[ 수학 [eqn: bold II`] ]	수 열	[수능기출]

[eqn: bold 38]

등차수열 [eqn: left{ `a_n right}`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{2} =a+d=3`] [eqn: cdots`]㉠

[eqn: a_5 = a+ 4d = 24`] [eqn: cdots`]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-4`], [eqn: d=7`]

∴ [eqn: a_7 = a+ 6 d][eqn: = -4 + 6 CDOT 7][eqn: = 38]

등차수열 [eqn: left{` a_n right}`]이 [eqn: a_2 = 3`,``a_5 =24`]일 때, [eqn: a_7`]의 값을 구하시오.

[08년 수능]

⑤

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a_1 + a_2 = 10`]   [eqn: therefore```2a+d=10`]  [eqn: cdots]㉠

[eqn: a_3 + a_4 + a_5 =45`]   [eqn: therefore```3a+9d=45`], [eqn: a+3d=15`]  [eqn: cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=3`,``d=4`]

[eqn: therefore```a_10 = 3+9 times 4 = 39`]

등차수열 [eqn: left{` a_n right}`]에 대하여 [eqn: a_1 + a_2 = 10`,] [eqn: a_3 + a_4 + a_5 = 45 `]가 성립할 때, [eqn: a_10`]의 값은?

[05년 수능]

① [eqn: 47]           ② [eqn: 45]           ③ [eqn: 43]           ④ [eqn: 41]           ⑤ [eqn: 39]

[eqn: bold 32]

등차수열 [eqn: left{ `a_ n right}`]의 공차가 [eqn: 2]이므로

[eqn: a_1 + a_5 + a_9][eqn: = a_1 + (a_1 + 4 cdot 2 ) + (a_1 + 8 cdot 2 )][eqn: = 3a_1 + 24][eqn: = 45]

따라서 [eqn: 3a_1 = 21`]에서 [eqn: a_1 = 7`]이므로

[eqn: a_1 + a_10 = a_1 + (a_1 + 9 cdot 2 )][eqn: = 2a_1 + 18][eqn: = 2 cdot 7 + 18][eqn: = 32`]

[다른 풀이]

[eqn: left{`a_n right}`]이 등차수열이므로 [eqn: a_1 +a_9 = 2a_5]

∴ [eqn: a_1 +a_9 = 2over 3 times 45 = 30]

∴ [eqn: a_1 +a_10 = a_1 +(a_9 +2)][eqn: = (a_1 +a_9 )+2 = 32]

공차가 [eqn: 2`]인 등차수열 [eqn: LEFT { `a_n RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a_1 +a_5 +a_9 =45`]일 때, [eqn: a_1 +a_10`]의 값을 구하시오.

[09년 수능]

①

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} `RIGHT }`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면 [eqn: a _{9} =3a _{3}`]에서

[eqn: 2+8d=3(2+2d)`]  [eqn: THEREFORE ```d=2`]

따라서 [eqn: a _{5} =2+4d=10`]

첫째항이 [eqn: 2`]인 등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n} `RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a_9 = 3a_3`]일 때, [eqn: a_5`]의 값은?

[3점][14학년도 수능]

① [eqn: 10]          ② [eqn: 11]          ③ [eqn: 12]          ④ [eqn: 13]          ⑤ [eqn: 14]

①

[eqn: n`]째 항까지의 합을 [eqn: S_n `]이라 하면

[eqn: S_n ={ n `left{ 2m + (n-1)CDOT1 right}} over 2][eqn: = 50][eqn: = 2CDOT 5^2 `]

[eqn: ∴``` n (2m + n -1 ) = 2^2 CDOT 5^2 `]

[eqn: n`]은 자연수이므로 [eqn: 2^2 CDOT 5^2 `]의 약수이고,

[eqn: m le 10 `]이므로 [eqn: 2m + n-1 le 20 `] …①

①을 만족하는 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: n= 5 `]

그러므로 [eqn: 2m+ n-1 = 20 `]에서 [eqn: m= 8 `]

[eqn: ∴ ```m+n = 13 `]

첫째항이 [eqn: m`,] 공차가 [eqn: 1 `]인 등차수열의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합이 [eqn: 50 `]일 때, [eqn: m+n `]의 값은? (단, [eqn: m le 10 `]인 자연수)

[94년 수능]

① [eqn: 13]          ② [eqn: 14]          ③ [eqn: 15]          ④ [eqn: 16]          ⑤ [eqn: 17]

④

다섯 사람의 몫을 각각

[eqn: a-2d` , ``a-d `,`` a`,`` a+d `, ``a+2d `]라고 하면

[eqn: 120 = (a-2d) + (a-d) + a +(a+d) + (a+2d )][eqn: = 5a ``]

[eqn: ∴ ```a = 24 `]

[eqn: (a-2d) + (a-d)][eqn: = 1 over 7 left{ a+ (a+d) + (a+2d ) right}`]

[eqn: 2a- 3d = 1 over 7 (3a+ 3d)`], [eqn: 14a - 21d = 3a+ 3d `]

[eqn: 11a = 24d `], [eqn: a= 24 `]이므로 [eqn: d = 11`]

[eqn: ∴ ```a+2d = 24 + 2 CDOT 11 = 46`]

고대 이집트의 수학 문헌인 아메스 파피루스(기원전 [eqn: 1650`]년경)에는 다음과 같은 문제가 기록되어 있다.

다섯 사람에게 [eqn: 120 `]개의 빵을 나누어 주는데 각자의 배당 몫이 등차수열을 이루고, 가장 적게 배당 받는 사람과 그 다음으로 적게 배당 받는 사람의 몫의 합이 나머지 세 사람 몫의 합의 [eqn: 1 over 7 `]이 되도록 하라.

위와 같이 빵을 나누어 줄 때, 가장 많이 배당 받는 사람의 몫은?

[94년 수능]

① [eqn: 52]           ② [eqn: 50]           ③ [eqn: 48]           ④ [eqn: 46]           ⑤ [eqn: 44]

③

[eqn: a_2 `, ``a_3 `,``a_4`]는 이 순서로 등차수열을 이루므로

[eqn: a_3 = {a_2 +a_4 } over 2 = 2`]

∴ [eqn: a_5 = 4a_3 = 8 `]

이 때, 공차를 [eqn: d`]라 하면 [eqn: a_5 = a_3 +2d`]이므로

[eqn: 8=2+2d`]   ∴ [eqn: d=3`]

∴ [eqn: a_6 = a_5 +d = 8+3=11`]

등차수열 [eqn: LEFT {` a _{n} RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a _{5} =4a _{3} `,] [eqn: a _{2} +a _{4} =4`]가 성립할 때, [eqn: a _{6} `]의 값은?

[06년 수능]

① [eqn: 5]            ② [eqn: 8]            ③ [eqn: 11]            ④ [eqn: 13]            ⑤ [eqn: 16]

[eqn: bold 12]

수열 [eqn: left{ `a_n` right}]이 등차수열이므로 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a_2 +a_4 =8`]에서 [eqn: (a_1 +d) +(a_1 +3d ) =8 `]

즉, [eqn: 2a_1 +4d =8`]

∴ [eqn: a_1 +2d =4`] [eqn: cdots cdots㉠]

[eqn: a_7 = 52`]에서 [eqn: a_1 + 6d=52`] [eqn: cdots cdots㉡]

㉠, ㉡에서

[eqn: 4d= 48`]

∴ [eqn: d= 12`]

등차수열 [eqn: left{ `a_n `right}`]이 [eqn: a_2 + a_4 =8`,``a_7 =52`]를 만족시킬 때, 공차를 구하시오.

[10년 수능]

[eqn: bold 10]

등차수열 [eqn: left{`a_n` right}`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a_2 =16`]에서 [eqn: a+d=16```` CDOTS `]㉠

[eqn: a_5 =10`]에서 [eqn: a+4d=10```` CDOTS `]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=18`,``d=`-2`]

[eqn: THEREFORE ```a _{n} =18+(n-1) TIMES (-2)`][eqn: =`-2n+20`]

따라서 [eqn: a_k =0`]을 만족시키는 [eqn: k`]는 [eqn: k=10`]

등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n}` RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a _{2} =16`,``a _{5} =10`]일 때, [eqn: a _{k} =0`]을 만족시키는 [eqn: k`]의 값을 구하시오.

[3점][13학년도 수능]

④

[eqn: i)] [eqn: n`]이 짝수일 때,

[eqn: B_n-1]

[eqn: B_n]

[eqn: P]

•

•

•

[eqn: B_n`]에 이르는 최단경로는

[eqn: A ``->``B_n-1 ``->``B_n`] 또는 [eqn: A``->``P``->``B_n`]

∴ [eqn: a_n = a_n-1 ×1 + 1× 3! over{ 2! 1!}`][eqn: =a _{n-1} +3`]

[eqn: ii)] [eqn: n`]이 홀수일 때,

[eqn: B_n-1]

[eqn: B_n]

[eqn: Q]

•

•

•

•

[eqn: R]

[eqn: B_n`]에 이르는 최단경로는

[eqn: A ``->``B_n-1 ``->``B_n`] 또는 [eqn: A``->``Q``->``R``->``B_n`]

∴ [eqn: a _{n} =a _{n-1} TIMES 1+1 TIMES {3!} over {2!1!} TIMES 1`][eqn: =a _{n-1} +3`]

[eqn: i)`,``ii)`]에서

[eqn: a_n = a_n-1 +3`]  ([eqn: n=2`,``3`,``4`,``cdots`])

이므로 수열[eqn: left{`a_n right}`]은 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열이다.

[eqn: a_1 = 4! over{ 3!`1!} = 4`]이므로

[eqn: a_3 = 4 + 2 ×3 = 10`], [eqn: a_7 = 4+ 6×3 = 22`]

∴ [eqn: a_3 + a_7 = 32`]

다음과 같이 정사각형을 가로 방향으로 [eqn: 3`]등분하여 [도형[eqn: 1`]]을 만들고, 세로 방향으로 [eqn: 3`]등분하여 [도형[eqn: 2`]]를 만든다.

[도형[eqn: 1`]]

[도형[eqn: 2`]]

[도형[eqn: 1`]]과 [도형[eqn: 2`]]를 번갈아가며 계속 붙여 아래와 같은 도형을 만든다. 그림과 같이 첫 번째 붙여진 [도형[eqn: 1`]]의 왼쪽 맨 위 꼭지점을 [eqn: A`]라 하고, [도형[eqn: 1`]]의 개수와 [도형[eqn: 2`]]의 개수를 합하여 [eqn: n`]개 붙여 만든 도형의 오른쪽 맨 아래 꼭지점을 [eqn: B_n`]이라 하자.

꼭지점 [eqn: A`]에서 꼭지점 [eqn: B_n`]까지 선을 따라 최단거리로 가는 경로의 수를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: a_3 +a_7`]의 값은?

[08년 수능]

① [eqn: 26]           ② [eqn: 28]           ③ [eqn: 30]           ④ [eqn: 32]           ⑤ [eqn: 34]

[eqn: bold 16]

수열 [eqn: left{ S_2n-1 right}`]이 공차가 [eqn: -3`]인 등차수열이므로

[eqn: S_2n-1 = S_1 + (n-1)times (-3) = -3n+3+S_1`]

또, 수열 [eqn: left{ S_2n right}`]이 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이므로

[eqn: S_2n = S_2 +(n-1)times 2 = 2n-2+S_2`]

[eqn: a_8 = S_8 -S_7 = (6+S_2 ) -(-9+S_1 )= 15+S_2 -S_1`]이고

[eqn: S_2 -S_1 =a_2 =1`]이므로

[eqn: a_8 =16`]

수열 [eqn: left{` a_n `right}`]에 대하여 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n`]이라 하자. 수열 [eqn: left{ `S_2n-1` right}`]은 공차가 [eqn: -3`]인 등차수열이고, 수열 [eqn: left{ `S_2n` right}`]은 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이다. [eqn: a_2 =1`]일 때, [eqn: a_8`]의 값을 구하시오.

[10년수능]

①

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} `RIGHT }`]은 등차수열이므로 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: d=a _{3} -a _{2} =3`]

[eqn: a _{1} =a _{2} -d=`-4`]

따라서 첫째항부터 제 [eqn: 10`]항까지의 합을 [eqn: S _{10}`]이라고 하면

[eqn: S _{10} = {10(-8+9 TIMES 3)} over {2} =95`]

수열 [eqn: LEFT {` a _{n} `RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2`a _{n+1} =a _{n} +a _{n+2}`]를 만족시킨다.

[eqn: a _{2} =`-1`,``a _{3} =2`]일 때, 수열 [eqn: LEFT {` a _{n} `RIGHT }`]의 첫째항부터 제 [eqn: 10`]항까지의 합은?

[3점][11년 수능]

① [eqn: 95]           ② [eqn: 90]           ③ [eqn: 85]           ④ [eqn: 80]           ⑤ [eqn: 75]

⑤

[eqn: a_11 =` -5 +2cdot10=15`]

[eqn: a_20 = `-5 + 2 cdot 19=33`]

[eqn: therefore``` sum_k=11^20 `a_k = {10(a_11 + a_20 ) } over 2 = {10(15 + 33 ) } over 2 =240`]

첫째항이 [eqn: -5`]이고 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열 [eqn: left{`a_n` right}`]에 대하여 [eqn: sum from k=11 to 20` a_k`]의 값은?

[3점][12년 수능]

① [eqn: 260]         ② [eqn: 255]         ③ [eqn: 250]         ④ [eqn: 245]         ⑤ [eqn: 240]

①

[eqn: a _{8} -a _{6} =(6+7d)-(6+5d)=2d`]

[eqn: S _{8} -S _{6} =a _{8} +a _{7} =(6+7d)+(6+6d)`][eqn: =12+13d]

[eqn: {a _{8} -a _{6}} over {S _{8} -S _{6}} = {2d} over {12+13d} =2`]

[eqn: d=12+13d`]

[eqn: THEREFORE ```d=`-1`]

첫째항이 [eqn: 6`]이고 공차가 [eqn: d`]인 등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n}` RIGHT }`]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n}`]이라 할 때, [eqn: {a _{8} -a _{6}} over {S _{8} -S _{6}} =2`]가 성립한다. [eqn: d`]의 값은?

[3점][14학년도 수능]

① [eqn: -1]          ② [eqn: -2]          ③ [eqn: -3]          ④ [eqn: -4]          ⑤ [eqn: -5]

④

[eqn: 6 ^{n}`]은 짝수이고 [eqn: 3 ^{n}`]은 홀수이므로

[eqn: a _{n} =f`(6 ^{n} )-f`(3 ^{n} )`][eqn: =log _{2} ``6 ^{n} -log _{3}` `3 ^{n}`]

[eqn: =n`(1+log _{2} ``3)-n`][eqn: =n`cdot LEFT ( log _{2} ``3 RIGHT )`]

[eqn: THEREFORE ``` sum _{n=1} ^{15} `a _{n} = sum _{n=1} ^{15}` n`cdot LEFT ( log _{2} ``3 RIGHT )`][eqn: = LEFT ( log _{2} ``3 RIGHT )` sum _{n=1} ^{15}`n`]

[eqn: = LEFT ( log _{2} ``3 RIGHT ) TIMES {15cdot16} over {2}`][eqn: =120`log _{2} ``3`]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f`(n)`]이 다음과 같다.

이 홀수

이 짝수

[eqn: f`(n)= {cases{````log _{3} ``n&``````````(n `````````````````````````````)#````log _{2} ``n&``````````(n`````````````````````````````)}}`]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} `RIGHT }`]이 [eqn: a _{n} =f`(6 ^{n} )-f`(3 ^{n} )`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{15}` a _{n}`]의 값은?

[3점][14학년도 수능]

① [eqn: 120(log _{2} ``3-1)]	② [eqn: 105`log _{3}` `2]               ③ [eqn: 105`log _{2} ``3]

④ [eqn: 120`log _{2}` `3]	⑤ [eqn: 120`(log _{3} ``2+1)]

④

[eqn: sum_k=1^n` a_2k-1 =3n^2 +n`]에서

[eqn: n = 1`]일 때, [eqn: a_1 = 3times1 + 1 = 4`]

[eqn: n`=`2`]일 때, [eqn: a_1 + a_3 = 3times4 + 2 = 14`]

따라서 [eqn: a_3 = 14 - 4 = 10`]이므로 등차수열 [eqn: LEFT { `a_n` RIGHT }`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a_3 = a_1 + 2d = 4 + 2d =10`]에서 [eqn: d=3`]

[eqn: THEREFORE```a_8 = a_1 + 7d = 4+21 = 25`]

등차수열 [eqn: left{`a_n` right}`]이 [eqn: sum_k=1^n` a_2k-1 =3n^2 +n`]을 만족시킬 때, [eqn: a_8`]의 값은?

[4점][15학년도 수능]

① [eqn: 16]          ② [eqn: 19]          ③ [eqn: 22]          ④ [eqn: 25]          ⑤ [eqn: 28]

③

[eqn: a`,``0`,``b`]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항 공식에 의해 [eqn: 2 TIMES 0= a+b`]

[eqn: ∴```a+b=0`,``b=`-a`] [eqn: cdots`]㉠

[eqn: 2b`,``a`,``-7`]이 순서대로 등비수열을 이루므로 등비중항공식에 의해 [eqn: a^2`=2b TIMES (-7)`]

[eqn: ∴```a^2 = `-14b `] [eqn: cdots`]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면,

[eqn: a^2 =`-14 TIMES (-a)` ,] [eqn: a^2 =14a`]

[eqn: ∴```a = 0`, ``14`]

[eqn: a=0`]이면 [eqn: 0`,``0`,``-7`]이 등비수열을 이루지 않으므로 모순이다.

따라서, [eqn: a=14`]

세 수 [eqn: a`,`` 0`,`` b`]가 이 순서로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: 2b`,`` a`,``-7`]이 이 순서로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a`]의 값은?

[07년 수능]

① [eqn: 10]            ② [eqn: 12]            ③ [eqn: 14]            ④ [eqn: 16]            ⑤ [eqn: 18]

[eqn: bold{15}]

등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n}` RIGHT }`]의 공차를 [eqn: d`]라고 하면

[eqn: a _{2} =a _{1} +d`]

[eqn: a _{4} =a _{1} +3d`]

[eqn: a _{9} =a _{1} +8d`]

이때 세 항 [eqn: a _{2} `,``a _{4} `,``a _{9}`]는 등비수열을 이루므로 등비중항에 의해

[eqn: LEFT ( a _{1} +3d RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a _{1} +d RIGHT ) LEFT ( a _{1} +8d RIGHT )`]

[eqn: a _{1} ^{2} +6a _{1} d+9d ^{2} =a _{1} ^{2} +9a _{1} d+8d ^{2}`]

[eqn: d LEFT ( 3a _{1} -d RIGHT ) =0`]

[eqn: THEREFORE ```d=3a _{1} ```` LEFT ( BECAUSE ```d != 0 RIGHT )`]

즉, [eqn: a _{2} =4a _{1} `,] [eqn: a _{4} =10a _{1}`]이므로

[eqn: r= {10a _{1}} over {4a _{1}} = {5} over {2}`]

[eqn: THEREFORE ```6r=15`]

공차가 [eqn: 0`]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n} `RIGHT }`]의 세 항 [eqn: a _{2} `,``a _{4} `,``a _{9}`]가 이 순서대로 공비 [eqn: r`]인 등비수열을 이룰 때, [eqn: 6`r`]의 값을 구하시오.

[4점][11년 수능]

[eqn: bold 10]

[eqn: a`,``a+b`,``2a-b`]가 등차수열이므로
[eqn: 2(a+b)=3a-b`]  [eqn: therefore```a=3b`]
[eqn: 1`,``a-1`,``3b-1`]이 등비수열이므로
[eqn: (a-1)^2 = 3b+1`,] [eqn: (a-1)^2 =a+1`,] [eqn: a^2 -3a =0`]
[eqn: therefore```a=0`] 또는 [eqn: a=3`]

공비가 양수이므로 [eqn: a=3`,``b=1`]

[eqn: therefore```a^2 + b^2 = 3^2 + 1^2 =10`]

세 수 [eqn: a`,``a+b`,``2a-b`]는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: 1`,``a-1`,``3b+1`]은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다. [eqn: a^2 +b^2 `]의 값을 구하시오.

[3점][12년 수능]

[eqn: bold 128]

첫째항을 [eqn: a` ,] 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a_3 = ar^2 =2`] [eqn: cdots`]㉠

[eqn: a_6 = ar^5 =16`] [eqn: cdots`]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r^3 =8]  [eqn: ∴```r=2`]  [eqn: ∴```a={1} over {2}`]

[eqn: ∴```a_9 = ar^8 = {1} over {2} CDOT 2^8 =128`]

등비수열 [eqn: LEFT { `a_n RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a_3 =2`,``a_6 =16`]일 때, [eqn: a_9`]의 값을 구하시오.

[07년 수능]

①

등비수열 [eqn: left{` a_n` right}`]의 첫째항을 [eqn: a`,] 공비를 [eqn: r```(r＞0)`]라 하자.

[eqn: {a_1 `a_2} over a_3 =2`]에서 [eqn: {a TIMES ar} over {ar ^{2}} = {a} over {r} =2``` CDOTS`]㉠

[eqn: 2a_2 over a_1 + a_4 over a_2 =8`]에서 [eqn: 2ar over a + ar^3 over ar =8`]

[eqn: 2r+r^2 =8`,] [eqn: r^2 +2r-8=0`,] [eqn: (r+4)(r-2)=0`]

[eqn: THEREFORE ```r=2````( BECAUSE ```r＞0)```` CDOTS`]㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 풀면 [eqn: a=4`]

[eqn: THEREFORE ```a _{3} =ar ^{2} =4 TIMES 2 ^{2} =16`]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { `a _{n} `RIGHT }`]에 대하여 [eqn: {a _{1} a _{2}} over {a _{3}} =2`,``{2a _{2}} over {a _{1}} + {a _{4}} over {a _{2}} =8`]일 때, [eqn: a _{3}`]의 값은?

[3점][13학년도 수능]

① [eqn: 16]          ② [eqn: 18]          ③ [eqn: 20]          ④ [eqn: 22]          ⑤ [eqn: 24]

④

수열 [eqn: left{`a_n`right}`]의 공비를 [eqn: r`(r`>`0)`]라 하면 [eqn: a_1 `,``a_3`, ``a_5`]는 공비가 [eqn: r^2`]인 등비수열이므로 [eqn: a_3` ^2 = a_1 times a_5`]

즉, [eqn: a_3 `^2 = 3 times 48 = 144`]이므로 [eqn: a_3 = 12`]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{`a_n` right}]에 대하여 [eqn: a_1 =3`,``a_5 =48`]일 때, [eqn: a_3`]의 값은?

[3점][15학년도 수능]

① [eqn: 18]          ② [eqn: 16]          ③ [eqn: 14]          ④ [eqn: 12]          ⑤ [eqn: 10]

[eqn: bold 256]

주어진 수열은 조건 (나)에 의하여

공비가 [eqn: -2`]인 등비수열이므로

[eqn: a _{1} =a _{2} +3=`-2a _{1} +3`]  [eqn: THEREFORE ```a _{1} =1`]

[eqn: THEREFORE ```a _{9} =(-2) ^{8} =256`]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n}` RIGHT }`]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{1} =a _{2} +3]

(나) [eqn: a _{n+1} =`-2a _{n} ```(n`geq1)]

[eqn: a _{9}`]의 값을 구하시오.

[3점][14학년도 수능]

③

[eqn: B`]의 속도를 [eqn: x`]라 하면 [eqn: A`]의 속도는 [eqn: 2x`]

[eqn: a_2 `]에서 [eqn: a_3 `]까지의 거리를 [eqn: y`]라 하면

[eqn: y over x = 200 over 2x `]     [eqn: ∴ ```y =100 `]

수열 [eqn: left{ `P_n right} `]은 [eqn: 200`,``100`,``50`,``25`,``CDOTS`,``P_n` ,``CDOTS`]

[eqn: P_n = 200×left( 1 over 2 right)^n-1 `]

따라서, [eqn: A`]의 위치는 [eqn: a_8`]과 [eqn: a_9`]사이이다.

다음 그림과 같이 [eqn: A`]와 [eqn: B`]가 직선 위를 따라 같은 방향으로 달린다. [eqn: B`]는 [eqn: A`]보다 [eqn: 200`m `]앞에서 [eqn: A`]와 동시에 출발한다. [eqn: A`]의 출발점을 [eqn: a_1 `], [eqn: B`]의 출발점을 [eqn: a_2 `], [eqn: A`]가 [eqn: a_2 `]에 도달했을 때 [eqn: B`]의 위치를 [eqn: a_3 `], [eqn: A`]가 [eqn: a_3 `]에 도달했을 때 [eqn: B`]의 위치를 [eqn: a_4 `]라고 하자. 이와 같은 방법으로 계속하여 점 [eqn: a_n` (n =1`,``2`,``3`,``cdots) `]을 정한다. [eqn: A`]의 속도가 [eqn: B`]의 속도의 [eqn: 2 `]배이면, [eqn: A`]와 [eqn: B`]사이의 거리가 [eqn: 1`m`]이내가 되기 시작할 때 [eqn: A`]의 위치는?

[97년 수능]

① [eqn: a_4]와 [eqn: a_5]사이	② [eqn: a_6]과 [eqn: a_7]사이                ③ [eqn: a_8]과 [eqn: a_9]사이

④ [eqn: a_10]과 [eqn: a_11]사이	⑤ [eqn: a_12]와 [eqn: a_13]사이

③

[eqn: a_1 r^ 12 = 2 a_1 `]이므로

[eqn: r^12 = 2 `]      [eqn: ∴``` r = 2 ^ {1 over 12 }`]

[eqn: a_1 ```:` a_5 ```:` a_8 = a_1` ``: `a_1 ` r^4 ```:` a_1 `r^7`][eqn: = a_1 ```: `a_1 ` 2^{4 over 12 } ```:` a_1 `2^{7 over 12 }`]

[eqn: = 1```:` 2^ {1 over 3 } ```:` 2^ {7 over 12}`][eqn: = 1```: ` 5 over 4 ``` :` 3 over 2 `][eqn: = 4```:`5```:`6`]

서양음악의 [eqn: 12`]음계에서 음의 주파수는 반음 올라갈 때마다 일정 비율로 높아져 [eqn: 12`]반음 올라가면 [eqn: 2`]배가 되는 등비수열을 이룬다. 아래 피아노건반에 표시된 도, 미, 솔의 주파수비 [eqn: a_1 ```:`a_5 ```:`a_8`]에 가장 가까운 정수비는?

(단,[eqn: 2^ {1 over 3 } = 5 over 4 `,`` 2^ {5 over 12 } = 4 over 3 `,`` 2^ {7 over 12 } = 3 over 2 `]으로 근사하여 계산한다.)

[99년 수능]

① [eqn: 2``:``3``:``4]                    ② [eqn: 3``:``4``:``5]                   ③ [eqn: 4``:``5``:``6]

④ [eqn: 5``:``6``:``8]                    ⑤ [eqn: 6``:``8``:``9]

[eqn: bold 35]

등비수열 [eqn: left{`a_n right}`]의 첫째항을 [eqn: a`]라 하면

[eqn: a_2 =ar=1`]에서 [eqn: a= 1 over r`]

[eqn: therefore```omega =a_1 `a_2 `a_3 ``cdots` a_10`]

[eqn: =a cdot ar cdot ar^2 cdot ``cdots` cdot ar^9`]

[eqn: =a^10 r^{1+2+``cdots`+9}`]

[eqn: =a^10 r^{{9 cdot 10} over 2}] [eqn: =a^10 r^45] [eqn: = left(1 over r right)^10 r^45]

[eqn: =r^35]

[eqn: therefore```log_r`` omega=log_r `r^35 =35`]

공비가 [eqn: r`]이고 [eqn: a_2 = 1`]인 등비수열 [eqn: left {`a_n right}`]에서 첫째항부터 [eqn: 10`]항까지의 곱을 [eqn: omega = a_1` a_2 ` a_3 `` CDOTS `a_10`]이라 할 때, [eqn: log_r `` omega`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: r＞0 `]이고, [eqn: r!= 1`]이다.)

[05년 수능]

[eqn: bold 108]

세 수 [eqn: a^n `], [eqn: 2^4 times 3^6`], [eqn: b^n`]이 이 순서대로 등비수열을 이루고 [eqn: n`]이 자연수이므로

[eqn: (ab)^n = a^n b^n][eqn: = 2^8 times 3^12 = (2 ^2 times 3^3 )^4 = (2^4 times 3^6 )^2]

따라서 [eqn: ab`]의 최솟값은 [eqn: n=4`]일 때

[eqn: 2^2 times 3^3 = 4 times 27 = 108]

두 자연수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]에 대하여 세 수 [eqn: a^n`,``2^4 times 3^6`,``b^n`]이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: ab`]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

[10년 수능]

[eqn: bold 10.25]

[eqn: 6`]개월마다의 이율은 [eqn: 10 over 2 `%= 5 `% = 0.05]

따라서 원금을 [eqn: a`]라 하면 [eqn: 6`]개월 후의 이자는 [eqn: a×0.05`]

[eqn: 1`]년 후의 이자 총액은

[eqn: a×0.05 + a(1+ 0.05)×0.05][eqn: = a× 0.05 × 2.05]

∴ (실효수익률)[eqn: = {a× 0.05 × 2.05} over a ×100][eqn: = 10.25` (%)`]

은행의 예금 상품은 연이율로 제시된다. [eqn: 1`]년에 이자 계산을 [eqn: n`]번하는 복리 예금의 경우 매번 [eqn: pmatrix{```````````````````````&`````````#``````````&`````````}``]의 이율로 이자를 계산한다.

원금

[eqn: 1`]년 후의 이자총액

[eqn: TIMES`100`(%)]

연이율

[eqn: n]

이 때, 실효수익률은 [eqn: pmatrix{``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````&`````````````````` #``````````````````&``````}`]로 정의된다. [eqn: 6`]개월마다 복리로 이자를 계산하는 연이율 [eqn: 10`%`]인 예금 상품의 실효 수익률[eqn: (%)]을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.

[99년 수능]

③

적립된 금액의 원리합계는

[eqn: 10 × (1.06)^10 + left{ 10 ×(1.06)^1 right} ×(1.06)^9]

[eqn: + left{ 10 ×(1.06)^2 right} ×(1.06)^8 + ``cdots`]

[eqn: + left{ 10 ×(1.06)^10 right} ×(1.06)^1]

[eqn: = left{ 10 ×(1.06)^10 right} ×10]

[eqn: = 10 ×1.8×10 =180](조원)

정부가 통일 이후 필요한 통일비용을 마련하기 위해 예산의 일부를 [eqn: 2001`]년부터 매년 [eqn: 1`]월 [eqn: 1`]일 적립한다고 하자. 적립할 금액은 경제성장률을 감안하여 매년 전년도보다 [eqn: 6`%`]씩 증액한다. [eqn: 2001`]년 [eqn: 1`]월 [eqn: 1`]일부터 [eqn: 10`]조 원을 적립하기 시작한다면 [eqn: 2010`]년 [eqn: 12`]월 [eqn: 31`]일 까지 적립된 금액의 원리합계는 몇 조원인가?

(단, 연이율 [eqn: 6`%`,] [eqn: 1`]년마다의 복리로 계산하고, [eqn: (1.06)^10 =1.8`]이다.)

[98년 수능]

① [eqn: 160]          ② [eqn: 162]          ③ [eqn: 180]          ④ [eqn: 198]          ⑤ [eqn: 220]

②

최근 [eqn: 10`]년 동안 소비된 석유의 양이 그 이전까지 소비된 석유의 양과 같으므로 앞으로 매 [eqn: 10n`]년 동안 소비될 석유의 양은 [eqn: a`,``2a`,``4a`,``8a`,``cdots`,``2^n-1 a`]와 같이 첫째항 [eqn: a`], 공비 [eqn: 2`]인 등비수열을 이룬다. 따라서, 앞으로 [eqn: 10n`]년 뒤까지 소비될 석유의 양의 총합이 현재의 석유매장량과 같아야 하므로  [eqn: {2^n -1}over 2-1 cdot a =b`]

[eqn: ∴```2^n = b over a +1`]

양변에 [eqn: 2`]를 밑으로 하는 로그를 취하면

[eqn: n=log_2 ``left( b over a +1 right)```][eqn: ∴```10n =10`log_2 ``left( b over a +1 right)`](년)

다음은 세계 석유 소비 증가 추세에 관한 글이다.

[eqn: cdots` cdots] 매년 석유 소비량을 조사한 결과, 최근 [eqn: 10`]년 동안 소비된 석유의 양은 그 이전까지 소비된 석유의 양과 같다. 예를 들어 [eqn: 1981`]년부터 [eqn: 1990`]년까지 소비된 석유의 양은 [eqn: 1980`]년까지 소비된 석유 전체의 양과 같다. [eqn: cdots` cdots`]

이와 같은 석유 소비 추세가 계속된다고 가정하고, 현재까지 소비된 석유의 양을 [eqn: a`], 현재의 석유 매장량을 [eqn: b`]라 할 때, 앞으로 몇 년 동안 석유를 사용할 수 있겠는가?

[01년 수능]

① [eqn: 10log_2 left( b over 2a +1 right)]	② [eqn: 10log_2 left( b over a +1 right)]             ③ [eqn: 10log_2 left( 2b over a +1 right)]

④ [eqn: 10log_2 left( b over a +2 right)]	⑤ [eqn: 10 log_2 left( 2b over a +2 right)]

[eqn: bold 47]

[eqn: sum from k=1 to 9 f(k+1)=f(2)+f(3)+f(4)+cdots +f(10)]

[eqn: sum from k=2 to 10 f(k-1)=f(1)+f(2)+f(3)+cdots +f(9)]

[eqn: ∴~sum from k=1 to 9 f(k+1)-sum from k=2 to 10 f(k-1)]

[eqn: =f(10)-f(1)][eqn: =50-3][eqn: =47]

함수 [eqn: f`(x)`]가 [eqn: f`(10)=50`,``f`(1)=3`]을 만족 시킬 때, [eqn: sum from k=1 to 9 `f`(k+1)``-sum from k=2 to 10` f`(k-1)`]의 값을 구하시오.

[01년 수능]

②

[eqn: S_n = n overn+1`]이므로 [eqn: a_4 = S_4 - S_3 = 4over5 - 3over4 = 1over20`]

수열 [eqn: left{`a_n` right}`]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n`]이 [eqn: S_n = n overn+1`]일 때, [eqn: a_4`]의 값은?

[3점][15학년도 수능]

① [eqn: 1 over22]         ② [eqn: 1 over20]         ③ [eqn: 1 over18]         ④ [eqn: 1 over16]         ⑤ [eqn: 1 over14]

[eqn: bold 21]

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} `a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1}` a _{k} =log ``{(n+1)(n+2)} over {2} -log ``{n(n+1)} over {2}`]

[eqn: =log`` {n+2} over {n} ````(n GE 2)`]

이때 [eqn: n=1`]이면 [eqn: a _{1} = sum _{k=1} ^{1} `a _{k} =log``3`]이므로

[eqn: a _{n} =log`` {n+2} over {n} ```(n GE 1)`]

[eqn: THEREFORE``` p= sum _{k=1} ^{20}` a _{2k} = sum _{k=1} ^{20}` log ``{2k+2} over {2k} = sum _{k=1} ^{20}` log ``{k+1} over {k}`]

[eqn: =log`` {2} over {1} +log ``{3} over {2} + ``CDOTS` +log ``{21} over {20}`]

[eqn: =log`` LEFT ( {2} over {1} TIMES {3} over {2} TIMES ``CDOTS ` TIMES {21} over {20} RIGHT )`]

[eqn: =log``21`]

[eqn: THEREFORE``` 10 ^{p} =10 ^{log``21} =21`]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n}` RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} `a _{k} =log`` {(n+1)(n+2)} over {2}`]

를 만족시킨다. [eqn: sum _{k=1} ^{20}` a _{2k} =p`]라 할 때, [eqn: 10 ` ^{p}`]의 값을 구하시오.

[4점][11년 수능]

[eqn: BOLD 46]

[eqn: a_2 - a_1 = 3`]

[eqn: a_3 - a_2 = 3 CDOT 2`]

[eqn: a_4 - a_3 =3 CDOT 2^2]

[eqn: a_5 - a_4 =3 CDOT 2^3]

∴ [eqn: a_5 = a_4 +24 = (a_3 +12)+24][eqn: =10+12+24=46`]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT } `]에서 [eqn: a _{1} =1`,``a _{2} =4`,``a _{3} =10`]이고, 수열 [eqn: LEFT { `a _{n+1} -a _{n} RIGHT } `]은 등비수열일 때, [eqn: a _{5} `]의 값을 구하시오.

[06년 수능]

②

주양자수가 [eqn: n`]일 때의 서로 다른 궤도의 수가 [eqn: 2n^2 `]이므로

[eqn: n = 1`,``2`,``3`,``cdots`,``9`]에 대응되는 [eqn: n`]의 모든 궤도의 수는

[eqn: sum_k=1 ^9 `2k^2 = 2 `sum_k=1 ^9 `k^2][eqn: = 2 cdot {9 cdot 10 cdot 19} over 6][eqn: = 570]

어떤 원자의 에너지는 주양자수 [eqn: n`]에 의해서 결정된다. 주양자수가 [eqn: n`]인 에너지 상태에는 [eqn: 2n^2 `]개의 서로 다른 궤도가 존재한다. 주양자수가 [eqn: n = 1`,``2`,``3`,``cdots`,``9`]인 에너지 상태에 있는 모든 궤도의 수는? (단, 주양자수가 다른 에너지 상태에 있는 궤도들은 서로 다르다.)

[00년 수능]

① [eqn: 770]          ② [eqn: 570]          ③ [eqn: 408]          ④ [eqn: 350]          ⑤ [eqn: 182]

⑤

②번 대각선 [eqn: 3`,``7`,``14`,``25`,``cdots`]의 계차수열이 ①이므로

수열 [eqn: 2`,``4`,``7`,``11`,``16`,``cdots`]의 일반항

[eqn: a_n ={n^2 +n+2}over2`]이다. 따라서, [eqn: b-a`]는 [eqn: a_98`]이다.

[eqn: THEREFORE ```a_98 ={98^2 +98+2}over2][eqn: = 4852`]

그림과 같이 제 [eqn: 1`]행에는 [eqn: 1`]개, 제 [eqn: 2`]행에는 [eqn: 2`]개, [eqn: cdots`], 제 [eqn: 100`]행에는 [eqn: 100`]개의 직사각형을 나열하고 그 안에 다음과 같은 규칙으로 수를 써 넣었다.

(규칙 [eqn: 1`]) 각 행의 양쪽 끝 직사각형에는 [eqn: 1]부터 [eqn: 100] 까지의 자연수를 순서대로 써 넣는다.

(규칙 [eqn: 2`]) 각 행의 안쪽 직사각형에는 바로 위 행의 인접한 직사각형에 쓰인 두 수의 합을 써 넣는다.

									[eqn: 1]
								[eqn: 2]		[eqn: 2]
							[eqn: 3]		[eqn: 4]		[eqn: 3]
						[eqn: 4]		[eqn: 7]		[eqn: 7]		[eqn: 4]
					[eqn: 5]		[eqn: 11]						[eqn: 5]
				[eqn: 6]										[eqn: 6]
						[eqn: vdots]						[eqn: vdots]
	[eqn: 99]				[eqn: a]				[eqn: cdots]								[eqn: 99]
[eqn: 100]				[eqn: b]				[eqn: cdots]										[eqn: 100]

이때, [eqn: b-a`]의 값은?

[03년 수능]

① [eqn: 4878]         ② [eqn: 4872]         ③ [eqn: 4864]         ④ [eqn: 4858]         ⑤ [eqn: 4852]

[eqn: bold 13]

[eqn: a_n = d`(n-1)`]

[eqn: a_n+1 ` b_n = SUM from { k=1} to n` a_k `]에서

[eqn: dx cdot b_n = {d`(n-1) } over {2 } cdot n `]

[eqn: THEREFORE ``` b_n = {n-1 } over {2 } `]

[eqn: THEREFORE ``` b_27 = 13`]

첫째항이 [eqn: 0`]이고 공차가 [eqn: 0`]이 아닌 등차수열 [eqn: left{`a_n ` right }`]에 대하여 수열 [eqn: left{`b_n right} `]이 [eqn: a_n+1 ` b_n = sum _{k=1} ^{n }`a_k `]를 만족시킬 때, [eqn: b_27`]의 값을 구하시오.

[07년 수능]

⑤

[eqn: A_n = left{ x``|`` x``]는 한 변의 길이가 [eqn: 1 `]인 정 [eqn: n`]각형의 대각선의 길이[eqn: right}]

이므로 한 변이 [eqn: 1 `]인  정사각형은 대각선이 [eqn: sqrt 2 `]인 한 종류뿐이므로 [eqn: a_4 = 1`], 같은 방법으로 [eqn: a_5 = 1 `]

[eqn: n = 2k ```(k ge 2) `]이면 길이가 다른 대각선은

[eqn: bar { B_1 B_3 }`, ``bar { B_1 B_4 }`,``…`,`` bar { B_1 B_k+1 } `]의 [eqn: k -2 `] 즉, [eqn: a_2k = k-1 `]

같은 방법으로 [eqn: a_2k+1 = k-1 `]

[eqn: ∴ ```sum_n=4 ^25 `a_n = sum_k=2 ^12` (a_2k + a_2k+1 ) `][eqn: = sum_k=2 ^12 `(2k-2 ) `]

[eqn: = sum _k=1 ^12` (2k-2) = 2 cdot 12×13 over 2 - 24 `][eqn: = 132 `]

자연수 [eqn: n``(n ge 4 ) `]에 대하여 [eqn: A _{n} = LEFT { x`|`x`]는 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정 [eqn: n`]각형의 한 대각선의 길이[eqn: right}`]라 하고, [eqn: a_n `]을 집합 [eqn: A_n `]의 원소의 개수라 하자. 예를 들어 [eqn: a_4 =1 `]이다. 이 때, [eqn: sum_n=4 ^25 `a_n `]의 값은?

[94년 수능]

① [eqn: 140]          ② [eqn: 138]          ③ [eqn: 136]          ④ [eqn: 134]          ⑤ [eqn: 132]

④

수열 [eqn: left{ `a_n right}`]은 [eqn: a_ n+6 = a_n ` ``(n= 1`,``2`,``3`,``CDOTS)]에서 주기가 [eqn: 6`]인 수열을 이룬다.

① [eqn: b_n = a_2n+1 ``]

[eqn: left{ `b_n right} ``:`` a_3 `,``a_5` ,``a_7 `,``a_9 `,``a_11 `,``a_ 13`,``CDOTS`# `````````````⇒```a_3` ,``a_5`,``a_1`,``a_3`,``a_5`,````a_1```,``CDOTS`]

② [eqn: b_n = a_3n+1 ``]

[eqn: left{` b_n right} ``:`` a_4 `,``a_7 `,``a_10` ,``a_13` ,``a_16 `,``a_ 19`,``CDOTS`# ``````````````⇒``a_4` ,``a_1` ,``a_4`,````a_1` ,`````a_4` ,````a_1``` ,``CDOTS`]

③ [eqn: b_n = a_4n+1 `]

[eqn: left{` b_n right} ``:`` a_5` ,``a_9 `,``a_13` ,``a_17` ,``a_21 `,``a_ 25`,``CDOTS`# `````````````⇒```a_5` ,``a_3` ,``a_1` ,````a_5 `,`````a_3` ,````a_1` ,``CDOTS`]

④ [eqn: b_n = a_5n+1 `]

[eqn: left{ `b_n right} ``:`` a_6` ,``a_11` ,``a_16` ,``a_21` ,``a_26` ,``a_ 31`,``CDOTS`# `````````````⇒```a_6` ,``a_5` ,````a_4` ,`````a_3` ,`````a_2` ,````a_1` ,``CDOTS`]

⑤ [eqn: b_n = a_6n+1 `]

[eqn: left{ `b_n right} ``:`` a_7` ,``a_13` ,``a_19` ,``a_25` ,``a_31` ,``a_ 37`,``CDOTS`# `````````````⇒```a_1` ,``a_1` ,````a_1` ,`````a_1` ,`````a_1` ,````a_1` ,``CDOTS`]

수열 [eqn: left{ `b_n right}`]중 [eqn: n`]의 값이 모두 나타나는 것은 ④이다.

수열 [eqn: left{ `a_n right}`]은 처음 [eqn: 6`]개 항 [eqn: a_1` ,``a_2 `,``a_3 `,``a_4 `,``a_5 `,``a_6 `]이 서로 다르고, [eqn: a_n+6 = a_n `][eqn: (n=1`,`][eqn: 2`,``3`,`cdots)`]을 만족시킨다. 다음과 같이 정의 된 수열 [eqn: left{ `b_n right}`]중 [eqn: a_1` ,``a_2 `,``a_3 `,``a_4` ,``a_5 `,``a_6 `]의 값이 모두 나타나는 것은?

[98년 수능]

① [eqn: b_n = a_2n+1 ``]                 ② [eqn: b_n = a_3n+1 ``]                ③ [eqn: b_n = a_4n+1 ``]

④ [eqn: b_n = a_5n+1 ``]                 ⑤ [eqn: b_n = a_6n+1 ``]

③

[eqn: n= 2^k `], [eqn: k = 0`,``1`,``2`,``3`,``CDOTS`]이고,

[eqn: p_1 `→`1`]시간

[eqn: p_2 `→`p_1` p_1 `]연결:[eqn: 1+1+2 =4 `]시간

[eqn: p_4 `→`p_2` p_2 `]연결:[eqn: 4+4+ 2×2 =12`]시간

[eqn: p_8 `→`p_4` p_4 `]연결:[eqn: 12+ 12+ 2×4 =32`]시간

[eqn: p_16 `→`p_8 `p_8 `]연결:[eqn: 32+32+ 2×8 = 80`]시간

따라서, [eqn: p_16 `]을 한 개 만드는 데 [eqn: 80`]시간이 걸린다.

다음은 제품 [eqn: p_n `]을 만드는 방법과 소요시간에 대한 설명이다.

(단, [eqn: n= 2^k `,`` k =0`,``1`,``2`,``3`,``cdots`])

(가) 제품 [eqn: p_1 `]을 하나 만드는 데 걸리는 시간은 [eqn: 1`]이다.

(나) 제품 [eqn: p_1 `]을 차례대로 두 개 만든 다음에 이를  연결하면 제품 [eqn: p_2 `]가 한 개 만들어진다.

(다) 제품 [eqn: p_n `]을 차례대로 두 개 만든 다음에 이를 연결하면 제품 [eqn: p_2n `]이 한 개 만들어진다. 이 때, 제품 [eqn: p_n `]을 두 개 연결하는데 걸리는 시간은 [eqn: 2n`]이다.

제품 [eqn: p_16 `]을 한 개 만드는데 걸리는 시간은?

[96년 수능]

① [eqn: 32]           ② [eqn: 64]           ③ [eqn: 80]           ④ [eqn: 96]           ⑤ [eqn: 112]

[eqn: bold 100]

[eqn: n=2`]일 때, [eqn: LEFT { 3 `,``3 ^{3} RIGHT }`]이므로

[eqn: S= LEFT { 3 ^{4} RIGHT }`] 즉, [eqn: f `LEFT ( 2 RIGHT ) =1`]

[eqn: n=3`]일 때, [eqn: LEFT { 3`,``3 ^{3} `,``3 ^{5} RIGHT }`]이므로

[eqn: S= LEFT { 3 ^{4}` ,``3 ^{6} `,``3 ^{8} RIGHT }`] 즉, [eqn: f `LEFT ( 3 RIGHT ) =3`]

[eqn: n=4`]일 때 [eqn: LEFT { 3`,``3 ^{3}` ,``3 ^{5} `,``3 ^{7} RIGHT }`]이므로

[eqn: S= LEFT { 3 ^{4}` ,``3 ^{6}` ,``3 ^{8}` ,``3 ^{10}` ,``3 ^{12} RIGHT }`] 즉, [eqn: f `LEFT ( 4 RIGHT ) =5`]

[eqn: CDOTS ` CDOTS `]

[eqn: n=k`]일 때, [eqn: LEFT { 3`,``3 ^{3} `,`` CDOTS` ,``3 ^{2k-1} RIGHT }`]이므로

[eqn: S= LEFT { 3 ^{4} `,``3 ^{6}` ,` `CDOTS `,``3 ^{4 LEFT ( k-1 RIGHT )} RIGHT }`] 즉, [eqn: f `LEFT ( k RIGHT ) =2k-3`]

[eqn: THEREFORE`` ` sum _{n=2} ^{11}` f `LEFT ( n RIGHT ) = sum _{n=2} ^{11}` LEFT ( 2n-3 RIGHT )`]

[eqn: =1+3+5+`` CDOTS`+19`]

[eqn: =10 ^{2} =100`]

[eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { 3 ^{ 2k-1} vert k`]는 자연수, [eqn: 1 LE k LE n RIGHT }`]의 서로 다른 두 원소를 곱하여 나올 수 있는 모든 값만을 원소로 하는 집합을 [eqn: S`]라 하고, [eqn: S`]의 원소의 개수를 [eqn: f` ( n )`]이라 하자. 예를 들어, [eqn: f`( 4 ) =5`]이다. 이때, [eqn: sum _{n=2} ^{11} ``f` ( n )`]의 값을 구하시오.

[4점][11년 수능]

②

한 자리수는 [eqn: 3`]개, 두 자리 수는 [eqn: 3^2 `]개

즉, [eqn: n`]자리의 수는 [eqn: 3^n`]개

[eqn: 3^n le 200 `]에서 [eqn: 3^4 = 81 < 200<3^5 = 343 `]이므로 [eqn: n le 4 `]

[eqn: sum_k=1 ^4 `3^k][eqn: ={ 3(3^k -1)} over 3-1 = 120]

제 [eqn: 200 `]항은 [eqn: n= 5`], 즉 [eqn: 5 `]자리의 수로서 [eqn: 80 `]번째 수이다.

[eqn: 5 `]자리의 수 중 첫째 자리의 숫자가 [eqn: 1]인 것이 [eqn: 3^4 = 81]개이고, 이 수는[eqn: 13333]     [eqn: ∴``` 80 `]번째 수는 [eqn: 13332]

다음 그림에 나타나는 수를 크기순으로 나열하여 다음과 같은 수열을 만들었다.

[eqn: 1`,``2`,``3`,``11`,``12`,``13`,``21`,``22`,``23`,``31`,``32`,``33`,``111`,``112`,``113`,``121`,``CDOTS`] 이 수열의 제 [eqn: 200 `]항은?

[94년 수능]

① [eqn: 13323]        ② [eqn: 13332]        ③ [eqn: 21111]        ④ [eqn: 21113]        ⑤ [eqn: 21122]

③

[eqn: 1]행에는 [eqn: 1]개, [eqn: 2]행에는 [eqn: 2]개, [eqn: 3]행에는 [eqn: 3]개,…, [eqn: 10]행에는

[eqn: 10]개의 수가 차례로 나열되어 있으므로, [eqn: 1]행부터 [eqn: 10]행까지의 항의 개수는 [eqn: 55]개이다.

따라서, [eqn: 10]행의 마지막에 들어갈 수는 [eqn: 55]이다.

다음과 같이 [eqn: 1`]부터 연속된 자연수가 규칙적으로 나열되어 있다.

[eqn: 1## 2``````````3## 4``````````5``````````6## 7``````````8``````````9``````````10## cdots cdots##]

[eqn: 10`]행의 마지막에 들어갈 수는?

[98년 수능]

① [eqn: 45]           ② [eqn: 50]           ③ [eqn: 55]           ④ [eqn: 60]           ⑤ [eqn: 65]

②

[eqn: 1+ (2+4) + (3+6+9) + ``cdots`]

[eqn: = sum_k=1 ^10 `(k+ 2k+ 3k + ``cdots` + k cdot k )`]

[eqn: = sum_k=1 ^10 `k(k+1) over 2 k `]

[eqn: = 1 over 2 sum_k=1 ^10` (k^3 + k^2 )`]

[eqn: = 1 over 2 left{ left( {10 cdot 11} over 2 right)^2 + {10cdot11cdot21} over 6 right}][eqn: = 1705 `]

아래와 같이 나열된 [eqn: 55]개의 수를 모두 더하면?

										[eqn: 1]
									[eqn: 2]		[eqn: 4]
								[eqn: 3]		[eqn: 6]		[eqn: 9]
							[eqn: 4]		[eqn: 8]		[eqn: 12]		[eqn: 16]
						[eqn: 5]		[eqn: 10]		[eqn: 15]		[eqn: 20]		[eqn: 25]
					[eqn: 6]		[eqn: 12]		[eqn: 18]		[eqn: 24]		[eqn: 30]		[eqn: 36]
				[eqn: 7]		[eqn: 14]		[eqn: 21]		[eqn: 28]		[eqn: 35]		[eqn: 42]		[eqn: 49]
			[eqn: 8]		[eqn: 16]		[eqn: 24]		[eqn: 32]		[eqn: 40]		[eqn: 48]		[eqn: 56]		[eqn: 64]
		[eqn: 9]		[eqn: 18]		[eqn: 27]		[eqn: 36]		[eqn: 45]		[eqn: 54]		[eqn: 63]		[eqn: 72]		[eqn: 81]
	[eqn: 10]		[eqn: 20]		[eqn: 30]		[eqn: 40]		[eqn: 50]		[eqn: 60]		[eqn: 70]		[eqn: 80]		[eqn: 90]		[eqn: 100]

[94년 수능]

① [eqn: 1755]         ② [eqn: 1705]         ③ [eqn: 1655]         ④ [eqn: 1605]         ⑤ [eqn: 1555]

②

[eqn: N`(32`,``33)=2`]	[eqn: cdots```1`]개

[eqn: N`(32`,``34)=N`(32`,``35)=4`]	[eqn: cdots```2`]개

[eqn: N`(32`,``36)=`cdots`=N`(32`,``39)=6`]	[eqn: cdots```4`]개

[eqn: N`(32`,``40)=`cdots`=N`(32`,``47)=8`]	[eqn: cdots```8`]개

[eqn: N`(32`,``48)=`cdots`=N`(32`,``63)=10`]	[eqn: cdots```16`]개

따라서 구하는 값은

[eqn: 2`times`1`+`4`times`2`+`6`times`4`+`8`times`8`+`10`times`16=258`]

그림과 같이 각각의 점에 [eqn: 1`]부터 연속된 자연수를 규칙적으로 대응시키고 이 점들을 선분으로 연결한다.

[eqn: cdots cdots]

서로 다른 두 자연수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]에 대응되는 두 점을 연결하는 선분들의 최소 개수를 [eqn: N`( a`,``b)`]라 하자. 예를 들면, [eqn: N`(4`, ``6)=4`]이고, [eqn: N`(12`,``27)=3`]이다.

[eqn: N`(32 ` ,``33) +N`(32 `,``34) +N`(32` ,``35)+ ``cdots `+ N`(32 `,``63) `]의 값은?

[04년 수능]

① [eqn: 196]          ② [eqn: 258]          ③ [eqn: 270]          ④ [eqn: 312]          ⑤ [eqn: 344]

③

주어진 이진법의 수열을 같은 자리수를 하나의 군으로 하는 군수열을 만들면

[eqn: (11_(2) )`, ``(101_(2)`,`` 110_(2) )`,``(1001_(2)`,`` 1010_(2)` ,``1100_(2) )`,``cdots`]

따라서, 제 [eqn: 1`]군은 [eqn: 1`]개, 제 [eqn: 2`]군은 [eqn: 2`]개, 제 [eqn: 3`]군은 [eqn: 3`]개 이므로 [eqn: 1+2+3+``cdots`+ n= n(n+1) over 2 le 56`]

따라서, [eqn: n=10`]일 때 [eqn: 10×11 over 2 = 55`]이므로

제 [eqn: 56`]항은 제 [eqn: 11`]군의 첫째항으로 [eqn: 12`]자리의 수의 첫 번째 수이다.

[eqn: ∴```100 ``cdots01][eqn: = 1×2^11 + 1×2^0][eqn: = 2^ 11 +1]

[eqn: 10`]개

[eqn: 1`]이 두 번만 나타나는 이진법의 수를 작은 수부터 차례로 배열하여 얻은 수열 [eqn: 11_(2) `,] [eqn: 101_(2)`,] [eqn: 110_(2)`,] [eqn: 1001_(2)`,] [eqn: 1010_(2)`,] [eqn: 1100_(2)`,] [eqn: cdots`]의 제 [eqn: 56`]항과 같은 수는?

[00년 수능]

① [eqn: 2^9 +1]	② [eqn: 2^10 + 2^9]       ③ [eqn: 2^11 +1]       ④ [eqn: 2^11 +2^10]       ⑤ [eqn: 2^13 +1]

④

ㄱ. [eqn: left[ n over k right] =1`]에서

[eqn: 1 le n over k ＜ 2`,``k le n＜2k`]     [eqn: therefore```n over 2 ＜ k le n`]

따라서, [eqn: k`]의 개수가 항의 개수이므로

항의 개수는 [eqn: n- {n over 2} = n over 2 = left[ n+1 over 2 right]`]    [참]

ㄴ. [eqn: left[ 100 over k right]=3`]에서

[eqn: 3 le 100 over k ＜ 4`,``3k le 100＜4k`]  [eqn: therefore```25＜k le 33.33 cdots`]

즉, [eqn: 33-25=8`](개)이다.     [참]

ㄷ. [eqn: left[ n over 3 right]=5`]에서

[eqn: 5 le n over 3 ＜6`,``15 le n ＜18`]  즉, [eqn: 18-15=3`](개)   [거짓]

아래 그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n`]개의 항 [eqn: left[ {n} over {1} right]`], [eqn: left[ {n} over {2} right]`], [eqn: left[ {n} over {3} right]`], [eqn: cdots `], [eqn: left[ {n} over {n} right]`]이 [eqn: n`]행에 [eqn: 1`]열부터 [eqn: n`]열까지 차례로 나열되어 있다.

(단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

	[eqn: 1`]열	[eqn: 2`]열	[eqn: 3`]열	[eqn: 4`]열	[eqn: 5`]열	[eqn: CDOTS]	[eqn: n`]열	[eqn: CDOTS]
[eqn: 1`]행	[eqn: 1]
[eqn: 2`]행	[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: 3`]행	[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: 4`]행	[eqn: 4]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: 5`]행	[eqn: 5]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
⋮			⋮
[eqn: n`]행	[eqn: left[ {n} over {1} right]]	[eqn: left[ {n} over {2} right]]	[eqn: left[ {n} over {3} right]]		[eqn: CDOTS]		[eqn: left[ {n} over {n} right]]
⋮			⋮

[보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: n`]행에서 그 값이 [eqn: 1`]인 항은 [eqn: left[{ n+1} over 2 right]`]개이다.

ㄴ. [eqn: 100`]행에서 그 값이 [eqn: 3`]인 항은 [eqn: 8`]개이다.

ㄷ. [eqn: 3`]열에서 그 값이 [eqn: 5`]인 항은 [eqn: 5`]개이다.

[05년 수능]

① ㄱ         ② ㄴ         ③ ㄷ         ④ ㄱ, ㄴ         ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④

[eqn: y`]좌표가 같은 점끼리 군으로 묶으면

[eqn: left{`(0`,``0) `right}` ,``left{`(0`,``3)`,``(1`,``3)`,``(2`,``3)`right}`,]

[eqn: left{`(0`,``5)`,``(1`,``5)`,``(2`,``5)`,``(3`,``5)`,``(4`,``5)`right}`,`` cdots`]

제 [eqn: n`]군까지의 항수는

[eqn: 1+ 3+ 5+ ``cdots` + (2n-1) = n^2`]

이므로 [eqn: 100`]번째 항은 제 [eqn: 10`]군의 마지막 항이다. 제 [eqn: 10`]군은 [eqn: (0`,``19)`,``(1`,``19)`,``(2`,``19)`,``cdots` ,``(18`,``19)`]

이므로 [eqn: 100`]번째 항은 [eqn: (18`,``19)`]이다.

∴ [eqn: p+q = 18+19 = 37`]

좌표평면 위에 다음 [단계]와 같은 순서로 점을 찍는다.

[단계[eqn: 1`]] [eqn: (0`,``1)`]에 점을 찍는다.

[단계[eqn: 2`]] [eqn: (0`,``3)`], [eqn: (1`,``3)`], [eqn: (2`,``3)`]에 이 순서대로 [eqn: 3`]개의 점을 찍는다.

[eqn: ⋮]

[단계 [eqn: k`]] [eqn: (0`,``2k-1)`], [eqn: (1`,``2k-1)`], [eqn: (2`,``2k-1)`], [eqn: ⋯`], [eqn: (2k-2`,``2k-1)`]에 이 순서대로 [eqn: (2k-1)`]개의 점을 찍는다.  (단, [eqn: k`]는 자연수이다.)

[eqn: ⋮]

이와 같은 과정으로 [단계[eqn: 1`]]부터 시작하여 점을 찍어 나갈 때, [eqn: 100`]번째 찍히는 점의 좌표는 [eqn: (p`,``q)`]이다. [eqn: p+q`]의 값은?

[08년 수능]

① [eqn: 46]           ② [eqn: 43]           ③ [eqn: 40]           ④ [eqn: 37]           ⑤ [eqn: 34]

④

ㄱ. [반례] [eqn: p=2`]이면

[eqn: a_2 = a_1 +1= 1≠2a_1][eqn: =0`]  [거짓]

ㄴ. (가), (나)에서

[eqn: a_1 = 0`]

[eqn: a_2 = a_1 +1 = 1]

[eqn: a_3 = a_2 +1 = 2]

[eqn: CDOTS]

[eqn: a_p = a_p-1 +1 = p-1]

∴ [eqn: a_1 +a_2 +``CDOTS`+a_p `]

[eqn: = 0+1+2+``CDOTS`+(p-1) = {p(p-1)} over 2`]  [참]

ㄷ. (다)에 [eqn: k=p`]를 대입하면

[eqn: a_p+p = a_2p = a_p][eqn: =p-1],

[eqn: a_2p+p = a_3p = a_2p = a_p][eqn: =p-1],

[eqn: CDOTS]

[eqn: a_kp = a_p][eqn: =p-1]

∴ [eqn: a_p +a_2p +``CDOTS`+a_kp][eqn: =k(p-1)]  [참]

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

참고) [eqn: p=5`]일 때 수열 [eqn: LEFT{`a_n right}`]은 다음과 같다.

[eqn: 0`,``1`,``2`,``3`,``4`,``0`,``1`,``2`,``3`,``4`,``0`,``1`,``2`,``3`,``4`,``cdots`]

[eqn: p ge 2`]인 자연수 [eqn: p`]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT }`]이 다음 세 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{1} =`0]

(나) [eqn: a _{k+1} =a _{k} +1`]  (단, [eqn: 1 le k le p-1`])

(다) [eqn: a _{k+p} =a _{k} ````]([eqn: k=1`,``2`,``3`, ``CDOTS])

[보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: a _{2k} =2a _{k}`]

ㄴ. [eqn: a _{1} +a _{2} + ``CDOTS` +a _{p} = {p(p-1)} over {2} `]

ㄷ. [eqn: a _{p} +a _{2p} + ``CDOTS` +a _{kp}=k`(p-1)`]

[06년 수능]

① ㄱ        ② ㄴ        ③ ㄷ        ④ ㄴ, ㄷ        ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: A(3)= LEFT { 1`,``3`,``7`,``9RIGHT }`]이므로 [eqn: 1`inA(3)`]

ㄴ. [eqn: A`(6)= LEFT { 6RIGHT } `]이므로 [eqn: A(6) not SUBSET A(3)`]

ㄷ. 집합 [eqn: A(3^n)`]중에서 [eqn: n=3`]인 경우

[eqn: A(3^3) =A(27)= LEFT { 1`,``3`,``7`,``9RIGHT }`]이므로

( 수 Ⅰ )                4. 수열  (수능]

[eqn: A(3^ n) =A(3)`]인 자연수 [eqn: n`]이 존재한다.

집합 [eqn: A(k)`]를 자연수 [eqn: k`]를 거듭제곱한 수들의 일의 자리의 수 전체의 집합이라 하자. 예를 들면, [eqn: k= 2`]인 경우에 [eqn: 2^1 = 2` ,] [eqn: 2^2 = 4` ,] [eqn: 2^3 = 8 `,] [eqn: 2^4 =16`,] [eqn: 2^5 = 32`,] [eqn: cdots`]이므로 [eqn: A(2) = LEFT { 2`, ``4`, `` 6`, `` 8RIGHT } `]이다. [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: {1}`IN{A(3)}`]

ㄴ. [eqn: A(6)` SUBSETA(3)`]

ㄷ. [eqn: A(3^n )`=A(3)`]인 자연수 [eqn: n`]이 존재한다. (단, [eqn: n ＞ 1`])

[04년 수능]

① ㄱ          ② ㄴ          ③ ㄷ          ④ ㄱ, ㄴ          ⑤ ㄱ, ㄷ

④

[eqn: y= k sqrt x`]가 [eqn: (4n^2 `, `` n^2 )`]을 지나면

[eqn: n^2 = k cdot sqrt {4n^2}`]에서

[eqn: k = {1 } over {2 } n`]

[eqn: y = k sqrt x`]가 [eqn: (n^2 `, `` 4n^2 )`]을 지나면

[eqn: 4n^2 = k cdot sqrt {n^2 }`]에서

[eqn: THEREFORE ``` y= k sqrt x`]가 주어진 정사각형과 만나려면

[eqn: {1 } over { 2} n le k le 4n`]이어야 한다.

ㄱ. [eqn: n = 5 `]일 때 [eqn: {5 } over {2 } le k le 20`]이므로

[eqn: a_5 = 20-2 =18`]

ㄴ. [eqn: n`]이 홀수일 때

[eqn: a_n = 4n - LEFT ( {1 } over { 2} (n+1)-1 RIGHT ) = { 7} over {2 } n + { 1} over {2 } `]

[eqn: a_n+2 = 4 (n+2) - LEFT ( { 1} over { 2} (n+3) -1 RIGHT )][eqn: = { 7} over {2 } n + { 15} over { 2} `]

[eqn: n`]이 짝수일 때

[eqn: a_n = 4n - LEFT ( {1 } over { 2} n RIGHT ) +1 = { 7} over {2 } n + 1 `]

[eqn: a_n+2 = 4 (n+2) - LEFT ( { 1} over { 2} (n+2) RIGHT ) +1][eqn: = { 7} over {2 } n + 8]

[eqn: THEREFORE ~ a_n+2 - a_n = 7]

ㄷ. [eqn: SUM from { k`=`1}^` to 10_` ` a_k][eqn: = SUM from { k`=`1}^` to 5_` ` a_2k-1 + SUM from { k`=`1}^` to 5_` a_2k]

[eqn: = SUM from { k=1} to n` LEFT ( {7 } over {2 } (2k-1) + {1} over { 2} RIGHT )][eqn: + SUM from { k=1} to n` LEFT ( {7 } over {2 } (2k) + 1 RIGHT )][eqn: =200`]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A_n`]을 [eqn: 4`]개의 점 [eqn: (n^2 `,``n^2 )`,] [eqn: (4n ^{2} `,``n ^{2} )`,] [eqn: (4n ^{2} `,``4n ^{2} )`,] [eqn: (n ^{2} `,``4n ^{2} )`]을 꼭지점으로 하는 정사각형이라 하자. 정사각형 [eqn: A_n`]과 함수 [eqn: y=k SQRT { x}`]의 그래프가 만나도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 개수를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: a_5 =15`]

ㄴ. [eqn: a_n+2 -a_n =7`]

ㄷ. [eqn: SUM from { { k}=1} to 10` a_k =200`]

[07년 수능]

① ㄴ        ② ㄷ        ③ ㄱ, ㄴ        ④ ㄴ, ㄷ        ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

①

[eqn: sqrt 17 - 4 = 1 over {8 + a_1 }]이므로

[eqn: a_1 = 1 over { sqrt 17 - 4 } - 8 = { sqrt 17 + 4 } over { left ( sqrt 17 - 4 right ) left ( sqrt 17 + 4 right ) } - 8 = sqrt 17 - 4]

이다. 또한, 조건

[eqn: 1 over {8 + a_1} = 1 over {8 + 1 over {8 + a_2 }} = 1 over {8 + 1 over { 8 + 1 over {8 + a_3 } } } = `cdots `]로부터

[eqn: a_1 = 1 over { 8 + a_2 }`, ``a_2 = 1 over { 8 + a_3 }`, ``cdots `]

[eqn: therefore ```a_{2} = 1 over {a_1} - 8` , ``a_{3} = 1 over {a_2} - 8 `, ``cdots`]

위 두 결과를 이용하여 [eqn: a_2`, ``a_3`, ``cdots`]의 값을 차례로 구하면

[eqn: a_2 = 1 over {a_1} - 8 = 1 over { sqrt 17 - 4 } - 8 = sqrt 17 - 4]

[eqn: a_3 = 1 over {a_2} - 8 = 1 over { sqrt 17 - 4 } - 8 = sqrt 17 - 4]

[eqn: cdots]

[eqn: therefore ```a_2002 = a_2001 = ``cdots` = a_3 = a_2 = sqrt 17 - 4`]

수열 [eqn: left{`a_n right}`]이 [eqn: SQRT17 -4 = {1 }over{ 8+ a_1 } = {1} over{ 8 +{1} over {8 + a_2 }}= {1} over{8+{1}over{8+{1}over{8+a_3}}}=`cdots`]을 만족시킬 때, [eqn: a_2002`]의 값은?

[02년 수능]

① [eqn: SQRT17 -4]     ② [eqn: 3 - SQRT17]     ③ [eqn: 5- SQRT17]     ④ [eqn: SQRT17]     ⑤ [eqn: SQRT17 +4]

④

[eqn: a_n+1`- alpha = 2 (a_n - alpha)`]  [eqn: THEREFORE ```alpha =`-2`]

[eqn: a_n+1`+ 2 = 2 (a_n + 2)]

[eqn: THEREFORE ```a_n +2 = (a_1 +2) 2^n-1 = 4 CDOT 2^n-1 = 2^n+1 `]

[eqn: THEREFORE ```a_10 = 2^11 -2 = 2048 -2 =2046 `]

수열 [eqn: left{`a_n right}`]에 대하여 [eqn: a_1 =2`]이고 [eqn: a_n+1 = 2a_n +2`]일 때, [eqn: a_10`]의 값은?

[07년 수능]

① [eqn: 1022]          ② [eqn: 1024]          ③ [eqn: 2021]          ④ [eqn: 2046]          ⑤ [eqn: 2082]

②

[eqn: a_n+1 - a_n =2n`]에서 수열 [eqn: left {`a_n `right}`]의 계차수열의 일반항이 [eqn: 2n`]이므로

[eqn: a_10 = a_1 +sum_k=1^9` 2k][eqn: = a_1 + 90 =94]

∴ [eqn: a_1 =4`]

수열 [eqn: left{ `a_n `right}]이 [eqn: a_n+1 - a_n = 2n`]을 만족시킨다. [eqn: a_10 =94`]일 때, [eqn: a_1`]의 값은?

[10년 수능]

① [eqn: 5`]            ② [eqn: 4`]            ③ [eqn: 3`]            ④ [eqn: 2`]            ⑤ [eqn: 1`]

②

[eqn: a_n+1 = 2 cdot n over n+1 a_n```(n=1`,``2`,``3`,``cdots)`]이므로

[eqn: {~~~a_2 = 2 cdot 1over2 a_1} atop {~~~a_3 = 2 cdot 2over3 a_2} atop {times ) ~a_4 = 2 cdot 3over4 a_3} over {~~~a_4 = 2^3 cdot 1over4 a_1}`]

[eqn: therefore``` a_4 = 2^3 cdot 1over4 cdot 1 =2`]

[다른 풀이]

[eqn: a_n+1 = 2n over n+1 a_n`]에서

[eqn: (n+1)cdota_n+1 = 2 cdot n a_n`]이므로 수열 [eqn: left{` n cdot a_n `right}`]은 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열이다.

[eqn: therefore``` n cdot a_n = 1 cdot a_1 cdot 2^n-1`, ``4cdot a_4 = 1cdot 1cdot 2^4-1`]

[eqn: therefore```a_4 =2`]

수열 [eqn: left{`a_n `right}`]이 [eqn: a_1 =1`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n+1 = 2n over n+1 a_n `]을 만족시킬 때, [eqn: a_4`]의 값은?

[3점][12년 수능]

① [eqn: 3over2`]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 5over2]           ④ [eqn: 3]           ⑤ [eqn: 7over2]

[eqn: bold 11]

[eqn: n`]으로 나누었을 때 몫과 나머지가 같아지는 자연수는

[eqn: n+1`,``2n+2`,``3n+3`,``4n+4`,``cdots`,``(n-1)n+(n-1)`]의 [eqn: n-1`]개다.

∴ [eqn: a_n = sum_k=1^n-1 `(kn+k)][eqn: = (n+1) sum_k=1^n-1 `k][eqn: = (n+1) cdot {(n-1)n} over 2`]

[eqn: a_n >500`]에서

[eqn: {(n-1)n(n+1)} over2 >500`], [eqn: (n-1)n(n+1)>1000`]

[eqn: 9 cdot 10 cdot 11 = 990 <1000`], [eqn: 10 cdot 11 cdot 12 = 1320 >1000`]이므로 구하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 11`]이다.

자연수 [eqn: n``(n ge 2)`]으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수를 모두 더한 값을 [eqn: a_n`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: 4`]로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 [eqn: 5`,``10`,``15`]이므로 [eqn: a_4 = 5+10+15=30`]이다. [eqn: a_n ＞500 `]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값을 구하시오.

[09년 수능]

[eqn: bold 23]

점 [eqn: P _{ n}`]의 [eqn: x`]좌표를 나열하면 [eqn: -1`,``1`,``-1`,``1`,`` CDOTS `]이므로

점 [eqn: P _{25}`]의 [eqn: x`]좌표 [eqn: a`]는 [eqn: -1`]이다.

점 [eqn: P _{ n}`]의 [eqn: y`]좌표를 나열하면

[eqn: 0`,`` 0 `,``2`,``-2`,``4`,``-4`,``6`,``-6`,``]이므로

홀수 번째 항으로 이루어진 수열은

첫째항이 [eqn: 0`]이고 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이므로

점 [eqn: P _{25}`]의 [eqn: y`]좌표 [eqn: b`]는 [eqn: b=0+(13-1)cdot2=24`]

[eqn: THEREFORE ```a+b=23`]

[다른 풀이]

[eqn: P_{ n}`]의 좌표를 [eqn: (a _{n}`,``b _{n} )`]이라 할 때,

선분 [eqn: P_{ n}`][eqn: P_{ n+1}`]의 중점과 선분 [eqn: P_{ n+2}`][eqn: P_{ n+3}`]의 중점이

같으므로

[eqn: a _{n} +a _{n+1} =a _{n+2} +a _{n+3}`]

[eqn: b _{n} +b _{n+1} =b _{n+1} +b _{n+2} ``` CDOTS`]㉠

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_1 =`-1`,``a_2 =1`,``a_3 = `-1`,``cdots`]이므로

[eqn: a_n =(-1)^n`]

또한, 수열 [eqn: left{b_n right}]에서 [eqn: b_1 =0`,``b_2 =0`,``b_3 =2`]이므로

㉠에 의하여

[eqn: b_4 =`-2`,``b_5 =4`,``b_6 =`-4`,``] [eqn: cdots`]

[eqn: b_2n-1 =2n-2`,``b_2n =`-2n+2`]

[eqn: THEREFORE ```a _{25} =(-1) ^{25} =`-1`,``b _{25} =2cdot13-2=24`]

따라서 [eqn: P_25`]의 좌표는 [eqn: (-1`,``24)`]이므로 [eqn: a+b=23`]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: P _{ n}`]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 세 점 [eqn: P _{1}` ,``P _{2}` ,``P _{3}`]의 좌표는 각각 [eqn: (-1`,`` 0)`,``(1`,``0)`,``(-1`,``2)`]이다.

(나) 선분 [eqn: P _{ n} `P _{ n+1}`]의 중점과 선분 [eqn: P _{ n+2} `P _{ n+3}`]의 중점은 같다.

예를 들어, 점 [eqn: P _{4}]의 좌표는 [eqn: (1`,``-2)`]이다. 점 [eqn: P _{25}`]의 좌표가 [eqn: (a`,``b)`]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[4점][13학년도 수능]

[eqn: bold 21]

[eqn: { A}_n` (x_n` ,``0)`]이므로

[eqn: { P}_n `left( x_n `,`` 1 over x_n right)`], [eqn: { Q}`_n left( 1 over x_n` ,`` x_n right)`],

[eqn: { R}_n `left( 1 over x_n `,`` 0 right)`], [eqn: {A}_n+1 `left( 1 over x_n +1`,`` 0 right)`]이다.

따라서 [eqn: x_n+1 = 1 over x_n +1`], [eqn: x_1 =2`]이므로

[eqn: x_2 = 1 over x_1 +1 = 1 over 2 +1 = 3 over 2`]

[eqn: x_3 = 1 over x_2 +1 = 2 over 3 +1 = 5 over 3`]

[eqn: x_4 = 1 over x_3 +1 = 3 over5 +1 = 8 over 5`]

[eqn: x_5 = 1 over x_4 +1 = 5 over 8 +1 = 13 over 8`]

[eqn: THEREFORE`] [eqn: p+q = 8 + 13 =21`]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A_n`]이 [eqn: x`]축 위의 점일 때, 점 [eqn: A_n+1`]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 [eqn: A_1`]의 좌표는 [eqn: (2`,``0)`]이다.

(나) (1) 점 [eqn: A_n`]을 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= 1over x```` (x>0)`]과 만나는 점을 [eqn: { P}_n`]이라 한다.

(2) 점 [eqn: { P}_n`]을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: { Q}_n`]이라 한다.

(3) 점 [eqn: { Q}_n`]을 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: { R} _n`]이라 한다.

(4) 점 [eqn: { R} _n`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동한 점을 [eqn: A_n+1`]이라 한다.

점 [eqn: A_n`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: x_n`]이라 하자. [eqn: x_5 = q over p`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`,``q`]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: y=x]

[eqn: A_1]

[eqn: P_1]

[eqn: Q_1]

[eqn: R_1]

[eqn: A_2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: y= 1 over x]

[eqn: VDOTS]

[eqn: •]

[eqn: •]

[eqn: •]

[eqn: •]

[eqn: •]

[10년 수능]

②

[eqn: SUM from { {i}=1} to 2n+1 `1 over {n+i} = 1 over {n+1} + 1 over {n+2} + ``cdots `+ 1 over {3n+1} ＞ 1]

(1) [eqn: n=1`]일 때, [eqn: a_1 = 1 over 2 + 1 over 3 + 1 over 4 = 13 over 12 ＞ 1`]

(2) [eqn: n=k`]일 때, [eqn: a_k ＞ 1`]이라 가정하면

[eqn: a_k = 1 over {k+1} + 1 over {k+2} + cdots + 1 over {3k+1} ＞ 1]

[eqn: n=k+1`]일 때,

[eqn: a_k+1= 1 over {k+2} + 1 over {k+3} + ``cdots` + 1 over {3k+4}`]

[eqn: = a_k + LEFT({1 over {3k+2} + 1 over {3k+3} + 1 over {3k+4}}right )- box{` 1 over k+1`}]

한편, [eqn: (3k+2)(3k+4)``box{＜}``(3k+3)^2]

[eqn: 1 over {3k+2} + 1 over {3k+4} = 6k+6 over {(3k+2)(3k+4)}]

[eqn: ＞ 6k+6 over {(3k+3)^2} = 2 over {3k+3}]

[eqn: therefore ~ 1 over {3k+2} + 1 over {3k+4} ＞ box{`2 over {3k+3}`}]

[eqn: a_k > 1`]이므로

[eqn: a_k+1 ＞ a_k + LEFT ( 1 over {3k+3} + 2 over {3k+3} RIGHT ) - 1 over {k+1} ＞ 1`]

그러므로 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n ＞ 1`]이다.

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

[eqn: `SUM from { { i}=1} to {2n+1} { 1} over { n+i }= { 1} over { n+1 } + { 1} over { n+2 } + ``CDOTS` + { 1 } over { 3n+1} ＞1`]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(다)

[증명]

자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: a_ n = { 1} over { n+1 } + { 1} over { n+2} + ``CDOTS`+ { 1} over { 3n+1 } `]이라 할 때, [eqn: a_n ＞1`]임을 보이면 된다.

[eqn: i)] [eqn: n=1`]일 때 [eqn: a_ 1 = { 1 } over { 2 } + { 1 } over { 3 } + { 1} over { 4} ＞1`]이다.

[eqn: ii)] [eqn: n=k`]일 때 [eqn: a_k ＞1`]이라고 가정하면, [eqn: n=k+1`]일 때

[eqn: a_k+1 = { 1 } over { k+2 } + { 1 } over { k+3} + ``CDOTS `+ { 1 } over { 3k+4 } `]

[eqn: = a_k + left( { 1 } over { 3k+2 } + { 1 } over { 3k+3 } + { 1 } over { 3k+4 } right) -]

(가)

한편, [eqn: (3k + 2) (3k + 4)`][eqn: (3k+3)^2 `]이므로 [eqn: { 1 } over { 3k+2 } + { 1 } over { 3k+4} ＞]

(나)

(다)

그런데 [eqn: a_k ＞1`]이므로

[eqn: a _{k+1} >a _{k} + LEFT ( {1} over {3k+1} +`````````````````````````````````-`````````````````````````````````` RIGHT )][eqn: >1 `]

(가)

그러므로 [eqn: i)`,``ii)`]에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n ＞1`]이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[05년 수능]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: { 1} over { k+1}]	[eqn: ＞]	[eqn: { 2} over { 3k+3 }]
②	[eqn: { 1} over { k+1}]	[eqn: ＜]	[eqn: { 2 } over { 3k+3 }]
③	[eqn: { 1 } over { k+1}]	[eqn: ＜]	[eqn: { 4 } over { 3k+3}]
④	[eqn: { 2 } over {k+1 }]	[eqn: ＞]	[eqn: { 4} over { 3k+3}]
⑤	[eqn: { 2 } over {k+1 }]	[eqn: ＜]	[eqn: { 1 } over {k+1 }]

③

[eqn: sum_k=1^m+1 `(5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 +``CDOTS`+ 1over m+1 right)`]

[eqn: =sum_k=1^m `(5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + ``CDOTS`+ 1over m+1 right)]

[eqn: + left{5(m+1)-3right} 1 over m+1 `]

[eqn: =sum_k=1^m `(5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + ``CDOTS`+ 1over m+1 right)][eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m `(5k-3) left{ left( 1OVER k + 1over k+1 +``CDOTS`+ 1over m right)+ 1over m+1 right}][eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m `(5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + ``CDOTS`+ 1over m right)]

[eqn: +sum_k=1^m `(5k-3) 1over m+1][eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m `(5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + ``CDOTS`+ 1over m right)]

[eqn: + 1over m+1 sum_k=1^m `(5k-3)][eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: = m(5m+3) over 4 + 1over m+1 `sum_k=1^m+1` (5k-3 )]

[eqn: = {(m+1)(5m+8)} over 4]

따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로

[eqn: 5m+2`, `` m` ,``5k-3`]이다.

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1 } ^{n } `(5k-3) `LEFT ( {1 } over {k} + {1 } over {k+1} + {1 } over {k+2} +``cdots`+ {1 } over {n} RIGHT )` = {n`(5n+3) } over {4}`]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(1) [eqn: n=1`]일 때, (좌변)[eqn: =2`], (우변)[eqn: =2`]이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1 } ^{m } `(5k-3) LEFT ( {1 } over {k} + {1 } over {k+1} + {1 } over {k+2} +``cdots`+ {1 } over {m} RIGHT )`][eqn: = {m`(5m+3) } over {4}`]이다.

[eqn: n=m+1`]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1 } ^{m+1 }` (5k-3) LEFT ( {1 } over {k} + {1 } over {k+1} +``cdots`+ {1 } over {m+1} RIGHT )`]

[eqn: = sum _{k=1 } ^{m } `(5k-3) LEFT ( {1 } over {k} + {1 } over {k+1} +``cdots`+ {1} over {m+1} RIGHT ) + {``````````````````````````````````} over {m+1}`]

(가)

[eqn: =` sum _{k=1} ^{m} `(5k-3) LEFT ( {1} over {k} + {1} over {k+1} +``cdots`+ {1} over {`````````````````````````````} RIGHT )`][eqn: + {1 } over {m+1} sum _{k=1} ^{m } (5k-3)+{```````````````````````````````````} over {m+1}`]

(나)

(가)

[eqn: = {m`(5m+3) } over {4} + {1 } over {m+1} sum _{k=1} ^{m+1}` LEFT ( ``````````````````````````````` atop {}RIGHT )]

(다)

[eqn: = {(m+1)(5m+8) } over {4}]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[06년 수능]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 5m-3]	[eqn: m]	[eqn: 5k+2]
②	[eqn: 5m-3]	[eqn: m+1]	[eqn: 5k+2]
③	[eqn: 5m+2]	[eqn: m]	[eqn: 5k-3]
④	[eqn: 5m+2]	[eqn: m]	[eqn: 5k+2]
⑤	[eqn: 5m+2]	[eqn: m+1]	[eqn: 5k-3]

②

[eqn: (1^2 + 1) cdot 1! + (2^2 +1) cdot 2! + ``cdots`]

[eqn: + (k^2 +1) cdot k! + left{ (k+1)^2 +1 right} cdot (k+1)!`]

[eqn: =[`k CDOT (k+1)!`]`+ LEFT { (k+1) ^{2} +1 RIGHT } CDOT (k+1)!`]

[eqn: = left{ k + (k+1)^2 + 1 right} cdot (k+1)!`]

[eqn: = LEFT ( [`k ^{2} +3k ^{2} +2`]` RIGHT ) CDOT (k+1)!`]

[eqn: = (k+1)(k+2) (k+1)!`]

[eqn: = (k+1) cdot [`(k+2)!`]]

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: (1^2 + 1 ) cdot 1! + (2^2 + 1 ) cdot 2! + ``CDOTS` + ( n^2 + 1 ) cdot n! = n cdot (n+1 )!`]

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

(가)

[증명]

(1) [eqn: n=1`]일 때, (좌변)[eqn: =2`], (우변)[eqn: =2`]이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) [eqn: n=k`]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: (1^2 + 1 ) cdot 1! + (2^2 + 1 ) cdot 2! + ``CDOTS`][eqn: + ( k^2 + 1 ) cdot k`! = k cdot (k+1 )!`]이다.

[eqn: n=k+1`]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: (1^2 + 1 ) cdot 1! + (2^2 + 1 ) cdot 2! + ``CDOTS `][eqn: + ( k^2 + 1 ) cdot k`! +left{ (k+1)^2 +1 right} cdot (k+1)!`]

[eqn: =~~~~~~`````````````````````````````````+ left{ (k+1)^2 +1 right} cdot (k+1)!]

[eqn: =LEFT ( ~`````````````````````````````~{ `} atop {` }~~ RIGHT ) cdot (k+1)! =(k+1)cdot]

(나)

(다)

그러므로 [eqn: n=k+1`]일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?

[08년 수능]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: k cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 2k +1]	[eqn: (k+1)!]
②	[eqn: k cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 3k +2]	[eqn: (k+2)!]
③	[eqn: k cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 3k +2]	[eqn: (k+1)!]
④	[eqn: (k+1) cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 3k +2]	[eqn: (k+2)!]
⑤	[eqn: (k+1) cdot (k+1)!]	[eqn: k^2 + 2k +1]	[eqn: (k+1)!]

④

(1) [eqn: n=1`]일 때,

(좌변)[eqn: = 1over2`], (우변)[eqn: = 1- 1over2 = 1over2`]이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 [eqn: sum_k=1^m a_k = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`]이다.

[eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

수열 [eqn: left{ `a_n right}`]의 정의에 의해 [eqn: a_m+1 = m^2 over{ (m+1)(m+2)} a_m`]이므로

[eqn: sum_k=1^m+1 a_k = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1 + a_m+1`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1 +`][eqn: box{`m^2 over{(m+1)(m+2)}`}`][eqn: a_m`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`][eqn: + m^2 over{ (m+1)(m+2)} cdot {(m-1)^2} over{m(m+1)} cdot cdots cdot 1^2 over{ 2 cdot 3} a_1`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`][eqn: + m^2 over{ (m+1)(m+2)} cdot {(m-1)^2} over{m(m+1)} cdot cdots cdot 1^2 over{ 2 cdot 3}cdot 1over2]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`+`][eqn: box{`1over{ (m+1)^2 (m+2)}`}]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1 + 1over{ (m+1)^2 }`][eqn: -][eqn: box{`1over{ (m+1) (m+2)}`}]

[eqn: = sum_k=1^m+1 1over k^2 - left{ m over m+1 + 1over{ (m+1)(m+2)}`right}`]

[eqn: = sum_k=1^m+1 1over k^2 - {(m+1)^2 }over{ (m+1)(m+2)}`]

[eqn: = sum_k=1^m+1 1over k^2 - m+1 over m+2`]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때에도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

수열 [eqn: LEFT {` a_n RIGHT }`]이 [eqn: cases{````a_1 = {1} over {2}``#````(n + 1)(n + 2) `a_n+1 =n^2 `a_n````(n=1`,``2`,``3`,``cdots)``]일 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} `a_k = sum _{k=1} ^{n} `{1} over {k ^2} - {n} over {n+1}`] [eqn: cdots`] (*)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(1) [eqn: n=1`]일 때, (좌변)[eqn: = {1}over{2}`], (우변)[eqn: = 1- {1}over{2} = {1}over{2}`]이므로 (*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 [eqn: sum _{k=1} ^{m}` a _k = sum _{k=1} ^{m}` {1} over {k ^2} - {m} over {m+1}`]

[eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m +1}` a_k][eqn: =sum_{k=1}^{m}` {1} over {k^ 2} - {m} over {m+1} + a_m+1`]
[eqn: =sum_{k=1}^{m} `{1}over{k^2} - {m} over {m+1} + ~~~~~```````````````~~~~~a_m]
[eqn: =sum_{k=1}^{m} `{1}over {k^2} - {m} over {m+1}][eqn: + {m^2} over{(m+1)(m+2)} cdot {(m-1)^2} over {m(m+1)} cdot ``CDOTS `cdot {1^2} over {2 CDOT 3} `a_1`]
[eqn: =sum_{k=1}^{m} `{1}over {k^2} - {m} over {m+1} +]

(나)

[eqn: =sum_{k=1}^{m}` {1}over {k^2} - {m} over {m+1} +{1}over {(m+1)^2 }-]              [eqn: =sum_{k=1}^{m +1} `{1}over {k^2} - {m+1} over {m+2}`]

(다)

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

(가)

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?

[09년 수능]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: m over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: {1} over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: 1 over {(m+1)(m+2)^2}]
②	[eqn: {m} over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: {m} over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: {1} over {(m+1)(m+2)}]
③	[eqn: {m^2} over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: {1} over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: {1} over {(m+1)(m+2)}^2]
④	[eqn: {m^2}over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: {1} over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: {1} over {(m+1)(m+2)}]
⑤	[eqn: {m^2} over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: m over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: {1} over {(m+1)(m+2)}^2]

②

[eqn: sum from k=0 to m+1 {`_m+1 {rm C}_k} over{`_m+5 {rm C}_k} = {`_m+1 { C}_0} over {`_m+5 { C}_0} + sum from k=1 to m+1 {`_m+1 { C}_k} over{`_m+5 { C}_k} `]

[eqn: = 1 + sum from k=0 to m {`_m+1 { C}_k+1} over{`_m+5 { C}_k+1}]

따라서 (가)에 들어갈 수는 [eqn: 1`]이다.

[eqn: `_l+1 { C}_k+1 = {(l+1)!} over{(k+1)! times (l-k)!} `]

[eqn: = l+1 over k+1 times l! over {k! times (l-k)!}]

[eqn: = l+1 over k+1 times `_l { C}_k]

따라서 (나)에 들어갈 식은 [eqn: l+1 over k+1`]이다.

[eqn: sum _{k=0} ^{m+1} {` _{m+1} {rm C} it _{k}} over {` _{m+5} { C} _{k}} =1+ sum _{k=0} ^{m} {` _{m+1} { C} it _{k+1}} over {` _{m+5} { C} it _{k+1}}]

[eqn: =1+ sum _{k=0} ^{m} {{m+1} over {k+1} TIMES ` _{m} { C} it _{k}} over {{m+5} over {k+1} TIMES ` _{m+4} { C} it _{k}}]

[eqn: =1+ m+1 over m+5 times sum from k=0 to m {`_m { C}_k} over{`_m+4 { C}_k}]

[eqn: = 1+ m+1 over m+5 times m+5 over 5 = m+6 over 5]

따라서 (다)에 들어갈 식은 [eqn: m+1 over m+5]이다.

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식

[eqn: sum from k=0 to n` {`_n { C} _k} over {`_n+4 { C} _k }= n+5 over5`]

가 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(1) [eqn: n=1`]일 때,

(좌변)[eqn: ={`_1 { C}_0} over {`_5 { C}_0} +{`_1 { C}_1} over {`_5 { C}_1} = 6 over5`], (우변)[eqn: = 1+5 over 5 = 6 over5`]

이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, 등식

[eqn: sum from k=0 to m `{`_m { C} _k} over {`_m+4 { C} _k }= m+5 over5`]

가 성립한다고 가정하자. [eqn: n=m+1`]일 때,

[eqn: sum from k=0 to m+1 {`_m+1 { C} _k} over {`_m+5 { C} _k }=````````````````````````````+ sum from k=0 to m {`_m+1 { C} _k+1} over {`_m+5 { C} _k+1 }]

(가)

이다. 자연수 [eqn: l`]에 대하여

(나)

[eqn: `_l+1 { C}`_k+1 =``````````````````````` cdot {`_l { C}`_k}] [eqn: (0 le k le l)`]

이므로

[eqn: sum from k=0 to m {`_m+1 { C} _k+1} over {`_m+5 { C} _k+1 }=```````````````````````cdot sum from k=0 to m {`_m { C}_k} over{`_m+4{ C}_k}]

(다)

이다. 따라서,

[eqn: sum from k=0 to m+1 {`_m+1 { C} _k} over {`_m+5 {\C} _k }=``````````````````````````````+``````````````````````` cdot sum from k=0 to m {`_m { C}_k} over{`_m+4{\C}_k}]

(나)

(가)

[eqn: = m+6 over5`]

이다.

그러므로 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[10년 수능]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1]	[eqn: l+2 over k+2]	[eqn: m+1 over m+4]
②	[eqn: 1]	[eqn: {l+1} over {k+1}]	[eqn: m+1 overm+5]
③	[eqn: 1]	[eqn: l+1 over k+1]	[eqn: m+1 over m+4]
④	[eqn: m+1]	[eqn: l+1 over k+1]	[eqn: m+1 overm+5]
⑤	[eqn: m+1]	[eqn: l+2 over k+2]	[eqn: m+1 over m+4]

⑤

[eqn: b _{n+1} = {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n+1}} over {(n+1)!} # `````````````````=` {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n} times LEFT ( n+1 RIGHT ) + LEFT ( n-1 RIGHT ) !} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !} # `````````````````=` {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n}} over {n!} + {1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}]

∴ (가)[eqn: =f `LEFT ( n RIGHT ) = {1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}`]

[eqn: b _{n}`]을 구하면

[eqn: b _{n} =`b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )} # `````````=` {a _{1}} over {1!} + sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT ) # `````````=`1+ LEFT ( {1} over {1} - {1} over {n} RIGHT ) # `````````=` {2n-1} over {n}]

∴ (나)[eqn: =g LEFT ( n RIGHT ) = {2n-1} over {n}`]

따라서

[eqn: f `LEFT ( 13 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 7 RIGHT ) = {1} over {13 cdot 14} times {13} over {7} = {1} over {98}`]

수열 [eqn: LEFT {` a _{n}` RIGHT }`]은 [eqn: a _{1} =1`]이고,

[eqn: a _{n+1} =n+1+ {LEFT ( n-1 RIGHT ) !} over {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n}}````(n GEQ 1)`]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}`]을 구하는 과정의 일부이다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{1} a _{2} CDOTS a _{n} a _{n+1} `=`a _{1} a _{2} CDOTS a _{n} TIMES LEFT ( n+1 RIGHT ) + LEFT ( n-1 RIGHT ) !`]

이다.

[eqn: b _{n} = {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n}} over {n!}`] 이라 하면, [eqn: b _{1} =1`]이고

(가)

[eqn: b _{n+1} =b _{n} +]

이다. 수열 [eqn: LEFT {` b _{n} `RIGHT }`]의 일반항을 구하면

[eqn: b _{n} = `]              이므로 [eqn: {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n}} over {n!} = `]              이다.

(나)

(나)

[eqn: VDOTS `]

따라서 [eqn: a _{1} =1`]이고, [eqn: a _{n} = {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n-1 RIGHT )} over {2n-3} `````` LEFT ( n GE 2 RIGHT )`] 이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f ` ( n )`,] (나)에 알맞은 식을 [eqn: g ( n )`]이라 할 때, [eqn: f` ( 13 ) times g ( 7 )`]의 값은?

[4점][11년 수능]

① [eqn: {1} over {70}]         ② [eqn: {1} over {77}]         ③ [eqn: {1} over {84}]         ④ [eqn: {1} over {91}]         ⑤ [eqn: {1} over {98}]

②

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S_n+1 = S_n + a_n+1`]이므로
[eqn: nS_n+1 = (n+2)S_n + (n+1)^3`]에서

[eqn: n(S_n +a_n+1 )=nS_n + 2S_n +(n+1)^3`]
[eqn: therefore``` na_n+1 =2S_n +(n+1)^3`] ([eqn: n ge 2]) [eqn: cdots`]㉠

이다. [eqn: 2`] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 ㉠의 식에 [eqn: n`]대신 [eqn: n-1`]을 대입하면

[eqn: (n-1)a_n = 2S_n-1 + n^3 `````cdots`]㉡

이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터

[eqn: na_n+1 -(n-1)a_n = 2(S_n - S_n-1 )+(n+1)^3 -n^3 `#```````````````````````````````````````````````````````````````= 2a_n + 3n^2 +3n +1`]

[eqn: therefore```na_n+1 =(n+1 ) a_n + box{`3n^2 +3n +1`}`] (가)

를 얻는다. 양변을 [eqn: n(n+1)`]로 나누면

[eqn: a_n+1 over n+1 = a_n over n + {box{` 3n^2 + 3n+1`}} over {n(n+1)} = a_n over n +3 + 1over n(n+1)`]
이다. [eqn: b_n = a_n over n`]이라 하면,

[eqn: b_n+1 = b_n +3 +`box{`1over n(n+1)`}] (나) [eqn: (n ge 2)]
이므로 [eqn: b_n = b_2 + sum_k=2^n-1 `left( 3+ 1over k - 1over k+1 right)`]
[eqn: = b_2 + box{`3(n-2) + 1over2 - 1over n`}] (다) [eqn: (n ge 3)]

이다.

[eqn: therefore ```f`(n) = 3n^2 + 3n +1`,],

[eqn: g(n)= 1over n(n+1)`,] [eqn: h(n) = 3n - 11over2 - 1over n`]이므로

[eqn: {f`(3)} over g(3)h(6) = 37 over { 1over 12 times left( 18 - 11over2 - 1over6 right)}= 37over{ 1over12 times 74 over6 } `]

[eqn: = 37 over {2times37 over 72 } = 36`]

첫째항이 [eqn: 1`]인 수열 [eqn: left{`a_n` right}`]에 대하여 [eqn: S_n = sum from k=1 to n `a_k `]라 할 때,

[eqn: n`S_n+1 =(n+2)S_n +(n+1)^3`] [eqn: (n ge 1)`]

이 성립한다. 다음은 수열 [eqn: left{`a_n` right}`]의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S_n+1 =S_n +a_n+1 `]이므로
[eqn: n`a_n+1 = 2`S_n + (n+1)^3`] [eqn: cdots cdots `]㉠
이다. [eqn: 2`]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: (n-1)`a_n =2`S_n-1 +n^3 `] [eqn: cdots cdots] ㉡
이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터
[eqn: n`a_n+1 = (n+1)`a_n +]
를 얻는다. 양변을 [eqn: n(n+1)`]로 나누면
[eqn: a_n+1 over n+1 = a_n over n + {````````````````````````````````````````} over {n(n+1)}`]
이다. [eqn: b_n = a_n over n `]이라 하면,
[eqn: b_n+1 = b_n +3 +``````````````````````````````````````````(n ge 2)`]
이므로 [eqn: b_n = b_2 +``````````````````````````````````````````(n ge 3)`]이다.
[eqn: vdots`]

(다)

(나)

(가)

(가)

위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f`(n)`,``g(n)`,``h(n)`]이라 할 때, [eqn: {f`(3)} over {g(3)h(6)}`]의 값은?

[4점][12년 수능]

① [eqn: 30]           ② [eqn: 36]           ③ [eqn: 42]           ④ [eqn: 48]           ⑤ [eqn: 54]

④

[eqn: a _{n+1} =n cdot2 ^{n} + sum _{k=1} ^{n} `{a _{k}} over {k} ````` CDOTS `]㉠

[eqn: a _{n} =(n-1)cdot2 ^{n-1} + sum _{k=1} ^{n-1} `{a _{k}} over {k} ```` CDOTS `]㉡

㉠[eqn: -]㉡ 하면 [eqn: a _{n+1} -a _{n} = BOX{``(n+1)cdot2 ^{n-1}``} `+ {a _{n}} over {n}`]

[eqn: a _{n+1} = {(n+1)a _{n}} over {n} + BOX{``(n+1)cdot2 ^{n-1} ``}`]

[eqn: a_n+1 over n+1 = a_n over n +2^n-1`]

[eqn: b_n = a_n over n`]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =b _{n} + {BOX{``(n+1)cdot2 ^{n-1} ``}} over {n+1} ````(n GEQ 2)`]

[eqn: b_2 =3`]이므로

[eqn: b_n =3+ SUM from k=1 to n-2 `2^k`][eqn: =3+ {2`(2^n-2 -1)} over 2-1`][eqn: = BOX{``2 ^{n-1} +1``}````(n GEQ 2)`]

[eqn: THEREFORE ```a _{n} = {cases{````4~~~~~~~~~&(n=1)#````n(2 ^{n-1} +1)```````````&(n GEQ 2)}}`]

[eqn: THEREFORE ```f`(n)=(n+1) CDOT 2 ^{n-1}`,``g(n)=2^n-1 +1`]

따라서 [eqn: f`(4)+g(7)=5cdot2 ^{3} +2 ^{6} +1`][eqn: =40+64+1`][eqn: =105`]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} `RIGHT }`]은 [eqn: a _{1} =4`]이고,

[eqn: a _{n+1} =n cdot 2 ^{n} + sum _{k=1} ^{n}` {a _{k}} over {k} ```(n geq1)`]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}`]을 구하는 과정이다.

[보기]

주어진 식에 의하여

[eqn: a _{n} =(n-1)cdot 2 ^{n-1} + sum _{k=1} ^{n-1}` {a _{k}} over {k} ```(n geq2)`]이다.

따라서 [eqn: 2`] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n+1} -a _{n} = ``````````````````````````````````````````` + {a _{n}} over {n}`]이므로

(가)

[eqn: a _{n+1} = {(n+1)`a _{n}} over {n} + ````````````````````````````````````````````]이다.

(가)

[eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n}`]이라 하면

(가)

[eqn: b _{n+1} =b _{n} + {`````````````````````````````````````````} over {n+1} ```(n geq2)`]이고

(나)

[eqn: b _{2} =3`]이므로 [eqn: b _{n} = ``````````````````````````````````````````` ```(n geq2)`]이다.

그러므로 [eqn: a _{n} = {cases{````4&(n=1)#````n TIMES LEFT { `````````````````````````````````````````` RIGHT }&(n geq2)}}`]이다.

(나)

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f`(n)`,``g(n)`]이라 할 때, [eqn: f`(4)+g(7)]의 값은?

[4점][13학년도 수능]

① [eqn: 90]          ② [eqn: 95]          ③ [eqn: 100]          ④ [eqn: 105]          ⑤ [eqn: 110]

①

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { `a _{n}` RIGHT }`]은

[eqn: a _{1} =10], [eqn: LEFT (` a _{n+1} `RIGHT ) ^{n} =10` LEFT ( `a _{n} `RIGHT ) ^{n+1} `````(n`geq1)``` CDOTS]㉠

식 ㉠의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n`log``a _{n+1} =(n+1)`log``a _{n} +1`]이다.

양변을 [eqn: n(n+1)`]로 나누면

[eqn: {log``a _{n+1}} over {n+1} = {log``a _{n}} over {n} + {BOX{~ {1} over {n(n+1)} ~}}`]이다.

[eqn: b _{n} = {log``a _{n}} over {n}`]이라 하면

[eqn: b _{1} =1`]이고, [eqn: b _{n+1} =b _{n} + {BOX{~ {1} over {n(n+1)} ~}}`]이다.

[eqn: b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1}` LEFT ( {1} over {n(n+1)} RIGHT )`][eqn: =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} `LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )`]

[eqn: =1+ LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n} RIGHT )]

[eqn: =1+1- {1} over {n} =2- {1} over {n}`]

수열 [eqn: LEFT {` b _{n}` RIGHT }`]의 일반항을 구하면 [eqn: b _{n} = {BOX{~2- {1} over {n} ~}}`]이므로

[eqn: log``a _{n} =n TIMES` {BOX{~2- {1} over {n} ~}} ``` LEFT ( BECAUSE ```b _{n} = {log``a _{n}} over {n} RIGHT )`]이므로

[eqn: a _{n} =10 ^{n TIMES {BOX{~2- {1} over {n} ~}}}`]이다.

따라서 [eqn: f`(n)= {1} over {n(n+1)}`,] [eqn: g(n)=2- {1} over {n}`]이다.

[eqn: THEREFORE ``` {g(10)} over {f`(4)} = {2- {1} over {10}} over {{1} over {4 TIMES 5}} =38`]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { `a _{n}` RIGHT }`]은 [eqn: a _{1} =10`]이고,

[eqn: LEFT (` a _{n+1}` RIGHT ) ^{n} =10 `LEFT ( `a _{n} `RIGHT ) ^{n+1} ```(n`geq1)`]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}`]을 구하는 과정이다.

[풀이]

주어진 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n`log``a _{n+1} =(n+1)`log``a _{n} +1`]이다.

양변을 [eqn: n(n+1)`]로 나누면

[eqn: {log``a _{n+1}} over {n+1} = {log``a _{n}} over {n} +` {BOX{ `````````````````````````````````}}`]이다.

(가)

[eqn: b _{n} = {log``a _{n}} over {n}`]이라 하면 [eqn: b _{1} =1`]이고

(가)

[eqn: b _{n+1} =b _{n} + `{BOX{`````````````````````````````````}}`]이다.

수열 [eqn: LEFT { `b _{n}` RIGHT }`]의 일반항을 구하면

(나)

(나)

[eqn: b _{n} = {BOX{~~```````````````````~~}}`]이므로 [eqn: log``a _{n} =n TIMES ` {BOX{~~`````````````````~~}}`]이다.

(나)

그러므로 [eqn: a _{n} =10 ^{n TIMES {BOX{~~````````````````~~}}}`]이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f`(n)`]과 [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: {g(10)} over {f`(4)}`]의 값은?

[4점][14학년도 수능]

① [eqn: 38]          ② [eqn: 40]          ③ [eqn: 42]          ④ [eqn: 44]          ⑤ [eqn: 46]

⑤

[eqn: b_{n}=b_{1}+sum_{k=1}^{n-1}`{1 over{(n+1)(n+2)}`]

[eqn: b_{n}={n over n+1}`] [eqn: cdots`] [eqn: f`(n)=n`]

[eqn: VDOTS`]

[eqn: a_{n}=S_{n}-S_{n-1}`]

[eqn: a_{n}=left(n^{2}-n+1 right)(n-1)`!`]

[eqn: g(n)=n^{2}-n+1`]

[eqn: therefore``` f`(7)+g(6)=38`]

수열 [eqn: left{`a_n` right}`]은 [eqn: a_1 =1`]이고, [eqn: S_n = sum_k=1^n `a_k`]라 할 때,

[eqn: a_n+1 = (n+1)S_n +n`!`]   ([eqn: n ge1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n`]을 구하는 과정이다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n+1 = S_n+1 - S_n`]이므로 주어진 식에 의하여

[eqn: S_n+1 = (n+2) S_n +n`!`] ([eqn: n ge1])

이다. 양변을 [eqn: (n+2)`!`]로 나누면

[eqn: S_n+1 over{(n+2)`!} = S_n over{(n+1)`!} + 1 over{(n+1)(n+2)}`]

이다. [eqn: b_n = S_n over{(n+1)`!}`]이라 하면 [eqn: b_1 = 1 over2`]이고

[eqn: b_n+1 = b_n + 1 over{(n+1)(n+2)}`]

(가)

이다. 수열 [eqn: b_n = {```````````````````````````````````}overn+1`]이므로

(가)

[eqn: S_n =`````````````````````````````````` times n`!`]

이다. 그러므로

(나)

[eqn: a_n =`````````````````````````````````` times (n-1)`!`````(n ge1)]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f`(n)`,``g(n)`]이라 할 때, [eqn: f`(7) +g(6)`]의 값은?

[4점][15학년도 수능]

① [eqn: 44]           ② [eqn: 41]           ③ [eqn: 38]           ④ [eqn: 35]           ⑤ [eqn: 32]

⑤

[eqn: (m`,``n`,``k)`]를 순서대로 적으면

[eqn: (m`,``n`,``k)`][eqn: ->`` (17`,``3`,``0)`` ->`` (14`,``3`,``1)`]

[eqn: ->``(11`,``3`,``2)``->``(8`,``3`,``3)``->``(5`,``3`,``4)`]

[eqn: ->``(2`,``3`,``5)``->``(-1`,``3`,``6)``][eqn: ->``(2`,``3`,``5)`]

다음 순서도에 의하여 인쇄되는 [eqn: m`,``n`,``k`]의 값을 순서대로 적으면?

아니오

예

[eqn: m``←``m-n]

[eqn: k``←``k+1]

[eqn: m``←``m+n]

[eqn: k``←``k-1]

시작

끝

[eqn: m`,``n`,``k`]를 인쇄

[eqn: m``←``17]

[eqn: n``←``3]

[eqn: k``←``0]

예

아니오

[eqn: m>0``?`]

[eqn: m<0``?`]

[94년 수능]

① [eqn: 0`,``2`,``5]       ② [eqn: 0`,``2`,``6]       ③ [eqn: 0`,``5`,``3]       ④ [eqn: 2`,``3`,``6]       ⑤ [eqn: 2`,``3`,``5]

④

부등식 [eqn: 2^n+1 <9` n^4 `]

[eqn: N=0 `,`` S=2` ,`` N=1` ,``S= 2^2` ,`` S=2^3 `]이므로

(가) [eqn: [ `S``<- ``S``×2 `] `]가 되어야한다

[eqn: 2^n+1 <9 `n^4 `]이 성립하지 않는 가장 작은 자연수이므로

(나) [eqn: [`S`` ge 9 `N^4 `]`]이 되어야 한다.

이 때, (다)[eqn: [`N`]을 인쇄[eqn: ]`]라고 하여야 한다.

다음 순서도는 부등식 [eqn: 2^n+1 < 9 `n^4`]이 성립하지 않는 가장 작은 자연수 [eqn: n`]를 찾기 위해 작성하였다. 순서도에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

[eqn: N``←``N+1`]

아니오

예

[eqn: N``←``0`,] [eqn: S``←``2]

(가)

(나)

시작

끝

(다)

[97년 수능]

① [eqn: S`` ←`` S``+2 `, ``S ge 9`N^4 `,``N+1`]을 인쇄

② [eqn: S ``← ``S``×2 `,``S<9`N^4`,``N`]을 인쇄

③ [eqn: S ``← ``S``×2`,``S<9`N^4`,``N+1`]을 인쇄

④ [eqn: S ``← ``S``×2` , ``S ge 9`N^4`,``N`]을 인쇄

⑤ [eqn: S`` ← ``S``×2 `,``S ge 9`N^4`,``N+1`]을 인쇄

[수열]  수능 기출 해설