[ 수학 [eqn: bold I`] ]	행 렬	[수능기출]

④

[eqn: 2A+B = 2 pmatrix{``0``&``0``#``1``&``1``} + pmatrix{``1``&``0``#``1``&``1``} = pmatrix{``1``&``0``#``3``&``3``}`]이므로

모든 성분의 합은 [eqn: 1+0+3+3=7`]

두 행렬 [eqn: A = pmatrix{``0``&``0``#``1``&``1``}`,``B= pmatrix{``1``&``0``#``1``&``1``}`]에 대하여 행렬 [eqn: 2A+B`]의 모든 성분은 합은?

[2점][13학년도 수능]

① [eqn: 10]           ② [eqn: 9]           ③ [eqn: 8]           ④ [eqn: 7]           ⑤ [eqn: 6]

③

[eqn: A+2B= {pmatrix{``2``&``0``#``1``&``1``}} + {pmatrix{``2``&``2``#``0``&``2``}} = {pmatrix{``4``&``2``#``1``&``3``}}`]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 4+2+1+3=10`]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``2``&``0``#``1``&``1``}}` ,``B= {pmatrix{``1``&``1``#``0``&``1``}}`]에 대하여 행렬 [eqn: A+2B`]의 모든 성분의 합은?

[2점][14학년도 수능]

① [eqn: 8]           ② [eqn: 9]           ③ [eqn: 10]           ④ [eqn: 11]           ⑤ [eqn: 12]

④

[eqn: A+B= {pmatrix{``2``&``0``#``1``&``0``}} + {pmatrix{``a``&``0``#``2``&``-3``}} = {pmatrix{``2+a``&``0``#``3``&``-3``}}`]

행렬 [eqn: A+B`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 6`]이므로 [eqn: 2+a=6`]

[eqn: ∴``` a=4`]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``2``&``0``#``1``&``0``}}` ,``B= {pmatrix{``a``&``0``#``2``&``-3``}}`]에 대하여 행렬 [eqn: A+B`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 6`]일 때, [eqn: a`]의 값은?

[2점][14학년도 수능]

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]            ③ [eqn: 3]            ④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: A+B = pmatrix{``1``&``1``#``0``&``2``} + pmatrix{``1``&``1``#``3``&``0``} = pmatrix{``2``&``2``#``3``&``2``}`]

모든 성분의 합은 [eqn: 2+2+2+3=9`]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``1``&``1``#``0``&``2``}`,``B= pmatrix{``1``&``1``#``3``&``0``}`]에 대하여 행렬 [eqn: A+B`]의 모든 성분의 합은?

[2점][15학년도 수능]

① [eqn: 5]           ② [eqn: 6]           ③ [eqn: 7]           ④ [eqn: 8]           ⑤ [eqn: 9]

①

[eqn: A = pmatrix{``2``&``-4``#``-1``&``2``}`,] [eqn: B= pmatrix{``1``&``2``#``2``&``4``}`]에서 [eqn: 1 over 3 AB - BA`]

[eqn: = 1 over 3 pmatrix{``2``&``-4``#``-1``&``2``} pmatrix{``1``&``2``#``2``&``4``} - pmatrix{``1``&``2``#``2``&``4``} pmatrix{``2``&``-4``#``-1``&``2}]

[eqn: = 1 over 3 pmatrix{``-6``&``-12``#``3``&``6``} - pmatrix{``0``&``0``#``0``&``0``}][eqn: = pmatrix{``-2``&``-4``#``1``&``2``}`]

이차정사각행렬 [eqn: A`,``B`]에 대하여 [eqn: A = pmatrix{``2``&``-4``#``-1``&``2``}`,``B= pmatrix{``1``&``2``#``2``&``4``}`]일 때, 행렬 [eqn: 1 over 3 AB - BA`]는?

[1점][95학년도 수능]

① [eqn: pmatrix{``-2``&``-4``#``1``&``2``}]  ② [eqn: pmatrix{``-2``&``8``#``2``&``-4``}]  ③ [eqn: pmatrix{``-4``&``-8``#``2``&``4``}]  ④ [eqn: pmatrix{``-6``&``-12``#``3``&``6``}]  ⑤ [eqn: pmatrix{``0``&``0``#``0``&``0``}]

①

[eqn: A = pmatrix{``0``&``1``#``1``&``0``}`]    [eqn: A^2 = pmatrix{``0``&``1``#``1``&``0``} pmatrix{``0``&``1``#``1``&``0``}][eqn: = pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}= E`]

[eqn: ∴``` A^2 B -A = EB -A][eqn: = B-A][eqn: = pmatrix{``1``&``0``#``-1``&``1``}`]

[eqn: A = pmatrix{``0``&``1``#``1``&``0``}`,`` B = pmatrix{``1``&``1``#``0``&``1``}`]일 때, [eqn: A^2 B - A `]는?

[2점][00학년도 수능]

① [eqn: pmatrix{``1``&``0``#``-1``&``1``}]     ② [eqn: pmatrix{``0``&``-1``#``1``&``-1``}]     ③ [eqn: pmatrix{``0``&``0``#``0``&``0``}]     ④ [eqn: pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}]     ⑤ [eqn: pmatrix{``0``&``1``#``1``&``1``}]

④

[eqn: A^2 =pmatrix{``0``&``1``#``1``&``0``}pmatrix{``0``&``1``#``1``&``0``}=pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}=E`]이므로

[eqn: (E+2A)^2 = E`+`4A`+`4A^2 `=`5E`+`4A`=`a`E`+`b`A``]

에서  [eqn: a`=`5,~b`=`4`]    [eqn: THEREFORE ~a`+`b`=`9`]

두 행렬 [eqn: E=pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}`]과 [eqn: A=pmatrix{``0``&``1``#``1``&``0``}`]이 있다.

두 상수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]가 [eqn: (E+2A)^2 = aE+bA`]를 만족시킬 때, [eqn: a+b`]의 값은?

[2점][03학년도 수능]

① [eqn: 6]           ② [eqn: 7]           ③ [eqn: 8]           ④ [eqn: 9]           ⑤ [eqn: 10]

②

[eqn: 2A+X=AB]에서

[eqn: X=AB-2A][eqn: =AB-2AE][eqn: =A(B-2E)]

[eqn: =pmatrix{ ``1``&`` 1``# ``1``&``0 ``} left{ pmatrix{ ``1``&`` 2``#`` 3``& ``4``}-2`pmatrix{ ``1``&``0 ``#``0 ``& ``1``}right}`]

[eqn: =pmatrix{ ``1``& ``1``#`` 1``&``0`` } pmatrix{ ``-1``&``2``# ``3``&`` 2``}][eqn: =pmatrix{ ``2``& ``4``#``-1 ``&``2 ``}]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``1``&``1``#``1``&``0``} `,``B= pmatrix{``1``&``2``#``3``&``4``} `]에 대하여  [eqn: 2A+X=AB``]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]는?

[2점][06학년도 수능]

① [eqn: pmatrix{``1``&``5``#``3``&``-1``}]     ② [eqn: pmatrix{``2``&``4``#``-1``&``2``}]     ③ [eqn: pmatrix{``2``&``5``#``7``&``0``}]     ④ [eqn: pmatrix{``2``&``7``#``4``&``5``}]     ⑤ [eqn: pmatrix{``4``&``6``#``1``&``2``}]

①

[eqn: X= 2B-A`][eqn: = pmatrix{``4``&``0``#``2``&``-2``} - pmatrix{``1``&``-2``#``3``&``0``}][eqn: = pmatrix{``3``&``2``#``-1``&``-2``}`]

두 행렬 [eqn: A=pmatrix{``1``&``-2``#``3``&``0``} `,``B= pmatrix{``2``&``0``#``1``&``-1``}`]에 대하여 [eqn: A=2B-X`]를 만족시키는 행렬 [eqn: X`]는?

[2점][08학년도 수능]

① [eqn: pmatrix{``3``&``2``#``-1``&``-2``}]   ② [eqn: pmatrix{``3``&``-2``#``1``&``2``}]   ③ [eqn: pmatrix{``-1``&``-2``#``3``&``2``}]   ④ [eqn: pmatrix{``-2``&``-1``#``2``&``3``}]   ⑤ [eqn: pmatrix{``-3``&``1``#``-2``&``2``}]

①

[eqn: A+B = pmatrix{``2``&``1``#``1``&``1``}+ pmatrix{``-1``&``-2``#``1``&``0``}` = pmatrix{``1``&``-1``#``2``&``1``}`]이므로

[eqn: (A+B)A` = pmatrix{``1``&``-1``#``2``&``1``}`pmatrix{``2``&``1``#``1``&``1``}][eqn: = pmatrix{``1``&``0``#``5``&``3``}`]

따라서, 행렬 [eqn: (A+B)A`]의 모든 성분의 합은

[eqn: 1+0+5+3 = 9`]

두 행렬 [eqn: A=pmatrix{``2``&``1``#``1``&``1``}`,``B=pmatrix{``-1``&``-2``#``1``&``0``}`]에 대하여 행렬 [eqn: (A+ B )A`]의 모든 성분의 합은?

[2점][09학년도 수능]

① [eqn: 9]           ② [eqn: 10]           ③ [eqn: 11]           ④ [eqn: 12]           ⑤ [eqn: 13]

①

[eqn: A=3E`]이므로

[eqn: AB+2B=3EB+2B=5B = pmatrix{``-5``&``5``#``5``&``5``}`]

따라서 구하려는 행렬의 모든 성분의 합은

[eqn: 5 cdot2 =10`]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ ``3``&``0``#``0``&``3``}`,``B= pmatrix{``-1``&``1``#``1``&``1``}`]에 대하여 행렬 [eqn: AB+2B`]의 모든 성분의 합은?

[2점][10학년도 수능]

① [eqn: 10]            ② [eqn: 8]            ③ [eqn: 6]            ④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 2]

④

[eqn: A= pmatrix{`` 1 ``&`` -1 ``#`` 1 ``& ``1``}` ,``B= pmatrix{`` 1`` & ``1`` #``-1 ``&`` 1``}`]이므로 [eqn: A+B= 2 E`]

따라서 [eqn: A(A+B) =][eqn: 2 A =][eqn: pmatrix{ ``2 ``&`` -2`` #`` 2`` &`` 2``}`]

[eqn: THEREFORE] 모든 성분의 합은 [eqn: 4`]이다.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ ``1 ``& ``-1`` #`` 1`` &`` 1``}` ,``B= pmatrix{`` 1 ``& ``1 ``#``-1 ``&`` 1``}`]에 대하여 행렬 [eqn: A( A+B)`]의 모든 성분의 합은?

[2점][11학년도 수능]

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]            ③ [eqn: 3]            ④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

[eqn: bold 18]

[eqn: A^2 + A^3 = `-3A- 3E`]이므로

[eqn: A^4 + A^5 = A^2 (A^2 + A^3 )][eqn: = A^2 (-3A-3E)]

[eqn: = `-3A^3 - 3A^2][eqn: =` -3(A^2 + A^3 )]

[eqn: =` -3 (-3A-3E)][eqn: = 9A+9E`]

[eqn: A = pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``}`]로 놓으면 [eqn: a+b+c+d =0`]이므로

행렬 [eqn: 9A+ 9E`]의 모든 성분의 합은

[eqn: 9(a+b+c+d) + 9(1+0+0+1)`]

[eqn: =9 cdot 0+9 cdot 2][eqn: = 18`]

이차정사각행렬 [eqn: A`]는 모든 성분의 합이 [eqn: 0`]이고 [eqn: A^2 + A^3 =`-3A-3E`]를 만족시킨다. 행렬 [eqn: A^4 +A^5`]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

[4점][09학년도 수능]

①

[eqn: A= pmatrix{``1``&``-1``#``0``&``1``}]   [eqn: A^2 = pmatrix{``1``&``-1``#``0``&``1``}pmatrix{``1``&``-1``#``0``&``1``}][eqn: =pmatrix{``1``&``-2``#``0``&``1``}`]

[eqn: ∴``` A^3 =pmatrix{``1``&``-2``#``0``&``1``}pmatrix{``1``&``-1``#``0``&``1``}][eqn: =pmatrix{``1``&``-3``#``0``&`` 1``}]

행렬 [eqn: A= pmatrix{``1``&``-1``#``0``&``1``}`]일 때, [eqn: A^3`]은?

[1점][96학년도 수능]

① [eqn: pmatrix{``1``&``-3``#``0``&``1``}]   ② [eqn: pmatrix{``1``&``0``#``-3``&``1``}]   ③ [eqn: pmatrix{``1``&``-1``#``-1``&``1``}]   ④ [eqn: pmatrix{``-1``&``1``#``1``&``-1``}]   ⑤ [eqn: pmatrix{``3``&``-3``#``0``&``3``}]

[eqn: bold 22]

[eqn: A^2 = pmatrix{``0``&``1``#``2``&``3``}pmatrix{``0``&``1``#``2``&``3``}][eqn: = pmatrix{``2``&``3``#``6``&``11``}]    [eqn: ∴``` 2+3+ 6+11 = 22`]

행렬 [eqn: A = pmatrix{``0``&``1``#``2``&``3``}`]에 대하여 [eqn: A^2 `]의 모든 성분의 합을 구하시오.

[2점][98학년도 수능]

[eqn: bold 24]

[eqn: A= pmatrix { ``1``&``0`` #``3`` &``1`` }`]에서 [eqn: A^2 = pmatrix { ``1``&``0`` #``3`` &``1`` } pmatrix { ``1``&``0`` #``3`` &``1`` }][eqn: = pmatrix { ``1``&``0`` #``6`` &``1`` } `]

[eqn: A^3 = A^2 A][eqn: = pmatrix { ``1``&``0`` #``6`` &``1`` } pmatrix { ``1``&``0`` #``3`` &``1`` }][eqn: = pmatrix { ``1``&``0`` #``9`` &``1`` }]

[eqn: cdots ``]

따라서, [eqn: A ^{n} = pmatrix{``1``&``0``#``3n``&``1``}`] ([eqn: n ge 2`]의 자연수)을 추론할 수 있다.

[eqn: ∴```A ^{8} = pmatrix{``1``&``0``#``24``&``1``}`]

[eqn: ∴```a=24`]

행렬 [eqn: A= pmatrix{``1``&``0``#``3``&``1``}`]에 대하여 [eqn: A^8 = pmatrix{``1``&``0``#``a``&``1``}`]일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[3점][08학년도 수능]

[eqn: bold 2]

행렬 [eqn: A= PMATRIX { `` 0``& `` 1``#``1``&``0`` } `]에 대하여,

[eqn: A^2 =][eqn: PMATRIX { `` 0``&`` 1``#``1 ``& ``0`` }][eqn: PMATRIX { `` 0``&`` 1``# ``1``&``0`` }][eqn: = PMATRIX {`` 1``&``0``# ``0``&``1 `` }]

[eqn: A^3 =][eqn: A^2 A =][eqn: PMATRIX { `` { 1}``& ``{ 0}``# ``{0 }``& ``{1 }`` }][eqn: PMATRIX { `` { 0}``& ``{ 1}``# ``{1 }``& ``{0 } ``}][eqn: = PMATRIX { ``{ 0}``& ``{ 1}``#`` {1 }``&`` {0 }`` } =A`]

즉, [eqn: A^2n = E` , ``A^2n-1 = A`] 이므로,

[eqn: sum_n=1^2002` A^n = A + A^2 +A^3 + ``cdots `+ A^2002`]

[eqn: = A + E +A + ``cdots` + E`][eqn: =1001 A + 1001 E]

[eqn: = 1001 PMATRIX { `` { 0}``& ``{ 1}``# ``{1 }``& ``{0 }`` } + 1001 PMATRIX { `` { 1}``& ``{ 0}``# ``{0 }``&`` {1 } ``}`][eqn: = 1001 PMATRIX { `` { 1}``&`` { 1}``#`` {1 }``& ``{1 }`` }`]

따라서, [eqn: 1 over 2002 sum_n=1^2002 A^n = 1 over 2002 cdot 1001 PMATRIX { ``{ 1}``&`` {1 }``# `` {1 }``&`` {1 }`` } `]

[eqn: = 1 over 2 PMATRIX { ``{ 1}``& ``{1 }``#`` {1 }``&`` {1 }`` } = PMATRIX { ``{ a}``&`` {b }``# ``{c }``& ``{d } ``} `]

따라서, [eqn: a+b+c+d=2] 이다.

행렬 [eqn: A= PMATRIX {`` { 0}``& ``{ 1}``# `` { 1}``&`` {0 }`` }]에 대하여 [eqn: { 1} over {2002 } `SUM from { { n}=1} to 2002 {A }^{n } = PMATRIX {`` { a}``&`` {b}``#`` { c}``&`` { d}`` } `]일 때, [eqn: a+b+c+d`]의 값을 구하시오.

[3점][02학년도 수능]

④

[eqn: a _{11} =0`,``a _{12} =`-1`,``a _{21} =1`,``a _{22} =0`]이므로 [eqn: A= pmatrix{``0``&``-1``#``1``&``0``}`]

[eqn: A ^{2} = pmatrix{``0``&``-1``#``1``&``0``} pmatrix{``0``&``-1``#``1``&``0``} = pmatrix{``-1``&``0``#``0``&``-1``} =`-E`]

[eqn: A ^{3} =`-A`,``A ^{4} =E`,``A ^{5} =A`,`` CDOTS `]

[eqn: THEREFORE``` A+A ^{2} +A ^{3} + ``CDOTS` +A ^{2010} =(A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} )+ ``CDOTS `]

[eqn: +(A ^{2005} + ``CDOTS`` +A ^{2008} )+A ^{2009} +A ^{2010}`]

[eqn: =O+`` CDOTS`` +O+A+A ^{2}`]

[eqn: =A-E= pmatrix{``-1``&``-1``#``1``&``-1``}`]

따라서 [eqn: (2`,``1)`]의 성분은 [eqn: 1`]이다.

이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i`,``j)`]성분 [eqn: a _{ij}`]가 [eqn: a _{ij} =i-j``````(i=1`,``2`,```j=1`,``2)`]이다. 행렬 [eqn: A+A ^{2} +A ^{3} +`` CDOTS` +A ^{2010}`]의 [eqn: (2`,``1)`]의 성분은?

[4점][11학년도 수능]

① [eqn: -2010]         ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 0]         ④ [eqn: 1]         ⑤ [eqn: 2010]

[eqn: bold 4]

[eqn: pmatrix{``1``&``1``&``1``&``1``#``1``&``0``&``1``&``0``} X = pmatrix{``m``#``n``}`]에서 [eqn: X = pmatrix{``a``#``b``#``c``#``d``}`]라 놓으면

[eqn: pmatrix{``1``&``1``&``1``&``1``#``1``&``0``&``1``&``0``} pmatrix{``a``#``b``#``c``#``d``} = pmatrix{``m``#``n``}`][eqn: ```Rarrow```` pmatrix{``a+b+c+d ``#`` a+c``} = pmatrix{``m``#``n``}`]

[eqn: n= a+c`](홀수)에서 [eqn: (a`,``c)= (1`,``0)`] 또는 [eqn: (0`,``1)`]

또한, [eqn: m= a+b+c+d`](짝수)에서

[eqn: b+d =](홀수)이므로 [eqn: (b`,``d) = (1`,``0)`] 또는 [eqn: (0`,``1)`]

따라서, [eqn: (a`,``b`,``c`,``d )`]의 쌍은

[eqn: (1`,``1`,``0`,``0)`,``(1`,``0`,``0`,``1)`,``(0`,``1`,``1`,``0)`,``(0`,``0`,``1`,``1)`]

의 [eqn: 4`]가지이다.

모든 성분이 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]인 [eqn: 4×1`]행렬 [eqn: X`]에 대하여 [eqn: pmatrix{``1``&``1``&``1``&``1``#``1``&``0``&``1``&``0``} X = pmatrix{``m``#``n``}`]이라 할 때, [eqn: m`]이 짝수이고 [eqn: n`]이 홀수가 되도록 하는 행렬 [eqn: X`]의 개수를 구하시오.

[3점][99학년도 수능]

[eqn: bold 16]

[eqn: x^2 - 4x -1=0]의 두 근이 [eqn: alpha`,``beta `]이므로

[eqn: alpha + beta = 4`,`` alpha beta =`-1`]

[eqn: therefore```pmatrix{``alpha``&``beta``#``0``&``alpha``} pmatrix{``beta``&``alpha``#``0``&``beta``} = pmatrix{``alpha beta``&``alpha^2 + beta^2``#``0`` &``alpha beta``}`]

[eqn: = pmatrix{ ``alpha beta``&``(alpha + beta)^2 -2 alpha beta``#``0``&``alpha beta``} = pmatrix{``-1``&``18``#``0``&``-1``}]

따라서, 모든 성분의 합은 [eqn: (-1)+18+0+(-1)=16]

이차방정식 [eqn: x^2 -4x -1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha`,``beta`]라 할 때, 두 행렬의 곱 [eqn: PMATRIX { ``{alpha}``&`` { beta}``#`` {0}``&`` {alpha }`` } PMATRIX { ``{beta}``& ``{ alpha}``#`` {0}``& ``{beta }`` } `]의 모든 성분의 합을 구하시오.

[3점][05학년도 수능]

②

[eqn: A = pmatrix {``1``&``-2``#``0``&``1``}`]

[eqn: A^-1 = 1 OVER {1-0} pmatrix{``1``&``2``#``0``&``1``} = pmatrix{``1``&``2``#``0``&``1``}]

모든 성분의 합[eqn: = 1 + 2 + 0 +1 = 4]

행렬 [eqn: A = pmatrix {``1``&``-2``#``0``&``1``}`]의 역행렬 [eqn: A^-1`]의 모든 성분의 합은?

[2점][12학년도 수능]

① [eqn: 5]           ② [eqn: 4]           ③ [eqn: 3]           ④ [eqn: 2]           ⑤ [eqn: 1]

②

[eqn: A= pmatrix { ``2n``&``-7`` #``-1`` &`` n`` }`]에서 [eqn: A^-1 = 1over{2n^2 -7} pmatrix { ``n``&``7`` #``1`` &``2n`` }`]

이 때, [eqn: A^-1`]의 [eqn: (2`,``1)`]의 성분이 [eqn: 1over {2n^2 -7}`]이므로

[eqn: A^-1`]의 모든 성분이 자연수가 되려면

[eqn: 2n^2 - 7 =1`,] [eqn: 2n^2 = 8`,] [eqn: n^2 = 4 `]

∴ [eqn: n=2`]  ([eqn: because ```][eqn: n`]은 자연수)

행렬 [eqn: A=PMATRIX { ``{ 2n}``&`` {-7 }``# `` {-1 }``&`` { n }`` }`]의 역행렬 [eqn: A^-1`]의 성분이 모두 자연수가 되는 자연수 [eqn: n`]의 값은?

[3점][08학년도 수능]

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]            ③ [eqn: 3]            ④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: A^-1`]가 존재하므로 [eqn: ABA = A`]에 [eqn: A^-1`]을 곱하면

[eqn: AB = AA^-1 =E`,``BA = A^-1 A =E`]  [eqn: ∴```B= A^-1`]

[eqn: A+B = A+ A^-1 = pmatrix{``1``&``1``#``2``&``3``} + pmatrix{``3``&``-1``#``-2``&``1``}][eqn: =pmatrix{``4``&``0``#``0``&``4``}]

행렬 [eqn: A = pmatrix{``1``&``1``#``2``&``3``}`]이고 행렬 [eqn: B`]는 [eqn: ABA= A`]를 만족한다. [eqn: A+B`]는?

[3점][97학년도 수능]

① [eqn: pmatrix{``2``&``2``#``4``&``6``}]     ② [eqn: pmatrix{``2``&``0``#``0``&``6``}]     ③ [eqn: pmatrix{``-2``&``2``#``4``&``2``}]     ④ [eqn: pmatrix{``0``&``2``#``4``&``0``}]     ⑤ [eqn: pmatrix{``4``&``0``#``0``&``4``}]

③

[eqn: A^-1 +AB][eqn: = {PMATRIX {`` 1``&``0`` #``1``& ``1`` }}^-1 + PMATRIX {`` 1``&``0`` # ``1 ``&``1`` } PMATRIX { `` 1``&``1``# ``0``&``-1`` } `]

[eqn: =PMATRIX {`` 1``&``0`` #``-1``&``1`` } +PMATRIX { ``1``&``1``# ``1``&`` 0``}][eqn: =PMATRIX { ``2``&``1`` # `` 0``&``1`` }]

[eqn: A= PMATRIX { ``{1 }``&`` {0 }``# `` {1 }``&`` {1 }`` }` , `` B=PMATRIX{ ``{1}``&``{ 1 }``#``{0}``&``{-1 }``}`]일 때, 행렬 [eqn: A ^{-1} +AB`]는?

[3점][01학년도 수능]

① [eqn: PMATRIX {`` { 0}``&`` {2 }``# `` {0 }``&`` {1 }`` }]     ② [eqn: PMATRIX { ``{ 1}``& ``{0 }``# `` {0 }``& ``{1 }`` }]     ③ [eqn: PMATRIX { ``{ 2}``& ``{1 }``# `` {0 }``&`` {1 } ``}]     ④ [eqn: PMATRIX {`` { 2}``&`` {2 }``# `` {0 }``&`` {2 } ``}]     ⑤ [eqn: PMATRIX { ``{ 1}``& ``{ 0 }``# `` {0 }``&`` {-1 }`` }]

[eqn: bold 16]

① [eqn: A``=`pmatrix{``5``&``2``#``7``&``3``}`B`]의 양변에 [eqn: A^-1`]을 곱하면

[eqn: A`A^-1`=`pmatrix{``5`&`` 2``#``7``&``3``}B`A^-1 = E`]이므로

[eqn: B`A^-1 = {pmatrix{``5``&``2``#``7``&``3``}}^-1 = PMATRIX {``{ 3 }``& ``{ -2 }``# `` {-7 }``&``{ 5 }`` } `]

( 수 Ⅰ )                     3. 행렬  (수능]

② [eqn: A``=`pmatrix{``5``&``2``#``7``&``3``}B`]의 양변에 [eqn: B^-1]를 곱하면

[eqn: A`B^-1 = pmatrix{``5``&``2``#``7``&``3``}B`B^-1 = pmatrix{``5``&``2``#``7``&``3``}`]

①, ②에 의하여

[eqn: AB^-1 `+BA^-1`=`pmatrix{``5``&``2``#``7``&``3``} + PMATRIX {``{3 }``& ``{-2 }``# `` { -7 }``& ``{ 5 } ``} = PMATRIX {``{8 }``& ``{0 }``# `` { 0 }``& ``{ 8 }`` }`]

따라서, 모든 성분의 합은 [eqn: 16]

역행렬이 존재하는 두 행렬 [eqn: A`]와 [eqn: B`]가 [eqn: A=pmatrix{``5``&``2``#``7``&``3``}B`]를 만족시킬 때, 행렬 [eqn: AB^-1 +BA^-1`]의 모든 성분의 합을 구하시오.

[2점][04학년도 수능]

①

[eqn: A =pmatrix{``1``&``2``#``2``&``5``}`]에서

[eqn: A^-1 = 1 OVER {1 TIMES 5 -2 TIMES2} PMATRIX{``5``&``-2``#``-2``&``1``} = PMATRIX{``5``&``-2``#``-2``&``1``}]

[eqn: AX=B~LRARROW~X=A^-1 B= pmatrix {``5``&``-2``#``-2``&``1``} pmatrix{``2``&``-3``#``1``&``-2``}`]

[eqn: =pmatrix{``8``&``-11``#``-3``&``4``}`]

따라서, 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은

[eqn: 8+(-11)+(-3)+4][eqn: =`-2]

두 행렬 [eqn: A =PMATRIX { ``1``&`` 2``#` `2``&`` 5``} `,`` B=PMATRIX { ``2``&`` -3``# ``1``& `` -2``} `]에 대하여 [eqn: A X = B`]를 만족시키는 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은?

[2점][05학년도 수능]

① [eqn: -2]           ② [eqn: -1]           ③ [eqn: 0]           ④ [eqn: 1]           ⑤ [eqn: 2]

①

[eqn: A+B= pmatrix{``-1``&``0``#``0``&``1``} + pmatrix{``2``&``1``#``3``&``3``} = pmatrix{``1``&``1``#``3``&``4``}`]

[eqn: THEREFORE `(A+B) ^{-1}][eqn: = {1} over {4-3} pmatrix{``4``&``-1``#``-3``&``1``}][eqn: = pmatrix{``4``&``-1``#``-3``&``1``}]

따라서, 모든 성분의 합은

[eqn: 4+(-1)+(-3)+1=1`]

두 행렬 [eqn: A=PMATRIX {`` { -1}``&``{0 }``#`` {0 }``&`` {1 }`` }`,``B= {pmatrix{``2``&``1``#``3``&``3``}} `]에 대하여 행렬 [eqn: (A+B )^-1`]의 모든 성분의 합은?

[2점][07학년도 수능]

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]            ③ [eqn: 3]            ④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: B= pmatrix{``1``&``0``#``1``&``1``}`]이므로 [eqn: B^-1 = pmatrix{``1``&``0``#``-1``&``1``}]이다.

[eqn: (BA)^2 = pmatrix{``1``&``1``#``1``&``2``}`]이므로 [eqn: BABA= pmatrix{``1``&``1``#``1``&``2``}`]

이 등식의 왼쪽에 [eqn: B^-1`]을 곱하면

[eqn: B^-1 BABA= pmatrix{``1``&``0``#``-1``&``1``} pmatrix{``1``&``1``#``1``&``2``}`]

[eqn: ABA = PMATRIX{``1``&``1``#``0``&``1``}`]

∴ [eqn: (AB)^2 = (ABA)B = PMATRIX{``1``&``1``#``0``&``1``} PMATRIX{``1``&``0``#``1``&``1``}][eqn: = pmatrix{``2``&``1``#``1``&``1``}`]

이차정사각행렬 [eqn: A`]와 행렬 [eqn: B= pmatrix{``1``&``0``#``1``&``1``}`]에 대하여 [eqn: (BA)^2 = pmatrix{``1``&``1``#``1``&``2`` }`]일 때, 행렬 [eqn: (AB)^2`]은?

[4점][10학년도 수능]

① [eqn: pmatrix{``1``&``1``#``1``&``2``}]      ② [eqn: pmatrix{``2``&``1``#``1``&``2``}]      ③ [eqn: pmatrix{``2``&``1``#``1``&``1``}]      ④ [eqn: pmatrix{``1``&``2``#``2``&``1``}]      ⑤ [eqn: pmatrix{``1``&``1``#``2``&``1``}]

[eqn: bold 25]

[eqn: A ^{2} = pmatrix{``1``&``1``#``0``&``p``} pmatrix{``1``&``1``#``0``&``p``} = pmatrix{``1``&``1+p``#``0``&``p ^{2} ``}`,] [eqn: 5A = PMATRIX {`` { 5}``&`` {5 }``# `` {0 }``&`` {5p }`` } `]

[eqn: D`(A ^{2} `)=p ^{2}`,] [eqn: D`(5A)=25p`]

[eqn: THEREFORE ```p ^{2} =25p`]  [eqn: THEREFORE``` p=0`,``25`]  [eqn: THEREFORE``` p`]의 합 [eqn: 25]

이차정사각행렬 [eqn: X= pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``}`]에 대하여 [eqn: D`(X )=ad-bc`]라 하자. 이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix{``1``&``1``#``0``&``p``}`]에 대하여 [eqn: D`(A ^{2}` )=D`(5A)`]를 만족시키는 모든 상수 [eqn: p`]의 합을 구하시오.

[4점][07학년도 수능]

⑤

[eqn: C` left( {3x_1 + 4x_2 } over 4+3` , ``{3y_1 + 4y_2 } over 4+3 right) = (x_3` ,`` y_3 ) `]

[eqn: D` left( {-3x_1 + 4x_2 } over 4-3` ,`` {- 3y_1 + 4y_2 } over 4-3 right) = (x_4` , ``y_4 ) `]

[eqn: pmatrix{ ``{3 over 7 x_1 + 4 over 7 x_2 }``` &```{3 over 7 y_1 + 4 over 7 y_2 }``#``-3x_1 + 4x_2``` &```-3y_1 + 4y_2`` } = pmatrix{``x_3`` &``y_3`` #``x_4`` &``y_4 ``} `]

[eqn: pmatrix{`` 3 over 7 ``&`` 4 over 7 ``#``-3``&``4``} pmatrix{``x_1 ``&``y_1`` #``x_2`` &``y_2 ``}][eqn: = pmatrix{``x_3`` &``y_3`` #``x_4 ``&``y_4``} `]

[eqn: ∴ ```X =][eqn: pmatrix{ ``3 over 7 ``&`` 4 over 7`` #``-3``&``4``} `]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: A`(x_1 `,`` y_1 )`,``B`(x_2 `,`` y_2 ) `]를 이은 선분 [eqn: AB `]를 [eqn: 4```:`3 `]으로 내분하는 점과 외분하는 점의 좌표를 각각 [eqn: C`(x_3` ,`` y_3 ) `]과 [eqn: D`(x_4`, ``y_4 ) `]라 하자.

이 때, [eqn: X`` pmatrix{``x_1 ``&``y_1`` #``x_2 ``&``y_2 ``}= pmatrix{``x_3 ``&``y_3`` #``x_4`` &``y_4`` } `]를 항상 만족시키는 [eqn: 2 `]차의 정사각행렬 [eqn: X`]를 구하면?

[94년 2차 수능]

① [eqn: pmatrix{`` 4 over 7`` &``3 over 7`` #``-3 ``&`` 4``}]   ② [eqn: pmatrix{`` 4 over 7`` &``3 over 7`` #``4 ``& ``-3``}]   ③ [eqn: pmatrix{`` 3 over 7 ``&`` -3`` #`` 4 over 7``&`` 4``}]   ④ [eqn: pmatrix{``3 over 7``&``4 over 7``#``3``&``-4``}]   ⑤ [eqn: pmatrix{``3 over 7``&``4 over 7``#``-3``&``4``}]

④

[eqn: AB= it pmatrix {a_11~~ a_12# a_21~~ a_22} pmatrix {b_11~~ b_12# b_21~~ b_22}]

[eqn: = pmatrix {a_11 b_11 + a_12 b_21~~ a_11 b_12 + a_12 b_22# a_21 b_11 +a_22 b_21~~ a_21 b_12 +a_22 b_22} = pmatrix {a~~b~# c~~d~}]

[eqn: therefore``a=a_11 b_11 +a_12 b_21 ``Larrow``]가, 나의 상반기 제조원가

[eqn: b=a_11 b_12 + a_12 b_22``Larrow``]가, 나의 하반기 제조원가

[eqn: c=a_21 b_11 + a_22 b_21``Larrow``]가, 나의 상반기 판매가격

[eqn: d=a_21 b_12 + a_22 b_22``Larrow``]가, 나의 하반기 판매가격

ㄱ. [eqn: a+b]는 가, 나의 지난해 [eqn: 1]년 동안에 판매된 제품의 제조원가  [거짓]

ㄴ. [eqn: c+d]는 가, 나의 지난해 [eqn: 1]년 동안에 판매된 제품의 판매가격  [참]

ㄷ. [eqn: d-b]는 가, 나의 지난해 하반기에 판매된 제품의 판매 이익금의 총액  [참]

다음은 지난해에 어느 회사에서 생산한 두 제품 ㉮와 ㉯의 제품 한 개당 제조원가와 판매 가격 및 그 해 판매량을 나타낸 표이다.

제품명 가격	□	□		판매량 제품명	상반기	하반기
제조원가	[eqn: a_11]	[eqn: a_12]		□	[eqn: b_11]	[eqn: b_12]
판매 가격	[eqn: a_21]	[eqn: a_22]		□	[eqn: b_21]	[eqn: b_22]

위의 표를 각각 행렬 [eqn: A= PMATRIX { `` a_11`` & ``a_12``# `` a_21`` &`` a_22 `` }`]와 [eqn: B= PMATRIX {`` b_11``&`` b_12 ``#`` b_21`` &`` b_22 `` }`]로 나타내고, 이 두 행렬의 곱 [eqn: AB`]를 [eqn: AB=PMATRIX { ``a``&`` b `` #`` c ``&`` d `` }`]라 하자. 제품 한 개당 판매 이익을 판매 가격에서 제조원가를 뺀 값으로 정의할 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: a +b`]는 지난해 상반기에 판매된 제품의 제조원가 총액이다.

ㄴ. [eqn: c +d`]는 지난해 [eqn: 1`]년 동안에 판매된 제품의 판매 총액이다.

ㄷ. [eqn: d -b`]는 지난해 하반기에 판매된 제품의 판매 이익금 총액이다.

[3점][05학년도 수능]

① ㄱ        ② ㄴ        ③ ㄱ, ㄷ        ④ ㄴ, ㄷ        ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

[eqn: pmatrix{``x``&``y``}pmatrix{``a``&``b``#``b``&``a``}pmatrix{``x``#``y``}][eqn: = pmatrix{``a x+by ``&``b x+a y ``}pmatrix{``x``#``y``} `]

[eqn: = (ax+by)x + (bx+ay) y`][eqn: =a x^2 + 2b x y + a y^2`]

[eqn: a x^2 + 2b x y + a y^2 ge 0 `]이 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립

[eqn: D over 4 = b^2 y^2 - a^2 y^2 le 0 `]        [eqn: ∴```(b^2 - a^2 ) y^2 le 0`]

이것이 모든 실수 [eqn: y`]에 대해 성립할 조건은 [eqn: y^2 ge 0 `]이므로 [eqn: b^2 - a^2 le 0 `] [eqn: Rarrow ```b^2 le a^2 `]

[eqn: ∴``` a^2 + (b-2)^2 ge b^2 + (b-2)^2][eqn: = 2(b-1)^2 + 2 ge 2]

따라서, [eqn: a^2 + (b-2)^2 `]의 최솟값은 [eqn: 2 `]이다.

모든 실수 [eqn: x`,``y `]에 대하여 행렬의 곱 [eqn: pmatrix{``x``&``y``}pmatrix{``a``&``b``#``b``&``a``}pmatrix{``x``#``y``} `]의 성분이 음이 아닐 때, [eqn: a^2 + (b-2)^2 `]의 최솟값은?

[94년 2차 수능]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 1 over 2]           ③ [eqn: 2]           ④ [eqn: 1 over 4]           ⑤ [eqn: 4]

[eqn: bold 290]

한 변의 길이가 [eqn: 2n-1`]인 정사각형에 배열되는 자연수의 개수는 [eqn: 4 times (2n-1)`]이다.

각 꼭지점에 배열되는 수는 왼쪽 위에서부터 시계방향 으로 [eqn: 2n-1`,``4n-2`,``6n-3`,``8n-4`]이므로

[eqn: { A} _n = pmatrix{``2n-1``&``4n-2``#``6n-3``&``8n-4``}`]

즉, 행렬 [eqn: { A}_n`]의 모든 성분의 합은

[eqn: (2n-1)+(4n-2)+(6n-3)+(8n-4)][eqn: =20n-10]

따라서, [eqn: n=15`]일 때, [eqn: 20 times 15 - 10 = 290]

한 변의 길이가 각각 [eqn: 1`,``3`,``5`,`` CDOTS` ,``2n-1`,`` CDOTS`]인 정사각형의 변과 꼭지점에 아래 그림과 같이 일정한 간격으로 자연수가 규칙적으로 배열되어 있다. 이 때, 각 정사각형에서 [eqn: 1`]은 왼쪽 아래 꼭지점 바로 위에 놓여 있다.

각 정사각형의 네 꼭지점에 놓이는 자연수를 성분으로 하는 이차정사각행렬을 차례로 [eqn: A_1` ,``A_2 `,`` A_3 `,``CDOTS` ,``A_n` ,`` CDOTS `]이라 하자. 예를 들면, [eqn: A_1 = PMATRIX { `` 1``& ``2 ``# `` 4`` &`` 3` `} `,``A_2 = PMATRIX {`` 3``&`` 6 ``# `` 12``&`` 9` `} `]이다. 행렬 [eqn: A_15`]의 모든 성분의 합을 구하시오.

[4점][05학년도 수능]

[eqn: bold 58]

[eqn: A ^{2} +A +E =0`] [eqn: cdots`]㉠

[eqn: (A + A ^{-1} ) pmatrix{``p``#``q```} = pmatrix{``3``#``-7``}] [eqn: cdots`]㉡

㉡의 양변에 [eqn: A``]를 곱하면

[eqn: (A ^{2} +E ) pmatrix{``p``#``q``} =A` pmatrix{``3``#``-7``}]

㉠에 의해

[eqn: -A pmatrix{``p``#``q``} =A` pmatrix{``3``#``-7` `}]

[eqn: THEREFORE``` A pmatrix{``p``#``q``} =A` pmatrix{``-3``#``7``}]

[eqn: THEREFORE``` p=`-3`,] [eqn: q``=7] [eqn: THEREFORE``` p ^{2} `+q ^{2} =9+49=58`]

[eqn: (A+E ) ^{2} =A`]를 만족시키는 이차정사각행렬 [eqn: A`]와 행렬 [eqn: pmatrix{``p``#``q``}`]에 대하여

[eqn: (A+A ^{-1} ) pmatrix{``p``#``q``} = pmatrix{``3``#``-7``}`]

이 성립할 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

[3점][07학년도 수능]

[eqn: bold 21]

가)의 조건식에서 [eqn: A(A+2E)=E`]이므로 [eqn: A+2E = A^-1`]

[eqn: (A+2E) PMATRIX{``x``#``y``} = A^-1 PMATRIX{``x``#``y``} `]로 고칠 수 있다.

[eqn: therefore ```A^-1 PMATRIX{``x``#``y``} = pmatrix{``3``#``-3``}]

양변에 [eqn: A`]를 곱하면

[eqn: PMATRIX{``x``#``y``} = A PMATRIX{``3``#``-3``} = 3A PMATRIX{``1``#``-1``} = 3 PMATRIX{``3``#``4``} = PMATRIX{``9``#``12``}`]

[eqn: therefore```x=9`,``y=12`]   [eqn: therefore```x+y =21`]

이차정사각행렬 [eqn: A`]가 다음 조건을 만족시킨다. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

가) [eqn: A^2 + 2A -E =O`]

나) [eqn: A` PMATRIX{``1``#``-1``} = PMATRIX{``3``#``4``}`]

[eqn: (A+2E) PMATRIX{``x``#``y``} = pmatrix{``3``#``-3``}`]을 만족시키는 실수 [eqn: x`,``y`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 값을 구하시오.

[4점][12학년도 수능]

③

[eqn: A^2 + A= E`]에서 [eqn: Rarrow ``A^2 B + AB = B`]

[eqn: AB = 2E`]이므로 [eqn: 2A+ 2E = B`]

[eqn: B= 2(A+E )`]

[eqn: B^2 = 4 (A+E )^2 `][eqn: = 4 (A^2 + 2AE + E^2 )]

[eqn: = 4(A^2 + A+ A+ E )][eqn: = 4(A+2E )][eqn: = 4A+ 8E`]

이차 정사각행렬 [eqn: A`,``B`]에 대하여 [eqn: A^2 + A= E `,``AB= 2E`]가 성립할 때, [eqn: B^2 `]을 [eqn: A`]와 [eqn: E`]로 나타내면? (단, [eqn: E`]는 이차단위행렬)

[1.5점][95학년도 수능]

① [eqn: 2A+4E]	② [eqn: 2A-E]	③ [eqn: 4A+8E]

④ [eqn: 4A-2E]	⑤ [eqn: 8A-4E]

②

[eqn: pmatrix{``2``&``1``#``1``&``1``} pmatrix{``x``#``y``}= pmatrix{``2x+y`` #``x+y ``}= pmatrix{``10``#``9``}`]  [eqn: cases{````2x+y =10 ```&cdots①#```` x+y =9```&cdots②}`]

①,②에서   [eqn: x=1` ,``y=8`]      [eqn: ∴``` xy = 8`]

두 실수 [eqn: x`,``y`]가 등식 [eqn: pmatrix{``2``&``1``#``1``&``1``} pmatrix{``x``#``y``}= pmatrix{``10``#``9``}`]를 만족시킬 때, [eqn: x`,``y`]의 곱 [eqn: xy`]의 값은?

[3점][99학년도 수능]

① [eqn: 6]           ② [eqn: 8]           ③ [eqn: 9]           ④ [eqn: 10]           ⑤ [eqn: 12]

③

주어진 연립방정식이 [eqn: x=0`,] [eqn: y=0`]이외의 해를 가지려면 행렬 [eqn: pmatrix{``5-log_2``a``&``2``#``3``&``log_2 ``a``}`]의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 [eqn: (5-log_2 ``a) log_2 ``a -6=0`]이어야 한다.

[eqn: log_2 ``a =t`]라 하면

[eqn: (5-t)t-6=0`,] [eqn: (t-2)(t-3)=0`]

따라서 [eqn: t=2`] 또는 [eqn: t=3]

∴ [eqn: log_2 ``a = 2`] 또는 [eqn: log_2 ``a =3`]

따라서 [eqn: a=4`] 또는 [eqn: a=8`]이다.

그러므로 모든 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 4+8 =12]

[eqn: x`,``y`]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix{`` 5-log_2` `a``&``2``#``3``&``log_2``a``} pmatrix{``x``#``y``}=pmatrix{``0``#``0``}`]이 [eqn: x=0`,``y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 [eqn: a`]값의 합은?

[3점][10학년도 수능]

① [eqn: 8]           ② [eqn: 10]           ③ [eqn: 12]           ④ [eqn: 16]           ⑤ [eqn: 20]

[eqn: bold11]

[eqn: {pmatrix{``5``&``a``#``a``&``3``}} {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``x+5y``#``6x+y``}} = {pmatrix{``1``&``5``#``6``&``1``}} {pmatrix{``x``#``y``}}]

[eqn: LEFT { {pmatrix{``5``&``a``#``a``&``3``}} - {pmatrix{``1``&``5``#``6``&``1``}} RIGHT } {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``0``#``0``}}`,] [eqn: {pmatrix{``4``&``a-5``#``a-6``&``2``}} {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``0``#``0``}}`]

[eqn: x=0`,``y=0`] 이외의 해를 가지려면

[eqn: {pmatrix{``4``&``a-5``#``a-6``&``2``}}`]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

따라서 [eqn: 8-(a-5)(a-6)=0`,] [eqn: a ^{2} -11a+22=0`]이고

이 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

따라서 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 11`]이다.

[eqn: x`,``y`]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{``5``&``a``#``a``&``3``}} {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``x+5y``#``6x+y``}}``]

가 [eqn: x=0`,``y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오.

[4점][14학년도 수능]

①

[eqn: PMATRIX {``p``#``q``} = pmatrix{``3``&``2``#``2``&``3``}pmatrix{``x``#``y``}`]에서

[eqn: PMATRIX {``p``#``q``} = pmatrix{``3``&``2``#``2``&``3``}pmatrix{``x``#``y``}= 1 over5 pmatrix{``3``&``-2``#``-2``&``3``}pmatrix{``p``#``q``}`]

응시자 [eqn: A`]의 각 원점수는

[eqn: pmatrix{``x``#``y``} = 1 over5 pmatrix{``3``&``-2``#``-2``&``3``} pmatrix{``45``#``40``}=pmatrix{``11``#``6``}`]

응시자 [eqn: B`]의 각 원점수는

[eqn: pmatrix{``x``#``y``} = 1 over5 pmatrix{``3``&``-2``#``-2``&``3``} pmatrix{``50``#``50``}=pmatrix{``10``#``10``}`]

응시자 [eqn: C`]의 각 원점수는

[eqn: pmatrix{``x``#``y``} = 1 over5 pmatrix{``3``&``-2``#``-2``&``3``} pmatrix{``45``#``50``}=pmatrix{``7``#``12``}`]

따라서 [eqn: a=11`,``b=10`,``c=7`]이므로 [eqn: a > b > c`]

어느 회사에서는 응시자의 추론능력시험과 공간지각능력시험의 원점수를 변환하여 사용한다. 추론능력시험의 원점수가 [eqn: x`], 공간지각능력시험의 원점수가 [eqn: y`]일 때, 두 가지 변환점수 [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 다음과 같다.

[eqn: pmatrix{``p``#``q``}= pmatrix{``3``&``2``#``2``&``3``} pmatrix{``x``#``y``}`]

응시자 [eqn: A`,``B`,``C`]의 각 변환점수가 표와 같을 때, 응시자 [eqn: A`,``B`,``C`]의 추론능력시험의 원점수를 각각 [eqn: a`,``b`,``c`]라 하자. [eqn: a`,``b`,``c`]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

응시자 변환점수	[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]
[eqn: p]	[eqn: 45]	[eqn: 50]	[eqn: 45]
[eqn: q]	[eqn: 40]	[eqn: 50]	[eqn: 50]

[4점][11학년도 수능]

① [eqn: a > b > c]    ② [eqn: a > c > b]    ③ [eqn: b > a > c]    ④ [eqn: b > c > a]    ⑤ [eqn: c > b > a]

②

[eqn: {pmatrix{``a+1``&``a``#``1``&``1``}} {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``-4``#``1``}}`]에서

[eqn: {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``a+1``&``a``#``1``&``1``}} ^{-1} {pmatrix{``-4``#``1``}}][eqn: = {pmatrix{``1``&``-a``#``-1``&``a+1``}} {pmatrix{``-4``#``1``}}]

[eqn: = {pmatrix{``-4-a``#``4+a+1``}}][eqn: = {pmatrix{``-a-4``#``a+5``}}`]

[eqn: x=`-a-4`,``y=a+5`]가 [eqn: x+2y-4a=0`]을 만족시키므로

[eqn: (-a-4)+2(a+5)-4a=0`]

[eqn: -3a+6=0`]       [eqn: THEREFORE ```a=2`]

[eqn: x`,``y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{``a+1``&``a``#``1``&``1``}} {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``-4``#``1``}}`]의 해가 방정식 [eqn: x+2y-4a=0`]을 만족시킨다. 상수 [eqn: a`]의 값은?

[3점][13학년도 수능]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]           ④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: A^-1`=` 1over6`pmatrix { ``3``& ``-1``# ``0``&`` 2``}`]이므로 [eqn: A {pmatrix{``0``#``f(a)``}} = {pmatrix{``0``#``0``}}`]에서

[eqn: {pmatrix{``0``#``f(a)``}} =A ^{-1} ` {pmatrix{``0``#``0``}} = {pmatrix{``0``#``0``}}`]   [eqn: THEREFORE```f`(a ) = 0`]

그림에서 [eqn: f`(a ) = 0`]을 만족시키는 상수 [eqn: a`]는 [eqn: -1`,``0`,``4`]이므로 그 합은 [eqn: 3`]이다.

함수 [eqn: {f`(x) =x(x+1)(x-4)`]일 때, 행렬 [eqn: A= pmatrix{``{2}``&``{1}``#``{0}``&``{3}``}`]에 대하여 [eqn: A pmatrix{``{0}``#``{f(a)}``}= pmatrix{``{0}``#``{0}``}`]을 만족시키는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합은?

[3점][15학년도 수능]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]           ④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

④

역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: ad-bc=0`]에서 [eqn: ad=bc` ```CDOTS]㉠

오른쪽 그림과 같이 좌표축을 잡고

점 [eqn: P`]의 좌표를 [eqn: (x`,``y)`]라 하면

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: a]

[eqn: d]

[eqn: c]

[eqn: b]

[eqn: P(x`,``y)]

[eqn: ∙]

[eqn: a = 1over2 cdot 2 cdot x=x `]

[eqn: b= 1over2 cdot 1 cdot y= y over2`]

[eqn: c= 1over2 cdot 2 cdot (1-x)=1-x`]

[eqn: d= 1over2 cdot 1 cdot (2-y)= 2-y over2`]

㉠에 대입하면

[eqn: x cdot 2-y over2 =(1-x)cdot y over2`]

∴ [eqn: y=2x`] (단, [eqn: 0＜x＜1`,``0＜y＜2`])

즉, 점 [eqn: P`]의 자취는 원점과 점 [eqn: (1`, ``2)`]를 잇는 선분이므로 그 길이는 [eqn: root{1^2 +2^2}=root5`]

점 [eqn: P `]가 가로의 길이가 [eqn: 1`], 세로의 길이가 [eqn: 2`]인 직사각형의 내부에서 움직이고 있다. 그림과 같이 점 [eqn: P `]와 각 꼭지점을 연결하였을 때 생기는 네 삼각형의 넓이를 [eqn: a`,``b`,``c`,``d`] 라 하자. 행렬 [eqn: PMATRIX { `` a``&``b``#`` c`` &``d``}`]의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 점 [eqn: P `]의 자취의 길이는?

[3점][04학년도 수능]

① [eqn: 1]        ② [eqn: sqrt{2 }]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: sqrt{5 }]        ⑤ [eqn: 3]

④

행렬 [eqn: pmatrix{``x ``&``y`` #``1`` &``a`` }`]가 역행렬을 가질 조건은 [eqn: ax-y≠0`]

즉, [eqn: y ne ax`]이다. 따라서, 점 [eqn: P`(x`, ``y)`]는 원점을 지나고 기울기가 [eqn: a`]인 직선 [eqn: y=ax`]위에 있지 않은 점이다.

따라서, 점 [eqn: P`(x`,`` y)`]가 나타내는 도형은 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2`]이고 중심각의 크기가 [eqn: 60`DEG`]인 [eqn: 2`]개의 호이다.

따라서, 구하는 도형의 길이는

[eqn: 2× {60 DEG} over {360 DEG} × 4pi = 4 over 3 pi`]

좌표평면에서 두 점 [eqn: A(1`,`` sqrt {3 } )`,``B(1`,``- sqrt {3 } )`]에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 점 [eqn: P`(x`,``y )`]가 나타내는 도형 전체의 길이는?

(가) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4`]

(나) 선분 [eqn: AB`] 위의 임의의 점 [eqn: (1`,``a )`]에 대하여 행렬 [eqn: pmatrix{``x``&``y``#``1``&``a``} `]는 역행렬을 갖는다.

[4점][06학년도 수능]

① [eqn: {1} over {3} pi]          ② [eqn: {1} over {2} pi]          ③ [eqn: pi]          ④ [eqn: {4} over {3} pi]          ⑤ [eqn: {3 } over {2} pi]

③

그래프에서 모든 성분의 합은 변의 개수의 [eqn: 2`]배이므로

[eqn: 2 TIMES 5=10`]

다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은?

[3점][13학년도 수능]

① [eqn: 6]           ② [eqn: 8]           ③ [eqn: 10]           ④ [eqn: 12]           ⑤ [eqn: 14]

②

두 꼭짓점이 연결되어 있으면 [eqn: 1`],

연결되어 있지 않으면 [eqn: 0]의 성분을 가지므로

[eqn: a+b+c+d+e=0+1+0+1+0=2`]

그래프와 그 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬이 다음과 같을 때, [eqn: a+b+c+d+e`]의 값은?

[3점][14학년도 수능]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]           ④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

③

꼭짓점의 개수가 5개이므로 모든 성분의 개수는 [eqn: 5times5=25`]

성분이 [eqn: 1`] 또는 [eqn: 2`]인 것의 개수는

변의 개수 [eqn: times2][eqn: =6times2=12`]

따라서, 성분이 [eqn: 0`]인 것의 개수는 [eqn: 25-12=13`]

다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 0`]의 개수는?

[3점][15학년도 수능]

① [eqn: 9]          ② [eqn: 11]          ③ [eqn: 13]          ④ [eqn: 15]          ⑤ [eqn: 17]

③

①[eqn: left( A^2 right)^-1 = left( A^-1 right)^2]은 성립

②[eqn: left( B^-1 AB right)^2 =( B^-1 AB )`( B^-1 AB )][eqn: = B^-1 A^2 B ``]로 성립

③[eqn: A^2 = B^2]이면[eqn: A^2 - B^2 = O ``]

[eqn: A^2 - B^2 != (A+B)(A-B)]

[eqn: A=B ``]또는[eqn: A=-B``]가 될 수 없다.

④[eqn: A^-1 (A+B)B^-1 = A^-1 A B^-1 + A^-1 B B^-1]

[eqn: = B^-1 + A^-1][eqn: = A^-1 + B^-1]로 성립

⑤[eqn: A pmatrix{x#y} = pmatrix{0#0}]이면[eqn: pmatrix{x#y} =A^-1 pmatrix{0#0}][eqn: = pmatrix{0``#0``}]

[eqn: ∴ x=y =0]으로 성립

행렬 [eqn: A`,``B`]는 역행렬을 갖는 [eqn: 2`]차의 정사각행렬이다. 다음 중 옳지 않은 것은?

[94년 1차 수능]

① [eqn: left( A^2 right)^-1 = left( A^-1 right)^2 `]

② [eqn: left( B^-1 AB right)^2 = B^-1 A^2 B`]

③ [eqn: A^2 = B^2`]이면 [eqn: A=B`] 또는 [eqn: A=`-B`]이다.

④ [eqn: A^-1 (A+B)B^-1 = A^-1 + B^-1]

⑤ [eqn: A pmatrix{``x``#``y``} = pmatrix{``0``#``0``}`]이면 [eqn: x=y =0`]이다.

①

[eqn: I.] [eqn: A^3 = A^5 = E ``]이면[eqn: E = A^5 = A^3 ․A^2 = A^3 ``][eqn: Rarrow~∴A^2 = E ``]

[eqn: E = A^3 = A^2 ․A =EA ``][eqn: Rarrow ~ A= E ``]  [참]

[eqn: II.] [eqn: A^3 + A^2 + A + E = O ``]

양변에[eqn: (A-E ``)]을 곱하면

[eqn: (A-E``)(A^3 + A^2 + A + E``) = O ``]

[eqn: Rarrow ~A^4 - E = O ``]    [eqn: ∴ ``A^4 = E `]

즉,[eqn: (A^4 )^-1 = E ``]    [eqn: ∴ ``(A^-1 )^4 = E `]

그러므로 [eqn: A^-1 ``]도 존재한다.  [참]

[eqn: III.] [eqn: A^k = A^m = A^n = E ``]

[eqn: k =2`, ``m=4`, ``n=8`]일 때 [eqn: A=` -E ``]일수 있다.  [거짓]

[eqn: A`]가 [eqn: 2`]차 정사각행렬일 때, [보기]에서 참인 명제를 모두 고른 것은?

(단, [eqn: E`]는 [eqn: 2`]차 단위행렬이다.)

[보기]

[eqn: I.] [eqn: A^3 = A^5 = E`]이면 [eqn: A= E `]이다.

[eqn: II.] [eqn: A^3 + A^2 + A + E = O`]이면 [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다.

[eqn: III.] [eqn: A^k = A^m = A^n = E`]를 만족시키는 서로 다른 자연수 [eqn: k`,``m`,``n`]이 존재하면 [eqn: A= E`]이다.

[94년 2차 수능]

① [eqn: I`,``II]         ② [eqn: I`,``III]         ③ [eqn: II`,``III]         ④ [eqn: I]         ⑤ [eqn: III]

②

ㄱ. [eqn: (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2]

[eqn: != A ^{2} +2AB+B ^{2}]  [eqn: (BECAUSE ``` AB ne BA)]  [거짓]

ㄴ. [eqn: A^2 + A - 2E=O`]    [eqn: A(A+E)=2E`]

[eqn: A LEFT { 1 over 2 (A + E) RIGHT } =E`]   [eqn: therefore``` A^-1 = 1 over 2 (A+E)`]  [참]

ㄷ. [eqn: A ne O`,``A^2 = A`]이면 [eqn: A=E`]

[반례] [eqn: A= pmatrix{``0``&``0``#``0``&``1``}`]이면 [eqn: A^2 = pmatrix{``0``&``0``#``0``&``1``}`]

[eqn: A^2 = A`]이지만 [eqn: A ne E`]이다.  [거짓]

이차정사각행렬 [eqn: A`,``B`]에 대하여 항상 옳은 것을 [보기]에서 모두 고른 것은?

(단, [eqn: E``]는 단위행렬이고 [eqn: O``]는 영행렬이다.)

[보기]

ㄱ. [eqn: (A+B )^2 =A^2 + 2AB +B^{2}`]

ㄴ. [eqn: A^2 +A-2E =O`]이면 [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다.

ㄷ. [eqn: A ≠ O`]이고 [eqn: A^2 =A`]이면 [eqn: A =E`]이다.

[3점][05학년도 수능]

① ㄱ         ② ㄴ         ③ ㄷ         ④ ㄱ, ㄴ         ⑤ ㄴ, ㄷ

⑤

(나)에서

[eqn: (E-B)^2 = E``^2 - 2B +B^2 = E-B`]

∴ [eqn: B^2 = B`] [eqn: CDOTS``]㉠

∴ [eqn: B^3 = B^2 B = BB=B`]

또, [eqn: BA^3 = (BA)A^2 =(AB)A^2 = `-BA^2]

[eqn: =`-(BA)A=`-(AB)A=BA=AB][eqn: =`-B]

∴ [eqn: B^3 +2BA^3 =B-2B=`-B`]

다음 세 조건을 만족시키는 영행렬이 아닌 모든 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B`]에 대하여 [eqn: B ^{3} +2BA ^{3} `]과 항상 같은 행렬은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

(가) [eqn: AB`=BA`]

(나) [eqn: (E-B`) ^{2} =E-B]

(다) [eqn: AB=`-B`]

[3점][06학년도 수능]

① [eqn: 2A]          ② [eqn: -A]          ③ [eqn: E]          ④ [eqn: 2B]          ⑤ [eqn: -B]

③

[eqn: A=pmatrix {`` 1``&``1`` #``0`` &``1`` }`,] [eqn: B=pmatrix { ``1``&`` 0``#`` 1``& ``1``}`]이므로

[eqn: A^n = pmatrix { ``1``&`` n``#`` 0``&`` 1``}`,``B^n = pmatrix { ``1``&`` 0``#`` n``&`` 1``}`]

[eqn: pmatrix { ``x`` #`` y`` }`in S`] ⇒ [eqn: pmatrix { ``x ``#`` y`` }= A^n pmatrix { ``1`` #`` 1`` } = pmatrix { ``1``&`` n``#`` 0``&`` 1``} pmatrix { ``1`` #`` 1`` } =pmatrix { ``n+1`` #`` 1`` }]

[eqn: pmatrix { ``x ``# ``y ``}`in T`] ⇒ [eqn: pmatrix { ``x`` #`` y`` }= B^n pmatrix { ``1`` #`` 1`` } = pmatrix { ``1``&`` 0``# ``n``&`` 1``} pmatrix { ``1`` #`` 1`` } =pmatrix { ``1`` #`` n+1`` }`]

ㄱ. [eqn: pmatrix {``a``#``b``}`in S`] ⇒ [eqn: pmatrix {``a``#``b``} = pmatrix { ``n+1``#``1``}`]

[eqn: pmatrix {``b``#``a``}`in T`] ⇒ [eqn: pmatrix {``b``#``a``}=pmatrix {``1``#``n+1``}`]이므로  [참]

ㄴ. [eqn: pmatrix { ``a``#``b``} `in S`]  [eqn: pmatrix {``a``#``b``}=pmatrix {``n+1``#``1``}`]

[eqn: pmatrix {``c``#``d``}`in S`] ⇒ [eqn: pmatrix {``c``#``d``}=pmatrix {``n+1``#``1``}`]

[eqn: pmatrix {``a+c``#``b+d``}=pmatrix {``n+1``#``1``}+pmatrix {``n+1``#``1``}=pmatrix {``2n+2``#``2``}` notin S`]  [거짓]

ㄷ. [eqn: pmatrix {``a``#``b``}`in S`] ⇒ [eqn: pmatrix {``a``#``b``}=pmatrix {``n+1``#``1``}`]

[eqn: pmatrix {``p``#``q``}`in T`] ⇒ [eqn: pmatrix {``p``#``q``}=pmatrix {``1``#``n+1``}`]

[eqn: pmatrix {``a``&``p``#``b``&``q``}=pmatrix {``n+1``&``1``#``1``&``n+1``}`]

[eqn: aq-bp=(n+1)^2 -1^2 =n^2 +2n !=0`]이므로  [참]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``1``&``1``#``0``&``1``} `,``B= pmatrix{``1``&``0``#``1``&``1``} `]에 대하여 집합 [eqn: S`,``T`]를

[eqn: S= LEFT { pmatrix{``x``#``y``} LEFT ∣ pmatrix{``x``#``y``}=A^{n} pmatrix{``1``#``1``}` ,````n`]은 자연수[eqn: phantompile{#}right}]

[eqn: T= LEFT { pmatrix{``x``#``y``} LEFT ∣ pmatrix{``x``#``y``} =B^{n} pmatrix{``1``#``1``}` ,````n`]은 자연수[eqn: pile{#}right}]

라 하자. [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: pmatrix{``a``#``b``} IN S`]이면 [eqn: pmatrix{``b``#``a``} IN T`]이다.

ㄴ. [eqn: pmatrix{``a`` #``b` `} IN S`,`` pmatrix{``c``#``d``} IN S`]이면 [eqn: pmatrix{``a + c``#``b +d``} IN S`]이다.

ㄷ. [eqn: pmatrix{``a``#``b``} IN S`,`` pmatrix{``p``#``q``} IN T`]이면 행렬 [eqn: pmatrix{``a``&``p``#``b``&``q``}`]는 역행렬을 갖는다.

[4점][06학년도 수능]

① ㄱ      ② ㄱ, ㄴ      ③ ㄱ, ㄷ      ④ ㄴ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: B ^{-1}]가 존재하면

[eqn: B ^{-1} CDOT B ^{2} =B ^{-1} CDOT B`]에서 [eqn: B`=E`]  [참]

ㄴ. [eqn: (E`-A`) ^{5} `=E ^{5} -5A+10`A ^{2} -10A ^{3} +5A ^{4} -A ^{5}]

[eqn: =E`-5A`+10E`-10A+5E`-A]

[eqn: =16(E-A`)=2 ^{4} (E-A`)]  [참]

ㄷ. [eqn: (E-ABA`) ^{2} =E`-2ABA`+ABAABA]

[eqn: =E`-2ABA`+ABBA`( BECAUSE A ^{2} =E`)]

[eqn: =E`-2ABA`+ABA`( BECAUSE B ^{2} =B`)]

[eqn: =E`-ABA]  [참]

두 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B`]가 [eqn: A ^{2} =E`,``B ^{2} =B`]를 만족시킬 때, [보기]에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

[보기]

ㄱ. 행렬 [eqn: B`]가 역행렬을 가지면 [eqn: B=E`]이다.

ㄴ. [eqn: (E-A) ^{5} =2 ^{4} (E-A)`]

ㄷ. [eqn: (E-ABA) ^{2} =E-ABA`]

[3점][07학년도 수능]

① ㄱ        ② ㄷ        ③ ㄱ, ㄴ        ④ ㄴ, ㄷ        ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

ㄱ. [eqn: a=b`]이면 [eqn: AB = pmatrix{``a``&``0``#``0``&``a``}][eqn: = aE`] ([eqn: E`]는 단위행렬)이므로

[eqn: A cdot left( 1over a B right) = E`]    [eqn: therefore] [eqn: A^-1 = 1over a B`]  [참]

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: A^-1 = 1over a B`]이므로 [eqn: A cdot 1over a B = 1over a B cdot A `][eqn: = E`]

∴ [eqn: AB = BA`]  [참]

ㄷ. [eqn: AB = pmatrix{``1``&``0``#``1``&``1``}`B = pmatrix{``a``&``0``#``0``&``b``}`]이므로

[eqn: B = {pmatrix{``1``&``0``#``1``&``1``}}^-1`pmatrix{``a``&``0``#``0``&``b``}][eqn: = pmatrix{``1``&``0``#``-1``&``1``}`pmatrix{``a``&``0``#``0``&``b``}][eqn: = pmatrix{``a``&``0``#``-a``&``b``}`]

[eqn: BA = pmatrix{``a``&``0``#``-a``&``b``}`pmatrix{``1``&``0``#``1``&``1``}][eqn: = pmatrix{``a``&``0``#``-a+b``&``b``}`]

[eqn: a ne b`]이므로 [eqn: -a+b ne 0`]

[eqn: therefore] [eqn: AB ne BA`]  [거짓]

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: 0`]이 아닌 두 실수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B`]가 [eqn: AB= pmatrix{``a``&``0``#``0``&``b``}`]를 만족시킬 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: a=b`]이면 [eqn: A`]의 역행렬 [eqn: A ^-1`]이 존재한다.

ㄴ. [eqn: a=b`]이면 [eqn: AB=BA`]이다.

ㄷ. [eqn: a ne b`], [eqn: A= pmatrix{``1``&``0``#``1``&``1``}`]이면 [eqn: AB=BA`]이다.

[4점][08학년도 수능]

① ㄱ        ② ㄷ        ③ ㄱ, ㄴ        ④ ㄴ, ㄷ        ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

ㄱ. [eqn: A = pmatrix{``4``&``9``#``3``&``2``}`]이면 [eqn: log_4``2 = log_9``3 = 1over2`]이므로 [eqn: A in S`]

[참]

ㄴ. [반례] [eqn: A = pmatrix{``2``&`` 3``#``4``& ``5``}`]이면 [eqn: A in U`]이고,

[eqn: 2 cdot 5 - 3 cdot 4 =` -2 ne 0`]이므로

행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다.

그러나 [eqn: log_2``5 >2`,] [eqn: log_3``4 <2`]에서

[eqn: log_2``5 ne log_3``4`]이므로 [eqn: A not in S`]  [거짓]

ㄷ. [eqn: A = pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``} in S`]이면

[eqn: log_a``d = log_b``c`]이므로 [eqn: d = a^{ log_b``c}`]

[eqn: ad-bc = a cdot a^{log_b``c} - bc][eqn: = a^{ 1+ log_b``c } - bc`]

[eqn: = a^{ log_b``bc } - bc][eqn: = (bc)^{ log_b``a } - bc`][eqn: ne 0`]   ([eqn: because] [eqn: log_b``a ne 1`])

이므로 행렬 [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다.  [참]

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

집합 [eqn: U`]를 [eqn: U=left{ pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``} `right|``a`,``b`,``c`,``d`]는 [eqn: 1`]이 아닌 양수[eqn: matrix{#}right}]라 하자.

[eqn: U`]의 부분집합 [eqn: S`]를 [eqn: S=left{ pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``} `right|`log_a ``d=log_b``c`,``a ne b ,``bc ne 1 right}`]이라 할 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: A=pmatrix{``4``&``9``#``3``&``2``}`]이면 [eqn: A∈S`]이다.

ㄴ. [eqn: A IN U`]이고 [eqn: A`]가 역행렬을 가지면 [eqn: A IN S`]이다.

ㄷ. [eqn: A IN S`]이면 [eqn: A`]는 역행렬을 가진다.

[4점][09학년도 수능]

① ㄱ       ② ㄴ       ③ ㄱ, ㄷ       ④ ㄴ, ㄷ       ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

[eqn: BAB = E`]에서 [eqn: B^-1 = AB = BA`]

[eqn: ABA = A^-1`]에서 양변에 [eqn: A`]를 곱하면 [eqn: AABA = E`]

[eqn: AB = BA`]이므로 [eqn: AAAB = E`]

∴ [eqn: B^-1 = A^3`]

[eqn: B^-1 = AB = A^3`]이므로 [eqn: B= A^2`]

∴ [eqn: B B^-1 = A^2 cdot A^3 = E`]

∴ [eqn: A^5 = E`]

한편, [eqn: A`,``A^-1` ,`` B`,`` B^-1`]은 단위행렬이 아니고,

[eqn: A^2 = B`,] [eqn: A^3 = B^-1`,]

[eqn: A^4 = A^2 A^2 = A^2 B = ABA = A^-1`]이므로 [eqn: A^n = E`]를 만족하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 5`]이다.

단위행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,```B`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A`,``B`]는 모두 역행렬을 가진다.

(나) [eqn: BAB=E`,] [eqn: ABA=A^-1`]

[eqn: A^n = E`]가 성립하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

[3점][09학년도 수능]

① [eqn: 3]             ② [eqn: 4]            ③ [eqn: 5]            ④ [eqn: 6]            ⑤ [eqn: 7]

⑤

ㄱ. [반례] [eqn: A=pmatrix{``1``&``0``#``0``&``-1``}`,] [eqn: B=pmatrix{``0``&``1``#``1``&``0``}]이라 하면

[eqn: A+B= pmatrix{``1``&``1``#``1``&``-1``}`,] [eqn: A-B=pmatrix{``1``&``-1``#``-1``&``-1``}`]이므로

[eqn: (A+B)^2 =(A-B)^2 = 2E`]

그러나 [eqn: AB= pmatrix{``0``&``1``#``-1``&``0``} NE O`]  [거짓]

ㄴ. [eqn: A^2 =E`,] [eqn: B^2 =B`]이면

[eqn: (ABA)^2 = (ABA)(ABA)= ABA^2 BA `]

[eqn: = ABEBA=AB^2 A = ABA`]  [참]

ㄷ. [eqn: A(A+E)=E`] 이면 [eqn: A^2 +A =E`]

양변의 오른쪽에 [eqn: B`]를 곱하면

[eqn: A^2 B + AB =B`]

[eqn: AB=`-E`]이므로 [eqn: -A -E=B`]

따라서 [eqn: B^2 = (-A-E)^2 = A^2 + 2A +E `]

[eqn: = (A^2 +A)+(A+E)= E + A+E]

[eqn: = A+2E]   [참]

이차정사각행렬 [eqn: A`]와 [eqn: B`]에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: O]는 영행렬이고, [eqn: E]는 단위행렬이다.)

[보기]

ㄱ. [eqn: (A+B)^2 = (A-B)^2`]이면 [eqn: AB=O`]이다.

ㄴ. [eqn: A^2 = E`,] [eqn: B^2 = B`]이면 [eqn: (ABA)^2 = ABA`]이다.

ㄷ. [eqn: A(A+E)=E`,] [eqn: AB=`-E`]이면 [eqn: B^2 = A+2E`]이다.

[4점][10학년도 수능]

① ㄴ        ② ㄷ        ③ ㄱ, ㄴ        ④ ㄱ, ㄷ        ⑤ ㄴ, ㄷ

⑤

집합 [eqn: T`]의 원소 [eqn: P = pmatrix {``p``#``q``}`]와 집합 [eqn: S`]의 원소 [eqn: A =pmatrix{`` a``&``b``}`]에 대하여

ㄱ. [eqn: PA = pmatrix {``p``#``q`` } pmatrix{``a``&``b``}`][eqn: = pmatrix {``pa``&`` pb``#``qa``&``qb``}`]

이므로 [eqn: LEFT ( pa RIGHT ) LEFT ( qb RIGHT )- LEFT ( pb RIGHT ) LEFT ( qa RIGHT )=0`]

이다. 즉 [eqn: PA`]는 역행렬을 갖지 않는다.  [참]

ㄴ. 집합 [eqn: S`]의 원소 [eqn: B=pmatrix{``c``&``d`` }`]에 대하여

[eqn: PB = pmatrix {``p``#``q ``}pmatrix{``c``&``d``}`][eqn: = pmatrix {``pc``&``pd``#``qc``&``qd`` }`]이고 [eqn: PA =PB`]이므로

[eqn: pa =pc`,] [eqn: pb =pd`,] [eqn: qa = qc`,] [eqn: qb =qd`] [eqn: ( p ne 0` ,``q ne 0)`]이다.

따라서, [eqn: a=c`,] [eqn: b=d`]

즉, [eqn: A=B`]이다.  [참]

ㄷ. [eqn: PA pmatrix {``1`` #``1``}= pmatrix{ ``pa ``&``pb`` #``qa``&``qb`` } pmatrix {``1 ``#``1``} = pmatrix { ``pa + pb ``#``qa+qb`` } = pmatrix{ ``1`` #``1``}`]

이므로 [eqn: p LEFT ( a+b RIGHT )=1`,] [eqn: q LEFT ( a+b RIGHT )=1`] [eqn: LEFT ( a+b !=0 RIGHT )`]

[eqn: p = 1 overa+b`,] [eqn: q= 1 overa+b`]이다.

즉, [eqn: T`]의 원소 [eqn: P = pmatrix{`` p``#``q``} = pmatrix{ ``1 overa+b ``#``1 overa+b`` }`]이 존재한다.  [참]

따라서 ㄱ,ㄴ,ㄷ 모두 참이다.

[eqn: 1 times 2`]행렬을 원소로 갖는 집합 [eqn: S`]와 [eqn: 2 times 1`]행렬을 원소로 갖는 집합 [eqn: T`]가 다음과 같다.

[eqn: S = left{ pmatrix{`` a``&``b``} vert a+b ne 0`right}`,] [eqn: T= left{ pmatrix {``p``#``q`` } vert pq ne 0` right}`]

집합 [eqn: S`]의 원소 [eqn: A`]에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

[보기]

ㄱ. 집합 [eqn: T`]의 원소 [eqn: P`]에 대하여 [eqn: PA`]는 역행렬을 갖지 않는다.

ㄴ. 집합 [eqn: S`]의 원소 [eqn: B`]와 집합 [eqn: T`]의 원소 [eqn: P`]에 대하여 [eqn: PA =PB`]이면 [eqn: A=B`]이다.

ㄷ. 집합 [eqn: T`]의 원소 중에는 [eqn: PA pmatrix {``1`` #``1`` } = pmatrix {``1`` #``1``}`]을 만족하는 [eqn: P`]가 있다.

[4점][11학년도 수능]

① ㄱ        ② ㄷ        ③ ㄱ,ㄴ        ④ ㄴ,ㄷ        ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: B=3E-A^2`]이므로

[eqn: AB = A (3E -A^2 ) = 3A -A^3`]

[eqn: BA= (3E - A^2 )A = 3A - A^3`]

[eqn: THEREFORE```AB = BA`]  [참]

ㄴ. [eqn: A^2 +B = 3E`]의 양변을 제곱하면

[eqn: A^4 + 2A^2 B +B^2 = 9E`]

[eqn: A^4 + B^2 = 7E`]이므로 [eqn: A^2 B = E`]

[eqn: therefore```B^-1 = A^2`]  [참]

ㄷ. [eqn: (A^2 + B ) ( A^4 + B^2 ) = 21E`]

[eqn: A^6 + A^2 B^2 + A^4 B + B^3 = 21E`]

[eqn: A^6 + B^3 = 21E - A^2 B^2 - A^4 B = 21E - A^2 B ( B + A^2 )`]

[eqn: = 21E - 3E = 18E`]  [참]

두 이치정사각행렬 [eqn: A`,``B`]가 [eqn: A^2 + B = 3E`,``A^4 + B^2 = 7E`]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

[보기]

ㄱ. [eqn: AB= BA`]

ㄴ. [eqn: B^-1 = A^2`]

ㄷ. [eqn: A^6 + B^3 = 18E`]

[4점][12학년도 수능]

① ㄱ       ② ㄴ       ③ ㄱ, ㄴ       ④ ㄱ, ㄷ       ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

ㄱ. [eqn: 2A^2 +AB=E`]에서 [eqn: A(2A+B)=E`]

[eqn: THEREFORE ```A ^{-1} =2A+B`]  [참]

ㄴ. [eqn: 2A^2 +AB=E`]에서 [eqn: AB=E-2A ^{2} `````` CDOTS`]㉠

[eqn: AB+BA=2A+E`]에서 ㉠을 대입하면

[eqn: E-2A^2 +BA=2A+E`]

[eqn: BA=2A^2 +2A`]

양변의 오른쪽에 [eqn: A^-1`]를 곱하면

[eqn: BAA^-1 =2A^2 A^-1 +2AA^-1`]

[eqn: THEREFORE ```B=2A+2E`]  [참]

[다른 풀이]

[eqn: AB+BA=2A+E`````` CDOTS`]①

[eqn: 2A ^{2} +AB=E``````CDOTS `]②

①[eqn: -]②에서 [eqn: BA-2A ^{2} =2A`,``(B-2A-2E)A=O`]

[eqn: A ^{-1}`]이 존재하므로 [eqn: B-2A-2E=O`]

[eqn: THEREFORE ```B=2A+2E`]

ㄷ. ㄱ, ㄴ에서

[eqn: A^-1 =2A+B`]이고, [eqn: B=2A+2E`]이므로

[eqn: A^-1 =2A+(2A+2E)=4A+2E`]

[eqn: A(4A+2E)=E`]

[eqn: 4A ^{2} +2A=E``` ```CDOTS`]㉡

[eqn: (B-E) ^{2} =(2A+2E-E) ^{2} `]

[eqn: =(2A+E)^2][eqn: =4A^2 +4A+E`]

[eqn: =E+2A+E`]

[eqn: =2A+2E`][eqn: =B`]

이때, [eqn: (B-E) ^{2} =O`]라 가정하면 [eqn: B=O`]이므로

[eqn: (O-E) ^{2} =O`], 즉 [eqn: E=O`]가 되어 모순이다.

[eqn: THEREFORE ```(B-E) ^{2} != O`]  [거짓]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

두 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B`]가

[eqn: 2A^2 + AB =E``,```AB + BA = 2A +E`]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

[보기]

ㄱ. [eqn: A^-1 = 2A+B`]

ㄴ. [eqn: B= 2A+ 2E`]

ㄷ. [eqn: (B-E)^2 = O`] (단, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

[4점][13학년도 수능]

① ㄴ        ② ㄷ        ③ ㄱ, ㄴ        ④ ㄱ, ㄷ        ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: AB+A ^{2} B=(A+A ^{2} )B=E`]이므로

[eqn: B ^{-1} =A+A ^{2}`]  [참]

ㄴ. [eqn: AB+A ^{2} B=A(B+AB)=E`]

[eqn: THEREFORE ```A ^{-1} =B+AB`]

따라서 [eqn: A ^{-1} B ^{-1} =E+A`,] [eqn: B ^{-1} A ^{-1} =E+A`]에서

[eqn: A ^{-1} B ^{-1} =B ^{-1} A ^{-1}`]이므로

[eqn: (A ^{-1} B ^{-1} ) ^{-1} =(B ^{-1} A ^{-1} ) ^{-1}`]    [eqn: THEREFORE ```BA=AB`]  [참]

ㄷ. [eqn: (A-E) ^{2} +B ^{2} =O`]에서 [eqn: B ^{2} =`-A ^{2} +2A-E`]

[eqn: AB+A ^{2} B=E`]에서

[eqn: B=AB ^{2} +A ^{2} B ^{2}`]

[eqn: =A(-A ^{2} +2A-E)+A ^{2} (-A ^{2} +2A-E)`]

[eqn: =`-A ^{4} +A ^{3} +A ^{2} -A`][eqn: = `-(A ^{3} -A)(A-E)`]

따라서 [eqn: (A+A ^{2} )B=E`]이므로

[eqn: (A+A ^{2} ) LEFT { -(A ^{3} -A)(A-E) RIGHT } =E`]

[eqn: (A ^{3} -A) ^{2} =`-E` ,] [eqn: (A ^{2} -A) ^{2} +E=O`]  [참]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄱ. [eqn: AB+A ^{2} B=E`]에서 [eqn: (A+A ^{2} )B=E`]이므로

[eqn: B ^{-1} =A+A ^{2}`]이다.  [참]

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: B= LEFT { A(A+E) RIGHT } ^{-1} =(A+E) ^{-1} A ^{-1} `]이고,

[eqn: B= LEFT { (A+E)A RIGHT } ^{-1} =A ^{-1} (A+E) ^{-1} `]이므로

[eqn: AB=AA ^{-1} (A+E) ^{-1} =(A+E) ^{-1} `]

[eqn: BA=(A+E) ^{-1} A ^{-1} A=(A+E) ^{-1} `]

[eqn: THEREFORE ```AB=BA`]  [참]

ㄷ. [eqn: (A ^{3} -A) ^{2} +E= LEFT { A(A+E)(A-E) RIGHT } ^{2} +E`]

[eqn: = LEFT { A(A+E) RIGHT } ^{2} (A-E) ^{2} +E`]

[eqn: = LEFT ( B ^{-1} RIGHT ) ^{2} (A-E) ^{2} +E`]

[eqn: =(B ^{-1} ) ^{2} LEFT { (A-E) ^{2} +B ^{2} RIGHT } =O]   [참]

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

두 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B`]가 [eqn: AB+A ^{2} B=E`,] [eqn: (A-E) ^{2} +B ^{2} =O`]를 만족시킬 때, [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

[보기]

ㄱ. [eqn: B`]의 역행렬이 존재한다.

ㄴ. [eqn: AB=BA`]

ㄷ. [eqn: (A ^{3} -A) ^{2} +E=O`]

[4점][14학년도 수능]

① ㄴ        ② ㄷ        ③ ㄱ, ㄴ        ④ ㄱ, ㄷ        ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: A ^{2} -AB=3E``````` RARROW `````A(A-B)=3E`]

[eqn: THEREFORE```A^-1 = 1OVER3 (A-B)]   [참]

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: A(A-B)=3E`]이고 [eqn: A^-1`]가 존재하므로

[eqn: (A-B)A =3E```````⇒````A^2 -BA =3E]

[eqn: THEREFORE```AB=BA`]   [참]

ㄷ. [eqn: A^2 B -B^2 A = A+B`]에서 [eqn: AB=BA`]를 적용하면

[eqn: A^2 B -B^2 A = AAB - BBA = BAA -BAB `]

[eqn: = BA(A-B)= B CDOT 3E =3B`]

따라서 [eqn: 3B=A+B`]이므로 [eqn: A=2B`]

[eqn: A^2 -AB = 3E`]에서 [eqn: A=2B`]를 대입하면 [eqn: 2B^2 = 3E`]

[eqn: (A+2B)^2 =(2B+2B)^2 = (4B)^2 = 16B^2 = 24E`]   [참]

두 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B`]가

[eqn: A^2 -AB=3E` ,` `A^2 B -B^2 A = A+B`]

를 만족시킬 때, [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

[보기]

ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다.

ㄴ. [eqn: AB =BA`]

ㄷ. [eqn: (A+2B)^2 =24E`]

[4점][15학년도 수능]

① ㄱ       ② ㄷ       ③ ㄱ, ㄴ       ④ ㄴ, ㄷ       ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[행렬]  수능 기출 해설