고 2	수학 영역 (나형)

	수학 영역 (나형)	고 2

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2017학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (나형)

제 2 교시

5 지 선 다 형

1. [eqn: 27 TIMES 3 ^{-2} `]의 값은? [[eqn: 2]점]

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 9]	④	[eqn: 27]	⑤	[eqn: 81]

2. 두 집합

[eqn: A= LEFT { 1,~3,~5,~7,~9 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,~3,~5,~7,~11 RIGHT } `]

에 대하여 [eqn: n` LEFT ( A` SMALLINTER B`` RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 2]점]

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2`]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4`]	⑤	[eqn: 5]

3. [eqn: lim _{n `->` INF } {{8n ^{2} +1} over {2n ^{2} +3n}} `]의 값은? [[eqn: 2]점]

①	[eqn: 1`]	②	[eqn: 2`]	③	[eqn: 3`]	④	[eqn: 4`]	⑤	[eqn: 5`]

4. [eqn: log` _{3} `9+log` _{3} ` sqrt {3} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 1over2]	②	[eqn: 1]	③	[eqn: {3} over {2}]	④	[eqn: 2]	⑤	[eqn: {5} over {2}]

5. [eqn: sum _{k=1} ^{5} ` LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} - sum _{k=1} ^{5} ` LEFT ( k ^{2} +k` RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 12]	②	[eqn: 14]	③	[eqn: 16]	④	[eqn: 18]	⑤	[eqn: 20]

6. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x` ->` 1-} {f(x)`+ lim _{x` -> `2+} {f(x)}}`]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

7. 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 4a+ {1} over {a} +1`]의 최솟값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 5]	②	[eqn: 6]	③	[eqn: 7]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 9]

8. 그림과 같이 집합 [eqn: LEFT { x`|`x GEQ 2 RIGHT } `]에서 정의된 무리함수 [eqn: y=`- sqrt {2x+a} +3`]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 2`,```b RIGHT ) `]를 지날 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [[eqn: 3]점]

[eqn: y=`- sqrt {2x+a} +3]

[eqn: rm O]

[eqn: b]

[eqn: 2]

[eqn: y]

[eqn: x]

①	[eqn: -2]	②	[eqn: -1]	③	[eqn: 0]	④	[eqn: 1]	⑤	[eqn: 2]

9. 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: a _{`2} =2 sqrt {2} ``],  [eqn: a _{`4} `:`a _{`7} `=`1:`2 sqrt {2} `]

일 때, [eqn: a _{`8} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 8]	②	[eqn: 8root2]	③	[eqn: 16]	④	[eqn: 16 sqrt {2} `]	⑤	[eqn: 32]

10. 첫째항이 [eqn: {2} over {5} `]인 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{`n+1} = {cases{eqalign{```````2a _{`n} `# `}&eqalign{```````(``a _{`n} LEQ 1`)# }#-a _{`n} +2&```````(``a _{`n} >1``)}} `]

을 만족시킨다. [eqn: a _{4} +a _{17} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: {6} over {5}]	②	[eqn: {8} over {5}]	③	[eqn: 2]	④	[eqn: 12over5]	⑤	[eqn: {14} over {5}]

11. 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]의 일반항은 [eqn: a _{`n} =log _{} `LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) `]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{99} a _{`n} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

12. 전체집합 [eqn: LEFT . U`=` LEFT { ``x`` LEFT | ` RIGHT . x` RIGHT .]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: LEFT . ` RIGHT } `]의 부분집합 [eqn: LEFT . A`=` LEFT { ``x`` LEFT | ` ` x` RIGHT .]는 [eqn: 10`]의 약수[eqn: LEFT . ` RIGHT } `]에 대하여

[eqn: LEFT ( X-A` RIGHT ) SUBSET LEFT ( A-X` RIGHT ) `]

를 만족시키는 [eqn: U`]의 모든 부분집합 [eqn: X`]의 개수는? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 4]	②	[eqn: 8]	③	[eqn: 16]	④	[eqn: 32]	⑤	[eqn: 64]

13. [eqn: 0`]이 아닌 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: log _{` {2}} ` LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT ) ``=`1`+`log` _{2} ` LEFT ( a ^{2} -ab+b ^{2} RIGHT ) ``]

일 때, [eqn: {b}over{a}+{a}over{b}`]의 값은? [[eqn: 3]점]

①	[eqn: 1]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 5]	④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 9]

14. 집합 [eqn: LEFT { x`|`x`>`0` RIGHT } `]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)`=` lim _{n` -> ` INF } {{ax ^{n+1} -2a-1} over {2x ^{n} +3}} `]

이 [eqn: x=1`]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 4]점]

①	[eqn: - {6} over {7}]	②	[eqn: - {5} over {7}]	③	[eqn: - {4} over {7}]	④	[eqn: - {3} over {7}]	⑤	[eqn: - {2} over {7}]

15. 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: 2 ^{`a} =3 ^{`b} `],  [eqn: (a-2)(b-2)=4`]

일 때, [eqn: 4 ^{a`} TIMES ``3 ^{-b} `]의 값은? [[eqn: 4]점]

①	[eqn: 12]	②	[eqn: 18]	③	[eqn: 36]	④	[eqn: 54]	⑤	[eqn: 72]

16. 다항함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3)`]의 값은?

[[eqn: 4]점]

	(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {f` LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2}} over {3`x ^{2} `+`2x`+5}} `=` {1} over {3} ``] (나) [eqn: lim _{x` -> ``0} {` {f` LEFT ( x RIGHT )} over {x` ^{2} `+`x}} `=`-1`]

①	[eqn: 11]	②	[eqn: 12]	③	[eqn: 13]	④	[eqn: 14]	⑤	[eqn: 15]

17. 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]과 곡선 [eqn: y= sqrt {x+1} `]이 직선 [eqn: x=t``(0<t<1)`]과 제[eqn: 1 `]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OPQ`]의 넓이를 [eqn: S(t)`]라 할 때, [eqn: lim _{t` -> `0+} {{S(t)} over {t ^{2}}} `]의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [[eqn: 4]점]

①	[eqn: {1} over {8}]	②	[eqn: {1} over {4}]	③	[eqn: {3} over {8}]	④	[eqn: { 1} over {2 }]	⑤	[eqn: 5over8]

[eqn: rmO]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmP]

[eqn: y=root{x+1}]

[eqn: x=t]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]

18. 다음은 [eqn: 3 `]이 아닌 양수 [eqn: p`]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n}} over {(p+3) ^{n}} = {p ^{2} +3p+ {BOX{~(다)~}}} over {3p} `]

가 성립함을 보이는 과정이다.

	[eqn: p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n} `]은 첫째항이 [eqn: p ^{n} `], 공비가 [eqn: box{~(가)~}}`]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: (n+1)`]항까지의 합이고, [eqn: p!=3 `]이므로 [eqn: p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n} `] [eqn: = {p ^{n+1} -3 ^{n+1}} over {{BOX{~(나)~}}} `] 이다. [eqn: 0< {p} over {p+3} <1`], [eqn: 0< {3} over {p+3} <1`]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n}} over {(p+3) ^{n}} `] [eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n+1} -3 ^{n+1}} over {left(`{BOX{~(나)~}}`right) ` TIMES (p+3) ^{n}} `] [eqn: = {1} over {{BOX{~(나)~}}} LEFT { `p` sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {p} over {p+3} RIGHT ) ^{n} -`3 sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {p+3} RIGHT ) ^{n} ` RIGHT } `] [eqn: = {p ^{2} +3p+ {BOX{~(다)~}}} over {3p} `] 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( `p` RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( `p` RIGHT ) `]라 하고,
(다)에 알맞은 수를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: f(`k`) TIMES g(`k`)`]의 값은? [[eqn: 4]점]

①	[eqn: 2]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 10]

19. 그림과 같이 길이가 [eqn: 4`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm O`]라 하고, 호 [eqn: rm AB`] 위에 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]를 [eqn: ANGLE rm `POA= ANGLE rm `BOQ=30 DEG]가 되도록 잡는다.
부채꼴 [eqn: rm POQ`]의 내부에서 점 [eqn: rm P`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm PO`]를 반지름으로 하는 원의 내부와 점 [eqn: rm Q`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm QO`]를 반지름으로 하는 원의 내부의 공통부분을 제외한  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 지름의 양 끝점이 선분 [eqn: RMAB] 위에 있고 선분 [eqn: rm PO`]와 선분 [eqn: rm QO`]에 각각 접하는 가장 큰 반원을 그린다. 새로 그려진 [eqn: 2`]개의 반원에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로   모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}}]의 값은? [[eqn: 4]점]

[eqn: rmO] [eqn: rm B] [eqn: rm A] [eqn: rm Q] [eqn: rm P]	[eqn: rmO] [eqn: rm B] [eqn: rm A] [eqn: rm Q] [eqn: rm P]
[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]
[eqn: rmO] [eqn: rm B] [eqn: rm A] [eqn: rm Q] [eqn: rm P]	[eqn: CDOTS]
[eqn: R _{3}]	[eqn: CDOTS]

	①	[eqn: {15 sqrt {3}} over {7}]	②	[eqn: {16 sqrt {3}} over {7}]	③	[eqn: {17 sqrt {3}} over {7}]
	④	[eqn: {18 sqrt {3}} over {7}]	⑤	[eqn: {19 sqrt {3}} over {7}]

20. [eqn: 2`]가 아닌 양수 [eqn: a`]에 대하여 함수

[eqn: f(x)`= {cases{eqalign{`(x-a) ^{2}# }&eqalign{```(x LEQ a)# }#`(x-2)(x-a)`````&````(x>a)}} `]

가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3a)`]의 값은? [[eqn: 4]점]

	(가) [eqn: f(c)`=`0`]인 [eqn: c`]가 [eqn: 0`]과 [eqn: 1+` {a} over {2} `] 사이에 적어도 하나 존재한다. (나) 세 점 [eqn: it (2,~f(2))`], [eqn: (a,~f(a))`], [eqn: it LEFT ( 1+ {a} over {2} ,~f` LEFT ( 1+ {a} over {2} ` RIGHT ) RIGHT ) `] 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 [eqn: 1over8`]이다.

①	[eqn: 2]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 8]	④	[eqn: 16]	⑤	[eqn: 32]

21. 곡선 [eqn: y=x ^{2} `] 위의 점을 [eqn: rm P it rm _{it n rm } `(x _{n} ,~x _{n} ^{```2} )`]이라 하자. 점 [eqn: rm P it rm _{1} (0,~0)`]이고, 직선 [eqn: rm P it rm _{n} rm P it rm _{n+1} `]의 기울기를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다. (단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

	(가) [eqn: a _{1} =3`] (나) [eqn: d>3`]인 상수 [eqn: d`]에 대하여 [eqn: a _{n+1`} =a _{n} +d`] [eqn: left(`][eqn: n=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: CDOTS `][eqn: right)`]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: x _{2} =3`] ㄴ. [eqn: x _{20} =x _{19} +d`] ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( x _{2k+1} -x _{2k} RIGHT ) LEQ 100`]을 만족시키는 [eqn: d`]의 최댓값은 [eqn: 13`]이다.

	①	ㄱ	②	ㄴ	③	ㄱ, ㄷ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

22. 명제

‘[eqn: x=5`]이면 [eqn: x ^{2} =a`]이다.’

가 참이 되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

23. 두 함수

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=`ax`-6`],  [eqn: g` LEFT ( x RIGHT ) `=` {1} over {2} `x`+`b`]

가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =x`]를 만족시킬 때, [eqn: 100(a+b)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [[eqn: 3]점]

24. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {2n} over {12n+3} a _{n} -1 RIGHT ) `]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

25. 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 함수

[eqn: f(x)= {cases{``2x ^{2} +ax+b&```(x<2)#&#``5ax-12&```(x GEQ 2)}} `]

가 [eqn: x=2`]에서 미분가능할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

26. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건

[eqn: p``:`` LEFT | `x- {3} over {2} ` RIGHT | LEQ a`] ,

[eqn: q``:``2x ^{2} -x-6 LEQ 0]

에 대하여 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 양수 [eqn: a`]의 최솟값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

27. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: (7-2n) ^{3} `]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{100} f(n)`]의 값을 구하시오.

[[eqn: 4]점]

28. 그림과 같이 함수 [eqn: f(x)= {2x} over {6x-9} `]의 그래프 위의 점 중에서 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점을 [eqn: rm P`], 제[eqn: 4`]사분면에 있는 점을 [eqn: rm Q`]라 할 때, 점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rm Q`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C`], [eqn: rm D`]라 하자.
두 사각형 [eqn: rm OAPB`], [eqn: rm ODQC`]가 정사각형일 때, [eqn: {bar{rm OP it}} `:` {bar{rm OQ it}} `=`m`:`n`]이다. [eqn: m+n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: m`], [eqn: n`]은 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4]점]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmO]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

29. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]과 두 정수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A it (a,~b)`], [eqn: rm B it (0,~2)`], [eqn: rm C it (0,~2 ^{n} )`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC`]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: ANGLE rm B it =90 DEG]인 직각삼각형이다. (나) [eqn: |`ab`| LEQ 2 ^{n+1} `]

위의 조건을 만족시키는 모든 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 합을 [eqn: S _{`n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{S _{n}} over {`8 ^{n-2}}} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

30. 세 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)=a(x-b) ^{2} +c`]
라 하고, 함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)= {cases{``f(x)`````````````(x GEQ 0)##``f(-x)``````(x<0)}}]

이라 하자. 실수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: y=t`]가 곡선 [eqn: y=g(x)`]와 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h(t)`]라 할 때, 함수 [eqn: h(t)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: h(2)`<`h(-1)`<`h(0)`] (나) 함수 [eqn: (t ^{2} -t)h(t)`]는 모든 실수 [eqn: t`]에서 연속이다.

[eqn: 80`f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.