[eqn: 2 ^{{1} over {2}} times4 ^{{3} over {4}}]의 값은? [2점]

2014학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

수학 영역(A형)

수학 영역(A형)

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`-1&~1`#~~`2&~3`}}], [eqn: B`= {pmatrix{~~`3&~1`#`-2&~0`}}]에 대하여 행렬 [eqn: 2A-B`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {2n ^{2} +1} over {3n ^{2} +n}}]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 1]의 개수는? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

12

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1&~2`#`0&~1`}}]에 대하여 [eqn: AXA`=E`]를 만족시키는 행렬 [eqn: X`]는? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: {pmatrix{`1&~-4`#`0&~~~1`}}]	② [eqn: {pmatrix{`~~1&~0`#`-4&~1`}}]	③ [eqn: {pmatrix{`1&~-2`#`0&~~~1`}}]

④ [eqn: {pmatrix{`1&~0`#`2&~1`}}]	⑤ [eqn: {pmatrix{`1&~4`#`0&~1`}}]

로그부등식

[eqn: log _{`3} ` LEFT ( x+1 RIGHT ) `+`log _{`3} ` LEFT ( x-5 RIGHT ) `<`3]

을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{1} a _{3} = {1} over {36}], [eqn: a _{5} = {4} over {81}]

일 때, [eqn: a _{4}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {27}]	② [eqn: {2} over {27}]	③ [eqn: {1} over {9}]

④ [eqn: {4} over {27}]	⑤ [eqn: {5} over {27}]

지수방정식 [eqn: 9 ^{x} -11 TIMES 3 ^{x} +28=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: 9 ^{alpha } +9 ^{`beta }]의 값은? [3점]

① [eqn: 59]	② [eqn: 61]	③ [eqn: 63]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 67]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} =`a _{n} +`3n]

을 만족시킨다. [eqn: 2a _{1} =`a _{2} +3]일 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [3점]

① [eqn: 135]	② [eqn: 138]	③ [eqn: 141]

④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 147]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( 2- {a _{n}} over {9 ^{n}} RIGHT ) `=`1]

일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {9 ^{n}} over {2a _{n} +1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

흙의 투수계수는 물이 흙에 침투하는 정도를 나타내는 지표이다. 동일한 흙의 투수계수([eqn: k])는 같은 실험 조건에서 일정하고,
투수 실험 장치에서 처음 물의 높이를 [eqn: h _{1}]([eqn: rm cm]), 실험을 시작한 지 [eqn: t]분 후의 물의 높이를 [eqn: h _{2}]([eqn: rm cm])라 할 때, 다음 식이 성립한다고 한다.

[eqn: k`=` {C`} over {t} ` LEFT ( `log``h _{1} -`log``h _{2} RIGHT )] (단, [eqn: C`]는 양의 상수이다.)

어떤 흙의 투수 실험 장치에서 처음 물의 높이가 [eqn: rm 64``cm]일 때,
실험을 시작한 지 [eqn: 40]분 후의 물의 높이가 [eqn: rm 16``cm]이었고, 실험을
시작한 지 [eqn: x]분 후의 물의 높이가 [eqn: rm 2``cm]이었다. [eqn: x]의 값은? [3점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 140]	⑤ [eqn: 160]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: lim _{x`-> `1+0} {`f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( 1-x RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[13 ∼ 14] 그림과 같이 좌표평면 위의 두 원

[eqn: C _{`1} :`x ^{2} +y ^{2} =1]

[eqn: C _{`2} :` LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =r ^{2}] [eqn: LEFT ( `0`<`r`< sqrt {2} ` RIGHT )]

이 제[eqn: `1`]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 13번과 14번의
두 물음에 답하시오.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm P]

[eqn: C _{`1}]

[eqn: C _{`2}]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: 1]

원 [eqn: C _{`1}]이 [eqn: x]축과 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0]보다 작은 점을 [eqn: rmQ], 원 [eqn: C _{`2}]가 [eqn: x]축과 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]보다 큰 점을 [eqn: rm R]라 하자. [eqn: rm {bar{OP}}], [eqn: rm {bar{OR}}], [eqn: rm {bar{QR}}]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때,
원 [eqn: C _{`2}]의 반지름의 길이는? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: {-2`+ sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: {2`- sqrt {3}} over {2}]	③ [eqn: {-1`+ sqrt {3}} over {2}]

④ [eqn: {-1`+ sqrt {5}} over {2}]	⑤ [eqn: {3`- sqrt {3}} over {2}]

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f LEFT ( r RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{r` -> sqrt {2} -0} {{f LEFT ( r RIGHT )} over {``4-r ^{4} ``}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: 1]보다 크고 [eqn: 10]보다 작은 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[eqn: {log _{`c} `b} over {log _{`a} `b} `=` {1} over {2}],   [eqn: {log` _{b} `c} over {log` _{a} `c} `=` {1} over {3}]

일 때, [eqn: a+2b+3c]의 값은? [4점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고,

[eqn: a _{n+1} = LEFT ( {n ^{2} -1} over {n ^{2}} RIGHT ) ^{2} a _{n} + {2n+1} over {n ^{4}}] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다.

주어진 식의 양변에 [eqn: LEFT ( {n} over {n+1} RIGHT ) ^{2}]을 곱하면

[eqn: LEFT ( {n} over {n+1} RIGHT ) ^{2} a _{n+1} =` LEFT ( {n-1} over {n} RIGHT ) ^{2} a _{n} +` {BOX{~~(가) _{`} ^{{} ^{`}} ~~}} `]

이다. [eqn: b _{n} =` LEFT ( {n-1} over {n} RIGHT ) ^{2} a _{n}]이라 하면, [eqn: b _{1} =`0]이고

[eqn: b _{n+1} =`b _{n} + {1} over {n ^{2}} `-`` {BOX{~~(나) _{`} ^{{} ^{`}} ~~}} ^{`} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

이다. 수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]의 일반항을 구하면

[eqn: b _{`n} =` {BOX{~~(다) _{`} ^{{} ^{`}} ~~}} ``] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

이다. 그러므로

[eqn: a _{n} =` {cases{``1 _{{} _{`}}&~ LEFT ( n=1 RIGHT )#`` {BOX{~~(다) _{`} ^{{} ^{`}} ~~}} ` TIMES LEFT ( {n} over {n-1} RIGHT ) ^{2}&~ LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )}}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )], [eqn: h LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: {f LEFT ( 1 RIGHT ) ` TIMES `h LEFT ( 4 RIGHT )} over {g LEFT ( 7 RIGHT ) ^{`}}]의 값은? [4점]

① [eqn: 39]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 45]	④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 51]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` lim _{n` -> ` INF } {` {x ^{2n+1} +ax ^{2} +bx-2} over {x ^{2n} +1}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]이 있다.
네 선분 [eqn: rmA_1 B_1], [eqn: rmB_1 C_1], [eqn: rmC_1 D_1], [eqn: rmD_1 A_1]을 각각 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을
각각 [eqn: rmE_1], [eqn: rmF_1], [eqn: rmG_1], [eqn: rmH_1]이라 하고, 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]의 네 꼭짓점을
중심으로 하고 네 선분 [eqn: rmA_1 E_1], [eqn: rm B _{1} F _{1}], [eqn: rmC_1 G_1], [eqn: rmD_1 H_1]을 각각 반지름으로 하는 [eqn: 4]개의 사분원을 잘라내어 얻은  모양의 도형을 [eqn: R_1]이라 하자.
정사각형 [eqn: rmE_1 F_1 G_1 H_1]과 도형 [eqn: R_1]과의 교점 중 정사각형 [eqn: rmE_1 F_1 G_1 H_1]의
꼭짓점이 아닌 [eqn: 4]개의 점을 [eqn: rmA_2], [eqn: rmB_2], [eqn: rmC_2], [eqn: rmD_2]라 하자. 정사각형[eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에서 네 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}], [eqn: rm B _{2} C _{2}], [eqn: rm C _{2} D _{2}], [eqn: rm D _{2} A _{2}]를 각각 [eqn: 1:2]로
내분하는 점을 각각 [eqn: rm E _{2}], [eqn: rm F _{2}], [eqn: rm G _{2}], [eqn: rm H _{2}]라 하고, 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]의
네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 [eqn: rm A _{2} E _{2}], [eqn: rm B _{2} F _{2}], [eqn: rm C _{2} G _{2}], [eqn: rm D _{2} H _{2}]를 각각 반지름으로 하는 [eqn: 4]개의 사분원을 잘라내어 얻은  모양의
도형을 [eqn: R _{2}]라 하자.
정사각형 [eqn: rm E _{2} F _{2} G _{2} H _{2}]에서 도형 [eqn: R _{2}]를 얻는 것과 같은 방법으로 얻은
모양의 도형을 [eqn: R _{3}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은  모양의 도형 [eqn: R_n]의
넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF }S_n]의 값은? [4점]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmC_2]

[eqn: rmD_2]

[eqn: rmE_1]

[eqn: rmF_1]

[eqn: rm G _{1}]

[eqn: rmE_2]

[eqn: rm H _{1}]

[eqn: rm F _{2}]

[eqn: rm G _{2}]

[eqn: rm H _{2}]

[eqn: cdots]

① [eqn: {39} over {32} LEFT ( 9- pi RIGHT )]	② [eqn: {5} over {4} (9- pi )]	③ [eqn: {21} over {16} (9- pi )]

④ [eqn: {11} over {8} (9- pi )]	⑤ [eqn: 45over32 (9-pi)]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 곡선 [eqn: y=2 ^{x}] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P _{it n rm} LEFT ( it `n,``2 ^{n} ` RIGHT )]이 있다. 점 [eqn: rm P _{it n rm}]을 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{it n rm}]이라 하자.
삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} OQ _{it n rm}]의 넓이를 [eqn: S _{`n}]이라 할 때, [eqn: 2 sum _{n=1} ^{5} `S _{`n}]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: y=log _{`2} `x]

[eqn: rm P _{it n rm}]

[eqn: rm Q _{itn}]

① [eqn: 1309]	② [eqn: 1311]	③ [eqn: 1313]

④ [eqn: 1315]	⑤ [eqn: 1317]

그림과 같이 함수 [eqn: y= LEFT | x ^{2} -9 RIGHT |]의 그래프가 직선 [eqn: y=k]와
서로 다른 네 점에서 만날 때, 네 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4] 라 하자. 네 수 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: a _{1} <a _{2} <a _{3} <a _{4}]) [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: a _{1}]

[eqn: a _{2}]

[eqn: a _{3}]

[eqn: a _{4}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= LEFT | x ^{2} -9 RIGHT |]

[eqn: y=k]

① [eqn: {34} over {5}]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 36 over 5]	④ [eqn: {37} over {5}]	⑤ [eqn: {38} over {5}]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: B ^{2} +AB+B=E], [eqn: A ^{2} +2A=O]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: AB=BA] ㄴ. [eqn: LEFT ( A+E` RIGHT ) ^{-1} =A+E] ㄷ. [eqn: B-A-E`]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: `n]항까지의 합 [eqn: S _{`n}]이 [eqn: S _{`n} =`3 ^{n} -1]
일 때, [eqn: a _{3}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{`a-5&`````4`#`2&`````a-7`}} LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT ) `=` LEFT ( pile{`0`#`0`} RIGHT )]

이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱을 구하시오. [3점]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> `-2} {` {x+2} over {sqrt {x+a} `-`b}} `=`6]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. [3점]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]가 [eqn: 3 ^{a-1} =`2], [eqn: 6 ^{2b} =`5]를 만족시킬 때, [eqn: 5 ^{{1} over {ab}}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: x]에 대한 부등식

[eqn: (3 ^{x+2} -1)(3 ^{x-p} -1) LEQ 0]

을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 20]일 때, 자연수 [eqn: p]의 값을 구하시오. [4점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= {6 ^{n}} over {x}] 위의 점 중에서
[eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} `a _{n}]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n]을 [eqn: C _{`n}]이라 하고, 직선 [eqn: y= sqrt {3} x] 위의 점 중에서 원점 [eqn: rmO]로부터 거리가 [eqn: n+2]인 점을 [eqn: rm P _{it n rm}], 점 [eqn: rm P _{it n rm}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{it n rm}]이라 하자.
삼각형 [eqn: rm P _{it n rm} OQ _{it n rm}]의 내부와 원 [eqn: C _{`n}]의 외부의 공통부분의 넓이를 [eqn: S _{`n}]이라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {n ^{2}} over {`S _{`n}}} `=`a]일 때, [eqn: 3a ^{2}]의 값을 구하시오.
(단, 점 [eqn: rmP _{itn}]은 제[eqn: `1`]사분면 위의 점이다.) [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= sqrt {3} `x]

[eqn: C _{`n}]

[eqn: rm P _{it n rm}]

[eqn: rm Q _{it n rm}]

[eqn: sqrt {n}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: -1 LEQ x<1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= LEFT | 2x RIGHT |]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) `=`f LEFT ( x RIGHT )]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 함수 [eqn: y=log _{`2n} `x]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.
[eqn: sum _{n=1} ^{7} `a _{n}]의 값을 구하시오. [4점]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log``x]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) `+`g LEFT ( b RIGHT ) `=` {9} over {4}]

(나) [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) `=`g LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) `+`g LEFT ( b RIGHT )]

(다) [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) `=`f LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) `+`f LEFT ( a ^{5} RIGHT )]

[eqn: ab=10 ^{{n} over {m}}]일 때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.