2008 경찰대학 시험 해설	수리 영역

수리 영역

1. ③	2. ④	3. ⑤	4. ②	5. ①

6. ②	7. ④	8. ⑤	9. ②	10. ①

11. ④	12. ④	13. ②	14. ③	15. ③

16. ①	17. ⑤	18. ②	19. ④	20. ③

21. ①	22. ④	23. ⑤	24. ②	25. ①

1. 수와 연산

정답 ③

[eqn: z=a+bi]([eqn: a,b]는 실수)

[eqn: iz over z-6 = i(a+bi)over(a+bi)-6 = -b+ai over (a-6)+bi]

[eqn: = {(-b+ai) LEFT { (a-6)-bi RIGHT }} over {LEFT { (a-6)+bi RIGHT } LEFT { (a-6)-bi RIGHT }}]

[eqn: = {LEFT { ab-b(a-6) RIGHT }+(a^2 -6a+b^2 )i} over (a-6)+b^2] ……㉠

따라서 ㉠이 실수이므로 [eqn: a^2 -6a+b^2 =0] 이다.

2. 수와 연산

정답 ④

[eqn: a ∗b = -log _ {2^a} 2^-b = {b over a} {rm log}_2 2= b over a]

① [eqn: 1∗1=1]

② [eqn: 1∗2=2]

③ [eqn: 2∗1 = 1over2]

④ [eqn: 1∗3=3]

⑤ [eqn: 3∗1 = 1over3]

따라서 가장 큰 수는 ④ 이다.

3. 식과 그 연산

정답 ⑤

다항식 [eqn: ax^3 +bx^2 +cx -8]이 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어지므로 다음과 같이 조립제법을 할 수 있다.

[eqn: 1]    [eqn: a]    [eqn: b]        [eqn: c]          [eqn: -8]

[eqn: a]      [eqn: a+b]      [eqn: a+b+c]

[eqn: 1]     [eqn: a]  [eqn: a+b]  [eqn: a+b+c]  | [eqn: a+b+c-8]

[eqn: a]     [eqn: 2a+b]

[eqn: a]  [eqn: 2a+b]  | [eqn: 3a+2b+c]

[eqn: ∴~a+b+c-8=0, ```` 3a+2b+c=0]

두 식을 연립하여 [eqn: c]를 소거하면

[eqn: 2a+b=-8]에서 [eqn: b=-2a-8]

[eqn: 4a^2 +b^2 =4a^2 +(-2a-8)^2]

[eqn: =8(a^2 +4a)+64]

[eqn: = 8(a+2)^2 +32]

따라서 [eqn: 4a^2 +b^2]의 최솟값은 32이다.

4. 식과 그 연산

정답 ②

[eqn: f(x) = root { 2x-1 -2root {x^2 -x} }]

[eqn: = rootx - root x-1]

[eqn: ∴~f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]

[eqn: = (1-0)+( root2 -1) + (root3 -root2 )+(root4 -root3 )]

[eqn: =2]

5. 부등식의 영역

정답 ①

[eqn: p: LEFT | x-a RIGHT | + LEFT | y-b RIGHT |<3]  ………………………………… ㉠

[eqn: q: ~x^2 +y^2 <16] ………………………………………… ㉡

㉠, ㉡을 좌표평면에 나타내보면 다음과 같다.

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하려면 ㉠이 ㉡의 내부에 있어야 한다.

이때 ㉠의 중심이 [eqn: (a,~b)]([eqn: a,~b]는 정수)이므로

[eqn: p⇒q]가 되도록 하는 순서쌍 [eqn: (a, ~b)]는

[eqn: (0,~0),~(1,~0),~(-1,~0),~(0,~1),~(0,~-1)]

로 5개이다.

6. 방정식과 부등식

정답 ②

[eqn: x^4 -3x^3 +4x -3x +1=0]

[eqn: x^2 -3x +4 - 3 over x + 1 over x^2 =0]

[eqn: LEFT ( x^2 + 1 over x^2 RIGHT ) -3 LEFT ( x+ 1 over x RIGHT ) + 4 =0]

[eqn: x+ 1 over x =t]라 하면

[eqn: t^2 -2-3t+4 = t^2 -3t+2=0]

[eqn: (t-2)(t-1)=0]

(ⅰ) [eqn: x+ 1 over x =2]

[eqn: x^2 +1 =2x]

[eqn: x^2 -2x +1 =0]

[eqn: (x-1)^2 =0]

[eqn: ∴x=1](실근)

(ⅱ) [eqn: x+ 1 over x =1]

[eqn: x^2 +1 =x]

[eqn: x^2 -x+1 =0] (허근)

그러므로 [eqn: alpha+beta=1,~alphabeta=1]

[eqn: x^2 -x+1 =0]의 양변에 ([eqn: x+1])을 곱하면

[eqn: x^3 +1 =0]

[eqn: ∴alpha^3 = -1 , ~ beta^3 = -1]

[eqn: ∴alpha^2008 + beta^2008 =(alpha^3 )^669 alpha + ( beta^3 )^669 beta]

[eqn: = -alpha-beta]

[eqn: =-(alpha+beta)]

[eqn: = -1]

7. 지수와 로그

정답 ④

[eqn: 3C =-C log_2 p_1 ,~~ -3= log_2 p_1]

[eqn: ∴p_1 = 2^-3]

[eqn: 6C = -C log_2 p_2 , ~~-6=log_2 p_2]

[eqn: ∴p_2 = 2^-6]

[eqn: ∴ p_1 over p_2 = 2^-3 over 2^-6 =8]

8. 함수

정답 ⑤

[eqn: y=F(x)] 의 그래프가 [eqn: y]축에 대하여 대칭이면

[eqn: F(x)=F(-x)]이다.

ㄱ.[eqn: F(-x) =f(-x)+f(x)]

[eqn: =f(x)+f(-x)]

[eqn: =F(x)]  (참)

ㄴ. [eqn: F(-x)= LEFT | f(-x)-f(x)RIGHT |]

[eqn: =LEFT | -"{"f(x)-f(-x)"}"RIGHT |]

[eqn: =LEFT | f(x)-f(-x)RIGHT |]

[eqn: =F(-x)]  (참)

ㄷ. [eqn: F(-x) = f(-x)f(x)]

[eqn: =f(x)f(-x)]

[eqn: =F(x)]  (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

9. 도형의 방정식

정답 ②

세 점 [eqn: rm O(0,~0),~A(2,~2),~B(2,~-4)]가 꼭짓점인 삼각형 [eqn: rm OAB]의 외심이 [eqn: {rm C}(a, ~b)]이므로

[eqn: rm bar OC = bar AC ,~ barOC = barBC]

이다.

[eqn: a^2 +b^2 =(a-2)^2 +(b-2)^2 ,~ a+b=2] ………… ㉠

[eqn: a^2 + b^2 =(a-2)^2 +(b+4)^2 ,~a-2b =5]  ……… ㉡

㉠, ㉡을 연립하면, [eqn: a=3, ~b=-1]

[eqn: ∴~10a+b=29]

10. 삼각함수

정답 ①

부채꼴의 반지름을 [eqn: r]라 하고, 호의

길이를 [eqn: l]이라 하자.

둘레의 길이가 [eqn: 24]이므로 [eqn: 2r+l=24]

부채꼴의 넓이는

[eqn: S={{ 1}over{2 }}rl={{ 1}over{2 }}r(24-2r)=-r^2 +12r]

[eqn: -r ^{2} +12r=-(r-6) ^{2} +36]

따라서 부채꼴의 넓이의 최댓값은 [eqn: 36]이다.

11. 지수함수와 로그함수

정답 ④

[eqn: 4^sinx + 6·4^{-sinx} =5 ~(0<=x<=2pi )]

[eqn: 4^sinx = t]라 하면

[eqn: t+ 6 over t -5 =0]

[eqn: t^2 -5t+6=0]

[eqn: (t-2)(t-3)=0]

(ⅰ) [eqn: 4^sinx =2]일 때 [eqn: sin x= log_4 2]

(ⅱ) [eqn: 4^sinx =3]일 때 [eqn: sinx = log_4 3]

(ⅰ), (ⅱ)을 그래프로 나타내면 다음과 같다.

따라서 구하는 근의 개수는 [eqn: 4]이다.

12. 지수함수와 로그함수

정답 ④

ㄱ. [eqn: y=root 4x-x^2 -1]에서

[eqn: (y+1)^2 = 4x-x^2]

[eqn: (x^2 -4x+4)+(y+1)^2 =4]

[eqn: (x-2)^2 + (y+1)^2 =4] ……………………………… ㉠

[eqn: y=- root 1-x^2 +4]에서

[eqn: (y-4)^2 = 1-x^2]

[eqn: x^2 +(y-4)^2 =1]   …………………………………… ㉡

㉠과 ㉡의 반지름의 길이가 다르므로 대칭이동 또는 평    행이동으로 일치시킬 수 없다.  (거짓)

ㄴ.  [eqn: y=2^x-3 -1]에서

[eqn: y+1 =2^x-3]  ………………………………………… ㉢

[eqn: y=3+2log_{1over4} (x-1)]에서

[eqn: y-3 = -log _2 (x-1)]  ……………………………… ㉣

㉢을 [eqn: y=x]그래프에 대하여 대칭이동 시키고, [eqn: x]축 대하    여 대칭이동 시킨 다음 [eqn: x]축으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축으로 [eqn: 6]만큼    평행이동 시키면 ㉣과 일치시킬 수 있다.  (참)

ㄷ. [eqn: sinx]와 [eqn: cosx]는 [eqn: x]축으로 [eqn: piover2]만큼 평행이동 시키면

일치한다. 따라서 [eqn: sin]그래프와 [eqn: cos]그래프의 주기와 폭,

즉, 최댓값과 최솟값의 차가 같으면 평행이동과 대칭이동

으로 일치시킬 수 있다.

[eqn: y= 1 over pi {rm sin} (pix -1)+3]의 주기는 [eqn: 2pi over pi =2]이고,

폭은 [eqn: left ( 1 over pi +3 right ) - left ( - 1 over pi +3 right ) = 2 over pi]

[eqn: y=- 1 over pi {rm cos}(pix +3) -1]의 주기는 [eqn: 2pi over pi = 2]이고,

폭은 [eqn: left ( {1} over {pi } -1 right )- left (- {1} over {pi } -1 right )= {2} over {pi }]

그러므로 두 함수의 주기와 폭이 같으므로 평행이동과

대칭이동으로 일치시킬 수 있다.  (참)

따라서 대칭이동과 평행이동으로 일치시킬 수 있는 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

13. 지수함수와 로그함수

정답 ②

ㄱ. [eqn: f(x)= root x]

(ⅰ) [eqn: x>= 0]일 때 [eqn: y=rootx]

(ⅱ) [eqn: x<0]일 때 [eqn: y= root(-x)]

(ⅰ), (ⅱ)를 그래프로 나타내면

[eqn: ∴~ f {LEFT ( x+y over2 RIGHT )} > f(x)+f(y)over2]  (거짓)

ㄴ. [eqn: f(x)=2^LEFT|x RIGHT |]

(ⅰ) [eqn: x>= 0]일 때 [eqn: y=2^x]

(ⅱ) [eqn: x<0]일 때 [eqn: y=2^-x]

(ⅰ), (ⅱ)를 그래프로 나타내면

[eqn: ∴~ f {LEFT ( x+y over2 RIGHT )} < f(x)+f(y)over2]   (참)

ㄷ. [eqn: f(x)=log_2 ( LEFT | x RIGHT |+1)]

(ⅰ) [eqn: x>= 0]일 때 [eqn: y=log_2 (x+1)]

(ⅱ) [eqn: x<0]일 때 [eqn: y=log_2 (-x+1)]

(ⅰ), (ⅱ)를 그래프로 나타내면

[eqn: ∴~ f {LEFT ( x+y over2 RIGHT )} > f(x)+f(y)over2]  (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

14. 확률분포와 통계적 추정

정답 ③

평균 [eqn: m], 분산 [eqn: sigma^2]이므로 [eqn: {rm N}(m,~sigma^2 )]

[eqn: {rmP}(m <= X<= m+sigma )]이면 ‘우’를 부여하므로

‘우’의 성적이 나올 확률은

[eqn: ∴~{rmP}(m <=X<=m+sigma) ={rmP}(0<= Z<=1)]

[eqn: =0.34]

15. 확률분포와 통계적 추정

정답 ③

[eqn: {rmP}(X=k+1)= 2over5 {rmP}(X=k) (k=1,2,3)] 이므로

[eqn: {rmP}(X=2)= 2over5 {rmP}(X=1)]

[eqn: {rmP}(X=3) = 2over5 {rmP}(X=2) = 2over5 ․ 2over5 {rmP}(X=1)]

[eqn: {rmP}(X=4) = 2over5 {rmP}(X=3) = 2over5 ․ 2over5 ․ 2over5 {rmP}(X=1)]

모든 확률의 합은 [eqn: 1]이므로

[eqn: {rmP}(X=1)+{rmP}(X=2)+{rmP}(X=3)+{rmP}(X=4)]

[eqn: ={rmP}(X=1) LEFT ( 1+ 2over5 + 4over25 + 8over 125RIGHT ) =1]

[eqn: ∴~{rmP}(X=1)= 125over203]

[eqn: ∴{rmP}(X>=3) = {rmP}(X=3) +{rmP}(X=4)]

[eqn: = 4over25 ․ 125over203 + 8over125 ․ 125over203]

[eqn: = 28over203 = 4over29]

16. 순열과 조합

정답 ①

조건 (ⅰ)에서 [eqn: n(A∪B)=8]

조건 (ⅰ)과 조건 (ⅱ)에서

[eqn: n(A∩B) = n(A)+n(B)-n(A∪B) =2]

[eqn: n(A∪B)=8]에서 [eqn: n(A∩B)=2]개 선택하는 방법은

[eqn: `_8 {rmC}_2](가지)

남은 [eqn: 6]개의 원소 중 집합 [eqn: A]와 [eqn: B]에 만 있는 원소 [eqn: 3]개씩 택하는 방법은

[eqn: `_6{rmC}_3 times `_3{rmC}_3](가지)

따라서 순서쌍 [eqn: (A,~B)]를 택하는 방법은 분할과 분배에 의해 [eqn: `_8{rmC}_2 × `_6{rmC}_3 × `_3 {rmC}_3 × 1over2! × 2! = 560](가지)이다.

17. 순열과 조합

정답 ⑤

세 자리 자연수를 [eqn: abc]라 하면

[eqn: a+b+c=19]

(ⅰ) [eqn: a=1]일 때 [eqn: b+c=18]

[eqn: (b,~c)=(9,~9)]로 [eqn: 1]가지

(ⅱ) [eqn: a=2]일 때 [eqn: b+c=17]

[eqn: (b,~c)=(9,~8),~(8,~9)]로 [eqn: 2]가지

(ⅲ) [eqn: a=3]일 때 [eqn: b+c=16]

[eqn: (b,~c)=(9,~7),~(8,~8),(7,~9)]로 [eqn: 3]가지

(ⅳ) [eqn: a=4]일 때 [eqn: b+c=15]

([eqn: b,~c)=(9,~6),~(8,~7),~(7,~8),~(6,~9)]로 [eqn: 4]가지

⋮

(ⅸ) [eqn: a=9]일 때 [eqn: b+c=9]

[eqn: (b,~c)=(8,~1),(7,~2),(6,~3), …,(1,~8)]로 [eqn: 9]가지

따라서 (ⅰ)～(ⅸ)에 의해

[eqn: 1+2+3+…+9=45]

18. 순열과 조합

정답 ②

뽑힌 문자가 모두 다를 확률은 여사건을 이용하여 구하면 쉽게 구할 수 있다.

(ⅰ) 같은 문자가 [eqn: 2]개 뽑힌 경우

[eqn: `_11{rmC}_4 ×3=990](가지)

(ⅱ) 같은 문자가 2개씩 2쌍 뽑힌 경우

[eqn: `_9{rmC_2}×3=108](가지)

이때 (ⅰ), (ⅱ)에서 같은 문자가 3쌍 뽑힌 경우를 생각해야 하므로

(ⅲ) 같은 문자가 2개씩 [eqn: 3]쌍 뽑힌 경우

[eqn: `_7 {rmC}_0 =1](가지)

[eqn: ∴](구하는 확률)[eqn: = 1- { `_11{rmC}_4 ×3 - `_9{rmC}_2 ×3 + `_7{rmC}_0 } over { `_13{rmC}_6}]

[eqn: =1-{990-108+1}over1716]

[eqn: =1- 883over1716]

[eqn: = 833over1716]

19. 수열

정답 ④

[eqn: a_k =△{rmP}_k-1 {rmB} _k {rmC}_k (k=1,2,3,…120)]이므로

[eqn: a_1 = △{rmP}_0 {rmB}_1 {rmC_1}]

[eqn: a_2 =△{rmP_1 B_2 C_2]

⋮

[eqn: ∴sum _{ k=1} ^{120 } a_k = 1over2 h ( rm bar {B_1 C_1} + bar{B_2 C_2 } + bar{B_3 C_3 } +…+bar {B_120 C_120} )]

[eqn: = 1over2 h LEFT { ( rm bar{B_1 C_1} + bar {B_120 C_120}) + ( bar {B_2 C_2 } + bar {B_119 C_119} )]

[eqn: +… +rm(bar{B_60 C_60 } + bar B_61 C_61 })RIGHT }]      [eqn: = 1over2 h ․60l]

[eqn: = 30hl]

한편, [eqn: △rmABC]의 넓이가 [eqn: 363]이므로

[eqn: 1over2 ․121hl=363~~~∴hl=6]

[eqn: ∴sum _{ k=1} ^{120 }a_k =30hl]

[eqn: =180]

20. 행렬

정답 ③

[eqn: S= LEFT { pmatrix { a& b# 0&a } | a,b는~ 양의 ~실수이다. RIGHT }]

[eqn: A⊂S ,~B⊂S]

[eqn: B^2 =4A ~⇒~F(A)=B]로 나타낸다.

[eqn: A=pmatrix { 4&1 #0 &4 }]이므로

[eqn: B^2 ~=~4 pmatrix { 4&1 #0 &4 }= pmatrix { 16&4 #0 &4 }]

[eqn: ∴B= pmatrix { 4&1over2 #0 &4 } (∵B^2 =4A)]

[eqn: F(A)= pmatrix { 4&1over2 #0 &4 },~~4 pmatrix { 4&1over2 #0 &4 } = pmatrix { 16&2 #0 &16 }]

[eqn: F_2 (A) = pmatrix { 4&1over4 #0 &4 },~~4 pmatrix { 4&1over4 #0 &4 } = pmatrix { 16&1 #0 &16 }]

[eqn: F_3 (A) = pmatrix { 4&1over8 #0 &4 }]

⋮

[eqn: F_n (A) = pmatrix { 4&```2^-n #0 &4 }]

[eqn: therefore~F_2008 (A) = pmatrix { 4&````2^-2008 #0 &4 }]

따라서 [eqn: F_2008 (A)]의 [eqn: (1,~1)]의 성분과 [eqn: (1,~2)]의 성분의 곱은 [eqn: alpha = 4 ×2^-2008 = 2^-2006]

[eqn: ∴~log _2 1overalpha = log_2 alpha^-1 =2006]

21. 행렬

정답 ①

[eqn: SUM from k=1 to 18 k`2^k = 2+2⋅2^2 +3⋅2^3 +…+18⋅2^18 =S]라 하면

[eqn: M= LEFT { pmatrix { x #y } |A^n pmatrix { x #y } =pmatrix { 1 #1 } 인~자연수 ~n이~존재한다 right}]

[eqn: A= pmatrix { -1&1 #0 &-1 }=- pmatrix { 1&-1 #0 &1 }]

[eqn: A^2 = pmatrix { 1&-1 #0 &1 }pmatrix { 1&-1 #0 &1 }=pmatrix { 1&-2 #0 &1 }]

[eqn: A^3 = -pmatrix { 1&-2 #0 &1 }pmatrix { 1&-1 #0 &1 } = -pmatrix { 1&-3 #0 &1 }]

⋮

[eqn: A^n =(-1)^n pmatrix { 1&-n #0 &1 }]

[eqn: ∴(-1)^n pmatrix { 1&-n #0 &1 }pmatrix { x #y }=pmatrix { 1#1 }]

[eqn: pmatrix { x #y }= 1over(-1)^n pmatrix { 1&```n #0 &```1 }pmatrix { 1#1 }]

[eqn: = 1over(-1)^n pmatrix { n+1 #1 }]

따라서 [eqn: M]에 속하는 것은 [eqn: pmatrix { 5 #1 }]이다.

22. 수열의 극한

정답 ④

[eqn: a_1 =1,] [eqn: 1overa_n+1 = c overa_n +1 (n=1,2,3,…)]이므로

ㄱ. [eqn: c=1]이면 [eqn: 1overa_n+1 = 1overa_n +1]

[eqn: 1overa_n+1 - 1overa_n =1]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }] 은 첫째항이 [eqn: 1overa_1 =1]이고, 공차 [eqn: d=1] 인

등차수열이다.

[eqn: ∴ 1overa_n = 1+(n-1) =n]

[eqn: ∴ a_n = 1 over n]

[eqn: ∴ lim_{n->inf}{a_n }= lim_{n->inf}{1 over n} =0]  (참)

ㄴ. [eqn: c>1]이면 [eqn: 1overa_n+1 = c overa_n +1]

[eqn: 1over a_n+1 - 1over 1-c = c left ( 1over a_n - 1over 1-c right )]

[eqn: 1over a_n - 1over 1-c = left ( 1 - 1over 1-c right ) c^n-1]

[eqn: = - c^n over 1-c ~(because~a_1 =1)]

[eqn: ∴a_n = 1-c over 1-c^n]

[eqn: therefore~lim _{ n->inf} {a_n } = lim _{ n->inf} { 1-c over 1-c^n} =0]  (거짓)

ㄷ. [eqn: 0<c<1]이면 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n } = lim _{ n->inf} { 1-c over 1-c^n} =1-c]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다.

23. 수열의 극한

정답 ⑤

자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 9n^2 -6n + 1< 9n^2 -2n < 9n^2]

[eqn: (3n-1)^2 < 9n^2 -2n < 9n^2]

[eqn: 3n-1 < root {9n^2 -2n} <3n]

[eqn: ∴LEFT [ root {9n^2 -2n } RIGHT ] =3n-1]

[eqn: a_n = root {9n^2 -2n} - (3n-1)]

[eqn: ={(9n^2 -2n)-(3n-1)^2 }over{{ root{9n^2 -2n } + (3n-1)}]

[eqn: = 4n-1 over {root{9n^2 -2n} +(3n-1)]

[eqn: ∴lim _{ n->inf} {a_n }= lim _{ n->inf} {4n-1 over {root{9n^2 -2n} +3n-1}]

[eqn: = 4over{{sqrt9}+3}]

[eqn: = 2over3]

24. 함수

정답 ②

[eqn: f(2x+y) = 4f(x) +f(y)+xy+4] ………………… ㉠

[eqn: x=6,y=-6]을 ㉠에 넣으면

[eqn: f(6)=4f(6)+f(-6)-32]

[eqn: 3f(6)+f(-6)=32] …………………………………… ㉡

[eqn: x=-6,y=6]을 ㉠에 넣으면

[eqn: f(-6)=4f(-6)+f(6)-32]

[eqn: 3f(-6)+f(6)=32] …………………………………… ㉢

따라서 ㉡, ㉢을 연립하면 [eqn: f(6)=8]이다.

25. 수열

정답 ①

[eqn: 0< 1over3 - sum _{ k=1} ^{n } a_k over 5^k < 1over5^n]

(ⅰ) [eqn: n=1]인 경우

[eqn: 0< {1} over {3} -{a _{1}} over {5}< {1} over {5 }]

[eqn: {2} over {3} <a _{1}< {5} over {3 }]         [eqn: therefore~a_1 =1]

(ⅰ) [eqn: n=2]인 경우

[eqn: 0< {1} over {3} - left({a _{1}} over {5}+{a _{2}} over {5^2} right)< {1} over {5^2}]

[eqn: {7} over {3} <a _{2}< {10} over {3 }]        [eqn: therefore~a_2 =3]

(ⅲ) [eqn: n=3]인 경우

[eqn: 0< {1} over {3} - LEFT ( {a _{1}} over {5} + {a _{2}} over {5 ^{2}}+{a _{3}} over {5 ^{3}} RIGHT ) < {1} over {5 ^{3}}]      [eqn: therefore~a_3 =1]

(ⅳ) [eqn: n=4]인 경우

[eqn: 0< {1} over {3} - LEFT ( {a _{1}} over {5} + {a _{2}} over {5 ^{2}} + {a _{3}} over {5 ^{3}} + {a _{4}} over {5 ^{4}} RIGHT ) < {1} over {5 ^{4}}]    [eqn: THEREFORE ~a _{4} =3]

⋮

즉, [eqn: a_n =cases{ 1& ~~~(n=홀수)# 3 &~~~(n=짝수)}]

따라서 [eqn: a _{2007} +a _{2008} +a _{2009} =1+3+1=5]이다.