	정답 및 해설

	정답 및 해설

[3학년]	고려학원 02-2233-3311	[2009년 6월]

◉ 수리 영역 ◉				정답
나 형
1. ④ 6. ④ 11. ④ 16. ① 21. 16 26. ②	2. ⑤ 7. ① 12. ② 17. ④ 22. 5 27. ⑤	3. ① 8. ① 13. ③ 18. 65 23. 25 28. ③	4. ② 9. ② 14. ⑤ 19. 15 24. 10 29. ②	5. ③ 10. ③ 15. ③ 20. 21 25. 19 30. ④

1.

[eqn: 2 ^{log _{2} 4} TIMES 8 ^{{2} over {3}} =4 ^{log` _{2} 2} TIMES (`2 ^{3} ) ^{{2} over {3}}# `````````````````````````````````````````````````=4 TIMES 2 ^{2}# `````````````````````````````````````````````````=16]

④

답

2.

[eqn: A= {pmatrix{`-7&-2#````````6&``````0}} +2B# ````````= {pmatrix{`-7&-2#````````6&``````0}} +2 {pmatrix{```````2&``-1#-3&`````````1}}# ````````= {pmatrix{`-3&-4#````````0&```````2}}]

따라서, [eqn: A]의 모든 성분 합은

[eqn: =-3-4+0+2=-5]

⑤

답

3.

[eqn: lim _{n -> INF } {{2n+1} over {sqrt {9n ^{2} +1} -n}}# = lim _{n -> INF } {{2+ {1} over {n}} over {sqrt {9+ {1} over {n ^{2}}} -1}}# = {2} over {sqrt {9} -1}# =1]

①

답

4.

[eqn: {2 ^{a} +2 ^{-a}} over {2 ^{a} -2 ^{-a}} =-2]의 좌변의 분모, 분자에 [eqn: 2 ^{a}]를 곱하면

[eqn: {2 ^{2a} +1} over {2 ^{2a} -1} =-2# 2 ^{2a} +1=-2·2 ^{2a} +2# 3·2 ^{2a} =1]

∴[eqn: 2 ^{2a} = {1} over {3}]  즉, [eqn: 4 ^{a} = {1} over {3}]  [eqn: 4 ^{-a} =3]

[eqn: y]

[eqn: y=2 ^{{x} over {n}}]

[eqn: -1]

[eqn: {7} over {2}]

[eqn: 0]

[eqn: {11} over {2}]

[eqn: x]

[eqn: y=1]

[eqn: y=2]

따라서, [eqn: 4 ^{a} +4 ^{-a} = {1} over {3} +3= {10} over {3}]

②

답

5.

(가), (나)식에서

[eqn: lim _{n -> INF } {(`20- {1} over {n} )`<=` lim _{n -> INF } {(a _{n} +b _{n} )<= lim _{n -> INF } {(`20+ {1} over {n} )}}}]

에서 [eqn: lim _{n -> INF } {`(`a _{n}} +b _{n} )=20] … ①

[eqn: lim _{} {(`10- {1} over {n} )<=} lim _{} {(`a _{n} -b _{n} )<= lim _{n -> INF } {(`10+ {1} over {n} )}}]

에서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} - lim _{n -> INF } {b _{n} =10}}] … ②

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`b _{n} = lim _{n` -> ` INF } {{(`a _{n} +b _{n} )-(`a _{n} -b _{n} )} over {2}}}# ``````````````````````````= {1} over {2} `left{`20-10`right}=5]

③

답

6.

[eqn: A ^{-1} B ^{-1} = {pmatrix{`-1`&`b`#````````0`&1}}]에서

[eqn: (`A ^{-1} B ^{-1} ) ^{-1} =B`·`A= {1} over {-1} {pmatrix{`1&`-b`#`0&`-1`}}]

[eqn: BA= {pmatrix{`2&`-3`#`a&`-1`}} {pmatrix{`1&`2`#`1&`1`}}# `````````````= {pmatrix{```-1&``````1`#`a-1&```2a-1`}} = {pmatrix{`-1``&`b`#``````0&`1`}} `이므로]

[eqn: a=1``,``b=1]

[eqn: THEREFORE `a+b=2]

④

답

7.

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n} =`log` {2} over {1} +log {3} over {2} +` CDOTS `+log {n+1} over {n}# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=`log( {2} over {1} · {3} over {2} · {4} over {3} ` CDOTS {n+1} over {n} )# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=`log(`n+1`)```]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {eqalign{{n} over {10 ^{`log(`n+1)}} = lim _{n -> INF } {{n} over {(`n+1) ^{log _{10} 10}}}# ``````````````````````````````````````= lim _{n -> INF } {{n} over {n+1}}# # ``````````````````````````````````````=`1}}]

①

답

8.

[eqn: a _{n} =(-1) ^{{n(`n+1)} over {2}}]에서 주기를 찾으면

[eqn: -1=a _{1} =a _{5} =` CDOTS # -1=a _{2} =a _{6} =` CDOTS # ```````1=a _{3} =a _{7} =` CDOTS # ```````1=a _{4} =a _{8} =` CDOTS ```````````````````````````````````````따라서```주기가```4이므로]

[eqn: sum _{n=1} ^{2010} na _{n} =-1-2+3+4-5-6+7+8+` CDOTS `# ``````````````````````````````````` CDOTS `+2007+2008-2009-2010# ````````````````````````````=`4 TIMES `502`-2009-2010# ````````````````````````````=`-2011`]

①

답

9.

[eqn: f(`x+2)=f(`x)]이므로 주기[eqn: =2]인 함수이고

[eqn: f(`x)=|`x- {1} over {2} |+1]       [eqn: (- {1} over {2} <=x< {3} over {2} )]

에서 [eqn: y-1=|`x- {1} over {2} |]를 만족하므로 [eqn: f(`x)]는 [eqn: y=|`x|]을 [eqn: {cases{``x` -> ` {1} over {2}&#``y`` -> ```1&}}]만큼 평행 이동한다.

[eqn: y]

[eqn: y=2 ^{{x} over {n}}]와 [eqn: y=f(`x)]의 그래프의 교점의 개수가 5개가 되려면 [eqn: x]에 [eqn: {7} over {2}]를 대입하였을 때, [eqn: y<2]

[eqn: `x]에 [eqn: {11} over {2}]를 대입하였을 때, [eqn: y>2] 이어야 하므로

∴ [eqn: {7} over {2n} <1], [eqn: {11} over {2n} >1] 따라서 [eqn: 3.5<n<5.5]

즉, 자연수 [eqn: n]의 값 4+5=9이다.

②

답

10.

[eqn: 100]보다 작은 두 자연수 [eqn: a``,``b][eqn: (`a<b)]에서

[eqn: log`a]가수와 [eqn: log`b]의 가수합이 [eqn: 1]이므로

[eqn: log`a+log`b=정수] (단, 가수합이 0인 것 제외)

[eqn: 0=log`1<=log`a<log`100=2]

[eqn: 0=log`1<=log`b<log`100=2]

[eqn: 0<log`a+log`b<4]

따라서, [eqn: log`a+log`b=log`ab=1`,``2``,``3]

∴ [eqn: ab=10 ^{1} ``,`10 ^{2} `,`10 ^{3}]가능 (단, [eqn: a<b])

1) [eqn: ab=10` CDOTS `(2`,`5)]

2) [eqn: ab=100` CDOTS `(2`,`50)`(4`,`25)`(5`,`20)]

3) [eqn: ab=1000 CDOTS (20`,`50)`(25`,`40)]

따라서, [eqn: (`a``,``b)] 순서쌍은 6개이다.

③

답

11.

[eqn: S`=P-20`log( {4 pi ``f``R} over {c} )]에 수신전력 [eqn: S]에 -25와 -5

거리 [eqn: R]에 [eqn: R _{A}]와 [eqn: R _{B}]를 대입하면

[eqn: -25=P-20log( {4 pi ``f``R _{A}} over {c} )] … ①

[eqn: -5=P-20log( {4 pi ``f``R _{B}} over {c} )] … ②

②에서 ①을 빼면

[eqn: 20=-20`log( {4 pi ``f``R _{B}} over {c} )+20log( {4 pi ``f``R _{A}} over {c} )# ``````````=20log( {4 pi ``f``R _{A}} over {c} ` TIMES {c} over {4 pi ``f``R _{B}} )# ``````````=20log( {R _{A}} over {R _{B}} )]

∴ [eqn: {R _{A}} over {R _{B}} =10]

④

답

12.

[eqn: S _{`n}]을 [eqn: R _{n}]에 색칠되어진 도형의 넓이라고 가정하자. 이때, 반원 2개를 한 개의 원으로 생각한다면

[eqn: S _{1} =4pi-pi=3pi]

[eqn: S _{2} =3pi+2(` {4} over {9} pi- {1} over {9} pi)=3pi(`1+ {2} over {9} )# ```````````````````````````````````````````````````````````VDOTS # S _{n} =3pi(`1+ {2} over {9} +( {2} over {9} ) ^{2} +` CDOTS `+( {2} over {9} ) ^{n-1} )]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {`S _{`n} = {3 pi } over {1- {2} over {9}} = {27} over {7} pi }]

②

답

13.

[eqn: a _{1} =1],   [eqn: a _{n} `a _{n+1} =( {1} over {5} ) ^{n}]

[eqn: a _{n+1} = {( {1} over {5} ) ^{n}} over {a _{n}}]

[eqn: a _{1} =1]   ,   [eqn: a _{2} = {( {1} over {5} ) ^{1}} over {a _{1}} = {1} over {5}]

[eqn: a _{3} = {( {1} over {5} ) ^{2}} over {a _{2}} = {1} over {5}]   ,   [eqn: a _{4} = {( {1} over {5} ) ^{3}} over {a _{3}} =( {1} over {5} ) ^{2}]

[eqn: a _{5} = {( {1} over {5} ) ^{4}} over {a _{4}} =( {1} over {5} ) ^{2}]   ,   [eqn: a _{6} = {( {1} over {5} ) ^{5}} over {a _{5}} =( {1} over {5} ) ^{3} ``` CDOTS]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =( {1} over {5} )+( {1} over {5} ) ^{2} +` CDOTS # `````````````````````````= {{1} over {5}} over {1- pile{1#5}} = {1} over {4}]

③

답

14.

ㄱ. [eqn: PAP=A] 이므로

[eqn: {pmatrix{`0`&`1`#`1`&`0`}} ` {pmatrix{`a`&`b`#`c`&`d`}} ` {pmatrix{`0`&`1`#`1`&`0`}} `= {pmatrix{`d`&`c`#`b`&`a`}} `= {pmatrix{`a`&`b`#`c`&`d`}}]

∴ [eqn: a=d], [eqn: b=c] 즉, [eqn: A= {pmatrix{`a`&`b`#`b`&`a`}}]모양 이므로

[eqn: P`` IN `S] 따라서 (참)

ㄴ. [eqn: A= {pmatrix{`a`&`b`#`b`&`a`}} ```,```B= {pmatrix{`c`&`d`#`d`&`c`}}]라면

[eqn: AB= {pmatrix{`a`&`b`#`b`&`a`}} ` {pmatrix{`c`&`d`#`d`&`c`}} `= {pmatrix{`ac+bd`&``ad`+bc`#`bc+ad`&``bd+ac`}} ` IN `S]

따라서 (참)

ㄷ. [eqn: A` IN `S]이고 [eqn: A ^{2} =0]이면

[eqn: A= {pmatrix{`a`&`b`#`b`&`a`}} `` {pmatrix{`a`&`b`#`b`&`a`}} `= {pmatrix{`a ^{2} +b ^{2`}&``2ab#2ab&`b ^{2} +a ^{2} `}} `= {pmatrix{`0`&`0`#`0`&`0`}}]

∴ [eqn: a=b=0] 즉, [eqn: A= {pmatrix{`0`&`0`#`0`&`0`}}] 이므로 (참)

⑤

답

15.

두 다항식의 곱

[eqn: (`a _{0} +a _{1} x+` CDOTS `+a _{n-1} x ^{n-1} )`(b _{0} +b _{1} x+` CDOTS `+b _{n} x ^{n} )]

에서 [eqn: x ^{n-1}]계수는

[eqn: a _{0} `b _{n-1} +a _{1} `b _{n-2} +` CDOTS `+a _{n-1} `b _{0}]

[eqn: (`1+x) ^{2n-1} =(`1+x) ^{n-1} `(1+x) ^{n}]

좌변에서 [eqn: x ^{n-1}]계수는

[eqn: {} _{2n-1} C _{n-1}]

우변에서

[eqn: ( _{`n-1} C _{`0} + _{n-1} C _{1} `x ^{1} +` CDOTS `+ _{n-1} C _{`n-1} `x ^{n-1} )( _{`n} C _{`0} + _{n} C _{`1} `x ^{1} +` CDOTS `+ _{n} C` _{n} x _{} ^{n} )]

에서 [eqn: x ^{n-1}]계수는

[eqn: {} _{n-1} C _{0} ` _{`n} C _{n-1} + _{n-1} C _{1} `` _{n} C _{n-2} +` CDOTS `+ _{n-1} C _{n-1} `` _{n} C _{`0}]

[eqn: `= sum _{k=1} ^{n} (` _{n-1} C _{k-1} `times][eqn: `)]

[eqn: {} _{2n-1} C _{n-1}]

[eqn: {} _{n} C _{n-k}]

한편 [eqn: 1 <= k <= n]일 때,

[eqn: k`times _{n} C _{k} =n``times` _{n-1} C _{k-1}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k`·`( _{n} `C _{k} ) ^{2} `= sum _{k=1} ^{n} (`n`` _{n-1} C _{k-1} `times][eqn: `)]

[eqn: {} _{n} C _{n-k}]

[eqn: =n`times` sum _{k=1} ^{n} ( _{n-1} C _{k-1} `times][eqn: `)]

[eqn: {} _{n} C _{n-k}]

[eqn: =n`·` _{2n-1} `C` _{n-1}]

[eqn: =n`·` {(`2n-1)`!```times``2n} over {n`!`(n-1)`!`times`2n}]

[eqn: = {n} over {2} `` {2n`!} over {n`!`n`!}]

[eqn: =`]

[eqn: {n} over {2} `` _{2n} C _{n}]

③

답

16.

[eqn: S= {1} over {2} (log _{2} `c+log _{2} `d)`(`d-c)# ``````= {1} over {2} (`b+c)`(2 ^{c} -2 ^{b} )# ``````= {1} over {2} (`2 ^{a} +2 ^{b} )`(`2 ^{2 ^{b}} `-2 ^{2 ^{a}} `)# ``````= {1} over {2} (f(`a)+f(`b))`((`f CIRC f)(`b)-(``f CIRC f)(`a))]

①

답

17.

ㄱ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{`0`&1`#`1`&1`}} ``,``B= {pmatrix{`1`&`0`#`1`&`1`}}]

[eqn: A+B= {pmatrix{`1`&`1`#`2`&`2`}}]   (거짓)

ㄴ. 만일

[eqn: A _{1} =A _{2} =A _{3} = {pmatrix{`0`&`1`#`1`&`1`}} ``,``A _{4} =A _{5} =A _{6} = {pmatrix{`1`&`0`#`1`&`1`}}# # A _{7} =A _{8} =A _{9} = {pmatrix{`1`&`1`#`0`&`1`}} ``,``A _{10} =A _{11} =A _{12} = {pmatrix{`1`&`1`#`1`&`0`}}]

이라면 [eqn: A _{1} +A _{2} +` CDOTS `+A _{12} = {pmatrix{`9`&`9`#`9`&`9`}}]   (참)

ㄷ. [eqn: {pmatrix{`1`&`3`#`5`&`7`}} `+A _{1} +A _{2} +` CDOTS `+A _{n}]의 성분이 모두 짝수가 될려면 [eqn: A _{1} +A _{2} +` CDOTS `+A _{n}]의 성분이 모두 홀수가 되어야 한다. 또한 성분이 모두 홀수가 될려면 최소한 [eqn: {pmatrix{`0`&`1`#``1&`1`}} ` {pmatrix{`1`&`0`#`1`&`1`}} ` {pmatrix{`1`&`1`#`0`&`1`}} ` {pmatrix{`1`&`1`#`1`&`0`}}]은 한번씩은 선택하여야 하므로 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.  (참)

④

답

18.

[eqn: (`3 ^{x} ) ^{2} -9`·`3 ^{x} +8=0]에서 두근을 [eqn: alpha`,`beta]라 할 때,

[eqn: 3 ^{alpha} +3 ^{beta} =9````,````3 ^{alpha} `·`3 ^{beta} =8]

[eqn: 따라서,```3 ^{2 alpha } +3 ^{2 beta } =(`3 ^{alpha } +3 ^{beta } ) ^{2} -2`·`3 ^{alpha `} `3 ^{beta }# ``````````````````````````````````````````````````````````````=`81-2``·`8# ``````````````````````````````````````````````````````````````=65].

65

답

19.

[eqn: 1`,`x`,`y`,`z]가 등차수열 이므로

[eqn: 2x=1+y]

[eqn: 2y=x+z] 성립한다.

따라서, 문제의 조건 [eqn: 6x+z=5y]와 연립하면

[eqn: x=3``,``y=5``,``z=7]

∴ [eqn: x+y+z=15]

15

답

20.

해가 무수히 많으므로 [eqn: {1} over {2a} = {a-2} over {-2} = {10} over {b}] 성립해야 된다. 따라서, [eqn: a ^{2} -2a+1=0]에서

[eqn: a=1``,``b=20] 이므로  ∴[eqn: a+b=21]

21

답

21.

부등식 [eqn: 1+log _{{1} over {2}} x ^{2} >log _{{1} over {2}} (`5x-8)]에서

밑이 1보다 작아서 [eqn: x ^{2} -10x+16<0]

∴ [eqn: 2<x<8]

그런데 진수조건은 [eqn: x> {8} over {5}] 이므로 이를 동시에 만족 시키는 [eqn: x]의 범위는 [eqn: 2<x<8]

[eqn: alpha=2``,``beta=8] 의 곱은 [eqn: alpha`beta=16]

16

답

22.

[eqn: f(`n)= sum _{k=1} ^{n} a _{k} =a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{n}] 이므로

[eqn: a _{m} +a _{m+1} +` CDOTS +a _{15} <0`]은

[eqn: f(`15)-f(m-1)<0]로 표현 가능하므로

[eqn: f(`15)<f(m-1)]을 만족하는 최솟값 [eqn: m]을 구하면 된다.

그런데, [eqn: f(`3)=f(15)] 이므로 [eqn: 4 <= m-1<=14]

∴ [eqn: 5<=m<=15]

5

답

23.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` _{n} C _{`k} = _{n} C _{`1} + _{n} C _{`2} + _{n} C _{`3} +` CDOTS `+ _{n} C _{`n}# ```````````````````````````=2 ^{n} -1]

∴ [eqn: 2 ^{n} -1=3]의 배수이어야 하므로

[eqn: n=2`,`4`,`6 CDOTS 50(25`개)]

25

답

24.

[eqn: log`n=f(`n)+g(`n)]에서

[eqn: 1<=n<10] 이면 [eqn: f(`n)=0``,``g(`n)=log`n]

[eqn: 10<=n<100] 이면 [eqn: f(`n)=1``,``g(`n)=log`n-1]

[eqn: VDOTS `````````````````````````````````````````````````````````````` VDOTS]

이를 그래프로 표현하면 아래와 같다.

[eqn: n]

[eqn: g(`n)]

[eqn: f(`n)]

[eqn: 100]

[eqn: 10]

[eqn: f(`n)]

[eqn: g(`n)]

1

0

위의 그래프에서 [eqn: n>=10]이면 [eqn: f(`n)-g(`n)>0]이고[eqn: 1<=n<10] 일 때, [eqn: f(`n)-g(`n)]이 음수가 나오므로 최솟값이 나온다. 따라서 최솟값을 갖기 위해

[eqn: n=9] 일때가 된다. 즉, [eqn: f(`n)-g(`n)=0-log`9# ````````````````````````````````````````````=log` {1} over {9}]

[eqn: a=9], [eqn: b=1] 이므로 [eqn: a+b=10]

10

답

25.

[eqn: A(-2`,`0)]에서 [eqn: B(2`,`0)]까지 가는 경우를

요약하면 다음과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 7]

[eqn: 3]

[eqn: 19]

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

따라서, [eqn: A]에서 [eqn: B]로가는 경우의 수는 19가지이다.

19

답

26.

[eqn: a _{n}]은 등비수열이므로, [eqn: a _{1} r=6``,``a _{1} r ^{4} =162]일 때 [eqn: a _{1} =2``,``r=3`]

따라서, 등비수열 합 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =3 ^{n} -1]

[eqn: 3 ^{n} -1>=1000] 따라서, 등비수열 합

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =3 ^{n} -1 >= 1000]을 만족하는 [eqn: n]의 최솟값은 7

②

답

27.

[eqn: a _{1}]

[eqn: a _{1}]

[eqn: a _{5}]

[eqn: a _{2}]

[eqn: a _{4}]

[eqn: a _{3}]

[eqn: a _{3}]

[eqn: a _{4}]

[eqn: a _{2}]

2

[eqn: y=3 ^{-x}]

[eqn: y]

[eqn: a _{2} =f(`a _{1} )# a _{3} =f(`a _{2} )# a _{4} =f(`a _{3} )]

[eqn: THEREFORE a _{3} <a _{4} <a _{2}]

⑤

답

28.

[eqn: {5 ^{n} a _{n}} over {3 ^{n} +1} =b _{n} ```,`` lim _{n-> INF } {b _{n}} = lim _{n-> INF } {b _{n+1}} `= alpha]라 가정하면 [eqn: a _{n} = {(`3 ^{n} +1)} over {5 ^{n}} b _{n}] 이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {a _{n+1}}} = lim _{n -> INF } {{{(3 ^{n} +1)} over {5 ^{n}} `·`b _{n}} over {{(3 ^{n+1} +1)} over {5 ^{n+1}} `·`b _{n+1}}}# ``````````````````````````````````= lim _{n -> INF } {{5 ^{n+1} (3 ^{n} +1)`·`b _{n}} over {5 ^{n} (3 ^{n+1} +1)`·`b _{n+1}}}# ``````````````````````````````````= lim _{n -> INF } {{5(3 ^{n} +1)`·`b _{n}} over {(3`·`3 ^{n} +1)`·`b _{n+1}}}# ``````````````````````````````````= {5alpha} over {3alpha}# ``````````````````````````````````= {5} over {3}]

③

답

29.

물감의 색을 [eqn: a _{1``} ,``a _{2} ``,``a _{3}]라 하자.

이 때 A,B,C,D,E 영역의 넓이는 [eqn: pi ``,``3 pi ``,``5 pi ``,]

[eqn: 7pi ``,``9 pi]가 된다.

각 영역에 색칠하는 경우는 먼저 A에 [eqn: a _{1}]을 색칠한다면 (B,C,D,E)에 대하여 ([eqn: a _{2} ``a _{1} ``a _{2} ``a _{3}])

([eqn: a _{2} ``a _{3} ``a _{2} ``a _{1}]) ([eqn: a _{3} ``a _{1} ``a _{3} ``a _{2}]) ([eqn: a _{3} ``a _{2} ``a _{3} ``a _{1}])

4가지가 생긴다.

마찬가지로 [eqn: A]에 [eqn: a _{2} ``,``a _{3}]를 색칠할때도 각각 4가지씩 존재하므로 [eqn: 4 TIMES 3=12]

②

답

30.

순서도를 표로 요약하면 아래와 같다.

A	58
S	0	1		2	3	4
[eqn: varupsilon]	0	1	0	1	1	1
A	29	14	7	3	1	0

따라서 인쇄되는 S의 값은 4

4

답