2013학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지

수리 영역(가 형)

5 지 선 다 형

	수리 영역(가 형)

	수리 영역(가 형)

제 2 교시

12

1

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1&```````````2`#``2`&```-1}}]에 대하여 행렬 [eqn: 2A]의 모든 성분의 합은?

[2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: {cos ^{2} theta } =`1over3]일 때, [eqn: cos` 2 theta]의 값은? [2점]

① [eqn: -{1} over {2}]	② [eqn: -{1} over {3}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

한 개의 주사위를 [eqn: 6]번 던질 때, 홀수의 눈이 [eqn: 5]번 나올 확률은?
[2점]

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {3} over {32}]	③ [eqn: {1} over {8}]	④ [eqn: {5} over {32}]	⑤ [eqn: {3} over {16}]

좌표평면에서 일차변환 [eqn: f`]를 나타내는 행렬이 [eqn: {pmatrix{````````1`&```````````0`#-3&````-1`}}]일 때,

[eqn: f`]에 의하여 직선 [eqn: `x+2y=0]이 옮겨지는 직선의 방정식은? [3점]

① [eqn: 2x+y=0]	② [eqn: 2x+3y=0]	③ [eqn: `3x+2y=0]

④ [eqn: 2x+5y=0]	⑤ [eqn: 5x+2y=0]

그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다.
이 도로망을 따라 [eqn: rmA`]지점에서 출발하여 [eqn: rmB`]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

합성함수 [eqn: (f CIRC f)(x)]가 [eqn: x=a`]에서 불연속이 되는 모든 [eqn: a]의 값의 합은? (단, [eqn: 0LEQa LEQ6]이다.) [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

어떤 물질이 녹아 있는 용액에 단색광을 투과시킬 때 투과 전 단색광의 세기에 대한 투과 후 단색광의 세기의 비를
그 단색광의 투과도라고 한다. 투과도를 [eqn: T`], 단색광이 투과한 길이를 [eqn: l`], 용액의 농도를 [eqn: d`]라 할 때, 다음 관계가 성립한다.

[eqn: log T ``=` - k`l`d]   (단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)

이 물질에 대하여 투과길이가 [eqn: l`_0`(l`_0`>0)]이고 용액의 농도가 [eqn: 3`d`_0`(d`_0`>0)]일 때의 투과도를 [eqn: T`_1`], 투과길이가 [eqn: 2`l`_0]이고 용액의 농도가 [eqn: 4` d`_0]일 때의 투과도를 [eqn: T`_2`]라 하자. [eqn: T`_2 =T`_1^{``n}]을 만족시키는 [eqn: n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 13 over 6]	③ [eqn: 7over3]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 8 over 3]

그림과 같이 좌표평면에 정육각형 [eqn: rm ABCDEF]가 있다.
두 일차변환 [eqn: f,~g]를 나타내는 행렬이 각각

[eqn: {pmatrix{`-1&````````````0``#````````0&```-1}}],  [eqn: {pmatrix{`1over2&````- sqrt {3}over2`#` sqrt {3}over2&```````````1over2`}``}]

일 때, 합성변환 [eqn: g CIRC f`]에 의하여 점 [eqn: rmA]가 옮겨지는 점은?
(단, 선분 [eqn: rmAD]의 중점은 원점 [eqn: rmO]이다.) [3점]

① [eqn: rm B]	② [eqn: rm C]	③ [eqn: rm D]	④ [eqn: rm E]	⑤ [eqn: rm F]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: O``]가 있다. [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하고 원 [eqn: O``]와 반지름의 길이가 같은 두 원의 외부와 원 [eqn: O``]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R` _{1}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2]등분한 선분을 각각 지름으로 하는
두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R` _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 두 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{2}]라 하자.

그림 [eqn: R` _{2}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 4]등분한 선분을 각각 지름으로 하는

네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 [eqn: R` _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 네 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{3}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R` _{n}]에 색칠되어 있는  모양의 모든 도형의 넓이의 합을 [eqn: S` _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 3sqrt { 3}- { 4} over { 3}pi]	② [eqn: 2sqrt { 3}- {2 } over { 3}pi]	③ [eqn: 2sqrt { 3}- { piover2]

④ [eqn: 3sqrt { 3}- }pi]	⑤ [eqn: 3sqrt { 3}- { 2} over { 3}pi]

그림은 지점 [eqn: rmA,``B,``C,``D,``E]를 연결하는 산책로를 나타낸 것이다. 길이가 [eqn: rm6`km]인 직선 모양의 산책로 [eqn: rmAE]와 둘레의 길이가 [eqn: 2 pi`{rmkm}]인 원 모양의 산책로가 [eqn: rmB]지점에서 한 번 만난다. 갑과 을은 다음과 같이 [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmE]지점까지 이동하였다.

갑: 산책로 [eqn: rm AB`]를 속력 [eqn: 4`rmkm/시], 원 모양의 산책로 한 바퀴를
속력 [eqn: pi {rm`km/시], 직선 모양의 산책로 [eqn: rm BE`]를 속력 [eqn: 4`rmkm/시]로 이동하였다.

을: 직선 모양의 산책로 [eqn: rm AB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCD], [eqn: rmDE`]를 따라 속력
[eqn: 5`rmkm/시]로 이동하였다.

갑과 을이 동시에 출발하여 갑이 을보다 [eqn: 2]시간 늦게 도착하였을 때, 두 지점 [eqn: rmA,~B] 사이의 거리는?
(단, [eqn: rmC]는 원의 중심이고, 산책로의 폭은 무시한다.) [3점]

① [eqn: {15} over {4}rm{km}]	② [eqn: 4`rm{km}]	③ [eqn: {17} over {4}rm{km}]	④ [eqn: {9} over {2}rm{km}]	⑤ [eqn: {19} over {4}rm{km}]

[eqn: rmA`]가 동전을 [eqn: 2]개 던져서 나온 앞면의 개수만큼 [eqn: rmB`]가 동전을 던진다. [eqn: rmB`]가 던져서 나온 앞면의 개수가 [eqn: 1]일 때, [eqn: rmA`]가 던져서 나온 앞면의 개수가 [eqn: 2]일 확률은? [3점]

① [eqn: { 1} over { 6}]	② [eqn: { 1} over { 5}]	③ [eqn: { 1} over { 4}]	④ [eqn: { 1} over { 3}]	⑤ [eqn: 1over2]

좌표평면에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 한 점근선에 평행하고

타원 [eqn: {x ^{2}} over {8a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 접하는 직선을 [eqn: l`]이라 하자.

원점과 직선 [eqn: l] 사이의 거리가 [eqn: 1`]일 때, [eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 19over2]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: { 21} over { 2}]	⑤ [eqn: 11]

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f(x)]는

[eqn: int _{ a} ^{b } {f(x)}`dx=3`,] [eqn: int _{a} ^{c} {f(x)} `dx=0]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F``(x)]라 할 때,   옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: F``(b)=F``(a)+3] ㄴ. 점 [eqn: left(`c`,```F``(c)right)`]는 곡선 [eqn: y=F``(x)`]의 변곡점이다. ㄷ. [eqn: -3<F``(a)<0`]이면 방정식 [eqn: F``(x)=0`]은 서로 다른 네 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 높이는 [eqn: 8]이다.

(나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면 [eqn: z=10]과 오직 한 점 [eqn: (0,``0,``10)`]에서 만난다.

이 원기둥의 한 밑면의 평면 [eqn: z=10] 위로의 정사영의 넓이는?
[4점]

① [eqn: { 139} over { 5} pi]	② [eqn: { 144} over { 5} pi]	③ [eqn: { 149} over { 5} pi]	④ [eqn: { 154} over { 5} pi]	⑤ [eqn: { 159} over { 5} pi]

[eqn: 2``]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y=log _{`3} `x`]의 그래프 위의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {1} over {n}]인 점을 [eqn: rm A _{itn}]이라 하자. 그래프 위의 점 [eqn: rm B _{itn}]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm C _{itn}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: rm C _{itn}]은 선분 [eqn: {rmA_{it n}B _{it n}]과 [eqn: x`]축의 교점이다.

(나) [eqn: bar{rm A _{itn} C _{itn} it} ```:` bar{rm C _{itn} B _{itn} it} =1``:`2]

점 [eqn: rm C _{itn}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{x _{n}} over {n^2}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: 1]

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]가

[eqn: (A+B``)(A ^{-1} +B ^{`-1} )=4E]

를 만족시킨다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A^-1`+B^{`-1}]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: A=E``]이면 [eqn: B=E``]이다. ㄷ. [eqn: AB = 1 over 2 E``]이면 [eqn: A^2 + B^{`2} = E``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =`- { 4} over { 9}]이고,

[eqn: 2 ^{n} `a _{n+1} -2 ^{n+1} `a _{n} `=`n`````` LEFT ( n GEQ1 RIGHT )]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_{ n}]을 구하는 과정이다.

주어진 식 [eqn: 2 ^{n} `a _{n+1} -2 ^{n+1} `a _{n} `=`n]의 양변을 [eqn: 2 ^{2n+1}]으로 나누면

[eqn: {a _{n+1}} over {2 ^{n+1}} - {a _{n}} over {2 ^{n}} =` {n } over {2^2n+1 }] ([eqn: n GEQ1])

이므로 [eqn: n GEQ 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {a _{n}} over {2 ^{n}} = {a _{1}} over {2} `+ sum _{k=1} ^{n-1} ` {k} over {2 ^{2k+1}}][eqn: ```cdots {cdots}`](*)

이다. 한편

[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} ` {k} over {2 ^{2k+1}} = {2} over {3} LEFT ( `` sum _{k=1} ^{n-1} ` {k} over {2 ^{2k}} - {1} over {4} sum _{k=1} ^{n-1} {k} over {2 ^{2k}} ` RIGHT )]

[eqn: = {2} over {3} LEFT { LEFT ( {1} over {4} + {2} over {4 ^{2}} + CDOTS + {n-1} over {4 ^{n-1}} RIGHT ) `- LEFT ( {1} over {4 ^{2}} + {2} over {4 ^{3}} + CDOTS + {n-1} over {4 ^{n}} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {2} over {3} LEFT ( ` sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {4 ^{k}} -{box{``(가)``} over {4 ^{n}} ` RIGHT )]

이므로 (*)에 의하여

[eqn: a _{n} `=`{BOX{``(나)``}}`` + {2 ^{n+1}} over {3} LEFT ( ` sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {4 ^{k}} - {BOX{``(가)``}} over {4 ^{n}} RIGHT )]

[eqn: =` -{3n+1} over {9 CDOT 2 ^{n-1} `}] ([eqn: n GEQ2])

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: `g(n)]이라 할 때, [eqn: {f(10)} TIMES g(5)]의 값은? [4점]

① [eqn: -64]	② [eqn: -56]	③ [eqn: -48]	④ [eqn: -40]	⑤ [eqn: -32]

정규분포 [eqn: rmN(10,``2^2`)]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 [eqn: n]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar{ X``}], 표준정규분포를 따르는 확률변수를 [eqn: Z``]라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: {rmV}(` bar{ X``} `)= 4over n] ㄴ. [eqn: {rmP}( `bar {X```} ``LEQ` 10-a ) ={rm P}( `bar{X ``}``GEQ 10+a)] ㄷ. [eqn: {rmP}( `bar{X``} `` GEQ `a )={rmP}(Z `leq b )]이면 [eqn: a + 2 over sqrtn b=10]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1,``2,``4]인 세 반원을 각각 [eqn: O _{1} ,` ` O _{2} ,`` O _{3} `]이라 하자.
세 점 [eqn: rm P _{ 1} ,``P _{ 2} ,``P _{ 3}]은 선분 [eqn: \OB] 위에서 동시에 출발하여 각각
세 반원 [eqn: O _{1} ,` ` O _{2} ,`` O _{3} `] 위를 같은 속력으로 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. [eqn: ANGLE rm BOP _{ 3} = theta]라 하고 삼각형 [eqn: rm ABP _{ 1}]의 넓이를 [eqn: S_{ 1}],

삼각형 [eqn: rm ABP _{ 2}]의 넓이를 [eqn: S_{ 2}], 삼각형 [eqn: rm ABP _{ 3}]의 넓이를 [eqn: S_{ 3}]이라

하자. [eqn: 3S_{ 3} = 2( S _{ 1} + S _{ 2} )]일 때, [eqn: cos ^{3} theta]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < { pi} over { 4}]) [4점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {3} over {4}]	④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

그림과 같이 점 [eqn: rmA(-2,``0)]과 원 [eqn: x^2 + y^2 = 4] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmAP]가 원 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = 1]과 두 점에서 만날 때

두 점 중에서 점 [eqn: rmP]에 가까운 점을 [eqn: rmQ]라 하자.

[eqn: rmANGLE OAP= theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> +0} { rm{bar{ PQ} over {theta ^{2}}]의 값은? [4점]

① [eqn: { 5} over { 2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over { 2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: { 9} over {2 }]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: g`prime(x) LEQ { 1} over {3 }]이다.

(나) [eqn: lim _{ x->3} { f(x)-g(x)} over { (x-3)g(x)}= { 8} over { 9}]

[eqn: f(1)]의 값은? [4점]

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]	④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

단 답 형

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가

[eqn: f(`x ^{3} )=2x ^{3} -x ^{2} +32x]

를 만족시킬 때, [eqn: f`prime(1)`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: rmA`]그릇에는 농도가 [eqn: 30]%인 소금물 [eqn: 10`rm{g}`]이 담겨 있고,
[eqn: rmB`]그릇에는 농도가 [eqn: 2]%인 소금물 [eqn: 50` rm{g}`]이 담겨 있다.
[eqn: rmA`]그릇에는 [eqn: x `rm{g}`]의 물을 넣고, [eqn: rmB`]그릇은 가열하여 [eqn: x` rm{g}`]의 물을 증발시킨 후 [eqn: 2x` rm{g}`]의 소금을 넣었다. [eqn: rmA`]그릇의 소금물 농도를 [eqn: f(x)], [eqn: rmB`]그릇의 소금물 농도를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: f(x)<g(x)`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]의 최솟값을 구하시오. [3점]

두 곡선 [eqn: y= {1} over {sqrt {x}}], [eqn: y= sqrt {{ln`x} over {x}}]와 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 [eqn: V`]이다. [eqn: { 100V} over { pi }]의 값을 구하시오. [3점]

닫힌 구간 [eqn: [`-1,~1`]]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(-x)=f(x)]

(나)[eqn: int _{0} ^{1} {} x ^{2} f(x)`dx= {1} over {10}]

[eqn: rm V it (`10X+3)]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 [eqn: rmO]이고 초점이 [eqn: rmF]인 포물선과 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하자. 선분 [eqn: rmAF]를 대각선으로 하는 정사각형의  한 변의 길이가 [eqn: 2]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: a`+ b sqrt { 2}]이다. [eqn: a^2`+b^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b]는 정수이다.) [4점]

좌표공간에서 구

[eqn: S:`(x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} +(z-1) ^{2} =4]

위를 움직이는 점 [eqn: rm P]가 있다. 점 [eqn: rm P]에서 구 [eqn: S`]에 접하는 평면이
구 [eqn: `x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =16]과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 [eqn: (a+b`sqrt {3} ) pi]이다. [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a,~b`]는 자연수이다.) [4점]

첫째항이 [eqn: 10]인 수열 [eqn: left{`a _{n} ` right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} <a _{n+1}],  [eqn: sum _{k=1} ^{n}(a_{k+1} - a_k )^2 = 2 left( 1- 1 over 9^n right)]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n->inf} `{a_n }]의 값을 구하시오. [4점]

좌표공간에서 네 점 [eqn: rmA _{0}], [eqn: rmA _{1}], [eqn: rmA_2], [eqn: rmA_3]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: | vec{rmA_0 A_2}| = |vec{rmA_1 A_3}| = 2]

(나) [eqn: {1} over {2} vec{rmA _{0} A _{3}} CDOT left( vec{rmA _{0} A _{itk}} - {1} over {2} vec{rmA _{0} A _{3}} right)=cos {3-k} over {3} pi] ([eqn: k=`1,``2,``3])

[eqn: | vec{rmA _{1} A _{2}} |]의 최댓값을 [eqn: M``]이라 할 때, [eqn: M``^2`]의 값을 구하시오. [4점]

좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 정사각형 중 두 함수 [eqn: y=log``3x`,~y=log``7x`]의 그래프와 모두 만나는 것의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표, [eqn: y`]좌표가 모두 자연수이고 한 변의 길이가 [eqn: 1]이다.

(나) 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 모두 [eqn: 100] 이하이다.

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.