2010학년도 경찰대학 제1차시험(수리영역)

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※ 총 4쪽 25문항입니다. 각 문항의 답을 하나만 고르시오.

1. 등차수열 [eqn: {\{}a _{n} {\}}]에 대하여 [eqn: (a_1 + a_2 ): a_3 = 2:3]일 때,  [eqn: a_7 over {a_4 +a_6 }]의 값은?

① [eqn: 21over 34]    ② [eqn: 11over 17]    ③ [eqn: 23over 34]    ④ [eqn: 12over 17]    ⑤ [eqn: 25over 34]

2. 세 실수 [eqn: a,``b,``c]가 [eqn: abc ne 0,```` ab+bc+ca= abc]를 만족시킨다.

[eqn: log_2 x = a ,```` log_3 x = b ,```` log_5 x = c]일 때, 양수 [eqn: x]의 값은?

① [eqn: 10]    ② [eqn: 20]    ③ [eqn: 30]    ④ [eqn: 40]    ⑤ [eqn: 50]

3. 이차정사각형렬 [eqn: A]에 대하여 [eqn: A^4 = E`]이고 [eqn: A^2 + A+ E]의 역행렬이 [eqn: A^2 - A+E`]일 때, [eqn: (A^-1 )^3 + A^-1`]을 간단히 나타낸 것은?

(단, [eqn: E`]는 단위행렬이고 [eqn: O`]는 영행렬이다.)

① [eqn: O]     ② [eqn: E]     ③ [eqn: A]     ④ [eqn: -A]     ⑤ [eqn: A+E]

4. 삼차다항식 [eqn: f(x) = x^3 - 6x^2 + 3x+7]에 대하여 서로 다른 세 실수 [eqn: alpha,`` beta,`` gamma]가 [eqn: f(alpha) = f(beta) = f(gamma) = -3]을 만족시킬 때,

[eqn: alpha^2 + beta^2 + gamma^2]의 값은?

① [eqn: 14]      ② [eqn: 21]      ③ [eqn: 26]      ④ [eqn: 30]      ⑤ [eqn: 35]

5. 수열 [eqn: {\{} a_n \}]에 대하여 무한급수 [eqn: sum_{n=1}^inf left(a_n over 4^n - 3 right)]이 수렴할 때,

[eqn: lim_{n->inf} {a_n - 4cdot2^n}over{a_n - 2cdot 4^n }]의 값은?

① [eqn: 0]      ② [eqn: 1]      ③ [eqn: 2]       ④ [eqn: 3]       ⑤ [eqn: 4]

6. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y= ax]가 원 [eqn: (x-4)^2 + y^2 = 4 over n^2]에 접하도록 하는 실수 [eqn: a]를 [eqn: f(n)]으로 나타낼 때, [eqn: sum_{n=1}^{10} {\{} f(n) \}^2]의 값은?

① [eqn: 8over 21]     ② [eqn: 10 over 21]     ③ [eqn: 4 over 7]     ④ [eqn: 2over 3]     ⑤ [eqn: 16 over 21]

7. 임의의 두 집합 [eqn: X, Y`]에 대하여 [eqn: X`` TRIANGLE Y=(X-Y``) CUP (Y-X`)]로 정의하자. 전체집합 [eqn: U = {\{} x} ``|``x]는 [eqn: 10] 이하의 자연수}의 두 부분집합 [eqn: A, ``B]가 [eqn: A = {\{}x``|``x]는 [eqn: 6]의 약수}, [eqn: A` triangle B = \{2,5, 8, 10 \}]를 만족시킬 때, 집합 [eqn: B]의 부분집합의 개수는?

① [eqn: 16]     ② [eqn: 32]     ③ [eqn: 64]     ④ [eqn: 128]     ⑤ [eqn: 256]

8. 이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여 두 행렬 [eqn: A + 2E, ``A-2E]의 역행렬이 모두 존재하지 않을 때, [eqn: (A+ 4E`)^{-1} = pA+ qE]가 성립한다. 이때 두 실수 [eqn: p,`q]의 합 [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

① [eqn: 1]     ② [eqn: 1over 2]     ③ [eqn: 1 over 3]     ④ [eqn: 1 over 4]     ⑤ [eqn: 1over 5]

9. 평행사변형 [eqn: rm ABCD]에서 [eqn: bar{rm AC it} = sqrt {7} ,~ bar{rm `BD it} = sqrt {13} ,~ ANGLE rm ABC=60 ^{CIRC }]이고 두 대각선이 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: sin ^{2} theta]의 값은?

① [eqn: {27} over {91}]     ② [eqn: {30} over {91}]     ③ [eqn: {33} over {91}]     ④ [eqn: 36 over 91]     ⑤ [eqn: 39 over 91]

10. 자연수 [eqn: a,``b]에 대하여 연산 [eqn: a ast b]가 다음 세 가지 조건을 만족시킬 때, [eqn: 5 AST 3]의 값은?

(가) [eqn: a ast a=a+2]

(나) [eqn: a ast b=b ast a]

(다) [eqn: {a ast (a+b)} over {a ast b} = {a+b} over {b}]

① [eqn: 15]     ② [eqn: 30]     ③ [eqn: 45]     ④ [eqn: 60]     ⑤ [eqn: 75]

11. [eqn: 20]보다 작은 자연수 [eqn: a,``b,``c,``d]에 대하여 [eqn: f(x) = {ax-b}over{cx+d}]로 주어져 있다. [eqn: X = {\{} x``|``x>-2, ``x는 ~]실수[eqn: \}], [eqn: Y = {\{}y``|`` y<5, ``y는] 실수[eqn: \}]라 할 때, 함수 [eqn: f: X `-> Y`]가 일대일 대응이 되도록 하는 자연수  [eqn: a,``b,``c,``d] 중 [eqn: a+b+c+d]의 최솟값과 최댓값의 합은?

① [eqn: 48]      ② [eqn: 50]      ③ [eqn: 52]      ④ [eqn: 54]      ⑤ [eqn: 56]

12. 실수 [eqn: x,`y]가 [eqn: |x+y`|+|x-y`|=1]을 만족시킬 때,

[eqn: x ^{2} -6x+y ^{2} -6y]의 최댓값은?

① [eqn: {13} over {2}]    ② [eqn: {25} over {2}]    ③ [eqn: {37} over {2}]    ④ [eqn: {49} over {2}]    ⑤ [eqn: {61} over {2}]

13. 수열 [eqn: {\{} a_n \}]이

[eqn: a_1 = 4,```a_n+1 = sqrt{3a_n + 3}-1] ([eqn: n = 1,`2,`3,`cdots])

일 때, <보기>에서 옳은 것을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n > a_n+1]이다.

ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2< a_n < 5]이다.

[eqn: left(3^{sum_{k=1}^n 1over 2^k} cdot 5^{1over 2^n} right)]

[eqn: lim_{n->inf} a_n = lim_{n->inf}]

ㄷ.

<보 기>

① ㄱ     ② ㄱ, ㄴ   ③ ㄱ, ㄷ    ④ ㄴ, ㄷ    ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. 실수 [eqn: r] ([eqn: |`r`| ``<1])에 대하여 [eqn: f(r) = 1over 1-r`]일 때,

[eqn: left| `f(-0.1)-1 - sum_{k=1}^n (-0.1)^k ``right |``` <` 10^-7]

을 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 3]       ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]      ④ [eqn: 6]       ⑤ [eqn: 7]

15. 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프 위의 임의의 점 [eqn: \P]와 함수 [eqn: y = g(x)]의 그래프 위의 임의의 점 [eqn: \Q]에 대하여 선분 [eqn: \PQ]의 최소의 길이를 [eqn: d(f, g)]로 나타내자. 예를 들어, [eqn: f(x) = x+2]이고 [eqn: g(x) = x]이면 [eqn: d(f, g) = sqrt 2]이다. 임의의 함수 [eqn: f, g, h`]에 대하여 <보기> 중에서 옳은 것을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f(x) = ax+b,``g(x) = mx+n](단, [eqn: a,`b,`m,`n]은 상수) 일 때,

[eqn: a ne m]이면 [eqn: d(f, g) = 0]이다.

ㄴ. [eqn: d(f, g+h) le d(f, g) + d(f, h)]

ㄷ. [eqn: d(f, gh) le d(f, g)cdot d(f, h)]

<보 기>

① ㄱ    ② ㄴ    ③ ㄱ, ㄴ    ④ ㄱ, ㄷ    ⑤ ㄴ, ㄷ

16. 전체집합 [eqn: U = \{1,2,3,4 \}]의 두 부분집합 [eqn: A,``B`]에 대하여

[eqn: X(A, B) = left { i^m + left(1over i right)^k``bigg|`` m in A,`` k in B``right}]로 정의할 때,

<보기>에서 옳은 것을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i]는 허수단위이고 [eqn: n(X`)]는 집합 [eqn: X`]의 원소의 개수를 나타낸다.)

ㄱ. [eqn: A = \{1 \},`` B = \{1, 2 \}]이면 [eqn: X(A, B`) = {\{} 0, ```-1+i `\}]

ㄴ. [eqn: n(X(A, B)) le n(A`) n(B`)]

ㄷ. [eqn: n(X(A, B`))]의 최댓값은 [eqn: 12]이다.

<보 기>

① ㄱ    ② ㄴ    ③ ㄱ, ㄴ    ④ ㄴ, ㄷ    ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 방정식 [eqn: 7^{log_3 x} cdot x^{log_3 {5x}} =1]의 모든 근의 합이 [eqn: q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p,``q]는 서로소인 양의 정수이다.)

① [eqn: 81]     ② [eqn: 71]     ③ [eqn: 61]     ④ [eqn: 51]     ⑤ [eqn: 41]

18. [eqn: 3]의 배수인 세 자리의 자연수 중에서 하나를 뽑을 때,   일의 자리의 수 또는 십의 자리의 수 또는 백의 자리의 수가 [eqn: 9]인 자연수를 뽑을 확률은?

① [eqn: {13} over {50}]   ② [eqn: {7} over {25}]   ③ [eqn: {3} over {10}]   ④ [eqn: {8} over {25}]   ⑤ [eqn: {17} over {50}]

19. 어느 경찰관이 [eqn: 8]월에 관할구역을 이틀 연이어 순찰하지 않으면서 [eqn: 5]일 순찰하는 방법의 수는?

① [eqn: `_26 \C_5]    ② [eqn: `_27 \C_5]    ③ [eqn: `_28 \C_5]    ④ [eqn: `_29 \C_5]    ⑤ [eqn: `_30 \C_5]

20. 다음은 어떤 모집단의 확률분포표이다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: 6]	계
[eqn: {\P}(X= x)]	[eqn: 1over 3]	[eqn: a]	[eqn: 2over 3 - a]	[eqn: 1]

이 모집단에서 크기가 [eqn: 3]인 표본을 복원추출하여 구한 표본평균을 [eqn: overlineX]라 하자. [eqn: overline X]의 분산이 [eqn: 17 over 12]일 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1 over6]      ② [eqn: 1over 5]      ③ [eqn: 1over 4]      ④ [eqn: 1over 3]      ⑤ [eqn: 1over 2]

21. 수열 [eqn: {\{}a_n \}]이 다음 세 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_1 = 1over 10]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n >0 ,```` a_n ne 1]

(다) 어떤 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log_{a_n } x + log_{a_n+1} x = log x] (단, [eqn: x ne 1])

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b_n = a_1 a_2 a_3 a_4 cdots a_2n-1 a_2n]으로 정의할 때,

무한급수 [eqn: sum_{n=1}^inf b_n]의 값은?

①  [eqn: { 1} over 9]     ②  [eqn: {sqrt10 - 1} over 9]     ③  [eqn: {sqrt10 } over 9]     ④  [eqn: {4} over 9]      ⑤  [eqn: {sqrt10 + 1} over 9]

22. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: 4 TIMES 4]행렬의 개수는?

(가) 각 성분은 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다.

(나) 각 행의 성분의 합과 각 열의 성분의 합은 모두 [eqn: 2]이다.

① [eqn: 60]      ② [eqn: 70]      ③ [eqn: 80]      ④ [eqn: 90]      ⑤ [eqn: 100]

23. 다음은 [eqn: 0,``1,``2,``3,``4,``5]를 한 번씩 사용하여 만든 [eqn: 6]자리의 자연수를 가장 작은 수부터 가장 큰 수까지 크기 순서로 나열한 수열이다.

[eqn: 102345], [eqn: 102354], [eqn: 102435], [eqn: CDOTS] , [eqn: 543210]

이 수열에서 [eqn: 450]번째 항은?

① [eqn: 345201]  ② [eqn: 354210]   ③ [eqn: 420135]   ④ [eqn: 432510]   ⑤ [eqn: 450123]

24. 함수 [eqn: f(x) = log_2 (x^2 + x+1)- log_2 x]에 대하여

[eqn: [f(1)] + [f(2)] +[f(3)]+ cdots+ [f(1022)]]

의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: 2^11 +2]       ② [eqn: 2^12 -2]       ③ [eqn: 2^12 +2]

④ [eqn: 2^13 -2]       ⑤ [eqn: 2^13 +2]

25. 범죄가 발생한 지점을 중심으로 하여 정사각형 모양이 되도록 네 꼭짓점 [eqn: \A,``B,``C,``D]를 설정한 후, 다음과 같은 방법으로 수사망을 좁혀서 범인을 검거하려고 한다.

(가) 정사각형 [eqn: \ABCD]의 대각선의 교점이 범죄가 발생한 지점이다.

(나) 각 꼭짓점에서 그 꼭짓점과 이웃하지 않는 두 변의 중점을 각각 선분으로 연결한다.

(다) 각 꼭짓점과 변의 중점을 연결한 선분에 의해 둘러싸인 영역을 새로운 수사망으로 한다.

[eqn: \D]

[eqn: \C]

[eqn: \B]

[eqn: \A]

정사각형 [eqn: \ABCD]의 한 변의 길이가 [eqn: 2```\km]일 때, 새로운 수사망의 넓이는? (단, 단위는 [eqn: \km^2]이다.)

① [eqn: 1over 2]      ② [eqn: 2over 3]      ③ [eqn: 3 over 4]      ④ [eqn: 4over 5]      ⑤ [eqn: 5over 6]

※확인사항

▷ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입․표기 했는지 확인하시오.