]

[eqn: therefore```][eqn: x = { y+1} over { 2} =1-z]

따라서 직선 [eqn: l`]과 직선 [eqn: \AB]가 만나는 점을 [eqn: \P (ita,~b,~c)]로 놓을 수 있다.

이때, 점 [eqn: \P]는 직선 [eqn: \AB] 위의 점이므로

[eqn: a = { b+1} over { 2} =1-c]	…… ㉠

또, 점 [eqn: (a,~b,~0)]이 원 [eqn: x^2 +y^2 =13] 위의 점이므로

[eqn: a^2 +b^2 =13]	…… ㉡

㉠에서 [eqn: b = 2a-1]이므로 ㉡에 대입하면

[eqn: a^2 + (2a-1)^2 =13], [eqn: 5a^2 -4a -12=0]

[eqn: (5a+6)(a-2)=0]

[eqn: therefore```][eqn: a = - 6over 5] ([eqn: ∵~][eqn: a<0])

다시 ㉠에 대입하면 [eqn: b =`- 17 over 5], [eqn: c = { 11} over { 5}]

[eqn: therefore```][eqn: a+b = LEFT ( - 6 over 5 RIGHT ) + LEFT ( - 17 over 5 RIGHT ) = - 23 over 5]

19. 수열	①

정답

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 4a_n+1 -1][eqn: = 4 times { 3a_n -1 } over { 4a_n -1} -1]
[eqn: = { 12 a_n -4 - (4a_n -1)} over { 4a_n -1}]
[eqn: = { 2(4a_n - 1) -1} over { 4a_n -1}]
[eqn: = 2 - { 1} over { 4a_n -1}]	…… ㉠

이다. 수열 [eqn: left{b_n right}]을

[eqn: b_1 =1], [eqn: b_n+1 = (4a_n -1) b_n ``(n ge 1)]	…… (*)

이라 하면 [eqn: 4a_n`-1={b_n+1 }over{b_n }]이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: {b_n+2 }over{b_n+1 }=2-{b_n }over{b_n+1 }], [eqn: {b_n+2`+b_n }over{b_n+1 }=2]

따라서 [eqn: b_n+2`+b_n`=2b_n+1]이므로

[eqn: b_n+2 - b_n+1 = b_n+1 - b_n]

[eqn: VDOTS]

[eqn: b_n+2 - b_n+1 = b_n+1 - b_n = cdots= b_2 - b_1]

이고,

[eqn: b_2 = (4a_1 - 1 )b_1 = 3 cdot 1 =3]

이므로

[eqn: b_n+2 - b_n+1 = b_2 - b_1 = 3-1=2]

즉, [eqn: left{b_n right}]은 등차수열이므로 (*)에 의하여

[eqn: b_n =1+ (n-1)cdot 2 =]

[eqn: 2n-1]

이고,

[eqn: b_n+1 = 2(n+1) - 1 = 2n+1]이므로

[eqn: 2n+1 = (4a_n -1 )(2n-1)]

[eqn: therefore```][eqn: a_n = 1 over4 LEFT ( 2n+1 over 2n-1 +1 RIGHT ) =]

[eqn: { n} over { 2n-1}]

이다.

따라서 [eqn: f(n) = 2n-1], [eqn: g(n) = { n} over { 2n-1}]이므로

[eqn: f(14) times g(5)][eqn: =( 2cdot 14 -1) times { 5} over { 2 cdot 5 -1}]
[eqn: = 27 times { 5} over { 9}]
[eqn: = 15]

20. 적분법	④

정답

조건 (나)에서

[eqn: cos` x int _{ 0} ^{ x} { f(t)` dt} ``= sin`x int _{ x} ^{ pi over2 } {` f(t) `dt}]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: - sin `x int _{ 0} ^{ x} {f(t)`dt + cos `x cdot f(x)]

[eqn: = cos `x int _{ x} ^{ pi over 2} {`f(t)` dt - sin` x cdot f(x) } }]

[eqn: x = pi over4]를 대입하면

[eqn: - sin` pi over 4 int _{ 0} ^{ pi over 4 } {`f(t)` dt + cos` pi over 4 cdot f LEFT ( pi over 4 RIGHT ) }]

[eqn: = cos` { pi} over { 4} int _{ pi over 4} ^{ pi over 2 } { `f(t)` dt - sin` { pi} over {4 } cdot f LEFT ( pi over 4 RIGHT ) }]

[eqn: - {sqrt {2}} over {2} int _{0} ^{{piover4}} { `f(t)`dt}``+{sqrt2 over2}f left(piover4 right)]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} int _{pi over 4} ^{{piover2}} { `f(t)`dt}``-{sqrt2 over2}f left(piover4 right)]

[eqn: sqrt { 2}f LEFT ( pi over 4 RIGHT )][eqn: = { sqrt { 2} } over { 2} left{ int _{ 0} ^{ pi over 4} {` f(t)` dt + int _{ pi over 4} ^{ pi over 2} {` f(t)` dt} } right}]
[eqn: = { sqrt { 2} } over { 2} int _{ 0} ^{ pi over2 } {` f(t)` dt}]

그런데 조건 (가)에서 [eqn: int _{ 0} ^{pi over2 } {f(t) `dt =1 }]이므로

[eqn: f LEFT ( pi over 4 RIGHT ) = 1over2 int _{ 0} ^{ pi over2 } { f(t) `dt = 1over 2}]

21. 미분법	③

정답

[eqn: f(f(x))]를 [eqn: f(x)-x]로 나눈 몫이 [eqn: g(x)], 나머지가 [eqn: h(x)]이므로

[eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x right} g(x) +h(x)]

로 놓을 수 있다.

ㄱ. (참) 조건 (가)에서

[eqn: f(alpha) = alpha], [eqn: f(beta)= beta], [eqn: f(gamma ) =gamma]

이므로

[eqn: f (f(alpha)) = f(alpha) = alpha] [eqn: LRARROW] [eqn: f(f(alpha)) - alpha =0]

[eqn: f(f(beta)) = f(beta) =beta] [eqn: LRARROW] [eqn: f(f(beta))- beta=0]

[eqn: f(f(gamma)) = f(gamma) = gamma] [eqn: LRARROW] [eqn: f(f(gamma))- gamma =0]

그러므로 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]는 방정식 [eqn: f(f(x) )-x =0]의 근이다.

ㄴ. (참) [eqn: f(x)-x]가 삼차식이므로 [eqn: h(x) = ax^2 +bx+c]로 놓으면

[eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x right} g(x) +ax^2 +bx+c]

이므로

[eqn: f(f(alpha) ) = a alpha^2 + b alpha +c = alpha]	…… ㉠

[eqn: f(f(beta)) = a beta^2 +b beta +c=beta]	…… ㉡

[eqn: f(f(gamma)) = a gamma^2 +b gamma +c = gamma]	…… ㉢

㉠－㉡에서

[eqn: a (alpha^2 - beta ^2 )+b(alpha- beta ) = alpha-beta]

[eqn: alpha != beta]이므로 [eqn: a (alpha+beta)+b=1]	…… ㉣

㉡－㉢에서

[eqn: a (beta^2 - gamma^2 )+b (beta- gamma ) = beta-gamma]

[eqn: beta != gamma]이므로 [eqn: a (beta+gamma ) +b=1]	…… ㉤

㉣－㉤에서

[eqn: a(alpha- gamma) =0]

그런데 [eqn: alpha != gamma]이므로 [eqn: a=0]

㉣에서 [eqn: b=1]

㉠에서 [eqn: alpha + c = alpha]   [eqn: therefore```][eqn: c=0]

[eqn: therefore```][eqn: h(x) =x]

ㄷ. (거짓) 조건 (나)에서

[eqn: f`'(3)=0], [eqn: f(3)=7]

조건 (다)에서 [eqn: f(f(3))=5]이므로

[eqn: f(f(3)) = left{ f(3) - 3 right} g(3)+3]

[eqn: 5 = 4 g(3)+3]

[eqn: therefore```][eqn: g(3) = 1over2]

[eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x right} g(x) +x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`' (f(x)) cdot f`' (x)]

[eqn: = left{ f`' (x) - 1 right} g(x) + left{f(x) - x right} g'(x)+1]

[eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: f`' (f(3)) cdot f`' (3)]

[eqn: = left{ f`' (3) - 1 right} g(3) + left{f(3) - 3 right} g'(3)+1]

[eqn: f`'(7)cdot 0 =(0-1)g(3) + 4 cdot g'(3)+1]

[eqn: 0 = - 1over2 + 4 g' (3)+1]

[eqn: 4g' (3)= - 1over2]

[eqn: therefore```][eqn: g'(3) = - 1over 8]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

22. 미분법	[eqn: 21]

정답

[eqn: f(x) = ln (2x-1)]에서

[eqn: f`'(x) = { 2} over { 2x-1}]

[eqn: therefore```][eqn: f`'(10) = { 2} over { 2 cdot10 -1} = 2 over19]

[eqn: therefore```][eqn: p +q = 19+2 = 21]

23. 통계	[eqn: 40]

정답

[eqn: f(x)]가 확률밀도함수이면

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { `f(x)`dx =1}]

이므로

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} {`(ax+b)`dx }][eqn: = left[ a over2 x^2 +bx right]_0^1]
[eqn: = a over2 +b =1]

[eqn: therefore```][eqn: a+2b=2]	…… ㉠

평균 [eqn: {\E} (X) = int _{ 0} ^{ 1} {` xf(x)`dx}]이므로

[eqn: {\E}(X)][eqn: = int _{ 0} ^{1 } { `x (ax+b)`dx}]
[eqn: = int _{ 0} ^{1 } { (ax^2 +bx) dx}]
[eqn: = left[ a over 3 x^3 + b over2 x ^2 right]_0^1]
[eqn: = a over 3 + { b} over { 2} = { 7} over { 12}]

[eqn: therefore```][eqn: 4a+6b=7]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=1], [eqn: b = 1 over2]

[eqn: therefore```][eqn: 80ab = 80 times 1 times 1over2 = 40]

24. 방정식과 부등식	[eqn: 22]

정답

[eqn: 1 over x + { 1} over { x-8} le 0]의 양변에 [eqn: left{ x(x-8) right}^2]을 곱하면

[eqn: x(x-8)^2 + x^2 (x-8) le 0], [eqn: x!=0], [eqn: x!=8]

[eqn: 2x(x^2 -12x +32) le 0], [eqn: x!=0], [eqn: x!=8]

[eqn: 2x(x-4) (x-8) le0], [eqn: x!=0], [eqn: x!=8]

[eqn: therefore```][eqn: x<0] 또는 [eqn: 4 le x <8]

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: x]의 합은

[eqn: 4+5+6+7= 22]

25. 수열의 극한	[eqn: 35]

정답

[eqn: (n+1) a_n = c_n]이라 하면 [eqn: a_n = { c_n} over { n+1}], [eqn: lim _{ n`->`inf} { c_n =2}]

[eqn: (n^2 +1) b_n = d_n]이라 하면 [eqn: b_n = { d_n} over { n^2 +1}], [eqn: lim _{ n`->`inf} { d_n =7}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { { (10n +1)b_n} over { a_n} }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { (10n+1)}times d_n over { n^2 +1} } times { n+1} over { c_n}]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { (10n+ 1) (n+1)} over {n^2 +1 } }times { d_n} over {c_n }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 10n^2 +11n+1} over { n^2 +1} } times lim _{ n`->`inf} { { d_n} over {c_n } }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 10 + 11 overn + 1 over n^2} over {1 + { 1} over { n^2} } } times 7over2]
[eqn: = 10 times { 7} over { 2} = 35]

26. 이차곡선	[eqn: 52]

정답

쌍곡선 [eqn: { x^2 } over { 12} - { y^2} over { 8} =1] 위의 점 [eqn: (a,~b)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: a over 12 x - { b} over { 8} y =1]

[eqn: therefore```][eqn: 2ax - 3by = 24]	…… ㉠

이 접선이 타원 [eqn: { (x-2)^2} over { 4} +y^2 =1]의 넓이를 이등분하려면 타원의 중심 [eqn: (2,~0)]을 지나야 한다.

따라서 ㉠에 [eqn: x=2], [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: 4a-3b cdot 0 = 24], [eqn: 4a=24]   [eqn: therefore```][eqn: a=6]

또, 점 [eqn: (6,~b)]는 쌍곡선 [eqn: { x^2} over { 12} - { y^2} over { 8} =1] 위의 점이므로

[eqn: { 6^2} over { 12} - { b^2} over { 8} =1], [eqn: b^2 over 8 =2]   [eqn: therefore```][eqn: b^2 = 16]

[eqn: therefore```][eqn: a^2 +b^2 = 6^2 +16 = 52]

27. 삼각함수	[eqn: 15]

정답

[eqn: rm bar AB =barAD =1]이고 [eqn: rm angle DAB = theta]이므로 삼각형 [eqn: rm DAB]에서 제이코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar DB}^2][eqn: =1^2 +1^2 - 2 cdot 1 cdot 1 cdot cos ` theta]
[eqn: = 2 (1- cos` theta )]

이때, 삼각형 [eqn: \CDB]는 정삼각형이므로 넓이는

[eqn: { sqrt { 3} } over { 4} times 2 (1- cos` theta ) = { sqrt { 3} } over { 2} - { sqrt { 3} } over { 2} `cos` theta]

또, 삼각형 [eqn: \DAB]의 넓이는 [eqn: 1over2 `sin` theta]이므로

사각형 [eqn: \ABCD]의 넓이를 [eqn: f(theta )]라 하면

[eqn: f(theta )][eqn: = { sqrt { 3} } over { 2} - { sqrt { 3} } over { 2} `cos` theta + 1over2 `sin` theta]
[eqn: = LEFT ( 1over2 `sin `theta - { sqrt { 3} } over {2 } `cos `theta RIGHT ) + { sqrt { 3} } over { 2}]
[eqn: = sin` LEFT ( theta - { pi} over { 3} RIGHT ) + { sqrt { 3} } over { 2}]

따라서 [eqn: f(theta)]는 [eqn: theta-{piover3}={piover2}]일 때, 즉 [eqn: theta = 5 over 6 pi]일 때

최대가 된다. ([eqn: ∵~][eqn: 0 < theta < pi])

[eqn: sin `{ 5} over { 6}pi = sin` LEFT ( pi - pi over 6 RIGHT ) = sin` { pi } over { 6} = 1over2]

이므로

[eqn: 60 `sin^2 `theta = 60 times LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 = 15]

28. 수열의 극한	[eqn: 19]

정답

수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 12]이고 공비가 [eqn: 1over3]인 등비수열이므로

[eqn: a_n = 12 LEFT ( 1over3 RIGHT )^n-1]

점 [eqn: {\P}_n (-b_n ,~ b_n^{````2} )]을 지나고 기울기가 [eqn: a_n]인 직선의 방정식은

[eqn: y - b_n ^{````2} = a_n (x+b_n )]

[eqn: therefore```][eqn: y = a_n (x+b_n ) +b_n^{````2}]	…… ㉠

직선 ㉠과 곡선 [eqn: y =x^2]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구해 보면

[eqn: a_n (x+b_n )+b_n ^{````2} = x^2]에서

[eqn: x^2 - a_n x - a_n b_n -b_n^{````2} =0]

[eqn: x^2 - a_n x - b_n (a_n +b_n )=0]

[eqn: (x+b_n ) left{ x - (a_n +b_n ) right} =0]

[eqn: therefore```][eqn: x= -b_n] 또는 [eqn: x = a_n +b_n]

그런데 [eqn: b_n+1]은 [eqn: {\P}_n]이 아닌 점의 [eqn: x]좌표이므로

[eqn: b_n+1 = a_n +b_n]

[eqn: therefore```][eqn: b_n+1 - b_n =a_n]

즉, 수열 [eqn: left {a_n right}]은 수열 [eqn: left{b_n right}]의 계차수열이고, [eqn: b_1 =1]이므로

[eqn: b_n][eqn: = b_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}a_k]

[eqn: = 1 + sum _{ k=1} ^{n-1 } 12 LEFT ( 1over3 RIGHT )^k-1]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { b_n}][eqn: = 1+ lim _{ n`->`inf} { left{ 12` sum _{ k=1} ^{ n-1} ` LEFT ( 1over3 RIGHT )^k-1 } right}]
[eqn: = 1+ 12 cdot { 1} over { 1 - 1over 3}]
[eqn: = 1 + 12 cdot 3over 2]
[eqn: = 19]

29. 공간도형과 공간좌표	[eqn: 45]

정답

점 [eqn: \P]가 선분 [eqn: \AC]를 [eqn: 1：2]로 내분하는 점이고, 점 [eqn: \C]에서 평면 [eqn: alpha`]에 이르는 거리가 [eqn: 3]이므로 점 [eqn: \P]에서 평면 [eqn: alpha`]에 이르는 거리는 [eqn: 1`]이다.

따라서 점 [eqn: \P]에서 평면 [eqn: alpha]에 이르는 거리와 점 [eqn: \B]에서 평면 [eqn: alpha]에 이르는 거리가 같으므로 직선 [eqn: \BP]는 평면 [eqn: alpha`]와 평행하다.

이때, 평면 [eqn: alpha`]에 평행하고 직선 [eqn: \BP]를 포함하는 평면을 [eqn: beta`]라 하고, 삼각형 [eqn: \ABC]와 평면 [eqn: alpha`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면 삼각형 [eqn: \PBC]와 평면 [eqn: beta`]가 이루는 각의 크기도 [eqn: theta`]이다.

점 [eqn: \C]에서 직선 [eqn: \BP]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하고, 점 [eqn: \C]에서 평면 [eqn: beta`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \Q]라 하면

[eqn: rm ∠ CHQ = theta`], [eqn: rm bar CQ = 3-1 = 2`]	…… ㉠

또, 삼각형 [eqn: \ABC]의 넓이가 [eqn: 9`]이므로

삼각형 [eqn: \PBC]의 넓이는 [eqn: 9 times 2 over 3 = 6`]이다. 그러므로

[eqn: 1over 2 times rm bar BP` times rm bar CH` ={1over2}times4timesbar{\CH}`=6]

[eqn: 2 \ bar{CH}`=6]   [eqn: ∴~][eqn: bar{\CH}`=3]

㉠에서

[eqn: sin `theta = {bar{\CQ}over{bar{\CH}}`={2over3}]

[eqn: therefore```][eqn: cos` theta = root{ 1- sin^2 `theta }]

[eqn: = root{ 1- 4over9}]

[eqn: = root5 over 3`]

따라서 삼각형 [eqn: \ABC]의 평면 [eqn: alpha`] 위로의 정사영의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S = 9` cos` theta][eqn: = 9 times root5 over 3 = 3root5`]

∴ [eqn: S^2 = 45`]

30. 수열	[eqn: 392]

정답

(ⅰ) [eqn: n=1]이면

세 점 [eqn: (1,~2^1 )], [eqn: (2,~2^2 )], [eqn: (3,~2^3 )]을 정사각형과 그 내부에 포함할 때, 가장 작은 정사각형이 만들어지므로

[eqn: a_1 = 2times(2^3 - 2^1 ) = 12]

(ⅱ) [eqn: n=2]이면

세 점 [eqn: (1,~2^1 )], [eqn: (2,~2^2 )], [eqn: (3,~2^3 )]을 정사각형과 그 내부에 포함할 때, 가장 작은 정사각형이 만들어지므로

[eqn: a_2 = 2times(2^3 - 2^2 ) = 8]

(ⅲ) [eqn: n ge 3]이면

세 점 [eqn: (n-2,~2^n-2 )], [eqn: (n-1,~2^n-1 )], [eqn: (n,~2^n )]을 정사각형과 그 내부에 포함할 때, 가장 작은 정사각형이 만들어지므로

[eqn: a_n = 2times(2^n - 2^n-2 ) = 3times 2^n-1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: sum_k=1^7 a_k = 12+8 + 3 (2^2 +2^3 +cdots+2^6 )]

[eqn: = 20 +3 times {2^2 (2^5 -1 )} over 2-1]

[eqn: = 20 + 12 times31]

[eqn: = 392]

수리 영역_나형

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2011년 9월 모의평가 해설

수리 영역

1. ④	2. ③	3. ④	4. ⑤	5. ②

6. ③	7. ①	8. ④	9. ④	10. ②

11. ⑤	12. ③	13. ①	14. ③	15. ②

16. ⑤	17. ②	18. ①	19. ①	20. ②

21. ⑤	22. [eqn: 10]	23. [eqn: 39]	24. [eqn: 13]	25. [eqn: 35]

26. [eqn: 12]	27. [eqn: 30]	28. [eqn: 19]	29. [eqn: 16]	30. [eqn: 392]

1. 로그와 로그함수	④

정답

[eqn: log_{`2} `12 + log_{`2} ` 4over3][eqn: = log_{`2} LEFT ( 12 times 4over 3 RIGHT )]
[eqn: = log_{`2} `16 = log_{`2} `2^4]
[eqn: = 4]

2. 수열의 극한	③

정답

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 3n^2 +5} over { 2n^2 +n} } = lim _{ n`->`inf} { { 3 + 5 over n^2} over { 2 + 1 over n} } = 3over2]

3. 행렬과 그래프	④

정답

행렬 [eqn: A = pmatrix{`3&&1`#`3&&2`}]에 대하여

[eqn: A^-1 = 1 over 6-3 pmatrix{````````2&````-1`#-3&```````````3`}][eqn: = 1 over 3 pmatrix{````````2&````-1`#-3&```````````3`}]

[eqn: therefore```][eqn: 3A^-1 = pmatrix{````````2&````-1`#-3&```````````3`}]

따라서 행렬 [eqn: 3A^-1]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2 + (-1)+(-3)+3=1]

4. 확률	⑤

정답

두 사건 [eqn: A], [eqn: B``]가 서로 독립이므로

[eqn: {\P}(A cap B`) = {\P} (A) {\P}(B`)]

[eqn: therefore```][eqn: {\P} (A cup B`)][eqn: = {\P}(A)+{\P}(B`)- {\P}(A cap B`)]
[eqn: = 1over2 + {\P} (B`) - 1 over2 {\P} (B`)]
[eqn: = 1over2 + 1over2 {\P} (B`) = 4over 5]

[eqn: therefore```][eqn: {\P} (B`) = 3over 5]

[eqn: therefore```][eqn: {\P} (A cap B`)][eqn: = {\P}(A) {\P}(B`)]
[eqn: = 1over2 times 3over5 = 3over10]

5. 지수와 지수함수	②

정답

[eqn: 2^x + 2^5-x = 33]에서

[eqn: 2^x + { 32} over { 2^x} =33]

[eqn: 2^x = t``(t>0)]로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: t + { 32} over { t} = 33], [eqn: t^2 - 33t +32=0]

[eqn: (t-1)(t-32)=0]

[eqn: therefore```][eqn: t=1] 또는 [eqn: t=32]

[eqn: 2^x =1] 또는 [eqn: 2^x =32]이므로 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x =5]이다.

따라서 구하는 모든 실근의 합은 [eqn: 0+5=5]이다.

6. 통계	③

정답

확률의 총합은 [eqn: 1]이므로

[eqn: a + { 1} over { 4} +b=1]   [eqn: therefore```][eqn: a+b = 3over4]	…… ㉠

또, [eqn: rmE (itX`) = 5]이므로

[eqn: a+ 3over4 +7b = 5]   [eqn: therefore```][eqn: a +7b = 17 over 4]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a = 1over6], [eqn: b = 7 over12]

7. 로그와 로그함수	①

정답

메뉴가 [eqn: 10]개이고 각 메뉴 안에 항목이 [eqn: n]개씩 있을 때, 모든 메뉴에서 항목을 [eqn: 1]개씩 선택하는 데 걸리는 전체 시간은

[eqn: 10 left{ 2 + 1over3 `log_{`2} (n+1) right}](초)

그런데 이 전체 시간이 [eqn: 30]초 이하가 되어야 하므로

[eqn: 10 left{ 2 + 1over3 `log_{`2} (n+1) right} `le 30]

[eqn: 1over3 `log_{`2} (n+1) le 1], [eqn: log_{`2} (n+1) le 3]

[eqn: n+1 le 8]

[eqn: therefore```][eqn: n le 7]

따라서 구하는 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

8. 수열	④

정답

등비수열 [eqn: left{a _n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: S_2 = { a(r^2 -1)} over { r-1}], [eqn: S_4 = { a(r^4 - 1)} over { r-1}]

이므로

[eqn: { S_4} over { S_2}][eqn: = { { a(r^4 -1)} over { r-1} } over { { a(r^2 -1)} over { r-1} }]
[eqn: = { r^4 -1} over { r^2 -1}]
[eqn: = r^2 +1=9]

[eqn: therefore```][eqn: r^2 = 8]

[eqn: therefore```][eqn: { a_4} over { a_2} = { ar^3} over { ar} = r^2 = 8]

9. 수열의 극한	④

정답

[eqn: R_1]에 있는 원의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이므로 원의 넓이는 [eqn: pi]이다.

[eqn: therefore```][eqn: S_1`=pi]

그림 [eqn: R_1]에 있는 마름모의 긴 대각선의 길이는 [eqn: 8]이고, 그림 [eqn: R_2]에 새로 그려진 마름모의 긴 대각선의 길이는 [eqn: 3]이다.

따라서 [eqn: R_n]에 새로 그려진 마름모와 [eqn: R_n+1]에 새로 그려진 마름모는 닮은 도형이고, 긴 대각선의 길이의 비가 [eqn: 8：3]이므로 넓이의 비는 [eqn: 64：9]이다.

또, 그림 [eqn: R_n]에서 새로 그려진 원의 개수는 [eqn: 2^n-1]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} { S_n}][eqn: = pi + 2 LEFT ( 9 over 64 RIGHT ) pi + 2^2 LEFT ( 9 over 64 RIGHT )^2 pi +` cdots]
[eqn: = { pi} over { 1 - 9 over 32}]
[eqn: = 32 over 23 pi]

10. 다항함수의 적분법	②

정답

곡선 [eqn: y =x^2 -x +2]와 직선 [eqn: y=2]의 교점의 [eqn: x]좌표를

구하면

[eqn: x^2 -x+2=2], [eqn: x^2 -x=0]

[eqn: x(x-1)=0]

[eqn: therefore```][eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { left{2 - (x^2 - x +2 ) right}dx}]

[eqn: = int _{ 0} ^{1 } { (-x^2 +x) dx}]

[eqn: = left [ - 1over3 x^3 + 1over2 x ^2 right]_0^1]

[eqn: = - 1over3 + 1over2][eqn: = 1over 6]

11. 함수의 극한과 연속	⑤

정답

주어진 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프에서

[eqn: lim _{ x`->`-1-0} { f(x) + f(0) + lim _{ x`->`1+0} { f(x)} }][eqn: = 1+2+(-1)]

[eqn: =2]

12. 확률	③

정답

(ⅰ) 주사위의 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수일 경우,

동전을 [eqn: 3]개 동시에 던져 앞면이 나오는 동전의 개수가 [eqn: 1]일 확률은
[eqn: 4 over 6 times _3 rm C_1 LEFT ( 1over2 RIGHT )^1 LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 = 1over4]

(ⅱ) 주사위의 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수가 아닐 경우,

동전을 [eqn: 2]개 동시에 던져 앞면이 나오는 동전의 개수가 [eqn: 1]일 확률은
[eqn: 2over6 times _2 rm C_1 LEFT ( 1over2 RIGHT )^1 LEFT ( 1over2 RIGHT )^1 = 1over6]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: 1over4 + 1over 6 = 5over12]

13. 다항함수의 적분법	①

정답

ㄱ. (거짓)【반례】[eqn: f(x)=x]일 때,

[eqn: int _{ 0} ^{3 } { x`dx}][eqn: = left[ 1over2 x^2 right]_0^3][eqn: = 9over2]

[eqn: 3 int _{ 0} ^{1 } { x`dx}][eqn: = 3 left[ 1over2 x^2 right]_0^1][eqn: = 3over2]

이므로 [eqn: int _{ 0} ^{3 } {f(x)`dx}!= 3 int _{ 0} ^{ 1} {f(x)`dx }]이다.

ㄴ. (참) 정적분의 성질에서

[eqn: int _{ 0} ^{2 } { f(x)`dx = int _{ 0} ^{ 1} {f(x)`dx + int _{ 1} ^{ 2} {f(x)`dx } } }]

이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 } {f(x)`dx }][eqn: = int _{ 0} ^{2 } {f(x)`dx - int _{ 1} ^{2 } {f(x)`dx } }]

[eqn: = int _{ 0} ^{ 2} {f(x)`dx + int _{ 2} ^{ 1} {f(x)`dx } }]

ㄷ. (거짓)【반례】[eqn: f(x)=x]일 때,

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { left{f(x) right}^2 }`dx][eqn: = int _{ 0} ^{ 1} { x^2``dx}]

[eqn: = left[ 1over3 x^3 right]_0^ 1][eqn: = 1over3]

[eqn: left{ int _{ 0} ^{1 } {f(x)`dx } right}^2][eqn: = left{ int _{ 0} ^{1 } {x`dx }right}^2]

[eqn: = left{ left [ 1over2 x^2 right]_0^1 right}^2]

[eqn: =left(1over2 right)^2][eqn: = 1over4]

이므로 [eqn: int _{ 0} ^{1 } { left{ f(x) right}^2 `dx != left{int _{ 0} ^{1 } {f(x)`dx } }right}^2]이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

14. 행렬과 그래프	③

정답

[eqn: B = pmatrix { `x& &y` # `z& & w` }]라 하면 조건 (가)에서

[eqn: pmatrix { `x& &y` # `z& & w` } pmatrix{````````1`#`-1`} = pmatrix { `x-y` # `z-w` }= pmatrix{`0`#`0`}]

[eqn: therefore```][eqn: x=y], [eqn: z=w]

또, 조건 (나)에서

[eqn: AB = pmatrix{`1&````1#`a&```a`} pmatrix{`x&```x`#`z&```z`} = pmatrix{`x+z&```x+z`#`ax+az&```ax+az`} =pmatrix{`2&```2`#`2a&```2a`}]

[eqn: therefore```][eqn: x+z=2]

[eqn: BA = pmatrix{`x&```x`#`z&```z`}pmatrix{`1&````1#`a&```a`} = pmatrix{`x+ax&```x+ax`#`z+az&```z+az`} =pmatrix{`4x&```4x`#`4z&```4z`}]

[eqn: therefore```][eqn: a=3]   [eqn: therefore```][eqn: A = pmatrix{`1&```1#`3&```3``}]

[eqn: therefore```][eqn: A +B][eqn: = pmatrix{`1&```1`#`3&```3`} + pmatrix{`x&```x`#`z&```z`}]

[eqn: = pmatrix{`1+x&```1+x`#`3+z&```3+z`}]

따라서 행렬 [eqn: A+B``]의 [eqn: (1,~2)] 성분과 [eqn: (2,~1)] 성분의 합은

[eqn: (1+x) +(3+z)][eqn: = 4+(x+z)]
[eqn: = 4+2=6]

15. 다항함수의 미분법	②

정답

[eqn: f(x)=x^3`-2]라 하고, 접점의 좌표를 [eqn: (t,``t^3`-2)]라 하면

[eqn: f'(x)=3x^2]에서 접선의 기울기는

[eqn: f'(t)=3t^2]

따라서 구하는 접선의 방정식은

[eqn: y-(t^3`-2)=3t^2`(x-t)]

이때, 접선이 점 [eqn: (0,``-4)]를 지나므로

[eqn: -4-(t^3`-2)=3t^2`(-t)]

[eqn: 2t^3`=2], [eqn: t^3`=1]

[eqn: therefore```][eqn: t=1]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y=3x-4]이므로 이 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 좌표는 [eqn: left(0,``{4over3}right)]이다.

[eqn: therefore```][eqn: a={4over3}]

16. 통계	⑤

정답

제품 [eqn: rm A]의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: \N(itm,``1)]을 따르므로 제품 [eqn: rm A]의 무게가 [eqn: k] 이상일 확률은

[eqn: {\P}(X ge k ) = {\P} (Z ge k -m )]

제품 [eqn: \B]의 무게를 확률변수 [eqn: Y``]라 하면 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: \N(it2m,``4)]를 따르므로 제품 [eqn: \B]의 무게가 [eqn: k] 이하일 확률은

[eqn: {\P} (Y le k ) ={\P} left (Z le { k -2m} over { 2} right)]

[eqn: {\P}(X ge k ) ={\P} (Y le k )]이려면

[eqn: |`k-m`|=left|`{k-2m}over2` right|]

이어야 하므로

[eqn: - (k-m) = { k-2m} over { 2}], [eqn: -k + m = { k-2m} over { 2}]

[eqn: -2k +2m = k-2m], [eqn: 4m =3k]

[eqn: therefore```][eqn: k over m = 4 over 3]

17. 로그와 로그함수	②

정답

[eqn: log``x=f(x)+g(x)]이므로 [eqn: f(x)]의 값은 정수이고,

[eqn: 0 le g(x ) <1]

조건 (가)에서 [eqn: f(x) +3g(x)]의 값이 정수이므로

[eqn: 3g(x) =0] 또는 [eqn: 3g(x)=1] 또는 [eqn: 3g(x)=2]

(ⅰ) [eqn: 3g(x)=0] 즉, [eqn: g(x)=0]일 때

[eqn: log`` x^2 = 2` log `x = 2 `f(x)]

이므로

[eqn: f(x^2 ) = 2`f(x)]

조건 (나)에서

[eqn: f(x) + f(x^2 ) = 3 f(x) =6]

[eqn: therefore```][eqn: f(x)=2]

따라서 [eqn: log`x =2]이므로 [eqn: x =10^2]이다.

(ⅱ) [eqn: 3 g(x)=1] 즉, [eqn: g(x) = 1over3]일 때

[eqn: log`x^2 = 2`log`x = 2 left{ f(x)+g(x) right}]

이므로

[eqn: f(x^2 ) = 2f(x)][eqn: (because``` 2g(x) <1 )]

조건 (나)에서

[eqn: f(x) +f(x^2 ) = 3f(x) =6]

[eqn: therefore```][eqn: f(x)=2]

따라서 [eqn: log`x = 2 + 1over3 = 7over 3]이므로 [eqn: x= 10^{7 over 3}]이다.

(ⅲ) [eqn: 3 g(x)=2] 즉, [eqn: g(x) = 2over3]일 때

[eqn: log`x^2 = 2`log`x]

[eqn: = 2 left{ f(x)+g(x) right}]

[eqn: =2f(x)+1+left{2g(x)-1right}]

이므로

[eqn: f(x^2`)=2f(x)+1]

조건 (나)에서

[eqn: f(x) +f(x^2 ) = 3f(x)+1 =6]

[eqn: therefore```][eqn: f(x)={5over3}]

그런데 [eqn: f(x)]는 정수이므로 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 모든 [eqn: x]의 값의 곱은

[eqn: 10^2 times 10 ^{7over3} = 10 ^{13 over 3}]

18. 다항함수의 미분법	①

정답

삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재하기 위해서는 [eqn: f(x)]가 극값을 갖지 않고 항상 증가해야 하므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x) ge 0]이어야 한다.

[eqn: f`'(x) = x^2 - 2ax +3a]에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: x^2 -2ax +3a ge 0]이어야 하므로 이차방정식

[eqn: x^2 -2ax +3a=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: { D} over { 4} = a^2 -3a le 0], [eqn: a(a-3) le 0]

[eqn: therefore```][eqn: 0 le a le 3]

따라서 구하는 상수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

19. 수열	①

정답

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 4a_n+1 -1][eqn: = 4 times { 3a_n -1 } over { 4a_n -1} -1]
[eqn: = { 12 a_n -4 - (4a_n -1)} over { 4a_n -1}]
[eqn: = { 2(4a_n - 1) -1} over { 4a_n -1}]
[eqn: = 2 - { 1} over { 4a_n -1}]	…… ㉠

이다. 수열 [eqn: left{b_n right}]을

[eqn: b_1 =1], [eqn: b_n+1 = (4a_n -1) b_n ``(n ge 1)]	…… (*)

이라 하면 [eqn: 4a_n`-1={b_n+1 }over{b_n }]이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: {b_n+2 }over{b_n+1 }=2-{b_n }over{b_n+1 }], [eqn: {b_n+2`+b_n }over{b_n+1 }=2]

따라서 [eqn: b_n+2`+b_n`=2b_n+1]이므로

[eqn: b_n+2 - b_n+1 = b_n+1 - b_n]

[eqn: VDOTS]

[eqn: b_n+2 - b_n+1 = b_n+1 - b_n = cdots= b_2 - b_1]

이고, [eqn: b_2 = (4a_1 - 1 )b_1 = 3 cdot 1 =3]이므로

[eqn: b_n+2 - b_n+1 = b_2 - b_1 = 3-1=2]

즉, [eqn: left{b_n right}]은 등차수열이므로 (*)에 의하여

[eqn: b_n =1+ (n-1)cdot 2 =]

[eqn: 2n-1]

이고,

[eqn: b_n+1 = 2(n+1) - 1 = 2n+1]

이므로 [eqn: 2n+1 = (4a_n -1 )(2n-1)]

[eqn: therefore```][eqn: a_n = 1 over4 LEFT ( 2n+1 over 2n-1 +1 RIGHT ) =]

[eqn: { n} over { 2n-1}]

이다.

따라서 [eqn: f(n) = 2n-1], [eqn: g(n) = { n} over { 2n-1}]이므로

[eqn: f(14) times g(5)][eqn: =( 2cdot 14 -1) times { 5} over { 2 cdot 5 -1}]
[eqn: = 27 times { 5} over { 9}][eqn: = 15]

20. 함수의 극한과 연속	②

정답

함수 [eqn: y = left{ g(x) right}^2]이 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x`->`-0} { left{ g(x) right}^2} ``= lim _{ x`->`+0} { left{ g(x) right}^2 = left{ g(0) right}^2}]

이 성립해야 한다.

이때, 함수 [eqn: f(x) =x^2 -x +a]는 연속함수이고,

[eqn: g(x) = cases{f(x+1)&& (x`le0 )#&&#f(x-1) && (x>0)}]

에서

(ⅰ) [eqn: x+1=t]라 하면

[eqn: x`->-0]일 때, [eqn: t`->`1-0]이므로

[eqn: lim _{ x`->`-0} { left{g(x) right}^2 }][eqn: = lim _{ x`->`-0} { left{f(x+1) right}^2}]

[eqn: = lim _{ t->`1-0} { left{f(t) right}^2}]

[eqn: = a^2]

(ⅱ) [eqn: x-1=s]라 하면

[eqn: x`->+0]일 때, [eqn: s`->`-1+0]이므로

[eqn: lim _{ x`->`+0} { left{g(x) right}^2 }][eqn: = lim _{ x`->`+0} { left{f(x-1) right}^2}]

[eqn: = lim _{ s->`-1+0} { left{f(s) right}^2}]

[eqn: = (2+a)^2]

(ⅲ) [eqn: left{g(0)right}^2 = left{ f(1) right}^2 =a^2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: a^2 = (2+a)^2], [eqn: 4a+4=0]

[eqn: therefore```][eqn: a=-1]

21. 다항함수의 적분법	⑤

정답

ㄱ. (참) [eqn: t=a]일 때,

물체 [eqn: rm A]의 높이는 [eqn: int _{ 0} ^{a } { f(t)`dt}]

물체 [eqn: \B]의 높이는 [eqn: int _{ 0} ^{a } { g(t)`dt}]

이때, 주어진 그림에서

[eqn: int _{ 0} ^{a } { f(t)`dt > int _{ 0} ^{a } {g(t)`dt } }]

이므로 물체 [eqn: rm A]는 물체 [eqn: \B]보다 높은 위치에 있다.

ㄴ. (참) [eqn: 0 le t le b]일 때, [eqn: f(t) - g(t) ge 0]이고,

[eqn: b < t le c]일 때, [eqn: f(t) - g(t) <0]이므로

두 물체 [eqn: rm A], [eqn: \B]의 높이의 차가 점점 커지다가 [eqn: t=b]에서부터 높이의 차가 점점 줄어든다.

그러므로 [eqn: t=b]일 때, 물체 [eqn: rm A]와 물체 [eqn: \B]의 높이의 차가 최대이다.

ㄷ. (참) [eqn: int _{ 0} ^{c } { f(t)dt = int _{ 0} ^{ c} { g(t)dt} }]이므로

[eqn: t=c]일 때, 물체 [eqn: rm A]와 물체 [eqn: \B]는 같은 높이에 있다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

22. 함수의 극한과 연속	[eqn: 10]

정답

[eqn: lim _{ x`->`5} { { x^2 -25} over {x-5 } }][eqn: = lim _{ x`->~5} { { (x-5)(x+5)} over { x-5} }]
[eqn: = lim _{ x`->`5} { (x+5)}]
[eqn: = 5+5=10]

23. 수열	[eqn: 39]

정답

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라고 하면

[eqn: a_2 =1]에서

[eqn: a +d=1]	…… ㉠

[eqn: a_1 +a_6 =8]에서

[eqn: 2a+5d =8]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-1], [eqn: d=2]

[eqn: therefore```][eqn: a_21 = -1+20 times 2 = 39]

24. 행렬과 그래프	[eqn: 13]

정답

이차정사각행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i,~j)] 성분 [eqn: a_ij]가

[eqn: a_ij = i-j+1]이므로

[eqn: A = pmatrix{`1-1+1&& 1-2+1`#`2-1+1&& 2-2+1`} = pmatrix{`1&&0`#`2&&1`}]

또, 이차정사각행렬 [eqn: B``]의 [eqn: (i,~j)] 성분 [eqn: b_ij]가

[eqn: b_ij = i+j+1]이므로

[eqn: B = pmatrix{`1+1+1&& 1+2+1`#`2+1+1&& 2+2+1`} = pmatrix{`3&&4`#`4&&5`}]

[eqn: therefore```][eqn: AB`][eqn: = pmatrix{`1&&0`#`2&&1`}pmatrix{`3&&4`#`4&&5`}][eqn: = pmatrix{`3&&4`#`10&&13`}]

따라서 행렬 [eqn: AB``]의 [eqn: (2,~2)] 성분은 [eqn: 13]이다.

25. 수열의 극한	[eqn: 35]

정답

[eqn: (n+1) a_n = c_n]이라 하면

[eqn: a_n = { c_n} over { n+1}], [eqn: lim _{ n`->`inf} { c_n =2}]

[eqn: (n^2 +1) b_n = d_n]이라 하면

[eqn: b_n = { d_n} over { n^2 +1}], [eqn: lim _{ n`->`inf} { d_n =7}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { { (10n +1)b_n} over { a_n} }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { (10n+1)}times d_n over { n^2 +1} } times { n+1} over { c_n}]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { (10n+ 1) (n+1)} over {n^2 +1 } }times { d_n} over {c_n }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 10n^2 +11n+1} over { n^2 +1} } times lim _{ n`->`inf} { { d_n} over {c_n } }]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} { { 10 + 11 overn + 1 over n^2} over {1 + { 1} over { n^2} } } times 7over2]
[eqn: = 10 times { 7} over { 2} = 35]

26. 다항함수의 미분법	[eqn: 12]

정답

[eqn: f(x) = (x^3 +5)(x^2 -1)]에서

[eqn: f`'(x) = 3x^2 (x^2 -1) +2x (x^3 +5)]

[eqn: =5x^4 -3x^2 +10x]

[eqn: therefore```][eqn: f`'(1) = 5-3+10 = 12]

27. 확률	[eqn: 30]

정답

다항식 [eqn: (x+a)^5]의 전개식에서

[eqn: x^3]항은 [eqn: `_5 rmC_3 it `x^3 a^2]

[eqn: x^4]항은 [eqn: `_5 rmC_4 it `x^4 a]

이때, [eqn: x^3]의 계수와 [eqn: x^4]의 계수가 같으므로

[eqn: `_5 rmC_3 it ` a^2 = `_5 rmC_4 it ` a], [eqn: `_5 rm C_2 `ita^2 = `_5 rm C_1 `ita]

[eqn: 10a^2 - 5a =0], [eqn: 5a(2a-1)=0]

[eqn: therefore```][eqn: a = 1over2``` (because``` a>0)]

[eqn: therefore```][eqn: 60a = 60 times 1over2 = 30]

28. 수열의 극한	[eqn: 19]

정답

수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 12]이고 공비가 [eqn: 1over3]인 등비수열이므로

[eqn: a_n = 12 LEFT ( 1over3 RIGHT )^n-1]

점 [eqn: {\P}_n (-b_n ,~ b_n^{````2} )]을 지나고 기울기가 [eqn: a_n]인 직선의 방정식은

[eqn: y - b_n ^{````2} = a_n (x+b_n )]

[eqn: therefore```][eqn: y = a_n (x+b_n ) +b_n^{````2}]	…… ㉠

직선 ㉠과 곡선 [eqn: y =x^2]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구해 보면

[eqn: a_n (x+b_n )+b_n ^{````2} = x^2]에서

[eqn: x^2 - a_n x - a_n b_n -b_n^{````2} =0]

[eqn: x^2 - a_n x - b_n (a_n +b_n )=0]

[eqn: (x+b_n ) left{ x - (a_n +b_n ) right} =0]

[eqn: therefore```][eqn: x= -b_n] 또는 [eqn: x = a_n +b_n]

그런데 [eqn: b_n+1]은 [eqn: {\P}_n]이 아닌 점의 [eqn: x]좌표이므로

[eqn: b_n+1 = a_n +b_n]

[eqn: therefore```][eqn: b_n+1 - b_n =a_n]

즉, 수열 [eqn: left {a_n right}]은 수열 [eqn: left{b_n right}]의 계차수열이고, [eqn: b_1 =1]이므로

[eqn: b_n][eqn: = b_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}a_k][eqn: = 1 + sum _{ k=1} ^{n-1 } 12 LEFT ( 1over3 RIGHT )^k-1]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { b_n}][eqn: = 1+ lim _{ n`->`inf} { left{ 12` sum _{ k=1} ^{ n-1} ` LEFT ( 1over3 RIGHT )^k-1 } right}]
[eqn: = 1+ 12 cdot { 1} over { 1 - 1over 3}]
[eqn: = 1 + 12 cdot 3over 2]
[eqn: = 19]

29. 통계	[eqn: 16]

정답

학생들의 통학 시간을 확률변수 [eqn: X``]라고 하면 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: {\N}(50,~sigma^2 )]을 따른다.

이때, 학생 [eqn: 16]명을 임의추출하여 조사한 통학 시간의 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {\N} LEFT ( 50,~ { sigma^2 } over { 16} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: {\P} (50 le bar{X``} le 56 )][eqn: = {\P} LEFT ( 50-50 over {sigma over 4 } le Z le { 56-50} over { { sigma} over { 4} } RIGHT )]
[eqn: = {\P} LEFT ( 0 le Z le { 24 } over {sigma } RIGHT )]
[eqn: = 0.4332]
[eqn: = {\P} (0 le Z le 1.5 )]

따라서 [eqn: { 24} over { sigma} = 1.5]이므로 [eqn: sigma = 16]이다.

30. 수열	[eqn: 392]

정답

(ⅰ) [eqn: n=1]이면

세 점 [eqn: (1,~2^1 )], [eqn: (2,~2^2 )], [eqn: (3,~2^3 )]을 정사각형과 그 내부에 포함할 때, 가장 작은 정사각형이 만들어지므로

[eqn: a_1 = 2times(2^3 - 2^1 ) = 12]

(ⅱ) [eqn: n=2]이면

세 점 [eqn: (1,~2^1 )], [eqn: (2,~2^2 )], [eqn: (3,~2^3 )]을 정사각형과 그 내부에 포함할 때, 가장 작은 정사각형이 만들어지므로

[eqn: a_2 = 2times(2^3 - 2^2 ) = 8]

(ⅲ) [eqn: n ge 3]이면

세 점 [eqn: (n-2,~2^n-2 )], [eqn: (n-1,~2^n-1 )], [eqn: (n,~2^n )]을 정사각형과 그 내부에 포함할 때, 가장 작은 정사각형이 만들어지므로

[eqn: a_n = 2times(2^n - 2^n-2 ) = 3times 2^n-1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: sum_k=1^7 a_k = 12+8 + 3 (2^2 +2^3 +cdots+2^6 )]

[eqn: = 20 +3 times {2^2 (2^5 -1 )} over 2-1]

[eqn: = 20 + 12 times31]

[eqn: = 392]