수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2017학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

5지선다형

1. 부등식 [eqn: log _{`2}` x le2]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [2점]

12

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. 원점 [eqn: \O`]와 평면 [eqn: x+y+z+3=0] 사이의 거리는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: root3`]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: root5]

3. 두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]가 서로 배반사건이고,

12

[eqn: rm P it (A`)= {3} over {10}], [eqn: rm P it (B`)= {2} over {5}]

일 때, [eqn: rm P( it A cup B`)`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 3 over5]	③ [eqn: 7 over 10]	④ [eqn: 4 over 5]	⑤ [eqn: 9 over 10]

4. [eqn: int _{0} ^{1} {} xe ^{`x} `dx`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: e]	④ [eqn: 1+e]	⑤ [eqn: 2e]

5. 어느 모집단의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	계
[eqn: {\P}(X=x)]	[eqn: 1over3]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1]

이 모집단에서 크기가 [eqn: 4`]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X``}`]라 하자. [eqn: rm E it (` {bar{X``}} `)= {5} over {6} `]일 때, [eqn: a+2b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 1 over2]	④ [eqn: 2 over3]	⑤ [eqn: 5 over6]

6. 좌표공간에서 두 점 [eqn: rmA(-1,``1,``2)], [eqn: rm B`(1,``5,``-2)`]를 지름의 양 끝점으로 하는 구 [eqn: S`]가 있다. 구 [eqn: S] 위의 한 점 [eqn: \C (0,``0,``0)`]에 대하여 삼각형 [eqn: \ABC`]의 넓이는? [3점]

① [eqn: root5]	② [eqn: 2 root5]	③ [eqn: 3root5]	④ [eqn: 4 root5]	⑤ [eqn: 5 root5]

7. 함수 [eqn: f(x)=cos`2x`cos`x-`sin2x`sin`x`]의 주기는? [3점]

① [eqn: 2pi]	② [eqn: 5 over 3 pi]	③ [eqn: 4 over 3 pi]	④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {2} over {3} pi]

8. 그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{`2} =4`x] 위의 점 [eqn: rm A`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자. 포물선 [eqn: y ^{`2} =4`x`]의 초점 [eqn: rm F`]에 대하여 [eqn: rm {bar{AF}} =5`]일 때, 삼각형 [eqn: rm AFH`]의 넓이는? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 13 over 2]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 15 over 2]	⑤ [eqn: 8]

9. 일렬로 나열된 [eqn: 6`]개의 좌석에 세 쌍의 부부가 임의로 앉을 때, 부부끼리 서로 이웃하여 앉을 확률은? [3점]

① [eqn: 1 over 15]	② [eqn: 2 over 15]	③ [eqn: 1 over 5]	④ [eqn: 4 over 15]	⑤ [eqn: 1 over 3]

10. 타원 [eqn: {x ^{`2}} over {9} + {y ^{`2}} over {5} =1`] 위의 점 [eqn: rm P]와 두 초점 [eqn: rm F], [eqn: rm F']에 대하여 [eqn: rm LEFT | ` {vec{PF}} + {vec{PF prime }} ` RIGHT |]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

11. 그림의 네 지점 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D`]에서 산책로 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣, ㉤ 중 한 산책로를 지나갈 확률을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: \A] 지점을 출발하여 [eqn: \D] 지점으로 이동할 때, 한 번 지난 산책로를 다시 지나지 않는 사건을 [eqn: X`], 산책로 ㉣ 또는 ㉤을 지나는 사건을 [eqn: Y`]라 하자. [eqn: {\P} (Y ```|`X`)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 7 over 16]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 9 over 16]	④ [eqn: 5 over 8]	⑤ [eqn: 11 over 16]

12. 그림과 같이 [eqn: bar\BC = 1], [eqn: ANGLE rm ABC= {pi } over {3}], [eqn: angle rm ACB = 2theta`]인
삼각형 [eqn: rm ABC`]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r ( theta)`]라 하자.

[eqn: h(theta) = {r (theta) }over {tan`theta }]일 때, [eqn: h`' left( pi over6 right)`]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < pi over 3]) [3점]

① [eqn: - root3]	② [eqn: - root3 over 3]	③ [eqn: root3 over 6]

④ [eqn: root3 over 3]	⑤ [eqn: root3]

13. 그림과 같이 [eqn: 6`]개의 섬이 다리로 연결되어 있다. 흰색, 노란색, 파란색 깃발이 각각 [eqn: 2`]개씩 총 [eqn: 6`]개 있을 때, 이 [eqn: 6`]개의 깃발을 섬에 한 개씩 세우고자 한다. 다리로 연결된 이웃한 두 섬에는 같은 색의 깃발을 세우지 않는다고 할 때, 깃발을 세우는 경우의 수는? (단, 같은 색의 깃발끼리는 서로 구별하지 않는다.) [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

14. 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]에 대하여 [eqn: g(x)`]는 [eqn: f(x)`]의 역함수이다. [eqn: f(1)=3], [eqn: g(1)=3`]일 때,

[eqn: int _{1} ^{3} {LEFT { {f(x)} over {f`` prime (g(x))} + {g(x)} over {g`` prime (f(x))} RIGHT }} `dx]

의 값은? [4점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

15. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2`]인 정사면체 [eqn: rm`ABCD`]와 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2`]인 사각뿔 [eqn: rm G-EDCF`]가 있다. 네 점 [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \G`]가 한 평면 위에 있을 때, 평면 [eqn: rm ACD`]와 평면 [eqn: \EDCF`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta`]라 하자. [eqn: cos` theta`]의 값은? [4점]

① [eqn: root3 over6]	② [eqn: root3 over 5]	③ [eqn: root 3 over 4]

④ [eqn: root3 over 3]	⑤ [eqn: root 3 over 2]

16. 연속함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x!=0`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{`2}` f` prime (x)`=` {2x} over {x ^{`2} +1}]

(나) [eqn: f(0)=0]

[eqn: LEFT { f(1) RIGHT } ^{`3} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 2` ln`2]	② [eqn: 3 `ln `2]	③ [eqn: 1+2` ln`2]

④ [eqn: 4 `ln`2]	⑤ [eqn: 1+3` ln`2]

17. [eqn: t<1`]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y= ln`x`]와 직선 [eqn: x+y=t`]가 만나는 점을 [eqn: \P`]라 하자. 점 [eqn: \P`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`], 직선 [eqn: \PH`]와 곡선 [eqn: y=e ^{`x} `]이 만나는 점을 [eqn: \Q`]라 할 때, 삼각형 [eqn: \OHQ`]의 넓이를 [eqn: S`(t)`]라 하자. [eqn: lim _{t`-> `0+} {2S`(t) -1} over t`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 3]

18. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 6`]인 정사면체 [eqn: rm OABC`]가 있다. 점 [eqn: rmC`]에서 모서리 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 할 때, 선분 [eqn: \HC`]를 [eqn: n`]등분하여 각 분점을 차례로 [eqn: \P_0]([eqn: = \H]), [eqn: \P_1], [eqn: \P_2],  [eqn: cdots`], [eqn: {\P}_n-1], [eqn: {\P}_n]([eqn: = \C])라 하자.

[eqn: S_n = sum_k=1^n {rm vecOH cdot {rm vecOP_{itk } `]라 할 때, [eqn: lim_{n`->`inf} S_n over n `]의 값은?
(단, [eqn: n`]은 [eqn: 2] 이상의 자연수이다.) [4점]

① [eqn: 9 over 2]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 27 over 2]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 45 over 2]

19. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 1 le a < b le n`], [eqn: 1 le c < d le n`]을 만족하고, 좌표평면 위의 네 직선 [eqn: x=a], [eqn: x=b], [eqn: y=c], [eqn: y=d``]로 둘러싸인 직사각형의 둘레의 길이가 [eqn: 2n`]이 되도록 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]를 택한다.
다음은 [eqn: b-a`]의 값을 확률변수 [eqn: X`]라 할 때 [eqn: rmE( it X`) = n over 2`]임을 보이는 과정이다.

확률변수 [eqn: X`]가 가질 수 있는 가장 작은 값은 [eqn: 1], 가장 큰 값은 [eqn: {BOX{~(가)~}} `]이다.

[eqn: X=k`]일 때,  [eqn: b-a=k`]이므로 [eqn: 1 LEQ a LEQ n-k`]이고,

[eqn: d-c = n-k`]이므로 [eqn: 1 le c le box{~(나)~} `]이다.

그러므로 [eqn: {\P}(X=k) =][eqn: {(n-k) TIMES {BOX{~(나)~}}} over {sum _{i=1} ^{{BOX{`(가)`}}} (n-i) TIMES i }`]이다.

따라서

[eqn: rmE( itX)][eqn: = itsum_k=1^box{``(가)``} left{ k times rmP( itX=k)right}]
[eqn: ={6} over{ box{~(다)~}}sum_k=1^{box{``(가)``}}left{k times (n-k) times box{~(나)~}} right}]
[eqn: = n over 2]

이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)],
[eqn: g(k)], [eqn: h(n)`]이라 할 때, [eqn: h(7) over{ f(8) TIMES g(6)} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

20. 쌍곡선 [eqn: x ^{`2} -y ^{`2} =1] 위의 점 [eqn: \P`]와 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: {rm A} ( t,``0 ) `]이 있다. [eqn: bar{rmAP}`]의 최솟값을 [eqn: f ( t ) `]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f( 0 ) =1] ㄴ. 방정식 [eqn: f ( t) = {1} over {3} `]의 실근의 개수는 [eqn: 4`]이다. ㄷ. 함수 [eqn: f ( t ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: t`]의 값의 개수는 [eqn: 5`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하는 반원 모양의 색종이가 있다. 호 [eqn: \AB] 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 두 점 [eqn: \A], [eqn: \P`]를 연결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다.  [eqn: rm ANGLE PAB= theta `]일 때, 포개어지는 부분의 넓이를 [eqn: S`(theta)`]라 하자. [eqn: theta= alpha`]에서 [eqn: S`(theta)`]가 최댓값을 갖는다고 할 때, [eqn: cos`2 alpha`]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}]) [4점]

	➡

① [eqn: {-2+ sqrt {17}} over {8}]	② [eqn: {-1+ sqrt {17}} over {8}]	③ [eqn: {sqrt {17}} over {8}]

④ [eqn: {1+ sqrt {17}} over {8}]	⑤ [eqn: {2+ sqrt {17}} over {8}]

단답형

22. 정규분포 [eqn: rm N it (m,`` 4 )`]를 따르는 확률변수 [eqn: X`]에 대하여 함수

[eqn: g ( k ) = rm P ( it k-8 LEQ X LEQ k )]

는 [eqn: k=12`]일 때 최댓값을 갖는다. 상수 [eqn: m`]의 값을 구하시오.

[3점]

23. 다섯 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5`] 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 3`]개의 숫자를 뽑아 세 자리의 자연수를 만들 때, 홀수의 개수를 구하시오. [3점]

24. 곡선 [eqn: x ^{`2}-y ^{`2} -y=1] 위의 점 [eqn: rm A LEFT ( it a,``b RIGHT ) `]에서의 접선의 기울기가 [eqn: {2} over {15} a`]일 때, [eqn: b`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x+1&`~ LEFT ( x<0 RIGHT )#`e ^{`ax+b}&~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}} `]

은 [eqn: x=0`]에서 미분가능하다. [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) `=e ^{`k}`]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

26. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5,``6 RIGHT }`]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)`]는 일대일 대응이다.

(나) [eqn: 1 LEQ n LEQ 2`]일 때, [eqn: f(2n)<f(n)<f(3n)`]이다.

함수 [eqn: f(x)`]의 개수를 구하시오. [4점]

27. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정사각형 [eqn: rmABCD`]안에
중심각의 크기가 [eqn: pi over 2`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 부채꼴 [eqn: rm BCA`]가 있다. 호 [eqn: rmAC`] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선이 선분 [eqn: rmCD`]와 만나는 점을 [eqn: rmQ`], 선분 [eqn: rmBP`]의 연장선이 선분 [eqn: rmCD`]와 만나는 점을 [eqn: rmR`]라 하자.

[eqn: rmanglePBC=theta`]일 때, 삼각형 [eqn: rmPQR`]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{8f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{`3}}}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}]) [4점]

28. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형 [eqn: \ABCD`]의 내부에 선분 [eqn: rm AB]와 선분 [eqn: \BC]에 접하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C_1]과 선분 [eqn: rm AD]와 선분 [eqn: rm CD `]에 접하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C_2 `]가 있다. 원 [eqn: C_1 `]과 선분 [eqn: rm AB `]의 접점을 [eqn: \P`]라 하고, 원 [eqn: C_2] 위의 한 점을 [eqn: \Q`]라 하자.

[eqn: rm vec {PC}cdot vec { PQ} `]의 최댓값을 [eqn: a + root b`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 유리수이다.) [4점]

29. 좌표공간에 평면 [eqn: z=2] 위의 원 [eqn: C``:``x^2 + y^2 =1`]을 밑면으로 하고 꼭짓점이 원점인 원뿔이 있다. 원 [eqn: C``]와 한 점 [eqn: rm P(0,``1,``2)`]에서만 만나는 평면 [eqn: alpha`]가 이 원뿔과 만나서 생길 수 있는 도형 중 한 타원을 [eqn: S`]라 하자. 타원 [eqn: S`]의 [eqn: xy`]평면 위로의 정사영은 장축의 길이가 [eqn: 5over4 `]인 타원이다. 평면 [eqn: alpha`]와 [eqn: z`]축이 만나서 생기는 좌표가 [eqn: (0,``0,``k)`]일 때, [eqn: 50k`]의 값을 구하시오.

[4점]

30. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: \AB] 위의 점 [eqn: \P`]를 지나고
선분 [eqn: \AB`]에 수직인 직선이 선분 [eqn: \AB`]를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 [eqn: \Q`]라 하자.
[eqn: {bar\AP}=x`]라 할 때, [eqn: S`(x)`]를 다음과 같이 정의한다.
[eqn: 0<x<2`]일 때 [eqn: S`(x)`]는 두 선분 [eqn: \AP], [eqn: \PQ`]와 호 [eqn: \AQ`]로 둘러싸인 도형의 넓이이고, [eqn: x=2`]일 때 [eqn: S`(x)`]는 선분 [eqn: \AB`]를 지름으로 하는 반원의 넓이이다.
[eqn: int _ {piover 4 } ^ { 3 over 4 pi } left{ S`(1+sin` theta) - S`(1+cos`theta)`right}` d theta][eqn: =p+q `pi ^{2} `]
일 때, [eqn: 30p over q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 유리수이다.)

[4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.