2010년 11월 18일(목) 시행

2011학년도 대학수학능력시험 해설

2교시  <수리 영역>

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전국모의고사 전문  비상에듀

￭ 본 해설은 비상에듀 출제개발부

교과 연구팀에서 작성한 자료입니다.

수리 영역_가형

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2011 수능 해설

수리 영역

1. ②	2. ④	3. ①	4. ①	5. ④

6. ①	7. ③	8. ②	9. ④	10. ②

11. ⑤	12. ⑤	13. ②	14. ③	15. ⑤

16. ③	17. ①	18. [eqn: 14]	19. [eqn: 5]	20. [eqn: 25]

21. [eqn: 53]	22. [eqn: 17]	23. [eqn: 100]	24. [eqn: 147]	25. [eqn: 19]

[미분과 적분]

26. ①	27. ⑤	28. ④	29. ③	30. [eqn: 30]

[확률과 통계]

26. ①	27. ④	28. ③	29. ⑤	30. [eqn: 157]

[이산수학]

26. ③	27. ④	28. ②	29. ①	30. [eqn: 45]

1. 지수와 로그	②

정답

[eqn: 4^{3over2} times log_3 sqrt { 3}][eqn: = (2^2 ) ^ { { 3} over { 2} } times log_3 `3^{1over2 }]
[eqn: =2^3 times { 1} over { 2} = 8 times { 1} over { 2} = 4]

2. 행렬	④

정답

[eqn: A = pmatrix { `1& ``-1` # `1 &`````````1 `}], [eqn: B = pmatrix { ````````1& ````1` # `-1 &````1 `}]이므로

[eqn: A (A+B`)][eqn: = pmatrix { `1& ``-1` # `1 &`````````1 `} left{ pmatrix { `1& ``-1` # `1 &`````````1 `} + pmatrix { ````````1& ````1` # `-1 &````1 `} right}]
[eqn: = pmatrix { `1& ``-1` # `1 &`````````1 `} pmatrix { `2&&0` # `0 &&2 `}]
[eqn: = pmatrix { `2& ``-2` # `2 &`````````2 `}]

따라서 행렬 [eqn: A (A+B`)]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+(-2)+2+2=4]

3. 공간도형과 공간좌표	①

정답

[eqn: rm barPA = 2 barPB]이므로

[eqn: sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} +(-a) ^{2}} =2 sqrt {(-1) ^{2} +1 ^{2} +1 ^{2}}]

[eqn: sqrt { a^2 +5} = 2 sqrt { 3}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: a^2 =7]   [eqn: therefore```][eqn: a= sqrt { 7}][eqn: (because``` a>0 )]

4. 방정식과 부등식	①

정답

[eqn: sqrt { 4x^2 - 5x +7} =t``(t>=0)]라 두면 주어진 무리방정식은

[eqn: t-t&^2 +7=1]

[eqn: t^2 - t-6=0], [eqn: (t-3)(t+2) =0]

[eqn: therefore```][eqn: t=3] ([eqn: because```][eqn: t>=0])

즉, [eqn: sqrt { 4x^2 - 5x+7}=3]이므로 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4x^2 - 5x-2=0]

따라서 주어진 무리방정식의 모든 실근의 곱은 [eqn: -2 over4 = - 1over2]이다.

5. 이차곡선	④

정답

점 [eqn: \A(0,~4)]에서 타원 [eqn: x^2 over5 +y^2 =1]에 그은 접선의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 접선의 방정식은

[eqn: y = mx+- sqrt { 5m^2 +1}]

이 접선이 점 [eqn: \A(0,~4)]를 지나므로 [eqn: 4 = +- sqrt { 5m^2 +1}]

[eqn: 5m^2 +1=16], [eqn: m^2 =3]

[eqn: therefore```][eqn: m=+- sqrt { 3}]

이때, [eqn: tan pi over3 = sqrt { 3}]이므로 다음 그림과 같이 점 [eqn: \Q]는 중심각의 크기가 [eqn: pi over3]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 부채꼴의 호 위의 점이다.

따라서 점 [eqn: \Q]가 나타내는 도형의 길이는

[eqn: pi over3 times 2 = 2over 3 pi]

6. 순열과 조합	①

정답

세 종류의 현수막 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C]의 개수를 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]로 나타내면

(ⅰ) [eqn: (1,~2,~2)]인 경우, [eqn: { 5!} over { 2!``2!} = 30](가지)

(ⅱ) [eqn: (1,~3,~1)]인 경우, [eqn: { 5!} over { 3!} = 20](가지)

(ⅲ) [eqn: (1,~4,~0)]인 경우, [eqn: { 5!} over { 4!} = 5](가지)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 30+20+5=55](가지)

7. 확률	③

정답

두 점수의 합이 [eqn: 70]이 되는 경우는 다음의 세 가지이다.

관람객 투표	심사 위원
[eqn: 20( \C)]	[eqn: 50( \A)]	⇒ [eqn: 1over 6 times 1over2 = 1over12]
[eqn: 30 ( \B )]	[eqn: 40 ( \B )]	⇒ [eqn: {1 } over { 3} times { 1} over { 3} = { 1} over { 9}]
[eqn: 40 ( \A)]	[eqn: 30 ( \C )]	⇒ [eqn: { 1} over { 2} times { 1} over { 6} = { 1} over { 12}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: { 1} over { 12} + { 1} over { 9} + { 1} over { 12} = { 5} over { 18}]

8. 함수의 극한과 연속성	②

정답

ㄱ. (참)

[eqn: lim _{ x->1+0} { left{ f(x) + f(-x) right}]
[eqn: = lim _{ x->1+0} { f(x) + lim _{ x->1+0} { f(-x)} }]
[eqn: = 1+ (-1)=0]

ㄴ. (참) [eqn: f(x) - |`f(x)`| =][eqn: cases{ 2x+4 && (x< -2 )#0&& (-2<=x<1)#2x-4 && (1<=x<2)#0&& (x>=2) }]

위의 그림에서 함수 [eqn: f(x) - |`f(x)`|]가 불연속인 점은 [eqn: 1]개이다.

ㄷ. (거짓) 【반례】 [eqn: a=1]일 때,
함수 [eqn: y= f(x)]는 [eqn: x=-1], [eqn: x=1]에서 불연속이고,
함수 [eqn: y = f(x-1)]은 [eqn: x=0], [eqn: x=2]에서 불연속이므로
함수 [eqn: y = f(x) `f(x-1)]에 대하여 [eqn: x=-1], [eqn: x=0], [eqn: x=1], [eqn: x=2]에서의 연속성을 확인해 보면 된다.
[eqn: lim _{ x->-1} { f(x)`f(x-1)} = 0 = f(-1)`f(0)]
[eqn: lim _{ x->0} { f(x)`f(x-1)} = 0 = f(0)` f(-1)]
[eqn: lim _{ x->1} { f(x)`f(x-1)} = 0 = f(1)`f(0)]
[eqn: lim _{ x->2} { f(x)`f(x-1)} = 0 = f(2)`f(1)]

따라서 함수 [eqn: f(x)`f(x-1)]은 실수 전체의 집합에서 연속이다.

즉, 함수 [eqn: f(x)` f(x-a)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되는 상수 [eqn: a]가 존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

9. 지수와 로그	④

정답

지반 [eqn: \A], [eqn: \B]의 유효수직응력을 각각 [eqn: S_{\A}], [eqn: S_{\B}]라 하면

[eqn: S_{\A} = 1.44 `S_{\B}]

시험기가 지반 [eqn: \A], [eqn: \B]에 들어가면서 받는 저항력을 각각 [eqn: R_{\A}], [eqn: R_{\B}]라 하면

[eqn: R_{\A} = 1.5 `R_{\B}]

이때, 지반 [eqn: \B]의 상대밀도가 [eqn: 65](%)이므로

[eqn: 65=`-98 + 66 `log { R_{\B}} over { sqrt { S_{\B}} }]   [eqn: therefore```][eqn: log { R_{\B}} over { sqrt { S_{\B}} } = { 163} over { 66}]

따라서 지반 [eqn: \A]의 상대밀도는

[eqn: -98 + 66`log { R_{\A}} over { sqrt { S_{\A}} }][eqn: = `-98 + 66`log { 1.5R_{\B}} over { sqrt { 1.44 S_{\B}} }]
[eqn: = `-98 + 66` log LEFT ( { 1.5} over {1.2 }times { R_{\B}} over { sqrt { S_{\B}} } RIGHT )]
[eqn: =`-98 + 66 LEFT ( log` { 1.5} over {1.2 } + { 163} over {66 } RIGHT )]
[eqn: =65+ 66`log { 5} over { 4}]
[eqn: = 65+ 66 (1- 3 `log`2 )]
[eqn: = 65 + 66 (1-0.9)]
[eqn: = 65 +6.6 = 71.6]

10. 수열의 극한	②

정답

정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1 M_2]에서

[eqn: rm triangle A_1 M_1 B_2]

[eqn: = rm □ A_1 B_1 M_1 M_2 - ( triangle A_1 B_1 M_1 + triangle B_2 M_1 M_2 )]

[eqn: = 1- LEFT ( 1 times 1 times 1over2 + 1 times 1 times tan30 ° times 1over2 RIGHT )]

[eqn: = 1- LEFT ( 1over2 + { 1} over {2 sqrt { 3} } RIGHT )]

[eqn: = { sqrt { 3}-1 } over { 2 sqrt { 3} } = { 3- sqrt { 3} } over { 6}]

[eqn: therefore```][eqn: S_1][eqn: = 2 rm triangle A_1 M_1 B_2][eqn: = 2 times { 3- sqrt { 3} } over { 6} = { 3- sqrt { 3} } over { 3}]

이때, [eqn: rm bar{A_1 B_1 } ： bar{A_2 B_2} `=][eqn: 1 ： { 1} over { sqrt { 3} } = sqrt { 3} ：1]이므로

삼각형 [eqn: rm A_1 M_1 B_2]와 삼각형 [eqn: rmA_2 M_2 B_3]의 넓이의 비는 [eqn: 3：1]이다.

즉, 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: { 3- sqrt { 3} } over { 3}]이고, 공비가 [eqn: { 1} over { 3}]인 무한등비수열이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}S_n = { { 3- sqrt { 3} } over {3 } } over { 1- 1over3} = { 3- sqrt { 3} } over { 2}]

11. 공간도형과 공간좌표	⑤

정답

[그림 1]

[그림 2]

[그림 1]과 같이 두 원판을 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 하자.

[eqn: S_1]와 [eqn: S_2]의 반지름의 길이는 모두 [eqn: 1]이고, 중심 사이의 거리가 [eqn: sqrt { 3}]이므로 [eqn: S_2]를 평행이동시켜 [eqn: S_1]과 같은 평면 위에 그리면 [그림 2]와 같다. 이때, [eqn: S_2]가 [eqn: S_1]의 중심을 지나므로 [그림 2]의 도형의 넓이를 [eqn: S`]라 하면 [eqn: S`]는 [그림 2]의 어두운 부분의 넓이의 [eqn: 2]배와 같다.

[eqn: therefore```][eqn: S = 2 times LEFT ( 1^2 times 2over3 pi + sqrt { 3} times 1over2 times 1over2 RIGHT )][eqn: = 4over3 pi + { sqrt { 3} } over { 2}]

두 원판에 의해 평면 [eqn: alpha]에 생기는 그림자는 [그림 2]의 도형을 평면 [eqn: alpha] 위에 정사영시킨 도형과 같으므로

(그림자의 넓이)[eqn: = S` `cos` 30°]
[eqn: = LEFT ( 4over3 pi + sqrt { 3 } over2 RIGHT ) times {sqrt3}over2]
[eqn: = { 2sqrt3} over { 3} pi + {3 } over { 4}]

12. 행렬	⑤

정답

[eqn: A = pmatrix{a&&b}], [eqn: P = pmatrix{`p`#`q`}]라 하면

ㄱ. (참) [eqn: PA = pmatrix{`p`#`q`} pmatrix{a&&b} = pmatrix{`ap&&bp`# `aq&& bq`}]에서
[eqn: ap cdot bq - bp cdot aq = abpq - abpq =0]
그러므로 행렬 [eqn: PA]는 역행렬을 갖지 않는다.

ㄴ. (참) [eqn: B =pmatrix{c&&d}]라 하면
[eqn: PA = pmatrix{`ap&&bp`# `aq&& bq`}], [eqn: PB = pmatrix{`cp&&dp`# `cq&& dq`}]
[eqn: PA = PB`]이므로 [eqn: pmatrix{`ap&&bp`# `aq&& bq`} = pmatrix{`cp&&dp`# `cq&& dq`}]
[eqn: ap = cp], [eqn: bp = dp]에서 [eqn: (a-c)p = (b-d)q =0]
그런데 [eqn: pq != 0]이므로 [eqn: p!=0]이고 [eqn: q !=0]이다.
즉, [eqn: a-c =b-d=0]에서 [eqn: a=c], [eqn: b=d]
[eqn: therefore```][eqn: A=B]

ㄷ. (참) [eqn: PA ` pmatrix{`1`#`1`} = pmatrix{`ap&&bp`# `aq&& bq`} pmatrix{`1`#`1`} = pmatrix{`ap+bp`# `aq+ bq`}= pmatrix{`1`#`1`}]
[eqn: ap+bp= (a+b)p=1]	…… ㉠
[eqn: aq+bq = (a+b)q=1]	…… ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: p=q= { 1} over { a+b}]
그러므로 집합 [eqn: T]의 원소 중에 주어진 조건을 만족하는 행렬 [eqn: P = pmatrix{` 1overa+b `# ` 1over a+b `}]이 존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

13. 확률분포와 통계적 추정	②

정답

집에서 시장까지의 거리를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: \N(1740,~500^2 )]을 따른다.

이때, [eqn: Z = { X - 1740} over { 500}]이라 하면

[eqn: { \P} (X>=2000)][eqn: = { \P} left( Z >= { 260} over { 500} right) = { \P} (Z >= 0.52 )]
[eqn: = 0.5 - { \P} (0<= Z <= 0.52) =0.3]

이고, [eqn: { \P} (X <2000 ) = 1- { \P} (X>=2000 ) =0.7]이다.

집에서 시장까지의 거리가 [eqn: 2000 rmm] 이상일 사건을 [eqn: A], 자가용을 이용하여 시장에 오는 사건을 [eqn: E`]라 하면

[eqn: { \P} (E`)][eqn: ={ \P} (A cap E` ) + { \P} (A^C cap E `)]
[eqn: = 0.3 times 0.15 + 0.7 times 0.05 = 0.08]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {\P}(A ``|` E ``)][eqn: = { {\P} ( A^C cap E `)} over { {\P} (E`)}]
[eqn: ={ 0.7 times 0.05} over { 0.08}][eqn: = { 0.035} over { 0.08} = { 7} over { 16}]

14. 이차곡선	③

정답

위의 그림과 같이 포물선 [eqn: p_1]의 준선을 [eqn: l_1], 포물선 [eqn: p_2]의 준선을 [eqn: l_2], [eqn: rmbar OB = itx][eqn: (x>0 )]라 두자.

점 [eqn: \C]에서 준선 [eqn: l_1], [eqn: l_2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \H_1], [eqn: \H_2]라 하면 포물선의 정의에 의해

[eqn: rm barCH_2 = bar CO], [eqn: rmbar CH_1 = bar CB]	…… ㉠

이고, 점 [eqn: \A]에서 준선 [eqn: l_1]에 이르는 거리는 [eqn: 2],

점 [eqn: \B]에서 준선 [eqn: l_2]에 이르는 거리는 [eqn: x]이다.

㉠에서

[eqn: rmbar CO = it2x], [eqn: rmbar CB = 2+ (2-itx ) =4-x]

이고, 삼각형 [eqn: rm COB]는 직각삼각형이므로

[eqn: (4-x)^2 = (2x)^2 +x^2], [eqn: x^2 +2x-4=0]

[eqn: therefore```][eqn: x = sqrt { 5} -1][eqn: (because``` x>0 )]

따라서 삼각형 [eqn: \ABC]의 넓이는

[eqn: rmbar AB times bar CO times 1over2][eqn: = 2 times 2 ( sqrt { 5} -1 ) times 1over2]
[eqn: = 2 ( sqrt { 5}-1)]

15. 수열	⑤

정답

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_1 a_2 cdotsa_n a_n+1 = a_1 a_2 cdots a_n times (n+1) + (n-1)!]

…… ㉠

이다. [eqn: b_n = { a_1 a_2 cdots a_n} over { n!}]이라 하면 [eqn: b_1 =1]이고, ㉠의 양변을 [eqn: (n+1)!]로 나누면

[eqn: { a_1 a_2 cdots a_n a_n+1 } over { (n+1)!} = {a_1 a_2 cdots a_n times (n+1) } over { (n+1)!} + { (n-1)!} over { (n+1)!}]

[eqn: therefore```][eqn: b_n+1][eqn: = { a_1 a_2 cdots a_n} over { n!} + { 1} over { n(n+1)}]
[eqn: =b_n +]	…… ㉡

[eqn: { 1} over { n(n+1)}]

㉡에서

[eqn: b_n+1 - b_n = { 1} over { n(n+1)}]

이므로 수열 [eqn: left{b_n right}]은 [eqn: b_1 =1]이고, 계차수열의 일반항이 [eqn: { 1} over { n(n+1)}]이다.

수열 [eqn: left{b_n right}]의 일반항을 구하면

[eqn: b_n][eqn: =b_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1} { 1} over { k(k+1)}]
[eqn: = 1+ sum _{ k=1} ^{ n-1} LEFT ( 1 over k - 1over k+1 RIGHT )]
[eqn: = 1+ left{ LEFT ( 1 - 1over2 RIGHT ) + LEFT ( 1over2 - 1over3 RIGHT ) +`cdots`+ LEFT ( 1over n-1 - 1overn RIGHT ) right}]
[eqn: =]

[eqn: 2- 1overn]

즉, [eqn: { a_1 a_2 cdots a_n} over { n!} = 2 - 1overn]이다.

[eqn: therefore```][eqn: f(n) = { 1} over { n(n+1)}], [eqn: g(n) = 2- { 1} over { n}]

[eqn: therefore```][eqn: f(13) times g(7 )][eqn: = { 1} over { 13 times 14} times LEFT ( 2 - 1over7 RIGHT )]
[eqn: = { 1} over { 13 times 14} times { 13} over { 7} = { 1} over { 98}]

16. 지수함수와 로그함수	③

정답

ㄱ. (참) 위의 그림에서 [eqn: x_1 <1]	…… ㉠
[eqn: x<1]일 때, [eqn: |`log_2` x`| = - log_2 `x = log_{1over2}`x]이므로
[eqn: y_1 = log_{1over2} `x_1 <1]   [eqn: therefore```][eqn: x_1 > 1over2]	…… ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: 1over2 <x_1 <1]이다.

ㄴ. (참) [eqn: x>1]일 때, [eqn: |`log_2 `x`| = log_2 `x]이고 두 함수
[eqn: y = 2^x], [eqn: y = log_2 `x]는 역함수 관계이므로 그래프는 직선 [eqn: y =x]에 대하여 대칭이다.

이때, 두 곡선 [eqn: y = LEFT ( 1over2 RIGHT )^x]과 [eqn: y = log_2 `x]의 교점이 [eqn: {\Q} (x_2 ,~ y_2 )]이고 두 곡선 [eqn: y=2^x]과 [eqn: y = log_{ { 1} over { 2} }`x]의 교점이 [eqn: {\R} (x_3 ,~ y_3 )]이므로 두 점 [eqn: \Q], [eqn: \R]도 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이다. 즉, [eqn: x_2 = y_3], [eqn: y_2 = x_3]
[eqn: therefore```][eqn: x_2 y_2 - x_3 y_3 =0]

ㄷ. (거짓) [eqn: \A(1,~0)]이라 하면
| [eqn: rm barPA]의 기울기 | < | [eqn: rm bar RA]의 기울기 | 이므로
[eqn: left|`{ y_1 -0} over { x_1 -1}` right|` <` left|` { y_3 -0} over { x_3 - 1}`right|]
그런데, [eqn: x_1 <1], [eqn: x_3 <1]이고 [eqn: y_1 >0], [eqn: y_3 >0]이므로
[eqn: { y_3} over { x_3 -1} < { y_1} over { x_ 1 -1}]
양변에 [eqn: (x_1 - 1) (x_3 -1 )]을 곱하면
[eqn: y_3 (x_1 - 1) < y_1 (x_3 -1 )]
ㄴ에서 [eqn: y_3 =x_2], [eqn: x_3 =y_2]를 대입하면
[eqn: x_2 (x_1 -1 ) < y_1 (y_2 -1)]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17. 다항함수의 적분법	①

정답

[eqn: v(t)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

ㄱ. (참) 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리는
[eqn: 1 times 4 times 1over2 =2]
시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 움직인 거리는 [eqn: 2 times 4 times 1over2 =4]
시각 [eqn: t=3]에서 [eqn: t=5]까지 움직인 거리는 [eqn: 2 times 2 times 1over2 =2]
이므로 [eqn: f(1)=2]이다.

ㄴ. (거짓) [eqn: x=2]일 때, 시각 [eqn: t=4]에서 [eqn: t=5]까지 움직인 거리가 최소이므로 [eqn: f(2) = (1+2 ) times 1 times 1over2 = 3over2]

[eqn: therefore```][eqn: f(2) - f(1)][eqn: = 3over2 -2][eqn: = - 1over2 != int _{1 } ^{2 } { v(t)`dt}]

ㄷ. (거짓) (ⅰ) [eqn: x<1]인 경우
시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=x]까지 움직인 거리가 최소이므로
[eqn: f(x) = x times 4x times 1over2 = 2 x^2]
[eqn: lim _{ x->1-0} { { f(x) -f(1)} over { x-1} } = lim _{ x->1-0} { (2x+2)=4}]

(ⅱ) [eqn: x>1]인 경우
시각 [eqn: t= x+2]에서 [eqn: t=5]까지 움직인 거리가 최소이므로

[eqn: f(x)][eqn: = left{ (x-1) +2 right} times (3-x) times 1over2][eqn: = 1over2 (-x^2 +2x+3)]

[eqn: lim _{ x->1+0} { { f(x)-f(1)} over { x-1} } = lim _{ x->1+0} { LEFT ( - 1over2 x + 1over2 RIGHT ) } =0]

(ⅰ), (ⅱ)에서
[eqn: lim _{ x->1-0} { { f(x)-f(1)} over { x-1} } != lim _{ x->1+0} { { f(x)-f(1)} over {x-1 } }]
그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하지 않다.

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

18. 다항함수의 미분법	[eqn: 14]

정답

[eqn: f`' (x)][eqn: = 2(x-1)(x-4) +(x-1)^2]
[eqn: = 3 (x-1) (x-3)=0]

이므로 [eqn: f(x)]의 증가, 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: f`' (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗	[eqn: a]	↘	[eqn: a-4]	↗

따라서 극솟값이 [eqn: 10]이므로 [eqn: a-4=10]이다.

[eqn: therefore```][eqn: a=14]

19. 방정식과 부등식	[eqn: 5]

정답

[eqn: 1+ k over x-k <= 1 over x-1]에서 [eqn: { x^2 - 2x +k} over { (x-k) (x-1)}<=0]

양변에 [eqn: left{(x-k ) (x-1) right}^2]을 곱하면

[eqn: (x-k)(x-1) (x^2 -2x +k )<=0], [eqn: x!=k], [eqn: x!=1]

이때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 - 2x +k >0]이므로

[eqn: (x-k ) (x-1) <=0], [eqn: x!=k], [eqn: x!=1]

주어진 분수부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이 되려면 [eqn: k>1]이어야 한다.

따라서 [eqn: 1<x<k]이므로 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k=5]이다.

20. 다항함수의 적분법	[eqn: 25]

정답

두 곡선 [eqn: y= sqrt { x}], [eqn: y = sqrt { -x+10}]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: sqrt { x} = sqrt { -x +10}], [eqn: x=-x+10]

[eqn: therefore```][eqn: x=5]

이때, 두 곡선 [eqn: y = sqrt { x}], [eqn: y = sqrt { -x+10}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분은 다음 그림과 같다.

따라서 구하는 회전체의 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V`][eqn: = 2pi int _{ 0} ^{5 } { ( sqrt { x})^2 dx }]
[eqn: =2 pi int _{ 0} ^{5 } { x`dx }]
[eqn: =2 pi left[ 1over2 x^2 right]_0^5]
[eqn: = 25pi = a pi]

[eqn: therefore```][eqn: a=25]

21. 벡터	[eqn: 53]

정답

[eqn: x over2 = y = z +3 =t] ([eqn: t]는 실수)라 하면

[eqn: x=2t], [eqn: y=t], [eqn: z=t-3]

점 [eqn: \A (it2t,~t,~ t-3)]은 평면 [eqn: alpha] 위의 점이므로

[eqn: 2t+2t+2(t-3)=6]   [eqn: therefore```][eqn: t=2]

[eqn: therefore```][eqn: \A(4,~2,~-1)]

중심이 점 [eqn: (1,~-1,~5)]이고, 점 [eqn: \A]를 지나는 구의 반지름의 길이는

[eqn: sqrt { (4-1)^2 +(2+1)^2 +(-1-5)^2} = sqrt { 54}]

구의 중심 [eqn: (1,~-1,~5)]에서 평면 [eqn: alpha]에 이르는 거리는

[eqn: { |`1-2+10-6`|} over { sqrt { 1+4+4} }=1]

이므로 구가 평면 [eqn: alpha]와 만나서 생기는 도형은 반지름의 길이가 [eqn: sqrt { 53}]인 원이다.

따라서 구하는 넓이는 [eqn: 53pi]이다.

[eqn: therefore```][eqn: k = 53]

22. 벡터	[eqn: 17]

정답

[eqn: rm vec AD cdot vec CX][eqn: = rm vec AD cdot left(` vec OX - vec OC `right)]
[eqn: = rm vec AD cdot vec OX - vec AD cdot vec OC]

이고, 네 점 [eqn: \A], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \O]는 모두 정점이므로 [eqn: rm vec AD cdot vec OC]는 상수이다.

즉, 내적 [eqn: rm vec AD cdot vec CX]의 값이 최소가 되기 위해서는 [eqn: rm vec AD cdot vec OX]의 값이 최소가 되어야 한다.

이제, 두 벡터 [eqn: rm vec AD]와 [eqn: rm vec OX]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: rm vec AD cdot vec OX = |`vec AD`| cdot |`vec OX `| cdot cos theta]이고,

[eqn: rm |`vecAD`|], [eqn: rm |`vec OX`|]의 값은 상수이므로 내적 [eqn: rm vec AD cdot vec CX]의 값이 최소가 되기 위해서는 [eqn: cos theta]의 값이 최소가 되어야 한다.

그러므로 [eqn: theta = - pi]일 때 즉, 두 벡터 [eqn: rm vec AD]와 [eqn: rm vec OX]가 반대 방향일 때, 내적 [eqn: rm vec AD cdot vec CX]의 값이 최소가 된다.

따라서 다음 그림에서

[eqn: rm angle AOP][eqn: = rm angle CAD]
[eqn: = pi over3 - pi over 15 = 4 over 15 pi]

이고, [eqn: rm angle ACP = 1over2 angle AOP]이므로

[eqn: rm angle ACP = 2over 15 pi]

[eqn: therefore```][eqn: p = 15], [eqn: q=2]

[eqn: therefore```][eqn: p+q=17]

23. 수열	[eqn: 100]

정답

[eqn: 3^2k-1]에서 [eqn: k=1,~2,~3,~cdots,~n]을 대입하면

[eqn: 3^1], [eqn: 3^3], [eqn: 3^5], [eqn: cdots], [eqn: 3^2n-1]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: left{3^1 ,~ 3^3 right}]이므로 [eqn: S = left{3^ 4 right}]

[eqn: therefore```][eqn: f(2)=1]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: left{3^1 ,~ 3^3 ,~ 3^5 right}]이므로 [eqn: S = left{3^4 ,~ 3^6 ,~ 3^8 right}]

[eqn: therefore```][eqn: f(3)=3]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: left{3^1 ,~ 3^3 ,~ 3^5 ,~ 3^7right}]이므로

[eqn: S = left{3^4 ,~ 3^6 ,~ 3^8 ,~ 3^10 ,~3^12 right}]

[eqn: therefore```][eqn: f(4)=5]

[eqn: vdots]

즉, 수열 [eqn: left{ f(n+1) right}]은 첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로

[eqn: f(n+1) = 1+ (n-1) cdot 2 = 2n-1]

[eqn: therefore```][eqn: f(n)=2(n-1)-1=2n-3]

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ n=2} ^{ 11} f(n )][eqn: = sum _{ n=2} ^{ 11} (2n-3)]
[eqn: = sum _{ n=1} ^{ 11} (2n-3) - (-1)]
[eqn: = 2 times { 11 times 12} over { 2} -33 +1]
[eqn: =100]

24. 다항함수의 미분법	[eqn: 147]

정답

함수 [eqn: g(t)]가 두 개의 불연속인 점을 가지려면 [eqn: y = f(x)]의 두 개의 극솟값이 같아야 한다.

주어진 조건에서 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=3]과 [eqn: t=19]에서만 불연속이고, [eqn: f(0)=3]이므로 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 [eqn: f(x)=x^2 (x-alpha)^2 +3]이라 두면, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 19]이어야 하므로

[eqn: f`'(x)][eqn: = 2x (x-alpha)^2 + 2x^2 (x-alpha)][eqn: = 2x (x-alpha) (2x-alpha)][eqn: =0]

에서 [eqn: f LEFT ( alpha over2 RIGHT ) = { alpha^2} over { 4} cdot { alpha^2} over { 4} +3 =19]

[eqn: therefore```][eqn: alpha=4]

따라서 [eqn: f(x) = x^2 (x-4)^2 +3]이므로

[eqn: f(-2)=147]

25. 수열의 극한	[eqn: 19]

정답

[eqn: m=2]일 때, [eqn: f(2) = 1+1=2]

[eqn: m=4]일 때, [eqn: f(4) = f(2) +3+1 =6]

[eqn: m=8]일 때, [eqn: f(8) = f(4) + 5+ 3+7+1 = 22]

[eqn: m=16]일 때,

[eqn: f(16)][eqn: = f(8) + 9+5+11+3+13+7+15+1][eqn: =86]

[eqn: vdots]

즉, 수열 [eqn: left{ f(2^n ) right}]을 나열해 보면 다음과 같다.

[eqn: 2],  [eqn: 6],  [eqn: 22],  [eqn: 86], [eqn: cdots]

[eqn: 4]  [eqn: 16]  [eqn: 64]  [eqn: cdots]

따라서 수열 [eqn: left{ f(2^n ) right}]은 첫째항이 [eqn: 2]이고, 계차수열의 일반항이 [eqn: 4^n]인 수열이므로

[eqn: f(2^n )][eqn: =2 + sum _{ k=1} ^{ n-1} 4^k]
[eqn: = 2 + { 4 (4^n-1 -1)} over { 4-1} = { 4^n +2} over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf} { { f(2^n+1 ) - f(2^n )} over { f(2^n+2 )} }]
[eqn: = lim _{ n->inf} { { { 4^n+1 +2} over {3 } - { 4^n +2} over { 3} } over { { 4^n+2 +2} over { 3} } }]
[eqn: = lim _{ n->inf} { { 3 cdot 4^n} over { 16 cdot 4^n +2} }]
[eqn: = lim _{ n->inf} { { 3} over {16 + { 2} over {4^n } } }]
[eqn: = { 3} over { 16} = { q} over { p}]

[eqn: therefore```][eqn: p+q = 16+3=19]

미분과 적분

26. 삼각함수	①

정답

[eqn: tan^2 `theta = { 2 `tan { theta } over { 2} } over { 1- tan^2 { theta} over { 2} } = { 2cdot { sqrt { 2} } over {2 } } over { 1- 2over 4} = 2 sqrt { 2}]

[eqn: therefore```][eqn: sec `theta = sqrt { 1+tan^2` theta} =3][eqn: LEFT ( because``` 0 < theta < pi over 2 RIGHT )]

27. 미분법	⑤

정답

[eqn: y ^3 = ln (5-x^2 ) +xy+4]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 3y^2` { dy} over {dx } = { -2x} over { 5-x^2} +y +x { dy} over {dx }]

[eqn: therefore```][eqn: { dy} over {dx }][eqn: = { 1} over { 3y^2 -x} LEFT ( { -2x} over {5-x^2 } +y RIGHT )]

따라서 점 [eqn: (2,~2)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: { 1} over { 3 cdot 2^2 -2} LEFT ( { -2 cdot2} over { 5-2^2}+2 RIGHT ) = - 1over 5]

28. 적분법	④

정답

[eqn: int _{ a} ^{ 2a} { x^-2 cdot left{f(x) right}^2 dx}]

[eqn: = left[ -x^-1 cdot left{f(x) right}^2 right]_a^2a]

[eqn: - int _{ a} ^{2a } { left{-x^-1 cdot2 f(x)`f`'(x)} right}dx]

[eqn: = left[ -2a^-1 cdot left{ f(2a) right}^2 +a^-1 cdot left{ f(a) right}^2 right]]

[eqn: + int _{ a} ^{ 2a} { { f(2x)} over { x}dx }]

그런데, [eqn: f(2x) = 2f(x)`f`'(x)]이고 [eqn: f(a)=0]이므로

[eqn: f(2a)=2f(a)`f`'(a)=0]

[eqn: therefore```][eqn: int _{ a} ^{2a } { x^-2 cdot left{ f(x) right}^2 dx}][eqn: =int _{ a} ^{2a } { { f(2x)} over {x } }dx]
[eqn: = int _{ 2t} ^{ 4t} { { 2f(t)} over { t} }cdot { 1} over { 2} `dt] ([eqn: because```][eqn: 2x=t] → [eqn: 2dx=dt])
[eqn: = int _{ 2t} ^{4t } { { f(t)} over { t} }dt]
[eqn: =k]

29. 적분법	③

정답

(ⅰ) [eqn: 0<x<1]일 때
[eqn: f`'(x) = int _{ } ^{ } { e^x` dx} =e^x +C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)
조건 (가)에서 [eqn: f`'(0)=1]이므로 [eqn: 1+C=1]
[eqn: therefore```][eqn: C=0]
[eqn: f(x)= int _{ } ^{ } { e^x``dx = e^x +C_1}] (단, [eqn: C_1]은 적분상수)
조건 (가)에서 [eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: 1+C_1 =1]
[eqn: therefore```][eqn: C_1 =0]
[eqn: therefore```][eqn: f(x) = e^x]

(ⅱ) [eqn: 1<= x<2]일 때
조건 (나)에 의해 [eqn: f`'(x)]는 증가하는 함수이므로
[eqn: f`'(x) >= f`'(1)=e]
따라서 [eqn: f`'(x)=e]일 때 적분값이 최소가 된다.
즉, 점 [eqn: (1,~e)]를 지나고 기울기가 [eqn: e]인 직선의 방정식은 [eqn: f(x)=ex]이다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: int _{ 0} ^{2 } { f(x)`dx}][eqn: = int _{ 0} ^{1 } { f(x)`dx + int _{ 1} ^{ 2} { f(x)`dx} }]
[eqn: >= int _{ 0} ^{1 } { e^x` dx + int _{ 1} ^{ 2} { e x `dx} }]
[eqn: = [e^x ]_0^1][eqn: + left[ 1over2 ex^2 right]_1^2][eqn: = 5over2 e-1]

따라서 [eqn: int _{ 0} ^{2 } { f(x)`dx}]의 최솟값은 [eqn: 5over2 e -1]이다.

30. 함수의 극한	[eqn: 30]

정답

점 [eqn: \P]의 좌표를 [eqn: \P(cos theta ,~ sin theta )]라 하면

[eqn: e^x -1 = sin theta], [eqn: e^x = sin theta +1], [eqn: x= ln (sin theta +1)]

[eqn: therefore```][eqn: \Q left(ln (sin theta + 1 ),~ sin theta right)], [eqn: rmR left(ln (sin theta+1),~0 right)]

직선 [eqn: \OP]의 방정식은 [eqn: y = tan theta`x]이므로 점 [eqn: \T]의 좌표는

[eqn: rm T LEFT ( ln (sintheta +1 ),~ tan theta `ln (sin theta+1 ) RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rm ORT]의 넓이 [eqn: S` (theta)]는

[eqn: S` (theta)][eqn: = 1over2 ` tan theta `left{ln (sin theta + 1) right}^2]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ theta ->+0} { { S`(theta)} over { theta^3} }]
[eqn: = lim _{ theta ->+0} { { tan theta ` left{ ln (sin theta + 1) right}^2} over { 2 theta ^3} }]
[eqn: = 1over2 lim _{ theta ->+0} { { tan theta} over { theta} } times lim _{ theta ->+0} { left{ { ln (sintheta +1 )} over { theta} right}^2}]
[eqn: = 1over2 times 1 times lim _{ theta ->+0} { left{ { ln (sintheta +1)} over {sin theta } right}^2 } times lim _{ theta->+0} { LEFT ( { sin theta} over {theta } RIGHT ) ^2}]
[eqn: = 1over2 times 1 times 1^2 times 1^2]
[eqn: = 1over2 =a]

[eqn: therefore```][eqn: 60a =30]

확률과 통계

26. 확률변수와 확률분포	①

정답

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X`]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	계
[eqn: rmP (itX`=x )]	[eqn: -a+2 over 10]	[eqn: 1over5]	[eqn: a+2 over10]	[eqn: 2a+2 over10]	[eqn: 1]

[eqn: -a+2 over 10 + 1over5 + a+2 over10 + 2a+2 over10 =1]

[eqn: therefore```][eqn: a=1]

따라서 확률변수 [eqn: X`]의 평균과 분산은

[eqn: rmE (itX`) = -1 times 1over10 +0 times 1over5 + 1 times 3over10 + 2 times 4over10 =1]

[eqn: rmV (itX`)][eqn: = (-1)^2 times 1over10 + 0^2 times 1over5 +1^2 times 3over10]
[eqn: +2^2 times 4over10 -1]
[eqn: =1]

[eqn: therefore```][eqn: rmV (3itX` +2) =3^2 `` \V (itX `) = 9]

27. 확률	④

정답

남자 탁구 선수 [eqn: 4]명과 여자 탁구 선수 [eqn: 4]명에서 임의로 [eqn: 2]명씩 [eqn: 4]개의 조를 만드는 경우의 수는

[eqn: `_8 rmC_2 times _6 C_2 times _4 C_2 times _2 C_2 times { 1} over { 4!} =105](가지)

이때, 남자 [eqn: 1]명과 여자 [eqn: 1]명으로 이루어진 조가 [eqn: 2]개인 경우의 수는

[eqn: `_4 rm C_2 times _4 C _2 times 2 = 72](가지)

따라서 구하는 확률은 [eqn: 72over105 = 24over35]이다.

28. 확률변수와 확률분포	③

정답

근무 기간이 [eqn: 16]개월인 직원의 하루 생산량을 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rmN(16ita +100,~12^2 )]을 따르고,

하루 생산량이 [eqn: 84] 이하일 확률이 [eqn: 0.0228]이므로

[eqn: rm P(itX`<= 84)][eqn: = rmP left( itZ<= { -16a-16} over { 12} right)]
[eqn: = rmP left (itZ <= -4a-4 over 3 right)]
[eqn: = 0.5- rmP LEFT ( 0<= itZ<= { 4a+4} over {3 } RIGHT )]
[eqn: = 0.0228]

즉, [eqn: 4a+4 over3 =2]   [eqn: therefore```][eqn: a = 1over2]

근무 기간이 [eqn: 36]개월인 직원의 하루 생산량을 확률변수 [eqn: Y`]라 하면 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: rmN(118,~ 12^2 )]을 따르므로

하루 생산량이 [eqn: 100] 이상이고 [eqn: 142] 이하일 확률은

[eqn: rmP(100<= itY<= 142)]

[eqn: = rmP LEFT ( 100-118over12 <= itZ <= { 142-118} over { 12} RIGHT )]

[eqn: = rm P(-1.5 <=it Z <= 2 )]

[eqn: =rm P (0<= itZ<=1.5 ) + rmP (0<= itZ <=2 )]

[eqn: = 0.4332+ 0.4772]

[eqn: = 0.9104]

29. 자료의 정리와 요약	⑤

정답

자료 [eqn: \A]의 서로 다른 [eqn: 5]개의 수를 작은 수부터 차례대로

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4], [eqn: a_5]라 하자.

[eqn: \A]의 평균이 [eqn: 25]이므로

[eqn: { a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5} over { 5} = 25]

[eqn: therefore```][eqn: a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5 =125]

[eqn: \A]의 중앙값이 [eqn: 25]이므로 [eqn: a_3 =25]이다.

또한, 자료 [eqn: \B]에서 [eqn: 5]개는 [eqn: \A]의 자료와 일치하고, 나머지 [eqn: 2]개는 [eqn: x], [eqn: y]이므로 자료 [eqn: \B]의 자료를 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4], [eqn: a_5], [eqn: x], [eqn: y]라 하자.

ㄱ. (참) [eqn: rmB]의 평균이 [eqn: 25]이면 [eqn: { a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5 +x+y} over { 7}][eqn: = { 125+x+y} over { 7} = 25]
[eqn: therefore```][eqn: x+y=50]

(ⅰ) [eqn: x=y=25]인 경우 [eqn: \B]의 중앙값은 [eqn: 25]이다.

(ⅱ) [eqn: x<y]인 경우 [eqn: x<25<y]이므로 [eqn: \B]의 중앙값은 [eqn: 25]이다.

[eqn: x >y]인 경우도 (ⅱ)와 마찬가지이므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: \B]의 평균이 [eqn: 25]이면 [eqn: \B]의 중앙값도 [eqn: 25]이다.

ㄴ. (참) [eqn: \B]의 평균이 [eqn: 27] 이상이면
[eqn: 125+x+y over 7 >= 27]   [eqn: therefore```][eqn: x+y >=64]

[eqn: x], [eqn: y]가 모두 [eqn: 32] 미만이면 [eqn: x+y <64]이므로 모순이다.
그러므로 [eqn: x]와 [eqn: y] 중에서 적어도 하나는 [eqn: 32] 이상이다.

ㄷ. (참) [eqn: x=y=25]이면 [eqn: \B]의 평균은 [eqn: 125+25+25 over7 = 25]
([eqn: \A]의 분산)[eqn: =][eqn: 1over 5 sum _{ k=1} ^{ 5} (a_k - 25)^2]
([eqn: \B]의 분산)[eqn: =][eqn: 1over7 sum _{ k=1} ^{ 5} (a_k -25)^2]
이므로 [eqn: \B]의 분산이 [eqn: \A]의 분산보다 작다.
그러므로 [eqn: \B]의 표준편차가 [eqn: \A]의 표준편차보다 작다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

30. 통계적 추정	[eqn: 157]

정답

표본의 항체 보유 비율 [eqn: hat p]은 근사적으로 정규분포 [eqn: rmN left( itp,~ { p(1-p)} over { n} right)]를 따른다.

그런데, 표본의 크기 [eqn: n]이 충분히 크므로 [eqn: hat p = p]이다.

[eqn: rmP (it |`hatp - p`|][eqn: <= 0.16 sqrt { hatp (1- hat p ) } )]
[eqn: = rmP LEFT ( |`itZ``| <= 0.16 times { sqrt { hatp (1-hat p )} } over { { sqrt { hatp (1- hat p )} } over { sqrt { n} } } RIGHT )]
[eqn: = rmP (|`itZ``| <= 0.16 sqrt { n} )]
[eqn: >= 0.9544 = 2 times 0.4772]

[eqn: 0.16 sqrt { n} >=2], [eqn: sqrt { n}>=12.5]

[eqn: therefore```][eqn: n>= 156.25]

따라서 구하는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 157]이다.

이산수학

26. 선택과 배열	③

정답

[eqn: 7]을 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3]만을 이용하여 분할하는 방법의 수이므로

[eqn: 7][eqn: = 3+3+1]
[eqn: = 3+2+2]
[eqn: = 3+2+1+1]
[eqn: =3+1+1+1+1]
[eqn: = 2+2+2+1]
[eqn: = 2+2+1+1+1]
[eqn: = 2+1+1+1+1 +1]
[eqn: = 1+1+1+1+1+1+1]

의 [eqn: 8](가지)이다.

27. 그래프	④

정답

해밀턴회로를 갖기 위해서는 꼭짓점 [eqn: v_1], [eqn: v_2], [eqn: v_3], [eqn: v_4], [eqn: v_5] 사이에 [eqn: 2]개의 변을 추가해야 한다.

(ⅰ) 서로 다른 세 개의 점을 모두 사용하여 [eqn: 2]개의 변을 추가하는 경우
[eqn: 5 times _4 rmC_2 =30](개)

(ⅱ) 서로 다른 네 개의 점을 모두 사용하여 [eqn: 2]개의 변을 추가하는 경우
[eqn: `_5 rmC_4 times_4 C_2 times_2 C_2 times { 1} over { 2!} = 15](개)

(ⅰ), (ⅱ)에서 가능한 그래프 [eqn: \H]의 개수는 [eqn: 45](개)이다.

28. 의사 결정과 최적화	②

정답

비용이 적게 들어가는 지점이 [eqn: \A]이므로 [eqn: 6]개의 사무실을 다음과 같이 연결하면 전산망을 구축하는데 필요한 비용이 최소가 된다.

따라서 [eqn: 1+2+2+2+3+4=12]이므로 최소 비용은 [eqn: 1200]만 원이다.

29. 그래프	①

정답

ㄱ. (참) 그래프 [eqn: \G]에서 꼭짓점의 개수가 [eqn: 7](개)이므로 생성수형도의 변의 개수는
[eqn: 7-1=6](개)

ㄴ. (거짓) 다음 그림과 같이 그래프 [eqn: \G]를 변이 꼭짓점에서만 만나게 평면 위에 다시 그릴 수 있으므로 그래프 [eqn: \G]는 평면그래프이다.

ㄷ. (거짓) 꼭짓점 [eqn: \A]의 차수는 [eqn: 4]이므로 그래프 [eqn: \G]의 꼭짓점을 적절하게 색칠하기 위해서는 적어도 [eqn: 4]개의 색이 필요하다.

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

30. 알고리즘	[eqn: 45]

정답

[eqn: 3]자리 문자열 중에서 주어진 조건을 만족시키는 문자열은

[eqn: (a,~a,~a)], [eqn: (a,~b,~a)], [eqn: (a,~c,~a)]

의 [eqn: 3]개이므로 [eqn: a_3 =3]이다.

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =1]이므로 점화 관계에 의해

[eqn: 3=1+p]

[eqn: therefore```][eqn: p=2]

즉, [eqn: a_n+2 = a_n+1 + 2a_n]이므로

[eqn: a_7][eqn: = a_6 +2a_5]
[eqn: = a_5 +2a_4 +2a_5]
[eqn: = 3a_5 + 2a_4]
[eqn: = 3(a_4 +2a_3 )+2a_4]
[eqn: = 5 a_4 + 6a_ 3]
[eqn: = 5 (a_3 +2a_2 )+6a_3]
[eqn: = 11 a_3 +10a_2]
[eqn: =43 =q]

[eqn: therefore```][eqn: p+q=45]

수리 영역_나형

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2011 수능 해설

수리 영역

1. ②	2. ④	3. ③	4. ③	5. ④

6. ①	7. ③	8. ⑤	9. ④	10. ②

11. ①	12. ⑤	13. ②	14. ③	15. ⑤

16. ③	17. ④	18. [eqn: 11]	19. [eqn: 12]	20. [eqn: 20]

21. [eqn: 30]	22. [eqn: 15]	23. [eqn: 100]	24. [eqn: 77]	25. [eqn: 19]

26. ①	27. ②	28. ①	29. ④	30. [eqn: 21]

1. 지수와 로그	②

정답

[eqn: 4^{3over2} times log_3 sqrt { 3}][eqn: = (2^2 ) ^ { { 3} over { 2} } times log_3 `3^{1over2 }]
[eqn: =2^3 times { 1} over { 2} = 8 times { 1} over { 2} = 4]

2. 행렬	④

정답

[eqn: A = pmatrix { `1& ``-1` # `1 &`````````1 `}], [eqn: B = pmatrix { ````````1& ````1` # `-1 &````1 `}]이므로

[eqn: A (A+B`)][eqn: = pmatrix { `1& ``-1` # `1 &`````````1 `} left{ pmatrix { `1& ``-1` # `1 &`````````1 `} + pmatrix { ````````1& ````1` # `-1 &````1 `} right}]
[eqn: = pmatrix { `1& ``-1` # `1 &`````````1 `} pmatrix { `2&&0` # `0 &&2 `}]
[eqn: = pmatrix { `2& ``-2` # `2 &`````````2 `}]

따라서 행렬 [eqn: A (A+B`)]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+(-2)+2+2=4]

3. 수열의 극한	③

정답

주어진 식의 분모, 분자를 각각 [eqn: 6^n]으로 나누면

[eqn: lim _{ n->inf} { { a times 6^n+1 - 5^n} over { 6^n +5^n} }][eqn: = lim _{ n->inf}{ { 6a - left( 5 over 6 right)}^n} over { 1+ LEFT ( 5over6 RIGHT ) ^n} }]
[eqn: = 6a = 4]

[eqn: therefore```][eqn: a = 2over 3]

4. 지수함수와 로그함수	③

정답

[eqn: (3^x - 5 ) (3^x - 100 ) < 0]에서 [eqn: 5 < 3^x <100]

그런데 [eqn: 3^1 =3], [eqn: 3^4 = 81], [eqn: 3^5 = 243]이므로

[eqn: 3^1 < 5 < 3^ x < 100 < 3^5]

따라서 주어진 지수부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로 그 합은 [eqn: 2+3+4 = 9]이다.

5. 확률	④

정답

[eqn: \P (itA ) = 2over3]이므로

[eqn: {\P} (A cap B `) = {\P} (A) - {\P} (B`) = 2over3 - {\P} (B`)]	…… ㉠

그런데 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이므로

[eqn: {\P}(A cap B` ) = {\P} (A ) {\P} (B`) = 2over3 {\P} (B` )]	…… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: 2over3 - {\P} (B `) = 2over3 {\P} (B`)], [eqn: 5over3 {\P} (B`) = 2over3]

[eqn: therefore```][eqn: {\P}(B`) = 2over5]

6. 순열과 조합	①

정답

세 종류의 현수막 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C]의 개수를 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]로 나타내면

(ⅰ) [eqn: (1,~2,~2)]인 경우, [eqn: { 5!} over { 2!``2!} = 30](가지)

(ⅱ) [eqn: (1,~3,~1)]인 경우, [eqn: { 5!} over { 3!} = 20](가지)

(ⅲ) [eqn: (1,~4,~0)]인 경우, [eqn: { 5!} over { 4!} = 5](가지)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 30+20+5=55](가지)

7. 확률	③

정답

두 점수의 합이 [eqn: 70]이 되는 경우는 다음의 세 가지이다.

관람객 투표	심사 위원
[eqn: 20( \C)]	[eqn: 50( \A)]	⇒ [eqn: 1over 6 times 1over2 = 1over12]
[eqn: 30 ( \B )]	[eqn: 40 ( \B )]	⇒ [eqn: {1 } over { 3} times { 1} over { 3} = { 1} over { 9}]
[eqn: 40 ( \A)]	[eqn: 30 ( \C )]	⇒ [eqn: { 1} over { 2} times { 1} over { 6} = { 1} over { 12}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: { 1} over { 12} + { 1} over { 9} + { 1} over { 12} = { 5} over { 18}]

8. 확률분포와 통계적 추정	⑤

정답

[eqn: {\P}(0 <= X <= 2 )][eqn: = 1- {\P} (X = -1 )]
[eqn: =1 - { 3-a} over { 8} = { 7} over { 8}]

[eqn: { 3-a} over { 8}= { 1} over { 8}]   [eqn: therefore```][eqn: a=2]

따라서 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	계
[eqn: {\P} (X =x )]	[eqn: { 1} over { 8}]	[eqn: { 1} over { 8}]	[eqn: { 5} over { 8}]	[eqn: { 1} over { 8}]	[eqn: 1]

[eqn: therefore```][eqn: {\E} (X`)][eqn: = (-1 ) times { 1} over { 8} + 0 times { 1} over { 8} +1 times { 5} over { 8} + 2 times { 1} over { 8}]
[eqn: = - 1over8 + { 5} over { 8} + { 2} over { 8} = 3over4]

9. 지수와 로그	④

정답

지반 [eqn: \A], [eqn: \B]의 유효수직응력을 각각 [eqn: S_{\A}], [eqn: S_{\B}]라 하면

[eqn: S_{\A} = 1.44 `S_{\B}]

시험기가 지반 [eqn: \A], [eqn: \B]에 들어가면서 받는 저항력을 각각 [eqn: R_{\A}], [eqn: R_{\B}]라 하면

[eqn: R_{\A} = 1.5 `R_{\B}]

이때, 지반 [eqn: \B]의 상대밀도가 [eqn: 65](%)이므로

[eqn: 65=`-98 + 66 `log { R_{\B}} over { sqrt { S_{\B}} }]   [eqn: therefore```][eqn: log { R_{\B}} over { sqrt { S_{\B}} } = { 163} over { 66}]

따라서 지반 [eqn: \A]의 상대밀도는

[eqn: -98 + 66`log { R_{\A}} over { sqrt { S_{\A}} }][eqn: = `-98 + 66`log { 1.5R_{\B}} over { sqrt { 1.44 S_{\B}} }]
[eqn: = `-98 + 66` log LEFT ( { 1.5} over {1.2 }times { R_{\B}} over { sqrt { S_{\B}} } RIGHT )]
[eqn: =`-98 + 66 LEFT ( log` { 1.5} over {1.2 } + { 163} over {66 } RIGHT )]
[eqn: =65+ 66`log { 5} over { 4}]
[eqn: = 65+ 66 (1- 3 `log`2 )]
[eqn: = 65 + 66 (1-0.9)]
[eqn: = 65 +6.6 = 71.6]

10. 수열의 극한	②

정답

정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 M_1 M_2]에서

[eqn: rm triangle A_1 M_1 B_2]

[eqn: = rm □ A_1 B_1 M_1 M_2 - ( triangle A_1 B_1 M_1 + triangle B_2 M_1 M_2 )]

[eqn: = 1- LEFT ( 1 times 1 times 1over2 + 1 times 1 times tan30 ° times 1over2 RIGHT )]

[eqn: = 1- LEFT ( 1over2 + { 1} over {2 sqrt { 3} } RIGHT )]

[eqn: = { sqrt { 3}-1 } over { 2 sqrt { 3} } = { 3- sqrt { 3} } over { 6}]

[eqn: therefore```][eqn: S_1][eqn: = 2 rm triangle A_1 M_1 B_2]
[eqn: = 2 times { 3- sqrt { 3} } over { 6} = { 3- sqrt { 3} } over { 3}]

이때, [eqn: rm bar{A_1 B_1 } ： bar{A_2 B_2} `=][eqn: 1 ： { 1} over { sqrt { 3} } = sqrt { 3} ：1]이므로

삼각형 [eqn: rm A_1 M_1 B_2]와 삼각형 [eqn: rmA_2 M_2 B_3]의 넓이의 비는 [eqn: 3：1]이다.

즉, 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: { 3- sqrt { 3} } over { 3}]이고, 공비가 [eqn: { 1} over { 3}]인 무한등비수열이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}S_n = { { 3- sqrt { 3} } over {3 } } over { 1- 1over3} = { 3- sqrt { 3} } over { 2}]

11. 지수함수와 로그함수	①

정답

지수함수 [eqn: y = a^x]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동시키면

[eqn: y = a^-x]

이 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동시키면

[eqn: y-2 = a^-(x-3)]  [eqn: therefore```][eqn: y = a^-x+3 +2]	…… ㉠

이때, 함수 ㉠의 그래프가 점 [eqn: (1,~4)]를 지나므로 이를 대입하면

[eqn: 4 = a^-1+3 +2 = a^2 +2], [eqn: a^2 =2]

[eqn: therefore```][eqn: a= sqrt { 2}][eqn: (because``` a>0 )]

12. 행렬	⑤

정답

[eqn: A = pmatrix{a&&b}], [eqn: P = pmatrix{`p`#`q`}]라 하면

ㄱ. (참) [eqn: PA = pmatrix{`p`#`q`} pmatrix{a&&b} = pmatrix{`ap&&bp`# `aq&& bq`}]에서
[eqn: ap cdot bq - bp cdot aq = abpq - abpq =0]
그러므로 행렬 [eqn: PA]는 역행렬을 갖지 않는다.

ㄴ. (참) [eqn: B =pmatrix{c&&d}]라 하면
[eqn: PA = pmatrix{`ap&&bp`# `aq&& bq`}], [eqn: PB = pmatrix{`cp&&dp`# `cq&& dq`}]
[eqn: PA = PB`]이므로
[eqn: pmatrix{`ap&&bp`# `aq&& bq`} = pmatrix{`cp&&dp`# `cq&& dq`}]
[eqn: ap = cp], [eqn: bp = dp]에서 [eqn: (a-c)p = (b-d)q =0]
그런데 [eqn: pq != 0]이므로 [eqn: p!=0]이고 [eqn: q !=0]이다.
즉, [eqn: a-c =b-d=0]에서 [eqn: a=c], [eqn: b=d]
[eqn: therefore```][eqn: A=B]

ㄷ. (참) [eqn: PA ` pmatrix{`1`#`1`} = pmatrix{`ap&&bp`# `aq&& bq`} pmatrix{`1`#`1`} = pmatrix{`ap+bp`# `aq+ bq`}= pmatrix{`1`#`1`}]
[eqn: ap+bp= (a+b)p=1]	…… ㉠
[eqn: aq+bq = (a+b)q=1]	…… ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: p=q= { 1} over { a+b}]
그러므로 집합 [eqn: T]의 원소 중에 주어진 조건을 만족하는 행렬 [eqn: P = pmatrix{` 1overa+b `# ` 1over a+b `}]이 존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

13. 확률분포와 통계적 추정	②

정답

집에서 시장까지의 거리를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: \N(1740,~500^2 )]을 따른다.

이때, [eqn: Z = { X - 1740} over { 500}]이라 하면

[eqn: { \P} (X>=2000)][eqn: = { \P} left( Z >= { 260} over { 500} right) = { \P} (Z >= 0.52 )]
[eqn: = 0.5 - { \P} (0<= Z <= 0.52) =0.3]

이고, [eqn: { \P} (X <2000 ) = 1- { \P} (X>=2000 ) =0.7]이다.

집에서 시장까지의 거리가 [eqn: 2000 rmm] 이상일 사건을 [eqn: A], 자가용을 이용하여 시장에 오는 사건을 [eqn: E`]라 하면

[eqn: { \P} (E`)][eqn: ={ \P} (A cap E` ) + { \P} (A^C cap E `)]
[eqn: = 0.3 times 0.15 + 0.7 times 0.05 = 0.08]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {\P}(A ``|` E ``)][eqn: = { {\P} ( A^C cap E `)} over { {\P} (E`)}]
[eqn: ={ 0.7 times 0.05} over { 0.08}]
[eqn: = { 0.035} over { 0.08} = { 7} over { 16}]

14. 수열의 극한	③

정답

[eqn: { \A}_n (n,~1)]이고, 삼각형 [eqn: rm A_{itn }OB_{itn }]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하면

[eqn: rm triangle A_{itn } O B_{itn } = triangle A_{itn } OC_{itn } + triangle C_{itn } OB_{itn } + triangle A_{itn } C_{itn } B_{itn }]

[eqn: n times 1 times 1over2][eqn: = left( sqrt { n^2 +1} + n + 1 right) times r_n times 1over2]

[eqn: n= r_n (n+1+ sqrt { n^2 +1} )]

[eqn: therefore```][eqn: r_n = { n} over { n+1 + sqrt { n^2 +1} }]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf} { { S_n} over { n} }][eqn: = lim _{ n->inf} { { sqrt { n^2 +1} times r_n } over { n} } times { 1} over { 2}]
[eqn: = 1over2 lim _{ n->inf} { { sqrt { n^2 +1} times { n} over { n+1 + sqrt { n^2 +1} } } over { n} }]
[eqn: = { 1} over { 2} lim _{ n->inf} { { sqrt { n^2 +1} } over { n+1 + sqrt { n^2 +1} } }]
[eqn: = { 1} over { 2} lim _{ n->inf} { { sqrt { 1+ 1over n^2} } over { 1+ 1overn + sqrt { 1+ 1over n^2} } }]
[eqn: = { 1} over { 2} times { 1} over { 1+1} = { 1} over { 4}]

15. 수열	⑤

정답

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_1 a_2 cdotsa_n a_n+1 = a_1 a_2 cdots a_n times (n+1) + (n-1)!]

…… ㉠

이다. [eqn: b_n = { a_1 a_2 cdots a_n} over { n!}]이라 하면 [eqn: b_1 =1]이고, ㉠의 양변을 [eqn: (n+1)!]로 나누면

[eqn: { a_1 a_2 cdots a_n a_n+1 } over { (n+1)!} = {a_1 a_2 cdots a_n times (n+1) } over { (n+1)!} + { (n-1)!} over { (n+1)!}]

[eqn: therefore```][eqn: b_n+1][eqn: = { a_1 a_2 cdots a_n} over { n!} + { 1} over { n(n+1)}]
[eqn: =b_n +]	…… ㉡

[eqn: { 1} over { n(n+1)}]

㉡에서

[eqn: b_n+1 - b_n = { 1} over { n(n+1)}]

이므로 수열 [eqn: left{b_n right}]은 [eqn: b_1 =1]이고, 계차수열의 일반항이 [eqn: { 1} over { n(n+1)}]이다.

수열 [eqn: left{b_n right}]의 일반항을 구하면

[eqn: b_n][eqn: =b_1 + sum _{ k=1} ^{ n-1} { 1} over { k(k+1)}]
[eqn: = 1+ sum _{ k=1} ^{ n-1} LEFT ( 1 over k - 1over k+1 RIGHT )]
[eqn: = 1+ left{ LEFT ( 1 - 1over2 RIGHT ) + LEFT ( 1over2 - 1over3 RIGHT ) +`cdots`+ LEFT ( 1over n-1 - 1overn RIGHT ) right}]
[eqn: =]

[eqn: 2- 1overn]

즉, [eqn: { a_1 a_2 cdots a_n} over { n!} = 2 - 1overn]이다.

[eqn: therefore```][eqn: f(n) = { 1} over { n(n+1)}], [eqn: g(n) = 2- { 1} over { n}]

[eqn: therefore```][eqn: f(13) times g(7 )][eqn: = { 1} over { 13 times 14} times LEFT ( 2 - 1over7 RIGHT )]
[eqn: = { 1} over { 13 times 14} times { 13} over { 7} = { 1} over { 98}]

16. 지수함수와 로그함수	③

정답

ㄱ. (참) 위의 그림에서 [eqn: x_1 <1]	…… ㉠
[eqn: x<1]일 때, [eqn: |`log_2` x`| = - log_2 `x = log_{1over2}`x]이므로
[eqn: y_1 = log_{1over2} `x_1 <1]   [eqn: therefore```][eqn: x_1 > 1over2]	…… ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: 1over2 <x_1 <1]이다.

ㄴ. (참) [eqn: x>1]일 때, [eqn: |`log_2 `x`| = log_2 `x]이고 두 함수
[eqn: y = 2^x], [eqn: y = log_2 `x]는 역함수 관계이므로 그래프는 직선 [eqn: y =x]에 대하여 대칭이다.

이때, 두 곡선 [eqn: y = LEFT ( 1over2 RIGHT )^x]과 [eqn: y = log_2 `x]의 교점이 [eqn: {\Q} (x_2 ,~ y_2 )]이고 두 곡선 [eqn: y=2^x]과 [eqn: y = log_{ { 1} over { 2} }`x]의 교점이 [eqn: {\R} (x_3 ,~ y_3 )]이므로 두 점 [eqn: \Q], [eqn: \R]도 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이다. 즉, [eqn: x_2 = y_3], [eqn: y_2 = x_3]
[eqn: therefore```][eqn: x_2 y_2 - x_3 y_3 =0]

ㄷ. (거짓) [eqn: \A(1,~0)]이라 하면
| [eqn: rm barPA]의 기울기 | < | [eqn: rm bar RA]의 기울기 | 이므로
[eqn: left|`{ y_1 -0} over { x_1 -1}` right|` <` left|` { y_3 -0} over { x_3 - 1}`right|]
그런데, [eqn: x_1 <1], [eqn: x_3 <1]이고 [eqn: y_1 >0], [eqn: y_3 >0]이므로
[eqn: { y_3} over { x_3 -1} < { y_1} over { x_ 1 -1}]
양변에 [eqn: (x_1 - 1) (x_3 -1 )]을 곱하면
[eqn: y_3 (x_1 - 1) < y_1 (x_3 -1 )]
ㄴ에서 [eqn: y_3 =x_2], [eqn: x_3 =y_2]를 대입하면
[eqn: x_2 (x_1 -1 ) < y_1 (y_2 -1)]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

17. 확률	④

정답

[eqn: 6]명의 학생이 [eqn: 6]개의 좌석에 앉는 방법의 수는

[eqn: 6! = 720](가지)

(ⅰ) 세 개의 나라의 학생이 모두 좌석 번호의 차가 [eqn: 10]이 되도록 앉는 방법의 수는
[eqn: 3! times 2 times 2 times 2 = 3! times 2^3 = 48](가지)

(ⅱ) 두 개의 나라의 학생은 좌석 번호의 차가 [eqn: 1]이 되도록 앉고, 한 개의 나라의 학생은 좌석 번호의 차가 [eqn: 10]이 되도록 앉는 방법의 수는
[eqn: 3 times 2 times 2 times 2 times 2 = 48](가지)

(ⅲ) 한 개의 나라의 학생은 좌석 번호의 차가 [eqn: 10]이 되도록 앉고, 두 개의 나라의 학생은 좌석 번호의 차가 [eqn: 1]이 되도록 앉는 방법의 수는 (ⅱ)와 같으므로 [eqn: 48](가지)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 확률은

[eqn: { 48+48+48} over { 720} = 1over5]

18. 순열과 조합	[eqn: 11]

정답

[eqn: 2 times _n {\C}_3 = 3 times _n {\P} _2]에서

[eqn: 2 times { n(n-1)(n-2)} over { 3 times 2 times 1} = 3 times n(n-1)]

[eqn: n-2=9] ([eqn: because``` n>=3])

[eqn: therefore```][eqn: n=11]

19. 지수함수와 로그함수	[eqn: 12]

정답

진수 조건에 의해

[eqn: x-4>0], [eqn: 5x+4>0]   [eqn: therefore```][eqn: x>4]	…… ㉠

[eqn: log_3` (x-4) = log_9` (5x+4)]에서

[eqn: log_9` (x-4)^2 = log_9` (5x+4)]

[eqn: x & ^{2} -8x+16=5x+4], [eqn: x ^{2} -13x+12=0]

[eqn: (x-1)(x-12)=0]

[eqn: therefore```][eqn: x=12]([eqn: because```]㉠)

따라서 [eqn: alpha = 12]이다.

20. 순열과 조합	[eqn: 20]

정답

서로 다른 [eqn: 6]개의 공을 [eqn: 3]개씩 나누는 방법의 수는

[eqn: rm`_6 {C}_3 times_3 C_3 times { 1} over { 2!} = 10](가지)

이때, 두 바구니 [eqn: \A], [eqn: \B]에 나누어 담아야 하므로

[eqn: 10 times 2! = 20](가지)

21. 확률분포와 통계적 추정	[eqn: 30]

정답

동전 [eqn: 2]개를 동시에 던졌을 때, 모두 앞면이 나올 확률은

[eqn: 1over2 times 1over2 = 1over4]

따라서 확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: \B LEFT ( 10 ,~ 1over4 RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rmE (itX` ) = 10 times 1over4 = 5over2], [eqn: rm V (itX` ) = 10 times 1over4 times 3over4 = 15over8]

[eqn: therefore```][eqn: rmV (it 4X` +1 )][eqn: =rm 4^2 ``V(itX` )][eqn: = 16 times { 15} over { 8} = 30]

22. 수열	[eqn: 15]

정답

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`(d!=0)]라 하면

[eqn: a_2 = a+d], [eqn: a_4 = a +3d], [eqn: a_9 = a+8d]

이때, [eqn: a_2], [eqn: a_4], [eqn: a_9]가 이 순서대로 공비가 [eqn: r]인 등비수열을 이루므로

[eqn: (a+3d)^2 = (a+d)(a+8d)]

[eqn: -3ad +d^2 =0], [eqn: d (-3a+d)=0]

[eqn: d!=0]이므로 [eqn: -3a+d=0]   [eqn: therefore```][eqn: d=3a]

즉, [eqn: a_2 =4a], [eqn: a_4 = 10a], [eqn: a_9 = 25a]이므로

[eqn: r = a_4 div a_2 = a_9 div a_4 = 5over2]

[eqn: therefore```][eqn: 6r = 6 times { 5} over { 2} =15]

23. 수열	[eqn: 100]

정답

[eqn: 3^2k-1]에서 [eqn: k=1,~2,~3,~cdots,~n]을 대입하면

[eqn: 3^1], [eqn: 3^3], [eqn: 3^5], [eqn: cdots], [eqn: 3^2n-1]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: left{3^1 ,~ 3^3 right}]이므로 [eqn: S = left{3^ 4 right}]

[eqn: therefore```][eqn: f(2)=1]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: left{3^1 ,~ 3^3 ,~ 3^5 right}]이므로 [eqn: S = left{3^4 ,~ 3^6 ,~ 3^8 right}]

[eqn: therefore```][eqn: f(3)=3]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: left{3^1 ,~ 3^3 ,~ 3^5 ,~ 3^7right}]이므로

[eqn: S = left{3^4 ,~ 3^6 ,~ 3^8 ,~ 3^10 ,~3^12 right}]

[eqn: therefore```][eqn: f(4)=5]

[eqn: vdots]

즉, 수열 [eqn: left{ f(n+1) right}]은 첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로

[eqn: f(n+1) = 1+ (n-1) cdot 2 = 2n-1]

[eqn: therefore```][eqn: f(n)=2(n-1)-1=2n-3]

[eqn: therefore```][eqn: sum _{ n=2} ^{ 11} f(n )][eqn: = sum _{ n=2} ^{ 11} (2n-3)]
[eqn: = sum _{ n=1} ^{ 11} (2n-3) - (-1)]
[eqn: = 2 times { 11 times 12} over { 2} -33 +1]
[eqn: =100]

24. 지수와 로그	[eqn: 77]

정답

[eqn: log`A = n+ alpha]([eqn: n]은 [eqn: 0] 이상의 정수, [eqn: 0<= alpha <1])라 하면

[eqn: n <= 2 alpha <2]가 성립하여야 한다.

(ⅰ) [eqn: n=0]일 때, [eqn: 0 <= alpha <1]이므로
[eqn: 0 <= log`A <1], [eqn: 1<= A <10]
따라서 자연수 [eqn: A]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 9]의 [eqn: 9]개이다.

(ⅱ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1over2 <= alpha <1]이므로
[eqn: 3over2 <= log`A <2], [eqn: 10^{3over2} <=A <100]
그런데 [eqn: 31 < 10 ^{3over2} = 10 sqrt { 10} <32]이므로 [eqn: 31.×× <= A<100]
따라서 자연수 [eqn: A]는 [eqn: 32], [eqn: 33], [eqn: 34], [eqn: cdots], [eqn: 99]의 [eqn: 68]개이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수 [eqn: A]의 개수는

[eqn: 9+68 = 77](개)

25. 수열의 극한	[eqn: 19]

정답

[eqn: m=2]일 때, [eqn: f(2) = 1+1=2]

[eqn: m=4]일 때, [eqn: f(4) = f(2) +3+1 =6]

[eqn: m=8]일 때, [eqn: f(8) = f(4) + 5+ 3+7+1 = 22]

[eqn: m=16]일 때,

[eqn: f(16)][eqn: = f(8) + 9+5+11+3+13+7+15+1][eqn: =86]

[eqn: vdots]

즉, 수열 [eqn: left{ f(2^n ) right}]을 나열해 보면 다음과 같다.

[eqn: 2],  [eqn: 6],  [eqn: 22],  [eqn: 86], [eqn: cdots]

[eqn: 4]  [eqn: 16]  [eqn: 64]  [eqn: cdots]

따라서 수열 [eqn: left{ f(2^n ) right}]은 첫째항이 [eqn: 2]이고, 계차수열의 일반항이 [eqn: 4^n]인 수열이므로

[eqn: f(2^n )][eqn: =2 + sum _{ k=1} ^{ n-1} 4^k]
[eqn: = 2 + { 4 (4^n-1 -1)} over { 4-1} = { 4^n +2} over { 3}]

[eqn: therefore```][eqn: lim _{ n->inf} { { f(2^n+1 ) - f(2^n )} over { f(2^n+2 )} }]
[eqn: = lim _{ n->inf} { { { 4^n+1 +2} over {3 } - { 4^n +2} over { 3} } over { { 4^n+2 +2} over { 3} } }]
[eqn: = lim _{ n->inf} { { 3 cdot 4^n} over { 16 cdot 4^n +2} }]
[eqn: = lim _{ n->inf} { { 3} over {16 + { 2} over {4^n } } }]
[eqn: = { 3} over { 16} = { q} over { p}]

[eqn: therefore```][eqn: p+q = 16+3=19]

26. 수열	①

정답

[eqn: 2a_n+1 = a_n +a_n+2]에서 수열 [eqn: left{a _n right}]은 등차수열이므로

수열 [eqn: left{a _n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: d = a_3 - a_2 = 2- (-1)=3]

[eqn: a_2 = a_1 +3 =-1]   [eqn: therefore```][eqn: a_1 = -4]

따라서 수열 [eqn: left{a _n right}]은 첫째항이 [eqn: -4]이고, 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이다.

이때, 수열 [eqn: left{a _n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n] 항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면

[eqn: S_10 = { 10 left{ 2cdot (-4) + 9 cdot3 right}} over { 2} = 95]

27. 확률분포와 통계적 추정	②

정답

공용 자전거의 [eqn: 1]회 이용 시간을 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: \N(60,~ 10^2 )]을 따른다. 이때, 공용 자전거를 이용한 [eqn: 25]회를 임의추출하여 조사할 때의 표본평균을 [eqn: bar {X``]라 하면 확률변수 [eqn: bar {X``]는 정규분포 [eqn: \N left(60,~ LEFT ( 10 over5 RIGHT ) ^2 right)], 즉 [eqn: \N(60,~ 2^2 )]을 따른다.

[eqn: 25]회 이용 시간의 총합을 [eqn: Y`]라 하면 [eqn: Y` = 25 bar{ X``}]이고

[eqn: rmE ({itY`}) = E (25 it bar{X``} ) = 25 rmE (it bar {X``} ) =1500]

[eqn: sigma ({itY`}) = sigma (25 it bar{X``} ) = 25 sigma (it bar {X``} ) =50]

이므로 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: \N (1500,~ 50^2 )]을 따른다.

[eqn: therefore```][eqn: rmP (itY >= 1450)][eqn: = rm P left (it Z >= { 1450-1500} over { 50} right)]
[eqn: =rmP (itZ >= -1)]
[eqn: = 0.5+ rmP ( 0 <= itZ <=1 )]
[eqn: = 0.5+0.3413 = 0.8413]

28. 행렬	①

정답

[eqn: pmatrix{`p`#`q`} = pmatrix{`3&&2`#`2&&3`} pmatrix{`x`#`y`}] ⇔ [eqn: pmatrix{`x`#`y`} = 1over 5 pmatrix{````````3& ``-2`#`-2&`````````3`} pmatrix{`p`#`q`}]

응시자 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C]의 추론능력시험의 원점수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], 공간지각능력시험의 원점수를 각각 [eqn: a'], [eqn: b'], [eqn: c']이라 하면

[eqn: pmatrix{`a`#``a'} = 1over 5 pmatrix{````````3& ``-2`#`-2&`````````3`} pmatrix{`45`#`40`} = pmatrix{````````3& ``-2`#`-2&`````````3`} pmatrix{`9`#`8`} = pmatrix{`11`#`6`}]

[eqn: pmatrix{`b`#``b'} = 1over 5 pmatrix{````````3& ``-2`#`-2&`````````3`} pmatrix{`50`#`50`} = pmatrix{````````3& ``-2`#`-2&`````````3`} pmatrix{`10`#`10`} = pmatrix{`10`#`10`}]

[eqn: pmatrix{`c`#``c'} = 1over 5 pmatrix{````````3& ``-2`#`-2&`````````3`} pmatrix{`45`#`50`} = pmatrix{````````3& ``-2`#`-2&`````````3`} pmatrix{`9`#`10`} = pmatrix{`7`#`12`}]

따라서 [eqn: a=11], [eqn: b=10], [eqn: c=7]이므로 [eqn: a>b>c]이다.

29. 행렬	④

정답

[eqn: a_ij = i-j] [eqn: (i=1,~2,~ j=1,~2 )]이므로

[eqn: A = pmatrix{`a_11 && a_12` # `a_21&& a_22`} = pmatrix{ `0 &```-1`#`1&``````````0`}]

[eqn: A^2 = pmatrix{ `0 &```-1`#`1&``````````0`} pmatrix{ `0 &```-1`#`1&``````````0`} = pmatrix{ `-1 &``````````0`#````````0&```-1`} = -E`]

[eqn: A ^3 = `-A= pmatrix{ ````````0 &&1`#`-1&&0`}]

[eqn: A ^4 = E= pmatrix{ `1 &&0`#`0&&1`}]

[eqn: A^5 = A], [eqn: A^6 = -E], [eqn: cdots]

[eqn: therefore```][eqn: A +A^2 +A^3 +A^4][eqn: +`cdots` +A^2010]

[eqn: = (A+A^2 + A^3 +A^4 )]

[eqn: +`cdots` + (A^2005 +A^2006 +A^2007 + A^2008 )]
[eqn: + A^2009 +A^2010]

[eqn: = O ``+ `cdots` +O``+A+A^2]

[eqn: = A-E = pmatrix{ `-1 &```-1`#````````1&```-1`}]

따라서 행렬 [eqn: A +A^2 +A^3 +`cdots` +A^2010]의 [eqn: (2,~1)] 성분은 [eqn: 1]이다.

30. 수열	[eqn: 21]

정답

[eqn: sum _{ k=1} ^{ n}a_k = S_n]이라 하면 [eqn: S_n = log { (n+1)(n+2)} over { 2}]

[eqn: a_n][eqn: = S_n - S_n-1]
[eqn: = log { (n+1)(n+2)} over { 2} - log { n(n+1)} over { 2}]
[eqn: = log left{ { (n+1)(n+2)} over { 2} times { 2} over { n(n+1)} right}]
[eqn: = log `{ n+2} over {n }] (단, [eqn: n=2,~3,~4,~cdots])

이때, [eqn: a_1 = S_1 = log { 2 cdot3} over { 2} = log` 3]이므로

[eqn: a_n = log { n+2} over {n }] (단, [eqn: n=1,~2,~3,~cdots])

[eqn: therefore```][eqn: a_2n = log { 2n+2} over { 2n} = log { n+1} over { n}]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 20}a_2k][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 20} log { k+1} over { k}]
[eqn: =log`2 + log { 3} over { 2} +log { 4} over { 3} +`cdots`+ log { 21} over { 20}]
[eqn: = log ` LEFT ( 2 times 3over2 times 4over3 times `cdots` times 21 over 20 RIGHT )]
[eqn: = log`21 =p]

[eqn: therefore```][eqn: 10 ^{p} =10 ^{log`21} =21]