[eqn: lim _{x` -> `0} {LEFT ( x ^{2} -4x+9 RIGHT )}]의 값은? [2점]

2017학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

수학 영역(나형)

수학 영역(나형)

12

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

전체집합 [eqn: U= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]의 부분집합 [eqn: A= LEFT { `2,``4 RIGHT }]에 대하여
집합 [eqn: A ^{C} `]의 원소의 개수는? (단, [eqn: A ^{C} `]은 [eqn: A]의 여집합이다.) [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: log _{`3} `1+log _{`3} `9]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{an+2} over {2n-1}} =1]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +2x ^{2} +x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-3], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +1]에 대하여
[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 5 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm -1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm -2]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) + lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} -6x RIGHT ) dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =7]일 때,
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x+b} over {x-a}]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( `3,``7 RIGHT )]을 지나고,
직선 [eqn: x=2]를 한 점근선으로 가질 때, [eqn: a+b]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

무리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {x+a} +b]의 그래프가 그림과 같을 때,
[eqn: f LEFT ( 7 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm -2]

[eqn: rm -1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

[eqn: root {3n} of {8 ^{4}}]이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은?

[3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {n+4} over {2n-1} a _{n}]을 만족시킨다. [eqn: a _{1} =1]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [3점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {x-3} over {2} RIGHT ) ^{n}]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의
합은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -ax+3]에 대하여
[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}} =1]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]([eqn: t>0])에서의 위치 [eqn: x]가

[eqn: x=t ^{3} -9t ^{2} +8t]

이다. 점 [eqn: rmP]가 처음으로 원점을 지날 때, 점 [eqn: rmP]의 속도는? [4점]

① [eqn: -15]	② [eqn: -13]	③ [eqn: -11]	④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -7]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax-9]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서
연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `1,``4 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +8]의 최댓값을 [eqn: M],
최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M`+m]의 값은? [4점]

① [eqn: 28]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 44]

다섯 개의 실수 [eqn: a], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: b]는 이 순서대로 등차수열을 이루고,
다섯 개의 실수 [eqn: a], [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: b]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: ab!=0])

[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: a+b=2y] ㄴ. [eqn: aprb=q ^{3}] ㄷ. [eqn: LEFT ( x+z RIGHT ) ^{2} GEQ 4pr]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]이 있다.
정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에 내접하는 원 [eqn: O _{1}]과 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을
지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 그린다.
원 [eqn: O _{1}]의 내부와 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의
내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 원 [eqn: O _{1}]의 내부의 색칠하지 않은 부분인  모양의
도형 내부에 원 [eqn: O _{1}]의 중심을 지나고 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]에 평행한 직선 위의
두 점 [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm B _{2}]와 원 [eqn: O _{1}] 위의 두 점 [eqn: rm C _{2}], [eqn: rm D _{2}]를 꼭짓점으로 하는
정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 그린다.
정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에 내접하는 원 [eqn: O _{2}]와 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 지름으로
하는 원의 위쪽 반원을 그린다.
원 [eqn: O _{2}]의 내부와 선분 [eqn: rmA _{2} B _{2}]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의
내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{2}]에서 원 [eqn: O _{2}]의 내부의 색칠하지 않은 부분인  모양의
도형 내부에 그림 [eqn: R _{1}]에서 그림 [eqn: R _{2}]를 얻는 것과 같은 방법으로
만들어지는  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라
하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는
부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n} }]의 값은? [4점]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

[eqn: O _{2}]

[eqn: R _{3}]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

① [eqn: {9} over {4} LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]	② [eqn: {5} over {2} LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]	③ [eqn: {7} over {2} LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]

④ [eqn: {4} over {3} LEFT ( {8} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]	⑤ [eqn: {7} over {4} LEFT ( {8} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]

전체집합 [eqn: U="{"x`□`x]는 [eqn: 21] 이하의 자연수[eqn: "}"]의 두 부분집합
[eqn: X], [eqn: Y`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n LEFT ( X` CUP Y` RIGHT ) =17], [eqn: n LEFT ( X` SMALLINTER Y` RIGHT ) =1]

(나) 집합 [eqn: X`]의 임의의 서로 다른 두 원소는
서로 나누어떨어지지 않는다.

집합 [eqn: X`]의 모든 원소의 합을 [eqn: S` LEFT ( X` RIGHT )], 집합 [eqn: Y`]의 모든 원소의 합을
[eqn: S`(Y`)]라 할 때, [eqn: S`(X`)-S`(Y`)]의 최댓값은? (단, [eqn: n LEFT ( X` RIGHT ) GEQ 2])

[4점]

① [eqn: 140]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 148]	④ [eqn: 152]	⑤ [eqn: 156]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여
함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -t RIGHT |]가 미분가능하지 않은 서로 다른 점의 개수를
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]의 실근은 [eqn: 1], [eqn: 4]뿐이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=2]와 [eqn: t=it-25]에서만 불연속이다.

(다) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 [eqn: 4]보다 큰 실근을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 41]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 47]	④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 53]

단 답 형

[eqn: 2 ^{{1} over {2}} TIMES 4 ^{{5} over {4}}]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x-7]에 대하여 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 8 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} `-` sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x+k _{{}_{}} ```````&LEFT ( x LEQ 2 RIGHT ) _{{}_{}}#``x ^{2} +4x+6 ^{{}^{}} ```````&LEFT ( x>2 RIGHT ) ^{{}^{}}}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[3점]

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가

[eqn: p`:`x ^{2} -4n ^{2} <0],

[eqn: q`:`x ^{2} -6x+5=0]

이다. [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의
최솟값을 구하시오. [4점]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n ^{2}} -2 RIGHT )]가
수렴할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{2n ^{2} +5a _{n}} over {n ^{2} +a _{n}}}]의 값을 구하시오. [4점]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: a _{1} =2]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 이차방정식
[eqn: x ^{2} -2 sqrt {a _{n}} x+a _{n+1} -3=0]이 중근을 갖는다.

두 실수 [eqn: a]([eqn: a != 0]), [eqn: b]에 대하여 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} ax ^{3} -bx ^{2} - LEFT ( a-4 RIGHT ) x-3a ^{2}],

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( a+b RIGHT ) x ^{2} -2 LEFT ( a+2 RIGHT ) x]

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가하고

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =0]이 서로 다른 [eqn: 2]개의 실근을 갖는다.

다음은 실수 [eqn: b]의 범위를 구하는 과정이다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가하므로 [eqn: a]는 양수이다.
방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면
[eqn: D=4b ^{2} + {BOX{``````````(가) _{{}_{{}_{}}}^{{}^{{}^{}}} ``````````}} ` LEQ 0] [eqn: CDOTS cdots]㉠
방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =0]이 서로 다른 [eqn: 2]개의 실근을 가지므로
방정식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x= {BOX{``````````(나) _{{}_{{}_{}}} ^{{}^{{}^{}}} ``````````}}]의 서로 다른 실근의
개수는 [eqn: 2]이다.
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} -9x]라 하자.
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

따라서 [eqn: a= {BOX{``````````(다) _{{}_{{}_{}}} ^{{}^{{}^{}}} ``````````}}] [eqn: CDOTS cdots]㉡
㉠, ㉡에서

[eqn: - sqrt {3} LEQ b LEQ sqrt {3}]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: F` LEFT ( a RIGHT )], [eqn: G` LEFT ( a RIGHT )]라 하고,
(다)에 알맞은 수를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: F` LEFT ( 5 RIGHT ) +G` LEFT ( 4 RIGHT ) +k]의 값을 구하시오.

[4점]

자연수 [eqn: m]에 대하여 집합 [eqn: A _{m}]을

[eqn: A _{m} =][eqn: "{"ab``□``][eqn: log _{`2} `a+log _{`4} `b]는 [eqn: 100] 이하의 자연수,
[eqn: a LEFT ( 1 LEQ a LEQ m RIGHT )]은 자연수, [eqn: b=2 ^{k}]([eqn: k]는 정수)[eqn: "}"]

라 하자. [eqn: n LEFT ( A _{m} ` RIGHT ) =205]가 되도록 하는 [eqn: m]의 최댓값을 구하시오.

[4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.