수학 영역

고 1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수학 영역

고 1

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

12

2014학년도 6월 고1 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시             수학 영역

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: (`4`+`3i`)`+`(`1`-`2i`)`]의 값은? (단, [eqn: i `=` sqrt`of-1 `]이다.) [2점]

① [eqn: 5`+`i`]	② [eqn: 5`-`i`]	③ [eqn: 3`+`i`]	④ [eqn: 3`-`i`]	⑤ [eqn: 2`+`3i`]

2. 두 다항식
[eqn: A`=`x ^{2} `+`1`], [eqn: B`=`2x ^{2} `+`x`-`1`]
에 대하여 [eqn: 3A`-`B`]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: 3x^2 `+`x`+`2`]	② [eqn: 3x^2 `+` x`]	③ [eqn: x^2 `+`2x`-`4`]

④ [eqn: x^2 `-`x`+`6`]	⑤ [eqn: x^2 `-`x`+`4`]

3. 다항식 [eqn: x ^{3} `-`3x ^{2} `+`2x`+`4`]를 [eqn: x`-`2`]로 나눈 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하는 과정이다.

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 2]			[eqn: 4]
		[eqn: 2]	[eqn: a]			[eqn: 0]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 0]		[eqn: b]

[eqn: a`+`b`]의 값은? (단, [eqn: a`,``b`]는 상수이다.) [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

4. 다항식 [eqn: (`x ^{2} `+`2x`)(`x ^{2} `+`2x`-`3`)`+`2`]를 인수분해하면
[eqn: (`x ^{2} `+`ax`+`b`)(`x ^{2} `+`2x`-`2`)`]일 때, [eqn: a`+`b`]의 값은? (단, [eqn: a`,``b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

5. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: 2x ^{3} `+`ax ^{2} `+`bx`+`6`]이 [eqn: x ^{2} `-`1`]로 나누어떨어질 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a`,``b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

6. [eqn: {sqrt`of3} `<`a`<` sqrt`of6 `]일 때, [eqn: LEFT |`` a^2`-`2 ``RIGHT | `+` LEFT |`` a^2`-`7``RIGHT |`]을 간단히 하면?
[3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: -2a^2 `+`9`]	⑤ [eqn: 2a^2 `-`9`]

7. [eqn: sqrt`of{-2} sqrt`of {-18} `+` {sqrt`of{12}} over {sqrt`of{-3}} `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [3점]

① [eqn: 6`+`2i]	② [eqn: 6`-`2i`]	③ [eqn: -8i`]

④ [eqn: -6`+`2i]	⑤ [eqn: -6`-`2i]

8. [eqn: (`2x`+`y`-`1`) ^{2} `=`3`]을 만족시키는 [eqn: x`,``y`]에 대하여 [eqn: 4x ^{2} `+`y ^{2} `+`4xy`-`4x`-`2y`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식
[eqn: x ^{2} `-`2(`k`-`2`)x`-`k ^{2} `+`5k`-`3` GEQ `0`]
이 성립하도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

10. 부등식 [eqn: x ^{2} `-`2x`-`5 `<` LEFT |` `x`-`1 ``RIGHT |`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

11. 그림과 같이 두 이차함수
[eqn: f`(`x)`=`(`x`-`2`)^2 `], [eqn: g`(`x)`=`(`x`-`2`)^2 `+`3`]의 그래프 위에 네 점 [eqn: {rmA} left(`1`,~f` left(` 1 right)` right)`], [eqn: {rmB}left(`4`,~f`(`4)` right) `], [eqn: {rmC}left(`4`,~g`(`4)`right)`], [eqn: {rmD} left(` 1 `,~g`left(` 1 right) `right)`]이 있다.
두 함수 [eqn: y`=`f`(`x)`], [eqn: y`=`g`(`x)`]의 그래프와 선분 [eqn: rmAD`], 선분 [eqn: rmBC`]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmB]

[eqn: y`=`f`(`x)]

[eqn: y`=`g`(`x)]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

12. 다음은 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 세 근이 [eqn: alpha `,~ beta `,~ gamma `]일 때, [eqn: {1}over{alpha }`,~{1}over{ beta }`,~{1}over{ gamma } `]을 세 근으로 갖는 삼차방정식을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: alpha `]가 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 한 근이므로

[eqn: alpha ^{3} `+`2 alpha ^{2} `+` 3alpha`+`1 `=`0`]

이다.

[eqn: alpha`]는 [eqn: 0`]이 아니므로 양변을 [eqn: alpha^3 `]으로 나누어 정리하면

[eqn: LEFT (` {1} over {alpha } `RIGHT ) ^{3} `+`BOX{~(가)~}`times` LEFT (` {1} over {alpha } `RIGHT ) ^{2} `+`2 left(` 1over alpha `right)`+`1 `=`0`]

이다.

그러므로 [eqn: 1over alpha `]은 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한 삼차방정식

[eqn: {BOX{~~~~(나)~~~~}} `=`0`]

의 한 근이다.

같은 방법으로

[eqn: beta `,``gamma`]도 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `+`2x ^{2} `+`3x`+`1`=`0`]의 근이므로

[eqn: vdots]

이다.
따라서 [eqn: {1}over{alpha }`,``{1}over{ beta }`,``{1}over{ gamma } `]을 세 근으로 갖는 최고차항의 계수가
[eqn: 1`]인 [eqn: x`]에 대한 삼차방정식은

[eqn: {BOX{~~~~(나)~~~~}} `=`0`]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f`(`x)`]라 할 때, [eqn: p`+`f`(`2)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 28`]	② [eqn: 29`]	③ [eqn: 30`]	④ [eqn: 31`]	⑤ [eqn: 32`]

[13∼14] 이차함수 [eqn: bold{f`(`x)`=`x^2 `}]의 그래프가 그림과 같을 때,  13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: y`]

[eqn: rmO]

[eqn: x`]

[eqn: ``~y`=`f`(`x)`]

13. [eqn: x`]에 대한 이차부등식 [eqn: 1over2 f`(`x) `le`k`]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 7`]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: k`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

14. 이차함수 [eqn: y`=`f`(`x)`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: p`]만큼 평행이동하였더니 함수 [eqn: y`=`g`(`x)`]의 그래프와 일치하였다.
직선 [eqn: y`=` 1over2 x `+`1`]이 두 함수 [eqn: y`=`f`(`x) `], [eqn: y`=`g`(`x)`]의 그래프와 서로 다른 네 점에서 만날 때, 네 교점의 [eqn: x`]좌표의 합이 [eqn: 9`]가 되도록 하는 [eqn: p`]의 값은? (단, [eqn: p`>`0`]이다.) [4점]

① [eqn: 5OVER2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 7OVER2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9OVER2]

15. 이차함수 [eqn: f`(`x)`=`(`x`-`a`)(`x`-`b`)`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a`,``b`]는 실수이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a`=`b`]이면 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(`x) `GEQ`0`]이다. ㄴ. 이차함수 [eqn: f`(`x)`]의 최솟값은 [eqn: f` LEFT (` {a`+`b} over2 `RIGHT )`]이다. ㄷ. [eqn: 0`<`a`<`b`]이면 [eqn: f` LEFT (` {b`-`a} over 2 `RIGHT ) `<` f` LEFT (` {a`-`b} over 2 `RIGHT ) `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 이차방정식 [eqn: x^2 `-`3x`-`2`=`0`]의 두 근이 [eqn: alpha`,`` beta`]일 때, [eqn: alpha^3 `-` 3 alpha^2 `+`alpha beta `+`2 beta `]의 값은? [4점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

17. 별은 가스와 먼지가 밀집되어 있는 성운에서 만들어진다. 성운을 이루는 물질들은 중력에 의해 서로 끌어당기며 수축하는데 이를 중력수축이라 한다. 성운이나 별의 반지름의 길이가 태양 반지름의 길이의 [eqn: a`]배일 때, 반지름의 길이가 [eqn: a`]인 성운 또는 별이라 하고, 별의 질량이 태양 질량의 [eqn: b`]배일 때,  질량이 [eqn: b`]인 별이라 한다.
반지름이 [eqn: R _{0} `]인 원시 성운이 중력수축하여 반지름이 [eqn: R`]이고 질량이 [eqn: M`]인 별이 될 때, 위치 에너지 중 복사 에너지로 전환되는 에너지양을 [eqn: E`]라 하면 다음 관계식이 성립한다.
[eqn: E`=` {1} over {2} GM ^{2} LEFT (` {1} over {R} `-` {1} over {R _{0}} `RIGHT )`] (단, [eqn: G`]는 만유인력 상수이다.)
반지름이 [eqn: 20]인 원시 성운이 중력수축하여 반지름이 [eqn: 5]이고 질량이 [eqn: M_1 `]인 별 [eqn: A`]가 될 때, 위치 에너지 중 복사 에너지로 전환되는 에너지양은 [eqn: E`_1 `]이다. 반지름이 [eqn: 16`]인 원시 성운이 중력수축하여 반지름이 [eqn: 4`]이고 질량이 [eqn: M_2 `]인 별 [eqn: B`]가 될 때, 위치 에너지 중 복사 에너지로 전환되는 에너지양은 [eqn: E`_2 `]이다. [eqn: {E`_2 }over{E`_1 } `=` 3over10 `]일 때, [eqn: {M _{2}} over {M _{1}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {sqrt`of6}over5]	② [eqn: {sqrt`of {7}} over {5}]	③ [eqn: {2sqrt`of {2}} over {5}]	④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {sqrt`of10} over {5}]

18. [eqn: x`]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} `-`5x ^{2} `+`(`k`-`9`)x`+`k`-`3`=`0`]이 [eqn: 1`]보다 작은 한 근과 [eqn: 1`]보다 큰 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 24`]	② [eqn: 26`]	③ [eqn: 28`]	④ [eqn: 30`]	⑤ [eqn: 32`]

19. 그림과 같이 [eqn: angle {rmB}`=`90DEG], [eqn: {rm bar AB}`=`2`], [eqn: {rm bar BC}`=`2sqrt`of3 `]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]에서 점 [eqn: rmP]가 변 [eqn: rmAC`]위를 움직일 때, [eqn: rm{{ barPB}^{`2}} `+` {rm {barPC} ^{`2}}`]의 최솟값은? [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP]

[eqn: 2]

[eqn: 2sqrt`of3]

① [eqn: 9over2]	② [eqn: 11over2]	③ [eqn: 13over2]	④ [eqn: 15over2]	⑤ [eqn: 17over2]

20. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} `-`px`+`p`+`3`=`0`]이 허근 [eqn: alpha`]를 가질 때, [eqn: alpha ^3 `]이 실수가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: p`]의 값의 곱은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -6]

21. 삼차다항식 [eqn: P`(`x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: (`x`-`1`)P`(`x`-`2`)`=`(`x`-`7`)P`(`x)`]

(나) [eqn: P`(`x)`]를 [eqn: x ^{2} `-`4x`+`2`]로 나눈 나머지는 [eqn: 2x`-`10`]이다.

[eqn: P`(`4)`]의 값은? [4점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

단답형(22 ~ 30)

22. 등식 [eqn: x ^{2} `+`5x`+`7`=`(`x`-`1`) Q(`x)`+`a`]가 [eqn: x`]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: Q(`x)`]는 [eqn: x`]에 대한 다항식이다.)                                                        [3점]

23. 이차함수 [eqn: y`=`x^2 `+`5]의 그래프와 직선 [eqn: y`=`mx`]가 접할 때, [eqn: m^2 `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`]은 상수이다.) [3점]

24. 연립부등식
[eqn: left{`` matrix { |``x`-`1``|`le`6~~~~~~``# (`x `-`2`)(`x`-`8`)`le`0 }`]
의 해가 [eqn: alpha ` LEQ `x` LEQ beta `]일 때, [eqn: alpha `+` beta `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 연립방정식
[eqn: LEFT { `` {matrix{x`-`2y`=`10~~~~~``#x`-`y`-`z`=`8~~~````#x`+`3y`+`z`=`-12}} RIGHT .]
를 만족시키는 [eqn: x`,``y`,``z`]에 대하여 [eqn: xyz`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 그림과 같이 선분 [eqn: rmAB`] 위의 점 [eqn: rmC`]에 대하여 선분 [eqn: rmAC`]를
한 모서리로 하는 정육면체와 선분 [eqn: rmBC`]를 한 모서리로 하는 정육면체를 만든다. [eqn: {rmbar{AB}} `=`8`]이고 두 정육면체의 부피의 합이 [eqn: 224`]일 때, 두 정육면체의 겉넓이의 합을 구하시오.
(단, 두 정육면체는 한 모서리에서만 만난다.) [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: 8]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

27. 연립방정식
[eqn: LEFT { `` {matrix{x ^{2} `-`y ^{2} `=`6`~~~~~~~~~~~#(`x`+`y`) ^{2} `-`2(`x`+`y`)`=`3`}} ` RIGHT .]
을 만족시키는 양수 [eqn: x`,``y`]에 대하여 [eqn: 20xy`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 실수 [eqn: x`]에 대하여 복소수 [eqn: z`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: z`=`3`x`+`(`2x`-`7`)i`]

(나) [eqn: z ^{`2} `+` (`{bar{z}}`) ^{`2} `]은 음수이다.

이때, 정수 [eqn: x`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: i`=` sqrt`of {-1} `]이고, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

29. [eqn: x]에 대한 사차방정식 [eqn: x ^{4} -9x ^{2} +k-10=0]의 모든 근이 실수가 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하시오. [4점]

30. 그림과 같이 [eqn: -2`<`k`<`2`]인 실수 [eqn: k`]에 대하여 이차함수 [eqn: y`=`-x ^{2} `+`1`]의 그래프와 직선 [eqn: y`=`2x`+`k`]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A`,``B`]라 할 때, [eqn: rm A`,``B`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A_1 `,``B_1 `]이라 하고, 직선 [eqn: y`=`2x`+`k`]와 [eqn: x`]축이 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 두 삼각형 [eqn: rmACA_1 `]과 [eqn: rmBCB_1 `]의 넓이의 합이 [eqn: {3} over {2}]일 때,
상수 [eqn: k`]의 값이 [eqn: p`+`q sqrt`of {7} `]이다. [eqn: 10p `+`q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`,``q`]는 유리수이다.) [4점]

[eqn: y`=`2x`+`k]

[eqn: y]

[eqn: {rmB}]

[eqn: rmB_1]

[eqn: {rmA}_1]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y`=`-x^2 `+`1]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.