수리 영역

2010

수능

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유웨이중앙교육 교육평가연구소 출제관리부  <<<

1. ⑤	2. ①	3. ①	4. ②	5. ②

6. ③	7. ①	8. ④	9. ③	10. ②

11. ④	12. ②	13. ③	14. ⑤	15. ④

16. ④	17. ③	18. 41	19. 6	20. 15

21. 14	22. 21	23. 19	24. 17	25. 20

미분과 적분

26. ③	27. ②	28. ④	29. ⑤	30. 64

확률과 통계

26. ③	27. ④	28. ②	29. ⑤	30. 157

이산수학

26. ①	27. ⑤	28. ③	29. ⑤	30. 89

1. 지수와 로그	⑤

정답

[eqn: 27^{1 over 3} +log_2 ``4 =(3^3 )^{1 over 3} + log_2 ``2^2]

[eqn: = 3+2=5]

2. 행렬	①

정답

[eqn: A=3E] (E는 단위행렬)이므로

[eqn: AB+2B=3B+2B]

[eqn: =5B]

[eqn: = left( -5 atop 5 `` 5 atop 5 right)]

따라서, 구하는 모든 성분의 합은 10이다.

3. 함수의 극한과 연속성	①

정답

[eqn: lim from {x`→`3} {rootx+a -b} over x-3 = 1 over 4]에서 [eqn: x`→`3]일 때

(분모) → 0이므로 (분자) → 0이어야 한다.

즉,[eqn: lim from {x`→`3} (rootx+a -b)=0]에서 [eqn: root3+a -b=0]

[eqn: ∴~b= root3+a]

[eqn: lim from {x`→`3} {rootx+a - root3+a} over x-3]

[eqn: = lim from {x`→`3} x-3 over {(x-3) left( {rootx+a + root3+a} right) }]

[eqn: = lim from {x`→`3} 1 over {rootx+a + root3+a}]

[eqn: = 1 over {2root3+a} = 1 over 4]

즉, [eqn: 2root{3+a} =4]에서 [eqn: root3+a =2]

∴ [eqn: a=1]

따라서, [eqn: b=root3+1 =2]이고 [eqn: a+b=3]

4. 이차곡선	②

정답

점 P(a, b)가 포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 점이므로

[eqn: b^2 =4a]	㉠

또, 점 P에서의 접선은 [eqn: by=2(x+a)]이므로 이 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점 Q의 좌표는 Q(-a, 0)

이때,[eqn: rm bar PQ =4root5]에서[eqn: rm bar PQ`^2 =80]

[eqn: 4a^2 +b^2 =80]

[eqn: 4a^2 +4a =80] (∵ ㉠)

[eqn: a^2 +a-20=0], [eqn: (a-4)(a+5)=0]

∴ [eqn: a=4] [eqn: (∵~a ＞ 0 )]

㉠에서 [eqn: b^2 =16]

∴ [eqn: a^2 +b^2 =16+16=32]

5. 공간도형과 공간좌표	②

정답

그림과 같이 점 P에서 직선 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면 [eqn: rm bar PA ⊥ alpha],[eqn: rm bar PH ⊥ bar BC]이므로 삼수선의 정리에 의해

[eqn: rm bar AH ⊥bar BC]이다.

이때, 점 H는[eqn: rm bar BC]의 중점이므로

[eqn: rm bar CH =3]

또, 삼각형 AHC는 직각이등변삼각형이므로[eqn: rm bar AH =3]

따라서, 삼각형 PHA에서

[eqn: rm bar PH = root{3^2 +4^2} =5]

6. 순열과 조합	③

정답

오늘 처리할 업무를 택하는 방법은 A, B를 제외한 4가지 업무 중 2가지를 택하는 조합이므로 4C2=6(가지)

택한 4가지 업무 중 A, B는 순서가 정해져 있으므로 이를 같은 업무로 생각하면 이 4가지 업무의 처리 순서를 정하는 경우의 수는

[eqn: 4! over 2! =12](가지)

따라서, 구하는 경우의 수는

6×12=72(가지)

7. 확률	①

정답

철수가 받은 전자우편이 ‘여행’을 포함할 사건을 A, 철수가 받은 전자우편이 광고인 사건을 B라 하자.

P(B)=P[eqn: (A∩B)]+P[eqn: (A^C ∩B)]

[eqn: = 1 over 10 × 1 over 2 + 9 over 10 × 1 over 5]

[eqn: = 1 over 20 + 9 over 50 = 23 over 100]

∴ P(A | B)[eqn: = rm {{P it (A∩B )} over { Ｐ it (B)}}]

[eqn: = 1 over 20 over {23 over 100} = 5 over 23]

8. 함수의 극한과 연속성	④

정답

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때, [eqn: -4x+4=0] [eqn: ∴~x=1]

즉, [eqn: f`(0)=1]

(ⅱ) [eqn: a≠0]일 때,

이차방정식 [eqn: ax^2 +2(a-2)x-(a-2)=0]의

판별식을 D라 하면

[eqn: D over 4 =(a-2)^2 +a(a-2)=2(a-1)(a-2)]

즉, 이 이차방정식은 [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=2]일 때 중근을 갖고, [eqn: 1＜a＜2]일 때 실근을 갖지 않고, [eqn: a＜1] 또는 [eqn: a＞2]일 때 서로 다른 두 실근을 갖는다.

따라서, 함수 [eqn: f`(a)]는

[eqn: f`(0)=f`(1)=f`(2)=1],

[eqn: 1＜a＜2]일 때 [eqn: f`(a)=0],

[eqn: a＜0] 또는 [eqn: 0＜a＜1] 또는 [eqn: a＞2]일 때 [eqn: f`(a)=2]

ㄱ. (거짓)[eqn: lim from {a`→`0} f`(a)=2], [eqn: f`(0)=1]

[eqn: lim from {a`→`0} f`(a) ≠f`(0)]

ㄴ. (참)[eqn: lim from {a`→`c+0} f`(a)≠lim from {a`→`c-0} f`(a)]를 만족하는 c는 1, 2의 2개이다.

ㄷ. (참) 함수 [eqn: f`(a)]가 불연속인 점은 [eqn: a=0], [eqn: a=1], [eqn: a=2]일 때의 3개이다.

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

9. 확률분포와 통계적 추정	③

정답

[eqn: m-40 over 3σ =0.8]에서

[eqn: m-40=2.4σ]	㉠

공장에서 생산하는 병의 내압강도를 확률변수 X라 하면 임의로 추출한 한 개의 병이 불량품일 확률은

P[eqn: (X＜40)=]P[eqn: left (Z＜ 40-m over σ right)]

=P[eqn: (Z＜-2.4)]　(∵　㉠)

=0.5-P[eqn: (0≦Z≦2.4)]

=0.5-0.4918

=0.0082

10. 지수와 로그	②

정답

[eqn: Q_Ａ over Q_Ｂ = {0.01t`^1.25 w^0.25 } over {0.05t`^0.75 w^0.30}]

[eqn: = 1 over 5 t`^0.5 w ^-0.05]

이때, [eqn: t=20], [eqn: w=8]이므로

[eqn: Q_Ａ over Q_Ｂ = 1 over 5 20^0.5 `8^-0.05]

[eqn: =5^-1 (5^0.5 ․2^1 )2^-0.15]

[eqn: =5^-0.5 ×2^0.85]

∴ [eqn: a+b=0.85-0.5=0.35]

11. 방정식과 부등식	④

정답

[eqn: f`(x)+g(x) = 1 over {f`(x)} + 1 over g(x)]

양변에 [eqn: f`(x)g(x)]를 곱하여 정리하면

[eqn: left{f`(x)right}^2 g(x)+ f`(x) left{g(x)right}^2 -g(x)-f`(x)][eqn: =0]

[eqn: left{f`(x)g(x) -1right} left{f`(x)+g(x)right}=0]

∴ [eqn: f`(x)g(x) = 1] 또는 [eqn: f`(x)=-g(x)]

먼저, [eqn: f`(x)=-g(x)]에서 [eqn: f`(x)≠0], [eqn: g(x)≠0]이므로 실근의 개수는 2이다.

[eqn: f`(x)g(x) = 1]에서 [eqn: f`(x)= 1 over g(x)]이고 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: (2, `0)]을 지나고, 기울기가 음수이므로 [eqn: g(x)=k(x-2)(k＜0)]로 나타낼 수 있다.

따라서, [eqn: f`(x)= 1 over g(x)]에서 [eqn: f`(x)= 1 over k(x-2)]

이때, [eqn: 1＜g(0)]에서 [eqn: 1＜-2k]이다.

따라서, [eqn: y= 1 over k(x-2)]에서 [eqn: x=0]일 때,

[eqn: y= 1 over -2k]이고, [eqn: - 1 over 2k ＜1]이다.

따라서, 그림에서 방정식 [eqn: f`(x)= 1 over g(x)]의 실근의 개수는 2이다.

따라서, 구하는 실근의 개수는 4이다.

12. 순열과 조합	②

정답

[eqn: n=m]일 때, 등식

mCk

[eqn: SUM from k=0 to m {} over {~~~~~} = m+5 over 5]

m+4Ck

가 성립한다고 가정하자. [eqn: n=m+1]일 때,

m+1Ck     m+1C0     m+1C1

[eqn: SUM from k=0 to m+1 {} over {~~~~~} = {~~~~~} over {} + {~~~~~} over {}]

m+5Ck     m+5C0     m+5C1

m+1C2

[eqn: + {} over {~~~~~} +…]

m+5C2

m+1Ck+1

[eqn: = ~1 ~+SUM from k=0 to m {} over {~~~~~~~}]

m+5Ck+1

이다. 자연수 [eqn: l`]에 대하여

l +1Ck+1=[eqn: (l+1)! over {(k+1)!(l-k)!}]

[eqn: = l+1 over k+1 ․ l! over {k!(l-k)!}]

[eqn: = l+1 over k+1 ⋅] l Ck (0≦k≦l`)

이므로

m+1Ck+1                  mCk

[eqn: SUM from k=0 to m {} over {~~~~~~~} = ``m+1 over m+5 ․ SUM from k=0 to m {} over {~~~~~}]

m+5Ck+1                  m+4Ck

이다. 따라서

m+1Ck                       mCk

[eqn: SUM from k=0 to m+1 {} over {~~~~~} =``1``+ ``m+1 over m+5 ․ SUM from k=0 to m {} over {~~~~~}]

m+5Ck                       m+4Ck

[eqn: = 1+ m+1 over m+5 ⋅ m+5 over 5]

[eqn: = m+6 over 5]

이다.

그러므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

13. 행렬	③

정답

[eqn: B^-1 (BA)^2 B = B^-1 BABAB]

[eqn: =ABAB]

[eqn: =(AB)^2]

∴ [eqn: (AB)^2 =B^-1 left(1 atop 1 `` 1 atop 2 right) B]

[eqn: = 1 over 1 × left( 1 atop -1 `` 0 atop 1 right) left(1 atop 1 `` 1 atop 2 right) left(1 atop 1 `` 0 atop 1 right)]

[eqn: =left(1 atop 0 `` 1 atop 1 right) left(1 atop 1 `` 0 atop 1 right)][eqn: =left(2 atop 1 `` 1 atop 1 right)]

14. 벡터	⑤

정답

ㄱ. (참)[eqn: rm bar AB],[eqn: rm bar AE]를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형 ABFE에서[eqn: rm bar AF]와[eqn: rm bar BE]의 교점이 M이므로

[eqn: rm vec AM = 1 over 2 vec AF]

[eqn: = 1 over 2 rm (vec AB + vec AE )]

ㄴ. (참) 그림에서[eqn: rm vec AD`']//[eqn: rm vec ED],[eqn: rm vec AC`']//[eqn: rm vec BC]일 때, 두 벡터[eqn: rm vec BC],[eqn: rm vec ED]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 두 벡터 [eqn: rm vec AC`'],[eqn: rm vec AD`']이 이루는 각의 크기도 [eqn: theta]이다.

또, 두 벡터[eqn: rm vec AB],[eqn: rm vec AE]가 이루는 각의 크기는

[eqn: (90°-theta)+theta+(90°-theta)=180°-theta]

즉,

[eqn: rm vec AB ∙ vec AE =|vec AB `|․|vec AE `| cos (180°-theta)]

[eqn: rm = |vec AB `|․|vec AE `| (-cos theta)]

[eqn: rm = |vec BC `|․|vec ED `| (-cos theta)]

(∵[eqn: rm bar AB = bar BC],[eqn: rm bar AE = bar ED]`)

[eqn: rm =-vec BC ∙ vec ED]

ㄷ. (참) [eqn: rm |vec BC + vec ED `|^2]

[eqn: rm = |vec BC `|^2 +2․ vec BC ∙ vec ED +|vec ED `|^2]

[eqn: rm |vec BE `|^2 = |vec AE - vec AB `|^2]

[eqn: rm = |vec AE `|^2 -2․ vec AE ∙ vec AB +|vec AB `|^2]

이때, [eqn: rm |vec BC `|^2 = |vec AB `|^2], [eqn: rm |vec ED `|^2 = |vec AE `|^2]이고

ㄴ에서[eqn: rm vec AB ∙ vec AE =- vec BC ∙ vec ED]이므로

[eqn: rm |vec BC + vec ED `|^2 = rm |vec BE `|^2]

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

15. 수열의 극한	④

정답

원 O1의 반지름의 길이는 3이고 부채꼴 A1B1D1의 반지름의 길이는

[eqn: rm bar {A_1 B_1 } = bar {A_1 C_2 }=3root2]	㉠

이므로

[eqn: T_1 =S_1]

=[eqn: 1 over 2 ×](원 O1의 넓이)

-{(부채꼴 B1C1D1의 넓이)

-(삼각형 B1C1D1의 넓이)}

[eqn: = 1 over 2 × 3^2 pi - left{ 1 over 4 × (3root2 )^2 pi - 1 over 2 ⋅ left(3 root2 `right) ^2 right}]

[eqn: = 9]

∴ [eqn: S_1 +T_1 =18]

한편,[eqn: rm bar {C_2 C_1} =bar {A_1 C_1} - bar {A_1 C_2}]

[eqn: =6-3root2] (∵ ㉠)

∴[eqn: rm bar {A_2 C_2} =bar {A_1 C_1} -2× bar {C_2 C_1}]

[eqn: =6-2(6-3root2 )]

[eqn: =6root2 -6]

따라서, 원 O2의 반지름의 길이는

[eqn: 1 over 2 rm bar {A_2 C_2 } = 1 over 2 × (6root2 -6) =3root2 -3]

두 원 O1과 O2의 반지름의 길이의 비가

[eqn: {3root2 -3} over 3 = root2 -1]이므로 수열 [eqn: left{S_n + T_n right}]은 공비가 [eqn: (root2 -1)^2 =3-2root2]인 등비수열이다.

∴ [eqn: SUM from n=1 to inf (S_n + T_n ) = 18 over {1-(3-2root2 )}]

[eqn: = 18 over {2root2 -2}]

[eqn: = 9 over {root2 -1}]

[eqn: = 9(root2 +1)]

고난도

16. 지수함수와 로그함수	④

정답

[eqn: y=|log_2 ``x | =CASES{ log_2 x ``~````(x≧1) # -log_2 x ``(0＜x＜1)}]

ㄱ. (거짓) [eqn: x= 1 over 4]일 때,[eqn: y=-log_2 `` 1 over 4 =2]이므로 곡선 [eqn: y=|log_2`` x`|]는 점 [eqn: left( 1 over 4 ,~2 right)]를 지난다.

위의 그림에서 [eqn: y=-x+2]와 [eqn: y=|log_2 x`|]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표인 [eqn: a_2]는 [eqn: 1 over 4]보다 크다. 즉,

[eqn: a_2 ＞ 1 over 4]

ㄴ. (참)

위의 그림에서 [eqn: y=-x+n]과 [eqn: y=|log_2 x`|]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표인 [eqn: a_n]은 [eqn: y=-x+n+1]과 [eqn: y=|log_2 x`|]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표인 [eqn: a_n+1]보다 크다.

∴ [eqn: a_n+1 ＜a_n]

∴ [eqn: 0 ＜ a_n+1 over a_n ＜1]

ㄷ. (참)

위의 그림에서 [eqn: log_2 `` b_n ＜log_2 ``n]

∴ [eqn: n-log_2 ``b_n ＞n-log_2 ``n]	㉠

이때, [eqn: -b_n +n=log_2 `b_n]에서

[eqn: n-log_2 ``b_n =b_n]	㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b_n ＞n-log_2 ``n]

한편, 위의 그림에서 [eqn: b_n ＜n]이므로

[eqn: n- log_2`` n ＜b_n ＜n]

위의 부등식을 자연수 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: 1- {log_2 ``n} over n ＜ b_n over n ＜1]

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

17. 다항함수의 미분법	③

정답

ㄱ. (참) [eqn: g(x+2)=g(x)]이므로 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 [eqn: -1≦x＜1]일 때의 함수 [eqn: f`(x)]의 그래프가 주기적으로 반복된다.

한편, [eqn: f`(-1)=f`(1)]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 연속이다.

또한, [eqn: -1＜x＜1]에서 [eqn: f`(x)]는 다항함수이므로 미분가능하고, [eqn: f`'(-1)=f`'(1)]이므로 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

ㄴ. (거짓) [반례] [eqn: f`(x)=(x-1)^2 (x+1)^2]이라 하면

[eqn: f(-1)=f`(1)=0]

[eqn: f`'(-1)=f`'`(1)=0]

이므로 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지만

[eqn: f`'(0)f`'(1)=0]

ㄷ. (참) [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: f`'(1)＞0]이므로

[eqn: f`'(-1)＞0]

한편, [eqn: f(x)=x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+d]라 하면

[eqn: f`'(x)=4x^3 +3ax^2 +2bx+c]이고

[eqn: lim from {x`→`-inf} f`(x) =-inf ＜0]이므로 중간값의 정리에 의하여 구간 [eqn: (-inf , ~ -1)]에 [eqn: f`'(c)=0]인 c가 존재한다.

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

18. 다항함수의 미분법	41

정답

[eqn: f`(x)=(x^2 +1)(x^2 +x-2)]에서

[eqn: f`'(x)=2x(x^2 +x-2)+(x^2 +1)(2x+1)]

[eqn: =4x^3 +3x^2 -2x+1]

∴ [eqn: f`'(2)=4․2^3 +3․2^2 -2․2+1=41]

19. 방정식과 부등식	6

정답

[eqn: root{x^2 -7x+15} = x^2 -7x+9]에서

[eqn: root{x^2 -7x+15} = t `(t＞0)]로 치환하면

[eqn: t=t`^2 -6]

[eqn: t`^2 -t-6=0]

[eqn: (t-3)(t+2)=0]

∴ [eqn: t=3] 또는 [eqn: t=-2]

∴ [eqn: t=3] (∵ [eqn: t＞0)]

따라서, [eqn: root{x^2 -7x+15} =3]에서 양변을 제곱하면

[eqn: x^2 -7x+15=9]

[eqn: x^2 -7x+6=0]

[eqn: (x-1)(x-6)=0]

∴ [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=6]

따라서, 구하는 모든 실근의 곱은

[eqn: 1×6=6]

20. 벡터	15

정답

구하는 평면이 직선 [eqn: x-2 over 2 = y-2 over 3 =z-1]에 수직이므로 평면의 법선벡터는 직선의 방향벡터 (2, 3, 1)과 일치한다.

또한, 구하는 평면은 점 (1, -5, 2)를 지나므로

[eqn: 2(x-1)+3(y+5)+(z-2)=0]

[eqn: 2x+3y+z+11=0]

∴ [eqn: a=3], [eqn: b=1], [eqn: c=11]

∴ [eqn: a+b+c=3+1+11=15]

21. 다항함수의 적분법	`14

정답

[eqn: x_k = k over n]이므로

[eqn: A_k = 1 over n ․f`(x_k )= 1 over n f`left(k over n right)]

[eqn: A_1 +A_n = 1 over n left{f`(x_1 )+f(x_n ) right}]

[eqn: = 1 over n left{left(1 over n right)^2 + a over n +b+1+a+b right}]

[eqn: = 1 over n^3 left{1+an+(1+a+2b)n^2 right}]

[eqn: = {7n^2 +1} over n^3]

에서 [eqn: a=0], [eqn: 1+a+2b=7]

[eqn: ∴~a=0], [eqn: b=3]    [eqn: ∴~f`(x)=x^2 +3]

따라서, [eqn: A_k = 1 over n left{left(k over n right)^2 +3 right}]이므로

[eqn: lim from {n`→`inf} SUM from k=1 to n 8k over n A_k]

[eqn: = 8 lim from {n`→`inf } SUM from k=1 to n k over n ․ 1 over n left{ left(k over n right)^2 +3 right}]

[eqn: = 8 int from 0 to 1 x(x^2 +3) dx]

[eqn: = 8 left[ 1 over 4 x^4 + 3 over 2 x^2 right]_0^1]

[eqn: = 8 left(1 over 4 + 3 over 2 right) = 14]

22. 수열	21

정답

그림에서

[eqn: x_n+1 = 1 over x_n +1]

이므로

[eqn: x_2 = 1 over x_1 +1]

[eqn: = 1 over 2 +1][eqn: = 3 over 2]

[eqn: x_3 = 1 over x_2 +1 = {2 over 3} +1 = 5 over 3]

[eqn: x_4 = 1 over x_3 +1 = 3 over 5} +1 = 8 over 5]

[eqn: x_5 = 1 over x_4 +1 = 5 over8} +1 = 13 over 8]

∴ [eqn: p+q=8+13=21]

23. 수열	19

정답

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a_2 =ar = 1 over 2]	㉠

[eqn: a_5 =ar^4 = 1 over 6]	㉡

㉡÷㉠을 하면 [eqn: r^3 = 1 over 3]

[eqn: ∴~r = ^3 root {1 over 3}]	㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

[eqn: a={`^3root3} over 2]

[eqn: a_n a_n+1 a_n+2 = ar^n-1 ․ar^n ․ar^n+1]

[eqn: =a^3 r^3n]

[eqn: = 3 over 8 ․ left(1 over 3 right)^n]

[eqn: SUM from n=1 to inf a_n a_n+1 a_n+2 = 1 over 8 over {1- 1 over 3} = 3 over 16]

∴ [eqn: p+q=16+3=19]

고난도

24. 다항함수의 적분법	17

정답

[eqn: f`(x)=x^3 -3x-1]에서

[eqn: f`'(x)=3x^2 -3]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=±1]

[eqn: f`(-1)=1], [eqn: f`(1)=-3]이므로 [eqn: y=|f`(x)|]의 그래프는 그림과 같다.

∴ [eqn: g(t`)=CASES{1~~~~~````(-1≦t≦0)#-f`(t`)~(0≦t≦1)}]

∴ [eqn: int from -1 to 1 g(t`)dt = int from -1 to 0 1dt + int from 0 to 1 -f`(t`)dt]

[eqn: =left[t` right]_-1^0 + int from 0 to 1 (-t`^3 +3t+1)dt]

[eqn: =-(-1)+left[- 1 over 4 t`^4 + 3 over 2 t^2 + t right]_0^1]

[eqn: =1+left(- 1 over 4 + 3 over 2 +1 right)= 13 over 4]

∴ [eqn: p+q=4+13=17]

고난도

25. 공간도형과 공간좌표	20

정답

그림에서 평면 [eqn: alpha]가 구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 =1]과 만나서 생기는 도형의 [eqn: xy] 평면 위로의 정사영 위의 임의의 한 점의 좌표를 P(a, [eqn: root 1-a^2 cos theta`,~0)]이라 하면

[eqn: a+3root1-a^2 cos theta -2 ≦0]

이어야 하므로

[eqn: 3root1-a^2 cos theta ≦2-a]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: (1+9 cos^2 theta`) a^2 -4a+4-9 cos^2 theta ≧0]

[eqn: -1≦a≦1]에서 항상 성립해야 하므로 방정식

[eqn: (1+9 cos^2 theta`) a^2 -4a+4-9 cos^2 theta =0]

의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over 4 =4-(1+9 cos^2 theta) (4-9 cos^2 theta)≦0]

[eqn: 81 cos^4 theta -27cos^2 theta ≦0]

∴ [eqn: cos^2 theta ≦ 1 over 3]

∴ [eqn: 60M^2 =60․ 1 over 3 =20]

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26. 삼각함수	③

정답

[eqn: tan theta =-root2]이므로

[eqn: sin theta = root6 over 3 ~ left(∵~ pi over 2 ＜theta ＜pi right)]

∴ [eqn: sin theta ``tan 2 theta = sin theta ․ {2 tan theta} over {1- tan^2 theta}]

[eqn: = root 6 over 3 ․ {2(-root2 )} over {1-(-root2 )^2 }]

[eqn: = {4root3} over 3]

27. 미분법	②

정답

[eqn: y'=e^x]에서 [eqn: y'_x=1 = e]이므로 점 (1, e)에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-e=e(x-1)]

∴ [eqn: y=ex]

이 직선과 곡선 [eqn: y=2rootx-k]가 접하므로

[eqn: ex=2rootx-k]

양변을 제곱하면

[eqn: e^2 x^2 =4(x-k)]

방정식 [eqn: e^2 x^2 =4(x-k)] 즉,

[eqn: e^2 x^2 -4x+4k=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over 4 =4-e^2 ․ 4k=0]

[eqn: k= 1 over e^2]

28. 함수의 극한	④

정답

그림에서 △AOP가 이등변삼각형이므로

∠POQ=[eqn: 2theta]

∴ P(cos[eqn: 2theta], sin[eqn: 2theta])

점 P를 지나는 접선의 방정식은

[eqn: cos 2theta x+sin 2theta y=1]

∴ Q[eqn: left( 1 over {cos 2theta} , ~0 right)]

∴[eqn: rm bar PQ - bar OQ]

[eqn: = root{left (cos 2 theta - 1 over cos2theta right)^2 + sin^2 2theta}]

[eqn: - 1 over {cos 2theta}]

[eqn: = root{1- 2 + 1 over {cos^2 2theta} } - 1 over cos2theta]

[eqn: = root{sec^2 2theta -1} - 1 over {cos 2theta}]

[eqn: = tan 2theta - 1 over {cos 2theta}]

[eqn: = {sin 2theta-1} over {cos 2theta}]

한편 [eqn: theta- pi over 4 =t]라 하면 [eqn: theta = pi over 4 +t]이므로

[eqn: {sin 2theta-1} over {cos 2theta} = {sin left(pi over 2 +2t right)-1} over {cos left(pi over 2 +2t right)}]

[eqn: = {cos 2t-1} over {-sin 2t}]

[eqn: = {-2 sin^2 t} over {-sin 2t}]

[eqn: = {2 sin^2 t} over {sin 2t}]

∴ [eqn: lim from {theta`→` pi over 4 -0} rm {bar PQ - bar OQ} over {theta- pi over 4}]

[eqn: = lim from {t`→` -0} {{2 sin^2 t} over {sin 2t}} over t]

[eqn: =2 lim from {t`→` -0} {sin^2 t} over t^2 ․ 2t over {sin 2t} ․ 1 over 2]

[eqn: =1]

29. 적분법	⑤

정답

ㄱ. (참)

[eqn: int from 0 to 1 left{f`'(x)g(1-x)-g'(x)f`(1-x)right} dx=k]

……… ㉠

에서 [eqn: 1-x=t]로 놓으면 [eqn: -dx=dt]이고,

[eqn: x=0]이면 [eqn: t=1], [eqn: x=1]이면 [eqn: t=0]이므로

㉠에서

[eqn: -int from 1 to 0 left{f`'(1-t)g(t`)-g'(1-t)f`(t`) right}dt=k]

[eqn: int from 1 to 0 left{g'(1-t)f`(t`)-f`'(1-t)g(t`) right}dt=k]

[eqn: int from 0 to 1 left{f`(x)g'(1-x)-g(x)f`'(1-x) right}dx][eqn: =-k]

ㄴ. (참) [eqn: int from 0 to 1 left{f``'(x)g(1-x)-g'(x)f`(1-x) right}dx]

[eqn: = left[f`(x)g(1-x)right]_0^1 + int from 0 to 1 f`(x)g'(1-x)dx]

[eqn: - {left { left[g(x)f`(1-x)right]_0^1 + int from 0 to 1 g(x)f`'(1-x)dx right}}]

[eqn: =2 left{ f`(1)g(0)-f`(0)g(1)right}]

[eqn: + int from 0 to 1 left{f`(x)g'(1-x)-g(x)f`'(1-x)right} dx]

[eqn: =2 left{ f`(1)g(0)-f`(0)g(1)right}-k]

∴ [eqn: 2k=2left{f`(1)g(0)-f`(0)g(1) right}]	㉡

이때, [eqn: f`(0)=f`(1)], [eqn: g(0)=g(1)]이므로

[eqn: k=0]

ㄷ. (참) [eqn: g(0)=sin 0 =0], [eqn: g(1)=sin pi =0]이므로 ㉡에서 [eqn: 2k=0]

∴ [eqn: k=0]

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

30. 적분법	64

정답

[eqn: dx over dt = 4(-sin t +cos t )]

[eqn: dy over dt = -2 sin 2t]

이므로 곡선의 길이 [eqn: l`]은

[eqn: l= int from 0 to 2pi root{ left ( dx over dt right) ^2 +left ( dy over dt right) ^2 }``dt]

[eqn: = int from 0 to 2pi root{16(1-sin 2t )+4 sin^2 ``2t} `dt]

[eqn: = int from 0 to 2pi 2(2-sin 2t) dt]

[eqn: = left[4t + cos 2t right]_0^2pi]

[eqn: =8pi +1-1]

[eqn: =8pi]

∴ [eqn: a^2 =8^2 =64]

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26. 자료의 정리와 요약	③

정답

자료를 크기 순서대로 다시 나열해 보면

2, 7, 8, 10, 17, 20, 25, 28

이다.

따라서, [eqn: x]를 포함하여 자료의 개수는 9개이므로

(ⅰ) [eqn: 0≦x≦10]일 때, 중앙값은 10이다.

(ⅱ) [eqn: 10＜x＜17]일 때, 중앙값은 [eqn: x]이다.

(ⅲ) [eqn: x≧17]일 때, 중앙값은 17이다.

따라서, 그래프의 개형으로 알맞은 것은 ③이다.

27. 확률변수와 확률분포	④

정답

한 모둠에서 남학생만 2명이 선택될 확률를 구해 보면

[eqn: rm {`_3 C_2} over {`_5 C_2} = 3 over 10]

모두 10개의 모둠이 있으므로 [eqn: X]는 이항분포

B[eqn: left(10,~ 3 over 10 right)]을 따른다.

∴ E[eqn: (X)= 10․ 3 over 10 =3]

28. 확률	②

정답

쿠폰을 모두 4장을 받을 확률을 구해보면

(ⅰ) A：1, B：1, C：2

[eqn: 2 over 3 × 1 over 2 × 1 over 3 = 1 over 9]

(ⅱ) A：1, B：2, C：1

[eqn: 2 over 3 × 1 over 3 × 4 over 9 = 8 over 81]

(ⅲ) A：2, B：1, C：1

[eqn: 1 over 3 × 1 over 2 × 4 over 9 = 2 over 27]

∴ [eqn: 1 over 9 + 8 over 81 + 2 over 27 = 23 over 81]

이때, B 코스에서 2장을 받은 확률은 (ⅱ)에서 [eqn: 8 over 81]이므로 구하는 확률은

[eqn: {8 over 81} over {23 over 81} = 8 over 23]

29. 확률변수와 확률분포	⑤

정답

동물 A의 이 부위의 길이를 확률변수 [eqn: X], 동물 B의 이 부위의 길이를 확률변수 [eqn: Y]라 하자.

동물 A의 화석을 동물 A의 화석으로 판단할 확률은

P[eqn: (X＜d`) =]P[eqn: left (Z＜ d-10 over 0.4 right)]	㉠

동물 B의 화석을 동물 B의 화석으로 판단할 확률은

P[eqn: (Y≧d`) =]P[eqn: left (Z≧ d-12 over 0.6 right)]	㉡

㉠, ㉡이 같아야 하므로

[eqn: d-10 over 0.4 + d-12 over 0.6 =0]

[eqn: d-10 over 0.4 = - d-12 over 0.6]

[eqn: 0.6d-6=-0.4d +4.8]

∴ [eqn: d=10.8]

30. 통계적 추정	157

정답

도시 A에서 고속버스를 택한 사람의 비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 표본비율이 [eqn: 20 over 100 =0.2]이므로

[eqn: left[0.2-1.96 root{0.2×0.8 over 100 }],

[eqn: 0.2+1.96 root{0.2×0.8 over 100 }right]]

[eqn: = left[0.2-0.0784], [eqn: 0.2+0.0784 right]]

∴ [eqn: b-a=2×0.0784=0.1568]

또한, 도시 B에서 고속버스를 택한 사람의 비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간의 최대 허용 표본오차는

[eqn: 1.96 root{1 over 4n}]이므로

[eqn: 1.96 root{1 over 4n } ≦ b-a over 2]

[eqn: 1.96 root{1 over 4n } ≦ 0.0784]

[eqn: root{1 over 4n } ≦ 0.04]

[eqn: 1 over 4n ≦ 0.0016]

[eqn: 4n ≧ 1 over 0.0016]

[eqn: 4n ≧ 625]

∴ [eqn: n ≧ 156.25]

[eqn: n]은 사람 수이므로 [eqn: n]의 최솟값은 157이다.

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26. 알고리즘	①

정답

[eqn: a_3 =2a_2 +a_1 =10+2=12]

[eqn: a_4 =2a_3 +a_2 =24+5=29]

[eqn: a_5 =2a_4 +a_3 =58+12=70]

27. 선택과 배열	⑤

정답

A, B, C 3명의 아이에게 사탕 5개를 1개 이상씩 나누어 주는 경우를 먼저 생각하면

A   B   C

(ⅰ)  1    1    3

(ⅱ)  1    3    1

(ⅲ)  3    1    1

(ⅳ)  1    2    2

(ⅴ)  2    1    2

(ⅵ)  2    2    1

(ⅰ)～(ⅲ)의 경우 1개의 사탕을 받은 아이에게만 초콜릿 5개를 1개 이상 씩 나누어 주는 경우는 (1, 4), (2, 3),

(3, 2), (4, 1)의 4가지이므로 경우의 수는

3×4=12

(ⅳ)～(ⅵ)의 경우는 1개의 사탕을 받은 아이가 1명이므로 그 아이가 초콜릿 5개를 모두 가진다.

따라서, 구하는 경우의 수는

12+3=15

28. 그래프	③

정답

통로를 변이라 생각하고, 모든 통로를 지나서 다시 S에 도착하려면 오일러회로가 존재해야 한다.

따라서, 모든 꼭짓점의 차수가 짝수인 것을 찾으면 ③이다.

29. 그래프	⑤

정답

ㄱ. (거짓) 그래프 G는 변이 꼭짓점에서만 만나게 평면 위에 다시 그릴 수 없으므로 평면그래프가 아니다.

ㄴ. (참) 그래프 G에서 해밀턴회로를 찾아보면

A → E → F → C →

B → D → A

가 있으므로 해밀턴회로를 갖는다.

ㄷ. (참) 위의 그래프 G에서 A, B, F에 1가지 색, D, E, C에 또 다른 1가지 색을 사용하면 되므로 꼭짓점을 적절하게 색칠할 수 있는 최소의 색의 수는 2이다.

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

30. 의사 결정과 최적화	89

정답

설치용량당 가치가 높은 것부터 차례로 설치하여 누적 가치가 15점 이상이 되면서 설치용량이 최소가 되려면 G, F, E, D, B를 설치하면 된다.

따라서, 최소한의 용량 a는

25+24+20+15+5=89

나 형

1. ⑤	2. ①	3. ①	4. ⑤	5. ④

6. ③	7. ①	8. ③	9. ③	10. ②

11. ③	12. ②	13. ③	14. ④	15. ④

16. ④	17. ②	18. 12	19. 10	20. 14

21. 20	22. 21	23. 19	24. 108	25. 50

26. ②	27. ①	28. ⑤	29. ①	30. 16

[1~2] 가형과 동일

3. 수열의 극한	①

정답

[eqn: lim from { n `->` inf } {(n+1)(3n-1)} over {2n^2 +1} = lim from { n `->` inf } {3n^2 +2n-1} over {2n^2 +1}]

[eqn: = lim from { n `->` inf } {3+ 2 over n - 1 over n^2 } over {2+ 1 over n^2 }]

[eqn: = 3 over 2]

4. 지수함수와 로그함수	⑤

정답

[eqn: 2^x +2^2-x =5]에서 [eqn: 2^x =t`(t＞0)]라 하면

[eqn: t+ 4 over t =5]

[eqn: t^2 -5t+4=0]

[eqn: (t-1)(t-4)=0]

∴ [eqn: t= 1] 또는 [eqn: t=4]

∴ [eqn: x= 0] 또는 [eqn: x=2]

따라서, 모든 실근의 합은

[eqn: 0+2=2]

5. 확률	④

정답

P(A)=P(B)이고, P(A)P(B)[eqn: = 1 over 9]이므로

P(A)=P(B)[eqn: = 1 over 3]

(∵ 0≦P(A)≦1, 0≦P(B)≦1)

한편, 두 사건 A와 B는 서로 배반사건이므로

P(A∩B)[eqn: = 0]

∴ P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

[eqn: = 1 over 3 + 1 over 3 -0]

[eqn: = 2 over 3]

[6~7] 가형과 동일

8. 확률분포와 통계적 추정	③

정답

E(X )[eqn: = 0․ 2 over 7 + 1 ․ 3 over 7 + 2․ 2 over 7 =1]

V(X )[eqn: = left (0^2 ․ 2 over 7 + 1^2 ․ 3 over 7 + 2^2 ․ 2 over 7 right)-1^2]

[eqn: = 4 over 7]

∴ V(7X )[eqn: = 7^2]V(X )[eqn: = 49× 4 over 7 =28]

[9~10] 가형과 동일

11. 지수함수와 로그함수	③

정답

주어진 연립방정식이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖기 위해서는 행렬 [eqn: left ( {5-log_2 ``a} atop 3 ~ 2 atop {log_2``a} right )]가 역행렬을 가져서는 안된다.

∴ [eqn: (5-log_2 ``a) log_2 ``a-6=0]

[eqn: log_2`` a =t`]라 하면

[eqn: (5-t)t-6=0]

[eqn: t^2 -5t+6=0]

[eqn: (t-2)(t-3)=0]

∴ [eqn: t= 2] 또는 [eqn: t=3]

∴ [eqn: a= 4] 또는 [eqn: a=8]

따라서, 구하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: 4+8=12]

[12~13] 가형과 동일

14. 순열과 조합	④

정답

A 인형의 셔츠의 모양을 정하는 경우의 수는

3가지

B 인형의 셔츠의 모양은 A 인형의 셔츠의 모양과 다르므로 B 인형의 셔츠의 모양을 정하는 경우의 수는

2가지

마찬가지로 A 인형과 B 인형의 바지의 모양을 정하는 경우의 수는 각각 3가지와 2가지

한편, A 인형의 셔츠와 바지의 색이 서로 다르므로 셔츠와 바지의 색은 (빨강, 초록), (초록, 빨강)의 2가지

마찬가지로 B 인형의 셔츠와 바지의 색을 정하는 경우의 수는 2가지

따라서, A 인형에게 셔츠와 바지를 입히고 색을 정하는 경우의 수는

(3×3)×2=18(가지)

B 인형에게 셔츠와 바지를 입히고 색을 정하는 경우의 수는

(2×2)×2=8(가지)

따라서, 구하는 경우의 수는

18×8=144(가지)

[15~16] 가형과 동일

17. 지수와 로그	②

정답

[eqn: left( n over 10 right)^10]이 소수 여섯째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나므로 [eqn: log left( n over 10 right)^10]의 지표가 -6이다.

[eqn: -6≦log left(n over 10 right)^10 ＜-5]

[eqn: -6≦ 10(log`` n-1) ＜-5]

[eqn: -0.6≦ log`` n-1 ＜-0.5]

[eqn: 0.4≦log`` n ＜0.5] …………………………………㉠

이때, [eqn: log``2=0.3010]이고, [eqn: log``4 =0.6020]이므로

[eqn: log`` 2＜log`` n ＜log``4]

따라서, ㉠을 만족시키는 10보다 작은 자연수 [eqn: n]은

[eqn: n=3]

18. 수열	12

정답

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a_2 +a_4 =(a+d`)+(a+3d`)=8]

∴ [eqn: a+2d=4]　	㉠

[eqn: a_7 =a+6d=52]　	㉡

㉠과 ㉡을 연립하면

[eqn: a=-20], [eqn: d=12]

따라서, 수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차는 12이다.

19. 순열과 조합	10

정답

[eqn: (1+x)^n]의 전개식의 일반항은

nCr xr (단, 0≦r≦n)

이므로 [eqn: x^2]의 계수는

nC2=45

[eqn: n(n-1) over 2 =45]

[eqn: n(n-1)=90]

∴ [eqn: n=10]

20. 지수함수와 로그함수	14

정답

[eqn: log_2 ``x ≦log_4 ``(12x+28)]에서

[eqn: log_2 ``x ≦ 1 over 2 log_2 ``(12x+28)]

[eqn: 2log_2 ``x ≦ log_2 ``( 12x+28)]

[eqn: log_2 ``x^2 ≦ log_2 ``( 12x+28)]

[eqn: x^2 ≦12x+28]

[eqn: x^2 -12x-28≦0]

[eqn: (x-14)(x+2)≦0]

∴ [eqn: -2≦x≦14]

그런데, 로그의 진수의 조건에 의해 [eqn: x＞0]이므로

[eqn: 0＜x≦14]

따라서, 구하는 자연수 [eqn: x]의 개수는 14이다.

21. 확률분포와 통계적 추정	20

정답

확률밀도함수의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이어야 하므로

[eqn: 1 over 2 ․1․a+ 1 over 2 ․3․3a=1]

[eqn: 5a=1]

∴ [eqn: a= 1 over 5]

∴ P(0≦X≦2)=2P(0≦X≦1)

[eqn: =2 left ( 1 over 2 ․1․ 1 over 5 right)]

[eqn: = 1 over 5]

∴ 100P(0≦X≦2)[eqn: = 100․ 1 over 5 =20]

[22~23] 가형과 동일

24. 수열	108

정답

세 수 [eqn: a^n], [eqn: 2^4 ×3^6], [eqn: b^n]이 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: (2^4 ×3^6 )^2 =a^n b^n =(ab)^n]

[eqn: 2^8 ×3^12 =(ab)^n]

이때, [eqn: ab]의 값이 최소가 되려면 자연수 [eqn: n]의 값이 최대가 되어야 한다. 그런데, 2와 3이 서로소이므로 [eqn: n]의 값은 8과 12의 최대공약수인 4이다.

∴ [eqn: (ab)^n = (2^2 ×3^3 )^4 =108^4]

따라서, [eqn: ab]의 최솟값은 108이다.

25. 수열의 극한	50

정답

수열 [eqn: left{a_2n right}]에서 [eqn: n=1], 2, 3 …을 구하기 위해 정사각형의 최대 개수를 직접 세어 보면

[eqn: a_2 =4^2 -2^2 =12]

[eqn: a_4 =8^2 -4^2]

[eqn: a_6 =12^2 -6^2]

⋮

∴ [eqn: a_2n = left(2 ÷ 1 over 2n right)^2 - left(1÷ 1 over 2n right)^2]

[eqn: = (4n)^2 - (2n)^2]

[eqn: =12n^2]

또한, 수열 [eqn: left{a_2n+1 right}]의 일반항도 구해보면

[eqn: a_3 =(3^2 -2^2 )×4=20]

[eqn: a_5 = (5^2 - 3^2 )×4]

[eqn: a_7 = (7^2 -4^2 )×4]

⋮

[eqn: a_2n+1 = left{ (2n+1)^2 -(n+1)^2 right} ×4]

[eqn: = (3n^2 +2n) ×4]

[eqn: =12n^2 +8n]

∴ [eqn: lim from {n`→`inf} {a_2n+1 -a_2n} over {a_2n - a_2n-1}]

[eqn: = lim from {n`→`inf} {(12n^2 +8n)-12n^2} over {12n^2 - left{12(n-1)^2 +8(n-1) right}}]

[eqn: = lim from {n`→`inf} {8n} over {16n-4} = 1 over 2 = c]

∴ [eqn: 100c=100× 1 over 2 =50]

26. 수열	②

정답

[eqn: a_n+1 - a_n =2n]이므로

[eqn: a_n = a_1 + SUM from k=1 to n-1 `2k]

[eqn: = a_1 + 2 × {(n-1)n} over 2]

[eqn: =a_1 +n^2 -n]

이때, [eqn: a_10 =94]이므로

[eqn: a_1 +10^2 -10=94]

∴ [eqn: a_1 =94-90=4]

27. 확률분포와 통계적 추정	①

정답

문제의 조건에 의해 확률변수 [eqn: bar X]는 정규분포

N[eqn: left(50,~ 2^2 over 9 right)], 즉 N[eqn: left(50,~ left(2 over 3 right)^2 right)]을 따르므로

P[eqn: (49 ≦ bar X ≦51)]

=P[eqn: left( 49-50 over {2 over 3} ≦ Z ≦ 51-50 over {2 over 3} right)]

=P[eqn: left( - 3 over 2 ≦ Z ≦ 3 over 2 right)]

=2P[eqn: (0 ≦ Z ≦ 1.5)]

=2×0.4332

=0.8664

28. 행렬	⑤

정답

ㄱ. (거짓) [반례] [eqn: A= left(-1 atop 0 `` 0 atop 1 right)], [eqn: B= left(0 atop -1 `` 0 atop 0 right)]이면

[eqn: (A+B)^2 = left(-1 atop -1 `` 0 atop 1 right) ^2 = left(1 atop 0 `` 0 atop 1 right)]

[eqn: (A-B)^2 = left(-1 atop 1 `` 0 atop 1 right) ^2 = left(1 atop 0 `` 0 atop 1 right)]

이지만

[eqn: AB = left(-1 atop 0 `` 0 atop 1 right) left(0 atop -1 `` 0 atop 0 right) = left(0 atop -1 `` 0 atop 0 right) ≠ O]

ㄴ. (참) [eqn: (ABA)^2 = (ABA)(ABA)]

[eqn: =ABA^2 BA]

[eqn: =ABEBA] (∵ [eqn: A^2 =E])

[eqn: =AB^2 A]

[eqn: =ABA] (∵ [eqn: B^2 =B])

ㄷ. (참) [eqn: A(A+E)=E]에서 [eqn: A^-1 =A+E] ⋯⋯㉠

또한, [eqn: AB=-E]에서 [eqn: A(-B)=E]

∴ [eqn: A^-1 = -B]	㉡

㉠과 ㉡이 같으므로

[eqn: -B=A+E]

위의 식의 양변을 제곱하면

[eqn: B^2 =(A+E)^2 =A^2 +2A+E]

[eqn: =A(A+E)+A+E]

[eqn: =E+A+E] (∵ [eqn: A(A+E) =E])

[eqn: =A+2E]

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

29. 확률	①

정답

첫 번째와 두 번째 나온 수의 합이 4이려면

[eqn: 4=2+2] 또는 [eqn: 4=1+3] 또는 [eqn: 4=3+1]

또, 세 번째 나온 수가 홀수이려면 1 또는 3의 수가 나와야 한다.

따라서, 다음의 세 가지 경우가 가능하다.

(ⅰ) (2, 2, 1 또는 3)인 경우

[eqn: 2 over 6 × 2 over 6 × 4 over 6 = 16 over 216]

(ⅱ) (1, 3, 1 또는 3)인 경우

[eqn: 3 over 6 × 1 over 6 × 4 over 6 = 12 over 216]

(ⅲ) (3, 1, 1 또는 3)인 경우

(ⅱ)의 경우와 마찬가지로 [eqn: 12 over 216]

(ⅰ)～(ⅲ)에서 구하는 확률은

[eqn: 16 over 216 + 12 over 216 + 12 over 216][eqn: = 40 over 216 = 5 over 27]

30. 수열	16

정답

두 수열 [eqn: left{ S_2n-1 right}]과 [eqn: left{ S_2n right}]은 각각 공차가 -3과 2인 등차수열이므로

[eqn: S_2n-1 =S_1 +(n-1)(-3)]

[eqn: S_2n =S_2 +(n-1)×2]

그런데, [eqn: S_1 =a_1]이고 [eqn: S_2 =a_1 +a_2 =a_1 +1]이므로

[eqn: S_2n-1 =a_1 - 3n+3]

[eqn: S_2n =(a_1 +1)+2n-2 =a_1 +2n-1]

따라서, 구하는 [eqn: a_8]의 값은

[eqn: a_8 = S_8 - S_7]

[eqn: =(a_1 +2․4-1)-(a_1 -3․4+3)]

[eqn: =a_1 +7 -a_1 +9]

[eqn: =16]