2012년 11월 8일(목) 시행

2013학년도 대학수학능력시험 해설

2교시  <수리 영역>

전국모의고사 전문  비상에듀

￭ 본 해설은 비상에듀 출제개발부

교과 연구팀에서 작성한 자료입니다.

수리 영역_가형

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2013 수능 해설

수리 영역

1. ④	2. ②	3. ③	4. ②	5. ②

6. ①	7. ①	8. ⑤	9. ⑤	10. ③

11. ①	12. ④	13. ④	14. ③	15. ⑤

16. ③	17. ④	18. ①	19. ⑤	20. ②

21. ⑤	22. [eqn: 14]	23. [eqn: 28]	24. [eqn: 36]	25. [eqn: 51]

26. [eqn: 7]	27. [eqn: 23]	28. [eqn: 40]	29. [eqn: 16]	30. [eqn: 573]

1. 행렬과 그래프	④

정답

[eqn: 2A+B=2 pmatrix{`0&`````````0`#`1&`````````1`} + pmatrix{`1&`````````0`#`1&`````````1`}]

[eqn: = pmatrix{0&`````````0`#`2&`````````2`} + pmatrix{1&`````````0`#`1&`````````1`}]

[eqn: = pmatrix{1&`````````0`#`3&`````````3`}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 1+0+3+3=7]

2. 삼각함수	②

정답

[eqn: 0< theta < {pi } over {2}]에서 [eqn: sin~ theta = {1} over {3}]이므로 [eqn: cos` theta = {2 sqrt {2}} over {3}]

[eqn: THEREFORE `sin`2 theta =2sin` theta cos` theta]

[eqn: =2 TIMES {1} over {3} TIMES {2 sqrt {2}} over {3}]

[eqn: = {4 sqrt {2}} over {9}]

3. 공간도형과 공간좌표	③

정답

두 점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~1,~3 RIGHT ) ,~{\B} LEFT ( a+6,~4,~12 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: \AB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( a+2,~5,~6 RIGHT )]

[eqn: a+2=5]에서 [eqn: a=3,~b=6]

[eqn: THEREFORE a+b=9]

4. 방정식과 부등식	②

정답

[eqn: x ^{2} -2x=t LEFT ( t>0 RIGHT )]라 하면 주어진 무리방정식은

[eqn: t+2 sqrt {t} =8]

[eqn: t-8=`-2 sqrt {t}]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

양변을 제곱하면

[eqn: t ^{2} -16t+64=4t,~t ^{2} -20t+64=0]

[eqn: LEFT ( t-4 RIGHT ) LEFT ( t-16 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE t=4] 또는 [eqn: t=16]

그런데 [eqn: t=16]은 ㉠을 만족시키지 않는 무연근이므로 [eqn: t=4]

[eqn: x ^{2} -2x=4]

따라서 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x-4=0]의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실근의 곱은 [eqn: -4]이다.

5. 순열과 조합	②

정답

그림과 같이 도로망 위의 새로운 지점을 [eqn: rm B prime ,~C prime ,~D prime]이라 하자. [eqn: \C] 지점과 [eqn: rm D] 지점을 거치지 않고 도착해야 하므로 [eqn: rm A] 지점에서 출발하여 [eqn: \C prime ,~D prime ,~ rm B prime] 지점을 차례로 거친 후 [eqn: \B] 지점에 도착해야 한다.

[eqn: \A] 지점에서 [eqn: rm C'] 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

[eqn: {4!} over {3!`1!} =4](가지)

[eqn: rm C'] 지점에서 [eqn: rm D'] 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

[eqn: {3!} over {2!`1!} =3](가지)

[eqn: rm D'] 지점에서 [eqn: rm B prime] 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

1(가지)

[eqn: rm B prime] 지점에서 [eqn: \B] 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는

[eqn: {2!} over {1!`1!} =2](가지)

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 4 TIMES 3 TIMES 1 TIMES 2=24](가지)이다.

6. 이차곡선	①

정답

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a} - {4y ^{2}} over {a} =1][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( b,~1 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {bx} over {a} - {4y} over {a} =1,~y= {b} over {4} x- {a} over {4}]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

이 쌍곡선의 점근선의 방정식은

[eqn: y=± {1} over {2} x]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡이 서로 수직이므로 [eqn: {b} over {4} TIMES LEFT ( ± {1} over {2} RIGHT ) =`-1]에서 [eqn: b>0]

이므로 [eqn: b=8,~a=60]

[eqn: THEREFORE a+b=68]

7. 로그와 로그함수	①

정답

[eqn: 365=20+k` rm log(8`․` {9} over {8} +1)]

[eqn: `=20+k` rm log10=20+itk]

[eqn: THEREFOREk=345]

[eqn: 710```=20+k` rm log(8` it a+1)]

[eqn: =20+345` rm log(8` it a+1)]

[eqn: 345`rm log(8 ita+1)=690]

[eqn: log(8a+1)=2]

[eqn: 8a+1=10 ^{2} =100]

[eqn: THEREFORE a= {99} over {8}]

8. 확률	⑤

정답

이 학교 전체 학생 중 임의로 [eqn: 1]명의 학생을 선택할 때, 지각한 학생일 사건을 [eqn: A], 버스로 등교한 학생일 사건을 [eqn: B], 걸어서 등교한 학생일 사건을 [eqn: C`]라 하면

[eqn: rm P it LEFT ( B` RIGHT ) = {3} over {5}], [eqn: rm P it LEFT ( C` RIGHT ) = {2} over {5}]

[eqn: rm P it LEFT ( A` RIGHT ) = {3} over {5} TIMES {1} over {20} + {2} over {5} TIMES {1} over {15} = {17} over {300}]

[eqn: rm P it LEFT ( A` SMALLINTER B RIGHT ) = {3} over {5} TIMES {1} over {20} = {3} over {100}]

[eqn: THEREFORE rm P it LEFT ( B``□A RIGHT ) = {rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {rm P it LEFT ( A RIGHT )}]

[eqn: = {{3} over {100}} over {{17} over {300}}]

[eqn: = {9} over {17}]

9. 일차변환과 행렬	⑤

정답

두 일차변환 [eqn: f,~g]를 나타내는 행렬을 각각 [eqn: A,~B]라 하면

[eqn: A= pmatrix{cos` {pi } over {3}&~-sin` {pi } over {3}#sin` {pi } over {3}&`~`````cos` {pi } over {3}}][eqn: ,~B= pmatrix{0~&`1#1~&`0}]

합성변환 [eqn: g ^{-1} CIRC f CIRC g]을 나타내는 행렬은 [eqn: B ^{-1} AB]이므로

[eqn: {} ^{-1}][eqn: pmatrix{0~&`1#1~&`0}] [eqn: pmatrix{cos` {pi } over {3}&~-sin` {pi } over {3}#sin` {pi } over {3}&`~`````cos` {pi } over {3}}][eqn: pmatrix{0~&`1#1~&`0}][eqn: = pmatrix{```````cos` {pi } over {3}&``sin` {pi } over {3}#-sin` {pi } over {3}&``cos` {pi } over {3}}]

주어진 합성변환 [eqn: g ^{-1} CIRC f CIRC g]에 의하여 점 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]가 점 [eqn: LEFT ( x prime ,~y prime RIGHT )]으로 옮겨진다고 하면

[eqn: pmatrix{x'#y'} = pmatrix{```````cos` {pi } over {3}&`sin` {pi } over {3}#-sin` {pi } over {3}&`cos` {pi } over {3}} pmatrix{x#y}]에서

[eqn: pmatrix{x#y} = pmatrix{cos` {pi } over {3}&`-sin` {pi } over {3}#sin` {pi } over {3}&````````cos` {pi } over {3}} pmatrix{x prime #y prime }][eqn: = pmatrix{```````` {1} over {2} ~~&- {sqrt {3}} over {2}#{sqrt {3}} over {2}&~~ {1} over {2}} pmatrix{x prime #y prime }]

따라서 [eqn: x= {1} over {2} LEFT ( x prime - sqrt {3} y prime RIGHT ) ,~y= {1} over {2} LEFT ( sqrt {3} x prime +y prime RIGHT )]이므로

직선 [eqn: x+2y+5=0]에 대입하면

[eqn: {1+2 sqrt {3}} over {2} x prime + {2- sqrt {3}} over {2} y prime +5=0]

[eqn: a= {1} over {2} + sqrt {3} ,~b=1- {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: THEREFORE a+2b= {5} over {2}]

10. 방정식과 부등식	③

정답

처음 걷는 속력을 [eqn: x~ rm km/시][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT )]라 하면

[eqn: \A] 지점에서 [eqn: \B] 지점으로 갈 때 걸리는 시간은 [eqn: {1} over {x} + {5} over {2x}]

[eqn: \B] 지점에서 [eqn: \A] 지점으로 돌아올 때 걸리는 시간은 [eqn: {6} over {x+2}]

왕복하는데 걸리는 시간이 [eqn: 2]시간 [eqn: 30]분 이하가 되어야 하므로

[eqn: {1} over {x} + {5} over {2x} + {6} over {x+2} LEQ {5} over {2}][eqn: ,~ {19x+14} over {2x LEFT ( x+2 RIGHT )} LEQ {5} over {2}]

부등식을 정리하면

[eqn: 5x ^{2} -9x-14 GEQ 0,~ LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 5x-14 RIGHT ) GEQ 0]

[eqn: THEREFORE x LEQ -1] 또는 [eqn: x GEQ {14} over {5}]

그런데 [eqn: x>0]이므로 처음 걷는 속력의 최솟값은 [eqn: {14} over {5}]이다.

11. 확률	①

정답

꺼낸 [eqn: 2]개의 공의 색이 서로 다를 확률은

[eqn: {{} _{4} rm `C it rm _{1} TIMES _{3} rm `C it rm _{1} it} over {{} _{7} rm C it _{2}} = {4} over {7}]

이때, [eqn: 1]개의 동전을 [eqn: 3]번 던져 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률은

[eqn: {4} over {7} TIMES _{3} rm C it _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {3} over {14}]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

꺼낸 [eqn: 2]개의 공의 색이 서로 같을 확률은

[eqn: 1- {4} over {7} = {3} over {7}]

이때, [eqn: 1]개의 동전을 [eqn: 2]번 던져 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률은

[eqn: {3} over {7} TIMES _{2} rm C it rm _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {3} over {28}]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

따라서 ㉠, ㉡에서 구하는 확률은 [eqn: {3} over {14} + {3} over {28} = {9} over {28}]이다.

12. 적분법	④

정답

[eqn: int _{0} ^{1} {} tf LEFT ( t RIGHT ) ~dt=k]([eqn: k]는 상수)라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x ^{2}} +k]

정적분의 성질을 이용하면

[eqn: int _{0} ^{1} {} x LEFT ( e ^{x ^{2}} +k RIGHT ) dx= int _{0} ^{1} {} xe ^{x ^{2}} dx+ int _{0} ^{1} {} kx`dx]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} xe ^{x ^{2}} dx+ {k} over {2}]

[eqn: int _{0} ^{1} {} xe ^{x ^{2}} dx]에서 [eqn: x ^{2} =t]라 하면 [eqn: 2x {dx} over {dt} =1]이고

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {} xe ^{x ^{2}} dx][eqn: = int _{0} ^{1} {} {e ^{t}} over {2} dt][eqn: = {1} over {2} LEFT ( e-1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: int _{0} ^{1} {} x LEFT ( e ^{x ^{2}} +k RIGHT ) dx][eqn: = {1} over {2} LEFT ( e-1 RIGHT ) + {k} over {2} =k]

[eqn: THEREFORE k=e-1]

13. 통계	④

정답

조건 (가)에서 [eqn: rm E it LEFT ( X` RIGHT ) = {64+56} over {2} =60]

조건 (나)에서 [eqn: rm V it LEFT ( X` RIGHT ) = rm E it LEFT ( X ^{2} RIGHT ) - LEFT { rm E it LEFT ( X` RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

[eqn: =3616-3600=16]

[eqn: THEREFORE sigma LEFT ( X` RIGHT ) =4]

그러므로 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: \N LEFT ( 60,~4 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: THEREFORE][eqn: rm P it LEFT ( X LEQ 68 RIGHT ) ={\P} LEFT ( Z LEQ {68-60} over {4} RIGHT )][eqn: ={\P} LEFT ( Z LEQ 2 RIGHT )]

주어진 표에서

[eqn: rm P it LEFT ( m LEQ X LEQ m+2 sigma RIGHT )]

[eqn: = rm P it LEFT ( {m-m} over {sigma } LEQ Z LEQ {m+2 sigma -m} over {sigma } RIGHT )]

[eqn: rm =P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 2 RIGHT ) =0.4772]

[eqn: THEREFORE rm P it LEFT ( X LEQ 68 RIGHT ) =0.5+0.4772=0.9772]

14. 수열의 극한	③

정답

오른쪽 그림에서

[eqn: rm bar{OA} = bar{OC} =1]이므로

[eqn: bar{rm AC it rm } = sqrt {bar{rm OC it} ` ^{2} `+ bar{rm OA it} ` ^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: rm ANGLE ACB=90 DEG `]이므로 선분 [eqn: rm AC]를

반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm CAB]의

넓이는 [eqn: {1} over {2} `․` LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} `․` {pi } over {2} = {pi } over {2}]이고,

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: sqrt {2} `․` sqrt {2} `․` {1} over {2} =1]이다.

따라서 부채꼴 [eqn: rm CAB]에서 삼각형 [eqn: rm ABC]를 제외한 부분의 넓이는 [eqn: {pi } over {2} -1] [eqn: THEREFORE S _{1} = {pi } over {2} - LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT ) =1]이다.

오른쪽 그림에서 원 [eqn: rm O prime]의

반지름을 [eqn: r]라 하고, 원 [eqn: rm O prime]의 중심에서

선분 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH]라

하면 삼각형 [eqn: rm OO prime H]에서

[eqn: bar{rm O prime H it} =r,~ bar{rm O prime O it} =1-r,]

[eqn: bar{rm OH it} =r]이므로

[eqn: (1-r) ^{2} =r ^{2} +r ^{2} ,] [eqn: r ^{2} +2r-1=0]

[eqn: THEREFORE r=-1+ sqrt {2`} `( BECAUSE r>0)]

따라서 원 [eqn: RMO]와 원 [eqn: rm O prime]의 닮음비가 [eqn: 1:`(-1+ sqrt {2} )]이므로

넓이의 비는 [eqn: 1:(3-2 sqrt {2} )] 또한 새로 생기는 원의

개수는 직전 원의 개수의 [eqn: 2]배이므로

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {S _{n} =1+2(3-2 sqrt {2} )+2 ^{2} (3-2 sqrt {2} ) ^{2} +` CDOTS }]

[eqn: `= {1} over {1-2(3-2 sqrt {2} )} = {1} over {-5+4 sqrt {2}}]

[eqn: `= {5+4 sqrt {2}} over {7} `]

15. 함수의 극한과 연속	⑤

정답

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+3]([eqn: a,~b]는 상수)이라 하면 합성함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]에서도 연속이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: x=0]에서 연속

[eqn: lim _{x -> 0} {} `g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT ) =a+b+4]

[eqn: g LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT ) =3]

[eqn: x=0]에서 극한값과 함숫값이 같아야 하므로

[eqn: a+b+4=3,~a+b=`-1]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

(ⅱ) [eqn: x=2]에서 연속

[eqn: lim _{x -> 2+0} {} g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( -1 RIGHT ) =a-b+2]

[eqn: lim _{x -> 2-0} {} g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT ) =3]

[eqn: g LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT ) =3]

[eqn: x=2]에서 극한값이 존재하고 함숫값이 같아야 하므로

[eqn: a-b+2=3,~a-b=1]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=0,~b=`-1]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x+3]

[eqn: THEREFORE g LEFT ( 3 RIGHT ) =27]

16. 행렬과 그래프	③

정답

ㄱ. (참) [eqn: 2A ^{2} +AB=A(2A+B)=E``]이므로 [eqn: A ^{-1} =2A+B]

ㄴ. (참) [eqn: 2A ^{2} +AB=E``]에서 [eqn: AB=E``-2A ^{2}]이므로

[eqn: AB+BA=2A+E]에서

[eqn: E-2A ^{2} +BA=2A+E] [eqn: BA=2A+E-E+2A ^{2}]

[eqn: =2A+2A ^{2}]

[eqn: =(2A+2E)A]

ㄱ에서 [eqn: A]의 역행렬이 존재하므로 [eqn: B=2A+2E]

ㄷ. (거짓) ㄴ에서 [eqn: B=2A+2E]이므로 [eqn: (B-E) ^{2} =(2A+E) ^{2} =4A ^{2} +4A+E``] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠ [eqn: 2A ^{2} +AB=2A ^{2} +A(2A+2E)]                            [eqn: =2A ^{2} +2A ^{2} +2A]                               [eqn: =4A ^{2} +2A=E]

따라서 [eqn: 4A ^{2} =E-2A]                    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡
㉠에 ㉡을 대입하면

[eqn: (B-E) ^{2} =E-2A+4A+E]

[eqn: =2A+2E] [eqn: =B]

이때, [eqn: (B-E) ^{2} =O]이면 [eqn: B=O]이고,

[eqn: B=O]이면, [eqn: (B-E) ^{2} =E != O]이므로 모순이 된다.

따라서 [eqn: (B-E) ^{2} != O]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17. 수열	④

정답

[eqn: a _{n+1} =n`․`2 ^{n} + sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} (n GEQ 1)]

[eqn: a _{n} =(n-1)`․`2 ^{n-1} + sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {k} (n GEQ 2)]

따라서 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} -a _{n}][eqn: `=n`․`2 ^{n} + sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} -(n-1)`․`2 ^{n-1} - sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {k}]

[eqn: =n`․`2 ^{n} -n`․`2 ^{n-1} +2 ^{n-1} + {a _{n}} over {n}]

[eqn: =n`․`2 ^{n-1} (2-1)+`2 ^{n-1} + {a _{n}} over {n}]

[eqn: =][eqn: (n`+1)`․`2 ^{n-1} ```+ {a _{n}} over {n}]

이므로 [eqn: a _{n+1} =(n`+1)`․`2 ^{n-1} ```+ {a _{n}} over {n} +a _{n}]

[eqn: = {(n+1)a _{n}} over {n} +(n+1)`․`2 ^{n-1}]

양변을 [eqn: (n+1)]로 나누면 [eqn: {a _{n+1}} over {n+1} = {a _{n}} over {n} +2 ^{n-1}]이다.

[eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n}]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =b _{n} +2 ^{n-1} (n GEQ 2)]이고, [eqn: b _{2} =3]이므로

[eqn: b _{n} =b _{2} + sum _{k=2} ^{n-1} 2 ^{k-1} =3+ {2(2 ^{n-2} -1)} over {2-1}]

[eqn: =3+2 ^{n-1} -2]

[eqn: =2 ^{n-1} +1] [eqn: (n GEQ 2)]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(n)=(n+1)2 ^{n-1}], [eqn: g(n)=`2 ^{n-1} +1]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(4)+g(7)][eqn: =40+65=105]

18. 이차곡선	①

정답

포물선과 이 포물선의 초점 [eqn: \F]를 지나는 직선이 만나는 두 점이 [eqn: \P,~Q]이므로 두 점 [eqn: \P,~Q]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \P',~Q']이라 하자. 두 삼각형 [eqn: rm FP'P,~FQ'Q]는 닮음이므로 [eqn: rm ` bar{FP} `: bar{FQ} `= bar{FP'} `: bar{FQ prime }]이 성립한다.

한편, 자연수 [eqn: n]에 대하여 포물선 [eqn: y ^{2} = {x} over {n}]의 준선의 방정식은 [eqn: x=`- {1} over {4n}]이고 초점 [eqn: \F]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {4n} ,~0 RIGHT )]이므로 포물선의 정의에 의하여 각 선분의 길이를 구하면

[eqn: 1:a _{n} =1- {1} over {2n} : {1} over {2n} -a _{n}]

[eqn: a _{n} LEFT ( 1- {1} over {2n} RIGHT ) = {1} over {2n} -a _{n} ,~a _{n} = {1} over {4n-1}]

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{10} {1} over {a _{n}} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 4n-1 RIGHT ) =220-10]

[eqn: =210]

19. 적분법	⑤

정답

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 사차함수이고 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) >0]이므로 [eqn: h' LEFT ( 0 RIGHT ) >0]이다. 그러므로 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

그러므로 피적분함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

ㄱ.(참) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x]축과 서로 다른 [eqn: 3]점에서 만나므로 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]은 서로 다른 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다.

ㄴ.(참) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x=0]에서 감소하므로[eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) <0]이다.

ㄷ.(참) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프에서 [eqn: m=3] 또는 [eqn: m=4] 또는 [eqn: m=5]인 경우 [eqn: int _{m} ^{m+2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx>0]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

20. 공간도형과 공간좌표	②

정답

그림과 같이 정사면체 [eqn: rm ABCD]의 한 면 [eqn: \ABC]와 정삼각형 [eqn: \ABC]의 무게중심 [eqn: \G]가 평면 [eqn: alpha :2x-y+z=4] 위에 있고, 꼭짓점 [eqn: \D]는 평면 [eqn: beta :x+y+z=3] 위에 있다.

꼭짓점 [eqn: {rm D }LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]와 점 [eqn: rm G LEFT ( 1,~1,~3 RIGHT )]을 지나는 직선은 평면 [eqn: alpha]에 수직이므로 평면 [eqn: alpha]의 법선벡터 [eqn: vec { n}=][eqn: LEFT ( 2,~-1,~1 RIGHT )]과 평행하다. 그러므로 [eqn: vec{rm DG it} ⫽ vec{n}] 즉, [eqn: vec{rm DG it} =t vec{n}]을 만족시키는 적당한 실수 [eqn: t]가 존재한다.

두 점 [eqn: \D,~G]의 위치벡터를 각각 [eqn: vec { d},~ vec { g}]라 하면

[eqn: vec{rm DG it} = vec{g} - vec{d}]이므로 [eqn: 1-a=2t,~1-b=`-t,~3-c=t]

[eqn: 1-2t=a,~1+t=b,~3-t=c]

꼭짓점 [eqn: {rm D }LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]는 평면 [eqn: beta] 위의 점이므로

[eqn: a+b+c=3,~1-2t+1+t+3-t=3]

[eqn: THEREFORE t=1,~][eqn: rm D it LEFT ( -1,~2,~2 RIGHT )]

정사면체 [eqn: rm ABCD]의 한 모서리의 길이를 [eqn: x]라 하면

두 점 [eqn: rm D,~][eqn: \G] 사이의 거리는

[eqn: rm ` bar{DG} = sqrt {2 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {6}][eqn: = {sqrt {6}} over {3} x]

[eqn: THEREFORE x=3]

21. 미분법	⑤

정답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} e ^{-x} ,~f prime LEFT ( x RIGHT ) =kx LEFT ( 2-x RIGHT ) e ^{-x}]에서

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]	[eqn: {4k} over {e ^{2}}]	[eqn: SEARROW]

또한 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

곡선 [eqn: y=][eqn: f LEFT ( x RIGHT )] 위의 임의의 점 [eqn: LEFT ( t,~f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: x]축까지의 거리와 [eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값이므로  [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = cases{LEFT | t RIGHT |&`` LEFT ( LEFT | t RIGHT | LEQ f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )#kt ^{2} e ^{-t}&`` LEFT ( LEFT | t RIGHT | >f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )}]

이다. 즉, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: LEFT | x RIGHT | =kx ^{2} e ^{-x}]인 점 즉, [eqn: x=kx ^{2} e ^{-x} ,~-x=kx ^{2} e ^{-x}]인 두 점에서 불연속이다. 그런데 한 점에서만 미분가능하지 않아야 하므로 [eqn: x>0]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x]가 만나지 않거나 접해야 한다. 그런데 [eqn: k]의 값이 커짐에 따라 극댓값 [eqn: {4k} over {e ^{2}}]가 커지므로 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x]가 접할 때 [eqn: k]의 값이 최대가 된다. 이때의 접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,~f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]라 하면

[eqn: t=kt ^{2} e ^{-t} ,~1=kte ^{-t}]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

접점 [eqn: LEFT ( t,~f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]이므로

[eqn: f prime LEFT ( t RIGHT ) =kt LEFT ( 2-t RIGHT ) e ^{-t} =1]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: t=1,~k=e]

따라서 구하는 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: e]이다.

22. 미분법	[eqn: 14]

정답

[eqn: f(x)=x`ln`x+13x]에 대하여

[eqn: f` prime (x)=ln`x+14]

[eqn: THEREFORE][eqn: f` prime (1)=14]

23. 삼각함수	[eqn: 28]

정답

[eqn: 2cos` LEFT ( x- {pi } over {3} RIGHT ) =cos`x+ sqrt {3} `sin~x]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =cos~x+3 sqrt {3} `sin~x]

[eqn: = sqrt {28} `sin` LEFT ( x+ alpha RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 단,~cos` alpha = {3 sqrt {3}} over {sqrt {28}} ,~sin` alpha = {1} over {sqrt {28}} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE a= sqrt {28} ,~a ^{2} =28]

24. 일차변환과 행렬	[eqn: 36]

정답

일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬 [eqn: A= pmatrix{2&`~-1#1&`~-2}]

행렬 [eqn: A]에 대하여 [eqn: A ^{2} = pmatrix{3&````0#0&```3}]이므로 [eqn: A ^{4} = pmatrix{9&````0#0&````9}]

[eqn: pmatrix{9&````0#0&````9} pmatrix{```````5#-1} = pmatrix{`````45#-9}][eqn: = pmatrix{a#b}]

[eqn: a=45,~b=`-9]

[eqn: THEREFORE a+b=36]

25. 통계	[eqn: 51]

정답

표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 신뢰도 [eqn: 95%]로 모평균을 추정하였으므로

[eqn: 2 TIMES 1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {n}} =139.6-100.4]

[eqn: =39.2]

[eqn: THEREFORE {sigma } over {sqrt {n}} =10]

표본평균을 [eqn: bar{X``}]라 하면

[eqn: bar{X``} -1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {n}} = bar{X``} -19.6=100.4][eqn: ,~ bar{X``} =120]

신뢰도 [eqn: 99%]로 모평균을 추정하면

[eqn: LEFT [ 120-2.58 TIMES 10,~120+2.58 TIMES 10 RIGHT ]], [eqn: LEFT [ 94.2,~145.8 RIGHT ]]

따라서 신뢰구간에 속하는 자연수의 개수는

[eqn: 146-95=51](개)이다.

26. 벡터	[eqn: 7]

정답

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: \ABC]를 변 [eqn: \BC]는 [eqn: x]축 위, 꼭짓점 [eqn: \A]에서 변 [eqn: \BC]에 내린 수선의 발 [eqn: \H]는 원점이 되도록 좌표평면 위에 두자. 선분 [eqn: rm AO] 위를 움직이는 점 [eqn: \P]의 좌표를 [eqn: LEFT ( 0,~t RIGHT )][eqn: LEFT ( 0 LEQ t LEQ sqrt {3} RIGHT )]라 하면

점 [eqn: \A]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~ sqrt { 3} RIGHT )][eqn: ,~]점 [eqn: \B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT )]이므로

[eqn: {rm ` vec{PA} = vec{OA} - vec{OP}} = LEFT ( 0,~ sqrt {3} -t RIGHT )][eqn: rm ` vec{PB} = vec{OB} - vec{OP} it = LEFT ( -1,~-t RIGHT )]

[eqn: rm ` LEFT | vec{PA} ⦁ vec{PB} RIGHT | =][eqn: LEFT | ~t LEFT ( sqrt {3} -t RIGHT ) RIGHT |][eqn: = sqrt {t ^{2} LEFT ( sqrt {3} -t RIGHT ) ^{2}}]

산술평균과 기하평균의 관계

[eqn: t ^{2} + LEFT ( sqrt {3} -t RIGHT ) ^{2} GEQ 2 sqrt {t ^{2} LEFT ( sqrt {3} -t RIGHT ) ^{2}}]에 의하여

[eqn: t ^{2} = LEFT ( sqrt {3} -t RIGHT ) ^{2}]일 때, [eqn: rm ` LEFT | vec{PA} ⦁ vec{PB} RIGHT | =][eqn: sqrt {t ^{2} LEFT ( sqrt {3} -t RIGHT ) ^{2}}]의 값이 최대가 되므로 [eqn: t= {sqrt {3}} over {2}]일 때, [eqn: rm ` LEFT | vec{PA} ⦁ vec{PB} RIGHT | it = {3} over {4}]가 된다.

[eqn: {q} over {p} = {3} over {4}]이므로 [eqn: p=4,~q=3]

[eqn: THEREFORE p+q=7]

27. 수열	[eqn: 23]

정답

규칙에 따라 좌표평면위에 다음과 같이 점 [eqn: rm P _{ITn}]을 찍어보면

⋮

⋮

[eqn: rm P _{1} (-1,~0),~P _{2} (1,~0)]

[eqn: rm P _{3} (-1,~2),~P _{4} (1,~-2)]

[eqn: rm P _{5} (-1,~4),~P _{6} (1,~-4)]

[eqn: rm P _{7} (-1,~6),~P _{8} (1,~-6)]

⋮

이므로 [eqn: rm P _{it 2k+1 rm} (-1,~2 it k)( it k=0,~1,~2,~3,~ CDOTS )]이다.

따라서 [eqn: k=12]일 때, [eqn: rm P _{25} (-1,~24)]이므로

[eqn: a=`-1,~b=24]

[eqn: THEREFORE `a+b=`-1+24=23]

28. 공간도형과 공간좌표	[eqn: 40]

정답

점 [eqn: \B]에서 평면 [eqn: \AEFD]로의 정사영이 점 [eqn: \D]이므로 선분 [eqn: \BD]와 평면 [eqn: \AEFD]는 서로 수직이다. 점 [eqn: \D]에서 선분 [eqn: \EF]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면 삼수선의 정리에 의하여 선분 [eqn: \BH]도 선분 [eqn: \EF]에 수직이다. [eqn: rm ` ANGLE BHD= theta]라 하면 구하는 [eqn: cos` theta = rm ` {bar{DH}} over {bar{BH}} it]이다.

두 삼각형 [eqn: \BHE,~BAD]는 닮음이므로

[eqn: \ bar{BH} : bar{BE} = bar{BA} : bar{BD}]

[eqn: rm bar{BE} =6,~ bar{BA} =9,~][eqn: rm ` bar{BD} = sqrt {9 ^{2} +3 ^{2}} =3 sqrt {10}]이므로

[eqn: rm ` bar{BH} :6=9:3 sqrt {10}]

[eqn: rm `3 sqrt {10} TIMES bar{BH} =54,~ bar{BH} = {9 sqrt {10}} over {5}]

그러므로 [eqn: rm ` bar{DH} =3 sqrt {10} - {9 sqrt {10}} over {5} = {6 sqrt {10}} over {5}]

[eqn: THEREFORE `cos` theta = {\ bar{DH}} over {\ bar{BH}} = {{6 sqrt {10}} over {5}} over {{9 sqrt {10}} over {5}} = {2} over {3}]

[eqn: THEREFORE `60cos` theta =40]

29. 함수의 극한과 연속	[eqn: 16]

정답

[eqn: \ ANGLE ACD=2 ANGLE BCD]가 되도록 변 [eqn: \AB] 위의 점 [eqn: \D]를 잡았으므로 다음 그림과 같이

[eqn: rm ` ANGLE ACD= {2 pi } over {3} -2 theta ,~][eqn: rm ` ANGLE BCD= { pi } over {3} - theta]이고,

[eqn: rm ` ANGLE CDA= {pi } over {3} + theta]이다.

변 [eqn: \AC]의 길이를 [eqn: b]라 하면

삼각형 [eqn: \ABC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {1} over {sin` LEFT ( pi -3 theta ` RIGHT )} = {b} over {sin`2 theta }]에서 [eqn: b= {sin`2 theta } over {sin`3 theta }]

삼각형 [eqn: \ACD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {b} over {sin` LEFT ( {pi } over {3} + theta RIGHT )} = {rm ` bar{CD} it} over {sin` theta }]에서 [eqn: rm ` bar{CD} it = {b`sin` theta } over {sin` LEFT ( {pi } over {3} + theta RIGHT )}]

[eqn: sin` LEFT ( {pi } over {3} + theta RIGHT ) = {sqrt {3}} over {2} `cos` theta + {1} over {2} `sin` theta]이므로

[eqn: rm ` bar{CD} it = {2sin2` theta sin` theta } over {sin~3 theta LEFT ( sqrt {3} `cos` theta +sin` theta RIGHT )}]

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{theta -> +0} {} {rm ` bar{CD} it} over {theta }]

[eqn: = lim _{theta -> +0} {} {2sin2` theta sin` theta } over {`sin`3 theta LEFT ( sqrt {3} `cos` theta +sin` theta RIGHT ) theta }][eqn: = lim _{theta -> +0} {} {sin` theta } over {theta } TIMES {sin2` theta } over {`sin`3 theta } TIMES {2} over {LEFT ( sqrt {3} `cos` theta +sin` theta RIGHT )}]

[eqn: LEFT ( BECAUSE lim _{theta -> 0} {{sin` theta } over {theta } =1,~} lim _{theta -> 0} {{sin`2 theta } over {sin~3theta } = {2} over {3}} RIGHT )]

[eqn: = lim _{theta -> +0} {} {4} over {3 LEFT ( sqrt {3} `cos` theta +sin` theta RIGHT )}]

[eqn: = {4} over {3 sqrt {3}} = {4 sqrt {3}} over {9}][eqn: =a]

[eqn: THEREFORE 27a ^{2} =16]

30. 수열	[eqn: 573]

정답

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 함수 [eqn: y=2 ^{x} -n,~y=log _{2} (x+n)]은 [eqn: y=x]에 대칭인 서로 역함수의 관계이다.

따라서 [eqn: 2 ^{x} -n LEQ x LEQ log _{2} (x+n)]에 속하는 점 중에서

조건을 만족시키는 점 [eqn: (m,~m)]의 개수는 [eqn: 2 ^{m} -n LEQ m]을 만족시키는 정수 [eqn: m]의 개수와 같다.

[eqn: n=1]일 때, [eqn: m=0,~1]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: m=`-1,~0,~1,~2]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: m=`-2,~-1,~0,~1,~2]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: m=`-3,~-2,~-1,~0,~1,~2]

[eqn: n=5]일 때, [eqn: m=`-4,~-3,~-2,~-1,~0,~1,~2,~3]

⋮

따라서 [eqn: m LEQ 0]일 때, [eqn: n]의 값과 [eqn: m]의 개수가 같고,

[eqn: m>0]일 때, [eqn: 2 ^{m} -n LEQ m]에서

[eqn: 2 ^{m} -m LEQ n]을 만족시키는 [eqn: m]의 값을 찾으면

[eqn: 2 ^{1} -1=1], [eqn: 2 ^{2} -2=2], [eqn: 2 ^{3} -3=5], [eqn: 2 ^{4} -4=12],

[eqn: 2 ^{5} -5=27], [eqn: 2 ^{6} -6=58], ⋯ 이므로

[eqn: n=1]일 때, [eqn: m=1]

[eqn: n=2,~3,~4]일 때, [eqn: m=1,~2]

[eqn: n=5,~6,~ CDOTS ,~11]일 때, [eqn: m=1,~2,~3]

[eqn: n=12,~13,~ CDOTS ,~26]일 때, [eqn: m=1,~2,~3,~4]

[eqn: n=27,~28,~29,~30]일 때,  [eqn: m=1,~2,~3,~4,~5]

이다. 따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{30} a _{n} =(1+2+3+ CDOTS +30)]

[eqn: +(1+3 TIMES 2+7 TIMES 3+15 TIMES 4+4 TIMES 5)]

[eqn: = {30 TIMES 31} over {2} +1+6+21+60+20]                    [eqn: =465+108=573]

수리 영역_나형

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2013 수능 해설

수리 영역

1. ④	2. ③	3. ⑤	4. ③	5. ⑤

6. ①	7. ①	8. ②	9. ②	10. ⑤

11. ④	12. ⑤	13. ②	14. ③	15. ①

16. ③	17. ④	18. ③	19. ①	20. ④

21. ②	22. [eqn: 5]	23. [eqn: 10]	24. [eqn: 12]	25. [eqn: 98]

26. [eqn: 16]	27. [eqn: 23]	28. [eqn: 40]	29. [eqn: 68]	30. [eqn: 573]

1. 행렬과 그래프	④

정답

[eqn: 2A+B=2 pmatrix{`0&`````````0`#`1&`````````1`} + pmatrix{`1&`````````0`#`1&`````````1`}]

[eqn: = pmatrix{0&`````````0`#`2&`````````2`} + pmatrix{1&`````````0`#`1&`````````1`}]

[eqn: = pmatrix{1&`````````0`#`3&`````````3`}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 1+0+3+3=7]

2. 로그와 로그함수	③

정답

[eqn: log _{2} 40-log _{2} 5=log _{2} {40} over {5} =log _{2} 8=log _{2} 2 ^{3} =3]

3. 수열의 극한	⑤

정답

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5n ^{2} +1} over {3n ^{2} -1}} = lim _{n` -> ` INF } {{5+ {1} over {n ^{2}}} over {3- {1} over {n ^{2}}}} = {5} over {3}]

4. 행렬과 그래프	③

정답

그래프의 각 꼭짓점을 [eqn: rm A,~B,~C,~D,~E]라 하면 이

그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는

행렬 [eqn: P]는 다음과 같다.

	[eqn: rm A~B~C~D~E]
[eqn: \A# \B# \C# \D# \E]	[eqn: pmatrix{0~&1~&0~&0~&0#1~&0~&1~&1~&0#0~&1~&0~&1~&0#0~&1~&1~&0~&1#0~&0~&0~&1~&0}]

⇔ [eqn: P=]

따라서 모든 성분의 합은 10이다.

5. 함수의 극한과 연속	⑤

정답

[eqn: lim _{x` -> `-1-0} {f(x)```+ lim _{x` -> `+0} {f(x)=1+1=2}}]

6. 수열	①

정답

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: {a _{1} a _{2}} over {a _{3}} = {a ^{2} r} over {ar ^{2}} = {a} over {r} =2]                       [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: {2a _{2}} over {a _{1}} + {a _{4}} over {a _{2}} = {2ar} over {a} + {ar ^{3}} over {ar} =2r+r ^{2} =8`]     [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉡에서 [eqn: r ^{2} +2r-8=0]

[eqn: (r+4)(r-2)=0]

[eqn: r=-4] 또는 [eqn: r=2]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비가 양수이므로 [eqn: r=2]

따라서 ㉠에서 [eqn: {a} over {2} =2,~a=4]

[eqn: THEREFORE a _{3} =ar ^{2} =4`․`2 ^{2} =16]

7. 로그와 로그함수	①

정답

[eqn: 365=20+k` rm log(8`․` {9} over {8} +1)]

[eqn: `=20+k` rm log10=20+itk]

[eqn: THEREFOREk=345]

[eqn: 710```=20+k` rm log(8` it a+1)]

[eqn: =20+345` rm log(8` it a+1)]

[eqn: 345`rm log(8 ita+1)=690]

[eqn: log(8a+1)=2]

[eqn: 8a+1=10 ^{2} =100]

[eqn: THEREFORE a= {99} over {8}]

8. 확률	②

정답

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= {1} over {8}]이므로

[eqn: rm P it (B` ^{C} `|`A)][eqn: rm =2P it (B``|`A)][eqn: `=2`․` {rm P( it A SMALLINTER B)} over {rm P it (A)} = {1} over {4 rm P( it A)}]    이때, [eqn: rm P it (B ^{C} ``|`A)][eqn: = {rm P( it B ^{C} ` SMALLINTER A)} over {rm P it (A)}]이므로

[eqn: {rm P( it B ^{C} ` SMALLINTER A)} over {rm P it (A)}][eqn: = {1} over {4 rm P( it A)}] 따라서 [eqn: rm P it (A SMALLINTER B ^{C``} )= {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE rm P( it A)= rm P( it A SMALLINTER B ^{C} ``)+rmP( it A SMALLINTER B`)]

[eqn: = {1} over {4} + {1} over {8} = {3} over {8}]

9. 행렬과 그래프	②

정답

[eqn: pmatrix{`a+1&&a`#`1&&1} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{``-4``#`````````1`}]에서

행렬 [eqn: pmatrix{`a+1&&a`#`1&&1}]의 역행렬이 [eqn: {1} over {(a+1)-a} pmatrix{````````1&&-a`#`-1&&a+1}]

이므로

[eqn: pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{````````1&&-a`#`-1&&a+1} pmatrix{``-4``#`````````1`} = pmatrix{``-a-4``#`````````a+5`}]가 성립한다.

따라서 [eqn: x=-a-4,~y=a+5]

이때, 위의 연립방정식의 해가 방정식 [eqn: x+2y-4a=0]을

만족시키므로 [eqn: (-a-4)+2(a+5)-4a=0]

[eqn: -a-4+2a+10-4a=-3a+6=0]

[eqn: THEREFORE a=2]

10. 통계	⑤

정답

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rm B(ITn,~p)]를 따르므로

[eqn: rm E( it X)=n`․`p], [eqn: sigma (X)= sqrt {n`․`p`․`(1-p)}]이다.

[eqn: rm E( it 2X-5)=2rmE( it X)-5=175]이므로 [eqn: rm E( it X)=90]

[eqn: THEREFORE n`․`p=90]                                  [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: rm sigma ( it 2X-5)=2 sigma ( it X)=12]이므로 [eqn: sigma (X)=6]

[eqn: THEREFORE n`․`p`․`(1-p)=36]                          [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 90(1-p)=36,~1-p= {6} over {15} ,~p= {9} over {15}]

㉠에서 [eqn: n`․` {9} over {15} =90`]이므로 [eqn: n=150]

11. 다항함수의 적분법	④

정답

함수 [eqn: f(x)=x+1]이므로

(좌변)[eqn: = int _{-1} ^{1} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx= int _{-1} ^{1} {(x+1) ^{2} `dx}}]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {LEFT ( x ^{2} +2x+1 RIGHT ) dx}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} +x RIGHT ] _{-1} ^{1}]                            [eqn: = {1} over {3} +1+1-(- {1} over {3} +1-1)]

[eqn: = {8} over {3}]

(우변)[eqn: =k LEFT ( int _{-1} ^{1} {f(x)dx} RIGHT ) ^{2} `=k LEFT ( int _{-1} ^{1} {LEFT ( x+1 RIGHT ) dx} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =k LEFT ( LEFT [ {1} over {2} x ^{2} +x RIGHT ] _{-1} ^{1} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =k LEFT { {1} over {2} +1- LEFT ( {1} over {2} -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

[eqn: =4k]

(좌변)[eqn: =](우변)이므로 [eqn: {8} over {3} =4k]

[eqn: THEREFORE `k= {2} over {3}]

12. 확률	⑤

정답

(ⅰ) 같은 종류의 주스 [eqn: 4]병을 [eqn: 3]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3]개에서 [eqn: 4]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm ` _{3+4-1} C _{4} = _{6} C _{4} = _{6} C _{2} = {6`․`5} over {2`․`1} =15]

(ⅱ) 같은 종류의 생수 [eqn: 2]병을 [eqn: 3]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3]개에서 [eqn: 2]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm ` _{3+2-1} C _{2} = _{4} C _{2} = {4`․`3} over {2`․`1} =6]

(ⅲ) 우유 [eqn: 1]병을 [eqn: 3]명에게 나누어 주는 경우의 수는

[eqn: rm _{3} rmC _{1} =3]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 15`․`6`․`3=270]

13. 통계	②

정답

학생 한 명의 시험 점수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는

정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 500,~25 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rm P it (475 LEQ X LEQ 550)]

[eqn: = rm P LEFT ( {475-500} over {25} LEQ ITZ LEQ {550-500} over {25} RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ( -1 LEQ it Z LEQ 2 RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ 1 RIGHT ) + rm P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ 2 RIGHT )]

[eqn: =0.3413+0.4772=0.8185]

14. 수열의 극한	③

정답

오른쪽 그림에서

[eqn: rm bar{OA} = bar{OC} =1]이므로

[eqn: bar{rm AC it rm } = sqrt {bar{rm OC it} ` ^{2} `+ bar{rm OA it} ` ^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: rm ANGLE ACB=90 DEG `]이므로 선분 [eqn: rm AC]를

반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm CAB]의

넓이는 [eqn: {1} over {2} `․` LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} `․` {pi } over {2} = {pi } over {2}]이고,

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: sqrt {2} `․` sqrt {2} `․` {1} over {2} =1]이다.

따라서 부채꼴 [eqn: rm CAB]에서 삼각형 [eqn: rm ABC]를 제외한 부분의 넓이는 [eqn: {pi } over {2} -1] [eqn: THEREFORE S _{1} = {pi } over {2} - LEFT ( {pi } over {2} -1 RIGHT ) =1]이다.

오른쪽 그림에서 원 [eqn: rm O prime]의

반지름을 [eqn: r]라 하고, 원 [eqn: rm O prime]의 중심에서

선분 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH]라

하면 삼각형 [eqn: rm OO prime H]에서

[eqn: bar{rm O prime H it} =r,~ bar{rm O prime O it} =1-r,]

[eqn: bar{rm OH it} =r]이므로

[eqn: (1-r) ^{2} =r ^{2} +r ^{2} ,] [eqn: r ^{2} +2r-1=0]

[eqn: THEREFORE r=-1+ sqrt {2`} `( BECAUSE r>0)]

따라서 원 [eqn: RMO]와 원 [eqn: rm O prime]의 닮음비가 [eqn: 1:`(-1+ sqrt {2} )]이므로

넓이의 비는 [eqn: 1:(3-2 sqrt {2} )] 또한 새로 생기는 원의

개수는 직전 원의 개수의 [eqn: 2]배이므로

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {S _{n} =1+2(3-2 sqrt {2} )+2 ^{2} (3-2 sqrt {2} ) ^{2} +` CDOTS }]

[eqn: `= {1} over {1-2(3-2 sqrt {2} )} = {1} over {-5+4 sqrt {2}}]

[eqn: `= {5+4 sqrt {2}} over {7} `]

15. 다항함수의 미분법	①

정답

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )]에서의

접선의 방정식은 [eqn: y-f LEFT ( 1 RIGHT ) =f prime LEFT ( 1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]이고,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +9x+3]에서

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+a+9+3=a+13],

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+9]에서

[eqn: f prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3+2a+9=2a+12]이므로

[eqn: y-(a+13)=(2a+12)(x-1)]

[eqn: y=(2a+12)x-a+1=2x+b]에서

[eqn: 2a+12=2]                                 [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: -a+1=b]                                 [eqn: ` CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=`-5], [eqn: b=6]

[eqn: THEREFORE a+b=`-5+6=1]

16. 행렬과 그래프	③

정답

ㄱ. (참) [eqn: 2A ^{2} +AB=A(2A+B)=E``]이므로 [eqn: A ^{-1} =2A+B]

ㄴ. (참) [eqn: 2A ^{2} +AB=E``]에서 [eqn: AB=E``-2A ^{2}]이므로

[eqn: AB+BA=2A+E]에서

[eqn: E-2A ^{2} +BA=2A+E] [eqn: BA=2A+E-E+2A ^{2}]

[eqn: =2A+2A ^{2}]

[eqn: =(2A+2E)A]

ㄱ에서 [eqn: A]의 역행렬이 존재하므로 [eqn: B=2A+2E]

ㄷ. (거짓) ㄴ에서 [eqn: B=2A+2E]이므로 [eqn: (B-E) ^{2} =(2A+E) ^{2} =4A ^{2} +4A+E``] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠ [eqn: 2A ^{2} +AB=2A ^{2} +A(2A+2E)]                            [eqn: =2A ^{2} +2A ^{2} +2A]                               [eqn: =4A ^{2} +2A=E]

따라서 [eqn: 4A ^{2} =E-2A]                    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡
㉠에 ㉡을 대입하면

[eqn: (B-E) ^{2} =E-2A+4A+E]

[eqn: =2A+2E] [eqn: =B]

이때, [eqn: (B-E) ^{2} =O]이면 [eqn: B=O]이고,

[eqn: B=O]이면, [eqn: (B-E) ^{2} =E != O]이므로 모순이 된다.

따라서 [eqn: (B-E) ^{2} != O]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17. 수열	④

정답

[eqn: a _{n+1} =n`․`2 ^{n} + sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} (n GEQ 1)]

[eqn: a _{n} =(n-1)`․`2 ^{n-1} + sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {k} (n GEQ 2)]

따라서 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} -a _{n}][eqn: `=n`․`2 ^{n} + sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} -(n-1)`․`2 ^{n-1} - sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {k}]

[eqn: =n`․`2 ^{n} -n`․`2 ^{n-1} +2 ^{n-1} + {a _{n}} over {n}]

[eqn: =n`․`2 ^{n-1} (2-1)+`2 ^{n-1} + {a _{n}} over {n}]

[eqn: =][eqn: (n`+1)`․`2 ^{n-1} ```+ {a _{n}} over {n}]

이므로 [eqn: a _{n+1} =(n`+1)`․`2 ^{n-1} ```+ {a _{n}} over {n} +a _{n}]

[eqn: = {(n+1)a _{n}} over {n} +(n+1)`․`2 ^{n-1}]

양변을 [eqn: (n+1)]로 나누면 [eqn: {a _{n+1}} over {n+1} = {a _{n}} over {n} +2 ^{n-1}]이다.

[eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n}]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =b _{n} +2 ^{n-1} (n GEQ 2)]이고, [eqn: b _{2} =3]이므로

[eqn: b _{n} =b _{2} + sum _{k=2} ^{n-1} 2 ^{k-1} =3+ {2(2 ^{n-2} -1)} over {2-1}]

[eqn: =3+2 ^{n-1} -2]

[eqn: =2 ^{n-1} +1] [eqn: (n GEQ 2)]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(n)=(n+1)2 ^{n-1}], [eqn: g(n)=`2 ^{n-1} +1]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(4)+g(7)][eqn: =40+65=105]

18. 다항함수의 적분법	③

정답

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서

연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {f(x)```= lim _{x` -> `1+0} {f(x)}}]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {LEFT ( x ^{3} +ax RIGHT ) = lim _{x` -> `1+0} {LEFT ( bx ^{2} +x+1 RIGHT )}}]

[eqn: 1+a=b+2],  [eqn: THEREFORE `a-b=1]                  [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {{f(x)-f(1)} over {x-1}} = lim _{x-> `1+0} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {{x ^{3} +ax-1-a} over {x-1}} = lim _{x -> `1+0} {{bx ^{2} +x+1-b-2} over {x-1}}]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {{(x-1)(x ^{2} +x+a+1)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x-> `1+0} {{(x-1)(bx+b+1)} over {x-1}}]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {x ^{2} +x+a+1} = lim _{x -> `1+0} {bx+b+1}]

[eqn: a+3=2b+1],  [eqn: THEREFORE `a-2b=`-2]            [eqn: ` CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=4,] [eqn: b=3]

[eqn: THEREFORE a+b=4+3=7]

19. 수열의 극한	①

정답

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( na _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} RIGHT )]이 수렴하므로

무한급수와 일반항 사이의 관계에 의하여

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( na _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} RIGHT ) =0}]이다.

따라서 [eqn: na _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} =b _{n}]이라 두면 [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n} =0}]이고,

[eqn: na _{n} =b _{n} + {n ^{2} +1} over {2n+1}], [eqn: a _{n} = {b _{n}} over {n} + {n ^{2} +1} over {2n ^{2} +n}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} = lim _{n -> ` INF } {LEFT ( {b _{n}} over {n} + {n ^{2} +1} over {2n ^{2} +n} RIGHT )} = {1} over {2}}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {(a _{n} ^{```2} +2a _{n} +2)= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +2`․` {1} over {2} +2}]

[eqn: ``= {1} over {4} +1+2`][eqn: = {13} over {4}]

20. 함수의 극한과 연속	④

정답

두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]의 그래프를 나타내면 다음과 같다

ㄱ. (참)[eqn: lim _{x`-> `1+0} {f(x)g(x)= lim _{x`-> `1+0} {f(x)`․` lim _{x`-> `1+0} {g(x)}}}]                       [eqn: ``=`-1`․`1=`-1`]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {f(x)g(x)= lim _{x` -> `1-0} {f(x)`․` lim _{x` -> `1-0} {g(x)}}}]

[eqn: =`1`․`(-1)=`-1`]

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {f(x)g(x)=} lim _{x` -> `1-0} {f(x)g(x)=`-1}]

이므로 [eqn: lim _{x` -> `1} {f(x)g(x)=`-1}]

ㄴ. (거짓) [eqn: x+1=t]라 하면

[eqn: x` -> +0]일 때, [eqn: t` -> `1+0]

[eqn: x` -> -0]일 때, [eqn: t` -> `1-0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `+0} {g(x+1)`} = lim _{t` -> `1+0} {g(t)} `=1]

[eqn: lim _{x` -> `-0} {g(x+1)`} = lim _{t` -> `1-0} {g(t)`} =`-1]

따라서 [eqn: lim _{x` -> `+0} {g(x+1)`} != lim _{x` -> `-0} {g(x+1)`}]이므로

함수 [eqn: g(x+1)]은 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

ㄷ. (참) [eqn: x+1=t]라 하면

[eqn: x` -> -1+0]일 때, [eqn: t` -> `+0]

[eqn: x` -> -1-0]일 때, [eqn: t` -> `-0]이므로

[eqn: lim _{x` -> -1`+0} {f(x)g(x+1)`} = lim _{x` -> -1`+0} {f(x)`․``} lim _{t` -> `+0} {g(t)} `]

[eqn: =1`․`0`=0]

[eqn: lim _{x` -> -1`-0} {f(x)g(x+1)`} = lim _{x` -> -1`-0} {f(x)`․``} lim _{t` -> `-0} {g(t)} `]

[eqn: =`-1`․`0`=0]

따라서 [eqn: lim _{x` -> -1`} {f(x)g(x+1)`} =0]이고,

[eqn: f(-1)g(0)=`-1`․`0=0]이므로

[eqn: lim _{x` -> -1} {f(x)g(x+1)=f(-1)g(0)}]

따라서 함수 [eqn: f(x)g(x+1)]은 [eqn: x=`-1]에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

21. 다항함수의 적분법	②

정답

[eqn: F`` prime (x)=f(x)=x ^{3} -3x+a]

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} -3=0]에서 [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x=1]이므로

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=±1]에서 극값을 갖고,

[eqn: f(-1)=a+2,~f(1)=`a-2,] [eqn: f(0)=a]

이때, [eqn: F(x)]가 오직 하나의 극값을 가져야 하므로 [eqn: F(x)]의 도함수 [eqn: f(x)]의 부호가 한 번만 바뀌어야 한다.

즉, 삼차함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 번만 만나거나

접해야 한다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 부호가 같거나 극댓값 또는 극솟값이 [eqn: 0]이어야 한다.

즉, [eqn: f(-1)`․`f(1) GEQ 0], [eqn: (2+a)(-2+a) GEQ 0]

[eqn: a LEQ -2] 또는 [eqn: a GEQ 2]

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

22. 함수의 극한과 연속	[eqn: 5]

정답

[eqn: therefore```][eqn: lim _{x` -> `2} {{(x-2)(x+3)} over {x-2}} = lim _{x` -> `2} {LEFT ( x+3 RIGHT ) `} =5]

23. 수열	[eqn: 10]

정답

등차수열 [eqn: left{a _n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{2} =a+d=16]                              [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: a _{5} =a+4d=10]                            [eqn: ` CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=18,~d=`-2]이므로

[eqn: a _{k} =18+(k-1)`․`(-2)=0]에서

[eqn: 18-2k+2=`-2k+20=0]

[eqn: THEREFORE `k=10]

24. 다항함수의 미분법	[eqn: 12]

정답

함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하고, [eqn: f prime (x)=3x ^{2} +9]

[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}} =f prime (1)=12]

25. 통계	[eqn: 98]

정답

모표준편차를 알 수 없으므로 표본표준편차 [eqn: s=500]을

모표준편차 [eqn: sigma]로 사용하자.

[eqn: sigma =500,~n=100]이므로 신뢰도 [eqn: 95%]로 추정한

신뢰구간은

[eqn: LEFT [ bar{x} -1.96 TIMES {500} over {sqrt {100}} ,~ bar{x} +1.96 TIMES {500} over {sqrt {100}} RIGHT ]],

[eqn: LEFT [ bar{x} -1.96` TIMES `50,~ bar{x} +1.96` TIMES `50 RIGHT ]],

[eqn: LEFT [ bar{x} -98,~ bar{x} +98 RIGHT ]]

[eqn: THEREFORE `c=98]

26. 지수와 지수함수                         [eqn: 16]

정답

[eqn: LEFT ( root {3} of {3 ^{5}} RIGHT ) ^{{1} over {2}}]이 어떤 자연수의 [eqn: n]제곱근이 되려면

[eqn: LEFT { LEFT ( root {3} of {3 ^{5}} RIGHT ) ^{{1} over {2}} RIGHT } ^{n}][eqn: =] [eqn: LEFT { (3 ^{{5} over {3}} ) ^{{1} over {2}} RIGHT } ^{n} =3 ^{{5n} over {6}}]이 자연수가 되도록

하면 된다. 즉, [eqn: n]이 [eqn: 6]의 배수이면 된다.

따라서 [eqn: 2 LEQ n LEQ 100]에서 [eqn: 6]의 배수는

[eqn: 6,~12,~18,~24,~ CDOTS ,~96]인 [eqn: 16]개다.

27. 수열	[eqn: 23]

정답

규칙에 따라 좌표평면위에 다음과 같이 점 [eqn: rm P _{ITn}]을 찍어보면

⋮

⋮

[eqn: rm P _{1} (-1,~0),~P _{2} (1,~0)]

[eqn: rm P _{3} (-1,~2),~P _{4} (1,~-2)]

[eqn: rm P _{5} (-1,~4),~P _{6} (1,~-4)]

[eqn: rm P _{7} (-1,~6),~P _{8} (1,~-6)]

⋮

이므로 [eqn: rm P _{it 2k+1 rm} (-1,~2 it k)( it k=0,~1,~2,~3,~ CDOTS )]이다.

따라서 [eqn: k=12]일 때, [eqn: rm P _{25} (-1,~24)]이므로

[eqn: a=`-1,~b=24]

[eqn: THEREFORE `a+b=`-1+24=23]

28. 다항함수의 적분법	[eqn: 40]

정답

정적분의 성질에 의하여

[eqn: int _{0} ^{2013} {f(x)dx} = int _{0} ^{3} {f(x)dx+ int _{3} ^{2013} {f(x)dx}}]

[eqn: = int _{3} ^{2013} {f(x)dx}] 이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {f(x)dx} `=0]이다.

이때, [eqn: f(3)=0]이고, 이차항의 계수가 [eqn: 1]인

이차함수를 [eqn: f(x)=(x-3)(x-a)]라 하면

[eqn: int _{0} ^{3} {(x-3)(x-a)dx} `= int _{0} ^{3} {LEFT { x ^{2} -(a+3)x+3a RIGHT } dx}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} - {(a+3)} over {2} x ^{2} +3ax RIGHT ] _{0} ^{3}]

[eqn: =9- {9(a+3)} over {2} +9a]

[eqn: = {9} over {2} a- {9} over {2}][eqn: =0]

[eqn: THEREFORE `a=1,~f(x)=(x-3)(x-1)]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이

[eqn: S= int _{1} ^{3} {LEFT | (x-3)(x-1) RIGHT |} dx]

[eqn: = int _{1} ^{3} {LEFT | x ^{2} -4x+3 RIGHT |} dx][eqn: =`- LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +3x RIGHT ] _{1} ^{3}]

[eqn: =`-(9-18+9- {1} over {3} +2-3)][eqn: = {4} over {3}]

[eqn: THEREFORE `30S=30`․` {4} over {3} =40]

29. 확률	[eqn: 68]

정답

적어도 [eqn: 2]명의 남학생이 서로 이웃하게 되는 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: A ^{C}]는 남학생이 서로 이웃하지 않는 사건이다.

남학생이 서로 이웃하지 않는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ)의 경우 남학생 [eqn: 4]명을 모서리에 앉힌 후 나머지

자리에 여학생 [eqn: 4]명을 앉히는 경우의 수는 [eqn: 4! TIMES 4!]

(ⅱ)의 경우도 (ⅰ)과 마찬가지로 [eqn: 4! TIMES 4!]

전체 [eqn: 8]명의 학생이 앉는 경우의 수는 [eqn: 8!]이므로

[eqn: rm P( it A)=1- rm P( it A ^{C} ``)][eqn: =1- {(4! TIMES 4!)+(4! TIMES 4!)} over {8!}]

[eqn: ````=1- {1} over {35} `= {34} over {35}]

[eqn: THEREFORE `p= {34} over {35} ,~70p=70`․` {34} over {35} `=68]

30. 수열	[eqn: 573]

정답

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 함수 [eqn: y=2 ^{x} -n,~y=log _{2} (x+n)]은 [eqn: y=x]에 대칭인 서로 역함수의 관계이다.

따라서 [eqn: 2 ^{x} -n LEQ x LEQ log _{2} (x+n)]에 속하는 점 중에서

조건을 만족시키는 점 [eqn: (m,~m)]의 개수는 [eqn: 2 ^{m} -n LEQ m]을 만족시키는 정수 [eqn: m]의 개수와 같다.

[eqn: n=1]일 때, [eqn: m=0,~1]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: m=`-1,~0,~1,~2]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: m=`-2,~-1,~0,~1,~2]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: m=`-3,~-2,~-1,~0,~1,~2]

[eqn: n=5]일 때, [eqn: m=`-4,~-3,~-2,~-1,~0,~1,~2,~3]

⋮

따라서 [eqn: m LEQ 0]일 때, [eqn: n]의 값과 [eqn: m]의 개수가 같고,

[eqn: m>0]일 때, [eqn: 2 ^{m} -n LEQ m]에서

[eqn: 2 ^{m} -m LEQ n]을 만족시키는 [eqn: m]의 값을 찾으면

[eqn: 2 ^{1} -1=1], [eqn: 2 ^{2} -2=2], [eqn: 2 ^{3} -3=5], [eqn: 2 ^{4} -4=12],

[eqn: 2 ^{5} -5=27], [eqn: 2 ^{6} -6=58], ⋯ 이므로

[eqn: n=1]일 때, [eqn: m=1]

[eqn: n=2,~3,~4]일 때, [eqn: m=1,~2]

[eqn: n=5,~6,~ CDOTS ,~11]일 때, [eqn: m=1,~2,~3]

[eqn: n=12,~13,~ CDOTS ,~26]일 때, [eqn: m=1,~2,~3,~4]

[eqn: n=27,~28,~29,~30]일 때,  [eqn: m=1,~2,~3,~4,~5]

이다. 따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{30} a _{n} =(1+2+3+ CDOTS +30)]

[eqn: +(1+3 TIMES 2+7 TIMES 3+15 TIMES 4+4 TIMES 5)]

[eqn: = {30 TIMES 31} over {2} +1+6+21+60+20]                    [eqn: =465+108=573]