◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

수리 영역

‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수리 영역

‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2009학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						2

‘가’형

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: root {bold4} of {4^3} TIMES LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^ {- 3 over 2}]의 값은? [2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

2. [eqn: 2`log _{``3} ``2+`log _{``3} ``18-log _{``3} ``8`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. 세 행렬 [eqn: A= {pmatrix{````1``&`````1``#````1``&`````2``}} ``], [eqn: B= {pmatrix{```````2``&`-1``#```-1``&`````````1``}} ``], [eqn: C= {pmatrix{```````0``&```-1``#```-1``&``````````1``}} ``]에 대하여 행렬 [eqn: (A+B)C] 의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

4. 제 4 항이 [eqn: 86]이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열에서 첫째항부터 제 [eqn: n] 항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_n]이 최대가 되는 자연수 [eqn: n]의 값은?                                                          [3점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 27]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 29]

5. [eqn: sum _{k=1} ^{10} {(k+1) ^{2}} - sum _{k=1} ^{10} {(k-1) ^{2}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 190]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 210]	④ [eqn: 220]	⑤ [eqn: 230]

6. 두 양수  [eqn: x,~y] 에 대하여 연산 ∧를 [eqn: x∧y=x^y]으로 정의할 때,  <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a,~b,~c]는 양수이다.) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: (a∧b)^{`c} =a∧(b`c)] ㄴ. [eqn: a∧(b∧c)=(a∧b)∧c] ㄷ. [eqn: (a`b ) WEDGEc=(a WEDGE c )`(b WEDGE c)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7. [eqn: x= 1 over 3 `log_{``2} (5+2sqrt6 )]일 때, [eqn: 8^x -8^-x]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt2 -sqrt3]	② [eqn: sqrt2 +sqrt3]	③ [eqn: 2sqrt2]

④ [eqn: 2sqrt3]	⑤ [eqn: 4sqrt6]

8. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B] 에 대하여 연산 ◎ 를 [eqn: A ◎ B = AB+BA]로 정의할 때, 행렬 [eqn: LEFT {pmatrix { ```````3`&```2` `#-1` &``4`` }◎ {pmatrix { ```````3`&```2` `#-1` &``4`` }}^-1 RIGHT } ◎ {pmatrix { ``4`&``3` `#``1` &``1`` }}]은? [3점]

① [eqn: pmatrix { ``4`&`````3``` #``1` &````1` }]	② [eqn: pmatrix { ``8`&`````6``` #``2` &````2` }]	③ [eqn: pmatrix { `12`&`````9` #`3 &`````3` }]

④ [eqn: pmatrix { `16`&``12` #`4` &```4` }]	⑤ [eqn: pmatrix { `20`&``15` #`5` &```5` }]

9. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B``]가

[eqn: A-B= {pmatrix{``````````0``&```2``#``-2``&```1``}}], [eqn: A ^{2} `+B ^{2} = {pmatrix{````````0``&````````2``#`-1``&`-1``}} ``]
을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: AB``+BA`]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

10. 그림은 어느 해 [eqn: 3]월 달력의 일부분을 나타낸 것이다. 그림에 굵은 실선으로 표시된 직사각형 안에 있는 수 [eqn: a,] [eqn: b,~c,~d] 를 성분으로 하는 이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix { `a`&`b` #`c` &`d` }]에 대하여 연립방정식 [eqn: A pmatrix {`x ` # `y `}=pmatrix {`7 ` # `14 `}]의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta `] 라 하자.
[eqn: alpha-beta=1]일 때, 그 해의 [eqn: 4]월 [eqn: 14]일의 요일은? [4점]

① 월요일	② 화요일	③ 수요일	④ 목요일	⑤ 금요일

11. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이
[eqn: log _{2} `a _{1} +log _{2} `a _{2} +log _{2} `a _{3} + ``CDOTS` `+log _{2} `a _{n} =n ^{2} +n] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS])
을 만족시킬 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2^20]	② [eqn: 2^21]	③ [eqn: 2^22]	④ [eqn: 2^23]	⑤ [eqn: 2^24]

12. 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 직선 [eqn: y=nx], [eqn: y=2nx]에 동시에 접하는 어떤 원의 중심과 원점을 지나는 직선의 기울기를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} {a_n over n }]의 값은? (단, 원의 중심은 제[eqn: 1]사분면 위에 있다.)
[4점]

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 5 over 4]	④ [eqn: 6 over 5]	⑤ [eqn: 7 over 6]

13. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식
[eqn: sum _{k=1} ^{2n+1} `(n ^{2} `+k`)=`n ^{3} ``+(n+1) ^{3}]
이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(ⅰ) [eqn: n`=1`]일 때,

(좌변)=  , (우변)= 이므로

(가)

(가)

주어진 등식은  성립한다.

(ⅱ) [eqn: n`=m`]([eqn: m >= 1)]일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하자.

[eqn: sum _{k=1} ^{2(m+1)+1} left{(m+1) ^{2} ``+k``right}]

[eqn: =sum _{k=1} ^{2m+1} `left{(m+1) ^{2} `+k right}]+

(나)

[eqn: =sum _{k=1} ^{2m+1} `(m ^{2} +k)`+` sum _{k=1} ^{2m+1} `(2m+1)]+

(나)

[eqn: =]  + [eqn: (2m+1)^2] +

(다)

(나)

[eqn: =(m+1) ^{3} `+(m+2) ^{3}]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때에도 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 8]	[eqn: 2m ^{2} +8m+6]	[eqn: (m-1) ^{3} +(m+1) ^{3}]
②	[eqn: 8]	[eqn: 2m ^{2} +8m+7]	[eqn: (m-1) ^{3} +(m+1) ^{3}]
③	[eqn: 9]	[eqn: 2m ^{2} +8m+7]	[eqn: (m-1) ^{3} +(m+1) ^{3}]
④	[eqn: 9]	[eqn: 2m ^{2} +8m+7]	[eqn: m ^{3} +(m+1) ^{3}]
⑤	[eqn: 9]	[eqn: 2m ^{2} +8m+6]	[eqn: m ^{3}+(m+1) ^{3} `]

14. 첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]에서 임의의 연속된 [eqn: 2m+1]개의 항 [eqn: a _{k}`` ,~a _{k+1}`` ,~a _{k+2}`` ,~ CDOTS`` ,~a _{k+2m}]에 대하여
[eqn: a _{k} a _{k+1} CDOTS a _{k+m} =a _{k+m+1} a _{k+m+2} CDOTS a _{k+2m}]
일 때, [eqn: a _{k+m}]을 [eqn: b _{m}]이라 하자. 이 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: k,~m]은 자연수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: b _{1} =4] ㄴ. 수열 [eqn: b_1 ,~ b_2 ,~b_3 , cdots]은 등비수열이다. ㄷ. [eqn: sum _{m=1} ^{10} log_2 ``b_m =440]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 어떤 카메라에는 렌즈를 통하여 필름에 도달하는 빛의 양을 조절하는 장치인 조리개가 있다. 이 카메라에서 필름에 도달하는 빛의 양의 척도 [eqn: s]와 조리개 개방 수치 [eqn: f] 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.
[eqn: s=`2`log _{``2}``f]
필름에 도달하는 빛의 양의 척도가 [eqn: 2]일 때의 조리개 개방 수치를 [eqn: f_1], 필름에 도달하는 빛의 양의 척도가 [eqn: 6]일 때의 조리개 개방 수치를 [eqn: f_2]라 할 때, [eqn: {f_2 } over { f_1 }]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

16. <그림1>과 같은 두 종류의 연산 장치 , 가 있다.
2 이상의 두 자연수 [eqn: a,~b]에 대하여 연산 장치 에 두 수 [eqn: a,~b]가 입력될 때 출력되는 수 [eqn: p]는 [eqn: p=log _{`a} `b]이고, 연산 장치 에 두 수 [eqn: a,~b]가 입력될 때 출력되는 수 [eqn: q]는 [eqn: q=][eqn: root {bolda} of {b}]이다.

<그림1>

위의 두 종류의 연산 장치를 결합하여 만든 <그림2>의 각 연산 장치에서 출력되는 세 수 [eqn: x,~y,~z]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [4점]

<그림2>

① [eqn: x<y<z]	② [eqn: x<z<y]	③ [eqn: y<x<z]

④ [eqn: y<z<x]	⑤ [eqn: z<x<y]

17. 다음 규칙에 따라 그림의 [eqn: i]행 [eqn: j]열의 ○안에 수 [eqn: a_ij]를 써 넣으려고 한다. (단, [eqn: i=1,~2,~3,~cdots], [eqn: j=1,~2,~3,~cdots])

(가) 2행 4열, 3행 2열의 ○안에 각각 [eqn: 12], [eqn: 8]을 써 넣는다.

(나) 상수 [eqn: c]에 대하여 [eqn: a_i1 `,~a_i2 `,~a_i3 `, ~cdots]은 공차가 [eqn: c times i]인 등차수열이 되고, [eqn: a_1j `,~a_2j `,~a_3j `, ~cdots]은 공차가 [eqn: c times j]인 등차수열이 되도록 써 넣는다.

1열

2열

3열

4열

5열

6열

1행

2행

3행

4행

5행

6행

이 때, [eqn: 10]행 [eqn: 10]열의 ○안에 써 넣을 수는? [4점]

① [eqn: 196]	② [eqn: 197]	③ [eqn: 198]	④ [eqn: 199]	⑤ [eqn: 200]

18. [eqn: lim _{ n->inf} { (a^2 -2a-3)n^2 + (a+1)n +5} over {n+2} = b] ([eqn: b!=0])를 만족시키는 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

19. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]의 내부에 변 [eqn: rmA_1 B_1 ,~ C_1 D_1]을 지름으로 하는 두 반원을 그리고, 이 두 반원의 넓이의 합을 [eqn: S_1]이라 하자.
이 두 반원과 변 [eqn: rm B_1 C_1]으로 둘러싸인 부분에 내접하는 정사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]의 내부에 변 [eqn: rmA_2 B_2 ,~ C_2 D_2]를 지름으로 하는 두 반원을 그리고, 이 두 반원의 넓이의 합을 [eqn: S_2]라 하자.
이 두 반원과 변 [eqn: rm B_2 C_2]로 둘러싸인 부분에 내접하는 정사각형 [eqn: rmA_3 B_3 C_3 D_3]의 내부에 변 [eqn: rmA_3 B_3 ,~ C_3 D_3]를 지름으로 하는 두 반원을 그리고, 이 두 반원의 넓이의 합을 [eqn: S_3]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 두 반원의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S_n]의 값은? [4점]

[eqn: 2]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rmC_1]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmD_2]

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmC_2]

[eqn: rmC_3]

[eqn: rmB_3]

[eqn: rmD_4]

[eqn: rmA_4]

[eqn: rmD_3]

[eqn: rmC_4]

[eqn: rmB_4]

[eqn: rmA_3]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmC_2]

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmD_2]

[eqn: rmA_3]

[eqn: rmB_3]

[eqn: rmC_3]

[eqn: rmD_3]

① [eqn: {16} over {15} pi]	② [eqn: 25 over 24 pi]	③ [eqn: {36} over {35} pi]	④ [eqn: 45 over 44 pi]	⑤ [eqn: {49} over {48} pi]

20. 두 수열 [eqn: LEFT { `a_n` RIGHT }], [eqn: LEFT {` b_n `RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 두 수열 [eqn: LEFT { `a_n +b_n `RIGHT }], [eqn: LEFT { ` a_n -b_n `RIGHT }]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { ` b_n ` RIGHT }]은 수렴한다. ㄴ. 두 수열 [eqn: left {a_n over n+1 right}], [eqn: left {` b_n over n `right}]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: left{` b_n over a_n ` right}]은 수렴한다. (단, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n !=0]이다.) ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n a_n]이 수렴하면 수열 [eqn: left{ ` a_n ` right}]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 원점 [eqn: rmO]에서 시작하여 [eqn: rm A _{1} (1,~1)], [eqn: rm A _{2} (0,~2)], [eqn: rm A _{3} (-2,~0)], [eqn: rm A _{4} (0,~-2)], [eqn: rm A _{5} (3,~1),] [eqn: CDOTS,] [eqn: rm A_{it k} {it(0,~m)}]의 순서대로 각 점을 연결하는 선분을 긋는다. 그어진 모든 선분의 길이의 합이 [eqn: 380root2]일 때, [eqn: m]의 값은? [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmA_3]

[eqn: rmA_4]

[eqn: rmA_5]

[eqn: rmA_6]

[eqn: rmA_7]

[eqn: rmA_8]

[eqn: rmA_9]

[eqn: rmA_11]

[eqn: rmA_12]

[eqn: rmA_13]

[eqn: x]

[eqn: rmA_10]

[eqn: y]

① [eqn: -20]	② [eqn: -18]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

단답형(22~30)

22. 행렬 [eqn: A= pmatrix{```````2``&`````````5``#-1`&`-2``} `]에 대하여 행렬 [eqn: A +A^5 +A^9]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

23. [eqn: log ``x]의 지표가 [eqn: 4]이고 [eqn: log`` x]와 [eqn: log ``sqrt { 3} of { x}``]의 가수가 같을 때, [eqn: log``x= {q} over {p}]이다. 이 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

24. [eqn: 3]의 [eqn: n]제곱근 중 실수의 개수를 [eqn: f(n)]이라 할 때,
[eqn: f(2)+f(3)+f(4)+``cdots``+f(10)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n]은 [eqn: 2] 이상의 자연수이다.) [3점]

25. 이차정사각행렬 [eqn: A]가 [eqn: A^2 = {pmatrix{`1`&``0`#`0`&``2`}}]를 만족시킬 때,
행렬 [eqn: 16 LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{8}]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: A^-1]는 [eqn: A]의 역행렬이다.) [3점]

26. 공비가 양수인 등비수열 {[eqn: {a_n }]}에서 [eqn: a_2 = 4], [eqn: a_4 = 16]이다.
[eqn: sum _{ n=1} ^{8 } 1 over a_n = q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q] 는 서로소인 자연수이다.) [3점]

27. 실수 [eqn: t]의 값에 관계없이 행렬 [eqn: pmatrix{`t```&`4t-1`#`1```&`t+2p`}]의 역행렬이 존재하도록 하는 자연수 [eqn: p]에 대하여, 수열 [eqn: left{ a_n right}]이

[eqn: a_1 = `-2], [eqn: a_n+1 = a_n +pn+ 3] ([eqn: n`=`1,~2,~3,~ CDOTS])

을 만족시킬 때, [eqn: a_10]의 값을 구하시오. [4점]

28. 다음 순서도에서 인쇄되는 값 [eqn: S]에 대하여 [eqn: 100S]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: n`=`99~?]

[eqn: S] 를 인쇄

끝

[eqn: n`` larrow`` n+1]

예

아니오

시작

[eqn: S``larrow`S + 1 over {m}]

[eqn: n` larrow ``1]

[eqn: m `larrow `0]

[eqn: S``larrow``0]

[eqn: m`←`m+n]

29. 등식 [eqn: [log``x]=3 LEFT ( log``x-[log``x] RIGHT )]를 만족시키는 모든 양수 [eqn: x]의 값의 곱을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: 10``log``A]의 값을 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

30. 다음 두 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: r]의 값의 합을 구하시오.                                                        [4점]

(가) 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {r-5} over {8} RIGHT ) ^{n}]이 수렴한다.

(나) [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{n+1} -7 ^{n} +2} over {r ^{n} +7 ^{n+1} +2 ^{n-1}} ``=`- {1} over {7}}]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.