◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2010학년도 10월 고2 학업성취도평가 문제지

수리 영역 (나형)

성명			수험 번호						2

제 2 교시

고 2	수리 영역 (나형)

	수리 영역 (나형)	고 2

8

8

1. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``1&`````````1``#``0&``-2``}} ``]에 대하여 [eqn: A ^{2} `]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 2]        ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 6]        ④ [eqn: 8]        ⑤ [eqn: 10]

2. [eqn: sqrt {2} DIVIDE root {5} of {4 sqrt { 2} }]의 값은? [2점]

① [eqn: 1 over 2]       ② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]       ③ [eqn: 1]       ④ [eqn: sqrt { 2}]       ⑤ [eqn: 2]

3. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{`2} =8`], [eqn: a _{`7} =33`]일 때, [eqn: a _{`10} `]의 값은?

[2점]

① [eqn: 42]       ② [eqn: 44]       ③ [eqn: 46]       ④ [eqn: 48]       ⑤ [eqn: 50]

4. 로그함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =log _{`a`} x`]에 대하여 [eqn: f` LEFT ( alpha` RIGHT ) =3], [eqn: f` LEFT ( beta` RIGHT ) =5]일 때, [eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =2`]를 만족시키는 [eqn: x]를 [eqn: alpha], [eqn: beta]로 나타낸 것은? (단, [eqn: a>1`])                                                         [3점]

① [eqn: alpha+beta]      ② [eqn: 2alpha - beta]      ③ [eqn: alpha`beta]      ④ [eqn: {alpha} over {beta}]      ⑤ [eqn: {beta} over {alpha}]

5. 다음은 그래프에서 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타내는 과정이다. 옳게 나타낸 행렬은? [3점]

① [eqn: {pmatrix{`0`&`1`&`1`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`0`&`0`#`1`&`0`&`0`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`&`0`}}]      ② [eqn: {pmatrix{`0`&`1`&`1`&`1`&`1`#`1`&`0`&`0`&`0`&`1`#`1`&`0`&`0`&`1`&`0`#`1`&`0`&`1`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`&`0`}}]      ③ [eqn: {pmatrix{`0`&`1`&`1`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`&`0`#`1`&`0`&`1`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`&`0`}}]

④ [eqn: {pmatrix{`0`&`0`&`1`&`1`&`1`#`0`&`0`&`1`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`0`&`0`#`1`&`0`&`0`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`&`0`}}]      ⑤ [eqn: {pmatrix{`0`&`1`&`1`&`1`&`0`#`1`&`0`&`1`&`0`&`1`#`1&`1`&`0`&`0`&`0`#`1`&`0`&`0`&`0`&`1`#`0`&`1`&`0`&`1`&`0`}}]

6. [eqn: log`x`=`2.6767`]이고, [eqn: LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{20} `]은 소수점 아래 [eqn: y`]번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0`]이 아닌 숫자가 나타난다. 이때, [eqn: x+`y`]의 값은?
(단, [eqn: log`2`=`0.3010`], [eqn: log`4.75`=`0.6767``]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 479]      ② [eqn: 481]      ③ [eqn: 483]      ④ [eqn: 485]      ⑤ [eqn: 487]

7. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{2} +(2 ^{a} `+2)x`+2 ^{a+1} `+1geq0]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

8. 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: A`+E`]와 [eqn: A`-E`]의 역행렬이 모두 존재하지 않을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: LEFT ( A+E`` RIGHT ) LEFT ( A-E`` RIGHT ) =O] ㄷ. [eqn: A+A ^{2} +`A ^{3} + CDOTS +A ^{2n} `=n LEFT ( A+E`` RIGHT )] (단, [eqn: n]은 자연수)

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. K-리그 관중의 수는 매년 전년도에 비해 [eqn: 10`]%씩 증가한다고 하자. [eqn: 2009`]년 관중이 [eqn: 300`]만 명일 때, [eqn: 2010`]년부터 [eqn: 2019`]년까지 [eqn: 10]년 동안 예상되는 총 관중의 수는? (단, [eqn: 1.1 ^{10} =2.6]으로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 5280`]만 명	② [eqn: 5140`]만 명	③ [eqn: 4800]만 명

④ [eqn: 4320`]만 명	⑤ [eqn: 4200`]만 명

10. 부등식 [eqn: log _{2} `cosx```+`log` _{4} {2} over {3} `<`log` _{4} `sinx`]의 해가
[eqn: alpha <x<beta``]일 때, [eqn: alpha` +` beta`]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: 0<x< {pi} over {2} ` right)] [3점]

① [eqn: {5} over {12}][eqn: pi]     ② [eqn: {1} over {2}][eqn: pi]     ③ [eqn: {7} over {12}][eqn: pi]     ④ [eqn: {2} over {3}][eqn: pi]     ⑤ [eqn: {5} over {6}][eqn: pi]

11. 교육청에서는 고등학교 [eqn: 2]학년 학생을 대상으로 여름방학과 겨울방학에 수학캠프와 과학캠프를 개설하여 운영하였다.

<표 [eqn: 1]>은 학생 [eqn: 1]인 기준의 참가비와 운영비를 나타낸 것이고  <표 [eqn: 2]>는 시기별 참가자 수를 나타낸 것이다.

<표 1>         (단위 : 원)

	수학 캠프	과학 캠프
참가비	[eqn: a`]	[eqn: b`]
운영비	[eqn: 2a`]	[eqn: 2b]

<표 2>          (단위 : 명)

	여름 방학	겨울 방학
수학캠프	[eqn: 180]	[eqn: 120]
과학캠프	[eqn: 110]	[eqn: 90]

위의 표를 각각 행렬 [eqn: P``=` {pmatrix{``a&````b`#`2a&```2b`}} `,~Q``=` {pmatrix{`180&``120`#`110&```90`}}]로 나타내고,  이 두 행렬의 곱 [eqn: P`Q``=` {pmatrix{`x&```y`#`u&```v`}} `]라 하자. 학생 [eqn: 1]인당 보조금은 1인 기준의 운영비에서 참가비를 뺀 금액이라 정의할 때, 겨울방학 캠프운영을 위한 보조금의 총합을 행렬 [eqn: PQ`]의 성분을 이용하여 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: y-u]    ② [eqn: u-y`]    ③ [eqn: u-x`]    ④ [eqn: v-y`]    ⑤ [eqn: y-v`]

12. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n LEQ log _{`2`} `A`<n+1]을 만족하는 자연수 [eqn: A]의 개수를 [eqn: f(n)`]이라 할 때, 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(2)=4`] ㄴ. [eqn: f(2n)=2f LEFT ( n RIGHT )] ㄷ. [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+` CDOTS `+f(n`)=f(n+1`)-2]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 원 [eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =4] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm P it ` LEFT ( it `a,~b` RIGHT ) `], [eqn: rm Q it ` LEFT ( `c,~d` RIGHT )]에 대하여 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`a&`b`#`c&`d`}}]라 하자. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 두 점 [eqn: rm`P], [eqn: rm`Q]에 대하여 직선 [eqn: {rm PQ it} `]의 기울기 [eqn: m`]의 범위는? [4점]

①	[eqn: - sqrt {3} <m< sqrt {3}]
②	[eqn: m<`- sqrt {3} `또는~m> sqrt {3}]
③	[eqn: - {sqrt {3}} over {3} <m< {sqrt {3}} over {3}]
④	[eqn: m<`- {sqrt {3}} over {3} `또는~m> {sqrt {3}} over {3}]
⑤	[eqn: {sqrt {3}} over {3} <m< sqrt {3}]

14. 범지구적 온실가스 감축협약인 교토의정서에 의하면 점차적으로 각 나라에서는 이산화탄소 배출량을 의무적으로 감축해야 한다. 우리나라의 [eqn: A`]도시에서는 이산화탄소 배출량을 매년 전년도보다 [eqn: 9`]%씩 감축하고자 한다. [eqn: 2009`]년 이 도시의 이산화탄소 연간 총 배출량이 [eqn: 4000`]만 톤이었다면 이산화탄소 연간 총 배출량이 처음으로 [eqn: 2000`]만 톤 이하가 될 것으로 예상되는 해는? (단, [eqn: log`2=0.30], [eqn: log``9.1=0.96`]으로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 2015]년            ② [eqn: 2017]년            ③ [eqn: 2019]년

④ [eqn: 2021]년            ⑤ [eqn: 2023]년

15. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n`]과 [eqn: 2n`]사이에 있는 수 중 분모가 [eqn: 3`]인 모든 기약분수의 합이  임을 증명하는 과정이다.

(다)

	<증명> [eqn: n`]부터 [eqn: 2n`]까지 분모가 [eqn: 3]인 유리수들을 나열하면 [eqn: {3n} over {3}], [eqn: {3n+1} over {3}], [eqn: {3n+2} over {3`}], [eqn: CDOTS], [eqn: {6n-2} over {3}], [eqn: {6n-1} over {3}], [eqn: {6n} over {3}] 이고 이 수열은 공차가 [eqn: {1} over {3}], 항의 개수는 인 등차수열이므로 (가) 이 수열의 합 [eqn: S= {3n(3n+1)} over {2}]이다. [eqn: n`]부터 [eqn: 2n`]까지의 정수는 [eqn: n], [eqn: n+1`], [eqn: n+2`], [eqn: CDOTS], [eqn: 2n-2], [eqn: 2n-1`], [eqn: 2n`]이고, 이 수열의 합 [eqn: T=] 이다. (나) 따라서, [eqn: n`]과 [eqn: 2n`]사이에 있는 수 중 분모가 [eqn: 3`]인 모든 기약분수의 합은 [eqn: S-T`][eqn: =] 이다. (다)

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 3n]	[eqn: {n LEFT ( 3n+1 RIGHT )} over {2}]	[eqn: 2n ^{2} +n]
②	[eqn: 3n+1]	[eqn: {n LEFT ( 3n+1 RIGHT )} over {2}]	[eqn: 2n ^{2} +n]
③	[eqn: 3n+1]	[eqn: {3n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}]	[eqn: 2n ^{2} +n]
④	[eqn: 3n+1]	[eqn: {3n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}]	[eqn: 3n ^{2}]
⑤	[eqn: 3n]	[eqn: {3n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}]	[eqn: 3n ^{2}]

16. 그림과 같이 작은 정사각형의 한 변의 길이가 모두 [eqn: 1]인 바둑판 모양의 길에 남쪽을 바라보는 로봇이 있다.

함수 [eqn: f(x)=log _{`2`} `` LEFT ( x+1 RIGHT ) `]의 함숫값은 로봇의 움직임을 결정하고, 로봇은 다음 규칙에 따라 움직인다.

	(가) 함숫값이 자연수인 경우 ㆍ홀수이면 현재위치에서 시계방향으로 [eqn: 90 DEG]만큼 회전한다. ㆍ짝수이면 현재위치에서 시계반대방향으로 [eqn: 90 DEG]만큼 회전한다. (나) 함숫값이 자연수가 아닌 경우 ㆍ현재위치에서 앞으로 [eqn: 1`]만큼 이동한다.

[eqn: x]에 [eqn: 10`]보다 작은 자연수를 [eqn: 1`]부터 차례로 입력하여 위와 같은 규칙으로 로봇이 움직일 때, 로봇의 최종 위치를 나타내는 점은?

[3점]

① [eqn: rm `A]       ② [eqn: rm `B]       ③ [eqn: rm `C]       ④ [eqn: rm `D]       ⑤ [eqn: rm `E]

17. 두 양수 [eqn: p`,~q`]에 대하여 [eqn: log _{`4`} `p`=`log _{`10`} `2`q`=`log _{`25`} (p`+`3`q)`]가 성립할 때, [eqn: q over p`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: {3} over {2}]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: {5} over {2}]        ⑤ [eqn: 3]

18. 연립부등식 [eqn: {cases{log _{`x} (log _{`x`} `y)>0#`9 ^{`y} -28`‧`3 ^{`y} `+`27``<`0`}}] 을 만족하는 점 [eqn: (x,``y)`]가 존재하는 영역을 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은? (단, 경계선은 제외한다.) [4점]

①		②
③		④
⑤

19. 등비수열 [eqn: "{"a _{n} "}"``]이 [eqn: a _{n+1} >a _{n} `]을 만족할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: p,~q,~s,~t]는 서로 다른 자연수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a _{1} ``a _{5} =a _{2} ``a _{4}] ㄴ. [eqn: p-s=q-t`]이면 [eqn: a _{p} ``a _{q} =a _{s} ``a _{t}]이다. ㄷ. [eqn: a _{1} ``a _{2} ``a _{3} CDOTS a _{3p} =a _{2} ^{```3} ```a _{5} ^{```3} ```a` _{8} ^{```3} ``` CDOTS `a _{3p-1} ^{````3}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 그림과 같이 크기가 서로 다른 정삼각형 [eqn: A _{`1`} ,~A _{`2`} ,`` CDOTS ,````A _{`n`} `]에 대하여 한 변의 길이를 각각 [eqn: a _{`1`} ,~a _{`2`} ,`` CDOTS ,````a _{`n`} ``]이라 하자. 각 도형의 넓이를 [eqn: S _{`1} `,~S _{`2} `,`` CDOTS ,~S _{`n} ``]이라 하면 [eqn: S _{`n`} `=` sqrt {2} S _{`n`-1} `][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이 성립한다. [eqn: a _{`1} TIMES a _{`2} TIMES a _{`3} TIMES `` CDOTS ` TIMES a _{`8} =`2 ^{`11} `]일 때, [eqn: S`` _{1`}]의 값은? [4점]

① [eqn: {sqrt {3}} over {4}]    ② [eqn: {sqrt {3}} over {2}]    ③ [eqn: sqrt {3}]    ④ [eqn: 2 sqrt {3}]    ⑤ [eqn: 4 sqrt {3}]

21. 자연수 [eqn: n`]을 [eqn: 5`]로 나눈 나머지를 [eqn: R(n)`]이라 할 때, 두 수열 [eqn: left{a_n right}`]과 [eqn: left{b_n right}`]은 다음 규칙을 만족한다.

	(가) [eqn: a_1`=`6`,~a_10`-`a_5`=`5] (나) [eqn: left{b_n right}`]은 등차수열이고 [eqn: b_n`=`a_n`+`R(n)`]이다.

수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: R`(S _{14} `)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 0]        ② [eqn: 1]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: 3]        ⑤ [eqn: 4]

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: 4``log` _{3} `27-`log` _{{1} over {3}} `81]의 값을 구하시오. [3점]

23. 방정식 [eqn: 2 ^{`x} `+`2 ^{`3-x} `=6``]의 두 근을 [eqn: alpha``], [eqn: ` beta] 라 할 때,
[eqn: (1+2alpha)(1+2 beta) ``]의 값을 구하시오. [3점]

24. 첫째항이 [eqn: -1`], 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]에 대하여 행렬  [eqn: A= {pmatrix{``a _{n+1}&````a _{n} ``#``a _{n+2}&````a _{n+1} ``}} `]이다. [eqn: A+A ^{-1} `]의 모든 성분의 합이 [eqn: 156`]일 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 그림과 같이 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rm LEFT ( 0,```16 RIGHT )]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x} ``]과 만나는 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} ``]과 만나는 점을 [eqn: rm B`], 점 [eqn: rm B`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x} ``]과 만나는 점을 [eqn: rm C`], 점 [eqn: rm C`]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} ``]과 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 하자. 사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이를 [eqn: {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

26. 그림과 같은 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬을 [eqn: M``]이라 하자. 행렬 [eqn: M ^{`2} = {pmatrix{`a&□&□&□`#`□&b&□&□`#`□&□&c&□`#`□&□&□&d`}} `]일 때, [eqn: a`+b`+c`+d`]의 값을 구하시오. [3점]

27. 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a _{`n+1} -2`a _{`n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 15], 공비가 [eqn: 5`]인 등비수열이다.

이때, [eqn: log` _{`5} left(a _{1} TIMES a _{`2} TIMES a _{`3} TIMES ` CDOTS ` TIMES a _{`10} right)]의 값을 구하시오. [4점]

28. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립일차방정식
[eqn: {pmatrix{`m+1``&``1`#`n+1``&``n-4`}} {pmatrix{``x``#``y``}} ```=` {pmatrix{`x+2y`#`x`-`y`}} ``]가 [eqn: x`=0`], [eqn: y`=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 정수 [eqn: m`], [eqn: n`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,~n RIGHT )]에 대하여 [eqn: m ^{`2} +n ^{`2}]의 최댓값을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같이 왼쪽 대각선 방향의 수들은 등비수열을 이루고, 오른쪽 대각선 방향의 수들은 등차수열을 이루도록 수를 나열하면 제[eqn: 6`]행의 맨 왼쪽으로부터 [eqn: 2]번째 직사각형에 적힌 수는 [eqn: 48]이다. 제[eqn: 11`]행의 맨 왼쪽으로부터 [eqn: 4`]번째 직사각형에 적힌 수를 구하시오. [4점]

30. 길이가 [eqn: 6 `]인 선분이 있다. 그림과 같이 첫 번째 시행에서 이 선분을 삼등분하여 중간 부분을 잘라 내고, 남은 각각의 선분을 지름으로 하는 반원 두 개의 넓이의 합을 [eqn: A _{1}]이라 하자. 두 번째 시행에서는 첫 번째 잘라 낸 선분을 삼등분하여 중간 부분을 잘라 내고, 남은 각각의 선분을 지름으로 하는 반원 두 개의 넓이의 합을 [eqn: A _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 시행에서 얻은 반원 두 개의 넓이의 합을 [eqn: A _{`n`}]이라 할 때, [eqn: A _{`n`} < LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{20} pi `]를 만족하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.