2011년 11월 10일(목) 시행

2012학년도 대학수학능력시험 해설

2교시  <수리 영역>

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전국모의고사 전문  비상에듀

￭ 본 해설은 비상에듀 출제개발부

교과 연구팀에서 작성한 자료입니다.

수리 영역_가형

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2012 수능 해설

수리 영역

1. ②	2. ⑤	3. ①	4. ④	5. ①

6. ②	7. ④	8. ③	9. ③	10. ⑤

11. ③	12. ④	13. ④	14. ②	15. ⑤

16. ③	17. ②	18. ⑤	19. ④	20. ①

21. ①	22. [eqn: 126]	23. [eqn: 35]	24. [eqn: 13]	25. [eqn: 10]

26. [eqn: 12]	27. [eqn: 65]	28. [eqn: 24]	29. [eqn: 32]	30. [eqn: 39]

1. 행렬과 그래프	②

정답

행렬 [eqn: A = pmatrix{`1&````-2`#`0&```````````1`}]에 대하여

[eqn: A^-1 = { 1} over { 1-0} pmatrix{`1&&2`#`0&&1`} = pmatrix{`1&&2`#`0&&1`}]

따라서 행렬 [eqn: A^-1]의 모든 성분의 합은

[eqn: 1+2+0+1=4]

2. 함수의 극한과 연속	⑤

정답

[eqn: lim _{ x`->`0} { { e^x -1} over {5x } }][eqn: = lim _{ x`->`0} { LEFT ( 1 over 5 times { e^x -1} over { x} RIGHT ) }]
[eqn: = { 1} over { 5} times 1 = { 1} over { 5}]

3. 통계	①

정답

확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: \B (200,~ itp)]를 따르므로

[eqn: {\E} (X`) = 200 times p = 40]

[eqn: therefore```][eqn: p = { 1} over { 5}]

[eqn: therefore```][eqn: {\V} (X`)][eqn: = 200 times 1over5 times LEFT ( 1 - 1over 5 RIGHT )]
[eqn: = 200 times 1over5 times 4over 5]
[eqn: = 32]

4. 방정식과 부등식	④

정답

[eqn: { (x-2)^2} over { x-4} le0]에서 양변에 [eqn: (x-4)^2]을 곱하면

[eqn: (x-2)^2 (x-4) le 0], [eqn: x!=4]

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x-4 <0]

[eqn: therefore```][eqn: A = left{ x``|`` x <4 right}]

그런데 [eqn: A cup B = left{x``|`` x le 5 right}]이므로

[eqn: left{x``|`` 4 le x le 5 right} subset B`]	…… ㉠

이어야 한다.

즉, 집합 [eqn: B`]의 원소의 최댓값은 [eqn: 5]이므로

다항식 [eqn: x^2 -8x +a]는 [eqn: x-5]를 인수로 갖는다. 이때,

[eqn: x^2 - 8x +a = (x-5) (x-3) le 0]

이면 [eqn: B = left{ x``|`` 3 le x le 5 right}]이므로 ㉠을 만족시킨다.

[eqn: therefore```][eqn: a=15]

5. 순열과 조합	①

정답

양 끝에 흰색 깃발이 놓이므로 나머지 흰색 깃발 [eqn: 3]개, 파란색 깃발 [eqn: 5]개를 일렬로 나열하면 된다.

그런데 같은 색 깃발끼리는 서로 구별하지 않으므로

구하는 경우의 수는

[eqn: { 8!} over { 3!` 5!} = 56](가지)

6. 일차변환과 행렬	②

정답

주어진 일차변환은 닮음비가 [eqn: k]인 닮음변환이므로

일차변환에 의해 옮겨진 점의 좌표는 각각

[eqn: {\A'} (3k,~0)], [eqn: {\B'}(3k,~3k)], [eqn: {\C'}(0,~3k)]

이때, 직선 [eqn: rm A' C']의 방정식은

[eqn: y = -x+3k]

이고, 직선 [eqn: y = -x +3k]가 두 선분 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC]와 만나는 점을 각각 [eqn: \P], [eqn: \Q]라 하면 삼각형 [eqn: \BQP]는 직각이등변삼각형이다.

[eqn: {\P} (3,~-3+3k)]이므로

[eqn: rm bar BP = 3- it (-3+3k ) = 6-3k]

[eqn: therefore```](삼각형 [eqn: \BQP]의 넓이)[eqn: = 1over2 times (6-3k)^2 = 1over2]

[eqn: (6-3k)^2 =1], [eqn: 6-3k =1]

[eqn: therefore```][eqn: k = 5over3]

7. 로그와 로그함수	④

정답

누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후 [eqn: 1]초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 [eqn: 2]인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는 [eqn: a]이므로

[eqn: log`a][eqn: = A - 1over2 ` log`1 - { K cdot 2^2} over { 1}]
[eqn: = A - 4 K]	…… ㉠

또, 분비한 후 [eqn: 4]초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 [eqn: d`]인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는 [eqn: { a} over { 2}]이므로

[eqn: log` { a} over { 2}][eqn: = A - { 1} over { 2} `log`4 - { K cdot d`^2} over { 4}]
[eqn: = A- log`2 - { K} over { 4} d`^2]

㉠을 대입하면

[eqn: log` { a} over { 2}][eqn: = log`a - log`2]
[eqn: = A - 4K - log`2]
[eqn: = A - log` 2 - { K} over { 4} d`^2]

[eqn: 4K = { K} over { 4} d`^2], [eqn: d`^2 = 16]

[eqn: therefore```][eqn: d=4] ([eqn: ∵```][eqn: d>0])

8. 벡터	③

정답

점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm vec PB + vec PC = vec 0]를 만족시키므로

[eqn: rm vec PB = - vec PC]

따라서 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm BC]의 중점이다.

이때, [eqn: rm angle C = 30 DEG]이므로 [eqn: rm bar BC = 2 sqrt { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: rm bar PB = sqrt { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: left|` rm vec PA` right|^{`2}][eqn: = rm {bar PB}^2 + {bar AB}^2]
[eqn: = ( sqrt { 3})^2 +2^2]
[eqn: = 7]

9. 통계	③

정답

이 회사에서 생산하는 음료수 [eqn: 1]병에 들어 있는 칼슘 함유량을 [eqn: X`]라 하면 확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: {\N}(m,~ sigma^2 )]을 따른다.

이 회사에서 생산한 음료수 [eqn: 16]병을 임의추출하였을 때, 음료수 [eqn: 1]병에 들어 있는 칼슘 함유량을 [eqn: bar{ X``}]라 하면

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {\N} LEFT ( 12.34,~ LEFT ( sigma over 4 RIGHT )^2 RIGHT )]을 따른다.

따라서 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95]%의 신뢰구간은

[eqn: 12.34-1.96 times { sigma} over { 4} le m le 12.34+1.96 times { sigma} over { 4}]

[eqn: therefore```][eqn: 12.34-1.96 times { sigma} over { 4}=11.36]

[eqn: 1.96 times { sigma} over { 4} = 0.98]이므로 [eqn: sigma = 2]

[eqn: therefore```][eqn: a =12.34+1.96 times { 2} over { 4} = 13.32]

[eqn: therefore```][eqn: a + sigma = 13.32+2 =15.32]

10. 일차변환과 행렬	⑤

정답

회전변환 [eqn: f`]에 의하여 점 [eqn: (x,~y)]가 원점을 중심으로 각 [eqn: theta]만큼 회전하여 옮겨진다고 하면 회전변환 [eqn: f`]를 나타내는 행렬은

[eqn: pmatrix{ `cos theta && - sin theta` #`sin theta && ```````cos theta` }]

그런데 점 [eqn: (1,~0)]이 회전변환 [eqn: f`]에 의하여

점 [eqn: LEFT ( { sqrt { 3} } over {2 } ,~ a RIGHT )][eqn: (a>0)]로 옮겨지므로

[eqn: pmatrix{ `cos theta && - sin theta` #`sin theta && ```````cos theta` } pmatrix{`1`#0} = pmatrix{`cos theta`#sin theta} =pmatrix{`sqrt3 over2 `# a}]

[eqn: sin^2 theta`+cos^2 theta`=a^2 +{3over4}=1]에서

[eqn: a^2 ={1over4}]   [eqn: therefore```][eqn: a={1over2}] ([eqn: ∵~][eqn: a>0])

따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합 [eqn: b]는

[eqn: b=2`cos`theta`=2 times{sqrt3 over 2}`=sqrt3]

[eqn: therefore```][eqn: a^2 +b^2 = LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 + ( sqrt { 3})^2 = { 13} over { 4}]

11. 이차곡선	③

정답

그림과 같이 주어진 타원의 중심을 원점으로 하고

[eqn: rm bar BD]가 [eqn: x]축 위에 놓이도록 타원을 좌표평면 위에 놓자.

점 [eqn: rm A]의 좌표를 [eqn: (0,~b)], 점 [eqn: \D]의 좌표를 [eqn: (a,~0)]이라 하면 타원의 방정식은

[eqn: { x^2 } over { a^2} + { y^2} over { b^2} =1] (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

이때, 타원의 두 초점 사이의 거리가 [eqn: 10 sqrt { 2}]이므로

[eqn: 2sqrt { a^2 -b^2} = 10 sqrt { 2}]

[eqn: therefore```][eqn: a^2 - b^2 =50]	…… ㉠

또, 마름모 [eqn: \ABCD]의 한 변의 길이가 [eqn: 10]이므로

[eqn: rm {bar AD}^2 = it a^2 +b^2 =10^2]

[eqn: therefore```][eqn: a^2 +b^2 =100]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a = 5 sqrt { 3}], [eqn: b=5]

[eqn: therefore```](마름모 [eqn: \ABCD]의 넓이)

[eqn: = { 1} over { 2} times 2a times 2b]

[eqn: = { 1} over { 2} times 10 sqrt { 3} times 10]

[eqn: = 50 sqrt { 3}]

12. 방정식과 부등식	④

정답

방정식 [eqn: { g(x)+2} over { f(x)} - { 2} over { g(x)} =1]의 양변에 [eqn: f(x) g(x)]를

곱하면

[eqn: g(x) left{ g(x) +2 right} - 2 f(x) = f(x) g(x)],

[eqn: f(x)!=0], [eqn: g(x)!=0]

[eqn: g(x) left { g(x) +2 right} - f(x) left{ g(x) +2 right} =0]

[eqn: therefore```][eqn: left{ g(x) - f(x) right} left{ g(x ) +2 right} =0]

(ⅰ) [eqn: g(x)-f(x)=0]일 때,

방정식 [eqn: g(x) = f(x)]의 실근은

[eqn: x= alpha] 또는 [eqn: x= beta] 또는 [eqn: x = gamma]

(ⅱ) [eqn: g(x)+2=0]일 때,

방정식 [eqn: g(x)=-2]의 실근은

[eqn: x =delta] 또는 [eqn: x=3]

그런데 [eqn: f(3)=0]이므로 [eqn: x=3]은 무연근이다.

[eqn: therefore```][eqn: x = delta]

(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

13. 확률	④

정답

(ⅰ) 상자 [eqn: rm A]에서 빨간 공이 나오고, 상자 [eqn: \B]에 있는 빨간 공의 개수가 [eqn: 1]인 경우

상자 [eqn: rm A]에서 임의로 꺼낸 공 중에서 한 개의 공만 빨간색이어야 하므로

[eqn: rm{ `_3 C_1 times _5 C _1} over {`_8 C _2 } = { 15} over { 28}]

(ⅱ) 상자 [eqn: rm A]에서 빨간 공이 나오지 않고, 상자 [eqn: \B]에 있는 빨간 공의 개수가 [eqn: 1]인 경우

상자 [eqn: rm A]에서 빨간 공이 나오지 않을 확률은

[eqn: rm { `_5 C_2} over { `_8 C _2} = { 5} over { 14}]

[실행 [eqn: 2]]에 의해 [eqn: 2]개의 검은 공이 상자 [eqn: \B]에 들어 있으므로 상자 [eqn: rm A]에는 빨간 공 [eqn: 3]개와 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. 다시 상자 [eqn: rm A]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼내어 상자 [eqn: \B]에 넣었을 때, 상자 [eqn: \B]에 있는 빨간 공의 개수가 [eqn: 1]일 확률은

[eqn: rm{ `_3 C_1 times _3 C _1} over {`_6 C _2 } = { 9} over { 15} = { 3} over { 5}]

[eqn: therefore```][eqn: 5 over14 times 3over5 = 3 over14]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: { 15} over { 28} + { 3} over { 14} = { 21} over { 28} = { 3} over { 4}]

14. 수열의 극한	②

정답

그림 [eqn: R`_n]에서 새로 색칠된 부분의 넓이의 합을 [eqn: a_n]이라 하자.

그림 [eqn: R`_1]에서 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 직사각형의 세로의 길이를 [eqn: k]라 하면 가로의 길이는 [eqn: 3k]이고, 대각선의 길이가 원의 지름의 길이인 [eqn: 2]이므로

[eqn: k^2 + (3k)^2 = 2^2 =4], [eqn: 10k^2 =4]

[eqn: therefore```][eqn: k = { sqrt { 10} } over { 5}][eqn: (because``` k>0)]

[eqn: therefore```][eqn: a_1][eqn: =S`_1]
[eqn: = pi times 1^2 - { sqrt { 10} } over { 5} times { 3 sqrt { 10} } over { 5}]
[eqn: = pi - { 6} over { 5}]

그림 [eqn: R`_n]에서 새로 그려진 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하면

[eqn: r_{n+1}`={sqrt10 over 5}times{1over2}r_n`={sqrt10 over10}r_n]

이고, 새로 그려진 원의 개수는 [eqn: 2^n-1]이므로 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: pi - {6over5}], 공비가 [eqn: { 1} over { 5}]인 무한등비수열이다.

따라서 [eqn: S`_n = a_1 +a_2 +a_3 +cdots+ a_n]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} { S`_n}][eqn: = lim _{ n`->`inf} { (a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_n )}]
[eqn: = { pi - 6over 5} over { 1 - 1over5} = { { 5pi-6} over {5 } } over { { 4} over {5 } }]
[eqn: = { 5pi -6} over { 4} = 5 over 4 pi - 3over2]

15. 행렬과 그래프	⑤

정답

ㄱ. (참) [eqn: A^2 +B = 3E`]에서 [eqn: B`` = 3E`` - A^2]이므로

[eqn: AB`][eqn: = A (3E`` -A^2 )]
[eqn: = 3A - A^3]
[eqn: = (3E ``- A^2 ` ) A = BA]

ㄴ. (참) [eqn: A^2 +B =3E`]에서

[eqn: A^4 = (3E - B`)^2 = 9E - 6B+B^2]

[eqn: A^4 +B^2 = 7E`]에서 [eqn: A^4 = 7E - B^2]이므로

[eqn: 9E - 6B +B^2 = 7E - B^2], [eqn: E =B`(3E-B`)]

[eqn: therefore```][eqn: B``^-1 = 3E - B = A^2][eqn: (because``` A^2 +B =3E``)]

ㄷ. (참) ㄴ에 의해

[eqn: A^6 +B^3 = (B``^-1 )^3 +B^3]이고,

[eqn: A^2 +B = B``^-1 +B = 3E`]이므로

[eqn: (B``^-1 +B`)^3]

[eqn: = (B``^-1 )^3 +3(B``^-1 )^2 B+3B^-1 B^2 +B^3]

[eqn: =(B``^-1 )^3 +B^3 +3 (B``^-1 +B`)]

에서

[eqn: (3E`)^3][eqn: = (B``^-1 )^3 +B^3 +9E]

[eqn: therefore```][eqn: A^6 +B^3][eqn: = (B``^-1 )^3 +B^3]
[eqn: = 27E - 9E]
[eqn: = 18E]

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

16. 적분법	③

정답

[eqn: e^x = xe^x]에서 [eqn: (x-1)e^x =0]이고,

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: e^x >0]이므로 [eqn: x=1]이다.

[eqn: therefore```][eqn: a = int _{ 0} ^{1 } { (e^x - x e^x )dx}]

[eqn: f(x) =1-x], [eqn: g'(x) = e^x]으로 놓으면

부분적분법에 의하여

[eqn: a][eqn: = [(1-x )e^x ]_0^1 - int _{ 0} ^{ 1} { (-e^x )dx}]
[eqn: = [(1-x) e^x ]_0^1 +[e^x ]_0^1]
[eqn: = (0-e^0 ) +(e^1 - e^0 )]
[eqn: =e-2]

또, [eqn: b = int _{ 1} ^{ 2} { (xe^x - e^x )dx}]에서

[eqn: f(x) =x-1], [eqn: g'(x) = e^x]으로 놓으면

부분적분법에 의하여

[eqn: b][eqn: = [(x-1 )e^x ]_1^2 - int _{ 1} ^{ 2} {e^x dx}]
[eqn: = [(x-1)e^x ]_1 ^2 - [e^x ]_1 ^2]
[eqn: = (e^2 -0 ) - (e^2 - e^1 )]
[eqn: =e]

[eqn: therefore```][eqn: b-a = e- (e-2)=2]

17. 수열	②

정답

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_n+1 = S_n +a_n+1]이므로

[eqn: n a_n+1 = 2S_n +(n+1)^3]	…… ㉠

이다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (n-1) a_n = 2S_n-1 +n^3]	…… ㉡

이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터

[eqn: n a_n+1 - (n-1) a_n][eqn: = 2S_n +(n+1)^3 - 2S_n-1 -n^3]
[eqn: = 2 (S_n - S_n-1 )+(n+1)^3 - n^3]
[eqn: =2a_n +3n^2 +3n+1]

[eqn: na_n+1 = (n+1) a_n +]

[eqn: 3n^2 +3n+1]

을 얻는다. 양변을 [eqn: n(n+1)]로 나누면

[eqn: { a_n+1} over { n+1} = { a_n} over { n} + { 3n^2 +3n+1} over { n(n+1)}]

이다. [eqn: b_n = { a_n} over { n}]이라 하면,

[eqn: b_n+1][eqn: =b_n + { 3n(n+1)+1} over { n(n+1)}]
[eqn: = b_n +3 +] [eqn: (n ge 2 )]

[eqn: { 1} over { n(n+1)}]

이므로

[eqn: b_3 = b_2 +3 + { 1} over { 2 cdot 3}]

[eqn: b_4 = b_3 +3 + { 1} over { 3 cdot 4}]

⋮

[eqn: b_n = b_n-1 +3+ { 1} over { n(n-1)}]

양변을 각각 더하면

[eqn: b_n][eqn: =b_2 +3(n-2) + sum _{ k=2} ^{ n-1} { 1} over { k(k+1)}]
[eqn: = b_2 +3(n-2) + sum _{ k=2} ^{ n-1} LEFT ( 1 over k - 1 over k+1 RIGHT )]
[eqn: =b_2 +3 (n-2)]

[eqn: =b _2 +] [eqn: (n ge 3 )]

[eqn: + left{ LEFT ( 1 over2 - 1over3 RIGHT ) + LEFT ( 1over3 - 1over4 RIGHT ) +cdots + LEFT ( 1 over n-1 - 1over n RIGHT ) right}]

[eqn: 3(n-2)+{1over2}-{1over n}]

이다.

⋮

따라서 [eqn: f(n) = 3n^2 +3n+1], [eqn: g(n ) = { 1} over { n(n+1)}], [eqn: h(n) =3(n-2)+{1over2}-{1over n}]이므로

[eqn: { f(3)} over { g(3) h(6)} = { 37} over { 1over12 times 37 over3 } = 36]

18. 미분법	⑤

정답

[eqn: f(x) = 2 x ` cos`x]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: = 2` cos`x - 2 x`sin` x]

ㄱ. (참) [eqn: a=0]이면 [eqn: f'(a)=2]이므로 [eqn: a!=0]

[eqn: f`'(a) = 2` cos`a - 2 a`sin` a =0]에서

[eqn: cos`a = a sin` a], [eqn: { sin` a} over { cos` a} = { 1} over { a}]

[eqn: therefore```][eqn: tan `a = { 1} over { a}]

ㄴ. (참) [eqn: f`' (x) = 2` cos`x (1- x`tan`x )=0]에서

[eqn: cos`x =0] 또는 [eqn: tan`x = 1over x]

[eqn: tan`x = 1over x]의 근을 [eqn: alpha left(0 le alpha le pi over2 right)]라 하면

방정식 [eqn: f`'(x) =0]의 실근은 [eqn: x = alpha] 또는 [eqn: x = pi over2]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 증가 또는 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: pi over2]	[eqn: cdots]	[eqn: pi]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: 2]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -2]
[eqn: f(x)]	[eqn: 0]	↗	극대	↘	[eqn: 0]	↘	[eqn: -2pi]

[eqn: x =alpha]에서 함수 [eqn: f(x)]는 극대이므로

[eqn: a = alpha][eqn: LEFT (단,~ 0 le alpha le pi over2 RIGHT )]	…… ㉠

함수 [eqn: f`'(x)]는 [eqn: 0 le x le pi]에서 연속이고 미분가능하다.

또한,

[eqn: f`' LEFT ( pi over 4 RIGHT )][eqn: =2`cos` {pi } over {4} LEFT ( 1- {pi } over {4} `tan` {pi } over {4} RIGHT )]
[eqn: = 2 times { sqrt { 2} } over { 2} times LEFT ( 1 - pi over 4 RIGHT )]

[eqn: =sqrt2`left(1-{pi over 4} right)>0]

[eqn: f`' LEFT ( pi over 3 RIGHT )][eqn: =2`cos`{pi } over {3} LEFT ( 1- {pi } over {3} `tan`{pi } over {3} RIGHT )]
[eqn: = 2 times 1over2 times LEFT ( 1 - { sqrt { 3} } over {3 } pi RIGHT )]
[eqn: = 1- { sqrt { 3} } over { 3} pi <0]

따라서 중간값의 정리에 의해 [eqn: f`'(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 구간 [eqn: LEFT ( pi over 4 ,~ pi over 3 RIGHT )]에 존재한다.

그런데 ㉠에서 [eqn: f`'(a)=0][eqn: LEFT ( 0 le a le pi over 2 RIGHT )]이므로

[eqn: a]는 구간 [eqn: LEFT ( pi over 4 ,~ pi over 3 RIGHT )]에 있다.

ㄷ. (참) ㄴ에서 [eqn: pi over 4 < a< pi over 3]이고

[eqn: f LEFT ( pi over 3 RIGHT ) = 2 times pi over3 times cos`{ pi} over { 3} = pi over3 >1]

이므로

[eqn: f(a)>1]

또, [eqn: f LEFT ( pi over2 RIGHT )=0]이므로 구간 [eqn: left[ 0,~ pi over2 right]]에서

방정식 [eqn: f(x)=1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

19. 미분법	④

정답

[eqn: g(x) = x^3 - 3x^2 +1]로 놓으면

[eqn: g'(x) = 3x^2 -6x]

[eqn: = 3x(x-2)=0]

[eqn: therefore```][eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

따라서 함수 [eqn: g(x)]의 증가 또는 감소를 표로 나타내고, 이를 이용하여 그래프를 그리면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	↗	[eqn: 1]	↘	[eqn: -3]	↗

곡선 [eqn: y =x^3 -3x^2 +1] 위의 점 [eqn: (t,~t^3 - 3t^2 +1)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y = (3t^2 -6t)(x-t) +t^3 -3t^2 +1]

이 직선이 점 [eqn: (0,~2)]를 지나므로

[eqn: 2 = (3t^2 -6t )(-t) +t^3 -3t^2 +1]

[eqn: 2 = -2t^3 +3t^2 +1]

[eqn: 2t^3 -3t^2 +1=0], [eqn: (t-1)^2 (2t+1)=0]

[eqn: therefore```][eqn: t = - 1over2] 또는 [eqn: t=1]

따라서 주어진 직선은 곡선 [eqn: y =x^3 -3x^2 +1] 위의

두 점 [eqn: LEFT ( - 1over2 ,~ 1over8 RIGHT )] 또는 [eqn: (1,~-1)]에서 접한다.

[eqn: g' LEFT ( - 1over2 RIGHT ) = 15over4]에 대하여

[eqn: m < 15 over4]일 때, 주어진 곡선과 직선은 한 점에서 만나고,

[eqn: m > 15 over 4]일 때, 주어진 곡선과 직선은 서로 다른 세 점에서 만나므로 함수 [eqn: y = f(m)]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: f(m)]이 구간 [eqn: (-inf,~a)]에서 연속이 되게 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 15 over4]이다.

20. 삼각함수	①

정답

직선 [eqn: y =mx`(0<m< sqrt { 3})]가 [eqn: x]축과 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta_1]이므로

[eqn: tan theta_1 =m]

직선 [eqn: y = sqrt { 3}x]가 [eqn: x]축과 이루는 예각의 크기는 [eqn: { pi} over { 3}]이고,

직선 [eqn: y=mx]가 직선 [eqn: y= sqrt { 3}x]와 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta_2]이므로

[eqn: theta_2 = pi over3 -theta_1]

[eqn: therefore```][eqn: 3 `sin` theta_1 +4` sin` theta_2]
[eqn: =3` sin` theta_1 + 4` sin LEFT ( pi over3 - theta_1 RIGHT )]
[eqn: = 3` sin `theta_ 1 + 4 LEFT ( sin pi over3 `cos `theta_1 - cos pi over3 `sin` theta_1 RIGHT )]
[eqn: = 3` sin` theta_ 1 + 2 sqrt { 3} `cos` theta_1 - 2 `sin`theta_1]
[eqn: = sin ` theta_1 +2 sqrt { 3} `cos` theta_1]
[eqn: = sqrt { 13} `sin (theta_1 +alpha)]

[eqn: LEFT ( 단,~sin`alpha = { 2 sqrt { 3} } over { sqrt { 13} },~ cos` alpha = { 1} over { sqrt { 13} } RIGHT )]

[eqn: theta_1 +alpha = pi over2]일 때, 즉 [eqn: theta_1 = pi over2 - alpha]일 때

[eqn: 3 `sin `theta_1 +4 `sin`theta_2]의 값이 최대가 된다.

[eqn: therefore```][eqn: m][eqn: = tan` theta_1][eqn: = tan` LEFT ( pi over2 - alpha RIGHT )]
[eqn: = cot `alpha = { cos ` alpha} over { sin `alpha}]
[eqn: = { { 1} over { sqrt13} } over { { 2 sqrt { 3} } over { sqrt { 13} } }][eqn: = { 1} over { 2 sqrt { 3} } = { sqrt { 3} } over { 6}]

21. 공간도형과 공간좌표	①

정답

삼각형 [eqn: \ABC]와 [eqn: yz]평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: alpha]라 하면

[eqn: 6 `cos alpha = 3], [eqn: cos` alpha = 1over2]

[eqn: therefore```][eqn: alpha = pi over3]

평면 [eqn: x-2y +2z=1]의 법선벡터를 [eqn: vec h_1 = (1,~-2,~2)],

[eqn: yz]평면의 법선벡터를 [eqn: vec h_2 = (1,~0,~0)]이라 하고,

평면 [eqn: x-2y +2z=1]과 [eqn: yz]평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: beta]라 하면

[eqn: vec h_1 cdot vec h_2 = |`vech_1`| `|`vech_2`|` cos beta]에서

[eqn: (1,~-2,~2) cdot (1,~0,~0)][eqn: = sqrt { 1^2 +(-2)^2 +2^2} sqrt { 1^2 +0^2 +0^2} `cos beta]

[eqn: 1 = 3 `cos ` beta], [eqn: cos` beta = 1over3]

한편, 삼각형 [eqn: \ABC]와 평면 [eqn: x-2y +2z=1]이 이루는 각의 크기는 [eqn: beta+alpha] 또는 [eqn: beta - alpha]이다. 그런데 정사영의 넓이가 최대가 되려면 두 평면이 이루는 예각의 크기가 최소가 되어야 하므로

각의 크기의 최솟값을 [eqn: theta]라 하면

[eqn: theta = beta - alpha = beta - pi over3]

따라서 구하는 정사영의 넓이의 최댓값은

[eqn: 6 `cos` theta][eqn: = 6` cos LEFT ( beta - pi over3 RIGHT )]
[eqn: = 6 LEFT ( cos` beta ` cos pi over3 + sin` beta` sin pi over3 RIGHT )]
[eqn: = 6 LEFT ( 1over3 times 1 over2 + {2 sqrt { 2} } over {3 } times { sqrt { 3} } over { 2} RIGHT )]
[eqn: = 1+2 sqrt { 6}]

22. 순열과 조합	[eqn: 126]

정답

[eqn: `_3 {\H}_r = _3+r-1 {\C}_r = _7 {\C}_2 = _7{\C}_5]

[eqn: therefore```][eqn: r=5]

[eqn: therefore```][eqn: `_5 {\H}_r][eqn: = _5 {\H}_5 = _9 {\C}_5 = _9 {\C}_4]
[eqn: = {9 times 8times 7times 6} over {4times 3times 2times 1}]
[eqn: =126]

23. 삼각함수	[eqn: 35]

정답

[eqn: 3` cos` 2x +17`cos `x =0]

[eqn: 3(2` cos^2 x -1) +17` cos `x =0]

[eqn: 6 `cos ^2 x +17 `cos`x -3=0]

[eqn: (6 `cos`x -1 ) (cos `x +3) =0]

[eqn: therefore```][eqn: cos` x = 1over 6] [eqn: (because``` -1 le cos` x le1 )]

[eqn: sin^2 x = 1 - cos ^2 x = 1 - 1over 36 = 35 over36]

[eqn: therefore```][eqn: tan^2 x][eqn: = { sin^2 x} over { cos ^2 x}][eqn: = { 35 over 36} over { 1 over36} = 35]

24. 공간도형과 공간좌표	[eqn: 13]

정답

타원 위의 점 [eqn: \P]의 좌표를 [eqn: (a,~b,~0)]이라 하고,

점 [eqn: rm A]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면

[eqn: \H(9,~0,~0)]이므로

[eqn: rm bar AP = sqrt { {bar AH}^2 +{barPH}^2} = sqrt { 5^2 + {bar PH}^2}]

따라서 [eqn: rm barPH]가 최대일 때, [eqn: rm bar AP]도 최대가 된다.

그림에서 점 [eqn: \P]의 좌표가 [eqn: (-3,~0)]일 때, [eqn: rm bar PH][eqn: =12]로 최대가 된다.

[eqn: therefore```][eqn: rm bar AP le sqrt { 5^2 +12^2} = 13]

따라서 [eqn: rm bar AP]의 최댓값은 [eqn: 13]이다.

25. 수열	[eqn: 10]

정답

세 수 [eqn: a], [eqn: a+b], [eqn: 2a-b]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2(a+b)=a+(2a-b)]

[eqn: therefore```][eqn: a=3b]	…… ㉠

세 수 [eqn: 1], [eqn: a-1], [eqn: 3b+1]이 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: (a-1)^2 = 1times (3b+1)]

㉠을 대입하면

[eqn: (a-1)^2 = a+1], [eqn: a^2 - 2a+1=a+1]

[eqn: a(a-3)=0]   [eqn: therefore```][eqn: a=0] 또는 [eqn: a=3]

그런데, 주어진 등비수열의 공비가 양수이므로

[eqn: a=3], [eqn: b=1]

[eqn: therefore```][eqn: a^2 +b^2 =10]

26. 이차곡선	[eqn: 12]

정답

포물선 [eqn: y^2 = nx] 위의 점 [eqn: (n,~n)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: ny = { n} over { 2} (x+n)]

[eqn: nx-2ny+n^2 =0]

주어진 포물선의 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( n over 4 ,~0 RIGHT )]이므로

점 [eqn: (n,~n)]에서의 접선과 초점 사이의 거리 [eqn: d`]는

[eqn: d = { n^2 over 4 +n^2} over { sqrt { n^2 +4n^2} } = { 5over4 n^2} over { sqrt { 5} n} = { sqrt { 5} } over { 4} n]

[eqn: d^2`=][eqn: 5 over16 n^2 ge 40], [eqn: n^2 ge 128]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 12]이다.

27. 함수의 극한과 연속	[eqn: 65]

정답

[eqn: rm bar OA = 1]이므로

[eqn: rm bar OS = bar OA `sin` theta = sin`theta], [eqn: rm bar AS = bar OA `cos` theta = cos` theta]

[eqn: therefore```][eqn: f(theta) = 1over2 `sin `theta `cos` theta = 1over4 `sin ` 2 theta]

[eqn: rm bar OP = bar OA =1]이므로 삼각형 [eqn: \AOP]는 이등변삼각형이고

[eqn: rm angle OPS = theta]이다.

[eqn: therefore```][eqn: rm angle POQ = 2 theta], [eqn: rm angle OPQ = pi over2 - 2 theta]

[eqn: rm bar PQ = bar OP `sin` 2 theta = sin `2theta]

[eqn: rm barPR = barPQ `cos LEFT ( pi over2 - 2 theta RIGHT ) = sin^2` 2 theta]

[eqn: rm bar RQ = bar PQ ` sin LEFT ( pi over2 - 2 theta RIGHT ) = sin `2 theta ` cos` 2 theta]

[eqn: therefore```][eqn: g(theta) = 1over2 `sin^3 ` 2 theta ` cos `2theta]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ theta`->`+0} { { theta^2 f(theta)} over {g(theta) } }][eqn: = lim _{ theta `->`+0} { { 1over4 theta^2` sin` 2 theta} over {1 over2 `sin^3 ` 2 theta` cos `2 theta } }]
[eqn: = 1over2 lim _{ theta `->`+0} { { theta^2} over { sin^2` 2theta` cos `2theta} }]
[eqn: = 1over2 lim _{ theta `->`+0} {left{ LEFT ( { 2 theta} over { sin `2theta} RIGHT ) ^2 times { 1} over { 4` cos `2theta}right} }]
[eqn: = 1over2 times 1^2 times 1over4]
[eqn: = 1over8 = q over p]

[eqn: therefore```][eqn: p^2 +q^2 = 8^2 +1^2 =65]

28. 적분법	[eqn: 24]

정답

[eqn: F``(x) = int _{ 0} ^{x } { f(t)dt}]에서 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: F``'(x)=f(x)]

[eqn: F``(g(x))= 1over2 F``(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(g(x)) g'(x) = { 1} over { 2} f(x)]

[eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: f(g(2)) g'(2) = { 1} over { 2} f(2)]	…… ㉠

[eqn: F``(x)][eqn: = int _{ 0} ^{x } { left{ 3(t-1)^2 +5 right}dt}]
[eqn: = int _{ 0} ^{x } {(3t^2 - 6t +8)dt }]
[eqn: = left[ t^3 -3t^2 +8t right]_0^x]
[eqn: = x^3 - 3x^2 +8x]

[eqn: F``(g(2)) = 1over2 F``(2) = 6]에서 [eqn: g(2)=a]로 놓으면

[eqn: a^3 - 3a^2 +8a= 6], [eqn: a^3 - 3a^2 +8a -6=0]

[eqn: (a-1)(a^2 - 2a+6)=0]   [eqn: therefore```][eqn: a=1]

즉, [eqn: g(2)=1]이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: f(1) g'(2) = 1over2 f(2)]

이때, [eqn: f(1)=5], [eqn: f(2)=8]이므로

[eqn: g'(2) = 4over5 = p]

[eqn: therefore```][eqn: 30p = 30 times 4over5 = 24]

29. 공간도형과 공간좌표	[eqn: 32]

정답

네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmA'], [eqn: rmB], [eqn: rmB']을 지나는 평면으로 자른 단면은 다음과 같다.

그림에서 [eqn: rm bar OB' = 3], [eqn: rm bar OA' = 2]이므로 [eqn: rm bar {A'B ' }= 5]

[eqn: rm bar {AB '} = sqrt { 12^2 +5^2} =13]

점 [eqn: \B]에서 [eqn: rm bar AA']에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면 직선 [eqn: rm AB]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기는 선분 [eqn: rm AB]와 선분 [eqn: rm BH]가 이루는 각의 크기와 같다.

[eqn: therefore```][eqn: rm angle ABH = theta]

또, 구와 원뿔의 접점을 [eqn: rmD]라 하자. 두 삼각형 [eqn: rm B' BD]와 [eqn: rm AB'A']에서 [eqn: rm angle BB'D = beta]라 하면 [eqn: rm angle B' A A' = beta](엇각)이므로 [eqn: rm triangle B' BD]□[eqn: rm triangle AB' A']이다.

따라서 [eqn: rm bar BD ： bar B'A' = bar B'B ： bar AB']이므로

[eqn: 4：5 = rm bar B'B ：13]   [eqn: therefore```][eqn: rm bar B'B = 52 over 5]

[eqn: rm bar AH = 12 - 52 over5 = 8 over 5]

[eqn: rm bar BH = bar B'A' = 5]

[eqn: therefore```][eqn: tan theta = rm { bar AH} over { bar BH} = { 8 over 5} over { 5} = { 8} over { 25} = itp]

[eqn: therefore```][eqn: 100p = 100 times { 8} over { 25} = 32]

30. 수열	[eqn: 39]

정답

두 점 [eqn: \P,~Q]의 좌표는 [eqn: {\P}(t,``a^t+1`),~{\Q}(t,``b^t`)]이다.

(ⅰ) [eqn: a >b]일 때,

[eqn: bar {\PQ}`=a^t+1 -b^t]

[eqn: t=1]일 때 [eqn: rm bar PQ]는 최솟값을 가지므로 [eqn: t=1]을 대입하면

[eqn: bar {\PQ}`=][eqn: a^2 -b le 10]

이 부등식을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 [eqn: (3,~2)]의 [eqn: 1]개이다.

(ⅱ) [eqn: a=b]일 때,

[eqn: bar {\PQ}`=a^t+1 -b^t][eqn: =a^t+1 -a^t]

[eqn: t=1]일 때 [eqn: rm bar PQ]는 최솟값을 가지므로 [eqn: t=1]을 대입하면

[eqn: bar {\PQ}`=][eqn: a^2 -a le 10]

[eqn: a^2 -a -10 le0]

이 부등식을 만족시키는 [eqn: a]는 [eqn: 2], [eqn: 3]의 [eqn: 2]개이다.

그러므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 [eqn: (2,~2)], [eqn: (3,~3)]의 [eqn: 2]개이다.

(ⅲ) [eqn: a <b]일 때,

두 곡선 [eqn: y = a^x+1], [eqn: y = b^x]은 [eqn: x>0]에서 한 점에서 만나므로 [eqn: rm bar PQ le 10]인 [eqn: t]가 존재한다.

그러므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 [eqn: (2,~3)], [eqn: (2,~4)], [eqn: cdots], [eqn: (2,~10)], [eqn: (3,~4)], [eqn: (3,~5)], [eqn: cdots], [eqn: (3,~10)], [eqn: cdots], [eqn: (9,~10)]의 [eqn: 8times9 over2 = 36]개이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수는

[eqn: 39]이다.

수리 영역_나형

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2012 수능 해설

수리 영역

1. ②	2. ④	3. ①	4. ③	5. ②

6. ⑤	7. ④	8. ①	9. ③	10. ⑤

11. ⑤	12. ③	13. ④	14. ②	15. ⑤

16. ①	17. ②	18. ③	19. ①	20. ⑤

21. ④	22. [eqn: 11]	23. [eqn: 19]	24. [eqn: 35]	25. [eqn: 10]

26. [eqn: 12]	27. [eqn: 20]	28. [eqn: 37]	29. [eqn: 21]	30. [eqn: 39]

1. 행렬과 그래프	②

정답

행렬 [eqn: A = pmatrix{`1&````-2`#`0&```````````1`}]에 대하여

[eqn: A^-1 = { 1} over { 1-0} pmatrix{`1&&2`#`0&&1`} = pmatrix{`1&&2`#`0&&1`}]

따라서 행렬 [eqn: A^-1]의 모든 성분의 합은

[eqn: 1+2+0+1=4]

2. 수열의 극한	④

정답

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 5^n+1 +2} over { 5^n +3^n} } = lim _{ n`->`inf} { { 5 + 2 LEFT ( 1over5 RIGHT )^n } over { 1 + LEFT ( 3over5 RIGHT )^n } } = 5]

3. 다항함수의 미분법	①

정답

함수 [eqn: f(x) = x^2 +5]에서

[eqn: f`' (x) = 2x]   [eqn: therefore```][eqn: f`'(1) =2]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ h`->`0} { { f(1+h) - f(1)} over {h } } = f`'(1)=2]

4. 로그와 로그함수	③

정답

유클리드 생수 [eqn: 1]병의 가격은

[eqn: 500 times sqrt { 3} of 8][eqn: = 500 times sqrt { 3} of 2^3]
[eqn: = 500 times 2]
[eqn: = 1000](원)

피타고라스 김밥 [eqn: 1]줄의 가격은

[eqn: 500 times log_{`3 } `27][eqn: = 500 times log_{`3} `3^3]
[eqn: =500 times 3]
[eqn: = 1500](원)

따라서 지불해야 할 금액은 [eqn: 2500]원이다.

5. 수열	②

정답

[eqn: a_n+1 = { 2n} over { n+1}a_n]에서

[eqn: a_2 = { 2} over { 2} a_1 =1]

[eqn: a_3 = { 4} over { 3} a_2 = { 4} over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: a_4 = { 6} over { 4} a_3 = { 6} over { 4} times { 4} over { 3} = 2]

6. 통계	⑤

정답

확률의 합이 [eqn: 1]이므로

[eqn: { 1} over { 4} + a+2a =1]

[eqn: therefore```][eqn: a = { 1} over { 4}]

[eqn: { \E} (X`) = 0 cdot 1 over4 + 1 cdot 1 over4 + 2 cdot 2over4 = 5over4]

[eqn: therefore```][eqn: {\E} (4X +10)][eqn: = 4` {\E} (X`) +10]
[eqn: = 4 cdot 5over 4 +10]
[eqn: =15]

7. 로그와 로그함수	④

정답

누에나방 암컷이 페로몬을 분비한 후 [eqn: 1]초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 [eqn: 2]인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는 [eqn: a]이므로

[eqn: log`a][eqn: = A - 1over2 ` log`1 - { K cdot 2^2} over { 1}]
[eqn: = A - 4 K]	…… ㉠

또, 분비한 후 [eqn: 4]초가 지났을 때 분비한 곳으로부터 거리가 [eqn: d`]인 곳에서 측정한 페로몬의 농도는 [eqn: { a} over { 2}]이므로

[eqn: log` { a} over { 2}][eqn: = A - { 1} over { 2} `log`4 - { K cdot d`^2} over { 4}]
[eqn: = A- log`2 - { K} over { 4} d`^2]

㉠을 대입하면

[eqn: log` { a} over { 2}][eqn: = log`a - log`2]
[eqn: = A - 4K - log`2]
[eqn: = A - log` 2 - { K} over { 4} d`^2]

[eqn: 4K = { K} over { 4} d`^2], [eqn: d`^2 = 16]

[eqn: therefore```][eqn: d=4] ([eqn: ∵```][eqn: d>0])

8. 확률	①

정답

다항식 [eqn: (x+a)^7]의 전개식에서 [eqn: x^4]항은

[eqn: `_7 {\C} _3 `x^4 a^3 = 35 a^3 x^4]

이므로

[eqn: 35a^3 = 280], [eqn: a^3 = 8]

[eqn: therefore```][eqn: a=2]

따라서 다항식 [eqn: (x+2)^7]의 전개식에서 [eqn: x^5]항은

[eqn: `_7 {\C} _2 `x^5 cdot2^2 = 84 x^5]

이므로 [eqn: x^5]의 계수는 [eqn: 84]이다.

9. 다항함수의 적분법	③

정답

[eqn: F``(x) = int _{ 0} ^{x } { (t^3 -1)}dt]에서

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: F``' (x) = x^3 -1]

[eqn: therefore```][eqn: F``'(2) = 2^3 -1 = 7]

10. 확률	⑤

정답

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B`]가 서로 독립이므로

[eqn: {\P} (A cap B`) = {\P} (A)` {\P} (B`)]

[eqn: {\P}(A``|``B`)][eqn: = { {\P}(A cap B`)} over { {\P}(B`)}]
[eqn: = { {\P}(A)` {\P} (B`)} over { {\P}(B`)}]
[eqn: = {\P} (A) = { 3} over { 8}]

그러므로

[eqn: {\P}(A cup B`)][eqn: = {\P} (A) +{\P} (B`) - {\P} (A cap B`)]
[eqn: = 3over 8 + {\P}(B`) - { 3} over { 8} {\P} (B`)]
[eqn: = { 3} over { 8} + { 5} over { 8} {\P} (B`)]
[eqn: = 1over2]

[eqn: therefore```][eqn: {\P}(B`) = { 1} over { 5}]

[eqn: therefore```][eqn: {\P}(A cap B`^C`` )][eqn: = {\P} (A)` -{\P}(A capB`)]
[eqn: = {\P} (A)- {\P} (A){\P} (B`)]
[eqn: = 3over 8 -{3over8} times{1over5}]
[eqn: = { 3} over { 10}]

11. 수열	⑤

정답

첫째항이 [eqn: -5]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을 구해 보면

[eqn: a_n][eqn: = -5 +(n-1 ) times 2][eqn: = 2n -7]

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ k=11} ^{ 20} a_k][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 20}a_k - sum _{ k=1} ^{ 10}a_k]
[eqn: = sum _{ k=1} ^{ 20}(2k-7) - sum _{ k=1} ^{ 10}(2k-7)]
[eqn: = LEFT ( 2 times { 20 times 21} over { 2} - 20 times 7 RIGHT )]

[eqn: - LEFT ( 2 times { 10 times 11} over {2 } - 10 times 7 RIGHT )]

[eqn: =280 - 40]

[eqn: =240]

12. 함수의 극한과 연속	③

정답

점 [eqn: {\P} (t,~ t+1)]을 지나고 직선 [eqn: y=x+1]에 수직인
직선의 방정식은

[eqn: y - (t+1) = - (x-t)], [eqn: y = -x +2t+1]

이 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: \Q]의 좌표는

[eqn: {\Q} (0,~ 2t+1)]

이므로 점 [eqn: {\A}(-1,~0)]에 대하여

[eqn: rm {bar AP}^2][eqn: = (t+1)^2 +(t+1)^2 = 2(t+1)^2 = 2t^2 +4t +2]

[eqn: rm {bar AQ}^2][eqn: = (0+1)^2 +(2t+1)^2 = (2t+1)^2 +1]
[eqn: = 4t^2 +4t+2]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ t`->`inf} { rm { {bar AQ}^2 } over { {bar AP}^2 } }][eqn: = lim _{ t`->`inf} { { 4t^2 +4t+2} over { 2t^2 +4t+2} }]
[eqn: = lim _{ t`->`inf} { { 4 + 4over t + { 2 } over { t^2} } over { 2 + 4 over t + 2 over t^2 } }]
[eqn: = { 4+0+0} over { 2+0+0}]

[eqn: =2]

13. 확률	④

정답

(ⅰ) 주머니 [eqn: \A]에서 짝수가 적힌 카드를 뽑을 확률
[eqn: { 2} over { 6} times { 2} over { 5} = { 2} over { 15}]

(ⅱ) 주머니 [eqn: \B]에서 짝수가 적힌 카드를 뽑을 확률
[eqn: { 4} over { 6} times { 3} over { 6} = { 1} over { 3}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: { 2 over15} over { 2 over 15 + 1over3} = { 2 over15} over { 7 over15} = 2over7]

14. 수열의 극한	②

정답

그림 [eqn: R`_n]에서 새로 색칠된 부분의 넓이의 합을 [eqn: a_n]이라 하자.

그림 [eqn: R`_1]에서 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 직사각형의 세로의 길이를 [eqn: k]라 하면 가로의 길이는 [eqn: 3k]이고, 대각선의 길이가 원의 지름의 길이인 [eqn: 2]이므로

[eqn: k^2 + (3k)^2 = 2^2 =4], [eqn: 10k^2 =4]

[eqn: therefore```][eqn: k = { sqrt { 10} } over { 5}][eqn: (because``` k>0)]

[eqn: therefore```][eqn: a_1][eqn: =S`_1]
[eqn: = pi times 1^2 - { sqrt { 10} } over { 5} times { 3 sqrt { 10} } over { 5}]
[eqn: = pi - { 6} over { 5}]

그림 [eqn: R`_n]에서 새로 그려진 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하면

[eqn: r_{n+1}`={sqrt10 over 5}times{1over2}r_n`={sqrt10 over10}r_n]

이고, 새로 그려진 원의 개수는 [eqn: 2^n-1]이므로 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: pi - {6over5}], 공비가 [eqn: { 1} over { 5}]인 무한등비수열이다.

따라서 [eqn: S`_n = a_1 +a_2 +a_3 +cdots+ a_n]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} { S`_n}][eqn: = lim _{ n`->`inf} { (a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_n )}]
[eqn: = { pi - 6over 5} over { 1 - 1over5} = { { 5pi-6} over {5 } } over { { 4} over {5 } }]
[eqn: = { 5pi -6} over { 4}]

[eqn: = 5 over 4 pi - 3over2]

15. 행렬과 그래프	⑤

정답

ㄱ. (참) [eqn: A^2 +B = 3E`]에서 [eqn: B`` = 3E`` - A^2]이므로

[eqn: AB`][eqn: = A (3E`` -A^2 )]
[eqn: = 3A - A^3]
[eqn: = (3E ``- A^2 ` ) A]

[eqn: = BA]

ㄴ. (참) [eqn: A^2 +B =3E`]에서

[eqn: A^4 = (3E - B`)^2 = 9E - 6B+B^2]

[eqn: A^4 +B^2 = 7E`]에서 [eqn: A^4 = 7E - B^2]이므로

[eqn: 9E - 6B +B^2 = 7E - B^2]

[eqn: E =B`(3E-B`)]

[eqn: therefore```][eqn: B``^-1 = 3E - B = A^2][eqn: (because``` A^2 +B =3E``)]

ㄷ. (참) ㄴ에 의해

[eqn: A^6 +B^3 = (B``^-1 )^3 +B^3]이고,

[eqn: A^2 +B = B``^-1 +B = 3E`]이므로

[eqn: (B``^-1 +B`)^3]

[eqn: = (B``^-1 )^3 +3(B``^-1 )^2 B+3B^-1 B^2 +B^3]

[eqn: =(B``^-1 )^3 +B^3 +3 (B``^-1 +B`)]

에서

[eqn: (3E`)^3][eqn: = (B``^-1 )^3 +B^3 +9E]

[eqn: therefore```][eqn: A^6 +B^3][eqn: = (B``^-1 )^3 +B^3]
[eqn: = 27E - 9E]
[eqn: = 18E]

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

16. 통계	①

정답

확률변수 [eqn: X`]가 정규분포 [eqn: {\N}(m,~4^2 )]을 따르므로

[eqn: {\P} (m le X le a ) = {\P} left(0 le Z le {a-m } over { 4} right) = 0.3413]

[eqn: a-m over 4 =1]   [eqn: therefore```][eqn: a=m+4]

이때, 임의추출한 제품 [eqn: 16]개의 길이의 표본평균을 [eqn: bar {X``}]라 하면 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {\N}(m,~1^2 )]을 따르므로

구하는 확률은

[eqn: {\P} (bar{X``} ge a-2 )][eqn: = {\P} (bar{X``} ge m+2)]
[eqn: = {\P} (Z ge 2 )]
[eqn: = 0.5- {\P} ( 0 le Z le 2 )]
[eqn: =0.5 - 0.4772]
[eqn: = 0.0228]

17. 수열	②

정답

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_n+1 = S_n +a_n+1]이므로

[eqn: n a_n+1 = 2S_n +(n+1)^3]	…… ㉠

이다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (n-1) a_n = 2S_n-1 +n^3]	…… ㉡

이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터

[eqn: n a_n+1 - (n-1) a_n][eqn: = 2S_n +(n+1)^3 - 2S_n-1 -n^3]
[eqn: = 2 (S_n - S_n-1 )+(n+1)^3 - n^3]
[eqn: =2a_n +3n^2 +3n+1]

[eqn: na_n+1 = (n+1) a_n +]

[eqn: 3n^2 +3n+1]

을 얻는다. 양변을 [eqn: n(n+1)]로 나누면

[eqn: { a_n+1} over { n+1} = { a_n} over { n} + { 3n^2 +3n+1} over { n(n+1)}]

이다. [eqn: b_n = { a_n} over { n}]이라 하면,

[eqn: b_n+1][eqn: =b_n + { 3n(n+1)+1} over { n(n+1)}]
[eqn: = b_n +3 +] [eqn: (n ge 2 )]

[eqn: { 1} over { n(n+1)}]

이므로

[eqn: b_3 = b_2 +3 + { 1} over { 2 cdot 3}]

[eqn: b_4 = b_3 +3 + { 1} over { 3 cdot 4}]

⋮

[eqn: b_n = b_n-1 +3+ { 1} over { n(n-1)}]

양변을 각각 더하면

[eqn: b_n][eqn: =b_2 +3(n-2) + sum _{ k=2} ^{ n-1} { 1} over { k(k+1)}]
[eqn: = b_2 +3(n-2) + sum _{ k=2} ^{ n-1} LEFT ( 1 over k - 1 over k+1 RIGHT )]
[eqn: =b_2 +3 (n-2)]

[eqn: =b _2 +] [eqn: (n ge 3 )]

[eqn: + left{ LEFT ( 1 over2 - 1over3 RIGHT ) + LEFT ( 1over3 - 1over4 RIGHT ) +cdots + LEFT ( 1 over n-1 - 1over n RIGHT ) right}]

[eqn: 3(n-2)+{1over2}-{1over n}]

이다.

⋮

따라서 [eqn: f(n) = 3n^2 +3n+1], [eqn: g(n ) = { 1} over { n(n+1)}], [eqn: h(n) =3(n-2)+{1over2}-{1over n}]이므로

[eqn: { f(3)} over { g(3) h(6)} = { 37} over { 1over12 times 37 over3 } = 36]

18. 함수의 극한과 연속	③

정답

ㄱ. (참) [eqn: lim _{ x`->`+0} {` f(x)=1}]

ㄴ. (거짓) [eqn: lim _{ x`->`1} {` f(x) =2}]이고, [eqn: f(1) =1]이므로
[eqn: lim _{ x`->`1} { `f(x) != f(1)}]

ㄷ. (참) [eqn: lim _{ x`->`1} { `(x-1) f(x) = 0 times 2= 0}]
[eqn: (1-1) f(1) = 0 times 1 =0]
[eqn: therefore```][eqn: lim _{ x`->`1} { `(x-1) f(x) = (1-1) f(1)}]
그러므로 함수 [eqn: (x-1)f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

19. 다항함수의 적분법	①

정답

[eqn: f(x) = ax^2 +bx+c]라 하면

[eqn: f(0) = c=-1]

[eqn: int _{ -1} ^{1 } { f(x)dx}][eqn: =int _{ -1} ^{ 0} { f(x) dx} `+int _{ 0} ^{ 1} { f(x) dx}]이고,

주어진 조건에서

[eqn: int _{ -1} ^{1 } { f(x)dx}][eqn: =int _{ 0} ^{ 1} { f(x) dx}`=int _{ -1} ^{ 0} { f(x) dx}]이므로

[eqn: int _{ -1} ^{1 } { f(x)dx}][eqn: =int _{ 0} ^{ 1} { f(x) dx}`=int _{ -1} ^{ 0} { f(x) dx}`=0]

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { f(x)dx}][eqn: = int _{ 0} ^{1 } { (ax^2 +bx -1)dx}]
[eqn: = left[ a over3 x^3 + b over2 x^2 - x right] _0 ^1]
[eqn: = a over3 + b over2 -1][eqn: =0]	…… ㉠

[eqn: int _{ -1} ^{ 0} { f(x) dx}][eqn: = int _{ -1} ^{0 } { (ax ^2 +bx -1 )dx}]
[eqn: = left[ a over3 x^3 + b over2 x^2 - x right]_-1 ^0]
[eqn: = 0 - LEFT ( - a over3 + b over2 +1 RIGHT )]
[eqn: = a over3 - b over2 -1][eqn: =0]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=3], [eqn: b=0]

[eqn: therefore```][eqn: f(x) = 3x^2 -1]

[eqn: therefore```][eqn: f(2) = 3 times 2^2 -1=11]

20. 로그와 로그함수	⑤

정답

[eqn: log`54=1+log`5.4]이므로

[eqn: f(54)=1], [eqn: g(54)=log`5.4]

따라서 [eqn: f(n ) le f(54)]에서 [eqn: n]은 자연수이므로

[eqn: f(n)=0] 또는 [eqn: f(n)=1]

(ⅰ) [eqn: f(n )=0]일 때,

[eqn: g(n) le g(54)]에서

[eqn: 0 le log`n le log`5.4]

[eqn: 1 le n le 5.4]

따라서 [eqn: n]은 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5]의 [eqn: 5]개이다.

(ⅱ) [eqn: f(n)=1]일 때,

[eqn: g(n) le g(54)]에서

[eqn: 0 le log`n-1 le log`5.4]

[eqn: 1 le log`n le log`54]

[eqn: 10 le n le 54]

따라서 [eqn: n]은 [eqn: 10,~11 ,~cdots,~54]의 [eqn: 45]개이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 50]이다.

21. 다항함수의 미분법	④

정답

[eqn: f(x) = x^3 +ax^2 +bx +c]라 하면

[eqn: f(-x) = -f(x)]에서

[eqn: -x^3 +ax^2 -bx +c = -x^3 -ax^2 -bx -c]

[eqn: 2ax^2 +2c=0]

위의 식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야 하므로

[eqn: a=0], [eqn: c=0]

[eqn: therefore```][eqn: f(x) = x^3 +bx]

이때, 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 원점을 지나고, 방정식 [eqn: |`f(x)`| = 2]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]이므로 함수 [eqn: y = |`f(x)`|]의 그래프는 다음과 같다.

즉, 함수 [eqn: y = f(x)]의 극댓값이 [eqn: 2], 극솟값이 [eqn: -2]이어야 한다.

[eqn: f`'(x) = 3x^2 +b=0]

[eqn: therefore```][eqn: x = - sqrt { - b over3}] 또는 [eqn: x = sqrt { - b over 3}]

따라서 함수 [eqn: y = f(x)]는 [eqn: x = sqrt { - b over 3}]에서 극솟값 [eqn: -2]를 가지므로

[eqn: f` LEFT ( sqrt { - b over3 } RIGHT )][eqn: = - b over3 sqrt { - b over3 } +b sqrt { - b over 3}]
[eqn: = 2 over3 b sqrt { - b over3 } = -2]

[eqn: b sqrt { - b over3 } =-3]   [eqn: therefore```][eqn: b =-3]

[eqn: therefore```][eqn: f(x) = x^3 -3x]

[eqn: therefore```][eqn: f(3) = 3^3 - 3 times 3 = 18]

22. 함수의 극한과 연속	[eqn: 11]

정답

[eqn: lim _{ x`->`1} { {(x-1)(x^2 +3x+7)} over {x-1 } }][eqn: = lim _{ x`->`1} { (x^2 +3x+7)}]
[eqn: = 1+3+7]
[eqn: =11]

23. 로그와 로그함수	[eqn: 19]

정답

[eqn: log`_3 (x-11) = 3`log`_3`2]에서

[eqn: log`_3 (x-11) = log`_3`2^3], [eqn: x-11=8]

[eqn: therefore```][eqn: x=19]

24. 다항함수의 적분법	[eqn: 35]

정답

[eqn: int _{ 0} ^{ 5} { (4x-3)dx}][eqn: = left[ 2x^2 -3x right]_0^5]
[eqn: = (2times 5^2 - 3 times 5)-0]
[eqn: = 35]

25. 수열	[eqn: 10]

정답

세 수 [eqn: a], [eqn: a+b], [eqn: 2a-b]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2(a+b)=a+(2a-b)]

[eqn: therefore~a=3b]	…… ㉠

세 수 [eqn: 1], [eqn: a-1], [eqn: 3b+1]이 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: (a-1)^2 = 1times (3b+1)]

㉠을 대입하면

[eqn: (a-1)^2 = a+1], [eqn: a^2 - 2a+1=a+1]

[eqn: a(a-3)=0]   [eqn: therefore```][eqn: a=0] 또는 [eqn: a=3]

그런데, 주어진 등비수열의 공비가 양수이므로

[eqn: a=3], [eqn: b=1]

[eqn: therefore```][eqn: a^2 +b^2 =10]

26. 다항함수의 미분법	[eqn: 12]

정답

[eqn: f(x) = -x^3 +4x]라 하면

[eqn: f`'(x) = -3x^2 +4]

[eqn: therefore```][eqn: f`'(1)=1]

따라서 곡선 [eqn: y = -x^3 +4x] 위의 점 [eqn: (1,~3)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 1]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-3 = 1(x-1)]

[eqn: therefore```][eqn: y = x+2 =ax+b]

[eqn: therefore```][eqn: 10a +b = 10 times1 +2=12]

27. 통계	[eqn: 20]

정답

[eqn: X`]의 평균이 [eqn: { 1} over { 4}]이므로 [eqn: int _{ 0} ^{1 } { x f(x)dx = 1over4}]

구간 [eqn: [`0,~1`]]에 대한 확률변수 [eqn: X`]의 확률은 [eqn: 1]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { f(x)dx =1}]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { (ax+5) f(x)dx}]

[eqn: = a int _{ 0} ^{ 1} { x`f(x) dx + 5 int _{ 0} ^{ 1} { f(x)dx } }]

[eqn: = { 1} over { 4}a +5 =10]

[eqn: therefore```][eqn: a =20]

28. 수열의 극한	[eqn: 37]

정답

구하는 사각형의 넓이 [eqn: a_n]은 삼각형 [eqn: {\P}_n+1 {\P}_n {\Q}_n+1]과
삼각형 [eqn: {\P}_n+1 {\Q}_n+1 {\Q} _n+2]의 합과 같다.

점 [eqn: {\P}_n]에서 선분 [eqn: {\P}_n+1 {\Q}_n+1]에서 내린 수선의 발을 [eqn: {\H}_n]이라 하면

[eqn: bar{{\P}_n {\H}_n} = (n+1) -n =1]

(삼각형 [eqn: {\P}_n+1 {\P}_n {\Q}_n+1]의 넓이)

[eqn: = 1over2 times bar{{\P} _n+1 {\Q} _n+1} times bar{{\P}_n {\H}_n}]

[eqn: = 1over2 times 3^n+1 times 1 = 1over2 times 3^n+1]

(삼각형 [eqn: {\P}_n+1 {\Q}_n+1 {\Q} _n+2]의 넓이)

[eqn: = 1over2 times bar{{\P} _n+1 {\Q} _n+1} times bar{{\Q}_n+1 {\Q}_n+2}]

[eqn: = 1over2 times 3^n+1 times left{ (n+2)- (n+1) right}]

[eqn: = 1over2 times 3^n+1]

[eqn: therefore```][eqn: a_n][eqn: = 1over2 times 3^n+1 + 1over2 times 3^n+1]
[eqn: = 3^n+1]

[eqn: 1 over a_n = { 1} over { 3^n+1} = { 1} over { 3} LEFT ( 1over3 RIGHT )^n]이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} { 1} over { a_n}][eqn: = { 1} over { 3} sum _{ n=1} ^{ inf} LEFT ( 1over3 RIGHT )^n]
[eqn: = 1 over3 times { 1 over3} over { 1 - 1over3}]
[eqn: = 1over3 times { 1} over { 2} = 1over 6 = q over p]

[eqn: therefore```][eqn: p^2 +q^2 = 6^2 +1^2 =37]

29. 행렬과 그래프	[eqn: 21]

정답

조건 (가)에서 [eqn: A (A+2E `)=E`]이므로

[eqn: (A+2E`)^-1 =A]

따라서

[eqn: (A+2E `) pmatrix{`x`#y} = pmatrix{````````3`#`-3`}]

[eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix{`x`#y} = (A+2E `)^-1 pmatrix{````````3`#`-`3}]

[eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix{`x`#y} = A `pmatrix{````````3`#`-3`}]

조건 (나)에서

[eqn: pmatrix{`x`#y}][eqn: = A` pmatrix{````````3`#`-3`}]
[eqn: =3A` pmatrix{```````1`#`-1`}]
[eqn: = 3 pmatrix{`3`#`4`}][eqn: = pmatrix{9#12}]

[eqn: therefore```][eqn: x+y = 9+12=21]

30. 수열	[eqn: 39]

정답

두 점 [eqn: \P,~Q]의 좌표는 [eqn: {\P}(t,``a^t+1`),~{\Q}(t,``b^t`)]이다.

(ⅰ) [eqn: a >b]일 때,

[eqn: bar {\PQ}`=a^t+1 -b^t]

[eqn: t=1]일 때 [eqn: rm bar PQ]는 최솟값을 가지므로 [eqn: t=1]을 대입하면

[eqn: bar {\PQ}`=][eqn: a^2 -b le 10]

이 부등식을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 [eqn: (3,~2)]의 [eqn: 1]개이다.

(ⅱ) [eqn: a=b]일 때,

[eqn: bar {\PQ}`=a^t+1 -b^t][eqn: =a^t+1 -a^t]

[eqn: t=1]일 때 [eqn: rm bar PQ]는 최솟값을 가지므로 [eqn: t=1]을 대입하면

[eqn: bar {\PQ}`=][eqn: a^2 -a le 10]

[eqn: a^2 -a -10 le0]

이 부등식을 만족시키는 [eqn: a]는 [eqn: 2], [eqn: 3]의 [eqn: 2]개이다.

그러므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 [eqn: (2,~2)], [eqn: (3,~3)]의 [eqn: 2]개이다.

(ⅲ) [eqn: a <b]일 때,

두 곡선 [eqn: y = a^x+1], [eqn: y = b^x]은 [eqn: x>0]에서 한 점에서 만나므로 [eqn: rm bar PQ le 10]인 [eqn: t]가 존재한다.

그러므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는 [eqn: (2,~3)], [eqn: (2,~4)], [eqn: cdots], [eqn: (2,~10)], [eqn: (3,~4)], [eqn: (3,~5)], [eqn: cdots], [eqn: (3,~10)], [eqn: cdots], [eqn: (9,~10)]의 [eqn: 8times9 over2 = 36]개이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수는

[eqn: 39]이다.