[ 수학 [eqn: bold I`] ]	수열의 극한	[수능기출]

③

[eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {x+ alpha ^{2}} - sqrt {x+ beta ^{2}}} over {sqrt {4x+ alpha } - sqrt {4x+ beta }}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {sqrt {x+ alpha ^{2}} - sqrt {x+ beta ^{2}}} over {sqrt {4x+ alpha } - sqrt {4x+ beta }} times]

[eqn: {sqrt {x+ alpha ` ^{2}} + sqrt {x+ beta ` ^{2}}} over {sqrt {4x+ alpha } + sqrt {4x+ beta }} TIMES RIGHT .LEFT. {sqrt {4x+ alpha } + sqrt {4x+ beta }} over {sqrt {x+ alpha ` ^{2}} + sqrt {x+ beta ` ^{2}}} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {( alpha ^{2} - beta ^{2} ``)( sqrt {4x+ alpha } + sqrt {4x+ beta } )} over {( alpha - beta )( sqrt {x+ alpha ^{2}} + sqrt {x+ beta ^{2}} )}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT { ( alpha + beta ``) {LEFT ( sqrt {4+ {alpha } over {x}} + sqrt {4+ {beta } over {x}} `` RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {1+ {alpha ^{2}} over {x}} + sqrt {1+ {beta ^{2}} over {x}} `` RIGHT )} RIGHT }]

[eqn: = {1․(2+2)} over {1+1} =2]

서로 다른 두 실수 [eqn: alpha `,`` beta `]에 대하여 [eqn: alpha + beta =1`]일 때, [eqn: lim _{x` -> ` INF } {} ` {sqrt {x+ alpha ^{2}} - sqrt {x+ beta ` ^{2}}} over {sqrt {4x+ alpha } - sqrt {4x+ beta }} `]의 값은?

[94학년도 수능]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 1 over 2]           ③ [eqn: 2]           ④ [eqn: {1} over {4}]            ⑤ [eqn: 4]

④

[eqn: I.] [eqn: lim _{n `-> `INF } ` {1+2+3+``cdots`+n} over {n}`][eqn: = lim _{n` -> ` INF } `{{n(n+1)} over {2}} over {n}`]

[eqn: = lim _{n `->` INF } ` {n+1} over {2}`][eqn: = inf `] 이므로 발산한다.

[eqn: II.] [eqn: lim _{n` -> `INF } ` {{1} over {2} + {1} over {2 ^{2}} +``CDOTS`+ {1} over {2 ^{n}}} over {n}`]

( [eqn: n`]은 짝수 )

( [eqn: n`]은 홀수 )

[eqn: = lim _{n `-> ` INF }` {{{1} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {1- {1} over {2}}} over {n}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} ` {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {n} =0`]이므로 수렴한다.

[eqn: III.] [eqn: a _{1} +a _{2} + ``CDOTS` +a _{n} = {cases{````0#````-1}} `]

[eqn: i)] [eqn: n`]이 짝수인 경우

[eqn: lim _{n` -> `INF } ` {a _{1} +a _{2} +a _{3} +``cdots`+a _{n}} over {n}][eqn: = lim _{n `-> ` INF } ` {0} over {n} =0`]

[eqn: ii)] [eqn: n`]이 홀수인 경우

[eqn: lim _{n `-> ` INF } ` {a _{1} +a _{2} +a _{3} +``cdots`+a _{n}} over {n}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } `{-1} over {n} =0`]

[eqn: i)`,``ii)`]에 의하여 [eqn: 0`]으로 수렴한다.

따라서, 극한값이 존재하는 것은 [eqn: II`,``III]

다음 [보기]의 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }`]중 극한값 [eqn: lim _{n `-> ` INF } ` {a _{1} +a _{2} +a _{3} +``cdots`+a _{n}} over {n}`]이 존재하는 것을 모두 고르면?

[eqn: I.] [eqn: a_n =n`]               [eqn: II.] [eqn: a_n = 1 over 2^n`]               [eqn: III.] [eqn: a_n = (-1)^n`]

[99학년도 수능]

① [eqn: I]         ② [eqn: II]         ③ [eqn: III]         ④ [eqn: II,``III]         ⑤ [eqn: I`,``II`,``III]

①

[eqn: lim from {n`->`inf} `{(n+1)(3n-1)} over {2n^2 +1} = lim from {n`->`inf}` {3n^2 +2n -1} over {2n^2 +1 }]

[eqn: = lim from{ n`->`inf} `{3+ 2 over n - 1 over n^2} over{2 + 1 over n^2 }][eqn: = 3 over 2]

[eqn: lim from {n`->`inf }` {(n+1)(3n-1)} over {2n^2 +1}`]의 값은?

[10학년도 수능]

① [eqn: 3over2]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 5 over 2]           ④ [eqn: 3]           ⑤ [eqn: 7 over 2]

⑤

[eqn: lim _{n` -> ` INF }`{5n ^{2} +1} over {3n ^{2} -1} = lim _{n` -> ` INF }` {5+ {1} over {n ^{2}}} over {3- {1} over {n ^{2}}}`][eqn: = {5} over {3}`]

[eqn: lim _{n`-> ` INF }` {{5n ^{2} +1} over {3n ^{2} -1}}`]의 값은?

[2점][13학년도 수능]

① [eqn: {1} over {3}]          ② [eqn: {2} over {3}]          ③ [eqn: 1]          ④ [eqn: {4} over {3}]          ⑤ [eqn: {5} over {3}]

④

[eqn: lim _{n` ->` INF } ` {4n ^{2} +6} over {n ^{2} +3n} = lim _{n `-> ` INF }` {4+ {6} over {n ^{2}}} over {1+ {3} over {n}} = {4} over {1} = 4`]

[eqn: lim _{n `->` INF } `{4n ^{2} +6} over {n ^{2} +3n}`]의 값은?

[2점][15학년도 수능]

홀수형

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]            ③ [eqn: 3]            ④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: lim _{n`->` INF }`( sqrt {n ^{2} +6n+4} -n)][eqn: = lim _{n`->`INF } `{n ^{2} +6n+4-n ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +6n+4} +n}]

[eqn: = lim _{n`->` INF }`{6+ {4} over {n}} over {sqrt {1+ {6} over {n} + {4} over {n ^{2}}} +1} = {6} over {2} =3`]

[eqn: lim _{n` -> ` INF _{` _{`}}} {``} LEFT ( ` sqrt {n ^{2} +6n`+4 _{`}} -n` RIGHT ) ``]의 값은?

[05학년도 수능]

① [eqn: {1 } over {3}]           ② [eqn: 1 over2]           ③ [eqn: 1]           ④ [eqn: 2]            ⑤ [eqn: 3]

③

[eqn: lim _{n` ->` INF }` {n} over {sqrt {4n ^{2} +1} + sqrt {n ^{2} +2}}`]

[eqn: =lim_{n`->`inf}` 1over{ { root{4 + 1over n^2 } + root{ 1 + 2 over n^2 }} }`]

[eqn: = 1 over 2+1][eqn: = 1over 3`]

[eqn: lim _{n `->` INF }` {n }over {sqrt {4n^2 +1 }+sqrt {n^2 +2 }}`]의 값은?

[08학년도 수능]

① [eqn: 1]           ② [eqn: {1 }over {2 }]           ③ [eqn: {1 }over {3 }]           ④ [eqn: {1 }over {4 }]           ⑤ [eqn: {1 }over {5 }]

②

[eqn: lim_{n`->`inf} ` 2over{ root{n^2 + 2n} - root{ n^2 +1}}`]

[eqn: = lim_{n`->`inf}`{2( root{ n^2 + 2n } + root{ n^2 +1 })} over{ (n^2 +2n) - (n^2 +1)}`]

[eqn: = lim_n->inf`{2( root{ n^2 + 2n } + root{ n^2 +1 })} over{ 2n-1}`][eqn: = lim_{n`->`inf}`{2 left( root{ 1 + 2 over n } + root{ 1 + 1over n^2 }right)} over{ 2- 1over n}`]

[eqn: = 2(1+1) over2][eqn: = 2`]

[eqn: lim_{n`→`INF } `2 over{root{n^2 +2n } - root{n^2 +1}} `]의 값은?

[09학년도 수능]

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]            ③ [eqn: 3]            ④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

④

두 점 [eqn: P ` (n`,``3n ^{2} )`,`` Q ` (n+1`,``3(n+1) ^{2} )`]의 사이의 거리 [eqn: a _{n}`]은

[eqn: a _{n} = sqrt {(n+1-n) ^{2} + LEFT { 3(n+1) ^{2} -3n ^{2} RIGHT } ^{2}}]

[eqn: = sqrt {(6n+3) ^{2} +1}][eqn: = sqrt {36n ^{2} +36n+10}]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF }` {a _{n}} over {n} = lim _{n `->` INF } `{sqrt {36n ^{2} +36n+10}} over {n}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF }` sqrt {36+ {36} over {n} + {10} over {n ^{2}}} =6`]

이차함수 [eqn: f`(x )=3x ^{2} `]의 그래프 위의 두 점 [eqn: P( n`,``f`(n ) )`]과 [eqn: Q`(n+1`,`` f`(n+1) ) `]사이의 거리를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } `{a _{n }} over {n } `]의 값은? (단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

[05학년도 수능]

① [eqn: 9`]            ② [eqn: 8`]            ③ [eqn: 7`]            ④ [eqn: 6`]            ⑤ [eqn: 5`]

②

[eqn: f`(x)`]는 정수, [eqn: 0leqg(x)<1`]이고

[eqn: f`(x)=n+(n+1)`g(x)`]에서

[eqn: 0leq(n+1)`g(x)<n+1`]

[eqn: n`leq`n+(n+1)`g(x)<2x+1`]이므로

[eqn: n`leq`f`(x)<2n+1`]

[eqn: f`(x)=n`]이면 [eqn: g(x)=0`]

[eqn: f`(x)=n+1`]이면 [eqn: g(x)= {1} over {n+1}`]

[eqn: f`(x)=n+2`]이면 [eqn: g(x)= {1} over {n+2}`]

[eqn: VDOTS `]

[eqn: f`(x)=2n`]이면 [eqn: g(x)= {n} over {n+1}`]

따라서,

[eqn: a _{n} =10 ^{n} TIMES 10 ^{n+1+ {1} over {n+1}} TIMES `CDOTS` TIMES 10 ^{2n+ {n} over {n+1}}`]

[eqn: =10 ^{LEFT { n+n+1+n+2+ `CDOTS` +2n RIGHT } + LEFT { {1+2+ `CDOTS` +n} over {n+1} RIGHT }}`]

[eqn: =10 ^{{3n(n+1)} over {2} + {n} over {2}}`]

[eqn: log``a _{n} = {3n(n+1)} over {2} + {n} over {2} = {3n ^{2} +4n} over {2}`]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n `-> `INF } `{{log``a _{n}} over {n ^{2}}} = lim _{n` -> ` INF }` {{3n ^{2} +4n} over {2n ^{2}}}`][eqn: = lim _{n`-> ` INF }` {LEFT ( {3} over {2} + {4} over {2n} RIGHT )} = {3} over {2}`]

양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log``x`]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f`(x)`,``g(x)`]라 하자. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f`(x)-(n+1)`g(x)=n`]을 만족시키는 모든 [eqn: x`]의 값의 곱을 [eqn: a _{n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n`->` INF } `{{log``a _{n}} over {n ^{2}}}`]의 값은?

[4점][14학년도 수능]

① [eqn: 1]           ② [eqn: {3} over {2}]           ③ [eqn: 2]           ④ [eqn: {5} over {2}]           ⑤ [eqn: 3]

[eqn: bold{40}]

[eqn: -1＜r = {2x -1} over {4} le 1`,] [eqn: -4 ＜ 2x -1 le 4`,]

[eqn: -3 ＜ 2x le 5`,] [eqn: - {3} over {2} ＜ x le {5} over {2}`]

[eqn: x =` -1`,``0`,``1`,``2`]   [eqn: THEREFORE ```k =4`]

[eqn: THEREFORE ```10k =40`]

수열 [eqn: LEFT { LEFT ( { 2x-1 } over { 4} RIGHT )^n` RIGHT }`]이 수렴하기 위한 정수 [eqn: x`]의 개수를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: 10k`]의 값을 구하시오.

[07학년도 수능]

[eqn: bold{15}]

[eqn: lim _{n `-> ` INF }`{5 cdot 3 ^{n+1} -2 ^{n+1}} over {3 ^{n} +2 ^{n}}`][eqn: = lim _{n` -> ` INF } ` {{5 cdot 3 ^{n+1}} over {3 ^{n}} - {2 ^{n+1}} over {3 ^{n}}} over {{3 ^{n}} over {3 ^{n}} + {2 ^{n}} over {3 ^{n}}}]

[eqn: = lim _{n` ->` INF } `{5 cdot 3-2 LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}}][eqn: = {5 cdot 3-0} over {1+0} =15]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } `{ {5 CDOT 3 ^{n+1} -2 ^{n+1}} over {3 ^{n} +2 ^{n}}}`]의 값을 구하시오.

[06학년도 수능]

②

[eqn: lim _{n `->` INF } `LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} =0`,`` lim _{n `-> ` INF }` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} =0`]이므로

준식[eqn: = lim _{n` -> ` INF }` {3+0} over {2+0} = {3} over {2}`]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } ` {3+ LEFT ( {1 } over {3 } RIGHT ) ^{n}} over {2+ LEFT ( {1 } over {2 } RIGHT ) ^{n}}`]의 값은?

[07학년도 수능]

① [eqn: 1]            ② [eqn: 3 over2]            ③ [eqn: 2]            ④ [eqn: 5 over 2]            ⑤ [eqn: 3]

④

(주어진 식)[eqn: = lim_n->inf `{5 + 2over5^n } over {1+ left( 3over 5 right)^n }= 5+0 over 1+0 =5`]

[eqn: lim_{n`->`inf} `{5^n+1 +2} over {5^n +3^n}`]의 값은?

[2점][12학년도 수능]

① [eqn: 2]            ② [eqn: 3]            ③ [eqn: 4]            ④ [eqn: 5]            ⑤ [eqn: 6]

⑤

[eqn: lim _{n`-> ` INF }` {{2 TIMES 3 ^{n+1} +5} over {3 ^{n}}} = lim _{n`->` INF } `{LEFT { 2 TIMES 3+5 LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} =6`]

[eqn: lim _{n`->` INF } `{{2 TIMES 3 ^{n+1} +5} over {3 ^{n}}}`]의 값은?

[2점][14학년도 수능]

① [eqn: 10]           ② [eqn: 9]           ③ [eqn: 8]           ④ [eqn: 7]           ⑤ [eqn: 6]

③

[eqn: lim _{ n`->`inf}` { { a times 6^n+1 - 5^n} over { 6^n +5^n} } = lim _{ n`->`inf} `{ { a times 6 - left ( 5 over 6 right )^n } over { 1 + left ( 5 over 6 right )^n} }`][eqn: = 6a = 4`]

[eqn: therefore``` a = 2 over 3`]

[eqn: lim _{ n`->`inf} `{ { a times 6^n+1 - 5^n} over { 6^n +5^n} } = 4`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

[11학년도 수능]

① [eqn: 1 over 3]           ② [eqn: 1 over 2]           ③ [eqn: 2 over 3]           ④ [eqn: 4 over 3]           ⑤ [eqn: 3 over 2]

[eqn: BOLD 17]

[eqn: i)] [eqn: LEFT | ``x` RIGHT |`` <1`] 일 때,

[eqn: f`(x)= lim _{n` ->` INF } `{x ^{2n+4} +2x} over {x ^{2n} +1} =2x`]

[eqn: ii)] [eqn: LEFT | ``x` RIGHT | ``>1] 일 때,

[eqn: f`(x)= lim _{n` ->` INF }` {x ^{4} + {2} over {x ^{2n-1}}} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}`][eqn: = {x ^{4} +0} over {1+0} =x ^{4}]

따라서, [eqn: f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f`(2)=17`]

함수 [eqn: f`(x)= lim _{n` -> ` INF } ` {x ^{2n+4} +2x} over {x ^{2n} +1}`]일 때, [eqn: f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f`(2)`]의 값을 구하시오.

[02학년도 수능]

①

[eqn: S _{n} =2n+ {1} over {2 ^{n}}`]에서

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} = LEFT ( 2n+ {1} over {2 ^{n}} RIGHT ) - LEFT { 2(n-1)+ {1} over {2 ^{n-1}} RIGHT }]

[eqn: =2+ LEFT ( {1} over {2} -1 RIGHT ) {1} over {2 ^{n-1}}][eqn: =2- {1} over {2 ^{n}}]

[eqn: lim _{n`->`INF } ` a _{n} = lim _{n` ->` INF }` LEFT ( 2- {1} over {2 ^{n}} RIGHT ) =2`]

수열 [eqn: left{`a_n`right}`]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n`]이 [eqn: S_n = 2n + {1 } over {2^n }`]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } `a _{n}`]의 값은?

[05학년도 수능]

① [eqn: 2`]           ② [eqn: 1`]           ③ [eqn: 1 over2]           ④ [eqn: 1 over 4]           ⑤ [eqn: 0`]

[eqn: bold 53.33]

[eqn: x _{n+2} = {x _{n} +x _{n+1}} over {2}`], [eqn: x _{n+2} = {1} over {2} x _{n+1} + {1} over {2} x _{n}`]

[eqn: x _{n+2} - alpha x _{n} = beta (x _{n+1} - alpha x _{n} )`]에서

[eqn: x _{n+2} -x _{n+1} =`- {1} over {2} (x _{n+1} -x _{n} )`]

[eqn: x _{n} =x _{1} + sum _{k=1} ^{n} 80 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{k-1}`]

[eqn: =0+80 {LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }} over {1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT )}][eqn: = {160} over {3} LEFT { 1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF }` x _{n} = {160} over {3}`][eqn: image 53.33]

수직선 위에 두 점 [eqn: P _{1} (0)`]과 [eqn: P_2 (80)`]이 있다. 선분 [eqn: P_1 `P_2 `]의 중점을 [eqn: P _{3} (x _{3} )`], 선분 [eqn: P _{2} `P _{3}`]의 중점을 [eqn: P _{4} (x _{4} )`], [eqn: cdots`cdots`], 선분 [eqn: P_n `P_n+1`]의 중점을 [eqn: P_n+2 (x_n+2 ) `]라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } ` x _{n}`]의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.

[eqn: P _{1}]

[eqn: P _{2}]

[eqn: 0]

[eqn: P _{4}]

[eqn: 60]

[eqn: 40]

[eqn: P _{3}]

[eqn: 80]

[98학년도 수능]

[eqn: bold 33]

[eqn: a _{k} = lim _{n` ->` INF }`{LEFT ( {6} over {k} RIGHT ) ^{n+1}} over {LEFT ( {6} over {k} RIGHT ) ^{n} +1}```(k = 1`,``2`,``3`,` `CDOTS `)`]에서

[eqn: i)] [eqn: k < 6`]일 때, [eqn: 6overk > 1`]이므로 분모, 분자를 [eqn: LEFT ( 6overk RIGHT )^n`]으로 나누면

[eqn: a _{k} = lim _{n `->` INF }` {{6} over {k}} over {1+ LEFT ( {k} over {6} RIGHT ) ^{n}} = {6} over {k} ````LEFT ( BECAUSE```0 < {k} over {6} < 1 RIGHT )`]

[eqn: ii)] [eqn: k = 6`]일 때, [eqn: a_k = 1over 1+1 = 1over2`]

[eqn: iii)] [eqn: k>6`]일 때, [eqn: 0 < 6overk < 1`]이므로

[eqn: a_k = 0over 0+1 = 0`]

[eqn: THEREFORE ``` sum _{k=1} ^{10} `ka _{k} = sum _{k=1} ^{5} `LEFT ( k TIMES {6} over {k} RIGHT ) + sum _{k=6} ^{6} `LEFT ( k TIMES {1} over {2} RIGHT ) + sum _{k=7} ^{10}` (k TIMES 0)`]

[eqn: =6times5+6times 1over2 = 33`]

자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: a _{k} = lim _{n` ->` INF } ` {LEFT ( {6} over {k} RIGHT ) ^{n+1}} over {LEFT ( {6} over {k} RIGHT ) ^{n} +1}`]

이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10}` ka _{k} `]의 값을 구하시오.

[4점][15학년도 수능]

③

[eqn: a>3`]에서 [eqn: {a over3}>1`]이다. 따라서

[eqn: lim _{n` ->` INF }` {{LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) ^{n+k}} over {LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) ^{n+1} +1} = LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) ^{{k}-1}}`]

[eqn: a^{k-1}=3^k`]에서 [eqn: a=3^{k over k-1}`]

[eqn: therefore ``` LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) ^{{k}-1}}=3`]

[eqn: a>3`]인 상수 [eqn: a`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=a^x-1`]과 [eqn: y=3^x`]이 점 [eqn: P`]에서 만난다. 점 [eqn: P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: lim _{n `-> `INF } ` {LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) ^{n+k}} over {LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) ^{n+1} +1}`]의 값은?

[3점][15학년도 수능]

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]            ③ [eqn: 3]            ④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

[eqn: bold 54]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `(a _{n} +5b _{n} ) = sum _{n=1} ^{INF }` a _{n} + 5 sum _{n=1} ^{INF }` b _{n} = 4 + 5 TIMES 10 = 54`]

두 수열 [eqn: left{`a_n `right}`,] [eqn: left{`b_n` right}`]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` a _{n} =4`,] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `b _{n} =10`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `(a _{n} +5b _{n} )`]의 값을 구하시오.

[3점][15학년도 수능]

①

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `LEFT ( na _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} RIGHT ) =3`]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF }`LEFT ( na _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} RIGHT ) =0`]이다.

즉, [eqn: lim _{n` -> ` INF }`n` LEFT ( a _{n} - {n+ {1} over {n}} over {2n+1} RIGHT ) =0`]에서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } ` n != 0`]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF }` LEFT ( a _{n} - {n+ {1} over {n}} over {2n+1} RIGHT ) =0`]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} = lim _{n` -> ` INF }` {LEFT ( a _{n} - {n+ {1} over {n}} over {2n+1} RIGHT )} + lim _{n` -> ` INF }` {{n+ {1} over {n}} over {2n+1}}`]

[eqn: = 0+ 1 over 2 = 1 over 2`]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF }` {(a _{n} ^{2} +2a _{n} +2)}`][eqn: = LEFT ( lim _{n` -> ` INF } `{a _{n}} RIGHT ) ^{2} +2 lim _{n` -> ` INF } `{a _{n}} +2`]

[eqn: =left( 1 over 2 right)^2 +2× 1 over 2 +2= 13 over 4`]

수열 [eqn: LEFT {` a _{n}` RIGHT }`]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} `LEFT ( n cdot a _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} RIGHT ) =3`]일 때, [eqn: lim _{n`-> `INF } `{LEFT ( a _{n} ^{2} +2a _{n} +2 RIGHT )}`]의 값은?

[4점][13학년도 수능]

① [eqn: {13} over {4}]          ② [eqn: 3]          ③ [eqn: {11} over {4}]          ④ [eqn: {5} over {2}]          ⑤ [eqn: {9} over {4}]

[eqn: bold 16]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `{a _{n}} over {4 ^{n}} =2`]이므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } ` {a _{n}} over {4 ^{n}} =0`]

∴ [eqn: lim _{n `-> ` INF }` {a _{n} +4 ^{n+1} -3 ^{n-1}} over {4 ^{n-1} +3 ^{n+1}}`]

[eqn: = lim _{n `-> ` INF }`{{a _{n}} over {4 ^{n}} +4- {1} over {4} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1}} over {{1} over {4} +3 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}}][eqn: = {0+4-0} over {{1} over {4} +0}][eqn: =16]

수열 [eqn: left {` a_n` right}`]에 대하여 [eqn: SUM from { { n}=1 } to inf ` a_n over 4^n =2`]일 때, [eqn: lim from { n` ->` inf } `{ a_n +4^n+1 -3^n-1} over {4^n-1 +3^n+1 }`]의 값을 구하시오.

[08학년도 수능]

①

[eqn: a _{n+1} =a _{n+1} +a _{n}`][eqn: ``` RARROW ```a _{n} =a _{n+2} -a _{n+1} `]에서

[eqn: {a _{n}} over {a _{n+1} a _{n+2}}][eqn: = {a _{n+2} -a _{n+1}} over {a _{n+1} a _{n+2}}][eqn: = {1} over {a _{n+1}} - {1} over {a _{n+2}}]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{n} {a _{k}} over {a _{k+1} `a _{k+2}}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {a _{k+1}} - {1} over {a _{k+2}} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {1} over {a _{2}} - {1} over {a _{3}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {a _{3}} - {1} over {a _{4}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {a _{4}} - {1} over {a _{5}} RIGHT ) + ``cdots`]

[eqn: + LEFT ( {1} over {a _{n+1}} - {1} over {a _{n+2}} RIGHT )][eqn: = {1} over {a _{2}} - {1} over {a _{n+2}}][eqn: = {1} over {2} - {1} over {a _{n+2}}]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }`]은 [eqn: a _{n+1} =a _{n+1} +a _{n}`]을 만족하므로 증가하는

수열이고 , 따라서, [eqn: lim _{n` ->` INF }` {1} over {a _{n}} =0`]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }` {a _{n}} over {a _{n+1} `a _{n+2}} = {1} over {2}`]

수열 {[eqn: a_n `]}이 [eqn: a_1 =1` ,`` a_2 = 2` ,``a_ n+2 = a_n+1 + a_n `````(n = 1`,``2`,``3`,``cdots)`]을 만족시킨다. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {a _{n}} over {a _{n+1} `a _{n+2}}`]의 합은?

[98학년도 수능]

① [eqn: 1 over 2]           ② [eqn: 1]           ③ [eqn: 3 over 2]           ④ [eqn: 2]           ⑤ [eqn: 3]

②

[eqn: b _{n} =n`,``c _{n} =n+1`]이라 하면

[eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} = {n(n+1)} over {2}`],

[eqn: sum _{k=1} ^{n} c _{k} = {(n+1)(n+2)} over {2} -1= {n ^{2} +3n+1} over {2}`]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {sum _{k=1} ^{n} b _{k}} = lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {sum _{k=1} ^{n} c _{k}}][eqn: =2]

그런데 [eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} < sum _{k=1} ^{n} a _{k} < sum _{k=1} ^{n} c _{k}]이므로

[eqn: {n ^{2}} over {sum _{k=1} ^{n} b _{k}} > {n ^{2}} over {sum _{k=1} ^{n} a _{k}} > {n ^{2}} over {sum _{k=1} ^{n} c _{k}}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {sum _{k=1} ^{n} a _{k}} =2]

수열 [eqn: left {`a _n`right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n`＜`a _{n} `＜`n+1`]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {``} {n _{`} ^{2}} over {a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{n}} `]의 값은?

[06학년도 수능]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]           ④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

④

[eqn: i)`] [eqn: a _{1} +pi<a _{2}`,]

[eqn: a _{2} +pi<a _{3}`,]

[eqn: a _{3} +pi<a _{4}`,]

[eqn: cdots`]

[eqn: a _{n-1} +pi<a _{n}`]

위의 식을 변끼리 더하면

[eqn: LEFT ( a _{1} +a _{2} +a _{3} + `CDOTS `+a _{n-1} RIGHT ) +(n-1)pi`< `LEFT ( a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n} RIGHT )]

[eqn: a _{1} +(n-1)pi<a _{n}`,] [eqn: {pi} over {4} +(n-1)pi<a _{n}`]

[eqn: {pi} over {4n} + {n-1} over {n} pi< {a _{n}} over {n}`,] [eqn: lim _{n`-> ` INF }` {LEFT ( {pi} over {4n} + {n-1} over {n} pi RIGHT ) leq lim _{n`->` INF }` {{a _{n}} over {n}}}`]

[eqn: THEREFORE ```pi`leq lim _{n`->` INF } `{{a _{n}} over {n}}`]

[eqn: ii)] [eqn: a _{n} <(n-1)pi+ {pi} over {2}`]이므로 [eqn: a _{n} < {2n-1} over {2} pi`]

[eqn: {a _{n}} over {n} < {2n-1} over {2n} pi`,] [eqn: lim _{n`-> ` INF }` {{a _{n}} over {n}} leq lim _{n`->` INF } `{LEFT ( {2n-1} over {2n} pi RIGHT )}`]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n`-> ` INF } `{{a _{n}} over {n} leqpi}`]

[eqn: i)`,``ii)`]에서 [eqn: pi`leq lim _{n`->` INF } `{{a _{n}} over {n}} leqpi`]이므로 [eqn: lim _{n`-> ` INF } `{{a _{n}} over {n}} =pi`]

[다른 풀이 [eqn: 1`]]

[eqn: (n-1)pi<a _{n} < {pi} over {2} +(n-1)pi`]이므로

[eqn: {(n-1)pi} over {n} < {a _{n}} over {n} < {(n-1)pi+ {pi} over {2}} over {n}`]이고

[eqn: lim _{n`->` INF } `{{(n-1)pi} over {n}} =pi`,] [eqn: lim _{n`->` INF }`{{(n-1)pi+ {pi} over {2}} over {n}} =pi`]이므로

‘샌드위치 정리’에 의해 [eqn: lim _{n`-> ` INF }` {{a _{n}} over {n}} =pi`]

[다른 풀이 [eqn: 2`]]

[eqn: y=tan``x`]의 주기가 [eqn: pi`]이고 점근선이 있으므로

위 그림에서와 같이 [eqn: lim _{n`->` INF } `{(a _{n} -(n-1)pi)} = {pi} over {2}`]이다.

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n`->` INF }` {{a _{n}} over {n}} = lim _{n`->` INF } `{{LEFT { a _{n} -(n-1)pi RIGHT } +(n-1)pi} over {n}} =pi`]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=n`]과 함수 [eqn: y= tan ``x`]의 그래프가 제 [eqn: 1`]사분면에서 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n`]번째 수를 [eqn: a_n`]이라 하자. [eqn: lim _{ n`->`inf} `{ { a_n} over {n } }`]의 값은?

[4점][14학년도 수능]

① [eqn: pi over4]          ② [eqn: pi over2]          ③ [eqn: 3over4 pi]          ④ [eqn: pi]          ⑤ [eqn: 5over 4 pi]

⑤

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }` r ^{n}`]이 수렴하므로, [eqn: | `r`| <1`] [eqn: cdots`](가)

따라서, [eqn: |`r ^{2} `| <1`,``|`-r`| <1`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }` r ^{n} `], [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` r ^{2n} `], [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` (-r) ^{n} `]은 모두 수렴한다. 즉,①,②,③은 수렴한다.

④: (가)에서 [eqn: -1<r<1`][eqn: ``` RARROW ```-2<r-1 <0`]

[eqn: RARROW ```-1< {r-1} over {2} <0`]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` LEFT ( {r-1} over {2} RIGHT ) ^{n} `]은 수렴한다.

⑤: [eqn: - {1} over {2} < {r} over {2} < {1} over {2}`][eqn: ```RARROW ```- {3} over {2} < {r} over {2} -1 < - {1} over {2}`]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }` LEFT ( {r} over {2} -1 RIGHT ) ^{n}`]은 수렴하지 않는다.

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF }`r ^{n}`]이 수렴할 때, 다음 중 반드시 수렴한다고 할 수 없는 것은?

[94학년도 수능]

① [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `(r ^{n} +r ^{2n} )]	② [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `(r ^{n} -2r ^{2n} )]           ③ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {r ^{n} +(-r) ^{n}} over {2}]

④ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {r-1} over {2} RIGHT ) ^{n}]	⑤ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {r} over {2} -1 RIGHT ) ^{n}]

[eqn: bold{16}]

[eqn: a _{n} = LEFT { {1+(-1) ^{n} } over {3} RIGHT }`]이라 하면 [eqn: a _{2n-1} = 0`]

[eqn: S = a _{2} + a _{4} + a _{6} +`` CDOTS `]

[eqn: = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{4} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{6} + ``CDOTS `]이다.

[eqn: S`]는 공비가 [eqn: {4} over {9}`], 첫째항이 [eqn: {4} over {9}`]인 무한등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n} = {{4} over {9}} over {1- {4} over {9}} = {4} over {5} =S`]

[eqn: THEREFORE ```20S = 20 TIMES {4} over {5} =16`]

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{ INF } ` LEFT { {1+(-1) ^{n} } over {3} RIGHT } ^{n}`]의 합을 [eqn: S`]라고 할 때, [eqn: 20S`]의 값을 구하시오.

[03학년도 수능]

①

등비수열 [eqn: left{`a_n` right}`]의 공비를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: r = a_2 over a_1 = 1over3`]이므로 [eqn: a_n = 3times LEFT ( 1over3 RIGHT )^n-1`]

[eqn: THEREFORE ``` sum _{n=1} ^{INF }` (a _{n} ) ^{2} = sum _{n=1} ^{INF } `LEFT { 9 TIMES LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }`][eqn: =`9over{1-{1over9}} = 81over8`]

등비수열 [eqn: left{`a_n` right}`]에 대하여 [eqn: a_1 =3`,] [eqn: a_2 =1`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `(a _{n} ) ^{2}`]의 값은?

[3점][15학년도 수능]

① [eqn: 81 over8]          ② [eqn: 83 over8]          ③ [eqn: 85 over8]          ④ [eqn: 87 over8]          ⑤ [eqn: 89 over8]

[eqn: bold 16]

두 무한등비수열[eqn: left{`a_n `right}` ,``left{ `b_n` right}`]의 공비를 [eqn: r`]라 하자.

[eqn: sum_n=1^inf`a_n = a_1 over 1-r = 8`] [eqn: ``cdots`]㉠

[eqn: sum_n=1^inf`b_n = b_1 over 1-r = 6`] [eqn: ``cdots`]㉡

㉠-㉡에서 [eqn: {a_1 - b_1 } over 1-r = 2`]

[eqn: a_1 - b_1 = 1`]이므로 [eqn: 1over 1-r = 2`], [eqn: 1-r = 1over2`]

∴ [eqn: r = 1over2`]

㉠에서 [eqn: a_1 = 8 (1- r) = 8 cdot 1over2 = 4`]

㉡에서 [eqn: b_1 = 6(1-r) = 6 cdot 1over2 = 3`]

따라서 수열 [eqn: left{ `a_n b_n` right}`]은 첫째항이

[eqn: a_1 b_1 = 4 cdot 3 = 12`]이고, 공비가 [eqn: r^2 = 1over4`]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf`a_n b_n = 12 over{ 1- 1over4} = 12 over {3over4} = 16`]

공비가 같은 두 무한등비수열 [eqn: LEFT {` a_n `RIGHT }`,``left{`b_n` right}`]에 대하여 [eqn: a_1 -b_1 =1`]이고 [eqn: sum _{ n=1 } ^{ INF }`a_n = 8`], [eqn: sum _{ n=1 } ^{ INF }`b_n = 6`]일 때, [eqn: sum _{ n=1 } ^{ INF }`a_n b_n`]의 값을 구하시오.

[09학년도 수능]

[eqn: bold 19]

등비수열 [eqn: left{ a_n right}`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a_2 = ar = 1 over 2`] [eqn: ``cdots` cdots`]㉠

[eqn: a_5 = ar^4 = 1 over 6`] [eqn: ``cdots` cdots `]㉡

㉠,㉡에서  [eqn: r^3 = 1 over 3`]

㉠의 양변을 세제곱하면

[eqn: (ar)^3 = 1 over 8`]

따라서 [eqn: a^3 times 1 over 3 = 1 over 8`] 이므로 [eqn: a^3 = 3 over 8`]

[eqn: a_n a_n+1 a_n+2 = ar^n-1 ar^n ar^n+1 = a^3 r^3n = 3 over 8 cdotleft( 1 over 3 right)^n]

따라서 수열 [eqn: left{ a_n a_n+1 a_n+2 right}`]은 첫째항이 [eqn: 3 over 8 times 1 over 3 = 1 over 8`]이고 공비가 [eqn: 1 over 3`]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum from n=1 to inf` a_n a_n+1 a_n+2 = {1 over 8} over {1- 1 over 3} = {1 over 8 }over {2 over 3 } = 3 over 16]

∴ [eqn: p+q = 16 +3 =19`]

등비수열 [eqn: left{ `a_n `right}`]이 [eqn: a_2 = 1over2`], [eqn: a_5 = 1 over 6`]을 만족시킨다. [eqn: sum from n=1 to inf `a_n `a_n+1` a_n+2 = q over p`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[10학년도 수능]

③

수열 [eqn: LEFT { `a _{n}` RIGHT }`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` a _{n}`]이 수렴하면 [eqn: -1 ＜ r ＜ 1`]이다.

이 때, 수열 [eqn: LEFT { `a _{2n}` RIGHT }`]의 공비는 [eqn: r ^{2}`]이므로 [eqn: 0 le r ^{2} ＜ 1`]

따라서, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{2n}`]도 수렴한다.  [참]

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` a _{n}`]이 발산하면 [eqn: |`r`| ge 1`]이다.

이 때, 수열 [eqn: LEFT { `a _{2n}` RIGHT }`]의 공비 [eqn: r ^{2}`]은 [eqn: r ^{2} ge 1`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }` a _{2n}`]도 발산한다. (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` a _{n}`]이 수렴하면 [eqn: lim _{n` ->` INF } `a _{n} =0`]이다.

이 때, [eqn: lim _{n`->`INF } `LEFT ( a _{n} + {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2} ne 0`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }` LEFT ( a _{n} + {1} over {2} RIGHT )`]은 발산한다. (거짓)

무한등비수열 [eqn: left {`a _{n} `right}`]에 대하여 옳은 것을 [보기]에서 모두 고른 것은?

[보기]

ㄱ. 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{INF } `a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1 } ^{INF } `a _{2n}`]도 수렴한다.

ㄴ. 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1 } ^{INF } `a _{n} `]이 발산하면 [eqn: sum _{n=1 } ^{INF } `a _{2n} `]도 발산한다.

ㄷ. 무한등비급수 [eqn: SUM from { n=1 } to {inf }` a_n`]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1 } ^{INF }`LEFT ( a _{n} + {1 } over {2 } RIGHT ) `]도 수렴한다.

[05학년도 수능]

① ㄱ        ② ㄴ        ③ ㄱ, ㄴ        ④ ㄱ, ㄷ        ⑤ ㄴ, ㄷ

⑤

[eqn: {△QOA } over {△POA }][eqn: = {bar{AQ}} over {bar{AP}}][eqn: = {n} over {n+2}`]으로 놓으면

점 [eqn: Q`]는 [eqn: bar{AP} `]를 [eqn: n``:2`]로 내분한 점이므로

[eqn: Q` LEFT ( {t`n+4} over {n+2} `,`` {2n} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: n` -> ` INF `]일 때, [eqn: Q`` -> `(t`,``2 )`]이고, 이 때, 두 점 [eqn: P`,``Q`]는 모두 [eqn: (4`,``2)`]로 수렴한다.

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` ->` INF }` t _{n} =4`]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: O(0`,``0)`,``A(2`,``0)`]과 직선 [eqn: y=2`]위를 움직이는 점 [eqn: P`(t`,``2)`]가 있다. 선분 [eqn: AP`]와 직선 [eqn: y= {1} over {2} x`]가 만나는 점을 [eqn: Q`]라 하자. [eqn: △QOA`]의 넓이가 [eqn: △POA`]의 넓이의 [eqn: {1} over {3} `]일 때 [eqn: t`]의 값을 [eqn: t _{1}`], [eqn: {1} over {2} `]일 때 [eqn: t`]의 값을 [eqn: t _{2}`], [eqn: cdots`cdots`], [eqn: {n} over {n+2} `]일 때 [eqn: t`]의 값을 [eqn: t _n `]이라 하면 [eqn: lim _{n `->` INF } `t _{n} `]의 값은?

[94학년도 수능]

① [eqn: 0]            ② [eqn: 1]            ③ [eqn: 2]            ④ [eqn: 3]            ⑤ [eqn: 4]

③

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(x+2)=f`(x)`]이므로 함수 [eqn: y=f`(x)`]는 주기가 [eqn: 2`]인 함수이다. 따라서, [eqn: f``(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다.

직선 [eqn: y= {1} over {2n} x+ {1} over {4n}`]과 함수 [eqn: y=f`(x)`]의 그래프와의 교점의 개수는 [eqn: a _{n}`]이므로

[eqn: n=1`]일 때, [eqn: y= {1} over {2} x+ {1} over {4}`]이므로 [eqn: a _{1} =3`]

[eqn: n=2`]일 때, [eqn: y= {1} over {4} x+ {1} over {8}`]이므로 [eqn: a _{2} =5`]

[eqn: n=3`]일 때, [eqn: y= {1} over {6} x+ {1} over {12}`]이므로 [eqn: a_3 =7 `]

[eqn: a _{1} =3`,``a _{2} =5`,``a _{3} =7`,``cdots`] 이므로,

[eqn: a _{n} =2n+1`]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF } ` {a _{n}} over {n} = lim _{n` -> `INF } ` {2n+1} over {n} =2`]

모든 실수에 대하여 정의 된 함수 [eqn: f`(x)`]는 [eqn: f`(x) = x^2```````(-1≦x≦1)`]과 [eqn: f`(x+2)=f`(x) `]를 만족하는 주기함수이다. 좌표평면 위에서 각 자연수 [eqn: n``]에 대하여 직선 [eqn: y = 1 over 2n x + 1 over 4n `]과 함수 [eqn: y =f`(x)`]의 그래프와의 교점의 개수를 [eqn: a_n`]이라고 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } ` {a _{n}} over {n}`]의 값은?

[97학년도 수능]

① [eqn: 0]            ② [eqn: 1]            ③ [eqn: 2]            ④ [eqn: 3]            ⑤ [eqn: 4]

③

직선 [eqn: PQ`]의 방정식은

[eqn: y =` -(x-t)+t+1 =-x+2t+1`]

[eqn: therefore``` Q (0`,``2t+1)`]

[eqn: therefore ``` { barAP} ^2 = (t+1)^2 + (t+1)^2 =2t^2 +4t +2`]

[eqn: therefore ``` { barAQ} ^2 = (-1)^2 + (2t+1)^2 =4t^2 +4t +2`]

[eqn: therefore``` lim_t->inf ` {{barAQ}`^2} over {{barAP}`^2} = lim_t->inf `{4t^2 +4t+2}over{2t^2 + 4t+2 } =2`]

그림과 같이 직선 [eqn: y=x+1`]위에 두 점 [eqn: A(-1`,``0)`]과 [eqn: P(t`,``t+1)`]이 있다. 점 [eqn: P`]를 지나고 직선 [eqn: y=x+1`]에 수직인 직선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: Q`]라 할 때, [eqn: lim_t->inf `{{bar{AQ }}`^2} over {{bar{AP }}`^2}`]의 값은?

[3점][12학년도 수능]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 3over2]           ③ [eqn: 2]           ④ [eqn: 5over2]           ⑤ [eqn: 3]

[eqn: bold{40}]

[eqn: 1= {sum_{n=1}^inf}][eqn: LEFT ( {1} over {z} RIGHT ) ^{n} = {{1} over {z}} over {1- {1} over {z}} = {1} over {z-1}]

([eqn: BECAUSE` ``z ＞1`]이므로 [eqn: LEFT | ` {1} over {z} ` RIGHT | ＜1`])

즉, [eqn: z-1=1`]에서 [eqn: z=2`]

[eqn: 2=16 ^{y} `````````` THEREFORE```y= {1} over {4}`]

[eqn: {1} over {4} = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{n} = {{1} over {x}} over {1- {1} over {x}} = {1} over {x-1}]

([eqn: BECAUSE ```x＞1]이므로 [eqn: LEFT | `` {1} over {x} ` RIGHT | ＜1])

즉, [eqn: x-1=4`]에서 [eqn: x=5`]

[eqn: THEREFORE ``` {xz} over {y} = {5 CDOT 2} over {{1} over {4}} =40`]

실수 [eqn: a`(a ＞1 )`]에 대하여 [eqn: b = sum _{ n =1 } ^{` INF }` LEFT ( {1} over {a } RIGHT ) ^{n}`]을 [그림 [eqn: 1`]]과 같이 나타내고, 실수 [eqn: c`]에 대하여 [eqn: d =16 ^{c}`]을 [그림 [eqn: 2`]]와 같이 나타내기로 한다.

[그림 [eqn: 1`]]

[그림 [eqn: 2`]]

[그림 [eqn: 1`]]

[그림 [eqn: 2`]]

아래 그림의 실수 [eqn: x`,``y`,``z`]에 대하여 [eqn: xz over y`]의 값을 구하시오.

[05학년도 수능]

[eqn: bold 19]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: C]

[eqn: C _{n}]

[eqn: O]

[eqn: P]

[eqn: 2 over n]

[eqn: Q]

[eqn: M]

삼각형[eqn: POM`]은 직각삼각형이고

[eqn: bar OP`= 1`,] [eqn: bar OM` = 1 over n `]

이므로 [eqn: {bar{PM`} } `= sqrt {1- {1} over {n ^{2}}}]

∴ [eqn: l _{n} =2 {bar{PM`}} `][eqn: =2 root{ 1- 1over n^2 }]

[eqn: (n l_n )^2 = n^2` l_n^2 `][eqn: =n^2 cdot 4 cdot { n^ 2 -1} over n^2][eqn: = 4(n^2 -1 )]

∴ [eqn: SUM_{n=2} ^inf` 1 over { (n l_n )^2 }][eqn: = SUM_n=2 ^inf` 1 over{ 4 (n^2 -1)}][eqn: = lim_{n`->`inf} `SUM_k=2 ^n` 1 over{ 4 (k^2 -1)}]

[eqn: = lim_{n`->`inf}` 1over4 SUM_k=2 ^n `1over 2 left(1over k-1 - 1over k+1 right)]

[eqn: = lim_{n`->`inf }`1over8 left{ left(1- 1over 3 right)+ left( 1over 2 - 1over 4 right) + left( 1over 3 - 1over 5 right) + ``cdots`]

[eqn: + left( 1over n-1` - 1over n+1 right) right}`]

[eqn: = lim_{n`->`inf} `1over8 left(1 + 1over 2 - 1over n - 1 over n+1 right)][eqn: = 3 over 16]

∴ [eqn: p+q = 16+3 = 19`]

[eqn: n ge 2`]인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C`]를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: {2 } over {n }`]만큼 평행이동시킨 원을 [eqn: C _n`]이라 하자. 원 [eqn: C`]와 원 [eqn: C _n`]의 공통현의 길이를 [eqn: l _n`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{INF } `{1 } over {(n`l _n ) ^2} = { q } over {p }`]이다. [eqn: p +q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`,``q`]는 서로소인 자연수이다.)

[08학년도 수능]

②

직선 [eqn: P_0 P_1`]의 기울기가 [eqn: 1`]이므로

직선 [eqn: P_1 P_2`]의 기울기는 [eqn: -1`]이다.

점 [eqn: P_1 (1`,``1)`]을 지나고 기울기가 [eqn: -1`]인 직선의 방정식은 [eqn: y-1 =` -(x-1)`] 즉, [eqn: y=` -x+2`]이므로

점 [eqn: P_2`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 =` -x+2`]에서 [eqn: x^2 +x-2=0`]

[eqn: (x+2)(x-1)=0`]

[eqn: x<0`]이므로 [eqn: x=`-2`]

∴ [eqn: P_2 (-2`,``4)`]

점 [eqn: P_2 (-2`,``4)`]를 지나고 기울기가 [eqn: 1`]인 직선의 방정식은 [eqn: y-4 = x+2`] 즉, [eqn: y= x+6`]이므로

점 [eqn: P_3`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = x+6`]에서 [eqn: x^2 -x-6=0`]

[eqn: (x+2)(x-3)=0`]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x=3`]

∴ [eqn: P_3 (3`,``9)`]

점 [eqn: P_3 (3`,``9)`]를 지나고 기울기가 [eqn: -1`]인 직선의 방정식은 [eqn: y-9 = `-(x-3)`] 즉, [eqn: y= `-x+12`]이므로

점 [eqn: P_4`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = `-x+12`]에서 [eqn: x^2 + x-12=0`]

[eqn: (x+4)(x-3)=0`]

[eqn: x<0`]이므로 [eqn: x=`-4`]

∴ [eqn: P_4 (-4` , ``16 )`]

이와 같은 방법으로 [eqn: P_n`]의 좌표를 구하면

[eqn: P_2m-1 left( 2m-1` , ``4m^2 -4m+1 )`], [eqn: P_2m ( -2m` ,``4m^2 )`]

[eqn: n= 2m`]일 때,

[eqn: l_n = l_2m = bar { P_2m-1 P_2m }]

[eqn: = root{ (4m-1)^2 + (4m-1)^2 }][eqn: = root2 (4m-1)][eqn: = root2 (2n-1 )`]

[eqn: n= 2m+1`]일 때,

[eqn: l_n = l_2m+1 = bar{ P_2m P_2m+1}`]

[eqn: = root{ (4m+1)^2 + (4m+1)^2 }][eqn: = root2 (4m+1)][eqn: = root2 (2n-1 )`]

∴ [eqn: lim_n->inf`l_n over n = lim_n->inf`{root2 (2n-1)} over n][eqn: = 2root2`]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 점 [eqn: P_n-1`,``P_n`]이 함수 [eqn: y=x^2`]의 그래프 위의 점일 때, 점 [eqn: P_n+1`]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 두 점 [eqn: P_0 `,``P_1`]의 좌표는 각각 [eqn: (0`, ``0)`], [eqn: (1`, ``1)`]이다.

(나) 점 [eqn: P_n+1`]은 점 [eqn: P_n`]을 지나고 직선 [eqn: P_n-1` P_n`]에 수직인 직선과 함수 [eqn: y=x^2`]의 그래프의 교점이다. (단, [eqn: P_n`]과 [eqn: P_n+1`]은 서로 다른 점이다.)

[eqn: l_n = bar{ P_n-1 ` P_n} `]이라 할 때, [eqn: lim_{n`→`∞}` l_n over n`]의 값은?

[09학년도 수능]

① [eqn: 2root{3 }]         ② [eqn: 2root{2 }]         ③ [eqn: 2]         ④ [eqn: root{3 }]         ⑤ [eqn: root{2 }]

③

삼각형 [eqn: A_n OB_n`]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n`]이라 하면 [eqn: C_n`]의 좌표

는 [eqn: C_n` LEFT ( n-r_n` ,``r_n RIGHT )`]

점 [eqn: C_n`]에서 직선 [eqn: x-ny=0`]까지의 거리가 [eqn: r_n`]이므로

[eqn: {LEFT | `n-r _{n} -nr _{n} `RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -n RIGHT ) ^{2}}} =r _{n}`]

[eqn: LEFT | `n- LEFT ( n+1 RIGHT ) r _{n} `RIGHT |= sqrt { n^2 +1} TIMESr_n`]

그런데 [eqn: bar{A _{n}B_n}`=1`]에서 [eqn: r _{n} < {1} over {2}`]이므로

[eqn: n- LEFT ( n+1 RIGHT ) r _{n} >0 ````````LEFT( BECAUSE```r _{n} < {n} over {n+1} RIGHT )`]

따라서 [eqn: n- LEFT ( n+1 RIGHT )r_n = sqrt { n^2 +1} TIMESr_n`]이므로

[eqn: r _{n} = {n} over {n+1 sqrt {n ^{2} +1}}`]

[eqn: THEREFORE ```S _{n} = {1} over {2} TIMES bar{OA _{n}} TIMES r_n`]

[eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {n ^{2} +1} TIMES {n} over {n+1+ sqrt {n ^{2} +1}}`]

[eqn: = {n sqrt {n ^{2} +1}} over {2 LEFT ( n+1+ sqrt {n ^{2} +1} RIGHT )}`]

[eqn: THEREFORE``` lim _{n`->` INF }` {{S _{n}} over {n} = lim _{n`-> ` INF }` {{n sqrt {n ^{2} +1}} over {2n LEFT ( n+1+ sqrt {n ^{2} +1} RIGHT )}}}`]

[eqn: = lim _{n`-> ` INF }` {{sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}}} over {2 LEFT ( 1+ {1} over {n} + sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}} RIGHT )}}][eqn: = {1} over {4}]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 직선 [eqn: y= {1} over {n} x`]와 [eqn: x=n`]이 만나는 점을 [eqn: A _{n}`], 직선 [eqn: x=n`]과 [eqn: x`]축이 만나는 점을 [eqn: B _{n}`]이라 하자. 삼각형 [eqn: A _{n}OB_n`]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: C_n`]이라 하고, 삼각형 [eqn: A _{n} OC _{n}`]의 넓이를 [eqn: S _{n}`]이라 하자. [eqn: lim _{n`->` INF } `{{S _{n}} over {n}}`]의 값은?

[11학년도 수능]

① [eqn: {1} over {12}]          ② [eqn: {1} over {6}]          ③ [eqn: {1} over {4}]          ④ [eqn: {1} over {3}]          ⑤ [eqn: {5} over {12}]

[eqn: bold 50]

[가로 방향으로 [eqn: 4n`]개의 정사각형을 그린 경우]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

⋱

⋱

⋰

⋰

[그림[eqn: 1`]]

[그림[eqn: 1`]]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 2n`]인 작은 정사각형을 어두운 부분에 넣는 경우 가로 방향과 세로 방향에 각각 최대 [eqn: 4n`](개)의 정사각형이 들어가므로

[eqn: a_2n = (4n)^2 - (2n)^2 = 12n^2`]

[가로 방향으로 ([eqn: 4n-2`])개의  정사각형을 그린 경우]

([eqn: 2n`])개의 정사각형

[eqn: 2]

[eqn: 1]

⋱

⋱

⋰

⋰

[eqn: n-1`]개의

정사각형

[그림[eqn: 2`]]

[그림[eqn: 2`]]와 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 2n-1`]인 작은 정사각형을 어두운 부분에 넣는 경우 가로 방향과 세로 방향에 각각 최대 ([eqn: 4n-2`])(개)의 정사각형이 들어가므로

[eqn: a_2n-1 = (n-1) times (4n-2) times 2 + (2n ) times (n-1) times 2]

[eqn: =2(n-1)(4n-2+2n)]

[eqn: =2(n-1)(6n-2)=12n^2 -16n +4]

따라서, [eqn: a_2n -a_2n-1][eqn: =12n^2 -12n^2 +16n -4=16n -4`]이고

[eqn: a _{2n+1} =12(n+1) ^{2} -16(n+1)`+4=12n ^{2} +8n`]

[eqn: a _{2n+1}-a_2n =12n^2 +8n -12n^2 =8n`]

∴ [eqn: lim from n->inf {a_2n+1 -a_2n} over{a_2n - a_2n-1} = lim from n->inf 8n over 16n-4 = 1 over 2 =c`]

따라서 [eqn: 100c = 100 times 1 over 2 =50]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 [eqn: A`]와 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: B`]는 변이 서로 평행하고, [eqn: A`]의 두 대각선의 교점과 [eqn: B`]의 두 대각선의 교점이 일치하도록 놓여 있다. [eqn: A`]와 [eqn: A`]의 내부에서 [eqn: B`]의 내부를 제외한 영역을 [eqn: R`]라 하자.

[eqn: 2`] 이상인 자연수 [eqn: n`]에 대하여 한 변의 길이가 [eqn: 1 over n`]인 작은 정사각형을 다음 규칙에 따라 [eqn: R`]에 그린다.

(가) 작은 정사각형의 한 변은 [eqn: A`]의 한 변에 평행하다.

(나) 작은 정사각형들의 내부는 서로 겹치지 않도록 한다.

이와 같은 규칙에 따라 [eqn: R`]에 그릴 수 있는 한 변의 길이가 [eqn: 1 over n`]인 작은 정사각형의 최대 개수를 [eqn: a_n`]이라 하자.

예를 들어, [eqn: a_2 =12`,] [eqn: a_3 = 20`]이다. [eqn: lim from n->inf `{a_2n+1 - a_2n } over{a_2n -a_2n-1}=c`]라 할 때, [eqn: 100`c`]의 값을 구하시오.

[eqn: cdots]

[eqn: vdots]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: R]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[10학년도 수능]

[eqn: bold 19]

[eqn: 2^n+1`]열짜리 블록의 개수는

[eqn: 1`,``2`,``3`,``4`,``cdots`,``2^n`,``cdots`,``2^n+1 `]	[eqn: cdots`cdots`] ㉠

㉠에서 [eqn: 1`]회 시행후 홀수는 그대로 두고 짝수는 [eqn: 2`]로 나누어 나타내면

[eqn: 1`,``3`,``5`,``7`,``cdots`,``(2^n+1 -1)`] [eqn: cdots`cdots`] ㉡

과

[eqn: 1`,``2`,``3`,``4`,``cdots`,``2^n`]  [eqn: cdots`cdots`] ㉢

으로 표시된다.

시행을 모두 마쳤을 때, 남은 블록의 합은

[eqn: i)] ㉠은 [eqn: f`(2^n+1 )`]

[eqn: ii)] ㉡은

[eqn: 1`,``3`,``5`,``7`,``cdots`,``(2^n+1 -1)`][eqn: = {2^n`(2^n+1 -1 +1)}over 2 = 2^2n = 4^n`]

[eqn: iii)] ㉢은 [eqn: f`(2^n )`]

∴ [eqn: f`(2^n+1 )= 4^n + f`(2^n )`] ← 계차수열을 이용하자.

[eqn: f`(2^n )= f`(2^1 ) + sum _{ k=1} ^{n-1 }`4^k`][eqn: = 2+ {4`(4^n-1 -1)}over 4-1`][eqn: = {4^n +2}over 3`]

∴ [eqn: q over p = lim _{ n`->`inf}` { 4^n } over {{ 4^n+1 +2}over3 } = 3over16`]

∴ [eqn: p+q=16+3=19`]

자연수 [eqn: m`]에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 [eqn: 1`]에 [eqn: 1`]개, [eqn: 2`]열에 [eqn: 2`]개, [eqn: 3`]열에 [eqn: 3`]개, [eqn: cdots`], [eqn: m`]열에 [eqn: m`]개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다.

블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 [eqn: 1over2`]만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다.

블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, [eqn: 1`]열부터 [eqn: m`]열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 [eqn: f`(m)`]이라 하자.

예를들어, [eqn: f`(2)=2`,``f`(3)=5`,``f`(4)=6`]이다.

[eqn: lim _{ n`->`inf} `{f`(2^n+1 )- f` (2^n ) }over{f` (2^n+2 ) } = q over p`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[11학년도 수능]

[eqn: bold 37]

사각형의 꼭짓점의 좌표를 구하면

그림에서 [eqn: { P}_n+1`]과 [eqn: { Q}_n+1`]의 [eqn: x`]좌표가 같으므로 넓이 [eqn: a_n`]은

[eqn: a_n = left( 1over2 times bar{{ P}_n+1 { Q}_n+1 } times1 right)times2 =3^n+1`]

[eqn: therefore``` sum_m=1^inf `1 over a_n = sum_n=1^inf `left( 1over3 right)^n+1`][eqn: = {left( 1over3 right)^2 } over{ 1- 1over3 } = 1over6`]

[eqn: therefore```p^2 + q^2 = 6^2 +1^2 =37`]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: P_n `]의 좌표를 [eqn: left( n`,``3^n right)`], 점 [eqn: Q_n `]의 좌표를 [eqn: ( n`,``0)`]이라 하자. 사각형 [eqn: P_n Q_n+1 Q_n+2 P_n+1`]의 넓이를 [eqn: a_n `]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf `1 over a_n = q over p`]이다. [eqn: p^2 +q^2 `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][12학년도 수능]

①

각 변의 길이는 다음 그림과 같이 정해진다.

[eqn: S=S _{1} +S _{2} +S _{3} + ``cdots`][eqn: =2 ^{2} +( sqrt {2} ) ^{2} +1 ^{2} +``cdots`]

[eqn: =4+2+1+ ``cdots`][eqn: = {4} over {1- {1} over {2}} =8`]

[eqn: T=T _{1} +T _{2} +T _{3} +``cdots`][eqn: = {1} over {2} ( sqrt {2} ) ^{2} + {1} over {2} cdot 1 ^{2} + {1} over {2} ( {1} over {sqrt {2}} ) ^{2}`]

[eqn: =1+ {1} over {2} + {1} over {4} +``cdots`][eqn: = {1} over {1- {1} over {2}} =2`]

[eqn: THEREFORE ```S+T=8+2=10`]

다음 그림과 같이 정사각형에 직각이등변삼각형과 정사각형을 번갈아 붙이는 과정을 한없이 반복한다. 이 때,사각형을 [eqn: S _1` ,``S_2` ,``S_3` ,``cdots`], 삼각형을 [eqn: T_1` ,`` T_2 `,``T_3 `,``cdots`]이라고 하자. [eqn: S_1`]의 한 변의 길이가 [eqn: 2 `]일 때 이들 사각형과 삼각형의 넓이의 총합은?

[96학년도 수능]

① [eqn: 10]           ② [eqn: 11]           ③ [eqn: 12]           ④ [eqn: 13]           ⑤ [eqn: 14]

[eqn: bold 13]

[eqn: A _{1} `]의 넓이는 [eqn: 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {3} over {4}`]

도형 [eqn: A _{1}`]과 도형 [eqn: A _{n} `]위에 붙인 도형의 조각들은 모두 닮은꼴이고, [eqn: n`]번째 조각과 [eqn: (n+1)`]번째 조각의 닮음비는 [eqn: 4``:1`]이다. 즉, 넓이의 비는 [eqn: 16``:1`]이다.

또, 조각의 개수는 [eqn: 2`]배씩 늘어나므로

[eqn: LEFT. LEFT. S _{n} = {3} over {4} + {3} over {4} TIMES {1} over {16} TIMES 2+ {3} over {4} TIMES RIGHT ( {1} over {16} RIGHT ) ^{2} TIMES 4+`` CDOTS`]

[eqn: = {3} over {4} + {3} over {4} TIMES {1} over {8} + {3} over {4} TIMES RIGHT ( {1} over {8} RIGHT ) ^{2} + ``CDOTS`]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n`->` INF }`S _{n} = sum _{n=1} ^{INF } `{3} over {4} CDOT RIGHT ( {1} over {8} RIGHT ) ^{n-1} = {{3} over {4}} over {1- {1} over {8}} = {6} over {7}`]

[eqn: THEREFORE ```p+q=7+6=13`]

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형에서 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 2`]인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹모양의 도형을 [eqn: A_1`]이라 하자. 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 4`]인 정사각형에서 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 8`]인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹모양의 도형 [eqn: 2`]개를 [eqn: A_1`]의 위쪽 두 변에 각각 붙인 도형을 [eqn: A_2`]라 하자. 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 16`]인 정사각형에서 한 변의 길이가 [eqn: 1 over 32`]인 정사각형을 잘라낸 후 남은 凹모양의 도형 [eqn: 4`]개를 [eqn: A_2`]의 위쪽 네 변에 각각 붙인 도형을 [eqn: A_3`]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: n`]번째 도형을 [eqn: A_n`]이라 하고 그 넓이를 [eqn: S_n`]이라 하자. [eqn: lim _{n` ->` INF } ` S _{n} = {q} over {p} `]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[05학년도 수능]

⑤

[eqn: l _{1}`]은 반지름의 길이가 [eqn: 8`], 중심각의 크기가 [eqn: theta `]인 호의 길이이므로 [eqn: l _{1} =8 theta `]이다.

또, [eqn: l _{2} `]는 반지름의 길이가 [eqn: 8`sin`` theta `], 중심각의 크기가 [eqn: theta `]인 호의 길이이므로

[eqn: l _{2} =8` theta `sin`` theta `]이다.

마찬가지로 [eqn: l _{3} =8` theta `sin ^{2} `` theta `,``l _{4} =8` theta `sin ^{3} `` theta `,``cdots`]

따라서 수열 [eqn: left{`l _{n} `right}`]은 첫째항이 [eqn: 8 theta `]이고 공비가 [eqn: sin`` theta `]인 무한등비수열이다.

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `l _{n} = {8 theta } over {1-sin`` theta } =12 theta `]

∴ [eqn: sin`` theta = {1} over {3}`]

그림과 같이 원점 [eqn: O`]와 점 [eqn: A _{1} (0`,``8)`]을 이은 선분 [eqn: OA _{1}`]을 반지름으로 하고, 중심각의 크기가 [eqn: theta`]인 부채꼴 [eqn: OA _{1} B _{1} `]을 그린다. 점 [eqn: B _{1} `]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: A _{2}`]라 하고, 반지름이 선분 [eqn: OA _{2}`]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta `]인 부채꼴 [eqn: OA _{2} B _{2} `]를 그린다. 점 [eqn: B _{2}`]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: A _{3}`]이라 하고, 반지름이 선분 [eqn: OA _{3}`]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta`]인 부채꼴 [eqn: OA _{3} B _{3}`]을 그린다. 이와 같이 시계 방향으로 [eqn: x`]축과 [eqn: y`]축에 번갈아 수선의 발을 내리는 과정을 계속하여 얻은 부채꼴 [eqn: { OA} _{n} `{ B } _{n} `]의 호 [eqn: {A } _{n} ` {B} _{n}`]의 길이를 [eqn: l _{n}`]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF }`l _{n} =12 theta `]일 때, [eqn: sin ``theta `]의 값은?

(단, [eqn: 0 `＜` theta `＜ {pi } over {2 }]이다.)

[06학년도 수능]

① [eqn: 1 over 7]          ② [eqn: 1 over 6]          ③ [eqn: 1 over 5]          ④ [eqn: 1 over 4]          ⑤ [eqn: 1 over 3]

⑤

처음 정사각형 넓이를 [eqn: a _{1}`]이라고 하면 [eqn: a _{1} = {2} over {9}`]

[eqn: bar{ AB } ```:` bar{ CD } =1```:` {sqrt {2 }} over {3}`]이므로

넓이의 비는 [eqn: LEFT ( {sqrt {2 }} over {3} RIGHT ) ^{2}`]이다.

[eqn: THEREFORE ```a _{2} =2 CDOT LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) CDOT LEFT ( {2} over {9} RIGHT )`]

[eqn: THEREFORE ```a _{n}][eqn: =2 ^{n-1} CDOT LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) CDOT LEFT ( {2} over {9} RIGHT ) ^{n-1}][eqn: = {2} over {9} CDOT LEFT ( {4} over {9} RIGHT ) ^{n-1}`]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF }`S _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n}` {2} over {9} CDOT LEFT ( {4} over {9} RIGHT ) ^{k-1}][eqn: = {{2} over {9}} over {1- {4} over {9}} = {2} over {5}`]

아래와 같이 직각을 낀 두 변의 길이가 [eqn: 1`]인 직각이등변삼각형이 있다. 이 직각이등변삼각형의 빗변에 [eqn: 2`]개의 꼭지점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 [eqn: 2`]개의 꼭지점이 있는 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1`]이라 하자. 그림 [eqn: R_1`]에서 합동인 [eqn: 2`]개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에 [eqn: 2`]개의 꼭지점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 [eqn: 2`]개의 꼭지점이 있는 [eqn: 2`]개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2`]라 하자. 그림 [eqn: R_2`]에서 합동인 [eqn: 4`]개의 직각이등변삼각형의 각 빗변에 [eqn: 2`]개의 꼭지점이 있고, 직각을 낀 두 변에 나머지 [eqn: 2`]개의 꼭지점이 있는 [eqn: 4`]개의 정사각형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3`]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n`]에 색칠되어 있는 모든 정사각형의 넓이의 합을 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim from { n` ->` inf }`S_n`]의 값은?

[07학년도 수능]

① [eqn: {3 SQRT { 2`}} over { 20}]        ② [eqn: {SQRT { 2`}} over { 5}]        ③ [eqn: {3} over { 10}]        ④ [eqn: {SQRT { 3`}} over { 5}]        ⑤ [eqn: { 2} over { 5}]

⑤

[eqn: O]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: D]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: 8]

[eqn: 6]

[eqn: bar AC` = 10`,``bar PQ` = 2`]이므로

[eqn: bar AP `= 1over2 (10-2) = 4`]

따라서,  모양의 닮은 도형들을 크기순으로 나열할 때, 인접하는 두 도형의 닮음비는 [eqn: 10```: `4 = 5```:` 2`]이고, 넓이의 비는 [eqn: 25```:`4`]이다.

[eqn: R_1`]에 있는 원의 넓이는 [eqn: pi`]이고, 닮은꼴의 원의 개수는 크기순으로 [eqn: 1` ,`` 4` , ``4^2 `, ``4^3` , ``cdots`]이므로

[eqn: lim_{n`->`inf}`S_n = pi + 4 × 4over25 pi + 4^2 × left( 4 over25 right)^2 pi][eqn: + 4^3 × left( 4over25 right)^3 pi +`` cdots`]

[eqn: = pi over{ 1- 16 over 25}][eqn: = 25 over 9 pi]

아래와 같이 가로의 길이가 [eqn: 6`]이고 세로의 길이가 [eqn: 8`]인 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 직사각형 가로 길이의 [eqn: {1 } over {3 }`]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_1`]이라 하자.

그림 [eqn: R_1`]에서 직사각형의 각 꼭지점으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 [eqn: 4`]개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 [eqn: {1 } over {3 }`]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_2`]라 하자.

그림 [eqn: R_2`]에 있는 합동인 [eqn: 4`]개의 직사각형 각각에서 각 꼭지점 으로부터 대각선과 원의 교점까지의 선분을 각각 대각선으로 하는 [eqn: 4`]개의 직사각형을 그린 후, 새로 그려진 직사각형 내부에 두 대각선의 교점을 중심으로 하고, 새로 그려진 직사각형 가로 길이의 [eqn: {1 } over {3 }]을 지름으로 하는 원을 그려서 얻은 그림을 [eqn: R_3`]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n`]에 있는 모든 원의 넓이의 합을 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n`->`inf}` { S_n }`]의 값은? (단, 모든 직사각형의 가로와 세로는 각각 서로 평행하다.)

[08학년도 수능]

① [eqn: {37 } over {9 } pi]        ② [eqn: {34 } over {9 } pi]        ③ [eqn: {31 } over {9 } pi]        ④ [eqn: {28 } over {9 } pi]        ⑤ [eqn: {25 } over {9 } pi]

③

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: Q_2]

[eqn: Q_1]

[eqn: P_2]

[eqn: P_1]

[eqn: C_2]

[eqn: C_1]

[eqn: l]

원[eqn: C_1`,``C_2`]의 중심을 각각 [eqn: Q_1 `, ``Q_2`]라 하자.

[eqn: △OP_1 Q_1`]에서 [eqn: bar OP_1 = root{ 4^2 -1^2} = root15`]

이고, 이므로 [eqn: TRIANGLE O P _{1} Q _{1} `∾` TRIANGLE O P _{2} Q _{2} `]

[eqn: bar OP_1 ``` :`bar {P_1 Q_1 } = bar OP_2```:` bar{ P_2 Q_2 }`]

[eqn: root15 ```:`1 = 3` `:` bar {P_2 Q_2}`]

∴ [eqn: bar {P_2 Q_2} = 3over root15`]

따라서, [eqn: △OP_1 Q_1`]과 [eqn: △OP_2 Q_2`]의 닮음비는

[eqn: bar {P_1 Q_1 }```:`bar{ P_2 Q_2 } = 1```:` 3 over root15`]

이므로 넓이의 비는 [eqn: 1```: `9 over 15 = 1```:`3over5`]이다.

원 [eqn: C_1`]의 넓이는 [eqn: S_1 = pi`]이므로

[eqn: sum_n=1^inf``S_n = S_1 + S_2 + S_3 + ``cdots`]

[eqn: = S_1 + 3over5 S_1 + left( 3over5 right)^2 S_1 +`` cdots`]

[eqn: = S_1 over{ 1- 3over5 }][eqn: = 5over2 S_1][eqn: = 5over2 pi`]

좌표평면에 원 [eqn: C_1 ```:`(x-4)^2 + y^2 =1`]이 있다. 그림과 같이 원점에서 원 [eqn: C_1`]에 기울기가 양수인 접선 [eqn: l`]을 그었을 때 생기는 접점을 [eqn: P_1`]이라 하자. 중심이 직선 [eqn: l`]위에 있고 점 [eqn: P_1`]을 지나며 [eqn: x`]축에 접하는 원을 [eqn: C_2`]라 하고 이 원과 [eqn: x`]축의 접점을 [eqn: P_2`]라 하자. 중심이 [eqn: x`]축 위에 있고 점 [eqn: P_2`]를 지나며 직선 [eqn: l`]에 접하는 원을 [eqn: C_3`]이라 하고 이 원과 직선 [eqn: l`]의 접점을 [eqn: P_3`]이라 하자. 중심이 직선 [eqn: l`]위에 있고 점 [eqn: P_3`]을 지나며 [eqn: x`]축에 접하는 원을 [eqn: C_4`]라 하고 이 원과 [eqn: x`]축의 접점을 [eqn: P_4`]라 하자.

이와 같은 과정을 계속할 때, 원 [eqn: C_n`]의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 하자. [eqn: sum_{n=1 }^INF `S_n`]의 값은? (단, 원 [eqn: C_n+1`]의 반지름의 길이는 원 [eqn: C_n`]의 반지름의 길이보다 작다.)

[09학년도 수능]

① [eqn: {3 }over{2 } pi]          ② [eqn: 2`pi]          ③ [eqn: {5 }over{2 } pi]          ④ [eqn: 3` pi]          ⑤ [eqn: {7 }over{2 } pi]

④

원 [eqn: O_2`]의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: bar {A_1 C_2} + bar{A_2 C_1 }-bar{A_2 C_2}=bar{A_1 C_1}`]이므로

[eqn: 3sqrt2 + 3sqrt2 - 2r =6`]

∴ [eqn: r=3sqrt2 -3`]

따라서 반복되어지는 도형의 닮음비는

[eqn: 3``:(3sqrt2 -3) = 1``:(sqrt2 -1)`]

이므로 넓이의 비는

[eqn: 1``:(sqrt2 -1 )^2 = 1``:(3-2sqrt2 )`]

그러므로 수열 [eqn: left{S_n +T_n right}`]은 공비가 [eqn: {3-2sqrt2}`]인 등비수열이다. 이 때 첫째항 [eqn: S_1 + T_1`]의 값은

[eqn: pi cdot 3^2 - 2 times left{ 1 over 2 cdot (3sqrt2 )^2 cdot pi over 2 - 1 over 2 cdot (3sqrt2 )^2 right}][eqn: =18]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (S _{n} +T _{n} )= {18} over {1-{ (3-2 sqrt 2 )}}]

[eqn: = 18 over{2sqrt2 -2}][eqn: = 9 over {sqrt2 -1} = 9(sqrt2 +1 )]

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 원 [eqn: O_1`]을 그리고, [eqn: O_1`]이 좌표축과 만나는 네 점을 각각 [eqn: A_1 (0`,``3)`], [eqn: B_1 (-3`,``0)`], [eqn: C_1 (0`,``-3)`], [eqn: D_1 (3`,``0)`]이라 하자. 두 점 [eqn: B_1`], [eqn: D_1`]을 모두 지나고 두 점 [eqn: A_1`], [eqn: C_1`]을 각각 중심으로 하는 두 원이 원 [eqn: O_1`]의 내부에서 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: C_2`], [eqn: A_2`]라 하자. 호 [eqn: B_1` A_1 `D_1`]과 호 [eqn: B_1` A_2` D_1`]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_1`], 호 [eqn: B_1` C_1 `D_1`]과 [eqn: B_1 `C_2 `D_1`]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: T_1`]이라 하자.

선분 [eqn: A_2 `C_2`]를 지름으로 하는 원 [eqn: O_{2}`]를 그리고, [eqn: O_2`]가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: B_2`], [eqn: D_2`]라 하자. 두 점 [eqn: B_2`], [eqn: D_2`]를 모두 지나고 두 점 [eqn: A_2`], [eqn: C_2`]를 각각 중심으로 하는 두 원이 원 [eqn: O_2`]의 내부에서 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: C_3`], [eqn: A_3`]이라 하자. 호 [eqn: B_2 `A_2 `D_2`]와 호 [eqn: B_2 `A_3 `D_2`]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_2`], [eqn: B_2 `C_2 `D_2`]와 호 [eqn: B_2 `C_3 `D_2`]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: T_2`]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 호 [eqn: B_{ n}` A_{ n} `D_{ n}`]과 호 [eqn: B_{ n}` A_{ n+1}` D_{ n}`]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_n`], 호 [eqn: B_{ n} `C_{ n} `D_{ n}`]과 호 [eqn: B_{ n}` C_{ n+1} `D_{ n}`]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: T_n`]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf `(S_n + T_n )`]의 값은?

[10학년도 수능]

① [eqn: 6 left(sqrt2 +1 right)]   ② [eqn: 6 left(sqrt3 +1 right)]   ③ [eqn: 6 left(sqrt5 +1 right)]   ④ [eqn: 9 left(sqrt2 +1 right)]   ⑤ [eqn: 9 left(sqrt3 +1 right)]

②

문제의 그림에서 [eqn: bar{ M_1 M_2 }` = 1`], [eqn: bar{ B_2 M _2 }` = 1 overroot3`]

[eqn: therefore``` bar {A_1 B_2}` =1 - 1 overroot3`]

[eqn: S_1 = 2 times LEFT ( 1 over2 times LEFT ( 1- 1 overroot3 RIGHT ) times 1 RIGHT ) = 1 - 1 overroot3`]

또, 그림에서 나타나는 직사각형들은 모두 닮음이고 닮음비를 구하면

[eqn: bar{ B_n C_n } ``: `bar{ B_n+1 C_n+1 } `= 1``: 1 overroot3`]

[eqn: therefore```]넓이비 [eqn: S_n : S_n+1 = 1 ``: 1 over3`]

따라서, [eqn: S_n`]은 첫항이 [eqn: 1 - 1 overroot3`], 공비가 [eqn: 1 over3`]인 등비수열이다.

[eqn: sum_n=1 ^inf `S_n = { 1 - 1 overroot3 } over{ 1- 1 over3 } = {3-root3 } over2`]

[eqn: bar{ A_1 B_1 }`=1`], [eqn: bar{B_1 C_1}`=2`]인 직사각형 [eqn: A_1 B_1 C_1 D_1`]이 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: B_1 C_1`]의 중점을 [eqn: M_1`]이라 하고, 선분 [eqn: A_1 D_1`]위에 [eqn: angle A_1 M_1 B_2 =angle C_2 M_1 D_1 = 15DEG`], [eqn: angle B_2 M_1 C_2 = 60DEG`]가 되도록 두 점 [eqn: B_2`,``C_2`]를 정한다. 삼각형 [eqn: A_1 M_1 B_2`]의 넓이와 삼각형 [eqn: C_2 M_1 D_1`]의 넓이의 합을 [eqn: S_1`]이라 하자. 사각형 [eqn: A_2 B_2 C_2 D_2`]가 [eqn: bar{B_2 C_2 } = 2 bar {A_2 B_2}`]인 직사각형이 되도록 그림과 같이 두 점 [eqn: A_2`,``D_2`]를 정한다. 선분 [eqn: B_2 C_2`]의 중점을 [eqn: M_2`]라 하고, 선분 [eqn: A_2 D_2`] 위에 [eqn: angle A_2 M_2 B_3 = angle C_3 M_2 D_2 = 15DEG`], [eqn: angle B_3 M_2 C_3 = 60DEG`]가 되도록 두 점 [eqn: B_3`,``C_3`]을 정한다. 삼각형 [eqn: A_2 M_2 B_3`]의 넓이와 삼각형 [eqn: C_3 M_2 D_2`]의 넓이의 합을 [eqn: S_2`]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: S_n`]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^{inf}` S_n`]의 값은?

[11학년도 수능]

① [eqn: { 2+ root3} over6]     ② [eqn: {3- root3 } over2]     ③ [eqn: {4+ root3 } over9]     ④ [eqn: {5- root3} over5]     ⑤ [eqn: {7- root3 } over8]

②

[eqn: R_1`]의 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 [eqn: 6a`,``2a`]라 하면

[eqn: bar OA` = sqrt{a^2 + 9a^2} = sqrt10 a =1`]

[eqn: therefore```a= 1over sqrt10`]

[eqn: R_n `]의 가장 작은 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n`]이라 하면

[eqn: r_1 =1`], [eqn: r_2 = 1over sqrt10`], [eqn: r_n+1 = 1over sqrt10 r_n`]

각 원에서 색칠된 부분의 넓이는 첫 항이 [eqn: pi - 12over10`], 공비가 [eqn: 1over10`]인 등비수열이고, 개수는 [eqn: 1`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 4`]개, [eqn: cdots`]의 등비수열을 이루므로

[eqn: S_n = left( pi - 6over5 right) + 2 cdot 1over10 cdot left( pi - 6 over5 right) + 2^2 cdot 1over10 cdot left( pi - 6 over5 right)`]
[eqn: +``cdots`+ 2^n-1 1 over 10^n-1 cdot left( pi - 6over5 right)`]

[eqn: lim_n->inf `S_n = {pi - 6over5 } over{1- 2over10 } = 5pi-6 over4 = 5over4 pi - 3over2`]

반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원이 있다. 그림과 같이 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 [eqn: 3``:`1`]인 직사각형을 이 원에 내접하도록 그리고, 원의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1`]이라 하자. 그림 [eqn: R_1`]에서 직사각형의 세 변에 접하도록 원 [eqn: 2`]개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 [eqn: R_1`]을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2`]라 하자. 그림 [eqn: R_2`]에서 새로 그려진 직사각형의 세 변에 접하도록 원 [eqn: 4`]개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 [eqn: R_1`]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3 `]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n `]에서 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf `S_n`]의 값은?

[4점][12학년도 수능]

① [eqn: 5over4 pi - 5over3]    ② [eqn: 5over4 pi - 3over2]    ③ [eqn: 4 over3 pi - 8 over 5]    ④ [eqn: 5over4 pi -1]    ⑤ [eqn: 4 over3 pi - 16 over15]

③

[eqn: R_n`]에서 새로 만들어지는 모든  모양의 넓이의 합을 [eqn: a_n`]이라 하면 [eqn: S_n =SUM from k=1 to n `a_k`]

[eqn: a_1`]은 반원의 넓이에서 활꼴의 넓이를 빼면 되므로

[eqn: a_1 = 1 over 2 CDOT 1^2 CDOT pi - left{1 over 4 (root2 )^2 pi - 1 over 2 CDOT (root2 )^2 right}=1`]

위의 그림과 같이 [eqn: R_2`]에서 새로 생긴 원의 반지름의 길이를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: x+root2 x=1`]에서 [eqn: x= 1 over {root2 +1} =root2 -1`]

[eqn: THEREFORE ```a _{2} =2 TIMES ( sqrt {2} -1) ^{2} =6-4 sqrt {2}`]

따라서 수열 [eqn: left{`a_n` right}`]은 첫째항이 [eqn: 1`]이고, 공비가 [eqn: 6-4root2`]

인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF }` {S _{n}} = sum _{n=1} ^{INF }` a _{n} = {1} over {1-(6-4 sqrt {2} )} = {1} over {4 sqrt {2} -5}`]

[eqn: = {5+4root2} over 7`]

[다른 풀이]

[그림 [eqn: 1`]]

[eqn: R _{n}`]에서 새로 생긴 작은 원의 반지름을 [eqn: r _{n}`]이라 하고 새로 생긴 작은 원의 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: a _{n}`]이라 하자. [eqn: a _{1}`]은 반원에서 [그림 [eqn: 1`]]의 색칠된 부분의 넓이를 빼면 되므로

[eqn: a _{1} = {1} over {2} pi CDOT 1 ^{2} - LEFT ( {1} over {4} pi ( sqrt {2} ) ^{2} - {1} over {2} CDOT 2 CDOT 1 RIGHT ) =1`]

[그림 [eqn: 2`]]

[그림 [eqn: 2`]]에서

[eqn: sqrt {2} `r _{n+1} +r _{n+1} =r _{n}`]

[eqn: {r _{n+1}} over {r _{n}} = {1} over {sqrt {2} +1} = sqrt {2} -1`]   [eqn: THEREFORE ``` LEFT ( {r _{n+1}} over {r _{n}} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}`]

새로 생기는 작운 원들은 직전 원의 개수의 [eqn: 2`]배씩 생기므로

(공비)[eqn: = {a _{n+1}} over {a _{n}} =2cdot LEFT ( {r _{n+1}} over {r _{n}} RIGHT ) ^{2} =2 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}`]

[eqn: THEREFORE ``` {a _{1}} over {r-1} = {1} over {1-2 LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2}} = {4 sqrt {2} +5} over {7}`]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: AB`]를 지름으로 하는 원 [eqn: O`]가 있다. 원 [eqn: O`]의 중심을 지나고 선분 [eqn: AB`]와 수직인 직선이 원과 만나는 [eqn: 2`]개의 점 중 한 점을 [eqn: C`]라 하자. 점 [eqn: C`]를 중심으로 하고 점 [eqn: A`]와 점 [eqn: B`]를 지나는 원의 외부와 원 [eqn: O`]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}`]이라 하자. 그림 [eqn: R _{1}`]에서 색칠된 부분을 포함하지 않은 원 [eqn: O`]의 반원을 이등분한 [eqn: 2`]개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 [eqn: 2`]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}`]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 [eqn: 2]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}`]라 하자. 그림 [eqn: R _{2}`]에서 새로 생긴 [eqn: 2`]개의 도형에 색칠된 부분을 포함하지 않은 반원을 각각 이등분한 [eqn: 4`]개의 사분원에 각각 내접하는 원을 그리고, 이 [eqn: 4`]개의 원 안에 그림 [eqn: R _{1}`]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 [eqn: 4`]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}`]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n`->` INF }` {S _{n}}`]의 값은?

[4점][13학년도 수능]

① [eqn: {5+2 sqrt {2}} over {7}`]   ② [eqn: {5+3 sqrt {2}} over {7}]   ③ [eqn: {5+4 sqrt {2}} over {7}]   ④ [eqn: {5+5 sqrt {2}} over {7}]   ⑤ [eqn: {5+6 sqrt {2}} over {7}]

③

공비 [eqn: r`]을 구하기 위해 먼저 닮음비 [eqn: {{bar{C _{2} `D _{2}`}}} over {{bar{C _{1}` D _{1}`}}}`]를 구한다.

[eqn: {{bar{ C _{2} `D _{2} `}}} over {{bar{ C _{1}` D _{1} `}}} = {bar{ C _{2} `D _{2} `}} =x`]라 두고

[eqn: D _{2}`]에서 [eqn: {bar{A _{1}` D _{1}`}}`]에서 내린 수선의 발을 [eqn: H`]라 하자.

[eqn: {bar{ B _{1}` M _{1}` } }`]과 [eqn: {bar{ B _{1} `C _{1}`}}`]이 이루는 각이 [eqn: 45 DEG `]이므로

[eqn: {bar{ B _{1}` B _{2} }`} = {bar{ A _{2}` B _{2} }`} =x`,] [eqn: {bar{ B _{2}` C _{2} }`} =2x`,] [eqn: {bar{ HD _{1} }`} =2-3x`,]

[eqn: {bar{ HD _{2} }`} =1-x`]가 되고

[eqn: {bar{HD _{1}}`} ^{2} + {bar{HD _{2}}`} ^{2} = {bar{D _{1} D _{2}}`} ^{2} =1`]에서

[eqn: (2-3x) ^{2} +(1-x) ^{2} =1`,] [eqn: 5x ^{2} -7x+2=0`,]

[eqn: (5x-2)(x-1)=0`]

[eqn: THEREFORE ```x= {2} over {5}`,``1`]

[eqn: x != 1`]이므로 [eqn: x= {2} over {5}`]

따라서 넓이의 비는 [eqn: {4} over {25}`]이고 이것이 공비 [eqn: r`]이다.

첫째항은 [eqn: R _{1}`]의 넓이이므로 [eqn: S _{1} = LEFT ( {pi } over {4} - {1} over {2} RIGHT ) TIMES 2= {pi } over {2} -1`]

[eqn: THEREFORE ```S= {{pi} over {2} -1} over {1- {4} over {25}} = {25} over {21} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )`]

직사각형 [eqn: A _{1}` B _{1}` C _{1}`D _{1}`]에서 [eqn: {bar{ A _{1} B _{1}`}} =1`,] [eqn: {bar{ A _{1} D _{1}`}} =2`]이다. 그림과 같이 선분 [eqn: A _{1} D _{1}`]과 선분 [eqn: B _{1} C _{1}`]의 중점을 각각 [eqn: M _{1}` ,``N _{1}`]이라 하자. 중심이 [eqn: N _{1}`,] 반지름의 길이가 [eqn: {bar{ B _{1} N _{1}`}}`]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}`]인 부채꼴 [eqn: N _{1}` M _{1} `B _{1}`]을 그리고, 중심이 [eqn: D _{1}`], 반지름의 길이가 [eqn: {bar{ C _{1} D _{1}`}}`]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}`]인 부채꼴 [eqn: D _{1} `M _{1}` C _{1}`]을 그린다. 부채꼴 [eqn: N _{1} `M _{1}` B _{1}`]의 호 [eqn: M _{1}` B _{1}`]과 선분 [eqn: M _{1} `B _{1}`]로 둘러싸인 부분과 부채꼴 [eqn: D _{1} `M _{1} `C _{1}`]의 호 [eqn: M _{1}` C _{1}`]과 선분 [eqn: M _{1} `C _{1}`]로 둘러싸인 부분인  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}`]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}`]에 선분 [eqn: M _{1} `B _{1}`] 위의 점 [eqn: A _{2}`,] 호 [eqn: M _{1} `C _{1}`] 위의 점 [eqn: D _{2}`]와 변 [eqn: B _{1} `C _{1}`] 위의 두 점 [eqn: B _{2}` ,``C _{2}`]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: {bar{A _{2} B _{2}`}} `:` {bar{A _{2} D _{2}`}} =1`:`2`]인 직사각형 [eqn: A _{2} `B _{2} `C _{2}`D _{2}`]를 그리고, 직사각형 [eqn: A _{2} `B _{2} `C _{2}` D _{2}`]에서 그림 [eqn: R _{1}`]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}`]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } `{S _{n}}`]의 값은?

[4점][14학년도 수능]

① [eqn: {25} over {19} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]   ② [eqn: {5} over {4} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]   ③ [eqn: {25} over {21} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]   ④ [eqn: {25} over {22} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]   ⑤ [eqn: {25} over {23} LEFT ( {pi} over {2} -1 RIGHT )]

[수열의 극한]  수능 기출 해설