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수학 영역

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2013학년도 6월 고1 전국연합학력평가 문제지

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제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: sqrt {14 ^{2}} + LEFT ( sqrt {-1} RIGHT ) ^{2} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 9`]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 11`]	④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 13`]

2. [eqn: x=2 sqrt {3} `], [eqn: y= sqrt {5} `]일 때 [eqn: (x+y)(x-y)]의 값은? [2점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 13`]

3. 두 다항식

[eqn: A=3x^2 +xy +y^2`], [eqn: B=x ^{2} +2y ^{2} `]

에 대하여 [eqn: A-2B`]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: x ^{2} +xy-3y ^{2} `]	② [eqn: x ^{2} +xy+3y ^{2} `]	③ [eqn: x ^{2} +2xy-3y ^{2}]	④ [eqn: 2x ^{2} -xy+3y ^{2}]	⑤ [eqn: 2x ^{2} +xy`]

4. [eqn: 1<x<3`]일 때 [eqn: LEFT | `x-1` RIGHT | + LEFT | `x-4` RIGHT | `]를 간단히 하면? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 2x-3`]	⑤ [eqn: 2x+3`]

5. 이차방정식 [eqn: x^2 -3x+1=0``]의 두 근이 [eqn: alpha ,``` beta `]일 때, [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } `]의 값은? [3점]

① [eqn: -5`]	② [eqn: -3`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 5`]

6. 다음 중에서 다항식 [eqn: LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x-1 RIGHT ) -2`]의 약수인 것은?

[3점]

① [eqn: x-2`]	② [eqn: x-1`]	③ [eqn: x`]

④ [eqn: x ^{2} +1`]	⑤ [eqn: x ^{2} +x+1`]

7. 집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT } `]의 부분집합 중에서 홀수가 한 개 이상 속해 있는 집합의 개수는? [3점]

① [eqn: 16`]	② [eqn: 20`]	③ [eqn: 24`]

④ [eqn: 28`]	⑤ [eqn: 32`]

8. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 - kx + k-1 =0`]이 중근 [eqn: alpha`]를 가질 때, [eqn: k+alpha`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5`]

9. 어느 학급 학생 [eqn: 36`]명을 대상으로 지난 토요일과 일요일에 축구 경기를 시청한 학생 수를 조사하였다. 그 결과 토요일에 시청한 학생은 [eqn: 25`]명, 일요일에 시청한 학생은 [eqn: 17`]명이었다. 토요일과 일요일 모두 시청한 학생 수의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m``]이라 할 때, [eqn: M+m`]의 값은? [3점]

① [eqn: 15`]	② [eqn: 17`]	③ [eqn: 19`]

④ [eqn: 21`]	⑤ [eqn: 23`]

10. [eqn: x`]에 대한 방정식

[eqn: (x+2) ^{2} +(2x+a) ^{2} =0`]

이 실근을 가질 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5`]

11. 두 조건

[eqn: p:`-3<x-a<`4`]

[eqn: q:`-1 LEQ 3x-7<23`]

에 대하여 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 정수 [eqn: a`]의   개수는? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

12. 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: A _{n} = LEFT { `x`` LEFT | ``x RIGHT . RIGHT .`]는 [eqn: n```]이하의 소수[eqn: ` RIGHT }]

[eqn: B _{n} = LEFT { `x`` LEFT | ``x RIGHT . RIGHT .`]는 [eqn: n`]의 양의 약수[eqn: `RIGHT }]

일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A _{3} SMALLINTER B _{4} = LEFT { 2 RIGHT }`] ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A _{n} SUBSET A _{n+1} `]이다. ㄷ. 두 자연수 [eqn: m`], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: B _{m} SUBSET B _{n} `]이면 [eqn: m`]은 [eqn: n`]의 배수이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. [eqn: 0`]이 아닌 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: b+c<a`]

(나) [eqn: {sqrt {b}} over {sqrt {a}} =-sqrt {{b} over {a}}]

세 수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 대소 관계로 옳은 것은? [3점]

① [eqn: a<c<b`]	② [eqn: b<a<c`]	③ [eqn: b<c<a`]

④ [eqn: c<a<b`]	⑤ [eqn: c<b<a`]

14. 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]([eqn: a>b])에 대하여 그림과 같은 직육면체 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S], [eqn: rm T`]의 부피를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s], [eqn: t`]라 하자.

[eqn: p=q+r+s+t`]일 때, [eqn: a-b`]의 값은? [4점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {4} over {5}]	④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: 1`]

[15 ~ 16] 그림과 같이 [eqn: BOLD{rm bar AB =2`}], [eqn: BOLD{rm bar BC =4`}]인 직사각형과 선분 [eqn: BOLD{rm BC`}]를 지름으로 하는 반원이 있다. 직사각형 [eqn: BOLD{rm ABCD`}]의 내부에 있는 한 점 [eqn: BOLD{rm P`}]에서 선분 [eqn: BOLD{rm AB`}]에 내린 수선의 발을 [eqn: BOLD{rm Q`}], 선분 [eqn: BOLD{rm AD`}]에 내린 수선의 발을 [eqn: BOLD{rm R`}]라고 할 때, 15번과 16번의 두 물음에 답하시오.

15. [eqn: rm bar{PQ} `], [eqn: rm bar{PR} `]가 모두 자연수인 반원 내부의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 집합 [eqn: S`]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: S="{"a+bi`` LEFT | ``a= {rm bar{PQ} }], [eqn: b= rmbar PR][eqn: ` RIGHT }]

집합 [eqn: S`]의 모든 원소의 합이 [eqn: p+q`i`]일 때, [eqn: p+q`]의 값은? (단 [eqn: p`], [eqn: q`]는 실수이고 [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [4점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 13`]

16. 호 [eqn: rm BC`]위에 있는 점 [eqn: rmP`]에 대하여 직사각형 [eqn: rm AQPR`]의 둘레의 길이는 [eqn: 10`]이다. 직사각형 [eqn: rm AQPR`]의 넓이는? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

17. 복소수 전체의 집합의 부분집합 [eqn: A= LEFT { a,``b,``c RIGHT } `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곱셈에 대하여 닫혀 있다.

(나) 모든 원소의 곱셈에 대한 역원이 각각 존재한다.

[eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: -1`]	⑤ [eqn: -3`]

18. 두 다항식 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 연산 [eqn: left<A,`B right>`]를

[eqn: LEFT < A,`B RIGHT > = A ^{2} +AB+B ^{2}]

으로 정의할 때, 다항식 [eqn: LEFT < x ^{2} +x+1,``x ^{2} +x RIGHT > `]의 전개식에서 [eqn: x`]의 계수는? [4점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 7`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 11`]

19. 다음은 [eqn: n ge 2 `]인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2} -1} `]이 무리수임을 증명한 것이다.

<증 명>

[eqn: root {n^2 -1}`]이 유리수라고 가정하면 [eqn: root{n^2 -1 } = q over p `]([eqn: p,``q]는 서로소인 자연수)로 놓을 수 있다.

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: p^2 (n^2 -1) =q^2 `]이다.

[eqn: p`]는 [eqn: q^2`]의 약수이고 [eqn: p,``q]는 서로소인 자연수이므로

[eqn: n^2 = `]이다.

(가)

자연수 [eqn: k`]에 대하여

(ⅰ) [eqn: q =2k `]일 때

[eqn: (2k)^2 <n^2 < `] 인 자연수 [eqn: n]이 존재하지 않는다.

(나)

(ⅱ) [eqn: q =2k+1]일 때

[eqn: `<n^2 < (2k+2)^2]인 자연수 [eqn: n]이 존재하지 않는다.

(나)

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 [eqn: root{n^2 -1 } = q over p `]([eqn: p,``q]는 서로소인 자연수)를 만족하는 자연수 [eqn: n`]은  존재하지 않는다.

따라서 [eqn: root{n^2 -1}]은 무리수이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(q)`], [eqn: g(k)`]라 할 때, [eqn: f(2)+g(3)]의 값은? [4점]

① [eqn: 50`]	② [eqn: 52`]	③ [eqn: 54`]

④ [eqn: 56`]	⑤ [eqn: 58`]

20. 그림과 같이 모눈종이 위에 가로와 세로의 간격이 각각 [eqn: 1`]인 점들이 찍혀 있다. 이 점들 중 세 개를 꼭짓점으로 하는 직각삼각형을 만들 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 세 변의 길이가 모두 유리수인 직각삼각형을 만들 수 있다. ㄴ. 세 변의 길이가 모두 무리수인 직각삼각형을 만들 수 있다. ㄷ. 직각삼각형의 넓이는 항상 유리수이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 숫자가 표시되는 화면과 ,  두 개의 버튼으로 구성된 장치가 있다.

버튼을 누르면 화면에 표시된 수와 [eqn: {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `]를 곱한 결과

가, 버튼을 누르면 화면에 표시된 수와 [eqn: {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2} `]를 곱한

결과가 화면에 나타난다. 화면에 표시된 수가 [eqn: 1`]일 때,  또는

버튼을 여러 번 눌렀더니 다시 [eqn: 1`]이 나타났다. 버튼을 누른

횟수의 최솟값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [4점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]	④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

단답형

22. [eqn: sqrt {12+2 sqrt {27}} =a+ sqrt {b}]를 만족시키는 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 서로 다른 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: {(a-5) ^{2}} over {`a-b} + {(b-5) ^{2}} over {b-a} =0`]

일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 두 다항식 [eqn: P`], [eqn: Q`]의 최대공약수를 [eqn: P TRIANGLE Q`], 최소공배수를 [eqn: P`` NABLA Q`]로 나타내기로 하자. 세 다항식

[eqn: A=x ^{2} -4x+3`]

[eqn: B=x ^{2} -x-6`]

[eqn: C=x ^{3} +4x ^{2} +x -a`]

에 대하여 [eqn: LEFT ( A TRIANGLE B` RIGHT ) NABLA C``]가 [eqn: x`]에 대한 삼차식일 때, 자연수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

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25. 다항식 [eqn: x^4`]을 [eqn: x-1`]로 나눈 몫을 [eqn: q(x)`], 나머지를 [eqn: r_1`]이라 하고, [eqn: q(x)`]를 [eqn: x-4`]로 나눈 나머지를 [eqn: r_2`]라 하자. [eqn: r _{1} +3r _{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: 50] 이하의 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a=1+b+2 sqrt {b} `]가 성립하도록 하는 [eqn: b`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

27. 길이가 [eqn: L`]인 현의 장력과 밀도를 각각 [eqn: T`], [eqn: rho`]라 하고 주파수를 [eqn: omega`]라고 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.

[eqn: omega = {1} over {2L} sqrt {{T} over {rho }}`]

길이가 같은 두 현 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]가 있다. [eqn: rm A`]의 장력이 [eqn: rmB`]의 장력의 [eqn: 3]배, [eqn: rm A`]의 주파수가 [eqn: rmB`]의 주파수의 [eqn: { 1} over {2 } `]배일 때, [eqn: rm A`]의 밀도는 [eqn: rmB`]의 밀도의 [eqn: n`]배이다. [eqn: n`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 세 실수 [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: 2z`] 중에서 적어도 하나는 [eqn: 3]이다.

(나) [eqn: 3(x+y+2z)=xy+2yz+2zx`]

[eqn: 10xyz]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같이 크기가 다른 직사각형 모양의 색종이 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]가 각각 [eqn: 5`]장, [eqn: 11`]장, [eqn: 8`]장 있다.

이들을 모두 사용하여 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 하나의 직사각형을 만들었다. 이 직사각형의 둘레의 길이가 [eqn: a+b sqrt { 3}]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 자연수이다.) [4점]

30. 자연수 [eqn: n ^{4} +n ^{2} -2 `]가 [eqn: left(n-1 right) left(n-2 right) `]의 배수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.