2012년 9월 4일(화) 시행

2012년 9월 모의평가 해설

2교시  <수리 영역>

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전국모의고사 전문  비상에듀

￭ 본 해설은 비상에듀 출제개발부

교과 연구팀에서 작성한 자료입니다.

수리 영역_가형

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2012년 9월 모의평가 해설

수리 영역

1. ④	2. ②	3. ②	4. ⑤	5. ④

6. ⑤	7. ⑤	8. ④	9. ②	10. ③

11. ④	12. ①	13. ③	14. ②	15. ①

16. ③	17. ①	18. ⑤	19. ③	20. ④

21. ①	22. [eqn: 12]	23. [eqn: 6]	24. [eqn: 50]	25. [eqn: 20]

26. [eqn: 128]	27. [eqn: 13]	28. [eqn: 12]	29. [eqn: 8]	30. [eqn: 79]

1. 행렬과 그래프	④

정답

[eqn: A= {pmatrix{`1&`````````2`#`2&``-1`}}]이므로 [eqn: 2A= {pmatrix{`2&`````````4`#`4&``-2`}}]

따라서 행렬 [eqn: 2A]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+4+4-2=8]

2. 삼각함수	②

정답

[eqn: cos` 2 theta][eqn: = 2` cos^2 theta -1]
[eqn: =2 TIMES {1} over {3} -1= {2} over {3} -1]

[eqn: =`- {1} over {3}]

3. 확률	②

정답

주사위를 한 번 던졌을 때, 홀수의 눈이 나올 확률이 [eqn: 1over2]이므로 주사위를 [eqn: 6]번 던졌을 때, 홀수의 눈이 [eqn: 5]번 나올 확률은

[eqn: rm`_6 C_5 LEFT ( 1over2 RIGHT )^5 LEFT ( 1over2 RIGHT ) = 6 times LEFT ( 1over2 RIGHT )^5 times LEFT ( 1over2 RIGHT ) = 6 over 64 = 3 over 32]

4. 일차변환과 행렬	⑤

정답

직선 [eqn: x+2y =0] 위의 점 [eqn: \P (itx,~y )]가 점 [eqn: \P'(itx' ,~ y' )]으로 옮겨진다고 하면

[eqn: pmatrix{`x prime `#`y prime `} = pmatrix{````````1&`````````0`#`-3&``-1`} pmatrix{`x`#`y`}]에서 [eqn: pmatrix{````````1&`````````0`#`-3&``-1`}]의 역행렬을 양변에 곱하면

[eqn: LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( ` pile{```````1#-3} ` pile{`````````0#```-1} ` RIGHT ) LEFT ( pile{x prime #y prime } RIGHT )]

[eqn: x=x prime `,`y=-3x prime -y prime]이므로 [eqn: x+2y=0]에서

[eqn: x' +2 (-3x' -y' )=0]

[eqn: -5x prime -2y prime =0], [eqn: 5x' +2y' =0]

따라서 구하는 직선의 방정식은 [eqn: 5x+2y=0]이다.

5. 순열과 조합	④

정답

[eqn: \A] 지점에서 [eqn: \B] 지점까지 가려면 [eqn: \C]는 반드시 지나야 한다.

[eqn: \A] 지점에서 [eqn: \C] 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

[eqn: { 4!} over { 2!`2!} = 6]

[eqn: \C] 지점에서 [eqn: \B] 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

[eqn: { 4!} over { 2!`2!} = 6]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 times 6 = 36]

6. 함수의 극한과 연속	⑤

정답

[eqn: f(x) = cases{x-3&& (x!=2)#&&#```````1&& (x=2)}]이고,

[eqn: f(x)=2]일 때, [eqn: x=5]이므로

[eqn: (f circ f )(x) = cases{x-6 && (x!=2,~ x!=5)#``` -2 && (x=2)#``````````1&&(x=5)}]

[eqn: lim _{x` -> `2} {`` LEFT ( x-6 RIGHT ) =`-4}]이고 [eqn: f(f(2))=`-2]이므로

[eqn: lim _{x` -> `2} {`` LEFT ( x-6 RIGHT ) != f(f(2))}] 따라서 [eqn: x=2]에서 불연속

[eqn: lim _{x` -> `5} {`` LEFT ( x-6 RIGHT ) =`-1}]이고 [eqn: f(f(5))=1]이므로

[eqn: lim _{x` -> `5} {`` LEFT ( x-6 RIGHT ) != f(f(5))}] 따라서 [eqn: x=5]에서 불연속

즉, 합성함수 [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=5]에서 불연속이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 6]에서 불연속이 되는 모든 [eqn: a]값의 합은 [eqn: 2+5=7]이다.

7. 로그와 로그함수	⑤

정답

[eqn: logT _{1} =`-3kl _{0} d _{0}]

[eqn: logT _{2} =`-8k2l _{0} d _{0}]이므로

[eqn: {1} over {3} `logT _{1} =`-kl _{0} d _{0}]

[eqn: {1} over {8} `logT _{2} =`-kl _{0} d _{0}]

[eqn: { 1} over { 3} `log T_1 = { 1} over { 8} `log T_2]이므로

[eqn: { 8} over { 3} `log T_1 = log T_2], [eqn: T_1 ^{8 over 3} = T_2]

[eqn: therefore```][eqn: n = { 8} over { 3}]

8. 일차변환과 행렬	④

정답

일차변환 [eqn: f]는 원점에 대한 대칭변환이고,

[eqn: pmatrix{ 1over2 & - sqrt3 over2 # sqrt3 over2 & ```````1over2 } = pmatrix{cos60 °&& - sin 60°# sin 60°&&``````` cos 60°}]

이므로 일차변환 [eqn: g]는 원점을 중심으로 [eqn: 60°]만큼 회전시키는 회전변환이다.

따라서 점 [eqn: \A]는 [eqn: f]에 의하여 점 [eqn: \D]로 옮겨지고, 점 [eqn: \D]는 [eqn: g]에 의하여 점 [eqn: \E]로 옮겨진다.

9. 수열의 극한	②

정답

빗금 친 부분의 넓이는 [eqn: 6]등분한 원의 넓이에서 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: {1} over {6} TIMES pi - {sqrt {3}} over {4} = {2 pi -3 sqrt {3}} over {12}]

그러므로  모양의 어두운 부분의 넓이는 3등분한 원의 넓이에서 빗금 친 부분의 넓이 [eqn: 4]개를 뺀 것과 같다.

[eqn: S_1 = { pi} over {3 } - { 2 pi - 3 sqrt3} over { 3} = { 3 sqrt3 - pi} over { 3}]

원 [eqn: O _{n}]에서 원의 지름의 길이를 [eqn: 2]등분한 선분을 지름으로 하는 두 원 중 한 원을 [eqn: O _{n+1}]이라 하면 [eqn: O _{n}]과 [eqn: O _{n+1}]의 닮음비는 [eqn: 2：1]이므로 넓이의 비는 [eqn: 4：1]이다.

원 [eqn: O _{n}] 안에 원 [eqn: O _{n+1}]이 [eqn: 2]개씩 생기므로 새로 생기는 두 원의  모양의 어두운 부분의 넓이의 합은 [eqn: O _{n}]의  모양의 어두운 부분의 넓이의 [eqn: { 1} over { 2}]이다.

즉, 수열 [eqn: S_n]은 첫째항이 [eqn: sqrt { 3 } - { pi} over { 3}]이고, 공비가 [eqn: { 1} over { 2}]인 등비수열이다.

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { S_n}][eqn: = { sqrt3 - pi over3 } over { 1 - 1over2 }][eqn: = 2 sqrt { 3} - 2 over3 pi]

10. 방정식과 부등식	③

정답

갑이 움직인 거리는 산책로 [eqn: \AE]와 원모양의 산책로의 합과 같으므로 [eqn: \A] 지점에서 출발하여 [eqn: \E] 지점에 도착할 때까지 걸린 시간은 [eqn: { 6} over { 4} + { 2 pi} over { pi} = { 7} over { 2}]이다.

[eqn: rm bar AB = it x]라 하면 원모양의 산책로의 반지름이 [eqn: 1]이므로

[eqn: rm bar DE =it sqrt { 1^2 +(5-x )^2} = sqrt { x^2 -10x +26}]이고,

을이 [eqn: \A] 지점에서 출발하여 [eqn: \E] 지점에 도착할 때까지

걸린 시간은 [eqn: { x+1+1+ sqrt { x^2 -10x +26} } over { 5}]이다.

그러므로 [eqn: { x+1+1+ sqrt { x^2 -10x +26} } over { 5} = 7 over2 -2]에서

[eqn: {x+2+ sqrt {x ^{2} -10x+26}} over {5} = {3} over {2}]

[eqn: 2x+4+2 sqrt {x ^{2} -10x+26} =15]

[eqn: 2 sqrt { x^2 - 10x +26} =11 -2x]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4x^2 - 40x +104 = 4x^2 -44x +121]

[eqn: 4x = 17]

[eqn: therefore```][eqn: x = 17 over4]

11. 확률	④

정답

[eqn: rm B]가 던져서 나온 앞면의 개수가 1인 사건을 [eqn: M], [eqn: \A]가 동전을 2개 던졌을 때 나온 앞면의 개수가 2인 사건을 [eqn: N]라 하면 구하는 확률은 [eqn: rm P( it N``□M)]이다.

(ⅰ) [eqn: rm B]가 동전을 [eqn: 2]개 던져서 앞면이 [eqn: 1]개 나온 경우

[eqn: rm{ 1} over { 4} times_2 C_1 LEFT ( 1over2 RIGHT ) LEFT ( 1over2 RIGHT ) = 1over4 times 1over2 = 1over 8]

(ⅱ) [eqn: rm B]가 동전을 [eqn: 1]개 던져서 앞면이 [eqn: 1]개 나온 경우

[eqn: { 1} over { 2} times { 1} over { 2} = { 1} over { 4}]

따라서 [eqn: rm P( it M)= {1} over {4} + {1} over {8} = {3} over {8}], [eqn: rm P( it M SMALLINTER N)= {1} over {8}]이므로

[eqn: rm P it (N``|`M)][eqn: = {rm P( it M` SMALLINTER N)} over {rm P it (M)}][eqn: = {{1} over {8}} over {{3} over {8}} = {1} over {3}]

12. 이차곡선	①

정답

쌍곡선 [eqn: { x^2} over { a^2 } - { y^2} over { b^2} =1]의 점근선은 [eqn: y=`± {b} over {a} x]이므로 직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: +- b over a]이다.

직선 [eqn: l`]은 타원 [eqn: { x^2 } over { 8a^2} + { y^2} over { b^2} =1]에 접하므로

직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: y=`± {b} over {a} x± sqrt {8a ^{2} TIMES LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{2} +b ^{2}}]

이때, 원점에서 직선 [eqn: l`]사이의 거리가 [eqn: 1]이므로

[eqn: {LEFT | ` sqrt {8a ^{2} TIMES LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{2} +b ^{2}} ` RIGHT |} over {sqrt {LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{2} +1}} =1],  [eqn: { 3` |`b`|} over { sqrt { LEFT ( b overa RIGHT ) ^2 +1} } =1],

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: {9a ^{2} b ^{2}} over {a ^{2} +b ^{2}} =1],  [eqn: 9a ^{2} b ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]

양변을 [eqn: a ^{2} b ^{2}]으로 나누면

[eqn: 1 overa^2 + 1 over b^2 = 9]

13. 적분법	③

정답

ㄱ. (참) [eqn: int _{ a} ^{b } { f(x)dx}][eqn: = left[ F``(x) right]_a^b = F``(b) - F``(a)]
[eqn: =3]

[eqn: THEREFORE `F``(b)=F``(a)+3]

ㄴ. (거짓) [eqn: F``'' (x) = f `'(x)]이고,

[eqn: f`'(c) >0]이므로 [eqn: F``'' (x) >0]
따라서 점 [eqn: (c,~ F``(c))]는 곡선 [eqn: y = F``(x)]의 변곡점이 아니다.

ㄷ. (참) ㄱ에서 [eqn: F``(b) = F``(a) +3]이고,
[eqn: int _{ a} ^{c } { f(x) dx = left[F``(x) ]_a^c =} F`(c) - F``(a) = 0]
에서 [eqn: F``(c) = F``(a)]이다.

이때, [eqn: -3 < F``(a) <0]이므로
[eqn: 0 <F``(b) <3], [eqn: -3 < F``(c) <0]
따라서 [eqn: y = F``(x)]의 그래프의 개형을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그러므로 방정식 [eqn: F``(x) =0]은 서로 다른 네 실근을 갖는다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

14. 공간도형과 공간좌표	②

정답

주어진 입체도형의 [eqn: yz]평면에서의 단면은 그림과 같다.

어두운 부분에서 피타고라스 정리에 의하여 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 [eqn: 6]이므로 원기둥의 밑면의 넓이는 36이고, 평면 [eqn: z=10]과 원기둥의 밑면이 이루는 각의 크기는 [eqn: theta]이다.

따라서 정사영의 넓이는

[eqn: 36pi times cos theta= 36pi times 8 over 10 = 144 over 5 pi]

15. 수열의 극한	①

정답

조건 (나)에서 [eqn: bar{rm A _{it n rm} C _{it n rm} it} ： bar{rm C _{it n rm} B _{it n rm} it} =1：2]이고,

점 [eqn: rm A_ {itn }]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: log _3 1 over n `=` - log _3 `n]이므로

점 [eqn: rm B_ {itn }]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2` log _3 `n]이다.

그러므로 점 [eqn: rm B_ {itn }]의 좌표는 [eqn: (n^2 ,~ 2` log _3 `n )]이다.

점 [eqn: rm C_ {itn }]은 선분 [eqn: rm A_ {itn }][eqn: rm B_ {itn }]의 [eqn: 1：2] 내분점이므로 [eqn: x_n = {n^2 + 2 over n }over3]이다.

[eqn: therefore```][eqn: lim_n->inf x_n over n^2 = lim_n->inf {n^2 + 2 over n }over3n^2 = 1 over 3]

16. 행렬과 그래프	③

정답

ㄱ. (참) [eqn: (A+B) ( A^-1 +B^-1 ) = 4E``]에서 [eqn: 1 over 4 ( A+B) ( A^-1 +B^-1 ) =E``]이므로 [eqn: A^-1 +B^-1]의 역행렬은 [eqn: 1 over 4 (A+B)]로 존재한다.

ㄴ. (거짓)【반례】[eqn: A=`E], [eqn: B= {pmatrix{```````2`&````1`#`-1`&````0`}}]이면 [eqn: (A+B) ( A^-1 +B^-1 ) = 4E``]이지만 [eqn: B neq E]이다.

ㄷ. (참) [eqn: (A+B) ( A^-1 +B^-1 ) = 4E``]에서
[eqn: E+AB^-1 + BA^-1 +E = 4E], [eqn: AB^-1 + BA^-1 = 2E ``]이다.
그런데 [eqn: AB= 1 over 2 E]에서 [eqn: A^-1 = 2B], [eqn: B^-1 = 2A]

이므로 [eqn: 2A^2 + 2B^2 = 2E], [eqn: A^2 + B^2 = E]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

17. 수열	①

정답

[eqn: sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over { 2^2k+1}][eqn: = { 2} over { 3} LEFT ( sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over {2^2k } - 1 over4 sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over {2^2k } RIGHT )]
[eqn: = 2 over3 left{ LEFT ( 1over4 + { 2} over { 4^2} + cdots+ { n-1} over {4^n-1 } RIGHT )]
[eqn: - LEFT ( 1 over 4^2 + 2over 4^3 + cdots+ { n-1} over { 4^n} RIGHT ) right}]
[eqn: = 2 over3 LEFT ( 1over4 + 1 over4 ^2 + cdots + { 1} over {4^n-1 } - { n-1} over { 4^n} RIGHT )]
[eqn: = 2over3 LEFT ( sum _{ k=1} ^{n-1 } 1 over4 ^k - { ``n-1``} over { 4^n} RIGHT )]

이 때, (*)인 [eqn: { a_n} over { 2^n} = { a_1} over { 2} + sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over { 2^{2k+1}}]의 양변에 [eqn: 2^n]을 곱하면

[eqn: a_n][eqn: = 2^n-1 a_1 + 2^n `sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over { 2^2k+1}]
[eqn: = 2^n-1 LEFT ( - 4over 9 RIGHT ) + { 2^n+1} over { 3} LEFT ( sum _{ k=1} ^{ n-1} { 1} over {4^k } - { n-1} over {4^n } RIGHT )]
[eqn: = ` - { 2^n+1} over { 9} ``+ { 2^n+1} over { 3} LEFT ( sum _{ k=1} ^{ n-1} { 1} over {4^k } - { n-1} over {4^n } RIGHT )]

[eqn: therefore```][eqn: f(n) = n-1], [eqn: g(n)=`- {2 ^{n+1}} over {9}]

[eqn: therefore```][eqn: f(10) times g(5)][eqn: = 9 times LEFT ( - 2^6 over 9 RIGHT )]
[eqn: = `- 64]

18. 통계	⑤

정답

표본평균 [eqn: bar {X``}]는 정규분포 [eqn: rm N left( 10 ,~ left( 2 over root {it n} right)^2 right)]을 따른다.

ㄱ. (참) [eqn: {\V}( bar {X``} ) = 4 over n]

ㄴ. (참) [eqn: bar {X``}]의 평균이 [eqn: 10]이므로 [eqn: bar {X``}]의 분포는 [eqn: bar {X``} = 10]에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: rm P( it bar{X``} LEQ 10-a)= rm P( it bar{X``} geq 10+a)]이다.

ㄷ. (참) [eqn: rm P( it bar{X``} geq a)= rm P( it Z leq b )]에서 [eqn: rm P left ( it Z geq a-10 over {2 over rootn }right) = rm P( it Z leq b )]이고, 표준정규분포 곡선이 [eqn: Z=0]에 대하여 대칭이므로 [eqn: a-10 over {2 over rootn }=`-b]이다. 따라서 [eqn: a-10=`- {2} over {sqrt {n}} b], [eqn: a+ {2} over {sqrt {n}} b`=10]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

19. 삼각함수	③

정답

세 점 [eqn: rm P _1], [eqn: \P_2], [eqn: \P_3]이 같은 속력으로 움직이므로 움직인 거리는 서로 같다. 따라서 [eqn: angle rm BOP_3 = theta]에서 [eqn: angle rm BOP_2 = 2theta], [eqn: angle rm BOP_1 = 4theta]이므로 세 점 [eqn: rm P _1], [eqn: \P_2], [eqn: \P_3]의 [eqn: y]좌표는 각각 [eqn: sin `4theta], [eqn: 2`sin `2theta], [eqn: 4`sin `theta]이다.

[eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES 8 TIMES sin`4 theta `=`4`sin`4theta]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} TIMES 8 TIMES 2`sin`2 theta = 8 `sin2 theta]

[eqn: S _{3} = {1} over {2} TIMES 8 TIMES 4`sin` theta =16 `sin` theta]

[eqn: 3S_3 = 2 ( S_1 +S_2 )]에서

[eqn: 3 times 16` sin `theta = 2 ( 4`sin `4theta + 8` sin `2 theta )]

[eqn: 6`sin `theta =sin`4 theta +2`sin`2 theta]

[eqn: 6`sin` theta `=2`sin2 theta cos2 theta +2`sin`2 theta]

[eqn: 3`sin` theta `=sin2 theta (cos2 theta +1)]

[eqn: 3`sin` theta `=2`sin` theta cos theta (cos2 theta +1)]

[eqn: 3`=2`cos theta (cos2 theta +1)] (∵ [eqn: sin` theta neq 0])

[eqn: 3`=2`cos theta (2cos^2 theta-1 +1)]

[eqn: 3`=4`cos ^{3} theta]

∴ [eqn: cos` ^3 theta = 3 over 4]

20. 함수의 극한과 연속	④

정답

그림과 같이 원 [eqn: (x-1)^2 + y^2 =1]의 중심을 [eqn: rm C]라 하고, 점 [eqn: rm C]에서 직선 [eqn: rm AP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자.

[eqn: bar {rm AP } = 4 `cos theta], [eqn: bar{rm AH it} =3`cos theta]

[eqn: bar{rm CH it} =3`sin theta]이고, [eqn: bar{rm CQ it} =1]이므로 [eqn: bar{rm HQ it} = root {1- 9 `sin ^2 theta }]

[eqn: bar{rm PQ it}][eqn: =4`cos` theta `-3`cos theta - sqrt {1-9`sin ^{2} theta }][eqn: = cos theta - sqrt {1-9`sin ^{2} theta }]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: lim _{theta -> +0} {} {bar{rm PQ it}} over {theta ^{2}}][eqn: = lim _{theta -> +0} {} {cos theta - sqrt {1-9`sin ^{2} theta }} over {theta ^{2}}][eqn: = lim _{theta -> +0} {cos ^2 theta -1 + 9 `sin ^2 theta } over{theta^2 ({cos theta+ sqrt {1-9`sin ^{2} theta }} )}]
[eqn: = lim _{theta -> +0} {} {8`sin ^{2} theta } over {theta ^{2} (cos theta + sqrt {1-9`sin ^{2} theta } )}][eqn: = lim _{theta -> +0} {} {8} over {cos theta + sqrt {1-9`sin ^{2} theta }}][eqn: =4]

21. 미분법	①

정답

조건 (나) [eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)}over{(x-3)g(x)} = 8 over9]에서 (분모)[eqn: ->][eqn: 0]이므로 (분자)[eqn: ->][eqn: 0]이어야 한다. 즉, [eqn: lim_x->3 left{f(x)-g(x)} right}=0]

[eqn: f(x),~ g(x)]가 연속함수이므로 [eqn: f(3)=g(3)]이다.

그런데 두 함수 [eqn: f(x) ,~ g(x)]는 서로 역함수 관계로 직선[eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: (3,~3)]을 지난다.

[eqn: therefore```][eqn: f(3)=3], [eqn: g(3)=3]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)}over{(x-3)g(x)} = 8 over9]에서 [eqn: f(x)- g(x) = h(x)]라 하면 [eqn: h(3)=0]이므로

[eqn: lim_x->3 {f(x)-g(x)}over{(x-3)g(x)} =lim_x->3 {h(x)-h(3)} over(x-3)g(x) = h'(3) over g(3) = 8 over9]

[eqn: THEREFORE `h prime (3)= {8} over {3}]

[eqn: therefore```][eqn: f'(3)-g'(3) = 8 over 3]

[eqn: f'(3) = k]라 하면 [eqn: g'(3) = 1 over k]이므로

[eqn: k- 1 over k = 8 over 3], [eqn: k^2 - 8 over 3 k -1 =0]

[eqn: k= f'(3)=3] ([eqn: because```][eqn: f'(x)>0])

(가)에서 [eqn: g'(x) leq 1 over 3]이므로 [eqn: f'(x) geq 3]이고 [eqn: f'(x)]가 이차함수이므로 [eqn: (3,~3)]은 [eqn: f'(x)]의 꼭짓점이다.

이때, [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +bx +c]라 하면

[eqn: f'(x) = 3x^2 +2ax + b = 3 (x-3)^2 +3]에서 [eqn: a=` -9 ,~ b=30]이다.

[eqn: f(x)=x ^{3} -9x ^{2} +30x+c]가 ㉠에서 [eqn: (3,~3)]을 지나므로 [eqn: c=`-33]따라서 [eqn: f(x)=x ^{3} -9x ^{2} +30x-33]이므로 [eqn: f(1)`=`1-9+30-33=`-11]

22. 미분법	[eqn: 12]

정답

[eqn: f`' (x^3 ) times 3x^2 = 6x^2 -2x +32]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f`' (1) times 3 = 6 -2 +32 = 36]

[eqn: therefore```][eqn: f`' (1) =12]

23. 방정식과 부등식	[eqn: 6]

정답

[eqn: \A] 그릇에 들어 있는 소금의 양은 [eqn: 3]g

[eqn: \A] 그릇에 들어 있는 소금물의 양은 [eqn: (10+x)]g

[eqn: \B] 그릇에 들어 있는 소금의 양은 [eqn: (1+2x )]g

[eqn: \B] 그릇에 들어 있는 소금물의 양은 [eqn: (50+x)]g

즉, [eqn: f(x) = { 3} over { 10+x} times 100], [eqn: g(x) = { 1+2x} over { 50+x} times100]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <g LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: { 3} over { 10+x} < { 1+2x} over { 50+x}], [eqn: { 3} over { 10+x} - { 1+2x} over { 50+x} <0]

[eqn: 3(50+x )-(1+2x)(10+x)<0] [eqn: (because```x>0)]

[eqn: 2x^2 +18x -140 >0]

[eqn: x^2 +9x -70>0], [eqn: (x+14)(x-5)>0]

[eqn: therefore```][eqn: x>5]

따라서 구하는 자연수 [eqn: x]의 최솟값은 [eqn: 6]이다.

24. 적분법	[eqn: 50]

정답

[eqn: { 1} over { sqrt { x} } = sqrt { { ln x} over { x} }]에서 [eqn: ln x =1]이므로 [eqn: x =e]

[eqn: V][eqn: = pi int _{ 1} ^{e } { left{ LEFT ( 1 over sqrtx RIGHT ) ^2 - LEFT ( sqrt { { ln x} over { x} } RIGHT ) ^2} right}dx]
[eqn: = pi int _{ 1} ^{e } { LEFT ( 1 over x - { ln x} over {x } RIGHT ) }dx = pi left[ ln x - 1over2 ( ln x )^2 right]_1^e]
[eqn: = pi left{ ln e - 1over2 ( ln e )^2 - ln1 + 1over2 ( ln 1 ) ^2 right]
[eqn: = pi LEFT ( 1 - 1over2 - 0 +0 RIGHT ) = 1over2 pi]

[eqn: therefore```][eqn: 100V over pi = 100 over pi times 1 over2 pi = 50]

25. 통계	[eqn: 20]

정답

(가)에서

[eqn: -xf(-x)=`-xf(x)]이므로 [eqn: int _{ -1} ^{1 } { xf(x)dx =0}]

마찬가지로  [eqn: x ^{2} `f(-x)=x ^{2} `f(x)]이므로

[eqn: int _{ -1} ^{1 } { x^2` f(x)dx }][eqn: = 2 int _{ 0} ^{1 } { x^2` f(x) dx}][eqn: = 2 times 1 over10 = 1over 5]

[eqn: therefore```][eqn: \V(itX`)][eqn: = int _{ -1} ^{1 } { x^2 `f(x) dx } - left{ int _{ -1} ^{1 } { x`f(x) dx } right}^2]
[eqn: = 1over5 - 0 = 1over 5]

[eqn: therefore```][eqn: rm V( it 10X+3)=10 ^{2} rm V( it X`)=100 TIMES {1} over {5} =20]

26. 이차곡선	[eqn: 128]

정답

초점 [eqn: \F]의 좌표를 [eqn: \F (itp,~0)]([eqn: p>0])이라 하면

직선 [eqn: \AB]의 방정식은 [eqn: y = x-p]                [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

포물선의 방정식은 [eqn: y^2 = 4px]                    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

이 직선이 포물선과 만나는 두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]의 좌표를 각각 [eqn: \A(itx_1 ,~ y_1 )], [eqn: \B (itx_2 ,~ y_2 )]라 하자.

이때, ㉠과 ㉡을 연립하면

[eqn: (x- p)^2 = 4px], [eqn: x^2 -6px + p^2 = 0]

이 이차방정식의 두 실근이 [eqn: x_1], [eqn: x_2]이므로 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: x_1 + x_2 = 6p]

한편, 그림의 정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: 2]이므로 [eqn: x_1 - p = 2] 즉, [eqn: x_1 = p+2]이고, [eqn: y_1 =2]이다.

이때, 점 [eqn: \A(itx_1 ,~ y_1 )]는 포물선 위의 점이므로

[eqn: 2^2 = 4p(p+2 )], [eqn: p^2 +2p -1 = 0]

[eqn: therefore```][eqn: p = `-1 + sqrt2][eqn: (because```p>0)])

두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]에서 포물선의 준선 [eqn: x = `-p]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \H_1], [eqn: \H_2]라 하면

[eqn: \ barAF = barAH_1][eqn: = x_1 + p], [eqn: \ bar BF = bar BH_2][eqn: = x_2 + p]이므로

[eqn: \ bar AB][eqn: = \ bar AF + bar BF =][eqn: \ barAH_1 + bar BH_2][eqn: = x_1 + x_2 +2p = 8p] [eqn: =` -8 + 8sqrt2]

따라서 [eqn: a =` -8], [eqn: b= 8]이므로 [eqn: a^2 + b^2 = 128]이다.

27. 공간도형과 공간좌표	[eqn: 13]

정답

평면이 구 [eqn: S``'] : [eqn: x^2 + y^2 +z^2 = 16]과 만나서 생기는 도형은 원이고, 구 [eqn: S``']의 중심인 원점 [eqn: \O]와 이 평면과의 거리가 최소일 때, 원의 넓이가 최대가 된다.

이때, 구 [eqn: S``] 위의 점 중 원점에서 가장 가까운 점은 구 [eqn: S]의 중심 [eqn: \C(1,``` 1,``` 1)]과 원점 [eqn: \O]을 지나는 직선이

구 [eqn: S`]와 만나는 두 점 중 원점 [eqn: \O]에 가까운 점인 [eqn: \P]이다.

이때, [eqn: rm barOC = sqrt3]이고 구 [eqn: S`]의 반지름이 [eqn: 2]이므로

[eqn: rm bar OP = 2- sqrt3]이다.

점 P에서 구 [eqn: S`]에 접하는 평면이 구 [eqn: S``']와 만나서 생기는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: r^2 = 4^2 - (2-sqrt3 )^2 = 9 +4sqrt3]이므로

원의 넓이의 최댓값은 [eqn: (9+4sqrt3 ) pi]이다.

따라서 [eqn: a = 9], [eqn: b = 4], [eqn: a+b = 13]이다.

28. 수열의 극한	[eqn: 12]

정답

[eqn: S_n = sum _{ k=1} ^{n }(a_k+1 - a_k )^2]이라 하면

[eqn: S_n - S_n-1][eqn: = (a_n+1 - a_n )^2 }]
[eqn: = 2 LEFT ( 1- 1over 9^n RIGHT ) - 2 LEFT ( 1 - 1over9^n-1 RIGHT )][eqn: = 16 over 9^n][eqn: = LEFT ( 4 over 3^n RIGHT )^2] (단, [eqn: n ge 2])

이때, [eqn: n=1]이면 [eqn: (a_2 -a_1 )^2 = 2 LEFT ( 1 - 1over9 RIGHT ) = 16 over9]이므로

[eqn: (a_n+1 - a_n )^2 = LEFT ( 4 over3 ^n RIGHT )^2`` (n ge 1 )]이다.

[eqn: a_n+1 > a_n] 즉, [eqn: a_n+1 -a_n >0]이므로 [eqn: a_n+1 - a_n = 4 over 3^n]이다.

따라서

[eqn: a_n = a_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}4 over3^k = 10 + sum _{ k=1} ^{ n-1}4over3 LEFT ( 1over3 RIGHT )^k-1](단, [eqn: n GEQ 2])

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf } { a_n }][eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT { 10+ sum _{k=1} ^{n-1} {4} over {3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{k-1} RIGHT }][eqn: = 10 + { 4over3} over { 1- 1over3 } = 12]

29. 벡터	[eqn: 8]

정답

(나)에서 [eqn: k =3]을 대입하면

[eqn: {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} ` BULLET ` LEFT ( vec{rm `A _{0} A _{3} it} - {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} RIGHT )][eqn: =` {1} over {4} vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` vec{rm `A _{0} A _{3} it} = {1} over {4} LEFT | vec{rm `A _{0} A _{3} it} RIGHT | ^{2}][eqn: =cos 0][eqn: =1]

[eqn: therefore```][eqn: left| vec{\ A_0 A_3}right| = 2]

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때

[eqn: {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` LEFT ( vec{rm `A _{0} A _{1} it} - {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} RIGHT )][eqn: = {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` vec{rm `A _{0} A _{1} it} - {1} over {4} left | vec{rm `A _{0} A _{3} it} right|^2]
[eqn: = {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` vec{rm `A _{0} A _{1} it} - 1][eqn: =cos {2} over {3} pi][eqn: = - 1over2]

[eqn: therefore```][eqn: vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` vec{rm `A _{0} A _{1} it} = 1]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때

[eqn: {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` LEFT ( vec{rm `A _{0} A _{2} it} - {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} RIGHT )][eqn: = {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` vec{rm `A _{0} A _{2} it} - {1} over {4} LEFT | vec{rm `A _{0} A _{3} it} RIGHT | ^{2}][eqn: = {1} over {2} vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` vec{rm `A _{0} A _{2} it} -1][eqn: =cos {pi} over {3}][eqn: = {1} over {2}]

∴ [eqn: vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` vec{rm `A _{0} A _{2} it} =3]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

이때, 두 벡터 [eqn: vec{rm `A _{0} A _{3} it} ,`` vec{rm `A _{0} A _{1} it}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha],

두 벡터 [eqn: vec{rm `A _{0} A _{3} it} ,`` vec{rm `A _{0} A _{2} it}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: beta]라 하면 ㉠, ㉡에서

[eqn: vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` vec{rm `A _{0} A _{1} it} = 2 left|vec{rm `A _{0} A _{1} it} right| cos alpha = 1]

즉, [eqn: left|vec{rm `A _{0} A _{1} it} right| cos alpha = 1over2]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉢

[eqn: vec{rm `A _{0} A _{3} it} `BULLET` vec{rm `A _{0} A _{2} it} =2 LEFT | vec{rm `A _{0} A _{2} it} RIGHT | cos beta =3]

즉, [eqn: left|vec{rm `A _{0} A _{2} it} right| cosbeta = 3over2]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉣

다음 그림에서 두 점 [eqn: \A_1], [eqn: \A_2]에서 선분 [eqn: \A_0 A_3]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \ H_1], [eqn: \ H_2]라 하면

㉢, ㉣에서 [eqn: bar {\A_0 H_1 } = 1over2], [eqn: bar {\A_0 H_2 } = 3over2]이므로 두 삼각형 [eqn: rm A _{0} H _{2} A _{2}], [eqn: rm `A _{3} H _{1} A _{1}]은 서로 합동이다. 따라서

[eqn: bar{\A_1 H_1 } = bar{\A_2 H_2 } = sqrt{2^2 - LEFT ( 3over2 RIGHT )^2 } = sqrt7 over 2]

한편, 네 점이 한 평면 위에 있을 때 [eqn: LEFT | vec{rm A _{1} A _{2} it} RIGHT |]가 최댓값을 가지며, 이때 사각형 [eqn: rm A_0 A_1 A_2 A_3]은 평행사변형이므로 두 대각선은 서로를 이등분한다. 두 대각선의 교점을 [eqn: \G]라 하면 [eqn: bar {\A_1 A_2 } = 2bar{\A_1 G}]이고

[eqn: bar{rm A _{1} G][eqn: = sqrt {LEFT ( bar{rm A _{1} H _{1} ` it} RIGHT ) it ^{2} + LEFT ( bar{rm GH _{1} it} RIGHT ) ` it rm ^{2} it}][eqn: = sqrt{ LEFT ( sqrt7over2 RIGHT )^2 + LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 } = sqrt2]

이므로 [eqn: LEFT | vec{rm A _{1} A _{2} it} RIGHT | = bar{rm A _{1} A _{2} it} =2 sqrt {2}]이다.

∴ [eqn: M `` ^{2} = 8]

30. 로그와 로그함수	[eqn: 79]

정답

함수 [eqn: y = log 7x]의 그래프가 세 직선 [eqn: y = 1], [eqn: y=2], [eqn: y = 3]과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 10over7], [eqn: 100over7], [eqn: 1000over7]이고, [eqn: 1 < 10over 7 < 2], [eqn: 14 < 100over 7 < 15], [eqn: 142 < 1000over 7 < 143]

이므로 함수 [eqn: y = log 7x]의 그래프와 만나는 정사각형의 왼쪽 아래쪽 꼭짓점의 좌표는

[eqn: (1,~1)], [eqn: (2,~ 1)], [eqn: cdots], [eqn: (14,~ 1)], [eqn: (14,~ 2)], [eqn: (15,~ 2)], [eqn: (16,~ 2)], [eqn: cdots], [eqn: (99,~ 2)]

또, 함수 [eqn: y = log 3x]의 그래프가 세 직선 [eqn: y = 1], [eqn: y=2], [eqn: y = 3]과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 10over3], [eqn: 100over3], [eqn: 1000over3]이고, [eqn: 3 < 10over 3 < 4], [eqn: 33 < 100over 3 < 34], [eqn: 333 < 1000over 3 < 334]

이므로 함수 [eqn: y = log 3x]의 그래프와 만나는 정사각형의 왼쪽 아래쪽 꼭짓점의 좌표는

[eqn: (3,~1)], [eqn: (4,~ 1)], [eqn: cdots], [eqn: (33,~ 1)], [eqn: (33,~ 2)], [eqn: (34,~ 2)], [eqn: (35,~ 2)], [eqn: cdots], [eqn: (99,~ 2)]

따라서 두 함수의 그래프와 모두 만나는 정사각형의 왼쪽 아래쪽 꼭짓점의 좌표는

[eqn: (3,~ 1)], [eqn: (4,~ 1)], [eqn: cdots], [eqn: (14,~ 1)], [eqn: (33,~ 2)], [eqn: (34,~ 2)], [eqn: (99,~ 2)]

이므로 그 개수는 [eqn: (14 - 2) + (99 - 32) = 79]이다.

수리 영역_나형

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2012년 9월 모의평가 해설

수리 영역

1. ④	2. ①	3. ④	4. ⑤	5. ③

6. ②	7. ⑤	8. ③	9. ②	10. ⑤

11. ①	12. ③	13. ③	14. ④	15. ①

16. ③	17. ①	18. ②	19. ②	20. ⑤

21. ④	22. [eqn: 2]	23. [eqn: 16]	24. [eqn: 12]	25. [eqn: 14]

26. [eqn: 21]	27. [eqn: 96]	28. [eqn: 12]	29. [eqn: 13]	30. [eqn: 79]

1. 행렬과 그래프	④

정답

[eqn: A= {pmatrix{`1&`````````2`#`2&``-1`}}]이므로 [eqn: 2A= {pmatrix{`2&`````````4`#`4&``-2`}}]

따라서 행렬 [eqn: 2A]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+4+4-2=8]

2. 수열의 극한	①

정답

[eqn: lim _{ n`->`inf} { 1 over n = 0}]이므로

[eqn: therefore```][eqn: lim _{n` -> ` INF } {{n ^{3} +2} over {8n ^{3} +5} = lim _{n` -> ` INF } {{1+ {2} over {n ^{3}}} over {8+ {5} over {n ^{3}}}}]

[eqn: = {1} over {8}}]

3. 수열	④

정답

[eqn: a _{4} =3d+1=7]	[eqn: therefore```][eqn: d=2]

[eqn: therefore```][eqn: a _{2} +a _{3} = LEFT ( a _{1} +d RIGHT ) + LEFT ( a _{1} +2d RIGHT )]

[eqn: =1+2+1+4=8]

4. 행렬과 그래프	⑤

정답

[eqn: {pmatrix{1&&2#3&&a}} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#`0`}]이 무수히 많은 해를 가져야 하므로 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

[eqn: 1 TIMES a-2 TIMES 3=0], [eqn: a-6=0]

[eqn: therefore```][eqn: a=6]

5. 함수의 극한과 연속	③

정답

[eqn: lim _{x` -> `-1} {f(x)```+ lim _{x` -> `1+0} {f(x)=1+(-1)=0}}]

6. 지수와 지수함수	②

정답

[eqn: LEFT ( sqrt {2 TIMES root {3} of {4}} RIGHT ) ^{3} = LEFT ( sqrt {2 TIMES 2 ^{{2} over {3}}} RIGHT ) ^{3}][eqn: = LEFT ( sqrt {2 ^{{5} over {3}}} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: = LEFT ( 2 ^{{5} over {6}} RIGHT ) ^{3} =2 ^{{5} over {2}}]

[eqn: =4 sqrt {2}]

[eqn: sqrt {2} =1.414 CDOTS]이므로

[eqn: 4 sqrt {2} =5.656 CDOTS <6]

[eqn: therefore```][eqn: 6]

7. 로그와 로그함수	⑤

정답

[eqn: logT _{1} =`-3kl _{0} d _{0}]

[eqn: logT _{2} =`-8k2l _{0} d _{0}]이므로

[eqn: {1} over {3} `logT _{1} =`-kl _{0} d _{0}]

[eqn: {1} over {8} `logT _{2} =`-kl _{0} d _{0}]

[eqn: { 1} over { 3} `log T_1 = { 1} over { 8} `log T_2]이므로

[eqn: { 8} over { 3} `log T_1 = log T_2], [eqn: T_1 ^{8 over 3} = T_2]

[eqn: therefore```][eqn: n = { 8} over { 3}]

8. 확률	③

정답

[eqn: 5]명의 학생 중 임의로 한 명을 뽑았을 때, 그 학생이 만두를 선택한 학생일 사건을 [eqn: M], 쫄면을 선택한 학생일 사건을 [eqn: N]이라 하면 구하는 확률은

[eqn: rm P it (N``|`M)][eqn: = {rm P( it M` SMALLINTER N)} over {rm P it (M)} = {{2} over {5}} over {{4} over {5}}]

[eqn: = { 1} over { 2}]

9. 수열의 극한	②

정답

빗금 친 부분의 넓이는 [eqn: 6]등분한 원의 넓이에서 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: {1} over {6} TIMES pi - {sqrt {3}} over {4} = {2 pi -3 sqrt {3}} over {12}]

그러므로  모양의 어두운 부분의 넓이는 3등분한 원의 넓이에서 빗금 친 부분의 넓이 [eqn: 4]개를 뺀 것과 같다.

[eqn: S_1 = { pi} over {3 } - { 2 pi - 3 sqrt3} over { 3} = { 3 sqrt3 - pi} over { 3}]

원 [eqn: O _{n}]에서 원의 지름의 길이를 [eqn: 2]등분한 선분을 지름으로 하는 두 원 중 한 원을 [eqn: O _{n+1}]이라 하면 [eqn: O _{n}]과 [eqn: O _{n+1}]의 닮음비는 [eqn: 2：1]이므로 넓이의 비는 [eqn: 4：1]이다.

원 [eqn: O _{n}] 안에 원 [eqn: O _{n+1}]이 [eqn: 2]개씩 생기므로 새로 생기는 두 원의  모양의 어두운 부분의 넓이의 합은 [eqn: O _{n}]의  모양의 어두운 부분의 넓이의 [eqn: { 1} over { 2}]이다.

즉, 수열 [eqn: S_n]은 첫째항이 [eqn: sqrt { 3 } - { pi} over { 3}]이고, 공비가 [eqn: { 1} over { 2}]인 등비수열이다.

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n`->`inf} { S_n}][eqn: = { sqrt3 - pi over3 } over { 1 - 1over2 }]
[eqn: = 2 sqrt { 3} - 2 over3 pi]

10. 통계	⑤

정답

[eqn: \V (it X`)][eqn: = 6 times { 2} over { 3} times LEFT ( 1 - 2over3 RIGHT ) = 6 times { 2} over { 3} times { 1} over { 3}]
[eqn: = { 4} over { 3}]

[eqn: \V (it aX +b ) = a^2{\V}(X`)]이므로

[eqn: therefore```][eqn: rm V it (-3X+2)= rm LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} V it (X`)=9 TIMES {4} over {3} =12]

11. 수열	①

정답

수열 [eqn: left{a _n right}]은 등비수열이므로 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_1` a_5 = a times ar^4 = 9]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a_2 ` a_6 = ar times ar^5 = 36]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠에서 [eqn: a^2 `r^4 = 9]

㉡에서 [eqn: a^2`r^6 = 36]

㉡[eqn: div]㉠에서 [eqn: r^2 =4]

등비수열의 모든 항이 양수이므로 [eqn: r=2]

그러므로 [eqn: a^2 = { 9} over { 16}], [eqn: a = { 3} over { 4}]

[eqn: therefore```][eqn: 8 (a_1 `a_2 + a_3 `a_4 )][eqn: =8 LEFT ( {3} over {4} TIMES {3} over {4} TIMES 2+ {3} over {4} TIMES 2 ^{2} TIMES {3} over {4} TIMES 2 ^{3} RIGHT )]
[eqn: = 9 +144]
[eqn: = 153]

12. 확률	③

정답

갑이 [eqn: 4]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 2]장의 카드를 뽑고, 을이 남은 [eqn: 2]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 1]장의 카드를 뽑는 경우의 수는

[eqn: rm `_4 C_2 times _2 C_1 = { 4 times 3} over { 2} times 2 =12]

이때, 을이 뽑은 카드가 갑이 뽑은 두 장의 카드의 곱보다 큰 경우는

(ⅰ) 을이 [eqn: 4]가 적힌 카드를 뽑을 때
갑이 [eqn: 1], [eqn: 2] 또는 [eqn: 1], [eqn: 3]이 적힌 카드를 뽑는 [eqn: 2]가지

(ⅱ) 을이 [eqn: 3]이 적힌 카드를 뽑을 때
갑이 [eqn: 1], [eqn: 2]가 적힌 카드를 뽑는 [eqn: 1]가지

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은 [eqn: { 3} over { 12} = { 1} over { 4}]

13. 함수의 극한과 연속	③

정답

ㄱ. (참) [eqn: lim _{x` -> `1+0} {f(x)} ``= lim _{x` -> `1+0} {LEFT ( -x+2 RIGHT ) =1}]

ㄴ. (거짓) [eqn: a=0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {f(x)= lim _{x` -> 1-0} {a=0}}]
ㄱ에서 [eqn: lim _{ x`->`1+0} { f(x) =1}]이므로
[eqn: lim _{x` -> `1+0} {f(x) != }][eqn: lim _{x` -> `1-0} {f(x)}]이 되어서 [eqn: a=0]일 때, [eqn: x=1]에서 불연속이다.

ㄷ. (참) [eqn: F LEFT ( x RIGHT ) =][eqn: (x-1) f(x)]라 하면

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {F(x)}][eqn: = lim _{x` -> `1+0} {(x-1)(-x+2)}][eqn: =0]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {F(x)= lim _{x` -> `1-0} {a(x-1)=0}}]
이므로 [eqn: x=1]에서 극한값이 [eqn: 0]으로 존재하고,

[eqn: F(1)=0]이므로 [eqn: lim _{x` -> `1} {F(x)=F LEFT ( 1 RIGHT )}]

따라서 함수 [eqn: F LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

14. 수열	④

정답

<그림 [eqn: n]>에 적혀있는 모든 수의 합을 [eqn: a_n]이라 하면

[eqn: a_1 = sum _{ k=1} ^{ 6}k = 21]

[eqn: a_2 = a_1 + sum _{ k=1} ^{ 7}k = a_1 + 28]

[eqn: a_3 = a_2 + sum _{ k=1} ^{9 }k= a_2 + 45]

[eqn: a_4 = a_3 + sum _{ k=1} ^{ 11}k = a_3 + 66]

[eqn: a _{5} =a _{4} + sum _{k=1} ^{13} k=a _{4} +91]

[eqn: a _{6} =a _{5} + sum _{k=1} ^{15} k=a _{5} +120]

위 식을 변끼리 더하여 정리하면

[eqn: a _{6} =21+28+45+66+91+120=371]

15. 수열의 극한	①

정답

조건 (나)에서 [eqn: bar{rm A _{it n rm} C _{it n rm} it} ： bar{rm C _{it n rm} B _{it n rm} it} =1：2]이고,

점 [eqn: rm A_ {itn }]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: log _3 1 over n `=` - log _3 `n]이므로

점 [eqn: rm B_ {itn }]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2` log _3 `n]이다.

그러므로 점 [eqn: rm B_ {itn }]의 좌표는 [eqn: (n^2 ,~ 2` log _3 `n )]이다.

점 [eqn: rm C_ {itn }]은 선분 [eqn: rm A_ {itn }][eqn: rm B_ {itn }]의 [eqn: 1：2] 내분점이므로 [eqn: x_n = {n^2 + 2 over n }over3]이다.

[eqn: therefore```][eqn: lim_n->inf x_n over n^2 = lim_n->inf {n^2 + 2 over n }over3n^2 = 1 over 3]

16. 행렬과 그래프	③

정답

ㄱ. (참) [eqn: (A+B) ( A^-1 +B^-1 ) = 4E``]에서 [eqn: 1 over 4 ( A+B) ( A^-1 +B^-1 ) =E``]이므로 [eqn: A^-1 +B^-1]의 역행렬은 [eqn: 1 over 4 (A+B)]로 존재한다.

ㄴ. (거짓)【반례】[eqn: A=`E], [eqn: B= {pmatrix{```````2`&````1`#`-1`&````0`}}]이면 [eqn: (A+B) ( A^-1 +B^-1 ) = 4E``]이지만 [eqn: B neq E]이다.

ㄷ. (참) [eqn: (A+B) ( A^-1 +B^-1 ) = 4E``]에서
[eqn: E+AB^-1 + BA^-1 +E = 4E], [eqn: AB^-1 + BA^-1 = 2E ``]이다.
그런데 [eqn: AB= 1 over 2 E]에서 [eqn: A^-1 = 2B], [eqn: B^-1 = 2A]

이므로 [eqn: 2A^2 + 2B^2 = 2E], [eqn: A^2 + B^2 = E]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

17. 수열	①

정답

[eqn: sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over { 2^2k+1}][eqn: = { 2} over { 3} LEFT ( sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over {2^2k } - 1 over4 sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over {2^2k } RIGHT )]
[eqn: = 2 over3 left{ LEFT ( 1over4 + { 2} over { 4^2} + cdots+ { n-1} over {4^n-1 } RIGHT )]
[eqn: - LEFT ( 1 over 4^2 + 2over 4^3 + cdots+ { n-1} over { 4^n} RIGHT ) right}]
[eqn: = 2 over3 LEFT ( 1over4 + 1 over4 ^2 + cdots + { 1} over {4^n-1 } - { n-1} over { 4^n} RIGHT )]
[eqn: = 2over3 LEFT ( sum _{ k=1} ^{n-1 } 1 over4 ^k - { ``n-1``} over { 4^n} RIGHT )]

이 때, (*)인 [eqn: { a_n} over { 2^n} = { a_1} over { 2} + sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over { 2^{2k+1}}]의 양변에 [eqn: 2^n]을 곱하면

[eqn: a_n][eqn: = 2^n-1 a_1 + 2^n `sum _{ k=1} ^{ n-1} { k} over { 2^2k+1}]
[eqn: = 2^n-1 LEFT ( - 4over 9 RIGHT ) + { 2^n+1} over { 3} LEFT ( sum _{ k=1} ^{ n-1} { 1} over {4^k } - { n-1} over {4^n } RIGHT )]
[eqn: = ` - { 2^n+1} over { 9} ``+ { 2^n+1} over { 3} LEFT ( sum _{ k=1} ^{ n-1} { 1} over {4^k } - { n-1} over {4^n } RIGHT )]

[eqn: therefore```][eqn: f(n) = n-1], [eqn: g(n)=`- {2 ^{n+1}} over {9}]

[eqn: therefore```][eqn: f(10) times g(5)][eqn: = 9 times LEFT ( - 2^6 over 9 RIGHT )]
[eqn: = `- 64]

18. 다항함수의 적분법	②

정답

[eqn: f(x) = ax^2 +bx+c``(a!=0)]라 하면

[eqn: g(x)][eqn: = int _{} ^{} {`} ` LEFT { (1+a)x ^{2} +bx+c RIGHT } dx]
[eqn: = { 1+a} over { 3} x^3 + b over2 x^2 + cx +C] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

그런데 함수의 곱 [eqn: f(x) g(x)]가 [eqn: 4]차함수이므로

[eqn: g(x)]는 이차함수가 되어야 한다. 즉,

[eqn: 1+a over3 =0], [eqn: a =`-1]

[eqn: g(x) = b over 2 x^2 +cx +C]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: f(x)=`-x ^{2} +bx+c]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: f(x)g(x)]의 [eqn: x^4]의 계수는 [eqn: - b over2]이고,
[eqn: x^3]의 계수는 [eqn: LEFT ( b^2 over2 - c RIGHT )]이다.

주어진 조건에서 [eqn: f(x) g(x)][eqn: =`-2x ^{4} +8x ^{3}]이므로

[eqn: - b over2 =`-2]	[eqn: therefore```][eqn: b=4]

[eqn: b^2 over2 - c =8], [eqn: 8-c =8]	[eqn: therefore```][eqn: c=0]

상수항은 [eqn: 0]이므로 [eqn: C ``=0]

그러므로 함수 [eqn: g(x) = 2x^2]이다.

[eqn: therefore```][eqn: g(1) =2]

19. 다항함수의 미분법	②

정답

삼각형 [eqn: \OAP]의 넓이가 최대가 되어야 하므로 점 [eqn: \P]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리가 최대가 되어야 한다. 그러므로 곡선 [eqn: y =f(x)] 위의 점 [eqn: \P]에서의 접선의 기울기가 직선 [eqn: y=x]의 기울기와 같은 [eqn: 1]일 때, 점 [eqn: \P]와 직선 [eqn: y=x] 사이의 거리가 최대이다.

[eqn: f`'(x)][eqn: = a (x-2)^2 +2ax(x-2)][eqn: =a(x-2)(3x-2)]

점 [eqn: \P]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: { 1} over { 2}]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =a TIMES LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =1]

[eqn: therefore```][eqn: a = 4over3]

20. 통계	⑤

정답

정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m,~ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 [eqn: 25]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar {X```}]라 할 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95]%의 신뢰구간은

[eqn: {\P} (|`Z``|le c ) =0.95]에서

[eqn: LEFT [ ` bar{`X``} -c TIMES {{1} over {2}} over {sqrt {25}} ,~ bar{X```} +c TIMES {{1} over {2}} over {sqrt {25}} RIGHT ] `]

[eqn: LEFT[ BAR{X```} - c over 10 ,~ BAR{X```} + c over 10 right]]에서

[eqn: a = bar{X```} - c over 10], [eqn: b = bar{X```} + c over 10]

[eqn: therefore```][eqn: c = 5 (b-a)]

21. 다항함수의 미분법	④

정답

두 함수 [eqn: f(x) = 6x^3 -x]와 [eqn: g(x) = |`x-a`|]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나려면 함수 [eqn: g(x)]의 그래프가 곡선 [eqn: f(x) = 6x^3 -x]에 접해야 한다.

[eqn: g(x)= cases{```````x-a&&(x GEQ a)#&&#-x+a&&(x<a)}]

즉, [eqn: f` prime (x)=1] 또는 [eqn: f`'(x)=`-1]이면서 두 함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 [eqn: a]의 값을 찾으면 된다.

(ⅰ) [eqn: f`' (x) = 1]이면서 두 함수 [eqn: g _{1} (x)]와 [eqn: f(x)]의 그래프가 두 점에서 만날 때
[eqn: 18 x^2 -1=1], [eqn: x^2 = 1over 9]
[eqn: therefore```][eqn: x = `- 1over3][eqn: ``(x < 0 )]
[eqn: y = 1over9]이므로 점 [eqn: LEFT ( - 1over3 ,~ 1 over 9 RIGHT )]을 지날 때의 [eqn: a]값은
[eqn: a =` - 4over 9]

(ⅱ) [eqn: f`' (x) =`- 1]이면서 두 함수 [eqn: g _{2} (x)]와 [eqn: f(x)]의 그래프가 두 점에서 만날 때
[eqn: 18x^2 -1 =`-1], [eqn: x^2 =0]
[eqn: therefore```][eqn: x=0]
[eqn: y =0]이므로 점 [eqn: (0,~0)]을 지날 때의 [eqn: a]값은
[eqn: a=0]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 [eqn: a]값의 합은 [eqn: - 4 over 9]이다.

22. 함수의 극한과 연속	[eqn: 2]

정답

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ x`->`2} { { x^2 +x} over { x+1} } = lim _{ x`->`2} { { x(x+1)} over { x+1} } = lim _{ x`->`2} {`x }` =2]

[다른 풀이] [eqn: lim _{x` -> `2} {{x ^{2} +x} over {x+1}} = {6} over {3} =2]

23. 다항함수의 적분법	[eqn: 16]

정답

[eqn: therefore```][eqn: int _{-2} ^{2} {x(3x+1)`dx}][eqn: = int _{-2} ^{2} {LEFT ( 3x ^{2} +x RIGHT ) `dx}]
[eqn: = 2 int _{ 0} ^{ 2} { 3x^2 `dx}]
[eqn: = 2 left[ x^3 right]_0^2]
[eqn: = 16]

24. 확률	[eqn: 12]

정답

다항식 [eqn: (1+ax )^5]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는 이항정리

[eqn: rm ` _{5} C it _{r} `1 ^{5-r} ( it ax) ^{r}]에서 [eqn: r=2]일 때이므로

[eqn: rm ` _{5} C _{2} `( it a) ^{2} = {5 TIMES 4} over {2} TIMES a ^{2}]

[eqn: 10a^2 = 1440]

[eqn: a^2 =144]

[eqn: therefore```][eqn: a =12]

25. 행렬과 그래프	[eqn: 14]

정답

행렬 [eqn: M`]은 [eqn: 5 times 5] 행렬이므로

꼭짓점의 개수 [eqn: a]는 [eqn: 5](개)

행렬 [eqn: M`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 18]이므로 변의 개수 [eqn: b]는

[eqn: 18 over2 = 9](개)

[eqn: therefore```][eqn: a =5], [eqn: b=9], [eqn: a+b=14]

26. 다항함수의 미분법	[eqn: 21]

정답

[eqn: lim _{ h`->`0} { { f(1+3h )- f(1)} over { h} }][eqn: = lim _{ h`->`0} { { f(1+3h) - f(1)} over { 3h} } times 3]
[eqn: = 3 f` ' (1)]

[eqn: f(x) = x^3 + 4x -2]에서 [eqn: f`' (x) =3x^2 +4]

[eqn: f`' (1) = 3+4 =7]

[eqn: therefore```][eqn: 3f`' (1) =21]

27. 통계	[eqn: 96]

정답

[eqn: \A] 과수원에서 생산하는 귤의 무게를 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 [eqn: \N (86,~ 15^2 )]을 따르고,

[eqn: \B] 과수원에서 생산하는 귤의 무게를 [eqn: Y``]라 하면 [eqn: Y``]는 [eqn: \N (88,~10^2 )]을 따른다.

[eqn: \P( it X le 98 ) = \P (it Y le a )]에서

[eqn: \P left ( it Z le 98-86 over 15 right) = \P left(it Z le a-88 over 10 right )]

[eqn: 98-86 over 15 = a-88 over 10], [eqn: 8 =a-88]

[eqn: therefore```][eqn: a =96]

28. 수열의 극한	[eqn: 12]

정답

[eqn: S_n = sum _{ k=1} ^{n }(a_k+1 - a_k )^2]이라 하면

[eqn: S_n - S_n-1][eqn: = (a_n+1 - a_n )^2 }]
[eqn: = 2 LEFT ( 1- 1over 9^n RIGHT ) - 2 LEFT ( 1 - 1over9^n-1 RIGHT )][eqn: = 16 over 9^n][eqn: = LEFT ( 4 over 3^n RIGHT )^2] (단, [eqn: n ge 2])

이때, [eqn: n=1]이면 [eqn: (a_2 -a_1 )^2 = 2 LEFT ( 1 - 1over9 RIGHT ) = 16 over9]이므로

[eqn: (a_n+1 - a_n )^2 = LEFT ( 4 over3 ^n RIGHT )^2`` (n ge 1 )]이다.

[eqn: a_n+1 > a_n] 즉, [eqn: a_n+1 -a_n >0]이므로 [eqn: a_n+1 - a_n = 4 over 3^n]이다.

따라서

[eqn: a_n = a_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1}4 over3^k = 10 + sum _{ k=1} ^{ n-1}4over3 LEFT ( 1over3 RIGHT )^k-1](단, [eqn: n GEQ 2])

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf } { a_n }][eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT { 10+ sum _{k=1} ^{n-1} {4} over {3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{k-1} RIGHT }][eqn: = 10 + { 4over3} over { 1- 1over3 } = 12]

29. 다항함수의 적분법	[eqn: 13]

정답

삼각형 [eqn: \OAB]는 직각삼각형이므로 선분 [eqn: \OB]는 원 [eqn: C`]의 지름이다. 따라서 이 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: r =][eqn: 1over2 bar{\OB} = 1over2 sqrt{t^2 + t^4}]

이때, 두 점 [eqn: \O(0,~0)], [eqn: \B (itt,~ t^2 )]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y = t x]고, 원 [eqn: C`]의 내부와 부등식 [eqn: y le x^2]이 나타내는 영역의 공통부분의 넓이는 반원의 넓이에서 원 [eqn: C`]의 직선 [eqn: y = tx]와 곡선 [eqn: y = x^2]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 뺀 값과 같다. 따라서

[eqn: S(t)][eqn: = 1over2 pi r^2 - int _{ 0} ^{t } {(tx -x^2 ) dx }]
[eqn: = {1} over {8} pi (t ^{2} +t ^{4} )-t int _{0} ^{t} {x`dx} + int _{0} ^{t} {x ^{2} dx}]

[eqn: S``'(t)][eqn: = {1} over {8} pi (2t+4t ^{3} )- int _{0} ^{t} {x`dx} -t ^{2} +t ^{2}]
[eqn: = 1over4 pi (t + 2t^3 ) - 1over 2 t^2]

∴ [eqn: S``'(1) = 3over4 pi - 1over2][eqn: = { 3pi -2} over { 4}]

따라서 [eqn: p = 3], [eqn: q=`-2]이므로 [eqn: p^2 + q^2 = 13]이다.

30. 로그와 로그함수	[eqn: 79]

정답

함수 [eqn: y = log 7x]의 그래프가 세 직선 [eqn: y = 1], [eqn: y=2], [eqn: y = 3]과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 10over7], [eqn: 100over7], [eqn: 1000over7]이고, [eqn: 1 < 10over 7 < 2], [eqn: 14 < 100over 7 < 15], [eqn: 142 < 1000over 7 < 143]

이므로 함수 [eqn: y = log 7x]의 그래프와 만나는 정사각형의 왼쪽 아래쪽 꼭짓점의 좌표는

[eqn: (1,~1)], [eqn: (2,~ 1)], [eqn: cdots], [eqn: (14,~ 1)], [eqn: (14,~ 2)], [eqn: (15,~ 2)], [eqn: (16,~ 2)], [eqn: cdots], [eqn: (99,~ 2)]

또, 함수 [eqn: y = log 3x]의 그래프가 세 직선 [eqn: y = 1], [eqn: y=2], [eqn: y = 3]과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 10over3], [eqn: 100over3], [eqn: 1000over3]이고, [eqn: 3 < 10over 3 < 4], [eqn: 33 < 100over 3 < 34], [eqn: 333 < 1000over 3 < 334]

이므로 함수 [eqn: y = log 3x]의 그래프와 만나는 정사각형의 왼쪽 아래쪽 꼭짓점의 좌표는

[eqn: (3,~1)], [eqn: (4,~ 1)], [eqn: cdots], [eqn: (33,~ 1)], [eqn: (33,~ 2)], [eqn: (34,~ 2)], [eqn: (35,~ 2)], [eqn: cdots], [eqn: (99,~ 2)]

따라서 두 함수의 그래프와 모두 만나는 정사각형의 왼쪽 아래쪽 꼭짓점의 좌표는

[eqn: (3,~ 1)], [eqn: (4,~ 1)], [eqn: cdots], [eqn: (14,~ 1)], [eqn: (33,~ 2)], [eqn: (34,~ 2)], [eqn: (99,~ 2)]

이므로 그 개수는 [eqn: (14 - 2) + (99 - 32) = 79]이다.