ipsi.visang.com

2017 수능 해설

2016년 11월 17일(목) 시행

2017학년도 대학수학능력시험 해설

2교시  <수학 영역>

비상교육

￭ 본 해설은 비상 모의고사 출제개발부

교과 연구팀에서 작성한 자료입니다.

수학 영역_가형

1. ⑤	2. ②	3. ⑤	4. ④	5. ③

6. ⑤	7. ①	8. ①	9. ②	10. ③

11. ④	12. ④	13. ③	14. ①	15. ④

16. ②	17. ②	18. ③	19. ①	20. ⑤

21. ④	22. [eqn: 10]	23. [eqn: 6]	24. [eqn: 16]	25. [eqn: 7]

26. [eqn: 11]	27. [eqn: 32]	28. [eqn: 12]	29. [eqn: 45]	30. [eqn: 222]

1. 평면벡터	⑤

수학 영역(가형)

정답

[eqn: {vec{a}} - {vec{b}} =(1,~3)-(5,~-6)=(-4,~9)]

따라서 벡터 [eqn: vec a - vecb]의 모든 성분의 합은 [eqn: -4+9=5]이다.

2. 지수함수와 로그함수	②

정답

[eqn: lim _{ x->0} { } {e^6x -1 } over {ln (1+3x)}][eqn: = 2 lim _{ x->0} { e^6x-1 } over 6x times lim _{ x->0} { 3x} over {ln (1+3x)}]
[eqn: =2 times 1 times 1 =2]

3. 적분법	⑤

정답

[eqn: int _{ 0} ^{pi over 2 } {2sin x dx }][eqn: =2 LEFT [ - cos x RIGHT ]_0 ^{pi over2}][eqn: =2 LEFT { - cos pi over2 - LEFT ( -cos 0RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =2(0+1)=2]

4. 확률	④

정답

[eqn: rmP(itB ^{C} `)= {1} over {3}]에서 [eqn: rmP(itB) = 1- 1 over 3 = 2 over 3]

[eqn: P(A vert B)][eqn: = rm{rmP(itA SMALLINTERB)}over{ P(it B)][eqn: = rm{P(itA)rmP(itB)} over {2 over 3}][eqn: = 1 over 2]

이므로 [eqn: rmP(itA)rm P(itB)= 1 over 2 times 2 over 3 = 1 over 3]

5. 순열과 조합	③

정답

만든 네 자리의 자연수가 [eqn: 5]의 배수이려면 일의 자리는 [eqn: 5]이어야 한다.

나머지 [eqn: 3]자리에는 [eqn: 5]개의 수가 중복으로 들어갈 수 있으므로 구하는 경우의 수는 [eqn: ` _{5} rm SMALLPROD _{3} =5 ^{3} =125]

6. 미분법	⑤

정답

[eqn: f(x)=x^3 +x+1]에서

[eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: g(1)=0]이다.

[eqn: f'(x)=3x^2 +1]이므로

[eqn: f'(g(1))=f'(0)=1]

[eqn: THEREFORE~][eqn: g'(1) = 1 over { f'(g(1))} = 1 over 1 =1]

7. 확률	①

정답

주사위 한 개를 던져 [eqn: 4]의 눈이 나올 확률은 [eqn: 1 over 6]이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: ` _{3}rm C _{1} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}][eqn: = 3 times 1 over 6 times 25 over 36]
[eqn: = 25 over 72]

8. 공간도형과 공간벡터	①

정답

두 점 [eqn: {rm A}(1,~a,~-6),] [eqn: {rm B}(-3,~2,~b)]에 대하여

선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 3:2]로 외분하는 점은

[eqn: LEFT ( -9-2 over 3-2 ,~ 6-2a over 3-2 ,~ 3b+12 over 3-2 RIGHT )]

[eqn: (-11,~6-2a,~3b+12)]

이때, 이 점이 [eqn: x]축 위에 있으므로

[eqn: 6-2a=0,] [eqn: 3b+12=0]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a=3,~b=-4,~a+b=-1]

9. 적분법	②

정답

[eqn: int _{ 1} ^{e } {ln x over e dx }][eqn: =int _{ 1} ^{e } {ln x dx - }int _{ 1} ^{e } ln e dx]
[eqn: =LEFT [ x ln x RIGHT ]_1 ^e - int _{ 1} ^{e } 1 dx - int _{ 1} ^{e } 1 dx]
[eqn: =e-2 [x]_1 ^e = e- 2(e-1)]
[eqn: =2-e]

10. 평면운동	③

정답

[eqn: x=t- 2 over t ,] [eqn: y= 2t + 1 over t]에서

[eqn: dx over dt = 1+ 2 over t^2 ,] [eqn: dy over dt = 2- 1 over t^2]

이므로 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rm P]의 속도는 [eqn: (3,~1)]

따라서 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rm P]의 속력은 [eqn: root {3^2 +1^2 } = root 10]이다.

11. 적분법	④

정답

[eqn: f(x)= root x +1]이라 하면 구하는 입체도형의 부피는

[eqn: int _{ 0} ^{1 } LEFT { f(x) RIGHT }^2 dx]

[eqn: =int _{ 0} ^{1 } ( root x +1)^2 dx][eqn: =int _{ 0} ^{1 } (x+2root x +1)dx]
[eqn: =LEFT [ x^2 over2 + {4x^{3 over2} over 3 +x RIGHT ]_0^1][eqn: = 1 over2 + 4 over 3 +1 = 17 over 6]

12. 공간도형과 공간벡터	④

정답

평면 [eqn: 2x+2y-z+5=0]의 법선벡터를 [eqn: vec n_1]이라 하면

[eqn: vec n_1 = (2,~2,~-1)], [eqn: xy]평면의 법선벡터를 [eqn: vec n_2]라 하면

[eqn: vec n_2 = (0,~0,~1)] 따라서

[eqn: cos theta][eqn: = {LEFT | `` {vec{n _{1}}} ` BULLET ` {vec{n _{2}}} `` RIGHT |} over {LEFT | `` {vec{n _{1}}} `` RIGHT | `` LEFT | `` {vec{n _{2}}} `` RIGHT |} = {LEFT | `(2,~2,~-1) BULLET (0,~0,~1)` RIGHT |} over {sqrt {4+4+1} TIMES sqrt {0+0+1}}]
[eqn: = { LEFT | ``2 TIMES 0 + 2TIMES 0 +(-1) TIMES 1``RIGHT |} OVER {3 TIMES 1} = 1 OVER 3]

13. 통계	③

정답

확률변수 [eqn: BAR {X``}]는 정규분포 [eqn: rmN LEFT ( 0,~ LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따르고, 확률변수 [eqn: bar{Y``}]는 정규분포 [eqn: rmN LEFT ( 3,~ LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^2 RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rmP( bar {itX``} GEQ 1)= P( bar{itY``} LEQita)rm]에서

[eqn: rmP LEFT ( {bar{itX``}-0} over {4 over 3} GEQ 1-0 over {4 over 3} RIGHT )= P LEFT ( {bar{itY``} -3 } over {1 over 2} LEQita-3 over {1 over 2} RIGHT )]

[eqn: rmP LEFT ( itZ GEQ 3 over 4 RIGHT ) =rm P LEFT ( itZ LEQ2(a-3) RIGHT )]

이므로 [eqn: 3 over 4 = - 2(a-3),] [eqn: 2a= 21 over 4]   [eqn: THEREFORE] [eqn: a= 21 over 8]

14. 삼각함수	①

정답

직각삼각형 [eqn: rm POH]에서 [eqn: rm bar PH = sin theta ,] [eqn: rm bar OH = cos theta]이고,

직각삼각형 [eqn: rm ABO]에서 [eqn: rm bar AO = bar BO]이고

[eqn: rm bar BO □bar PH]이므로 직각삼각형 [eqn: rm AQH]에서

[eqn: rm bar QH = bar AH]이다.

따라서 [eqn: rm bar AH = bar OA - bar OH = 1- cos theta]이므로

[eqn: S( theta)= 1 over 2 times (1-cos theta)^2]

[eqn: THEREFORE~][eqn: lim _{ theta ->0+} { }{S( theta)} over theta^4][eqn: =lim _{ theta ->0+}{ 1 over 2 times (1-cos theta)^2} over theta^4]
[eqn: =lim _{ theta ->0+}{(1- cos theta)^2 (1+cos theta)^2} over {2 theta^4 (1+cos theta)^2}]
[eqn: =lim _{ theta ->0+}{(1-cos^2 theta)^2} over {2 theta^4 (1+cos theta)^2}]
[eqn: =lim _{ theta ->0+} LEFT { 1 over {2(1+cos theta)^2} times {sin^4 theta} over theta^4 RIGHT }]
[eqn: = 1 over 8 times 1 = 1 over 8]

15. 미분법	④

정답

점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (0,~2e^-t )]이고

[eqn: f(x)=2e^-x]이라 하면

[eqn: f'(x)=-2e^-x ,] [eqn: f'(t)=-2e^-t]이므로

점 [eqn: {rm P}(t,~2e^-t )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y= -2e^-t (x-t)+2e^-t]

따라서 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: (0,~2e^-t (t+1))]이므로 삼각형 [eqn: rm APB]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하면

[eqn: S(t)][eqn: = 1 over 2 times t times LEFT { 2e^-t (t+1) -2e^-t RIGHT }]
[eqn: = t over 2 times 2e^-t times t = t^2 e^-t]

[eqn: S`` prime (t)=2te ^{-t} -t ^{2} e ^{-t} =te ^{-t} (2-t)]

[eqn: S`` prime (t)=0]에서 [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=2]

함수 [eqn: S(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: (0)]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: S`` prime (t)]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S(t)]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

따라서 [eqn: t=2]일 때, [eqn: S(t)]는 극대이면서 최댓값을 가진다.

16. 공간도형과 공간벡터	②

정답

[eqn: rm bar AB = LEFT | ``vec AB``RIGHT |= LEFT | ``vec OB`` -vecOA``RIGHT |][eqn: = LEFT | ``vec b``-vec a``RIGHT |]

[eqn: LEFT | ``vec b``-vec a``RIGHT |^2][eqn: = LEFT | `` {vec{b}} `` RIGHT | ^{2} -2( {vec{a}} ` BULLET ` {vec{b}} )+= LEFT | `` {vec{a}} `` RIGHT | ^{2}]
[eqn: `=2-2+2=2]

[eqn: THEREFORE~][eqn: rm {bar{AB}} ^{2} =2]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: rm bar AC = LEFT | ``vec AC``RIGHT |= LEFT | ``vecOC``-vec OA``RIGHT |][eqn: = LEFT | ``vec c``-vec a``RIGHT |]

[eqn: LEFT | ``vec c``-vec a``RIGHT |^2][eqn: = LEFT | `` {vec{c}} `` RIGHT | ^{2} -2( {vec{a}} ` BULLET ` {vec{c}} )+ LEFT | `` {vec{a}} `` RIGHT | ^{2}]
[eqn: `=2+2 sqrt {2} +2=4+2 sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE~][eqn: rm {bar{AC}} ^{2} =4+2 sqrt {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

[eqn: rm bar{BC} = LEFT | `` vec{BC} `` RIGHT | = LEFT | `` vec{OC} ``- vec{OB} `` RIGHT |][eqn: = LEFT | `` vec{c} ``- vec{b} `` RIGHT |]

[eqn: LEFT | `` vec{c} ``- vec{b} `` RIGHT | ^{2}][eqn: = LEFT | `` {vec{c}} `` RIGHT | ^{2} -2( {vec{c}} ` BULLET ` {vec{b}} )+ LEFT | `` {vec{b}} `` RIGHT | ^{2}]
[eqn: `=2-0+2=4`]

[eqn: THEREFORE~][eqn: rm {bar{BC}} ^{2} =4]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 [eqn: rm bar AB < bar BC < bar AC]

17. 통계	②

정답

점 [eqn: (x,~y)]에서 세 점 [eqn: (x+1,~y),] [eqn: (x,~y+1),]

[eqn: (x+1,~y+1)] 중 한 점으로 이동하는 것을 각각 [eqn: A,] [eqn: B,] [eqn: C]라 하고, 점 [eqn: (0,~0)]에서 점 [eqn: (4,~3)]까지 이동하는 모든 경우의 수를 [eqn: N]이라 하자.

이때, 가장 적은 횟수로 이동하는 경우는 [eqn: A _{,~} A,~A,~C]로 이동하는 경우이므로

확률변수가 [eqn: X]가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값을 [eqn: k]라 하면 [eqn: k=``4``]이고, 가장 큰 값은 [eqn: k+3]이다.

이동하는 횟수가 [eqn: 6]인 경우는 [eqn: A,~A,~A,~B,~B,~C]로 이동하는 경우이므로

[eqn: rm P( it X=6)= {1} over {N} ` TIMES {6!} over {3! TIMES 2! TIMES 1} = {1} over {N} ` TIMES ``60]

[eqn: sum _{i=k} ^{k+3} rmP(itX=i)=1]이므로

[eqn: 4 over N + 30 over N + 60 over N + 35 over N = 129 over N =1]

[eqn: THEREFORE~][eqn: N=``129]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a=4,] [eqn: b=60,] [eqn: c=129]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a+b+c=193]

18. 통계	③

정답

조건 (가)에서

[eqn: f(10)>f(20)]이므로

[eqn: 15>m]

조건 (나)에서

[eqn: f(4)<f(22)]이므로

[eqn: 13<m]

즉, [eqn: 13<m<15]인 자연수이므로 [eqn: m=14]이다.

[eqn: THEREFORE~][eqn: rmP(17 LEQitX LEQ18)]
[eqn: =rmP LEFT ( 17-14 over 5 LEQitZ LEQ 18-14 over 5 RIGHT )]
[eqn: rm=P(0.6 LEQitZ LEQ0.8)]
[eqn: =rmP(0 LEQitZ LEQ0.8)-rmP(0 LEQitZ LEQ0.6)]
[eqn: =0.288-0.226=0.062]

19. 이차곡선	①

정답

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x_1 ,~y_1 )]라 하면

점 [eqn: rmP]에서 포물선 [eqn: y^2 =4px]에 그은 접선의 방정식은

[eqn: y_1 y =2p(x+x_1 )]이므로

접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -x _{1}]이다.

따라서 [eqn: k=x_1]이므로 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: k]이다.

즉, 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

점 [eqn: rm H]의 좌표는 [eqn: (k,~0)]이다.

직각삼각형 [eqn: rm AOF]에서 [eqn: {rm bar FO} = tan30ﾟ times bar {rm AO} = k over root 3]이고,

직각삼각형 [eqn: rm AOF]와 직각삼각형 [eqn: rm AHP]는 서로 닮음이고 닮음비가 [eqn: 1:2]이므로 [eqn: rm bar PH =][eqn: 2k over root 3]이다.

[eqn: rm bar AF = bar FP = bar PH]이므로 [eqn: rm bar AF = barFP =][eqn: 2k over root 3]

[eqn: rm bar {PF'}][eqn: = root { k^2 + LEFT ( 3k over root 3 RIGHT )^2 } = 2k]이므로

타원의 장축의 길이는

[eqn: rm bar PF + bar PF'][eqn: = 2k over root 3 +2k][eqn: = {2 root 3 k +6k} over 3]
[eqn: = {2 k ( root 3 +3)} over 3][eqn: = 4 root 3 +12]

이므로 [eqn: k=6]

이때, 점 [eqn: rm P(6,~ 4 root 3 )]이 포물선 [eqn: y^2 =4px] 위의 점이므로

[eqn: 48=4times p times 6,] [eqn: 48 =24p]

[eqn: THEREFORE~][eqn: p=2]

[eqn: THEREFORE~][eqn: k+p=6+2=8]

20. 적분법	⑤

정답

ㄱ. (참) [eqn: f(root pi )][eqn: =e^{-rootpi} int _{ 0} ^{root pi } { }sin(t^2 )dt]
이때, [eqn: e ^{- sqrt {pi }} >0,] [eqn: int _{ 0} ^{root pi } { }sin(t^2 )dt GEQ0]이므로

[eqn: f(root pi )>0]이다.

ㄴ. (참) [eqn: f(x)=e^-x int _{ 0} ^{ x} sin(t^2 )dt{ }]에서
[eqn: f'(x)=-e^-x int _{ 0} ^{ x} sin(t^2 )dt{ } + e^-x sin(x^2 )]이므로
[eqn: f'(0)=0], [eqn: f'(root pi ) = - 1 over e]
함수 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,~root pi ]]에서 연속이고, 열린 구간 [eqn: (0,~ root pi )]에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여 [eqn: f(a) = {root pi -f(0)} over {root pi -0} >0]을 만족시키는 [eqn: a]가 열린 구간 [eqn: (0,~ root pi )]에 적어도 하나 존재한다.

ㄷ. (참) ㄴ에서 [eqn: f(x)]가 닫힌 구간 [eqn: [0,~root pi ]]에서 연속이고, [eqn: f'(a)>0,] [eqn: f'(root pi )<0]이므로 사잇값정리에 의하여 [eqn: f'(b)=0]을 만족시키는 [eqn: b]가 열린 구간 [eqn: (0,~root pi )]에서 적어도 하나 존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. 적분법	④

정답

열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 [eqn: f(x)=0]인 [eqn: x]가 존재하고,

이때 [eqn: x]의 값을 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: f( alpha)=0]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { }f(x)dx=2,] [eqn: int _{ 0} ^{1 } { } LEFT | ``f(x)``RIGHT |``dx=2 root 2]

이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A,] 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: B]라 하면 [eqn: A+B=2 root 2 ,] [eqn: A-B=2]

위의 두 식을 연립하면 [eqn: A=1+root 2 ,] [eqn: B=-1+ sqrt {2}]

따라서

[eqn: int _{ 0} ^{ alpha } { }f(x)dx=1+ root 2 ,] [eqn: int _{alpha } ^{1} {f(x)} `dx=-1+ sqrt {2}]

[eqn: int _{0 } ^{ 1} { }f(x) F(x) dx][eqn: =int _{0 } ^{ alpha } f(x)F(x)dx + int _{ alpha } ^{1 } { }f(x)F(x)dx]

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {} LEFT | ``f(t)`` RIGHT | dt]에서 [eqn: F`` prime (x)= LEFT | ``f(x)`` RIGHT |]

(ⅰ) [eqn: 0<x< alpha]이면 [eqn: f(x)=-F`` prime (x)]이므로

[eqn: int _{0} ^{alpha } {} f(x)F`(x)dx][eqn: = int _{0} ^{alpha } {} -F`` prime (x)F`(x)dx]
[eqn: =- {1} over {2} int _{0} ^{alpha } {} 2F`` prime (x)F`(x)dx]
[eqn: = - 1 over 2 LEFT [ LEFT { F(x) RIGHT }^2 RIGHT ]_0 ^ alpha]

[eqn: LEFT ( BECAUSE ~2F`` prime (x)F(x)= {d} over {dx} LEFT { F(x) RIGHT } ^{2} RIGHT )]

[eqn: = - 1 over 2 LEFT { F( alpha) RIGHT }^2 + 1 over 2 LEFT { F(0) RIGHT }^2]

[eqn: =- 1 over 2 ( root 2 -1)^2]

(ⅱ) [eqn: 0<x< 1]이면 [eqn: f(x)=F(x)]이므로

[eqn: int _{ alpha } ^{ 1 } { }f(x)F(x)dx][eqn: = {1} over {2} int _{alpha } ^{1} {} -F`` prime (x)F(x)dx]
[eqn: = 1 over 2 LEFT [ LEFT { f(x) RIGHT }^2 RIGHT ]_ alpha ^1]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { F(1) RIGHT } ^{2} - {1} over {2} LEFT { F( alpha ) RIGHT } ^{2}]

[eqn: = {1} over {2} ( 2sqrt {2} )^2 - 1 over 2 (root 2 -1) ^{2}]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { }f(x)F(x)dx]

[eqn: = - 1 over 2 (root 2 -1)^2 + 1 over 2 (2 root 2 )^2 - 1 over 2 (root 2 -1)^2]

[eqn: =4-(ROOT 2 -1)^2 = 4-(3-2ROOT 2 )]

[eqn: =1+2 ROOT 2]

22. 순열과 조합	[eqn: 10]

정답

[eqn: ` _{4} rm H _{2} = _{4+2-1} C _{2} = _{5} C _{2} = {5 TIMES 4} over {2 TIMES 1} =10]

23. 지수함수와 로그함수	[eqn: 6]

정답

[eqn: LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^x-5 GEQ4,] [eqn: 2^{-x+5} GEQ2^2]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: -x+5 GEQ2,] [eqn: -x GEQ-3,] [eqn: x LEQ 3]

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 1+2+3=6]

24. 공간도형과 공간벡터	[eqn: 16]

정답

구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 +2y-3=0]은

[eqn: x^2 +(y+1)^2 +z^2 =4]이므로 중심이 [eqn: (0,~-1,~0)]이고,

반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구이다.

평면 [eqn: x+8y-4z+k=0]이

구 [eqn: x^2 +(y+1)^2 +z^2 =4]에 접하려면

중심 [eqn: (0,~-1,~0)]과 평면 [eqn: x+8y-4z+k=0] 사이의

거리가 반지름의 길이 [eqn: 2]와 같아야 한다.

[eqn: {LEFT | ``-8+k`` RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +8 ^{2} +(-4) ^{2}}} = {LEFT | ``-8+k`` RIGHT |} over {9} =2]

[eqn: LEFT | -8+k`` RIGHT | =18]

따라서 [eqn: -8+k=18] 또는 [eqn: -8+k=-18]

이므로 [eqn: k=26] 또는 [eqn: k=-10]

따라서 구하는 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 26+(-10)=16]이다.

25. 삼각함수	[eqn: 7]

정답

[eqn: cos^2 x - sin x =1], [eqn: (1-sin^2 x ) - sin x -1=0]

[eqn: sin^2 x + sinx =0,] [eqn: sinx (sinx +`1)=0]

[eqn: THEREFORE~][eqn: sinx =0] 또는 [eqn: sinx =-1]

[eqn: THEREFORE~][eqn: x=pi] 또는 [eqn: x= 3 over 2 pi]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: pi + 3 over2 pi = 5 over 2 pi]

[eqn: THEREFORE~][eqn: p=2,] [eqn: q=5], [eqn: p+q=7]

26. 확률	[eqn: 11]

정답

갑이 주머니 [eqn: A]에서 을은 주머니 [eqn: B]에서 각각 [eqn: 2]장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 [eqn: ` _{4} rmC _{2} TIMES _{4} C _{2} = {4 TIMES 3} over {2 TIMES 1} TIMES {4 TIMES 3} over {2 TIMES 1} =36]

갑과 을이 각각 꺼낸 [eqn: 2]장의 카드의 합이 같은 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 갑과 을이 꺼낸 [eqn: 2]장의 카드가 동일한 경우:
[eqn: `_4 rmC_2 = {4 times 3} over {2 times 1} =6](가지)

(ⅱ) 갑이 [eqn: 1,] [eqn: 4,] 을이 [eqn: 2,] [eqn: 3]을 꺼낸 경우 또는 갑이 [eqn: 2,] [eqn: 3,] 을이 [eqn: 1,] [eqn: 4]를 꺼낸 경우: [eqn: 2]가지

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 [eqn: 6+2 over 36 = 8 over 36 = 2 over 9]

[eqn: THEREFORE~][eqn: p=9,] [eqn: q=2,] [eqn: p+q=11]

27. 순열과 조합	[eqn: 32]

정답

방정식 [eqn: a+b+c=7]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a,] [eqn: b,] [eqn: c]의 순서쌍[eqn: (a,] [eqn: b,] [eqn: c)]의 개수는 서로 다른 [eqn: 3]개에서 중복을허락하여 [eqn: 7]개를 선택하는 수와 같다.

[eqn: ` _{3} rm H _{7} = _{3+7-1} C _{7} = _{9} C _{7} = _{9} C _{2} = {9 TIMES 8} over {2 TIMES 1} =36]

이때, 조건 (나)를 만족시키지 않는 [eqn: a,] [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,] [eqn: b)]는 [eqn: (0,~0),] [eqn: (0,~1),] [eqn: (1,~0),] [eqn: (2,~0)]이므로 구하는 순서쌍 [eqn: (a,] [eqn: b,] [eqn: c)]의 개수는 [eqn: 36-4=32]이다.

28. 이차곡선	[eqn: 12]

정답

주어진 쌍곡선의 방정식을 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 =1](단, [eqn: a>0,] [eqn: b>0)]이라 하면 점근선의 방정식이 [eqn: y= +- b over a x]이므로

[eqn: b over a = 4 over 3 ,] [eqn: b= 4 over 3 a]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

이때, 조건 (가)에서 [eqn: rm bar PF' >bar PF]이므로 쌍곡선 정의에 의하여

[eqn: rm bar PF' -bar PF][eqn: =2a]

[eqn: rm bar PF = bar PF'][eqn: -2a=30-2a]

[eqn: 16 LEQrm bar PF LEQ20]이므로 [eqn: 16 LEQ30-2a LEQ20]

[eqn: -14 LEQ -2a LEQ -10,] [eqn: 5 LEQ a LEQ 7]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

쌍곡선 정의에 의해

[eqn: c= root{a^2 +b^2 }][eqn: =root {a^2 + 16 over 9 a^2} ( BECAUSE~㉠)]
[eqn: = root {25 over 9 a^2 }= 5 over 3 a]

이므로 점 [eqn: rm F]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 5 over 3 a ,~ 0 RIGHT )]이고

점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (a,~0)]이므로

[eqn: rm bar AF][eqn: = 5 over 3 a -a = 2 over 3a]

[eqn: rm bar AF]의 길이가 자연수이므로 [eqn: a]는 [eqn: 3]의 배수이어야 한다.

따라서 ㉡에서 [eqn: a=6]이므로 구하는 쌍곡선의 주축의 길이는 [eqn: 2a=2 times 6=12]이다.

29. 공간도형과 공간좌표	[eqn: 19]

정답

정사면체 [eqn: rm ABCD]에 대하여 점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 평면 [eqn: rm BCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하고, 점 [eqn: rm H]의 좌표를 [eqn: (0,~0,~0)]으로 놓으면 [eqn: rm C(2,~0,~0),]

[eqn: rm D(0,~ 2 root 3 ,~ 0)]이며, [eqn: rm bar AH =2 root 3]이고, 선분 [eqn: rm AH]와 평

면 [eqn: rm BCD]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos theta = 1 over 3]이므로 [eqn: rm {bar{AI}} = {4 sqrt {6}} over {3} ,] [eqn: rm {bar{HI}} = {2 sqrt {3}} over {3}]

따라서 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~{2 root 3} over 3 ,~{4 root 6 }over 3 RIGHT )]이다.

그러므로 주어진 정사면체와 점을 좌표공간에 나타내면

다음과 같다.

[eqn: theta]

점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm AD]의 중점이므로

[eqn: rm P it LEFT ( 0,~ {{2 sqrt {3}} over {3} +2 sqrt {3}} over {2} ,~ {{4 sqrt {6}} over {3} +0} over {2} RIGHT )]

[eqn: rmP LEFT ( 0,~{4root 3 } over 3 ,~ {2 root 6} over 3 RIGHT )]

점 [eqn: rm O]는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심, 즉 선분 [eqn: rm AH]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로

[eqn: rm O LEFT ( 0 over {2+1} ,~{0+{2 root3 } over 3} over 2+1 ,~{0+{4 root 6} over 3} over 2+1RIGHT )][eqn: rm O LEFT ( 0,~{2 root 3 } over 9 ,~{4 root6} over 9 RIGHT )]이다.

이때, [eqn: rm vec OP]를 법선벡터로 가지는 평면을 [eqn: alpha,] 평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: rm BCD]의 교선을 [eqn: l]이라 하면 점 [eqn: rm Q]는 직선 [eqn: l] 위의 점이고, [eqn: LEFT | ``rm vecPQ``RIGHT |]가 최대일 때는 점 [eqn: rm Q]가 직선 [eqn: l]과 선분 [eqn: rm DC]의 교점일 때이다.

[eqn: rm vec OP][eqn: = rm vec HP - vec HO]
[eqn: =LEFT ( 0,~ {4root 3} over 3 ,~ {2 root 6} over 3RIGHT )- LEFT ( 0,~{2 root3} over 9 ,~{4root6} over 9 RIGHT )]
[eqn: =LEFT ( 0,~ {10 root3 } over 9 ,~ {2 root6 }over 9RIGHT )]

[eqn: rm vec OP], 즉 [eqn: LEFT ( 0,~15,~3 root 2 RIGHT )]를 법선벡터로 가지고

점 [eqn: rm O LEFT ( 0,~{2 root 3} over 9 ,~{4 root6} over 9 RIGHT )]을 포함하는 평면의 방정식은

[eqn: 0(x-0)+15 LEFT ( y- {2 root 3 }over 9 RIGHT ) + 3 root 2 LEFT ( z- {4 root 6} over 9 RIGHT )=0]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

이고,

직선 [eqn: rm DC]의 방정식은

[eqn: x-2 over 2-0 = y-0 over {0-2root 3} ,] [eqn: z=0]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

점 [eqn: rm Q]가 평면 ㉠과 직선 ㉡의 교점일 때, [eqn: LEFT | ``rm vec PQ``RIGHT |]가 최대가 된다.

[eqn: z=0]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 15 LEFT ( y- {2 sqrt {3}} over {9} RIGHT ) +3 sqrt {2} TIMES LEFT ( - {4 sqrt {6}} over {9} RIGHT ) =0]

[eqn: 15y=6 sqrt {3} ,] [eqn: y= {2 sqrt {3}} over {5}]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: x-2 over 2 = {2 root 3 }over 5 over {-2root3},] [eqn: x-2 over 2 = - 1 over 5]

[eqn: x-2=- 2 over 5 ,] [eqn: x= 8 over 5]

따라서 점 [eqn: rm Q]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 8 over 5 ,~ {2 root 3} over 5 ,~0 RIGHT )]이다.

따라서 구하는 [eqn: LEFT | ``rm vec PQ``RIGHT |]의 최댓값은

[eqn: sqrt {LEFT ( {8} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2 sqrt {3}} over {5} - {4 sqrt {3}} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( - {2 sqrt {6}} over {3} RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: =root {64 over 25 + LEFT ( {-14 root 3} over 15 RIGHT )^2 + 24 over 9]
[eqn: = root {64 over 25 + 196 over 75 + 8 over 3 }][eqn: = root {{192+196+200} over 75}]
[eqn: =root {588 over 75} = {14 root 3 } over {5root 3} = 14over 5]

[eqn: THEREFORE~][eqn: p=5,] [eqn: q=14,] [eqn: p+q=19]

30. 미분법	[eqn: 216]

정답

조건 (가)에서 [eqn: x>a]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: (x-a)f(x)=g(x)]이므로

[eqn: g(a)=0]이면 [eqn: g(x)]는 [eqn: (x-a)]를 인수로 가지므로 함수[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 삼차함수가 되어 모순이 된다. 따라서 [eqn: g(a)!=0,] 즉 [eqn: (x-a)]를 인수로 갖지 않으므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(x)= {g(x) over x-a][eqn: (x>a)]의 다항함수가 아닌 유리함수이다.

이때, 함수 [eqn: f(x)]는 미분가능하므로 함수 [eqn: g(x)]도 미분가능하다.

조건 (나)에서 [eqn: f( alpha)=f( beta)=M]이고,

[eqn: f'( alpha)=f'( beta)=0]이므로

[eqn: f(x)]는 [eqn: (x- alpha)^2 ,] [eqn: (x- beta)^2]을 인수로 갖고, 함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형이 오른쪽 그림과 같으므로 방정식 [eqn: f(x)=M,] 즉

[eqn: g(x) over x-a =M,] [eqn: g(x)-M(x- a)=0]은

중근 [eqn: alpha,] 중근 [eqn: beta]만을 가지고, [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 사차함수이므로

[eqn: g(x)-M(x-a)][eqn: =-(x- alpha)^2 (x- beta)^2]

[eqn: THEREFORE~][eqn: g(x)=-(x- alpha)^2 (x- beta)^2 +M(x-a)]

[eqn: g'(x)=-2(x- alpha)(x- beta)^2 -2(x- alpha)^2 (x- beta)+M]

한편, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: 3]개의 극값을 가지므로 조건 (다)에서 [eqn: g(x)]는 극값이 [eqn: 3]개보다 작다.

따라서 방정식 [eqn: g'(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 가지면 안된다.

[eqn: -2(x- alpha)(x- beta)^2 -2(x- alpha)^2 (x- beta)+M=0]

[eqn: (x- alpha)(x- beta)^2 +(x- alpha)^2 (x- beta)= M over 2]

[eqn: (x- alpha)(x- beta) LEFT { (x- beta)+(x- alpha) RIGHT }= M over 2]

[eqn: (x- alpha)(x- beta)(2x- alpha- beta)= M over 2]

이때, [eqn: beta - alpha =6 sqrt {3}]이므로 [eqn: alpha =-3 sqrt {3} ,~ beta =3 sqrt {3}]이라 하면

[eqn: (x+3 root 3 )(x- 3 root 3 ) times 2 x = M over 2]

[eqn: 2(x^2 -27)x = M over2 ,] [eqn: x^3 -27x= M over 4]

따라서 곡선 [eqn: y=x^3 -27x]와 직선 [eqn: y = M over 4]의 교점의 개수가 [eqn: 3]개보다 작아야 한다.

따라서 [eqn: M over 4 GEQ54,] [eqn: M GEQ216]이므로 구하는 양수 [eqn: M]의 최솟값은 [eqn: 216]이다.

수학 영역_나형

1. ②	2. ③	3. ①	4. ⑤	5. ②

6. ⑤	7. ④	8. ③	9. ②	10. ⑤

11. ①	12. ①	13. ③	14. ④	15. ①

16. ④	17. ③	18. ④	19. ②	20. ⑤

21. ④	22. [eqn: 30]	23. [eqn: 24]	24. [eqn: 7]	25. [eqn: 150]

26. [eqn: 2]	27. [eqn: 32]	28. [eqn: 16]	29. [eqn: 62]	30. [eqn: 65]

1. 지수와 로그	②

수학 영역(나형)

정답

[eqn: 8times 2^-2 = 2^3 times 2^-2 =2^{3+(-2) }=2]

2. 집합과 명제	③

정답

[eqn: A= LEFT { 1,~ 2,~ 3,~4,~ 5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,~4,~6,~8,~10 RIGHT }]

에 대하여

[eqn: A SMALLUNION B = LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~8,~10 RIGHT }]이므로

[eqn: n(A SMALLUNION B)=8]이다.

3. 지수와 로그	①

정답

[eqn: log _{15} 3+log _{15} 5=log _{15} (3 TIMES 5)]

[eqn: `=log _{15} 15=1]

4. 확률	⑤

정답

[eqn: (A CUP B) CUP (A SMALLINTER B ^{C} `)=A]이고

[eqn: (A CUP B) SMALLINTER (A SMALLINTER B ^{C} `)= EMPTYSET]이므로

[eqn: RMP(ITA)][eqn: = rm P( it A CUP B)+ rm P( it A SMALLINTER B ^{C```} )]
[eqn: = 1 over 8 + 3 over 16 = 5 over 16]

5. 수열	②

정답

세 수 [eqn: 9 over 4 ,] [eqn: a,] [eqn: 4]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: a^2 = 9 over 4 times 4 =9]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a=3]([eqn: BECAUSE~a]는 양수)

6. 함수	⑤

정답

[eqn: f(2)=4,] [eqn: f^-1 (2)=3]이므로

[eqn: f(2)+f` ^{-1} (2)=4+3=7]

7. 집합과 명제	④

정답

[eqn: p: LEFT | `x-1`RIGHT | LEQ3,] [eqn: q: LEFT | `x`RIGHT | LEQa]

조건 [eqn: p,~q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,] [eqn: Q]라 하면

[eqn: LEFT | ` x-1`RIGHT | LEQ3]에서 [eqn: -3 LEQ x-1 LEQ 3]

[eqn: -2 LEQ x LEQ4]

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | LEQa]에서 [eqn: -a LEQx LEQa]이므로

[eqn: P= LEFT { x vert -2 LEQx LEQ4 RIGHT },]

[eqn: Q= LEFT { x vert -a LEQx LEQa RIGHT }]

이때, [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되려면 [eqn: P SUBSET Q]를

만족시켜야 한다.

따라서 [eqn: a GEQ 4]이어야 하므로 자연수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.

8. 함수의 극한과 연속	③

정답

[eqn: lim _{ x->0-} { f(x)}+ lim _{ x->1+} { }f(x)=0+(-3)=-3]

9. 다항함수의 적분법	②

정답

[eqn: int _{ 0} ^{ 2} { }(6x^2 -x)dx][eqn: =LEFT [ 2x^3 - 1 over 2 x^2 RIGHT ]_0 ^2]
[eqn: =(16-2)-0=14]

10. 함수	⑤

정답

함수 [eqn: y= 3 over x-5 +k]의 그래프는 점 [eqn: (5,~k)]에 대하여

대칭이다.

따라서 점 [eqn: (5,~ k)]는 직선 [eqn: y=x] 위의 점이다.

[eqn: THEREFORE~][eqn: k=5]

11. 확률	①

정답

주사위 한 개를 던져 [eqn: 4]의 눈이 나올 확률은 [eqn: 1 over 6]이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: ` _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}][eqn: = 3 times 1 over 6 times 25 over 36]
[eqn: = 25 over 72]

12. 다항함수의 적분법	①

정답

[eqn: v(t)=-2t+4]일 때

[eqn: t=0]부터 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는

[eqn: int _{ 0} ^{ 4} { } LEFT | ``-2t+4`` RIGHT |`dt]

[eqn: =int _{ 0} ^{2 } { }(-2t+4)dt][eqn: +int _{ 2} ^{4 } { }-(-2t+4)dt]

[eqn: =LEFT [ -t^2 + 4t RIGHT ]_0^2 + LEFT [ t^2 -4t RIGHT ]_2^4]

[eqn: =(-4+8)-0+(16-16)-(4-8)]

[eqn: =4+4=8]

13. 확률	③

정답

어떤 학생이 체험 학습 [eqn: RMB]를 선택하는 사건을 [eqn: X,]

남학생일 사건을 [eqn: Y]라 하면

[eqn: RMP(ITY vert X) = 2 over 5]이다.

체험학습 [eqn: RMB]를 선택한 남학생의 수를 [eqn: a],

여학생의 수를 [eqn: b]라 하면

[eqn: a+b=200]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: {RMP(ITX SMALLINTERY) }over {RMP(ITX) }= a over a+b = 2 over 5]이므로

[eqn: 5a=2a+2b,] [eqn: 3a=2b,] [eqn: a= 2 over 5 b]

㉠에서 [eqn: 2 over 3 b +b= 5 over 3 b =200]

[eqn: THEREFORE~][eqn: b=120]

따라서 여학생의 수는 [eqn: 70+120=190](명)

14. 함수의 극한과 연속	④

정답

실수 전체의 집합에서 [eqn: f(x)>0]이고

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]를 제외하고 모두 연속이므로

함수 [eqn: g(x) over f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면

[eqn: x=2]에서만 연속이면 된다.

[eqn: lim _{x -> 2-} {} {g(x)} over {f(x)} = {ax+1} over {x ^{2} -4x+6} = {2a+1} over {2}]

[eqn: lim _{x -> 2+} {} {g(x)} over {f(x)} = ax+1=2a+1]

[eqn: g(2) over f(2) = 2a+1]에서

[eqn: 2a+1 over 2 =2a+1]이므로 [eqn: 2a+1=0]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a= - 1 over 2]

15. 수열	①

정답

등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a],

공차를 [eqn: d(d>0)]이라 하면

조건 (가)에서

[eqn: a_6 + a_8][eqn: =(a+5d)+(a+7d)][eqn: = 2a+12d=0]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a=-6d]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

조건 (나)에서

[eqn: LEFT | `a_6`RIGHT |= LEFT | `a_7`RIGHT |+3,] [eqn: LEFT | `a+5d`RIGHT |= LEFT |` a+6d`RIGHT |+3]

위의 식에 ㉠을 대입하면 [eqn: LEFT | `-d` RIGHT | =3]

[eqn: THEREFORE~][eqn: d=3][eqn: (BECAUSE~d>0)]

㉠에서 [eqn: a=3 times (-6)=-18]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a_2 =-18+3=-15]

16. 통계	④

정답

모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간은

[eqn: bar x - 2.58 times 40 over root 64 LEQm LEQ bar x + 2.58 times 40 over root 64]

[eqn: bar x - 2.58 times 5 LEQm LEQ bar x + 2.58 times 5]

[eqn: bar x - 12.9 LEQm LEQ bar x +12.9]

[eqn: THEREFORE~][eqn: c=12.9]

17. 수열의 극한	③

정답

위의 그림에서 [eqn: rm bar QC =2,] [eqn: rm bar CP =1]이므로

[eqn: rm bar PQ = root 4-1 = root 3], [eqn: ANGLE rm QCP = pi over 3]

그림 [eqn: R _{1}]의 색칠되어 있는 부분의 넓이는 부채꼴 [eqn: rm CBQ]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rm QCP]의 넓이를 뺀 것의 [eqn: 2]배와 같으므로

[eqn: S_1][eqn: =2 LEFT ( 2times 2 times pi times 1 over 6 - 1 times root 3 times 1 over 2 RIGHT )]
[eqn: =2 LEFT ( 2 over 3 pi - root 3 over 2 RIGHT ) = 4 over 3 pi - root 3]

한편, 그림 [eqn: R_2]에서 새로 그려진 원의 반지름의 길이는

[eqn: 1 over 2 rm bar DE = 1 over 2 bar PQ = root 3 over 2]이므로

그림 [eqn: rm R_1]의 원과 그림 [eqn: rmR_2]에서 새로 그려진 원의 닮음비는 [eqn: 2: root 3 over 2 ,] 즉 [eqn: 1: root 3 over 4]이다.

따라서 넓이의 비는 [eqn: 1: 3 over 16]이다.

따라서 그림 [eqn: R_2]에서 새로 색칠된 도형의 넓이는 그림 [eqn: R_1]에서 색칠된 도형의 넓이의 [eqn: 2 times 3 over 16 = 3 over 8](배)이고, 같은 방법으로 하면 그림 [eqn: { R}_n+1]에서 새로 색칠된 도형의 넓이는 그림 [eqn: { R}_n]에서 새로 색칠된 도형의 [eqn: 2 times 3 over 16 = 3 over 8](배)이다.

따라서

[eqn: S_n][eqn: =LEFT ( 4 over 3 pi - root 3 RIGHT )+ 3 over 8 LEFT ( 4 over 3 pi - root 3 RIGHT ) + LEFT ( 3 over 8 RIGHT )^2 LEFT ( 4 over 3 pi - root 3 RIGHT )]

[eqn: +`` CDOTS ``+ LEFT ( {3} over {8} RIGHT ) ^{n-1} LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]

이므로

[eqn: lim _{ n->inf} { }S_n][eqn: ={4 over 3 pi - root 3 } over {1- 3 over 8} = {4 over 3 pi - root 3} over {5 over 8}]

[eqn: = {8 LEFT ( 4 over 3 pi - root 3 RIGHT )} over 5][eqn: = {32pi - 24root 3} over 15]

18. 함수의 극한과 연속	④

정답

[eqn: lim _{ x->a} { }{f(x)-(x-a)} over {f(x)+(x-a)} = 3 over 5]에서

[eqn: lim _{ x->a} { }f(x)=f(a)!=0]이면

[eqn: lim _{ x->a} { }{f(x)-(x-a)} over {f(x)+(x-a)} = f(a) over f(a) =1!= 3 over 5]이므로

조건을 만족시키지 않는다.

따라서 [eqn: f(a)=0]이다.

이때, 방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근이 [eqn: alpha,] [eqn: beta]이므로

[eqn: a= alpha]라 하면

[eqn: lim _{ x->a} { }{f(x) -(x-a)} over {f(x)+(x+a)][eqn: =lim _{ x-> alpha } { }{(x- alpha)(x- beta)-(x- alpha)} over {(x- alpha)(x- beta)+(x- alpha)]
[eqn: =lim _{ x-> alpha } { }{(x- alpha )LEFT { (x- beta)-1 RIGHT }} over {(x- alpha) LEFT { (x- beta)+1 RIGHT }]
[eqn: = lim _{x -> alpha } {} {(x- beta )-1} over {(x- beta )+1}]
[eqn: ={ alpha- beta-1} over { alpha- beta+1} = 3 over 5]

[eqn: 5( alpha- beta-1)=3( alpha- beta+1),]

[eqn: 2alpha-2 beta=8,] [eqn: alpha- beta=4]

[eqn: THEREFORE~][eqn: LEFT | `` alpha- beta`` RIGHT |=4]

19. 수열의 극한	②

정답

점 [eqn: (x,~y)]에서 세 점 [eqn: (x+1,~y),] [eqn: (x,~y+1),]

[eqn: (x+1,~y+1)] 중 한 점으로 이동하는 것을 각각 [eqn: A,] [eqn: B,] [eqn: C]라 하고, 점 [eqn: (0,~0)]에서 점 [eqn: (4,~3)]까지 이동하는 모든 경우의 수를 [eqn: N]이라 하자.

이때, 가장 적은 횟수로 이동하는 경우는 [eqn: A _{,~} A,~A,~C]로 이동하는 경우이므로

확률변수가 [eqn: X]가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값을 [eqn: k]라 하면 [eqn: k=``4``]이고, 가장 큰 값은 [eqn: k+3]이다.

이동하는 횟수가 [eqn: 6]인 경우는 [eqn: A,~A,~A,~B,~B,~C]로 이동하는 경우이므로

[eqn: rm P( it X=6)= {1} over {N} ` TIMES {6!} over {3! TIMES 2! TIMES 1} = {1} over {N} ` TIMES ``60]

[eqn: sum _{i=k} ^{k+3} rmP(itX=i)=1]이므로

[eqn: 4 over N + 30 over N + 60 over N + 35 over N = 129 over N =1]

[eqn: THEREFORE~][eqn: N=``129]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a=4,] [eqn: b=60,] [eqn: c=129], [eqn: a+b+c=193]

20. 다항함수의 적분법	⑤

정답

ㄱ. (참) 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x)]는 이차함수이므로 조건 (가)에서 [eqn: f'(x)=ax(x-k)(a>0)]
따라서 [eqn: 0LEQx LEQk]일 때, [eqn: f'(x) LEQ0]이므로
[eqn: int _{ 0} ^{k } { }f'(x)dx<0]이다.

ㄴ. (참) 조건 (나)에서 [eqn: int _{ 0} ^{t } { } LEFT | ``f'(x)``RIGHT |dx = f(t)+f(0)]

위의 등식을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: LEFT | ``f'(t)``RIGHT |=f'(t)]이고 이는 [eqn: t>1]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 성립하므로 [eqn: f'(t) GEQ0(t>1)]이다.

따라서 조건 (가)에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값,

[eqn: x=k]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: 0<k LEQ 1]이다.

ㄷ. (참) [eqn: f'(x)=ax^2 -a k x(a>0)]에서

[eqn: int _{ 0} ^{ t} { } LEFT | ``f'(x)``RIGHT |dx]

[eqn: =int _{ 0} ^{k } { }-(ax^2 -a kx)dx + int _{ k} ^{ t} { }(ax^2 -a kx)dx]

[eqn: =- LEFT [ a over 3 x^3 - ak over 2 x^2 RIGHT ]_0^k + LEFT [ a over 3 x^3 - ak over 2 x^2 RIGHT ]_k^t]

[eqn: =- LEFT ( a over 3 k^3 - a over 2 k^3 RIGHT )+ LEFT ( a over 3 t^3 - ak over 2 t^2 - a over 3 k^3 + a over 2 k^3 RIGHT )]

[eqn: =- a over 3 k^3 + a over 2 k^3 + a over 3 t^3 - ak over 2 t^2 - a over 3 k^3 + a over 2 k^3]

[eqn: = at^3 over 3 - akt^2 over 2 + ak^3 over 3]                       [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

한편, [eqn: f(x)][eqn: =int _{ } ^{ } { }(ax^2 -a k x)dx]
[eqn: = {a} over {3} x ^{3} - {ak} over {2} x ^{2} +C]

(단, [eqn: C]는 적분상수)

이므로 [eqn: f(0)=C,] [eqn: f(t)= {at ^{3}} over {3} - {akt ^{2}} over {2} +C]

따라서 ㉠에서

[eqn: {at ^{3}} over {3} - {akt ^{2}} over {2} + {ak ^{3}} over {3}][eqn: = {at ^{3}} over {3} - {akt ^{2}} over {2} +2C]

[eqn: {ak ^{3}} over {3} =2C], [eqn: C= {ak ^{3}} over {6}]

[eqn: THEREFORE~][eqn: f(x) = ax^3 over 3 - akx^2 over 2 + ak^3 over 6]

따라서 극솟값 [eqn: f(k) = ak^3 over 3 - ak^3 over 2 + ak^3 over 6 =0]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. 수열	④

정답

원의 위치에 따라 다음과 같은 경우를 나누어 생각하자.

(ⅰ) [eqn: 1LEQn LEQ7]인 경우

원의 중심을 지나는 직선 [eqn: y=x+10]에 대하여 원의 내부에 있고, 직선 아래에 있는 점의 개수와 직선 위에 있는 점의 개수가 같다.

[eqn: THEREFORE~][eqn: A_n - B_n =0]

(ⅱ) [eqn: n=8]인 경우

(ⅰ)와 마찬가지로 [eqn: A_8 -A_8 =0]

(ⅲ) [eqn: n=9]인 경우 [eqn: A_9 -B_9 = 12-8=4]

(ⅳ) [eqn: n=10]인 경우 [eqn: A_10 - B_10 = 17-4=13]

(ⅴ) [eqn: n=11]인 경우 [eqn: A_11 -B_11 =15-7=8]

(ⅵ) [eqn: 12 LEQn LEQ20]인 경우

(ⅰ), (ⅱ)와 마찬가지로 원의 대칭성에 의해

[eqn: A_n -B_n =0]

(ⅰ)～(ⅵ)에서 [eqn: sum _{ n=1} ^{20 }(A_n - B_n ) =4+13+8=25]

22. 순열과 조합	[eqn: 30]

정답

[eqn: ` _{5} RMP _{2} + _{5} C _{2}][eqn: = 5 times4 + {5 times 4} over {2times 1}]
[eqn: = 20+10=30]

23. 다항함수의 미분법	[eqn: 24]

정답

[eqn: f(x) =x^3 +3x^2 +3]에서

[eqn: f'(x) =3x^2 + 6x]이므로

[eqn: f'(2) =12+12=24]

24. 집합과 명제	[eqn: 7]

정답

[eqn: U=]{[eqn: x vert x]는 [eqn: 9] 이하의 자연수}

[eqn: A= LEFT { 3,~6,~7 RIGHT },] [eqn: B= LEFT { a-4,~8,~9 RIGHT }]에서

[eqn: A SMALLINTER B^C = A-B = LEFT { 6,~7 RIGHT }]이므로

[eqn: B OWNS 3]이다.

따라서 [eqn: a-4=3]이므로

[eqn: a=7]

25. 수열	[eqn: 150]

정답

[eqn: f(x)= 1 over 2 x +2]에 대하여

[eqn: f(2k) = 1over 2 times 2k +2 = k+2]이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 15}f(2k)][eqn: =sum _{ k=1} ^{15 }(k+2)= sum _{ k=1} ^{15 }k + sum _{ k=1} ^{15 }2]
[eqn: = {15 times 16} over 2 + 15 times 2 =120+30]
[eqn: =150]

26. 다항함수의 미분법	[eqn: 2]

정답

[eqn: f(x)=x^3 -ax+b]라 하면

[eqn: f'(x) =3x^2 -a]이므로

점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y][eqn: =f'(1)(x-1)+1]
[eqn: =(3-a)(x-1)+1]

이때, 접선과 수직인 직선의 기울기가

[eqn: - 1 over 2]이므로 [eqn: 3-a=2]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a=1]

한편, [eqn: f(1)=1-1+b=1]이므로 [eqn: b=1]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a+b=2]

27. 순열과 조합	[eqn: 32]

정답

정식 [eqn: a+b+c=7]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a,] [eqn: b,] [eqn: c]의 순서쌍[eqn: (a,] [eqn: b,] [eqn: c)]의 개수는 서로 다른 [eqn: 3]개에서 중복을허락하여 [eqn: 7]개를 선택하는 수와 같다.

[eqn: ` _{3} rm H _{7} = _{3+7-1} C _{7} = _{9} C _{7} = _{9} C _{2} = {9 TIMES 8} over {2 TIMES 1} =36]

이때, 조건 (나)를 만족시키지 않는 [eqn: a,] [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,] [eqn: b)]는 [eqn: (0,~0),] [eqn: (0,~1),] [eqn: (1,~0),] [eqn: (2,~0)]이므로 구하는 순서쌍 [eqn: (a,] [eqn: b,] [eqn: c)]의 개수는 [eqn: 36-4=32]이다.

28. 수열의 극한	[eqn: 16]

정답

점 [eqn: {rmP}_n]의 좌표가 [eqn: (4^n ,~ 2^n )]

점 [eqn: {rmP}_n+1]의 좌표가 [eqn: (4^n+1 ,~2^n+1 )]이므로

[eqn: {L}_n][eqn: =root { (4^n+1 - 4^n )^2 + (2^n+1 -2^n )^2]
[eqn: = root {(3``․``4^n )^2 + (2^n )^2 }][eqn: = root {9``․``16^n +4^n]

[eqn: THEREFORE~][eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( {L _{n+1}} over {L _{n}} RIGHT ) ^{2}][eqn: =][eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( {sqrt {9 TIMES 16 ^{n+1} +4 ^{n+1}}} over {sqrt {9 TIMES 16 ^{n} +4 ^{n}}} RIGHT )]
[eqn: = lim _{n -> INF } {} {9 TIMES 16 ^{n+1} +4 ^{n+1}} over {9 TIMES 16 ^{n} +4 ^{n}}]
[eqn: = lim _{n -> INF } {} {9 TIMES 16+4 TIMES LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n}} over {9+ LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n}}]
[eqn: = {9 times 16+0} over 9+0][eqn: ={9 times 16} over 9 = 16]

29. 통계	[eqn: 62]

정답

조건 (가)에서

[eqn: f(10)>f(20)]이므로

[eqn: 15>m]

조건 (나)에서

[eqn: f(4)<f(22)]이므로

[eqn: 13<m]

즉, [eqn: 13<m<15]인 자연수이므로 [eqn: m=14]이다.

[eqn: THEREFORE~][eqn: rmP(17 LEQitX LEQ18)]
[eqn: =rmP LEFT ( 17-14 over 5 LEQitZ LEQ 18-14 over 5 RIGHT )]
[eqn: rm=P(0.6 LEQitZ LEQ0.8)]
[eqn: =rmP(0 LEQitZ LEQ0.8)-rmP(0 LEQitZ LEQ0.6)]
[eqn: =0.288-0.226=0.062]

30. 다항함수의 미분법	[eqn: 65]

정답

[eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +6x+k]에서

[eqn: f'(x)=3x^2 -6x+6=3(x-1)^2 +3]이므로

[eqn: 4f'(x)+12x-18=(f' CIRCg)(x)]

[eqn: 4 LEFT { 3(x-1) ^{2} +3 RIGHT } =12x-18=3(g(x)-1) ^{2} +3]

[eqn: 12(x-1)^2 +12x -6 =3(g(x)-1)^2 +3]

[eqn: (g(x)-1)^2][eqn: =4(x-1)^2 +4x-3]
[eqn: =4x^2 -4x+1][eqn: =(2x-1)^2]

이때, [eqn: g(x)=t]로 놓으면 [eqn: f(t)=x]이므로

[eqn: (t-1)^2 = (2(f(t)-1)^2 )]이고

근이 [eqn: 0 LEQ x =f(t) LEQ 1]에 있어야 한다.

(ⅰ) [eqn: t-1=2f(t)-1]인 경우

즉, [eqn: f(t)= t over 2]인 경우이므로 [eqn: 0 LEQ t over 2 LEQ 1 ,]

[eqn: 0 LEQ t LEQ 2]

[eqn: h(t)=f(t) - t over 2]로 놓으면 [eqn: h(0)]의 값과 [eqn: h(2)]의 값의 부호가 다르면 사잇값 정리에 의해 [eqn: h(t)=0]인 [eqn: t]가 [eqn: 0 LEQ t LEQ 2]에 존재한다.

[eqn: h(0)=f(0)=k,] [eqn: h(2)=f(2)-1=7+k]이므로

[eqn: k(7+k) LEQ 0,] [eqn: -7 LEQ k LEQ 0]

(ⅱ) [eqn: t-1=2f(t)+1]인 경우

즉, [eqn: f(t)= - 1 over2 t +1]인 경우이므로

[eqn: 0 LEQ - 1 over 2 t+1 LEQ 1 ,] [eqn: -1 LEQ - 1 over 2 t LEQ 0]

[eqn: 0LEQt LEQz]

[eqn: h(t)=f(t)+ 1 over 2 t -1]로 놓으면

[eqn: h(0)=f(0)-1=k-1]

[eqn: h(2)=f(2)=g+k]이므로

(ⅰ)과 마찬가지로

[eqn: h(0)h(2) LEQ0]이면 사이값 정리에 의해 [eqn: h(t)=0]인 [eqn: t]가 [eqn: 0LEQt LEQ2]에 존재한다.

[eqn: (k-1)(k+8) LEQ0,] [eqn: -8 LEQk LEQ1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: -8], 최댓값은 [eqn: 1]

[eqn: THEREFORE~][eqn: m^2 +M^2 = 64+1=65]