◦ 문제지에 성명과 수험번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2009학년도 10월 고1 학업성취도평가 문제지

수리 영역

성명			수험번호						1

제 2 교시

고 1	수리 영역

	수리 영역	고 1

8

8

1. 복소수 [eqn: z`]에 대하여 [eqn: 2(z+i)=(1+i)(1-i)`]가 성립할 때, 복소수 [eqn: bar{ z`}`]는? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `], [eqn: bar{ z`}`]는 [eqn: z``]의 켤레복소수) [[eqn: 2`]점]

① [eqn: -1]                   ② [eqn: i]                  ③ [eqn: 1+i]

④ [eqn: 2-i]                  ⑤ [eqn: 1+2i]

2. 두 다항식 [eqn: A=3x ^{2} -4x+5 `], [eqn: B=x ^{2} +2x+3 `]에 대하여

[eqn: 2X-3A=B`]를 만족하는 다항식 [eqn: X`]는? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 2x^2 -x]          ② [eqn: 2x^2 + 2x-5]         ③ [eqn: 3x^2 +2x+9]

④ [eqn: 5x ^{2} -3x+5]      ⑤ [eqn: 5x^2 -5x+9]

3. 전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`,```B`]에 대하여

[eqn: LEFT ( A-B RIGHT ) CUP LEFT ( B-A RIGHT ) = phi]일 때, 다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은? (단, [eqn: B ^{C} `]는 집합 [eqn: B`]의 여집합) [[eqn: 2`]점]

①	[eqn: A` SMALLINTER `B =phi]       ② [eqn: A SMALLUNION B^C =U]      ③ [eqn: A SMALLUNIONB=A SMALLINTERB]

④ [eqn: A- LEFT ( A SMALLINTERB RIGHT )=phi]   ⑤ [eqn: LEFT ( A SMALLUNIONB RIGHT )-B=phi]

4. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x+k ^{2} -2=0`]의 두 실근이 서로 다른 부호를 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 개수는? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 3]         ② [eqn: 4]         ③ [eqn: 5]          ④ [eqn: 6]          ⑤ [eqn: 7]

5. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x ^{2} -2x`]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)`]라 하자. [eqn: f(1)=R(1)=0`]이고 [eqn: f(2)=1`]일 때,[eqn: f(3)`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 4]         ② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]         ④ [eqn: 7]          ⑤ [eqn: 8]

6. [eqn: {sqrt {x+3}} over {sqrt {x-4}} =`- sqrt {{x+3} over {x-4}} `]이 성립하는 실수 [eqn: x`]의 범위에서

방정식 [eqn: sqrt {LEFT ( x+2RIGHT ) ^{2}} + |` x-5 `| =`7`]의 정수해의 개수는? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 3]         ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]         ④ [eqn: 6]          ⑤ [eqn: 7]

7. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n`]를 [eqn: 7]로 나눈 나머지를 [eqn: LEFT < n RIGHT >`]로 정의할 때, 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 3`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: LEFT < 18 RIGHT > = LEFT < 4 RIGHT >] ㄴ. [eqn: LEFT < a+b RIGHT > = LEFT < a RIGHT > + LEFT < b RIGHT >] ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: p`]에 대하여 [eqn: LEFT < pa +b RIGHT > = LEFT < p LEFT < a RIGHT >+LEFT < b RIGHT > RIGHT >]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 두 명제 [eqn: p`], [eqn: q`]가 다음과 같다.

	[eqn: p`] : [eqn: x>0`]인 어떤 실수 [eqn: x`]에 대하여, [eqn: x+a<0`] [eqn: q`] : [eqn: x<0`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여, [eqn: x-a-2 ≤ 0`]

두 명제 [eqn: p`], [eqn: q`]가 모두 참일 때, 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: a< -2]         ② [eqn: -2 ≤ a<0]        ③ [eqn: -2≤ a < 2]

④ [eqn: 0≤ a<2]       ⑤ [eqn: a≥2]

9. 선분 [eqn: rm AD`]의 길이가 [eqn: 5`]인 직사각형 모양의 종이 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 그림과 같이 점 [eqn: rm D`]가 점 [eqn: rm B`]에 닿도록 접었을 때 생긴 선분 [eqn: rm EF`]의 길이는 [eqn: sqrt6`]이다. 이때 선분 [eqn: rm AB`]의 길이는? [[eqn: 4`]점]

①	[eqn: sqrt3]     ② [eqn: sqrt14 over 2]     ③ [eqn: 2]      ④ [eqn: {3 sqrt2} over 2]      ⑤ [eqn: sqrt5`]

10. 집합 [eqn: S`]는

[eqn: S= LEFT { a+bi`|`(a+1) ^{2} +b ^{2} =1`,```a`,```b` RIGHT .]는 실수, [eqn: i=SQRT -1 RIGHT } `]

이다. 계수가 실수인 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +px ^{2} +qx+2=0`]의 한 실근과 두 허근이 모두 집합 [eqn: S`]의 원소일 때, 상수 [eqn: p`]의 값은?

[[eqn: 4`]점]

①	[eqn: 0]        ② [eqn: 1]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: 3]        ⑤ [eqn: 4]

11. 두 원

[eqn: C_1`]: [eqn: (x-4)^2 + (y-5)^2 = 9] , [eqn: C_2 `] : [eqn: x^2 + y^2 = 1]

이 있다. 원 [eqn: C_2 `]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동하여 원 [eqn: C_1 `]의 내부에 존재하도록 하기 위한 모든 [eqn: a`]의 값의 범위가 [eqn: alpha <a< beta `]일 때, [eqn: alpha beta `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

①	[eqn: 18]       ② [eqn: 37 over 2]       ③ [eqn: 19]       ④ [eqn: 39 over 2]       ⑤ [eqn: 20]

12. 등식 [eqn: x^2 +ax+12= LEFT ( x+b RIGHT ) LEFT ( x+c RIGHT )]가 [eqn: x`]에 대한 항등식이 되도록 양의 실수 [eqn: a`,```b`,```c`]의 값을 정할 때, [eqn: a]의 최솟값은?

[[eqn: 3`]점]

①	[eqn: 4sqrt3]     ② [eqn: 7]     ③ [eqn: 5 sqrt2]     ④ [eqn: sqrt51]     ⑤ [eqn: 2 sqrt13]

13. [eqn: 2`]보다 큰 소수 [eqn: p`]와 서로 다른 자연수 [eqn: a`,```b`]에 대하여 [eqn: a+b`], [eqn: a^2 + b^2 `]이 각각 [eqn: p`]의 배수라 하자. 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: ab`]는 [eqn: p`]의 배수이다. ㄴ. [eqn: a^2 `,```b^2`]은 모두 [eqn: p`]의 배수이다. ㄷ. [eqn: n ≥ 3`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a^n + b^n `]는 [eqn: p`]의 배수이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. [eqn: x`]에 대한 이차부등식 [eqn: (a+b)x ^{2} +(b+c)x+(c+a)>0`]의 해가 [eqn: 1<x<2`]일 때, [eqn: x`]에 대한 이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c>0`]의 해는 [eqn: alpha<x<beta`]이다. 이때 [eqn: alpha+beta`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 0]          ② [eqn: {1} over {3}]          ③ [eqn: {1} over {2}]          ④ [eqn: {2} over {3}]          ⑤ [eqn: 1]

15. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2bx-a(a-2)=0`]은 서로 다른 두 실근을 갖고, 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0`]은 실근을 갖지 않도록 실수 [eqn: a`,```b`]를 정할 때, 좌표평면에 점 [eqn: {rm P}(a`,```b)`]가 존재하는 영역을 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은?

(단, 점선으로 된 경계는 영역에 포함되지 않는다.) [[eqn: 3`]점]

①		②
③		④
⑤

16. 한 변의 길이가 [eqn: 10]인 두 정사각형 [eqn: rm `ABCD]와 [eqn: rm PQRS]에 대하여, 그림과 같이 두 정사각형의 겹쳐지는 부분이 선분 [eqn: rm PB`]가 대각선인 직사각형이 되도록 꼭짓점 [eqn: rm P]가 대각선 [eqn: rm AC] 위를 움직일 때 이 직사각형을 [eqn: M`]이라 하자. 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: M]의 둘레의 길이는 항상 [eqn: 20]이다. ㄴ. [eqn: M]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 25]이다. ㄷ. [eqn: M]의 넓이가 [eqn: 7]이 되도록 하는 점 [eqn: rm P`]의 두 위치가 [eqn: rm K`]와 [eqn: rm K']일 때 선분 [eqn: rm KK']의 길이는 [eqn: 12]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 아래 표는 어떤 학생이 체육관에서 수영과 에어로빅을 각각 [eqn: 10`]분 동안 운동했을 때, 소모 열량, 산소 소비량 및 이용 요금을 나타낸 것이다.

운동	소모 열량(kcal)	산소 소비량(dl)	[eqn: 10`]분당 이용 요금(원)
수영	[eqn: 48]	70	[eqn: 400]
에어로빅	[eqn: 80`]	50	[eqn: 500]

이 학생의 소모 열량은 [eqn: 320`](kcal) 이상, 산소 소비량은 [eqn: 400`](dl) 이상이 되도록 하는 최소 이용 요금(원)은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 2100`]                ② [eqn: 2500`]                 ③ [eqn: 2700`]

④ [eqn: 2900`]                ⑤ [eqn: 3000]

18. 다음은 두 양의 실수 [eqn: a`,```b`]가 [eqn: a+b=1`]을 만족할 때,

[eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} `]의 최솟값은        임을 증명한 것이다.

(다)

	<증명> 두 양의 실수 [eqn: a`,```b`]가 [eqn: a+b=1`]을 만족하므로 [eqn: 1=a+b ≥ 2 sqrt {ab}] 따라서 [eqn: {1} over {ab} ≥] [eqn: CDOTS CDOTS CDOTS `]㉠ (가) 그러므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} GEQ {1} over {2}] [eqn: CDOTS CDOTS CDOTS `]㉡ [eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} = `][eqn: left(a^2 + 1 over a^2 right)+ left(b^2 + 1 over b^2 right) + 4] 이므로 ㉠과 ㉡으로부터 [eqn: =(a ^{2} +b ^{2} ) TIMES left(matrix { # } ~~~~``````right)+4] (나) (다) [eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} ≥ `] (단, 등호는 [eqn: a=b`]일 때 성립) (다) 그러므로 [eqn: LEFT ( a`+` {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+ {1} over {b} RIGHT ) ^{2} `]의 최솟값은 이다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 4`]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 6]	[eqn: 1 + 1 over {a^2 b^2}]	[eqn: 25 over 2]
②	[eqn: 6]	[eqn: 1 over a^2 + 1 over {b^2}]	[eqn: 25]
③	[eqn: 4]	[eqn: 1 over a^2 + 1 over {b^2}]	[eqn: 25]
④	[eqn: 4]	[eqn: 1 + 1 over {a^2 b^2}]	[eqn: 25]
⑤	[eqn: 4]	[eqn: 1 + 1 over {a^2 b^2}]	[eqn: 25 over 2]

19. 음악분수가 설치된 야외 공연장에서 교향곡을 연주할 때, 연주 소리의 세기 [eqn: x`( rm 10`d rm B)]에 따라 조명 색깔이 달라지도록 음악분수 제어시스템의 정보를 아래 표와 같이 입력하였다. 예를 들어, 연주 소리의 세기의 범위가 [eqn: 8.5 LEQ x LEQ 9.5] 일 때, 보이는 조명 색깔은 주황과 빨강이다.

조명 색깔	소리의 세기 [eqn: x`( rm 10`d rm B)]
빨강	[eqn: x GEQ 9]
주황	[eqn: 8 LEQ x<9]
노랑	[eqn: 7 LEQ x<8]
초록	[eqn: 6 LEQ x<7]
파랑	[eqn: 5 LEQ x<6]
남색	[eqn: 4 LEQ x<5]
보라	[eqn: 0<x<4]

연립부등식 [eqn: cases{`x ^{2} -4x-5>0#`LEFT | x-3 RIGHT | LEQ a}``]의 해가 연주 소리의 세기의 범위를 나타낼 때, 연주하는 동안 파랑과 초록 두 가지 조명 색깔만 볼 수 있었다면 [eqn: a]의 값의 범위는? (단, [eqn: rm d rm B]은 소리의 세기의 단위) [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 1≤a<2]         ② [eqn: 2≤a<3]         ③ [eqn: 3≤a<4]

④ [eqn: 4≤a<5]         ⑤ [eqn: 5≤a<6]

20. 그림과 같이 원 [eqn: (x-1) ^{2} +y ^{2} =4`] 위의 [eqn: 1]사분면에 있는 임의의 점 [eqn: rm`R`]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm `P][eqn: (-1``,``0`)]를 연결한 선분이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 할 때, [eqn: rm bar{PQ} ㆍ bar{PR}] 의 값은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 2]          ② [eqn: 3]          ③ [eqn: 4]          ④ [eqn: 5]          ⑤ [eqn: 6]

21. 세 개의 회전축 [eqn: rm A`,```B`,```C`]가 있다.

축 [eqn: rm A`]에는 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원형기어와 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원형기어가 붙어 같이 회전하고,

축 [eqn: rm B`]에는 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원형기어와 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원형기어가 붙어 같이 회전하고,

축 [eqn: rm`C`]에는 반지름의 길이가 [eqn: c _{1`}]인 원형기어와 반지름의 길이가 [eqn: c _{2} `]인 원형기어가 붙어 같이 회전한다.

그림과 같이 세 축 [eqn: rm A`,```B`,```C`] 각각의 기어를 벨트로 연결하여 미끄러짐 없이 축 [eqn: rm A`,```B`,```C`]가 회전할 때, [eqn: {c _{2}} over {c _{1}}`]의 값은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 3]          ② [eqn: 4]          ③ [eqn: 5]          ④ [eqn: 6]          ⑤ [eqn: 7]

단답형(22～30)

22. 집합 [eqn: A= LEFT { 1`,``2`,``3`,``4`,`5 RIGHT } `]의 부분집합 중 원소의 합이

[eqn: 10`]이상인 부분집합의 개수를 구하시오. [[eqn: 3`]점]

23. [eqn: x= {1} over {sqrt {7-2 sqrt {12}}}]일 때, [eqn: LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

24. 서로 다른 양의 실수를 원소로 하는 집합 [eqn: LEFT . A= LEFT { a` ,```b` ,``` c RIGHT } RIGHT .]에 대하여 두 집합 [eqn: B`,```C`]를

[eqn: LEFT. B= LEFT { p+q``` RIGHT | ```p `IN A,~q `IN A,`````p != q RIGHT }],

[eqn: LEFT . C= LEFT { pq``` RIGHT | ```p`IN A,~q` IN A,`````p != q RIGHT }]

라 정의하자. 집합 [eqn: B`]의 원소의 합이 [eqn: 22`]이고 집합 [eqn: C`]의 원소의 합이 [eqn: 36`]일 때, [eqn: a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

25. 상온에서 고체 상태인 어떤 물질을 액체로 융해시키면 부피는 [eqn: x``%`] 증가하고, 이 액체를 다시 처음 상태의 고체로 응고시키면 부피는 액체 상태의 부피보다 [eqn: 10%`] 감소한다. 이때 [eqn: 9x`]의 값을 구하시오. (단, 액체의 증발은 고려하지 않는다.) [[eqn: 3`]점]

26. 부등식 [eqn: |`x`|+|`y`|≤8`]의 영역에 존재하는 서로 다른 세 점 [eqn: {rm P} (a`,```b)`], [eqn: {rm Q} (b`,```a)`], [eqn: rm R it (0`,```-2)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm PQR`]의 내부 또는 경계선 위에 점 [eqn: (2`,```0)]이 존재하도록 점 [eqn: {rm P} (a`,```b)`]를 정할 때, 점 [eqn: {rm P} (a`,```b)`]가 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. [[eqn: 4`]점]

27. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it (a`,```2)`,``` rm B it (b`,```1)`]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} + bar{PB} `]가 최소가 될 때 [eqn: rm ANGLE APB=120 DEG]이다. 이때[eqn: (b-a)^2`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<a<b`]) [[eqn: 3`]점]

28. [eqn: ANGLE rm B = 90 DEG `]이고 선분 [eqn: rm AB`]의 길이가 [eqn: 6`], 선분 [eqn: rm BC`]의 길이가 [eqn: 4`]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm L`], 선분 [eqn: rm BC``]를 [eqn: 3`:1`]로 외분하는 점을 [eqn: rm M`], 선분 [eqn: rm AC`]와 선분 [eqn: rm LM`]의 교점을 [eqn: rm N`]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm CMN`]의 넓이를 [eqn: S`]라고 할 때, [eqn: 20S`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

29. 원 [eqn: x^2 + y^2 = 9`]의 내부의 점 [eqn: rm P it (-1`,```2)`]를 지나고 현의 길이가 [eqn: 3 sqrt2 `]가 되는 두 직선이 있다. 이 두 직선의 기울기의 합이 [eqn: {q} over {p} `]일 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`,```q`]는 서로소인 자연수) [[eqn: 4`]점]

30. 어느 양궁 연습장에서는 기본요금을 지불하면 [eqn: x`]개의 화살이 주어지고, [eqn: x`]개를 모두 사용한 후 화살을 초과하여 사용하면 초과하여 사용한 모든 화살에 대하여 한 개당 일정한 초과 요금을 지불해야 한다. 갑과 을이 이 연습장에서 총 [eqn: 70`]개의 화살을 사용하고 갑과 을이 각각 [eqn: 1600`]원, [eqn: 2400`]원의 초과 요금을 지불하였다. 병은 이 연습장에서 [eqn: 70`]개의 화살을 사용하고 [eqn: 9000`]원의 초과 요금을 지불했을 때, [eqn: x`]의 값을 구하시오. (단, 갑, 을, 병은 모두 기본요금을 지불하였다.) [[eqn: 4`]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.