수리 영역_가형

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2010년 9월 모의평가 해설

수리 영역

1. ①	2. ④	3. ①	4. ④	5. ②

6. ⑤	7. ⑤	8. ③	9. ④	10. ⑤

11. ②	12. ②	13. ③	14. ⑤	15. ③

16. ①	17. ①	18. [eqn: 10]	19. [eqn: 5]	20. [eqn: 103]

21. [eqn: 13]	22. [eqn: 12]	23. [eqn: 39]	24. [eqn: 11]	25. [eqn: 30]

[미분과 적분]

26. ①	27. ⑤	28. ④	29. ③	30. [eqn: 50]

[확률과 통계]

26. ②	27. ①	28. ④	29. ③	30. [eqn: 590]

[이산수학]

26. ③	27. ⑤	28. ④	29. ①	30. [eqn: 20]

1. 지수와 로그	①

정답

[eqn: log _3 `6 + log_3 `2 - log_3 `4][eqn: = log_3 { 6times2} over { 4}]
[eqn: = log_3 `3]
[eqn: = 1]

2. 벡터	④

정답

주어진 직선의 방정식에 [eqn: z=4=c]를 대입하면

[eqn: { x-1} over { 2} = { y+1} over { 3}=4-2=2]

[eqn: x-1=4]   [eqn: therefore```][eqn: x=5=a]

[eqn: y+1=b]   [eqn: therefore```][eqn: y=5][eqn: =b]

[eqn: therefore```][eqn: a+b+c=5+5+4 = 14]

3. 행렬	①

정답

[eqn: AX -BX = (A-B`)X =pmatrix { 1&& 0# 0&& 1}]이고

[eqn: A-B = pmatrix { 3&& 1# 5&& 2}]이므로

[eqn: pmatrix { 3&& 1# 5&& 2} X= pmatrix { 1&& 0# 0&& 1}]에서

[eqn: therefore```][eqn: X = {pmatrix { 3&& 1# 5&& 2}}^-1 = pmatrix { ```````2& ```-1# -5& ``````````3}]

4. 이차곡선	④

정답

접점의 좌표를 [eqn: (alpha,~beta)]라 하면

접선의 방정식은 [eqn: alpha x - beta y =2]

이 직선이 점 [eqn: (-1,~0)]을 지나므로

[eqn: - alpha =2]   [eqn: therefore```][eqn: alpha=-2]

또, [eqn: alpha^2 - beta^2 =2]에서 [eqn: beta^2 =2]   [eqn: therefore```][eqn: beta = +- sqrt { 2}]

따라서 두 접점의 좌표는 [eqn: (-2,~ -sqrt { 2})], [eqn: (-2,~ sqrt { 2})]이므로 접선의 방정식은

(ⅰ) [eqn: -2x + sqrt { 2}y =2]에서 [eqn: y = sqrt { 2}x + sqrt { 2}]

(ⅱ) [eqn: -2x - sqrt { 2}y =2]에서 [eqn: y = - sqrt { 2}x - sqrt { 2}]

[eqn: therefore```][eqn: m^2 +n^2 =2+2=4]

5. 함수의 극한과 연속성	②

정답

[eqn: lim _{ x->inf} { { f(x)} over { x^3} =0}]이므로 [eqn: f(x)]는 이차 이하의 다항함수이다. 따라서 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]라 하면

[eqn: lim _{ x->0} { { f(x)} over {x } =5}]에서 (분모)[eqn: ->0]일 때, (분자)[eqn: ->0]이어야 하므로

[eqn: f(0)=c =0]

[eqn: therefore```][eqn: f(x) = ax^2 +bx]

이를 다시 주어진 식에 대입하면

[eqn: lim _{ x->0} { { ax^2 +bx} over { x} } = b=5]

이때, 방정식 [eqn: ax^2 +5x=x]의 한 근이 [eqn: -2]이므로

[eqn: 4a -10=-2], [eqn: 4a=8]   [eqn: therefore```][eqn: a=2]

따라서 [eqn: f(x) = 2x^2 +5x]이므로 [eqn: f(1) =7]이다.

6. 지수와 로그	⑤

정답

양수량이 [eqn: 24], 양수할 높이가 [eqn: 5]일 때의 비교회전도가 [eqn: S_1]이므로

[eqn: S_1][eqn: = N cdot (24)^{1over2} cdot 5^{- 3over4}]
[eqn: = N cdot (2^3 cdot 3)^{1over2} cdot 5^{- 3over4}]

양수량이 [eqn: 12], 양수할 높이가 [eqn: 10]일 때의 비교회전도가 [eqn: S_2]이므로

[eqn: S_2][eqn: = N cdot (12)^{1over2} cdot 10^{- 3over4}]
[eqn: =N cdot (2^2 cdot 3) ^{1over2} cdot (2 cdot 5 )^{- 3over 4}]

[eqn: therefore```][eqn: { S_1} over { S_2}][eqn: = { N cdot (2^3 cdot 3)^{1over2} cdot 5^{- 3over4}} over { N cdot (2^2 cdot 3)^{1over2} cdot (2cdot 5)^{- 3over4}}]
[eqn: = 2^{3over2 - 1- LEFT ( - 3over4 RIGHT ) }]
[eqn: = 2 ^{5over4}]

7. 순열과 조합	⑤

정답

그림에서 이웃한 [eqn: 2]개의 지역을 담당하는 경우의 수는

①	②		④
	③
⑤		⑥

①과 ②, ①과 ③, ①과 ⑤, ②와 ③, ②와 ④, ③과 ④, ③과 ⑤, ③과 ⑥, ④와 ⑥, ⑤와⑥의 [eqn: 10](가지)

[eqn: 5]명 중 이웃하는 지역을 담당할 조사원을 정하는 경우의 수는

[eqn: `_5 rmC_1 = 5](가지)

남은 [eqn: 4]개 지역에 조사원을 지정하는 경우의 수는 [eqn: 4!]

따라서 조사원 [eqn: 5]명의 담당 지역을 정하는 경우의 수는

[eqn: rm 10 times _5 C_1 times 4! = 1200](가지)

8. 방정식과 부등식	③

정답

주어진 식의 양변을 제곱하면

[eqn: left{ f(x) right}^2 - 4 `left|` f(x) ` right| +4 = 4 - f(x)]

(ⅰ) [eqn: f(x) >=0]일 때,
[eqn: left{f(x) right}^2 -3 f(x) =0]

[eqn: therefore```][eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)=3]

이때, [eqn: f(x)=0]은 무연근이므로
[eqn: f(x)=3]
오른쪽 그림에서 주어진 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: f(x)<0]일 때,
[eqn: left{f(x) right}^2 + 5 f(x ) =0]

[eqn: therefore```][eqn: f(x)=-5]

오른쪽 그림에서 주어진 방정식은 오직 하나의 실근을 갖는다.

따라서 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

9. 수열의 극한	④

정답

기울기가 [eqn: n]이고 [eqn: y]절편이 양수인 원 [eqn: x^2 +y^2 =n^2]의 접선의 방정식을 [eqn: y =nx+k``(k>0)]라 하면 이 접선과 원의 중심 사이의 거리가 [eqn: n]이므로 점과 직선 사이의 거리 공식에 의하여

[eqn: { |`k`|} over { sqrt { n^2 +1} } = n]   [eqn: therefore```][eqn: k = n sqrt { n^2 +1}]([eqn: because```][eqn: k>0])

그러므로 접선의 방정식은 [eqn: y = nx +n sqrt { n^2 +1}]이고, [eqn: {rmP}_n LEFT ( - sqrt { n^2 +1},~0 RIGHT )], [eqn: {rmQ}_n LEFT ( 0,~n sqrt { n^2 +1} RIGHT )]이다.

[eqn: therefore```][eqn: l_n][eqn: = bar{{rmP}_n {rmQ}_n}][eqn: = sqrt { (n^2 +1) +n^2 (n^2 +1 )}]
[eqn: = |``n^2 +1`|][eqn: = n^2 +1]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf} { { l_n} over { 2n^2} } = lim _{ n->inf} { { n^2 +1} over { 2n^2} } = { 1} over { 2}]

10. 행렬	⑤

정답

ㄱ. (거짓) [eqn: ABC =E], [eqn: ACB =E`]이므로
[eqn: A=E`]이면 [eqn: BC=E`], [eqn: CB=E`]이다.
그런데 [eqn: B = pmatrix{0&&1#1&&0}], [eqn: C = pmatrix{0&&1#1&&0}]일 때
[eqn: BC=E], [eqn: CB =E]이지만 [eqn: B != E]이다.

ㄴ. (참) [eqn: (AC`)B =E`]이므로 [eqn: B`(AC`)=E]이다.
즉, [eqn: BAC =E`]이므로 [eqn: BA =C``^-1]이고,
[eqn: ABC =E`]이므로 [eqn: AB =C``^-1]이다.
[eqn: therefore```][eqn: AB=BA]

ㄷ. (참) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A^n B``^n C``^n =E]가 성립함을 수학적귀납법으로 증명하자.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: ABC =E`]이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k][eqn: (k=1,~2,~3,~cdots)]일 때 성립한다고 가정하면 [eqn: A^k B^k C^k = E]
[eqn: n=k+1]일 때, 성립함을 보이자.
[eqn: AB`C = AC`B =E]에서 [eqn: B`C= C`B`]이므로
[eqn: A^k+1 B^k+1 C^k+1][eqn: = A A^k B^k B`C^k C]
[eqn: = A `A^k B^k C^k B `C][eqn: = A`E` B` C =E`]
그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

11. 다항함수의 적분법	②

정답

ㄱ. (거짓) 【반례】 [eqn: f(x)>0]이고, 함수 [eqn: f(x)]가 감소함수일 때,

[eqn: sum _{ k=0} ^{ m-1} { f(x_2k )} over { m}][eqn: = { 1} over { m} sum _{ k=0} ^{ m-1} f(x_2k )]
[eqn: = { 1} over { m} left{ f(x_0 ) + f(x_2 ) +`cdots`+ f(x_2m-2 ) right}]
[eqn: = { 2} over { n} left{ f(x_0 ) + f(x_2 ) +`cdots`+ f(x_n-2 ) right}]
[eqn: = { 1} over { n} left{2 f(x_0 ) + 2f(x_2 ) +`cdots`+ 2f(x_n-2 ) right}]
[eqn: > { 1} over { n} left{f (x_0 ) + f(x_1 ) +`cdots`+ f(x_n-1 ) right}][eqn: = sum _{ k=0} ^{ n-1} { f(x_k )} over { n}]

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ k=0} ^{ m-1} { f(x_2k )} over { m}> sum _{ k=0} ^{ n-1}{ f(x_k )}OVER n}]

ㄴ. (참) [eqn: lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n } 1over n f(x_k )} = int _{ 0} ^{ 1} { f(x)dx}]이고
[eqn: lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{ n} 1overn f(x_k-1 )} = int _{ 0} ^{ 1} { f(x) dx}]이므로
[eqn: lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{ n} 1overn left{ { f(x_k-1 ) + f(x_k ) } over { 2} right}}]
[eqn: = { 1} over { 2} lim _{ n->inf} { LEFT ( sum _{ k=1} ^{n } 1over n f(x_k-1 ) + sum _{ k=1} ^{ n} 1overn f(x_k ) RIGHT ) }]
[eqn: = 1over2 cdot 2 int _{ 0} ^{1 } { f(x)dx}]

[eqn: = int _{ 0} ^{1 } { f(x)dx}]

ㄷ. (거짓) 【반례】 [eqn: f(x)]가 감소함수일 때,
[eqn: f(n-1) >= f(n)]이므로 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: { f(n-1)} over { n}>= { f(n)} over { n}]
[eqn: therefore```][eqn: sum _{ k=0} ^{ n-1} { f(x_k )} over { n}][eqn: >= sum _{ k=1} ^{ n} { f(x_k )} over { n}]

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

12. 수열의 극한	②

정답

부채꼴 [eqn: rm A_0 A_1 B_1], [eqn: rm A_1 A_2 B_2], …는 서로 닮음이다.

[eqn: rmbar{A_1 B_2 } = sin { pi} over { 4} times rm bar{ A_0 B_1}], [eqn: rmbar{A_2 B_3 } = sin { pi} over { 4} times rm bar{ A_1 B_2}], …

이므로 [eqn: l_n+1 = { sqrt { 2} } over { 2} l_n]

따라서 수열 [eqn: left{l_n right}]은 첫째항이 [eqn: l_1 =4 times pi over 4 =pi]이고, 공비가 [eqn: { sqrt { 2} } over { 2}]인 무한등비수열이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}l_n = { pi} over { 1- { sqrt { 2} } over { 2} } = (2+ sqrt { 2})pi]

13. 확률분포와 통계적 추정	③

정답

[eqn: \A]와 [eqn: \B]가 각각 주사위를 한 개씩 동시에 던지는 시행을 통하여 얻은 주사위의 눈의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때,

[eqn: |`a-b`|<3]인 경우의 수는

[eqn: a=1]일 때 [eqn: b=1,~2,~3]

[eqn: a=2]일 때 [eqn: b=1,~2,~3,~4]

[eqn: a=3]일 때 [eqn: b=1,~2,~3,~4,~5]

[eqn: a=4]일 때 [eqn: b=2,~3,~4,~5,~6]

[eqn: a=5]일 때 [eqn: b=3,~4,~5,~6]

[eqn: a=6]일 때 [eqn: b=4,~5,~6]

의 [eqn: 24](가지)이다.

그러므로 한 번의 시행에서 [eqn: \A]가 [eqn: 1]점을 얻을 확률은

[eqn: { 24} over { 36} = 2over3]

[eqn: \B]가 [eqn: 1]점을 얻을 확률은 [eqn: { 1} over { 3}]

[eqn: 15]번의 시행에서 [eqn: rmA]가 얻는 점수를 확률변수 [eqn: X], [eqn: rmB]가 얻는 점수를 확률변수 [eqn: Y`]라 하면 [eqn: X`]는 이항분포

[eqn: \B LEFT ( 15 ,~ 2over3 RIGHT )], [eqn: Y`]는 이항분포 [eqn: rmB LEFT ( 15,~ 1over3 RIGHT )]을 따른다.

[eqn: therefore```][eqn: {rmE}(X`)][eqn: = 15 times { 2} over { 3}][eqn: =10]

[eqn: {rmE}(Y``)][eqn: = 15 times 1over 3][eqn: = 5]

[eqn: therefore```][eqn: left|` {rmE}(X)- {rmE}(Y``)` right| =5]

14. 벡터	⑤

정답

ㄱ. (참) [eqn: rm|`vec CB - vecCP`| = |`vecPB`|]이므로 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]에 있을 때 최소가 된다. 그런데 [eqn: rmbarAB = 1]이므로 최솟값은 [eqn: 1]이다.

ㄴ. (참) [eqn: rm vecCA cdot vec CP][eqn: rm = vec CA cdot (vecCA + vecAP )]
[eqn: rm = vecCA cdot vec CA + vecCA cdot vecAP]

그런데 [eqn: rmangle CAE = { pi} over { 2}]이므로

[eqn: rm vecCA cdot vecAP =0]
[eqn: therefore```][eqn: rm vecCA cdot vec CP][eqn: = rm |`vecCA `|^2 = 4]
따라서 [eqn: rm vecCA cdot vec CP]의 값은 일정하다.

ㄷ. (참) 그림과 같이 주어진 도형과 합동인 도형을 그리면
[eqn: rm|`vec DA + vecCP`|][eqn: rm = |`vecCB +vecCP`|][eqn: rm = |`vecCB +vec{BP' }`|]

[eqn: = rm |` vecCP'`|]
[eqn: rm bar{E'D'}]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 점 [eqn: rmP']이 점 [eqn: rmM]에 위치할 때, [eqn: rm |`vecCM `|]이 구하는 최솟값이다.
[eqn: therefore```][eqn: rm |`vecDA +vecCP`| = |` vecCP'`| >= |`vecCM`|]
이때, 삼각형 [eqn: rmE'D'A]는 한 변의 길이가 [eqn: sqrt { 3}]인 정삼각형이므로
[eqn: rm |`vecAM`| = { sqrt { 3} } over { 2} times sqrt { 3} = { 3} over { 2}]
[eqn: therefore```][eqn: rm |` vecCM `| = |`vecCA`| + |`vecAM`| #~~~~~= 2 + 3over2 = 7over2]
따라서 구하는 최솟값은 [eqn: { 7} over { 2}]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

15. 지수함수와 로그함수	③

정답

점 [eqn: \A]와 점 [eqn: \C]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: n]이라 하자.

[eqn: rmbar AC = log_2 `4n - log_2`n =2]이므로 삼각형 [eqn: rm ABC]는 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형이다.

그러므로 점 [eqn: \B]에서 선분 [eqn: \AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 점 [eqn: rmM]의 좌표는 [eqn: (n,~ log_2 `n+1 )]이고, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: log_2`n+1]이다.

[eqn: therefore```][eqn: log_2` 4p = log_2` n+1]	…… ㉠

또한, [eqn: rmbarBM = sqrt { 3}]이므로 [eqn: n-p= sqrt { 3}]

㉠에 대입하면

[eqn: log_2 `4p = log_2 `( sqrt { 3}+p)+1]

[eqn: log_2` 2p = log_2` ( sqrt { 3}+p )]

[eqn: therefore```][eqn: p= sqrt { 3}], [eqn: q = log_2 `4 sqrt { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: p^2 times 2^q = { sqrt { 3}}^2 times 2 ^{log_2 ` 4 sqrt { 3} }][eqn: = 3 times 4 sqrt { 3}][eqn: = 12 sqrt { 3}]

16. 다항함수의 미분법	①

정답

[eqn: f`'(x)][eqn: = -12x^3 +12 (a-1)x^2 +12a`x]
[eqn: = -12x(x+1)(x-a)]

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: a]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	↗	극대	↘	극소	↗	극대	↘

(ⅰ) [eqn: t <= - 1]이면 [eqn: g(t) =f(t)]

(ⅱ) [eqn: -1 <= t<b]이면 [eqn: g(t) = f(-1)]

(ⅲ) [eqn: f(a)][eqn: >][eqn: f(-1)]일 때,

[eqn: b<=t<a]이면 [eqn: g(t)=f(t)]

[eqn: t>a]이면 [eqn: g(t)=f(a)]

그런데 (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: lim _{ t->b-0} {g'(t) }=0!= lim _{ t->b+0} {g'(t) }]이므로 [eqn: f(a)][eqn: >][eqn: f(-1)]이면 [eqn: t=b]에서 미분가능하지 않다.

그러므로 [eqn: f(a) <= f(-1)]이 되어야 한다.

[eqn: -3a^4 +4a^3 (a-1) +6a^3 <= -3-4(a-1) +6a]

[eqn: a^4 +2a^3 -2a -1 <=0]

[eqn: (a+1)^3 (a-1)<=0]   [eqn: therefore```][eqn: -1 <=a<=1]

따라서 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

17. 수열	①

정답

주어진 식으로부터 [eqn: a_2 =7]이다.

자연수 [eqn: n (n>= 3 )]에 대하여

[eqn: a_n][eqn: =n^2 + sum _{ k=1} ^{ n-1} (2k+1)a_k]
[eqn: = n^2 + sum _{ k=1} ^{ n-2}(2k+1)a_k +(2n-1) a_n-1]	…… ㉠

[eqn: a_n-1 = (n-1)^2 + sum _{ k=1} ^{ n-2} (2k+1) a_k]이므로 ㉠에서

[eqn: a_n = n^2 + a_n-1 -][eqn: +(2n-1) a_n-1]

[eqn: (n-1)^2]

이므로, [eqn: a_n +1 = 2n(a_n-1 +1)]이 성립한다.

[eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{3} +1=`2 CDOT 3 CDOT (a _{2} +1)]

[eqn: a_4 +1 =` 2 cdot 4 cdot (a_3 +1)]

[eqn: vdots]

[eqn: a_n +1 =` 2cdot n cdot (a_n-1 +1)]

이고 각 변끼리 곱하면

[eqn: a_n +1][eqn: = n times (n-1) times `cdots `times 3 times][eqn: times (a_2 +1)]
[eqn: = n times (n-1) times `cdots` times 3 times 2^n-2 times 8]
[eqn: = 4 times n! times]

[eqn: 2^n-2]

[eqn: 2^n-2]

[eqn: therefore```][eqn: f(n) = (n-1)^2], [eqn: g(n) = 2^n-2]

[eqn: therefore```][eqn: f(9) times g(9) = 8^2 times 2^7 = 2&^6 times 2^7 =2^13]

18. 공간도형과 공간좌표	[eqn: 10]

정답

점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: (3,~4,~5)]이므로 선분 [eqn: rmPQ]를 [eqn: 2：1]로 내분하는 점을 [eqn: rmR]라 하면

[eqn: {rmR }LEFT ( { b-3} over {2+1 } ,~ { 8+4} over { 2+1} ,~ { 10+5} over { 2+1} RIGHT )]

[eqn: therefore```][eqn: a=1], [eqn: b=4], [eqn: c=5]

[eqn: therefore```][eqn: a+b+c=10]

19. 방정식과 부등식	[eqn: 5]

정답

[eqn: x-4 - { 20} over { x-3} <=0]을 통분하면

[eqn: { (x-4) (x-3) -20} over { x-3}<=0], [eqn: { x^2 -7x-8} over { x-3}<=0]

양변에 [eqn: (x-3)^2]을 곱하면

[eqn: (x+1)(x-8) (x-3) <=0], [eqn: x!=3]

이때, [eqn: x=3]은 무연근이므로 [eqn: 3<x<=8]

따라서 주어진 분수부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 4], [eqn: 5], …, [eqn: 8]의 [eqn: 5]개이다.

20. 이차곡선	[eqn: 103]

정답

[eqn: rm barPF =itx], [eqn: rmbarPF' = ity]라 하면

[eqn: x+y=10]	…… ㉠

포물선의 성질에 의해 [eqn: rmbarPF =barOF'][eqn: =x]이므로

삼각형 [eqn: rmOPF']에서

[eqn: y^2 =x^2 +10]	…… ㉡

㉡에서 [eqn: (y-x)(y+x)=10]이므로

[eqn: y-x=1](∵ ㉠)	…… ㉢

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: x= { 9} over { 2}], [eqn: y = { 11} over { 2}]

[eqn: rmbarPF times barPF' =][eqn: xy= { 99} over { 4}]

[eqn: therefore```][eqn: p+q=103]

21. 다항함수의 미분법	[eqn: 13]

정답

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,~f(t))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y - f(t) = f`' (t) (x-t)]

위의 식에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: y]절편은

[eqn: g(t) = f(t) - t`f`' (t)]

이때, [eqn: f`'(x) = 3x^2 - 2(a+2) x +a]이므로

[eqn: g(t)][eqn: = left{t^3 - (a+2)t^2 +at right} -t left{ 3t^2 - 2 (a+2) t +a right}]
[eqn: = -2t^3 +(a+2)t^2]

[eqn: g' (t) = -6t^2 +2 (a+2)t]이고 개구간 [eqn: (0,~5)]에서 함수 [eqn: g(t)]가 증가하려면

[eqn: g(0)>=0]에서 [eqn: 0>=0]

[eqn: g(5)=][eqn: -150+10(a+2) >=0]

[eqn: therefore```][eqn: a>=13]

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 13]이다.

22. 다항함수의 적분법	[eqn: 12]

정답

[eqn: f`'(x) = g'(x)]에서 [eqn: g(x) = f(x) +C`]([eqn: C`]는 적분상수)

이때, [eqn: g(0)= f(0)+C`` = a+C``=a+1]

이므로 [eqn: C``=1]

[eqn: therefore```][eqn: g(x) = f(x)+1]

이때, 두 곡선 [eqn: y= f(x)], [eqn: y = g(x)]와 두 직선 [eqn: x=-1], [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는

[eqn: pi int _{ -1} ^{1 } { left[ left{ g(x) right}^2 - left{ f(x) right}^2 right]dx}]
[eqn: = pi int _{ -1} ^{1 } { LEFT { g(x) - f(x) RIGHT } LEFT { g(x) +f(x) RIGHT } }dx]
[eqn: = pi int _{ -1} ^{1 } { LEFT { 2f(x) +1 RIGHT } }dx]
[eqn: =a` pi int _{ -1} ^{1 } { LEFT ( 2over3 x^3 -2x +2 RIGHT ) }dx + pi int _{ -1} ^{ 1} { 1`dx}]
[eqn: = a ` pi left[ 1over6 x^4 - x^2 +2x right]_-1 ^1 + pi left[ `x `right]_-1 ^1]
[eqn: = 4 a `pi + 2pi= 50 pi]

[eqn: 4a = 48]

[eqn: therefore```][eqn: a=12]

23. 수열	[eqn: 39]

정답

[eqn: a_n+1 = a_n + (-1)^n { 2n+1} over { n(n+1)}``(n>=1 )]이므로
수열 [eqn: left{a_n right}]의 계차수열의 일반항은 [eqn: (-1)^n { 2n+1} over { n(n+1)} = (-1)^n `left( { 1} over { n} + { 1} over { n+1} right)]

[eqn: therefore```][eqn: a_20][eqn: = a_1 + sum _{ k=1} ^{ 19} (-1)^k `left( 1 over k + { 1} over { k+1} right)]

[eqn: = 2- 1 - 1over20]

[eqn: = 2 + left{ LEFT ( -1 - 1over2 RIGHT ) + LEFT ( 1over2 + 1over3 RIGHT ) + LEFT ( - 1over3 - 1over4 RIGHT )]

[eqn: + cdots + LEFT ( - 1over19 - 1over20 RIGHT ) right}]

[eqn: = 19over20][eqn: = { q} over { p}]

[eqn: therefore```][eqn: p+q=39]

24. 확률	[eqn: 11]

정답

카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 하자.

[eqn: (alpha,~beta,~gamma)=(0,~1,~2)]이므로 두 번의 시행으로

[eqn: (0,~0,~0)] 또는 [eqn: (1,~1,~1)] 또는 [eqn: (2,~2,~2)]를 만들 수 없다. 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 3 TIMES 3=27](가지)

이고, 세 번의 시행에서 [eqn: (0,~0,~0)]이 되는 경우는

[eqn: (0,~1,~2)→(0,~2,~2)→(0,~2,~3)→(0,~3,`~3)]

[eqn: (0,~1,~2)→(0,~2,~2)→(0,~3,~2)→(0,~3,~3)]

[eqn: (0,~1,~2)→(0,~1,~3)→(0,~2,~3)→(0,~3,~3)]

의 [eqn: 3]가지이고 [eqn: (1,~1,~1)] 또는 [eqn: (2,~2,~2)]가 될 수 있는 경우도 각각 [eqn: 3]가지씩이다.

따라서 [eqn: 3]번째 시행에서 사건 [eqn: A]가 일어나지 않을 확률은

[eqn: {rmP}(A ^{C`}` )=1- {3+3+3} over {27} = {2} over {3}]

또한, [eqn: 3]번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: (0,~1,~2)] 또는

[eqn: (0,~0,~0)] 또는 [eqn: (1,~1,~1)] 또는 [eqn: (2,~2,~2)]이므로 [eqn: 4]번째, [eqn: 5]번째 시행에서는 사건 [eqn: A]가 일어나지 않고 [eqn: 6]번째 시행에서 사건 [eqn: A]가 같은 확률로 일어난다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES {2} over {3} TIMES 1 TIMES 1 TIMES {1} over {3} = {2} over {9} ={q}over{p}]

[eqn: therefore~p+q=11]

25. 공간도형과 공간좌표	[eqn: 30]

정답

두 직선 [eqn: m], [eqn: n]을 포함하는 평면을 [eqn: alpha]라 하자.

점 [eqn: rmB]에서 직선 [eqn: m]에 그은 수선의 발을 [eqn: rmP]라 하면
(평면 [eqn: rmBPD])[eqn: bot alpha]이고, [eqn: rmbarBP = barAC =5]이므로 [eqn: rmbarPD =1]이다.

[eqn: rm angle BPD = beta]라 하면 삼각형 [eqn: rmBPD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: cos `beta = { 5^2 +1^2 - (4 sqrt { 2} )^2} over {2 cdot5 cdot 1 } = - { 3} over { 5}]

이때, [eqn: rm angle BPQ = pi- beta]이고 [eqn: cos (pi- beta) = { 3} over { 5}]이므로

[eqn: rmbarPQ =3], [eqn: rmbar BQ =4]	…… ㉠

한편, 점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 ㉠에서 [eqn: rm bar AH =barBQ =4], [eqn: rmbarCH =bar PQ =3]이므로

(삼각형 [eqn: rm HCD]의 넓이)[eqn: =][eqn: 3 times 2 sqrt { 2} times 1over2 =3 sqrt { 2}]	…… ㉡

또, 삼각형 [eqn: rmABD]는 직각삼각형이므로

[eqn: rmbarAD = sqrt { (4 sqrt { 2})^2 +(2 sqrt { 2} )^2} = 2 sqrt { 10}]

[eqn: rmangle ACD =itx]라 하면

[eqn: cos `x = { 5^2 + 3^2 - (2 sqrt { 10})^2 } over { 2 times 5 times 3} = - { 1} over { 5}]

[eqn: sin`x = sqrt { 1-cos^2 `x} =sqrt { 1- 1over 25} = { 2 sqrt { 6} } over { 5}]

[eqn: therefore```](삼각형 [eqn: rmACD]의 넓이)[eqn: =][eqn: 1over2 times 5 times 3 times { 2 sqrt { 6} } over { 5}]
[eqn: = 3 sqrt { 6}]	…… ㉢

이때, 삼각형 [eqn: rmACD]를 평면 [eqn: alpha] 위로 정사영시키면 삼각형 [eqn: rmHCD]가 되므로 ㉡, ㉢에서

[eqn: 3sqrt { 2} = 3 sqrt { 6} `cos `theta]

[eqn: therefore```][eqn: cos` theta = { 1} over { sqrt { 3} }], [eqn: sin `theta = sqrt { 1- 1over3} = { sqrt { 2} } over { sqrt { 3} }]

따라서 [eqn: tan `theta][eqn: = { sqrt { 2} } over { sqrt { 3} } over { { 1} over { sqrt { 3} } }][eqn: = sqrt { 2}]이므로

[eqn: 15` tan^2 `theta = 15 times 2 = 30]

미분과 적분

26. 삼각함수                                  ①

정답

[eqn: cos theta = sqrt5 over 3 ``left( 0 <theta < pi over2`right )`]이므로

[eqn: sin theta = sqrt{1- cos^2 theta }`=sqrt{1-{5}over{9}}`=` 2 over3`]

[eqn: therefore```][eqn: sin theta cos2theta = sintheta (2cos^2 theta -1 )]

[eqn: = 2 over3 times left(2 times 5 over 9 -1 right)# = 2 over 27`]

27. 미분법                                     ⑤

정답

[eqn: y= LEFT ( ln 1 over ax RIGHT )^2 = LEFT ( - ln `ax RIGHT )^2 = LEFT ( ln a`x RIGHT )^2`]

[eqn: y' = 2 ln`ax```times 1 over ax times a = 2 overx ``ln` ax]

[eqn: y'' = - 2 over x^2`` ln `ax + 2 overx times 1 overx]

[eqn: = 2 over x^2 (1- lnax ) =0`]

에서 [eqn: ln ax =1`,```` ax = e`]

[eqn: therefore```][eqn: x= e over a`]

[eqn: x= e over a`]일 때, [eqn: y=left(ln {1overe} right)^2 =(-1)^2 =1]

[eqn: x<{e} over{a}]일 때, [eqn: f`''(x)>0]이고,

[eqn: x>{e} over{a}]일 때, [eqn: f`''(x)<0]이므로

점 [eqn: LEFT ( e over a`,```1 RIGHT )]은 주어진 곡선의 변곡점이다.

변곡점 [eqn: LEFT ( e over a`,```1 RIGHT )]이 직선 [eqn: y= 2x`] 위에 있으므로

[eqn: 1= 2e overa]

[eqn: therefore```][eqn: a= 2e`]

28. 적분법                                   ④

정답

[eqn: tx = s`]로 놓으면 [eqn: t dx = ds`]이고,

[eqn: x=0]일 때, [eqn: s=0]

[eqn: x=2]일 때, [eqn: s=2t]이므로

[eqn: int_0^2 x f(tx ) dx =int_0^2t left{s overt f(s ) 1 overt right}ds]

[eqn: ={1}over{t^2 }int_0^2t s f(s )`ds = 4t^2`]

[eqn: therefore```][eqn: int_0^2t s f(s) ds = 4t^4]

이때, [eqn: s f(s) `]의 부정적분을 [eqn: G(s)`]라 하면

[eqn: int_0^2t s f(s) ds = G(2t) - G(0) = 4t^4]

양변을 [eqn: t`]에 대하여 미분하면

[eqn: G`'(2t) times2 =2(2t) f(2t) = 16 t^3]

따라서 [eqn: f(2t) = 4t^2`]이므로 [eqn: f(x) = x^2`]

[eqn: therefore```][eqn: f(2) = 2^2 = 4`]

29. 미분법                                   ③

정답

다항함수 [eqn: f(x)`]가 다음을 만족할 때, 조건을 만족하도록 다른 값들을 입력하면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: x<1]	[eqn: x=1]	[eqn: 1<x<3]	[eqn: x=3`]
[eqn: f`'(x)]	-	[eqn: 0]	+	1
[eqn: f''(x)]	+	+	+	0
[eqn: f(x)]		[eqn: pi over2]		[eqn: pi`]

[eqn: g(x) = sin LEFT ( f(x) RIGHT )]에 대하여 [eqn: g'(x),``g''(x)]를 각각 구해 보면

[eqn: g`'(x) = cos LEFT ( f(x) RIGHT ) f`'(x)]

[eqn: g`''(x) = -sin LEFT (f(x) RIGHT ) LEFT { f`'(x) RIGHT }^2 + cos LEFT ( f(x) RIGHT ) f`''(x)]

ㄱ. (참) [eqn: g`'(3) = cos LEFT ( f(3) RIGHT ) f`'(3)]

[eqn: = cos pi times 1 = -1`]

ㄴ. (참) [eqn: 1<a<b<3`]일 때, [eqn: g(x)`]는 폐구간 [eqn: [1,3]`]에서 연속이고 개구간 [eqn: (1,`3)`]에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

[eqn: {g(b) - g(a)} over b-a = g`'(c)```(1<a<c<b<3)`] … ㉠

인 [eqn: c`]가 존재한다.

(ⅰ) 다항함수 [eqn: f(x)`]는 개구간 [eqn: (1,`3)`]에서 아래로 볼록이고 [eqn: f(1) < f(3)`]이므로 [eqn: f(x)`]는 이 구간에서 증가한다. 즉, [eqn: pi over2 < f(c) < pi`]

[eqn: therefore```][eqn: -1< cos LEFT ( f(c) RIGHT ) <0`]

(ⅱ) 개구간 [eqn: (1,`3)`]에서 [eqn: 0<f`'(c) <1]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: -1<][eqn: g`'(c) =][eqn: cos LEFT ( f(c) RIGHT ) f`'(c)] [eqn: <0`]     …… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: -1<][eqn: {g(b)-g(a)}over{b-a}][eqn: <0`]이다.

ㄷ. (거짓) 문제의 조건에 의하여

[eqn: g`''(1) = -sin LEFT (f(1) RIGHT ) LEFT { f`'(1) RIGHT }^2 + cos LEFT ( f(1) RIGHT ) f`''(1)]

[eqn: = -1 times 0^2 + 0 times f''(1) =0`]

[eqn: x`->`1-0]일 때, [eqn: f(x)`->`{pi}over{2}+0]이므로 [eqn: g`''(x)<0][eqn: x`->`1+0]일 때, [eqn: f(x)`->`{pi}over{2}+0]이므로 [eqn: g`''(x)<0][eqn: g`''(1)=0]이지만 [eqn: x=1]의 좌우에서 [eqn: g''(x)`]의 부호가 바뀌지 않으므로 점 [eqn: {rmP}(1,``1)]은 곡선 [eqn: y= g(x)`]의 변곡점이 아니다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

30. 함수의 극한                                50

정답

점 [eqn: \T]의 좌표를 [eqn: {\T}( 2cos theta`,`` 2 sin theta`)`]라 하면

[eqn: g(theta)`= 1 over2 times 2 cos theta times 2 sintheta]

[eqn: = 2sin theta costheta = sin2theta]

한편, [eqn: bar{\OT}]와 [eqn: bar{\QP}]의 교점을 [eqn: \R]라 하면

[eqn: f(theta) =](부채꼴 [eqn: \OAT]의 넓이)

[eqn: -](삼각형 [eqn: \OPR]의 넓이)[eqn: -](부채꼴 [eqn: \TRP]의 넓이)

이고, 사각형 [eqn: \QOPT]는 직사각형이므로

[eqn: bar{\OR}`=bar{\PR}`=bar{\RT}`=1], [eqn: angle{\RPO}`=angle{\ROP}`=theta]

[eqn: therefore```][eqn: angle{\TRP}`=2theta]

따라서 삼각형 [eqn: \OPR]의 넓이는

[eqn: {1over2}cdot 1cdot2 cos thetacdot sin theta][eqn: =sintheta` cos theta][eqn: ={1over2} `sin` 2theta]

이고, 부채꼴 [eqn: \TRP]의 넓이는

[eqn: {1over2} cdot 1^2 cdot2theta =theta]

이므로

[eqn: f(theta)=][eqn: {1over2}cdot2^2 cdot theta][eqn: -{1over2} `sin` 2theta][eqn: -theta]

[eqn: = theta - 1 over2 `sin `2theta]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ theta->+0} {theta + f(theta) } over g(theta)}=lim _{ theta->+0} {2theta - 1 over2 `sin2theta } over sin2theta }]

[eqn: =lim _{theta->+0 } {left({2theta over {sin`2theta}}-{1over2} right) }]

[eqn: = 1 - 1 over2 = 1 over2][eqn: =a]

[eqn: therefore```][eqn: 100a = 100×{1over2}=50`]

확률과 통계

26. 자료의 정리와 요약	②

정답

세 자료 [eqn: \A,``B,``C]의 도수분포의 개형은 다음 그림과 같다.

[자료 [eqn: \A]]	[자료 [eqn: \B]]	[자료 [eqn: \C]]

자료가 평균 근처에 많이 분포할수록 표준편차가 작아지므로 표준편차의 대소 관계를 바르게 나타내면

[eqn: a<c<b`]이다.

27. 확률                                     ①

정답

행운권이 당첨된 횟수를 [eqn: x`,```]당첨되지 않은 횟수를 [eqn: y`]라 하면

[eqn: cases{x+y =4#5x+y =16}]

연립하여 풀면

[eqn: x=3,``y=1]

따라서 [eqn: 4]회 참여하여 회원 점수가 [eqn: 16]점 올라가려면 [eqn: 3]번은 당첨되고, [eqn: 1]번은 당첨되지 않아야 하므로 구하는 확률은

[eqn: `_4 {\C}_ 3 `` LEFT ( 1 over3 RIGHT )^3 LEFT ( 2 over3 RIGHT )][eqn: = 8 over 81`]

28. 통계적 추정	④

정답

임의로 선택된 [eqn: 1600]명의 직원 중에서 자격증 [eqn: \A]를 가진 직원의 비율을 [eqn: hat p`]이라고 하면 [eqn: hat p`]은 정규분포

[eqn: {\N}left(0.2`,``` {0.2 times 0.8}over 1600 right)`] 즉, [eqn: {\N} left(0.2`,``0.01^2 right)`]을 따른다. 따라서 임의로 선택한 [eqn: 1600]명 중 자격증 [eqn: \A]를 가진 직원의 비율이 [eqn: a]% 이상일 확률은

[eqn: {\P}left(hatp` >= a over 100 right)][eqn: = {\P}left( Z` >= {a over 100 - 0.2 }over 0.01 right)]

[eqn: ={\P}(Z>=`a-20)]

[eqn: = 0.9772]

[eqn: = 0.5 + 0.4772]

[eqn: =0.5+{\P}(-2<=Z<=0)]

즉, [eqn: a-20=`-2]이므로 [eqn: a= 18`]이다.

29. 통계적 추정	③

정답

신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간이 [eqn: LEFT [ a`,```b` RIGHT ]]이므로

[eqn: b-a = 2 times 1.96× {5}over sqrt n]

[eqn: b-a over2 = 9.8 over sqrt n]	…… ㉠

한편, 수익이 비용보다 크게 되려면

(수익) [eqn: -] (비용) [eqn: = 10^{2over b-a} - 10n > 0`]

[eqn: 10^{2over b-a}>10n]

위의 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 2 over b-a > 1+ log `n]

∴ [eqn: b-a over2 <`1 over{1+ log `n }]	…… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 9.8 over{sqrtn} `< {1} over {1+ log` n}], [eqn: 9.8 < {sqrt n} over {1+ log` n}]

[eqn: n]이 [eqn: 100]의 배수이므로

(ⅰ) [eqn: n= 1700]일 때, [eqn: {sqrt n} over {1+ log `n} = 9.75]

(ⅱ) [eqn: n= 1800]일 때, [eqn: {sqrt n} over {1+ log` n} = 9.97]

따라서 수익이 비용보다 크게 되는 [eqn: n`]의 최솟값은

[eqn: 1800]이다.

30. 확률	590

정답

세 공장 [eqn: \A,``B,``C]를 임의로 선택할 확률은 각각 [eqn: 1 over3`]이므로

(ⅰ) [eqn: \A] 공장에서 생산한 제품 [eqn: 3]개 중에서 [eqn: 2]개가 불량품일 확률은

[eqn: 1 over3 times `_3 {\C}_2 LEFT ( 2 over 100 RIGHT )^2 LEFT ( 98 over 100 RIGHT )][eqn: ={4×98}over{10^6}]

(ⅱ) [eqn: \B] 공장에서 생산한 제품 [eqn: 3]개 중에서 [eqn: 2]개가 불량품일 확률은

[eqn: 1 over3 times `_3 {\C}_2 LEFT ( 1 over 100 RIGHT )^2 LEFT ( 99 over 100 RIGHT )][eqn: ={99}over{10^6}]

(ⅲ) [eqn: \C] 공장에서 생산한 제품 [eqn: 3]개 중에서 [eqn: 2]개가 불량품일 확률은

[eqn: 1 over3 times `_3 {\C}_2 LEFT ( 1 over 100 RIGHT )^2 LEFT ( 99 over 100 RIGHT )][eqn: ={99}over{10^6}]

따라서 구하는 확률 [eqn: p]는

[eqn: p= { 4 times 98 + 2 times 99} over 10^6`={590 over{10^6 }}]

∴ [eqn: 10^6 p = 590]

이산수학

26. 알고리즘	③

정답

[eqn: LEFT { {a_1 =2`,`` a_2 =3}#{a_n + a_n+1 + a_n+2 = n+1}]

이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 14} a_k` = (a_1 + a_2 ) + (a_3 + a_4 + a_5 )+(a_6 + a_7 + a_8 )]                    [eqn: + (a_9+ a_10 + a_11 ) + (a_12+ a_13 + a_14 )]

[eqn: = 5 + (3+1) + (6+1) + (9+1 ) + (12+1)]          [eqn: =39]

27. 그래프                                     ⑤

정답

꼭짓점의 개수가 [eqn: n`]이고, 임의의 두 꼭짓점 사이에 하나의 변이 존재하는 그래프를 완전그래프 [eqn: {rmK}_n]이라 한다. 다음은 [eqn: {rmK}_4,~{rmK}_5]의 그래프이다.

[eqn: {rmK}_4]	[eqn: {rmK}_5]

ㄱ. (참) 모든 변이 꼭짓점에서만 만나도록 그림을 그릴 수 있으므로 [eqn: {rmK}_4]는 평면그래프이다.

ㄴ. (참) 완전그래프 [eqn: {rmK}_n]을 적절하게 색칠하는 데에 필요한 최소의 색의 수는 [eqn: `][eqn: n]이므로 [eqn: {rmK}_5]의 꼭짓점을 적절하게 색칠하는데 필요한 최소의 색의 수는 [eqn: 5]이다.

ㄷ. (참) 각 꼭짓점의 차수가 [eqn: n-1`]이므로 [eqn: {rmK}_n]의 모든 꼭짓점의 차수의 합은 [eqn: n(n-1)`]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

28. 그래프                                     ④

정답

모둠 [eqn: rmB]에 속한 학생의 수를 [eqn: i](명)라 하면 연락을 하는 사람의 수는 선생님을 포함하여 [eqn: i+1](명)이다.

연락을 받는 학생의 수는 [eqn: 24](명)이므로

[eqn: 4(i+1)=24,~][eqn: i+1=6]

[eqn: therefore~i=5]

따라서 모둠 [eqn: rmA]에 속한 학생의 수는

[eqn: 24-5=19](명)이다.

29. 선택과 배열                                ①

정답

함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 2]이고, 합성함수 [eqn: f circ f`]의 치역의 원소의 개수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: f circ f`]의 치역의 원소를 선택하는 방법의 수는 [eqn: 4]가지, [eqn: f`]의 치역의 원소를 선택하는 방법의 수는 [eqn: f circ f`]의 치역의 원소에 다른 [eqn: 3]개의 숫자 중 하나를 더 선택하는 [eqn: 3]가지이다.

예를 들어, [eqn: f circ f`]의 치역이 [eqn: LEFT { 1 RIGHT }], [eqn: f]의 치역이 [eqn: LEFT { 1`,``2 RIGHT }]인 경우 다음 그림과 같이 된다.

이때, [eqn: f(1) = f(2) =1]이고,

[eqn: f(3) = f(4) =2] 또는 [eqn: f(3)=1, f(4) =2]

또는 [eqn: f(3)=2,`` f(4) =1]의 [eqn: 3]가지가 있으므로

조건을 만족하는 함수 [eqn: f`]의 개수는

[eqn: 4 times 3 times 3 = 36`](개)이다.

30. 의사결정과 최적화                         20

정답

주어진 표를 방향이 있는 그래프로 나타내면 다음과 같다.

따라서 각 코스별 작업 시간은

[eqn: rmA`->`B`->`D`->`F`->`H~:~19]일

[eqn: rmA`->`B`->`E`->`H~:~17]일

[eqn: rmA`->`B`->`E`->`G`->`H~:~20]일

[eqn: rmA`->`C`->`F`->`H~:~18]일

[eqn: rmA`->`C`->`G`->`H~:~18]일

이므로 축제 준비를 위한 모든 작업을 끝마치는 데에 필요한 최소 작업 시간은 [eqn: 20]일이다.

수리 영역_나형

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2010년 9월 모의평가 해설

수리 영역

1. ①	2. ②	3. ①	4. ③	5. ②

6. ⑤	7. ⑤	8. ③	9. ④	10. ⑤

11. ②	12. ②	13. ③	14. ④	15. ③

16. ②	17. ①	18. [eqn: 19]	19. [eqn: 8]	20. [eqn: 10]

21. [eqn: 17]	22. [eqn: 20]	23. [eqn: 39]	24. [eqn: 11]	25. [eqn: 63]

26. ④	27. ④	28. ③	29. ①	30. [eqn: 37]

1. 지수와 로그	①

정답

[eqn: log _3 `6 + log_3 `2 - log_3 `4][eqn: = log_3 { 6times2} over { 4}]
[eqn: = log_3 `3]
[eqn: = 1]

2. 수열의 극한	②

정답

[eqn: lim _{ n->inf} { left( sqrt { n^2 +4n +11} -n ` right)}]

[eqn: = lim _{ n->inf} { { 4n+11} over { sqrt { n^2 +4n +11} +n} }]

[eqn: =lim _{ n->inf} { { 4+ 11overn} over { sqrt { 1+ { 4} over {n } + 11 over n^2 } +1} }]

[eqn: = { 4} over { 1+1}]

[eqn: =2]

3. 행렬	①

정답

[eqn: AX -BX = (A-B`)X =pmatrix { 1&& 0# 0&& 1}]이고

[eqn: A-B = pmatrix { 3&& 1# 5&& 2}]이므로

[eqn: pmatrix { 3&& 1# 5&& 2} X= pmatrix { 1&& 0# 0&& 1}]

[eqn: therefore```][eqn: X = {pmatrix { 3&& 1# 5&& 2}}^-1 = pmatrix { ```````2& ```-1# -5& ``````````3}]

4. 확률	③

정답

[eqn: {rmP}(A) = {rmP}(B`)]이고, [eqn: {rmP}(A) +{rmP}(B`) = { 2} over { 3}]이므로

[eqn: {rmP}(A) = { 1} over { 3}], [eqn: {rmP}(B) = { 1} over { 3}]

또, [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이므로

[eqn: {rmP}(A cap B )][eqn: = {rmP}(A) cdot {rmP}(B)]
[eqn: = { 1} over { 3} cdot { 1} over { 3}]
[eqn: = { 1} over { 9}]

5. 지수함수와 로그함수	②

정답

주어진 부등식의 해가 [eqn: { 1} over { 3} <x < 9]이므로

[eqn: - 1 < log_3 `x < 2]가 성립한다. 즉

[eqn: (log_3 `x +1 ) ( log_3` x -2 ) <0]

[eqn: (1+ log_3 `x ) (2-log_3 `x)>0]

[eqn: therefore```][eqn: a=2]

6. 지수와 로그	⑤

정답

양수량이 [eqn: 24], 양수할 높이가 [eqn: 5]일 때의 비교회전도가 [eqn: S_1]이므로

[eqn: S_1][eqn: = N cdot (24)^{1over2} cdot 5^{- 3over4}]
[eqn: = N cdot (2^3 cdot 3)^{1over2} cdot 5^{- 3over4}]

양수량이 [eqn: 12], 양수할 높이가 [eqn: 10]일 때의 비교회전도가 [eqn: S_2]이므로

[eqn: S_2][eqn: = N cdot (12)^{1over2} cdot 10^{- 3over4}]
[eqn: =N cdot (2^2 cdot 3) ^{1over2} cdot (2 cdot 5 )^{- 3over 4}]

[eqn: therefore```][eqn: { S_1} over { S_2}][eqn: = { N cdot (2^3 cdot 3)^{1over2} cdot 5^{- 3over4}} over { N cdot (2^2 cdot 3)^{1over2} cdot (2cdot 5)^{- 3over4}}]
[eqn: = 2^{3over2 - 1- LEFT ( - 3over4 RIGHT ) }]
[eqn: = 2 ^{5over4}]

7. 순열과 조합	⑤

정답

그림에서 이웃한 [eqn: 2]개의 지역을 담당하는 경우의 수는

①	②		④
	③
⑤		⑥

①과 ②, ①과 ③, ①과 ⑤, ②와 ③, ②와 ④, ③과 ④, ③과 ⑤, ③과 ⑥, ④와 ⑥, ⑤와⑥

의[eqn: 10](가지)

[eqn: 5]명 중 이웃하는 지역을 담당할 조사원을 정하는 경우의 수는

[eqn: `_5 rmC_1 = 5](가지)

남은 [eqn: 4]개 지역에 조사원을 지정하는 경우의 수는 [eqn: 4!](가지)

따라서 조사원 [eqn: 5]명의 담당 지역을 정하는 경우의 수는

[eqn: rm 10 times _5 C_1 times 4! = 1200](가지)

8. 확률분포와 통계적 추정	③

정답

특정 자극에 대한 반응 시간을 확률변수 [eqn: X]라고 하면

[eqn: X]는 정규분포 [eqn: rmN (itm,~1^2 )]을 따르므로

[eqn: {rmP}(X <= 2.93) ={rmP} left(Z <= { 2.93-m} over { 1} right) = 0.1003]

[eqn: { 2.93-m} over { 1} = -1.28]

[eqn: therefore```][eqn: m=4.21]

9. 수열의 극한	④

정답

기울기가 [eqn: n]이고 [eqn: y]절편이 양수인 원 [eqn: x^2 +y^2 =n^2]의 접선의 방정식을 [eqn: y =nx+k``(k>0)]라 하면 이 접선과 원의 중심 사이의 거리가 [eqn: n]이므로 점과 직선 사이의 거리 공식에 의하여

[eqn: { |`k`|} over { sqrt { n^2 +1} } = n]

[eqn: therefore```][eqn: k = n sqrt { n^2 +1}]([eqn: because```][eqn: k>0])

그러므로 접선의 방정식은 [eqn: y = nx +n sqrt { n^2 +1}]이고, [eqn: {rmP}_n LEFT ( - sqrt { n^2 +1},~0 RIGHT )], [eqn: {rmQ}_n LEFT ( 0,~n sqrt { n^2 +1} RIGHT )]이다.

[eqn: therefore```][eqn: l_n][eqn: = bar{{rmP}_n {rmQ}_n}][eqn: = sqrt { (n^2 +1) +n^2 (n^2 +1 )}]
[eqn: = |``n^2 +1`|][eqn: = n^2 +1]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf} { { l_n} over { 2n^2} } = lim _{ n->inf} { { n^2 +1} over { 2n^2} } = { 1} over { 2}]

10. 행렬	⑤

정답

ㄱ. (거짓) [eqn: ABC =E], [eqn: ACB =E`]이므로
[eqn: A=E`]이면 [eqn: BC=E`], [eqn: CB=E`]이다.
그런데 [eqn: B = pmatrix{0&&1#1&&0}], [eqn: C = pmatrix{0&&1#1&&0}]일 때
[eqn: BC=E], [eqn: CB =E]이지만 [eqn: B != E]이다.

ㄴ. (참) [eqn: (AC`)B =E`]이므로 [eqn: B`(AC`)=E]이다.
즉, [eqn: BAC =E`]이므로 [eqn: BA =C``^-1]이고,
[eqn: ABC =E`]이므로 [eqn: AB =C``^-1]이다.
[eqn: therefore```][eqn: AB=BA]

ㄷ. (참) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: A^n B``^n C``^n =E]

가 성립함을 수학적귀납법으로 증명하자.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: ABC =E`]이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k][eqn: (k=1,~2,~3,~cdots)]일 때 성립한다고 가정하면 [eqn: A^k B^k C^k = E]
[eqn: n=k+1]일 때, 성립함을 보이자.
[eqn: AB`C = AC`B =E]에서 [eqn: B`C= C`B`]이므로
[eqn: A^k+1 B^k+1 C^k+1]

[eqn: = A A^k B^k B`C^k C]
[eqn: = A `A^k B^k C^k B `C]
[eqn: = A`E` B` C =E`]
그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

11. 수열의 극한	②

정답

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} LEFT ( a_n - { 3n} over {n+1 } RIGHT )]과 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} (a_n +b_n )]이 모두 수렴하므로

[eqn: lim _{ n->inf} { LEFT ( a_n - { 3n} over { n+1} RIGHT ) } =0], [eqn: lim _{ n->inf} { (a_n +b_n )}=0]

따라서 [eqn: lim _{ n->inf} { a_n =3}], [eqn: lim _{ n->inf} { b_n =-3}]이므로

[eqn: lim _{ n->inf} { { 3-b_n} over {a_n } }][eqn: = { 3-(-3)} over { 3}=2]

12. 수열의 극한	②

정답

부채꼴 [eqn: rm A_0 A_1 B_1], [eqn: rm A_1 A_2 B_2], …는 서로 닮음이다.

[eqn: rmbar{A_1 B_2 } = sin { pi} over { 4} times rm bar{ A_0 B_1}], [eqn: rmbar{A_2 B_3 } = sin { pi} over { 4} times rm bar{ A_1 B_2}], …

이므로

[eqn: l_n+1 = { sqrt { 2} } over { 2} l_n]

따라서 수열 [eqn: left{l_n right}]은 첫째항이 [eqn: l_1 =4 times pi over 4 =pi]이고, 공비가 [eqn: { sqrt { 2} } over { 2}]인 무한등비수열이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}l_n = { pi} over { 1- { sqrt { 2} } over { 2} } = (2+ sqrt { 2})pi]

13. 확률분포와 통계적 추정	③

정답

[eqn: \A]와 [eqn: \B]가 각각 주사위를 한 개씩 동시에 던지는 시행을 통하여 얻은 주사위의 눈의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때,

[eqn: |`a-b`|<3]인 경우의 수는

[eqn: a=1]일 때 [eqn: b=1,~2,~3]

[eqn: a=2]일 때 [eqn: b=1,~2,~3,~4]

[eqn: a=3]일 때 [eqn: b=1,~2,~3,~4,~5]

[eqn: a=4]일 때 [eqn: b=2,~3,~4,~5,~6]

[eqn: a=5]일 때 [eqn: b=3,~4,~5,~6]

[eqn: a=6]일 때 [eqn: b=4,~5,~6]

의 [eqn: 24](가지)이다.

그러므로 한 번의 시행에서 [eqn: \A]가 [eqn: 1]점을 얻을 확률은

[eqn: { 24} over { 36} = 2over3]

[eqn: \B]가 [eqn: 1]점을 얻을 확률은 [eqn: { 1} over { 3}]

[eqn: 15]번의 시행에서 [eqn: rmA]가 얻는 점수를 확률변수 [eqn: X], [eqn: rmB]가 얻는 점수를 확률변수 [eqn: Y`]라 하면 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: \B LEFT ( 15 ,~ 2over3 RIGHT )], [eqn: Y`]는 이항분포 [eqn: rmB LEFT ( 15,~ 1over3 RIGHT )]을 따른다.

[eqn: therefore```][eqn: {rmE}(X`)][eqn: = 15 times { 2} over { 3}][eqn: =10], [eqn: {rmE}(Y``)][eqn: = 15 times 1over 3][eqn: = 5]

[eqn: therefore```][eqn: left|` {rmE}(X)- {rmE}(Y``)` right| =5]

14. 확률분포와 통계적 추정	④

정답

[eqn: {rmP} left(a <= X <= a + 1over 2 right)]의 값이 최대가 되려면 오른쪽 그림과 같을 때 최대가 된다. 즉, [eqn: a], [eqn: a+2]가 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이 되어야 한다.

[eqn: { a+ LEFT ( a + 1over2 RIGHT ) } over {2} =1], [eqn: 2a + 1over2 = 2]

[eqn: therefore```][eqn: a= { 3} over { 4}]

15. 지수함수와 로그함수	③

정답

점 [eqn: \A]와 점 [eqn: \C]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: n]이라 하자.

[eqn: rmbar AC = log_2 `4n - log_2`n =2]이므로 삼각형 [eqn: rm ABC]는 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형이다.

그러므로 점 [eqn: \B]에서 선분 [eqn: \AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 점 [eqn: rmM]의 좌표는 [eqn: (n,~ log_2 `n+1 )]이고, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: log_2`n+1]이다.

[eqn: therefore```][eqn: log_2` 4p = log_2` n+1]	…… ㉠

또한, [eqn: rmbarBM = sqrt { 3}]이므로 [eqn: n-p= sqrt { 3}]

㉠에 대입하면

[eqn: log_2 `4p = log_2 `( sqrt { 3}+p)+1]

[eqn: log_2` 2p = log_2` ( sqrt { 3}+p )]

[eqn: therefore```][eqn: p= sqrt { 3}], [eqn: q = log_2 `4 sqrt { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: p^2 times 2^q = { sqrt { 3}}^2 times 2 ^{log_2 ` 4 sqrt { 3} }]

[eqn: = 3 times 4 sqrt { 3} = 12 sqrt { 3}]

16. 지수와 로그	②

정답

[eqn: log``x = - { 4} over { 5}]이므로

[eqn: log`` x^2][eqn: = 2` log `x`][eqn: = - { 8} over { 5} = -2+0.4]

[eqn: log``2 < 0.4 < log``3]이므로 [eqn: x^2]은 소수점 아래 [eqn: 2]번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 숫자 [eqn: 2]가 나타난다.

[eqn: THEREFORE ```][eqn: a=2], [eqn: b=2]

[eqn: therefore```][eqn: a+b=4]

17. 수열	①

정답

주어진 식으로부터 [eqn: a_2 =7]이다.

자연수 [eqn: n (n>= 3 )]에 대하여

[eqn: a_n][eqn: =n^2 + sum _{ k=1} ^{ n-1} (2k+1)a_k]
[eqn: = n^2 + sum _{ k=1} ^{ n-2}(2k+1)a_k +(2n-1) a_n-1]	…… ㉠

[eqn: a_n-1 = (n-1)^2 + sum _{ k=1} ^{ n-2} (2k+1) a_k]이므로 ㉠에서

[eqn: a_n = n^2 + a_n-1 -][eqn: +(2n-1) a_n-1]

[eqn: (n-1)^2]

이므로, [eqn: a_n +1 = 2n(a_n-1 +1)]이 성립한다.

[eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{3} +1=`2 CDOT 3 CDOT (a _{2} +1)]

[eqn: a_4 +1 =` 2 cdot 4 cdot (a_3 +1)]

[eqn: vdots]

[eqn: a_n +1 =` 2cdot n cdot (a_n-1 +1)]

이고 각 변끼리 곱하면

[eqn: a_n +1][eqn: = n times (n-1) times `cdots `times 3 times][eqn: times (a_2 +1)]
[eqn: = n times (n-1) times `cdots` times 3 times 2^n-2 times 8]
[eqn: = 4 times n! times]

[eqn: 2^n-2]

[eqn: 2^n-2]

[eqn: therefore```][eqn: f(n) = (n-1)^2], [eqn: g(n) = 2^n-2]

[eqn: therefore```][eqn: f(9) TIMES g(9)=8 ^{2} TIMES 2 ^{7}]

[eqn: =2 & ^{6} TIMES 2 ^{7}]

[eqn: =2 ^{13}]

18. 수열	[eqn: 19]

정답

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_n = a + (n-1) d]이므로

[eqn: a_3 = a+2d =5]

[eqn: a_6 - a_4 = a+5d - (a+3d) =2d=4]

[eqn: therefore```][eqn: a=2], [eqn: a=1]

[eqn: therefore```][eqn: a_10 = a+ 9d =19]

19. 순열과 조합	[eqn: 8]

정답

[eqn: `_n {rmP}_3 = { n!} over { (n-3)!} = n(n-1)(n-2)]

[eqn: `_n {rmC}_2 = { n!} over { 2!` (n-2)!} = { 1} over { 2} n (n-1)]

이므로 [eqn: `_n {rmP} _3 = 12 times _n {rmC}_2]에서

[eqn: n(n-1) (n-2) = 12 times { 1} over { 2} n (n-1)]

[eqn: n(n-1) (n-8)=0]

따라서 [eqn: n]은 [eqn: 3] 이상의 자연수이므로 [eqn: n=8]이다.

20. 지수함수와 로그함수	[eqn: 10]

정답

[eqn: (2^x - 8 ) (3^2x - 9)=0]에서

[eqn: 2^x = 8] 또는 [eqn: 3^2x =9]

[eqn: therefore```][eqn: x=3] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: therefore```][eqn: alpha^2 +beta^2 = 3^2 +1^2 =10]

21. 행렬	[eqn: 17]

정답

[eqn: x=b], [eqn: y=9]가 연립방정식

[eqn: pmatrix{1&``-2#a&`````````2} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#0}]

의 근이므로 [eqn: b-18=0]에서 [eqn: b=18]이다.

[eqn: pmatrix{1&``-2#a&`````````2} pmatrix{`18`#`9`} = pmatrix{`0`#0}]이므로

[eqn: 18a +18=0]에서 [eqn: a=-1]이다.

[eqn: therefore```][eqn: a+b=17]

22. 확률	[eqn: 20]

정답

[eqn: 4]개의 좌석에 [eqn: 4]명의 승객이 앉는 방법의 수는 [eqn: 4!](가지)

남자 승객 [eqn: 2]명이 모두 [eqn: \A]구역에 배정되어 앉는 방법의 수는 [eqn: 2!](가지)

나머지 여자 승객 [eqn: 2]명이 [eqn: rmB], [eqn: rmC]구역에 배정되어 앉는 방법의 수는 [eqn: 2!](가지)

[eqn: therefore```][eqn: p = { 2! times 2!} over { 4!} = { 1} over { 6}]

[eqn: therefore```][eqn: 120p = 20]

23. 수열	[eqn: 39]

정답

[eqn: a_n+1 = a_n + (-1)^n { 2n+1} over { n(n+1)}``(n>=1 )]이므로
수열 [eqn: left{a_n right}]의 계차수열의 일반항은 [eqn: (-1)^n { 2n+1} over { n(n+1)} = (-1)^n `left( { 1} over { n} + { 1} over { n+1} right)]

[eqn: therefore```][eqn: a_20][eqn: = a_1 + sum _{ k=1} ^{ 19} (-1)^k `left( 1 over k + { 1} over { k+1} right)]

[eqn: = 2- 1 - 1over20]

[eqn: = 2 + left{ LEFT ( -1 - 1over2 RIGHT ) + LEFT ( 1over2 + 1over3 RIGHT ) + LEFT ( - 1over3 - 1over4 RIGHT )]

[eqn: + cdots + LEFT ( - 1over19 - 1over20 RIGHT ) right}]

[eqn: = 19over20][eqn: = { q} over { p}]

[eqn: therefore```][eqn: p+q=39]

24. 확률	[eqn: 11]

정답

카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 하자.

[eqn: (alpha,~beta,~gamma)=(0,~1,~2)]이므로 두 번의 시행으로

[eqn: (0,~0,~0)] 또는 [eqn: (1,~1,~1)] 또는 [eqn: (2,~2,~2)]를 만들 수 없다. 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 3 TIMES 3=27](가지)

이고, 세 번의 시행에서 [eqn: (0,~0,~0)]이 되는 경우는

[eqn: (0,~1,~2)→(0,~2,~2)→(0,~2,~3)→(0,~3,`~3)]

[eqn: (0,~1,~2)→(0,~2,~2)→(0,~3,~2)→(0,~3,~3)]

[eqn: (0,~1,~2)→(0,~1,~3)→(0,~2,~3)→(0,~3,~3)]

의 [eqn: 3]가지이고 [eqn: (1,~1,~1)] 또는 [eqn: (2,~2,~2)]가 될 수 있는 경우도 각각 [eqn: 3]가지씩이다.

따라서 [eqn: 3]번째 시행에서 사건 [eqn: A]가 일어나지 않을 확률은

[eqn: {rmP}(A ^{C`}` )=1- {3+3+3} over {27} = {2} over {3}]

또한, [eqn: 3]번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: (0,~1,~2)] 또는

[eqn: (0,~0,~0)] 또는 [eqn: (1,~1,~1)] 또는 [eqn: (2,~2,~2)]이므로 [eqn: 4]번째, [eqn: 5]번째 시행에서는 사건 [eqn: A]가 일어나지 않고 [eqn: 6]번째 시행에서 사건 [eqn: A]가 같은 확률로 일어난다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES {2} over {3} TIMES 1 TIMES 1 TIMES {1} over {3} = {2} over {9} ={q}over{p}]

[eqn: therefore~p+q=11]

25. 수열	[eqn: 63]

정답

[eqn: n]행에 나열된 모든 원 안의 수의 합을 [eqn: a_n], [eqn: 1]행부터 [eqn: n]행까지 나열된 모든 원 안의 수의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: a_n]과 [eqn: S_n]의 값은 아래 표와 같다.

[eqn: n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9 sim 15]	[eqn: 16]	[eqn: 17sim31]	[eqn: 32]
[eqn: a_n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: 4]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 8]	[eqn: 0]	[eqn: 16]	[eqn: 0]	[eqn: 32]
[eqn: S_n]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: 7]	[eqn: 7]	[eqn: 7]	[eqn: 7]	[eqn: 15]	[eqn: 15]	[eqn: 31]	[eqn: 31]	[eqn: 63]

즉, [eqn: n=2^k]([eqn: k]는 자연수)일 때 [eqn: a_n =n]이고, 나머지는 [eqn: 0]이다.

따라서 제[eqn: `1`]행부터 제[eqn: `32`]행까지 나열된 원 안에 써 넣은 모든 수의 합은

[eqn: 1+2+4+8+16+32=][eqn: 63]

26. 지수와 로그	④

정답

[eqn: 1<= m <=3], [eqn: 1<= n <=8]인 자연수이므로

[eqn: sqrt { 3}of{n^m} = n^{m over 3}]이 자연수가 되려면

(ⅰ) [eqn: m=1]일 때 [eqn: n=1,~8]

(ⅱ) [eqn: m=2]일 때 [eqn: n=1,~8]

(ⅲ) [eqn: m=3]일 때 [eqn: n=1,~2,~3,~cdots,~8]

따라서 구하는 순서쌍 [eqn: (m,~n )]의 개수는 [eqn: 12](개)이다.

27. 순열과 조합	④

정답

[eqn: 5]일 중 요가를 하는 요일을 [eqn: 3]일 선택하는 경우의 수는

[eqn: `_5 rmC_3 =10](가지)

남은 [eqn: 2]일 중 하루를 선택하여 수영, 줄넘기 중 한 가지를 하는 경우의 수는

[eqn: `_2 rmC _1 times _2 C_1 = 4](가지)

남은 하루에 농구, 축구 중 한 가지를 하는 경우의 수는

[eqn: `_2 rmC_1 =2](가지)

따라서 지수가 세울 수 있는 계획의 가짓수는

[eqn: 10 times 4 times 2= 80](가지)

28. 확률	③

정답

[eqn: \A]를 먹은 사람일 사건을 [eqn: A], 식중독에 걸린 사람일 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: p_1 ={rmP} (B ``|`A ) ={ 22} over { 50}]

[eqn: p_2 = {rmP}(B``|`A^{C`} `)={ 24} over { 250}]

∴ [eqn: { p_1} over { p_2} = { 22over50} over { 24 over250} = 55over12]

29. 확률분포와 통계적 추정	①

정답

확률분포의 정의에 의하여

[eqn: { 1} over { 4}+a + { 1} over { 2}=1]이므로 [eqn: a= { 1} over { 4}]이다.

[eqn: {rmE}(X`) =( -2 ) times { 1} over {4 } +0 + 1 times 1over2 =0]

[eqn: {rmE}(X^2` ) = (-2)^2 times 1over4 +0 + 1times 1over2 = 3over2]

이므로 [eqn: {rmV}(X`) = 3over2 - 0^2 = { 3} over { 2}]

[eqn: therefore```][eqn: {rmV}( bar{X``} ) = { {rmV} (X`)} over { 16} = { 3} over { 32}]

[eqn: therefore```][eqn: sigma (bar{X``}) = sqrt { 3 over32} = sqrt { 3} over{4 sqrt { 2} } = { sqrt { 6} } over { 8}]

30. 행렬	[eqn: 37]

정답

[eqn: {pmatrix{2&`````````1#0&``-4}}^2 = pmatrix{2&`````````1#0&``-4} pmatrix{2&`````````1#0&``-4} = pmatrix{4&& 2-2^2#0&&16}]

[eqn: {pmatrix{2&`````````1#0&``-4}}^3 = pmatrix{4&&2-2^2#0&&16} pmatrix{2&`````````1#0&``-4} = pmatrix{8&& 2^2 -2^3 +2^4 #0&&-64}]

[eqn: {pmatrix{2&`````````1#0&``-4}}^4][eqn: = pmatrix{8&& 2^2 -2^3 +2^4 #0&&-64} pmatrix{2&`````````1#0&``-4}]
[eqn: = pmatrix{16&& 2^3 -2^4 +2^5 -2^6 #0&&256}]

[eqn: {pmatrix{2&`````````1#0&``-4}}^5][eqn: = pmatrix{16&& 2^3 -2^4 +2^5 -2^6 #0&&256} pmatrix{2&`````````1#0&``-4}]
[eqn: = pmatrix{32&& 2^4 - 2^5 +2^6 - 2^7 +2^8 #0&&-1024}]

[eqn: therefore```][eqn: n=5], [eqn: a=32]

[eqn: therefore```][eqn: a+n=37]