2013학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지

수리 영역(나 형)

5 지 선 다 형

	수리 영역(나 형)

	수리 영역(나 형)

제 2 교시

12

1

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1&```````````2`#``2`&```-1}}]에 대하여 행렬 [eqn: 2A]의 모든 성분의 합은?

[2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{3}+2} over {8n ^{3} `+5}}]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =1,``a _{4} =7]일 때, [eqn: a _{2}+a_3]의 값은?
[2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: x,~y`]에 대한 연립방정식

[eqn: LEFT ( {matrix{`1`&`````2``#`3`&````a`}} RIGHT ) LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT ) `= LEFT ( pile{`0`#`0`} RIGHT )]

이 무수히 많은 해를 갖도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x -> -1} {`f(x)}``+lim _{x -> 1+0} {`f(x)} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

[eqn: LEFT ( sqrt {2` root {3} of {4}} RIGHT ) ^{3}]보다 큰 자연수 중 가장 작은 것은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

어떤 물질이 녹아 있는 용액에 단색광을 투과시킬 때 투과 전 단색광의 세기에 대한 투과 후 단색광의 세기의 비를
그 단색광의 투과도라고 한다. 투과도를 [eqn: T`], 단색광이 투과한 길이를 [eqn: l`], 용액의 농도를 [eqn: d`]라 할 때, 다음 관계가 성립한다.

[eqn: log T ``=` - k`l`d]   (단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)

이 물질에 대하여 투과길이가 [eqn: l`_0`(l`_0`>0)]이고 용액의 농도가 [eqn: 3`d`_0`(d`_0`>0)]일 때의 투과도를 [eqn: T`_1`], 투과길이가 [eqn: 2`l`_0]이고 용액의 농도가 [eqn: 4` d`_0]일 때의 투과도를 [eqn: T`_2`]라 하자. [eqn: T`_2 =T`_1^{``n}]을 만족시키는 [eqn: n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 13 over 6]	③ [eqn: 7over3]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 8 over 3]

[eqn: 5]명의 학생 [eqn: rmA,``B,``C,``D,``E]가 김밥, 만두, 쫄면 중에서 서로 다른 [eqn: 2`]종류의 음식을 표와 같이 선택하였다. 이 [eqn: 5]명 중에서 임의로 뽑힌 한 학생이 만두를 선택한 학생일 때, 이 학생이 쫄면도 선택하였을 확률은? [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: O``]가 있다. [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하고 원 [eqn: O``]와 반지름의 길이가 같은 두 원의 외부와 원 [eqn: O``]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R` _{1}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2]등분한 선분을 각각 지름으로 하는
두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R` _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 두 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R` _{2}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 4]등분한 선분을 각각 지름으로 하는

네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 [eqn: R` _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 네 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R` _{n}]에 색칠되어 있는  모양의 모든 도형의 넓이의 합을 [eqn: S` _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 3sqrt { 3}- { 4} over { 3}pi]	② [eqn: 2sqrt { 3}- {2 } over { 3}pi]	③ [eqn: 2sqrt { 3}- { piover2]

④ [eqn: 3sqrt { 3}- }pi]	⑤ [eqn: 3sqrt { 3}- { 2} over { 3}pi]

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: {rmB}`LEFT ( 6,~ {2} over {3} RIGHT )]를 따를 때, [eqn: {rmV}`(-3X+2)]의

값은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: "{"a _{n}"}"]에 대하여

[eqn: a _{1} a _{5} =9,```a _{2} a _{6} =36]

일 때, [eqn: 8(a _{1} a _{2} +a _{3} a _{4} )]의 값은? [3점]

① [eqn: 153]	② [eqn: 157]	③ [eqn: 161]	④ [eqn: 165]	⑤ [eqn: 169]

주머니 안에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 4]장의 카드가 있다. 주머니에서 갑이 [eqn: 2]장의 카드를 임의로 뽑고
을이 남은 [eqn: 2]장의 카드 중에서 [eqn: 1]장의 카드를 임의로 뽑을 때, 갑이 뽑은 [eqn: 2]장의 카드에 적힌 수의 곱이 을이 뽑은 카드에 적힌 수보다 작을 확률은? [3점]

① [eqn: 1over12]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over4]	④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 5over12]

함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)= {cases{`a&````(x LEQ 1)# -x+2 & ````(x```>1)}}}]

일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x-> 1+0} {`f(x)=`1}] ㄴ. [eqn: a=0]이면 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: y=(x-1)f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 [단계]에 따라 정육각형이 인접해 있는 모양의 도형에 자연수를 적는다.

[단계 [eqn: 1]] <그림 [eqn: 1]>과 같이 한 개의 정육각형을 그리고,
각 꼭짓점에 자연수를 [eqn: 1]부터 차례로 적는다.

[단계 [eqn: 2]] <그림 [eqn: 1]>의 아래에 [eqn: 2]개의 정육각형을 그리고,
새로 생긴 각 꼭짓점에 자연수를 [eqn: 1]부터 차례로 적어서 <그림 [eqn: 2]>를 얻는다.

[eqn: VDOTS]

[단계 [eqn: n]] <그림 [eqn: n-1]>의 아래에 [eqn: n`]개의 정육각형을 그리고,
새로 생긴 각 꼭짓점에 자연수를 [eqn: 1]부터 차례로 적어서 <그림 [eqn: n]>을 얻는다.

<그림 [eqn: 6]>에 적혀있는 모든 수의 합은? [4점]

			…
<그림 [eqn: 1]>	<그림 [eqn: 2]>	<그림 [eqn: 3]>

① [eqn: 338]	② [eqn: 349]	③ [eqn: 360]	④ [eqn: 371]	⑤ [eqn: 382]

[eqn: 2``]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y=log _{`3} `x`]의 그래프 위의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {1} over {n}]인 점을 [eqn: rm A _{itn}]이라 하자. 그래프 위의 점 [eqn: rm B _{itn}]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm C _{itn}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: rm C _{itn}]은 선분 [eqn: {rmA_{it n}B _{it n}]과 [eqn: x`]축의 교점이다.

(나) [eqn: bar{rm A _{itn} C _{itn} it} ```:` bar{rm C _{itn} B _{itn} it} =1``:`2]

점 [eqn: rm C _{itn}]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: x _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{x _{n}} over {n^2}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: 1]

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]가

[eqn: (A+B``)(A ^{-1} +B ^{`-1} )=4E]

를 만족시킨다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A^-1`+B^{`-1}]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: A=E``]이면 [eqn: B=E``]이다. ㄷ. [eqn: AB = 1 over 2 E``]이면 [eqn: A^2 + B^{`2} = E``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =`- { 4} over { 9}]이고,

[eqn: 2 ^{n} `a _{n+1} -2 ^{n+1} `a _{n} `=`n`````` LEFT ( n GEQ1 RIGHT )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_{ n}]을 구하는 과정이다.

주어진 식 [eqn: 2 ^{n} `a _{n+1} -2 ^{n+1} `a _{n} `=`n]의 양변을 [eqn: 2 ^{2n+1}]으로 나누면

[eqn: {a _{n+1}} over {2 ^{n+1}} - {a _{n}} over {2 ^{n}} =` {n } over {2^2n+1 }] ([eqn: n GEQ1])

이므로 [eqn: n GEQ 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {a _{n}} over {2 ^{n}} = {a _{1}} over {2} `+ sum _{k=1} ^{n-1} ` {k} over {2 ^{2k+1}}][eqn: ```cdots {cdots}`](*)

이다. 한편

[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} ` {k} over {2 ^{2k+1}} = {2} over {3} LEFT ( `` sum _{k=1} ^{n-1} ` {k} over {2 ^{2k}} - {1} over {4} sum _{k=1} ^{n-1} {k} over {2 ^{2k}} ` RIGHT )]

[eqn: = {2} over {3} LEFT { LEFT ( {1} over {4} + {2} over {4 ^{2}} + CDOTS + {n-1} over {4 ^{n-1}} RIGHT ) `- LEFT ( {1} over {4 ^{2}} + {2} over {4 ^{3}} + CDOTS + {n-1} over {4 ^{n}} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {2} over {3} LEFT ( ` sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {4 ^{k}} -{box{``(가)``} over {4 ^{n}} ` RIGHT )]

이므로 (*)에 의하여

[eqn: a _{n} `=`{BOX{``(나)``}}`` + {2 ^{n+1}} over {3} LEFT ( ` sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {4 ^{k}} - {BOX{``(가)``}} over {4 ^{n}} RIGHT )]

[eqn: =` -{3n+1} over {9 CDOT 2 ^{n-1} `}] ([eqn: n GEQ2])

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: `g(n)]이라 할 때, [eqn: {f(10)} TIMES g(5)]의 값은? [4점]

① [eqn: -64]	② [eqn: -56]	③ [eqn: -48]	④ [eqn: -40]	⑤ [eqn: -32]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가

[eqn: g(x)= int _{} ^{} {LEFT { x ^{2} +f(x) RIGHT } dx} ,~~f(x)`g(x)`=`-2x ^{4} +8x ^{3}]

을 만족시킬 때, [eqn: g`(1)]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

닫힌 구간 [eqn: [`0,``2`]]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=ax(x-2) ^{2}`````left(a> { 1} over {2 } right)]

에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]의 교점 중 원점 [eqn: rmO]가 아닌 점을 [eqn: rmA]라 하자. 점 [eqn: rm P `]가 원점으로부터 점 [eqn: rmA`]까지 곡선 [eqn: y=f(x)] 위를 움직일 때, 삼각형 [eqn: rm OAP]의 넓이가 최대가 되는 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {1} over {2}]이다. 상수 [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: 5 over4]	② [eqn: {4} over 3]	③ [eqn: 17} over 12]	④ [eqn: {3} over 2]	⑤ [eqn: {19} over 12]

어느 공장에서 생산하는 제품의 무게는 모평균이 [eqn: m], 모표준편차가 [eqn: 1over2]인 정규분포를 따른다고 한다.

이 공장에서 생산한 제품 중에서 [eqn: 25]개를 임의추출하여 신뢰도 [eqn: 95]%로 추정한 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰구간이 [eqn: [`a,~b`]]일 때, [eqn: {rmP}(` LEFT | Z``RIGHT | LEQc) =0.95]를 만족시키는 [eqn: c]를 [eqn: a,~b]로 나타낸 것은?
(단, 확률변수 [eqn: Z`]는 표준정규분포를 따른다.) [4점]

① [eqn: 3 (b-a)]	② [eqn: {7} over {2} (b-a)]	③ [eqn: 4 (b-a)]

④ [eqn: {9over2}(b-a)]	⑤ [eqn: 5 (b-a)]

좌표평면에서 두 함수

[eqn: f(x)=6x^3`-x],  [eqn: g(x)= LEFT | `x-a`` RIGHT |]

의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: - {11 } over {18}]    ② [eqn: - {5 } over {9}]    ③ [eqn: - { 1 over 2}]    ④ [eqn: -{4} over {9}]    ⑤ [eqn: -{7} over {18}]

단 답 형

[eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{2} +x} over {x+1}}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: int _{-2} ^{2} {x(`3x+1)`dx}]의 값을 구하시오. [3점]

다항식 [eqn: (1+ax)^5]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1440]일 때,
양수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

그래프 [eqn: G``]를 나타내는 행렬 [eqn: M``]이 다음과 같다.
그래프 [eqn: G``]의 꼭짓점의 개수를 [eqn: a], 변의 개수를 [eqn: b`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +4x-2]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0`} {{f(1+3h)-f(1)} over {h}}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rmA] 과수원에서 생산하는 귤의 무게는 평균이 [eqn: 86],
표준편차가 [eqn: 15]인 정규분포를 따르고, [eqn: rmB] 과수원에서 생산하는 귤의 무게는 평균이 [eqn: 88], 표준편차가 [eqn: 10]인 정규분포를 따른다고 한다. [eqn: rmA] 과수원에서 임의로 선택한 귤의 무게가 [eqn: 98] 이하일 확률과 [eqn: rmB] 과수원에서 임의로 선택한 귤의 무게가 [eqn: a] 이하일 확률이 같을 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오.
(단, 귤의 무게의 단위는 [eqn: rm{g}`]이다.) [4점]

첫째항이 [eqn: 10]인 수열 [eqn: left{`a _{n} ` right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} <a _{n+1}],  [eqn: sum _{k=1} ^{n}(a_{k+1} - a_k )^2 = 2 left( 1- 1 over 9^n right)]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n->inf} `{a_n }]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2} `]과 양수 [eqn: t`]에 대하여
세 점 [eqn: {rmO}(0,~0),`````{rmA}(t,~0),````{rmB}(t,~t ^{2} )]을 지나는 원 [eqn: C``]가 있다.
원 [eqn: C``]의 내부와 부등식 [eqn: y LEQ x ^{2} `]이 나타내는 영역의 공통부분의 넓이를 [eqn: S`(t)`]라 할 때, [eqn: S`` prime (1)`= {p` pi +q} over {4}]이다.
[eqn: p ^{2} `+q ^{`2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q`]는 정수이다.) [4점]

좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 정사각형 중 두 함수 [eqn: y=log``3x`,~y=log``7x`]의 그래프와 모두 만나는 것의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표, [eqn: y`]좌표가 모두 자연수이고 한 변의 길이가 [eqn: 1]이다.

(나) 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 모두 [eqn: 100] 이하이다.

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.