• 수학 영역 [A형] •

수학 A형 정 답

1	③	2	①	3	②	4	④	5	③
6	①	7	③	8	②	9	⑤	10	③
11	①	12	⑤	13	④	14	②	15	⑤
16	⑤	17	④	18	③	19	②	20	①
21	④	22	16	23	18	24	11	25	125
26	27	27	32	28	30	29	35	30	25

해 설

1. [출제의도] 지수법칙 계산하기

[eqn: 9 ^{{1} over {2}} TIMES 3 ^{-1} `=(3 ^{2} ) ^{{1} over {2}} TIMES {1} over {3} =3 TIMES {1} over {3} =1]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈 계산하기

[eqn: A=B+E= {pmatrix{```````1&`````2`#-1&`````1`}} + {pmatrix{1&`````0#0&`````1}} = {pmatrix{```````2&`````2#-1&`````2}}]

3. [출제의도] 행렬의 성분 계산하기

[eqn: a _{ij} =i+3j`]이므로 [eqn: a _{21} =2+ LEFT ( 3 TIMES 1 RIGHT ) =5`]이다.

4. [출제의도] 행렬의 연산 추론하기

[eqn: (A+B) ^{2} =A ^{2} +AB+BA+B ^{2} = {pmatrix{`````````2&```````````2`#`-1&```-1`}}]이고

[eqn: A ^{2} +B ^{2} = {pmatrix{``0&``-2`#``1&~``````3`}}]이므로

[eqn: AB+BA & =(A+B) ^{2} -(A ^{2} +B ^{2} )# & = {pmatrix{`````````2&```````````2`#`-1&```-1`}} - {pmatrix{``0&``-2`#``1&~``````3`}}# & = {pmatrix{````````2&````````````4`#-2&```-4`}}]

이다. 따라서 [eqn: AB+BA= {pmatrix{````````2&````````````4`#-2&```-4`}}]이다.

5. [출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x+1} LEQ LEFT ( {1} over {8} RIGHT ) ^{x-1} `]에서 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x+1} LEQ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3x-3} `]이다.

밑 [eqn: {1} over {2} `]이 [eqn: 1`]보다 작으므로

[eqn: 2x+1 GEQ 3x-3`]

이다. 그러므로 [eqn: x LEQ 4`]이다.

따라서 부등식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x+1} LEQ LEFT ( {1} over {8} RIGHT ) ^{x-1} `]을 만족시키는

자연수가 [eqn: 1,```2,```3,```4`]이므로 자연수 [eqn: x`]의 합은

[eqn: 1+2+3+4=10`]이다.

6. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 이해하기

[eqn: A= {pmatrix{``2``&``-1``#`3&``-2``}} `]에 대하여	[eqn: A ^{2} = {pmatrix{``2``&``-1``#`3&``-2``}} ` {pmatrix{``2``&``-1``#`3&``-2``}} = {pmatrix{``1``&``0``#`0&``1``}} =E`]이다.

[eqn: A ^{2} =E`]의 양변에 행렬 [eqn: A`]를 곱하면 [eqn: A ^{3} =A`]이다.

그러므로 [eqn: A ^{2} +A ^{3} =E+A`]에서 [eqn: A+E= {pmatrix{``3``&``-1#3&```-1}}]이다.

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 4`]이다.

7. [출제의도] 거듭제곱근 이해하기

[eqn: -3`]의 거듭제곱근 중 실수는 없으므로

[eqn: f _{2} (-3)=0`]이다.

[eqn: -2`]의 세제곱근 중 실수는 [eqn: root {3} of {-2}] 오직 한 개이므로

[eqn: f _{3} (-2)=1`]이다.

[eqn: 5`]의 네제곱근 중 실수는 [eqn: root {4} of {5}], [eqn: - root {4} of {5}]로 두 개이므로

[eqn: f _{4} (5)=2`]이다.

따라서 [eqn: f _{2} (-3)+f _{3} (-2)+f _{4} (5)=3`]이다.

8. [출제의도] 행렬과 연립일차방정식 이해하기

[eqn: A= {pmatrix{a&b#c&d}} `]라 하자.

식 [eqn: A {pmatrix{`1`#`0`}} = {pmatrix{`2`#`3`}} `]에 [eqn: A= {pmatrix{a&b#c&d}} `]를 대입하여 정리하면

[eqn: A {pmatrix{1#0}} = {pmatrix{a&b#c&d}} ` {pmatrix{1#0}} = {pmatrix{2#3}} `]에서 [eqn: {pmatrix{a#c}} = {pmatrix{2#3}} `]이므로 [eqn: a=2,```c=3`]이다. 같은 방법으로 식 [eqn: A {pmatrix{0#1}} = {pmatrix{-1#```````2}} `]에 [eqn: A= {pmatrix{a&b#c&d}} `]를 대입하여 정리하면 [eqn: A {pmatrix{0#1}} = {pmatrix{a&b#c&d}} ` {pmatrix{0#1}} = {pmatrix{-1#````````2}} `]에서 [eqn: ` {pmatrix{b#d}} = {pmatrix{-1#````````2}} `]이므로 [eqn: b=`-1,```d=2`]이다.

[eqn: a=2,```b=`-1`], [eqn: c=3,```d=2`]이므로 [eqn: A= {pmatrix{2&`````-1#3&``````````````2`}} `]이다.

[eqn: A {pmatrix{`1`#`2`}} = {pmatrix{`p`#`q`}}]에서 [eqn: A {pmatrix{1#2}} = {pmatrix{2&`````-1#3&``````````````2`}} `` {pmatrix{1#2}} = {pmatrix{0#7}}= {pmatrix{`p`#`q`}}]이므로

[eqn: p=0,```q=7`]이다. 따라서 [eqn: p+q=7]이다.

[다른풀이 1]

두 등식 [eqn: A {pmatrix{1#0}} = {pmatrix{2#3}} `], [eqn: A {pmatrix{0#1}} = {pmatrix{-1#````````2`}} `]를 행렬의 곱셈과

연관지어 보면 등식

[eqn: A {pmatrix{`1&`````0`#`0&`````1`}} = {pmatrix{2&`````-1#3&``````````````2`}} `]

이 성립함을 알 수 있다. 따라서 [eqn: A= {pmatrix{2&`````-1#3&``````````````2`}} `]이다.

[eqn: A {pmatrix{`1`#`2`}} = {pmatrix{`p`#`q`}}]에서 [eqn: A {pmatrix{1#2}} = {pmatrix{2&`````-1#3&``````````````2`}} `` {pmatrix{1#2}} = {pmatrix{0#7}}= {pmatrix{`p`#`q`}}]이므로

[eqn: p=0,```q=7`]이다. 따라서 [eqn: p+q=7]이다.

[다른풀이 2]

행렬의 성질에 의해

[eqn: A {pmatrix{1#2}} & =A {pmatrix{1#0}} +A {pmatrix{0#2}} & =A {pmatrix{1#0}} +2A {pmatrix{0#1}}# & = {pmatrix{2#3}} +2 {pmatrix{-1#```````2}} & = {pmatrix{2#3}} + {pmatrix{-2#````````4}} = {pmatrix{0#7}} = {pmatrix{`p`#`q`}}]

이므로 [eqn: A {pmatrix{1#2}} = {pmatrix{0#7}}]이다. 그러므로 [eqn: p=0,```q=7`]이다.

따라서 [eqn: p+q=7]이다.

9. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

행렬 [eqn: M`]이 아래와 같으므로

행렬 [eqn: M`]이 나타내는 그래프는 다음과 같다.

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \D]

[eqn: \E]

따라서 그래프 [eqn: G`]에서 추가해야 할 변은 [eqn: rmDE`]이다.

10. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 계산하기

조건 (가)를 변형하면

[eqn: (B-3E)A=E`]

이다. 역행렬의 정의에 의해 [eqn: A ^{-1`} =B-3E`]이고,

정리하면 [eqn: B=A ^{-1} +3E`]이다.

조건 (나)에서 행렬 [eqn: A ^{-1} `]의 모든 성분의 합이 [eqn: 15`]이고 단위행렬 [eqn: E`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2`]이므로 행렬 [eqn: B`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 15+3 TIMES 2=21`]이다.

(참고)

행렬 [eqn: A+B`]의 모든 성분의 합은

(행렬 [eqn: bold{A`]의 성분의 합)[eqn: +](행렬 [eqn: bold{B`]의 성분의 합)

이다.

11. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 추론하기

[eqn: A+B=E`]에서 [eqn: A=E-B`]이다.

[eqn: LEFT ( E-A RIGHT ) LEFT ( E-B RIGHT ) =E`]에 [eqn: E-B`=A]를 대입하여 정리하면

[eqn: LEFT ( E-A RIGHT ) LEFT ( E-B RIGHT ) = LEFT ( E-A RIGHT ) A=`-A ^{2} +A=E`]

이다. 정리하면 [eqn: A ^{2} -A+E=O`]이고 양변에 행렬 [eqn: A+E`]를 곱하면

[eqn: LEFT ( A+E RIGHT ) LEFT ( A ^{2} -A+E RIGHT ) =O`]

이다. 따라서 [eqn: A ^{3} +E=O] 이고 [eqn: A ^{3} =`-E`]이다.

같은 방법으로 [eqn: LEFT ( E-A RIGHT ) LEFT ( E-B RIGHT ) =E`]에 [eqn: B=E-A`]을 대입하여 정리하면

[eqn: B ^{3} =`-E`]

이다. 따라서 [eqn: A ^{6} +B ^{6} =(A ^{3} ) ^{2} +(B ^{3} ) ^{2} =E+E=2E`]이다.

그러므로 [eqn: A ^{6} +B ^{6} `]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4`]이다.

[다른풀이]

조건을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 추론한다.

[eqn: LEFT ( E-A RIGHT ) LEFT ( E-B RIGHT ) =E`- LEFT ( A+B RIGHT ) +AB=E`]이므로

[eqn: A+B=AB=E`]이고

[eqn: AB=BA]

이다. 또한

[eqn: A ^{2} +B ^{2} = LEFT ( A+B RIGHT ) ^{2} -2AB=E-2E=`-E`]

[eqn: A ^{4} +B ^{4} = LEFT ( A ^{2} +B ^{2} RIGHT ) ^{2} -2A ^{2} B ^{2} =E-2E=`-E`]

이므로

[eqn: A ^{6} +B ^{6} & =(A ^{4} +B ^{4} )(A ^{2} +B ^{2} )-A ^{2} B ^{2} LEFT ( A ^{2} +B ^{2} RIGHT )# &# & =(-E) ^{2} -E(-E)=2E`]

이다. 그러므로 모든 성분의 합은 [eqn: 4`]이다.

12. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활 문제 해결하기

먼저 주어진 등식 [eqn: T _{i} V _{i} ^{```` gamma `-1} =T _{f} V _{f} ^{``` gamma `-1}]에 기체몰 열용량 비 [eqn: gamma = 5 over3]를 대입하여 정리하면

[eqn: T _{i} V _{i} ^{```` {5} over {3} `-1} =T _{f} V _{f} ^{``` {5} over {3} `-1}]

[eqn: T _{i} V _{i} ^{```` {2} over {3}} =T _{f} V _{f} ^{``` {2} over {3}}]

이다. 문제의 조건에서 [eqn: T _{i} =480``], [eqn: V _{i} =5`]이고

[eqn: T _{f} =270`]이므로 각각을 [eqn: T _{i} V _{i} ^{```` {2} over {3}} =T _{f} V _{f} ^{``` {2} over {3}}]에 대입하여 정리하면

[eqn: 480 TIMES 5 ^{{2} over {3}} `=`270 TIMES V _{f} ^{{2} over {3}}]

[eqn: 16 TIMES 5 ^{{2} over {3}} `=`9 TIMES V _{f} ^{{2} over {3}}]

[eqn: V _{f} ^{{2} over {3}} = {16} over {9} TIMES 5 ^{{2} over {3}}]

[eqn: V _{f} ^{} = LEFT ( {16} over {9} RIGHT ) ^{{3} over {2}} TIMES LEFT ( 5 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{{3} over {2}}]

[eqn: V _{f} ^{} = {64} over {27} TIMES 5= {320} over {27}]

13. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: y=2^x]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3}]

[eqn: \P]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: x= {5} over {2}]

함수 [eqn: y=2 ^{x} `]에 [eqn: x= {5} over {2} `]를 대입하면

[eqn: y=2 ^{{5} over {2}} =2 ^{2} ·2 ^{{1} over {2}} =4 sqrt {2} `]

이고 함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} `]에 [eqn: x= {5} over {2} `]를 대입하면

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{5} over {2} -3} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{- {1} over {2}} =2 ^{{1} over {2}} = sqrt {2} `]

이다. 따라서 두 점 [eqn: rmA,```B`]의 좌표는

[eqn: rmA LEFT ( {5} over {2} ,```4 sqrt {2} RIGHT ) ,````B LEFT ( {5} over {2} ,``` sqrt {2} RIGHT ) `]이므로 선분 [eqn: rmAB`]의 길이는

[eqn: 4 sqrt {2} - sqrt {2} =3 sqrt {2} ``]이다.

14. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 문제 해결하기

먼저 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `], [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} `]이 만나는 점 [eqn: rmP`]의 [eqn: x`]좌표를 지수방정식을 이용하여 구하자.

[eqn: 2 ^{k} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-3}]

[eqn: 2 ^{k} =2 ^{3-k} `]

[eqn: k=`3-k`]

에서 [eqn: k= {3} over {2} `]이다.

행렬 [eqn: M= {pmatrix{``x+ {3} over {2}&&```````y``#`y&&-x- {3} over {2} `}} `]에서

[eqn: M ^{``2} & = {pmatrix{``x+ {3} over {2}&&```````y``#`y&&-x- {3} over {2} `}} {pmatrix{``x+ {3} over {2}&&```````y``#`y&&-x- {3} over {2} `}}# & = {pmatrix{`` LEFT ( x+ {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +y ^{2}&&```````0``#`0&&` LEFT ( x+ {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} `}} = {pmatrix{`1`````&0`#`0`````&1`}} `]

이므로 도형 [eqn: C`]는 [eqn: LEFT ( x+ {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =1`]인 원이다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: - {5} over {2}]

[eqn: - {3} over {2}]

[eqn: - {1} over {2}]

도형 [eqn: C``] 위의 점에서 원점 [eqn: rm O`]까지의 거리의 최댓값은

원점 [eqn: rmO`]에서 점 [eqn: LEFT ( - {5} over {2} ,```0 RIGHT ) `]까지의 거리이다.

따라서 최댓값은 [eqn: {5} over {2} `]이다.

15. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 실생활 문제 해결하기

그릇 [eqn: A`]에 들어 있는 물의 양의 [eqn: {1} over {2} `]을 그릇 [eqn: B`]에 부은 후에 두 그릇 [eqn: A,```B`]에 들어 있는 물의 양은 각각

[eqn: {1} over {2} a`], [eqn: {1} over {2} a+b`]

이다. 그릇 [eqn: B`]에 들어 있는 물의 양의 [eqn: {1} over {3} `]을 그릇 [eqn: A`]에 부은 후에 두 그릇 [eqn: A,```B`]에 들어 있는 물의 양은 각각

[eqn: {1} over {2} a+ {1} over {3} LEFT ( {1} over {2} a+b RIGHT )], [eqn: {2} over {3} LEFT ( {1} over {2} a+b RIGHT )]

이다. 이 과정을 시행한 후 두 그릇에 들어 있는 물의 양이 각각 [eqn: 200`](ml), [eqn: 300`](ml)이므로

[eqn: 200= {1} over {2} a+ {1} over {3} LEFT ( {1} over {2} a+b RIGHT ) = {2} over {3} a+ {1} over {3} b`],

[eqn: 300= {2} over {3} LEFT ( {1} over {2} a+b RIGHT ) = {1} over {3} a+ {2} over {3} b`]

이다. 이를 행렬을 이용하여 나타내면

[eqn: LEFT ( {matrix{200#300}} RIGHT ) = {1} over {3} LEFT ( {matrix{`2&`````1`#`1&`````2`}} RIGHT ) LEFT ( {matrix{a#b}} RIGHT ) `` CDOTS CDOTS ``①]

이고 행렬 [eqn: {1} over {3} LEFT ( {matrix{`2&`````1`#`1&`````2`}} RIGHT ) `]의 역행렬 [eqn: LEFT ( {matrix{`````````2&`````-1`#`-1&`````````````2`}} RIGHT ) `]을 [eqn: ①`]의 양변의 왼쪽에 각각 곱하면

[eqn: LEFT ( {matrix{a#b}} RIGHT ) = LEFT ( {matrix{`````````2&`````-1`#`-1&`````````````2`}} RIGHT ) LEFT ( {matrix{200#300}} RIGHT )]

이다. 따라서 [eqn: LEFT ( {matrix{``s&`````t``#``t&`````s``}} RIGHT ) = LEFT ( {matrix{`````````2&`````-1`#`-1&`````````````2`}} RIGHT ) `]이므로

[eqn: s=2`], [eqn: t=`-1`]이다. 그러므로 [eqn: 10s+t=19``]이다.

16. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: B ^{2} =A+E``]를 [eqn: B ^{4} =A+2E``]에 대입하면

[eqn: (A+E) ^{2} =A+2E`]이다. 따라서 [eqn: A ^{2} +A=E`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: B ^{`2} -A`=E```]에서 [eqn: B` LEFT ( B ^{`2} -A RIGHT ) =B`]이므로

[eqn: BA=B ^{3} `-B``]이다. 같은 방법으로 [eqn: ` LEFT ( B ^{`2} -A RIGHT ) `B=B`]이므로 [eqn: AB=B ^{3} `-B``]이다. 따라서 [eqn: AB=BA`]이다.(참)

ㄷ. [eqn: A ^{2} +A=E`]에서 [eqn: A(A+E)=E``]이고 [eqn: B ^{`2} =A+E`]이므로 [eqn: AB ^{2} =E`]이다. 따라서 [eqn: AB`]의 역행렬은 [eqn: B`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른풀이]

ㄷ. [eqn: A ^{2} +A=E`]이므로 [eqn: A`]는 역행렬을 가진다.

한편, [eqn: A=B ^{2} -E`]를 [eqn: B ^{4} =A+2E`]에 대입하여 정리하면 [eqn: B ^{4} -B ^{2} =E`], 즉,	[eqn: B LEFT ( B ^{3} -B RIGHT ) =E`]이다. 그러므로 [eqn: B`]도 역행렬을 가진다. 따라서 행렬 [eqn: AB`]의 역행렬이 존재한다. (참)

17. [출제의도] 지수법칙을 이용한 거듭제곱근 추론하기

[eqn: alpha =` root {3``} of {2+ sqrt {5}}], [eqn: beta = root {3``} of {2- sqrt {5}} ``]라 두면

[eqn: alpha beta & = root {3``} of {2+ sqrt {5}} root {3``} of {2- sqrt {5}} = root {3``} of {(2+ sqrt {5} )(2- sqrt {5} )}# & = root {3``} of {-1} = {BOX{`-1~}}]

이다. [eqn: alpha + beta =x``]라 하면

[eqn: ( alpha + beta ) ^{3} = alpha ^{3} +3 alpha ^{2} ` beta `+3 alpha beta ^{`2} + beta ` ^{3}]을 이용하여

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +3x-4=0`]을 얻을 수 있다.

[eqn: x ^{3} +3x-4=0`]

[eqn: (x-1)(x ^{2} +x+4)=0`]

에서 이 방정식의 실근은 [eqn: x=1`]뿐이므로 [eqn: alpha + beta =1`]이다.

따라서 [eqn: alpha + beta =1`]과 [eqn: alpha beta = {BOX{~~-1~~}}]인 실수 [eqn: alpha ``],[eqn: `beta `]를

두 근으로 하는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차방정식은 [eqn: {BOX{``x ^{2} -x-1=0`}}]이다. 이 이차방정식의 두 근 [eqn: alpha ``],[eqn: `beta `]가 [eqn: beta <0< alpha ``]이므로 [eqn: ` root {3``} of {2+ sqrt {5}} ``= {BOX{` {1+ sqrt {5}} over {2}}}]이다.

따라서 [eqn: a=`-1`], [eqn: b= {1+ sqrt {5}} over {2} `]이므로

[eqn: a+10b=`-1+10 LEFT ( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT ) =4+5 sqrt {5} `]이다.

18. [출제의도] 지수함수의 그래프와 지수방정식 이해하기

[eqn: rm {bar{BP}} `:` {bar{PE}} `=`1`:`3`]이므로 점 [eqn: rm A,```C`]의 좌표를 각각

[eqn: rm A( it a,````0),```` rm C( it 4a,````0)]이라 하면 점 [eqn: rmP`]의 좌표는 [eqn: ( it a,``2` ^{a} )]이다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: rm A itLEFT (a`,~0 RIGHT )]

[eqn: \B]

[eqn: \D]

[eqn: \E]

[eqn: \F]

[eqn: rm P it LEFT ( a`,~2 ^{a} RIGHT )]

[eqn: y=2^x]

[eqn: rm C it LEFT ( 4a`,~0 RIGHT )]

[eqn: 3 sqrt {2}]

직사각형 [eqn: rm PFDB`]의 넓이는 [eqn: 3 sqrt {2} a]이고 직사각형

[eqn: rm PACE`]의 넓이는 [eqn: 3a·2` ^{a}]이다. 직사각형 [eqn: rm PACE`]의

넓이는 직사각형 [eqn: rm PFDB`]의 넓이의 [eqn: 2`]배이므로

[eqn: 3a·2` ^{a} =3 sqrt {2} a TIMES 2], [eqn: 2 ^{a} =2 sqrt {2}]  [eqn: THEREFORE ``a= {3} over {2}]

점 [eqn: rm E`]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 4a=4 TIMES {3} over {2} =6`]이다.

[다른풀이]

[eqn: □` rm PFDB``:``□` rm PACE`=`1``:``2`]이고 [eqn: rm {bar{BP}} `:` {bar{PE}} `=`1`:`3`]이므로

[eqn: rm {bar{PF}} `:` {bar{CE}} `=`1`:` {2} over {3} `]

이다. [eqn: rm {bar{PF}} `=`3 sqrt {2}]이므로

[eqn: rm {bar{CE}} = {2} over {3} TIMES 3 sqrt {2} =2 sqrt {2} `]

이다. 점 [eqn: rmP`]의 좌표를 [eqn: ( it a,``2` ^{a} )]이라 하면 [eqn: rm {bar{CE}} =it2 ^{a} `]이므로 [eqn: 2 sqrt {2} =2 ^{a} `]이고 [eqn: a= {3} over {2} `]이다.

따라서 점 [eqn: rm E`]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 4a=4 TIMES {3} over {2} =6`]이다.

19. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \P]

[eqn: y=a^x]

[eqn: rm C]

[eqn: {pi } over {6}]

그림의 직각삼각형 [eqn: rm AOC`]에서 [eqn: {bar{rmOA}} =1`]이고

[eqn: ANGLE rm AOC= {pi } over {6} `]이므로

[eqn: {bar{rm AC it}} = {1} over {2} `], [eqn: {bar{rm OC it}} = {sqrt {3}} over {2} `]

이다. 따라서 점 [eqn: rmA`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( - {1} over {2} ,``` {sqrt {3}} over {2} ` RIGHT ) `]이므로 [eqn: y=a ^{x}`]에서 [eqn: {sqrt {3}} over {2} =a ^{- {1} over {2}} `]이고 [eqn: a= {4} over {3} `]이다.

[다른풀이]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \P]

[eqn: y=a^x]

[eqn: {2} over {3} pi]

[eqn: rm ANGLE APB= {pi } over {12} `]에서 원주각과 중심각의 관계에 의해

[eqn: rm ANGLE AOB= {pi } over {6}`]이므로 점 [eqn: \A`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: cos {2} over {3} pi =`- {1} over {2} `],

[eqn: y`]좌표는 [eqn: sin {2} over {3} pi= {sqrt {3}} over {2}`]이다. [eqn: y=a ^{x}`]에서 [eqn: {sqrt {3}} over {2} =a ^{- {1} over {2}} `]이고 [eqn: a= {4} over {3} `]이다.

20. [출제의도] 지수함수의 그래프 추론하기

[eqn: y]

[eqn: a]

[eqn: \O]

[eqn: 29]

[eqn: 27]

[eqn: 25]

[eqn: c]

[eqn: x]

[eqn: b]

[eqn: y=9 ^{x}]

[eqn: y=8 ^{x}]

[eqn: y=7 ^{x}]

[eqn: (3 ^{a} ) ^{2} =9 ^{a} =25], [eqn: 7 ^{b} =29], [eqn: 8 ^{c} =27`]이고 [eqn: 25<27<29`]에서

[eqn: 9 ^{a} <8 ^{c} <7 ^{b}]이므로 그림에서 세 양수 [eqn: a,```b,```c`]의

대소 관계는 [eqn: a<c<b`]이다.

[다른풀이]

(i) [eqn: 3 ^{a} =5`]과 [eqn: 7 ^{b} =29]의 비교

[eqn: (3 ^{a} ) ^{2} =9 ^{a} =25], [eqn: 7 ^{b} =29]에서

[eqn: 9 ^{a} -7 ^{b} =25-29<0`]

[eqn: 9 ^{a} <7 ^{b} `], [eqn: 9 ^{a} <7 ^{b} `<9 ^{b} `]

이므로 [eqn: 9 ^{a} <9 ^{b} `]이다. 따라서 [eqn: a<b`]이다.

(ii) [eqn: 7 ^{b} =29]과 [eqn: 8 ^{c} =27]의 비교

[eqn: 7 ^{b} =29], [eqn: 8 ^{c} =27]에서

[eqn: 8 ^{c} -7 ^{b} =27-29<0`]

[eqn: 8 ^{c} <7 ^{b} `], [eqn: 8 ^{c} <7 ^{b} `<8 ^{b} `]

이므로 [eqn: 8 ^{c} <8 ^{b} `]이다. 따라서 [eqn: c<b`]이다.

(iii) [eqn: 3 ^{a} =25]와 [eqn: 8 ^{c} =27]의 비교

[eqn: (3 ^{a} ) ^{2} =9 ^{a} =25], [eqn: 8 ^{c} =27]에서

[eqn: 9 ^{a} -8 ^{c} =25-27<0`]

[eqn: 9 ^{a} <8 ^{c} `], [eqn: 9 ^{a} <8 ^{c} `<9 ^{c} `]

이므로 [eqn: 9 ^{a} <9 ^{c} `]이다. 따라서 [eqn: a<c`]이다.

따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 [eqn: a<c<b`]이다.

21. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 문제 해결하기

행렬 [eqn: ` {pmatrix{2+2t-bt````&`t+1#at-a&2}}]가 역행렬을 갖기 위해서는

모든 실수 [eqn: t]에 대해

[eqn: 2(2+2t-bt)-(t+1)(at-a)`!=0]

즉, [eqn: at ^{2} `+2(b-2)t-4-a` != 0]이 성립해야 한다.

(i) [eqn: a=0`]인 경우

모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: 2(b-2)t-4` != 0]이 성립해야 하므로 [eqn: b=2`]이다.

따라서 순서쌍 [eqn: (a,```b)=(0,```2)`]는 모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 행렬 [eqn: ` {pmatrix{2+2t-bt````&`t+1#at-a&2}}]가 역행렬을 갖도록 한다.

(ii) [eqn: a!=0`]인 경우

모든 실수 [eqn: t`]에 대해 [eqn: at ^{2} `+2(b-2)t-4-a` != 0]이다. 즉, 이차방정식 [eqn: at ^{2} `+2(b-2)t-4-a`=0]의 실근이 존재하지 않아야 되므로

[eqn: {D} over {4} `=(b-2) ^{2} `-a(-4-a)<0]

를 만족해야 한다.

식을 정리하면 [eqn: (a+2) ^{2} +(b-2) ^{2} `<4]이고, 영역은 다음 그림과 같다.

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: \O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: -3]

[eqn: -4]

따라서 [eqn: (a+2) ^{2} +(b-2) ^{2} `<4]를 만족하는 부등식 영역 내부의 정수 순서쌍 [eqn: (a,`b)]는

[eqn: (-1,```1),````(-1,```2),```(-1,```3)]

[eqn: (-2,```1),````(-2,```2),```(-2,```3)]

[eqn: (-3,```1),````(-3,```2),```(-3,```3)]

[eqn: 9`]개로 각각의 순서쌍은 모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 행렬 [eqn: ` {pmatrix{2+2t-bt````&`t+1#at-a&2}}]이 역행렬을 갖도록 한다.

그러므로 (i)과 (ii)에 의해 정수 순서쌍 [eqn: (a,`b)]의 개수는 [eqn: 10`]이다.

22. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립일차방정식 계산하기

등식 [eqn: A ^{-1} {pmatrix{`a`#`b`}} = {pmatrix{`4`#`2`}} `]의 양변의 왼쪽에 행렬 [eqn: A`]를 곱하면

[eqn: {pmatrix{`a`#`b`}} =A {pmatrix{`4`#`2`}} `= {pmatrix{`````````5&~1``#`-2&~1``}} {pmatrix{`4`#`2`}} = {pmatrix{````````22``#`-6```}}]

이므로 [eqn: a=22,````b=`-6`]이고 [eqn: a+b`=16`]이다.

23. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

주어진 그래프의 꼭짓점의 개수는 [eqn: 6`]이고 변의 개수는 [eqn: 9]이다. 따라서 이 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타내면 [eqn: 6 TIMES 6`]행렬이고 행렬의 성분 중 [eqn: 1`]의 개수는 [eqn: 2 TIMES 9=18`]이다.

[다른풀이]

그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬 중 한 가지를 구하면

[eqn: {pmatrix{``0``&``1``&``0``&``0``&``0``&1``#``1``&``0``&``1``&``0``&``1``&``1``#``0``&``1``&``0``&``1``&``1``&``0``#``0``&``0``&``1``&``0``&``1``&``0``#``0``&``1``&``1``&``1``&``0``&``1``#``1``&``1``&``0``&``0``&``1``&``0``}}]

이다. 따라서 행렬의 성분 중 [eqn: 1`]의 개수는 [eqn: 18`]이다.

24. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 연립일차방정식 이해하기

[eqn: {pmatrix{``a&~`2``#``22&```a-7`}} {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``0``#``0``}}]이 [eqn: x=`0,```y=0] 이외의 해를

가지려면 행렬 [eqn: {pmatrix{``a&~`2``#``22&```a-7`}} `]의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

[eqn: a(a-7)-2 TIMES 22=0] , [eqn: a ^{2`} -7a`-44=0]

[eqn: a=`11](∵[eqn: a]는 양수)

이다.

25. [출제의도] 지수함수를 이용하여 문제 해결하기

[eqn: y=5 ^{x ^{2} -4x-2} =5 ^{(x-2) ^{2} -6} `]에서 지수 [eqn: (x-2) ^{2} -6`]의 범위를 알아보자. [eqn: -1 LEQ x LEQ 4`]일 때, [eqn: -6 LEQ (x-2) ^{2} -6 LEQ 3`]이다. 그러므로  [eqn: 5 ^{-6} LEQ 5 ^{(x-2) ^{2} -4} ` LEQ 5 ^{3} `]이다.

따라서 최댓값은 [eqn: 125`]이다.

26. [출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: 9 ^{x} -4·3 ^{x+1} +k=0`]의 두 근을 [eqn: x=alpha,```beta`]라 하고

[eqn: 3 ^{x} =X`]라 두면 주어진 지수방정식은

[eqn: X ^{2} -12X+k=0`]

이다. 이차방정식의 해는 [eqn: X=3 ^{alpha } `] 또는 [eqn: X=3 ^{beta } `]이므로 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: k=3 ^{alpha } TIMES 3 ^{beta } =3 ^{alpha + beta } =3 ^{3} `]이므로 [eqn: k=27`]이다.

27. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: BA= {1} over {2} {pmatrix{`-1~&~````````0`#`````````1~&```-2`}} {pmatrix{2~&~0#1~&~1}} =-E]이다.

그러므로 [eqn: AB=BA`]이다. 준식을 정리하면

[eqn: B ^{4} A ^{8} =(BA) ^{4} A ^{4} =(-E) ^{4} A ^{4} =A ^{4} `]

이므로 행렬 [eqn: A ^{4} `]을 구하자.

행렬 [eqn: A]의 거듭제곱을 구하면

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{2~&~0#1~&~1}} {pmatrix{2~&~0#1~&~1}} = {pmatrix{4~&~0#3~&~1}}]

[eqn: A ^{4} = {pmatrix{4~&~0#3~&~1}} {pmatrix{4~&~0#3~&~1}} = {pmatrix{16~&~0#15~&~1}}]

이므로 행렬 [eqn: A ^{4} `]의 모든 성분의 합은 [eqn: 32`]이다.

28. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: A= {pmatrix{``a``&``b``#``c``&``a``}} `]에서

[eqn: A ^{2} & = {pmatrix{``a``&``b``#``c``&``a``}} {pmatrix{``a``&``b``#``c``&``a``}} & = {pmatrix{``a ^{2} +bc``&```````2ab``#``2ac``&```````a ^{2} +bc``}} `]

이므로 [eqn: a ^{2} +bc>0`], [eqn: 2ab>0`], [eqn: 2ac>0`]이다. 이를 정리하면

[eqn: ab>0,```ac>0`]

이다. 따라서 서로 다른 세 원소 [eqn: a,```b,```c`]의 부호는 모두 같아야 한다. [eqn: a,```b,```c`]가 모두 양수인 행렬 [eqn: A`]의 개수는 집합 [eqn: LEFT { -3,```-2,```-1,```0,```1,```2,```3,```4 RIGHT } `]에서 양수 [eqn: 4`]개 중 서로 다른 [eqn: 3`]개를 선택하여 배열하는 방법의 수와 같으므로 [eqn: {} _{4} rm P _{3} =24`]이다. [eqn: a,```b,```c`]가 모두 음수인 행렬 [eqn: A`]의 개수는 위와 같은 방법으로 음수 [eqn: 3`]개 중 서로 다른 [eqn: 3`]개를 선택하여 배열하는 방법의 수와 같으므로 [eqn: 3 !`= 6`]이다.

따라서 행렬의 개수는 [eqn: 24+6=30`]이다.

29. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 문제 해결하기

색칠된 도형의 넓이 [eqn: S`]는 두 삼각형 [eqn: rmACB`], [eqn: rmADB`]의 넓이의 차와 같으므로

[eqn: S & =( TRIANGLE rm ACB의~넓이)-( TRIANGLE ADB의~넓이)# & = {1} over {2} rm {bar{AB}} TIMES (두~삼각형의~높이~차)# & = {1} over {2} {bar{rm AB}} TIMES {bar{CD}} = {1} over {2} (itb-a) TIMES {bar{rmCD}}]

이다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \P]

[eqn: y= {2 ^{x} +2 ^{-x}} over {2}]

[eqn: \D]

[eqn: \Q]

[eqn: y=2-2 ^{x-1}]

[eqn: S`= {1} over {2} (b-a) TIMES rm bar{CD}] 에서 [eqn: S`]가 최댓값을 갖는 것은 선분 [eqn: rm CD`]의 값이 최대가 될 때이다. 선분 [eqn: rmCD`]의 길이는 [eqn: x=c`]에서 점 [eqn: rmC,```D`]의 [eqn: y`]좌표의 차이므로

[eqn: rm bar{CD} ` & = it `2-2 ^{t-1} - {2 ^{t} +2 ^{-t}} over {2} =2- {2․`2 ^{t} +2 ^{-t}} over {2} `]

이다. 여기서 [eqn: 2·2 ^{t} `], [eqn: 2 ^{-t} `]는 모두 양수이므로 산술평균과 기하평균의 부등식에 의해

[eqn: {2․`2 ^{t} +2 ^{-t}} over {2} ` & GEQ sqrt {2․`2 ^{t} TIMES 2 ^{-t}} = sqrt {2}]

(단, 등호는 [eqn: 2․`2 ^{t} =2 ^{-t}]일 때 성립한다.)

이므로 [eqn: {2․`2 ^{t} +2 ^{-t}} over {2} `]은 최솟값 [eqn: sqrt {2} `]를 갖는다.

[eqn: rm bar{CD} ` & =2- {2․`2 ^{t} +2 ^{-t}} over {2} `]에서

[eqn: rm bar{CD} ` & =2- {2․`2 ^{t} +2 ^{-t}} over {2} ` LEQ 2- sqrt {2} `]

이므로 [eqn: rm` bar{CD} `]는 최댓값 [eqn: 2- sqrt {2} `]을 갖는다.

따라서 [eqn: S`]의 최댓값은

[eqn: {1} over {2} (b-a) TIMES rm bar{CD} `=it {1} over {2} (b-a)(2- sqrt {2} )]

이므로 [eqn: k= {2- sqrt {2}} over {2} `]이다. 따라서 [eqn: 70(k-1) ^{2} =35`]이다.

30. [출제의도] 지수방정식과 지수부등식을 이용하여 문제 해결하기

(i) 조건 (가)에서 [eqn: f(2)`g(11)=a ^{2} b ^{11} =2 ^{2015} `]이므로

[eqn: a ^{2} ``b ^{11} =2 ^{2015} ```` CDOTS CDOTS ```①]

이다. [eqn: a,```b`]는 각각 [eqn: 1`]보다 큰 자연수이면서 [eqn: 2`]의

거듭제곱꼴이어야 하므로

[eqn: a=2 ^{m} ,```b=2 ^{n} `]([eqn: m`], [eqn: n`]은 자연수)

로 두자. [eqn: a=2 ^{m} ,```b=2 ^{n} `]을 식 [eqn: ①]에 대입하면

[eqn: 2m+11n=2015```` CDOTS CDOTS ``②]

이다. 그런데 [eqn: 2m`]은 짝수이므로 [eqn: 11n`]은 홀수이어야 한다. 따라서 [eqn: n`]은 홀수이므로

[eqn: n=2k-1``` CDOTS CDOTS ``③]([eqn: k`]는 자연수)

이다. [eqn: ③`]을 [eqn: ②`]에 대입하면

[eqn: 2015 & =2m+11n=2m+11(2k-1)=2m+22k-11]

이고 정리하면

[eqn: m=1013-11k`` CDOTS CDOTS ``④]

이다. [eqn: m`]과 [eqn: k`]가 자연수이므로 [eqn: ④`]식에서

[eqn: m=1013-11k GEQ 1`]

이고 정리하면 [eqn: 1 LEQ k LEQ {1012} over {11} `=92]이다.

(ii) 조건(나)에서 [eqn: a ^{2} =f(2)<g(4)=b ^{4} `]이고

[eqn: a=2 ^{m} ,```b=2 ^{n} `]([eqn: m`], [eqn: n`]은 자연수)에서

[eqn: 2 ^{2m} <2 ^{4n} `]이므로 [eqn: m<2n``` CDOTS CDOTS ``⑤]

이다. [eqn: ③`]과 [eqn: ④`]를 [eqn: ⑤]에 대입하면

[eqn: 1013-11k<2(2k-1)`], [eqn: k> {1015} over {15} =67.6 CDOTS `]

이다. [eqn: k`]가 자연수이므로 [eqn: k GEQ 68`]이다.

(i)과 (ii)를 모두 만족하는 자연수 [eqn: k`]의 범위는 [eqn: 68 LEQ k LEQ 92`]이다.

따라서 순서쌍 [eqn: (a,`b)`]의 개수는 자연수 [eqn: k`]의 개수와 같으므로 [eqn: 92-68+1=25`]이다.

• 수학 영역 [B형] •

수학 B형 정답

1	③	2	④	3	②	4	④	5	①
6	③	7	⑤	8	③	9	①	10	②
11	⑤	12	⑤	13	④	14	⑤	15	④
16	①	17	③	18	③	19	①	20	②
21	③	22	[eqn: 32]	23	[eqn: 18]	24	[eqn: 37]	25	[eqn: 34]
26	[eqn: 42]	27	[eqn: 24]	28	[eqn: 90]	29	[eqn: 835]	30	[eqn: 69]

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 9 ^{{2} over {3}} TIMES 3 ^{- {1} over {3}} =3 ^{{4} over {3}} TIMES 3 ^{- {1} over {3}} =3]

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log_3 {27} = 3 `]이므로

[eqn: log_3 {27^3} = 3 log_3 {}27 = 3 times 3 = 9``]

[eqn: left(log_3 {27} right) ^3 =3^3 = 27``]이다.

따라서 [eqn: `log _{3} 27 ^{3} +(log _{3} 27) ^{3} =9+27=36`]이다.

3. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: 2A-AB= {pmatrix{``~~6&~0``#``-2&~4``}} - {pmatrix{``0&~~~6``#``2&~-2``}}]

[eqn: = {pmatrix{``~~6&~-6``#``-4&~~~6``}}]

4. [출제의도] 역행렬의 성질 이해하기

[eqn: A+A ^{-1} =3E``]이므로

[eqn: A ^{2} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = LEFT ( A+A ^{-1} RIGHT ) ^{2} `-2E=9E-2E=7E``]이다.

5. [출제의도] 등차수열의 합의 공식 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: 2d=a _{100} -a _{98} =6]에서 [eqn: d=3]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이다. 따라서

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{10} = {10 TIMES LEFT ( 4+9 TIMES 3 RIGHT )} over {2} =155]

이다.

6. [출제의도] 역행렬과 지수 문제 해결하기

[eqn: x=0,```y=0] 이외의 해를 갖기 위해서는

행렬 [eqn: {pmatrix{``2 ^{a} &~-1``#``8&~2 ^{a} -6``}}]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

[eqn: 2 ^{a} (2 ^{a} -6)+8=0]

[eqn: 2 ^{a} =t]로 치환하면 [eqn: t ^{2} -6t+8=0]이다.

[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=4]이므로 [eqn: a=1`] 또는 [eqn: a=2]이다.

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 3`]이다.

7. [출제의도] 지수함수와 로그함수 문제 해결하기

[eqn: y=3 ^{{x-1} over {2}} -4]에서 [eqn: y+4=3 ^{{x-1} over {2}}]
양변에 밑이 [eqn: 3]인 로그를 취하면
[eqn: log _{3} LEFT ( y+4 RIGHT ) = {x-1} over {2} ` LEFT ( `y>`-4` RIGHT )]이므로
[eqn: x=2`log _{3} LEFT ( y+4 RIGHT ) +1]이다.

따라서 구하는 역함수는 [eqn: y=2`log _{3} LEFT ( x+4 RIGHT ) +1` LEFT ( `x>`-4` RIGHT )]이므로 [eqn: a+b+c=7]이다.

8. [출제의도] 등차수열을 이용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: D]

[eqn: E]

[eqn: 5]개 컵에 들어 있는 물의 양을

[eqn: a-2d`,~a-d`,~a`,~a+d`,~a+2d`]라고 하면

[eqn: LEFT ( a-2d RIGHT ) + LEFT ( a-d RIGHT ) +`a+` LEFT ( a+d RIGHT ) + LEFT ( a+2d RIGHT ) =800`]이므로

[eqn: `a=160`]이다. 따라서 컵 [eqn: C``]에 들어 있는 물의 양은 [eqn: 160 rm `ml]이다.

[다른풀이]

[eqn: S _{2n-1} = {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT { 2a+ LEFT ( 2n-2 RIGHT ) d RIGHT }} over {2}]

[eqn: = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT { a+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) a _{n}]

이므로 [eqn: a _{n} = {S _{2n-1}} over {2n-1}]이다.

따라서 [eqn: a _{3} = {S _{5}} over {5} =160]이다.

9. [출제의도] 지수와 로그의 성질 문제 해결하기

[eqn: a ^{logx} =x]에서 양변에 [eqn: log`]를 취하면 [eqn: log`x`log`a=log`x]이므로 [eqn: log`x LEFT ( log`a-1 RIGHT ) `=0]이다. 이 식이 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 성립하므로 [eqn: log`a=1]이다. 그러므로 [eqn: a=10]이다.

[eqn: x ^{log`b} =b]에서 양변에 [eqn: log`]를 취하면 [eqn: log`b`log`x=log`b]이므로 [eqn: log`b` LEFT ( log`x-1 RIGHT ) =0]이다. 이 식이 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 성립하므로 [eqn: log`b=0]이다. 그러므로 [eqn: b=1]이다

따라서 [eqn: a+b=11]이다.

10. [출제의도] 등비수열의 합의 공식 추론하기

[eqn: A _{1}]

[eqn: A _{2}]

[eqn: boldCDOTS]

[eqn: boldCDOTS]

[eqn: S _{1} = {8} over {9}]

[eqn: S _{2} = {8} over {9} S _{1} = LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: S _{3} = {8} over {9} S _{2} = LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: VDOTS]

수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {8} over {9}]이고 공비가 [eqn: {8} over {9}]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n} `= {{8} over {9} LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }} over {1- {8} over {9}} =8 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]
이다.

[다른풀이]

[eqn: n`]번째 잘라낸 정사각형의 넓이의 합을 [eqn: T _{n} `]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {1} over {9} `]이고 공비가 [eqn: {8} over {9} `]인 등비수열이므로

[eqn: S _{n} `=1- sum _{k=1} ^{n} T _{k} =1- {{1} over {9} LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {1- {8} over {9}} = LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{n}]

이다.  따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n} `= {{8} over {9} LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }} over {1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT )} =8 LEFT { 1- LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]

이다.

11. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활 문제 해결하기

먼저 주어진 등식 [eqn: T _{i} V _{i} ^{```` gamma `-1} =T _{f} V _{f} ^{``` gamma `-1}]에 기체몰 열용량 비 [eqn: gamma = 5 over3]를 대입하여 정리하면

[eqn: T _{i} V _{i} ^{```` {5} over {3} `-1} =T _{f} V _{f} ^{``` {5} over {3} `-1}]

[eqn: T _{i} V _{i} ^{```` {2} over {3}} =T _{f} V _{f} ^{``` {2} over {3}}]

이다. 문제의 조건에서 [eqn: T _{i} =480``], [eqn: V _{i} =5`]이고

[eqn: T _{f} =270`]이므로 각각을 [eqn: T _{i} V _{i} ^{```` {2} over {3}} =T _{f} V _{f} ^{``` {2} over {3}}]에 대입하여 정리하면

[eqn: 480 TIMES 5 ^{{2} over {3}} `=`270 TIMES V _{f} ^{{2} over {3}}]

[eqn: 16 TIMES 5 ^{{2} over {3}} `=`9 TIMES V _{f} ^{{2} over {3}}]

[eqn: V _{f} ^{{2} over {3}} = {16} over {9} TIMES 5 ^{{2} over {3}}]

[eqn: V _{f} ^{} = LEFT ( {16} over {9} RIGHT ) ^{{3} over {2}} TIMES LEFT ( 5 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{{3} over {2}}]

[eqn: V _{f} ^{} = {64} over {27} TIMES 5= {320} over {27}]
이다.

12. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: B ^{2} =A+E``]를 [eqn: B ^{4} =A+2E``]에 대입하면

[eqn: (A+E) ^{2} =A+2E`]이다. 따라서 [eqn: A ^{2} +A=E`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: B ^{`2} -A`=E```]에서 [eqn: B` LEFT ( B ^{`2} -A RIGHT ) =B`]이므로

[eqn: BA=B ^{3} `-B``]이다. 같은 방법으로 [eqn: ` LEFT ( B ^{`2} -A RIGHT ) `B=B`]이므로 [eqn: AB=B ^{3} `-B``]이다. 따라서 [eqn: AB=BA`]이다.(참)

ㄷ. [eqn: A ^{2} +A=E`]에서 [eqn: A(A+E)=E``]이고 [eqn: B ^{`2} =A+E`]이므로 [eqn: AB ^{2} =E`]이다. 따라서 [eqn: AB`]의 역행렬은 [eqn: B`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른풀이]

ㄷ. [eqn: A ^{2} +A=E`]이므로 [eqn: A`]는 역행렬을 가진다.

한편, [eqn: A=B ^{2} -E`]를 [eqn: B ^{4} =A+2E`]에 대입하여 정리하면 [eqn: B ^{4} -B ^{2} =E`], 즉,	[eqn: B LEFT ( B ^{3} -B RIGHT ) =E`]이다. 그러므로 [eqn: B`]도 역행렬을 가진다. 따라서 행렬 [eqn: AB`]의 역행렬이 존재한다. (참)

13. [출제의도] 로그함수와 수열 문제 해결하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=k]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: 2 ^{-k}]

[eqn: 2 ^{k}]

[eqn: y= LEFT | `log _{2} x` RIGHT | `]

[eqn: rm A it (2 ^{-k} ,~k),~rm B it (2 ^{k} ,~k)]이므로 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2 ^{m}]([eqn: m]은 정수)의 꼴인 점의 개수는 [eqn: -k`]부터 [eqn: k`]까지 정수의 개수이다. 따라서 [eqn: a _{k} `=k- LEFT ( -k RIGHT ) +1=2k+1]이다.

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{k} = sum _{k=1} ^{15} (2k+1)=2 TIMES {15 TIMES 16} over {2} +15=255]

이다.

[다른풀이]

[eqn: k=1]일 때, [eqn: rm A(2 ^{-1} ,~1),~B(2 ^{1} ,~1)]이고 [eqn: a _{1} =3]이다.

[eqn: k=2]일 때, [eqn: rm A(2 ^{-2} ,~2),~B(2 ^{2} ,~2)]이고 [eqn: a _{2} =5]이다.

[eqn: k]가 증가할수록 양 끝점이 두 개씩 늘어나므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 3]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

따라서 [eqn: `a _{k} =2k+1]이다.

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{k} = sum _{k=1} ^{15} (2k+1)=2 TIMES {15 TIMES 16} over {2} +15=255]

이다.

14. [출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=k]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: a]

[eqn: 4]

[eqn: y= LEFT | `log _{2} x` RIGHT | `]

점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면 삼각형 [eqn: rm `ABC`]의 넓이 [eqn: S``=` {1} over {2} TIMES 4 TIMES (-log _{2} `a)]이다.

점 [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a+4]이므로 [eqn: -log _{2} `a=log _{2} `(a+4)]이다.

[eqn: a ^{2} +4a-1=0]이 되고 [eqn: a`=`-2± sqrt {5}]이고 [eqn: a`=`-2+ sqrt {5}](진수조건에 의해 [eqn: a>0])가 된다.

넓이 [eqn: S``]를 계산하면 [eqn: S`=log _{2} `(-2+ sqrt {5} ) ^{-2}]이므로

[eqn: 2 ^{S} `=(-2+ sqrt {5} ) ^{-2} `]

[eqn: = {1} over {9-4 sqrt {5}}]

[eqn: =9+4 sqrt {5}]

이다.

[다른풀이]

[eqn: rm A it (2 ^{-k} ,`k),`````` rm B it (2 ^{k} ,`k)]이므로

[eqn: S``=` {1} over {2} TIMES 4 TIMES k=2k]

[eqn: rm ` {bar{AB}} `=4`]에서 [eqn: 2 ^{k} -2 ^{-k} =4]

[eqn: 2 ^{k} =t`]라 두면 [eqn: t-t ^{-1} =4]

[eqn: t ^{2} -4t-1=0`]

[eqn: t=2+ sqrt {5} `]([eqn: BECAUSE ````t>0])

[eqn: 2 ^{k} =2+ sqrt {5} `]

[eqn: 2 ^{S} =2 ^{2k} = LEFT ( 2 ^{k} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2+ sqrt {5} RIGHT ) ^{2} =9+4 sqrt {5}]

15. [출제의도] 지수법칙을 이용한 거듭제곱근 추론하기

[eqn: alpha =` root {3``} of {2+ sqrt {5}}], [eqn: beta = root {3``} of {2- sqrt {5}} ``]라 두면

[eqn: alpha beta & = root {3``} of {2+ sqrt {5}} root {3``} of {2- sqrt {5}} = root {3``} of {(2+ sqrt {5} )(2- sqrt {5} )}# & = root {3``} of {-1} = {BOX{`-1~}}]

이다. [eqn: alpha + beta =x``]라 하면

[eqn: ( alpha + beta ) ^{3} = alpha ^{3} +3 alpha ^{2} ` beta `+3 alpha beta ^{`2} + beta ` ^{3}]을 이용하여

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +3x-4=0`]을 얻을 수 있다.

[eqn: x ^{3} +3x-4=0`]

[eqn: (x-1)(x ^{2} +x+4)=0`]

에서 이 방정식의 실근은 [eqn: x=1`]뿐이므로 [eqn: alpha + beta =1`]이다.

따라서 [eqn: alpha + beta =1`]과 [eqn: alpha beta = {BOX{~~-1~~}}]인 실수 [eqn: alpha ``],[eqn: `beta `]를 두 근으로 하는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차방정식은 [eqn: {BOX{``x ^{2} -x-1=0`}}]이다. 이 이차방정식의 두 근 [eqn: alpha ``],[eqn: `beta `]가 [eqn: beta <0< alpha ``]이므로 [eqn: ` root {3``} of {2+ sqrt {5}} ``= {BOX{` {1+ sqrt {5}} over {2}}}]이다.

따라서 [eqn: a=`-1`], [eqn: b= {1+ sqrt {5}} over {2} `]이므로

[eqn: a+10b=`-1+10 LEFT ( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT ) =4+5 sqrt {5} `]이다.

16. [출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{1} a _{k`} `=1], [eqn: sum _{k=2} ^{4} a _{k} =2 ^{2}], [eqn: sum _{k=5} ^{25} a _{k`} =5 ^{2}], [eqn: sum _{k=26} ^{676} a _{k`} =26 ^{2}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{677} `a _{k} ``=`1+4+25+676+a _{677} ``=`777] 이다.

따라서 [eqn: a _{677} =71]이다.

17. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식 문제 해결하기

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x ^{2}} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{13x-6} GEQ 0]에서 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x ^{2}} GEQ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{13x-6}]

[eqn: 2x ^{2} -13x+6 LEQ 0`]이고 [eqn: {1} over {2} LEQ x LEQ 6]이므로

[eqn: A= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6` RIGHT }]이다.

[eqn: log _{3} LEFT ( 5x+6 RIGHT ) - {2} over {log _{x} 3} >0]에서

[eqn: log _{3} LEFT ( 5x+6 RIGHT ) -log _{3} x ^{2} >0]

[eqn: log _{3} LEFT ( 5x+6 RIGHT ) >log _{3} x ^{2}]

[eqn: x ^{2} -5x-6<0]이므로 [eqn: -1<x<6]이다.

로그의 정의에 의해 [eqn: 0<x<6,````x != 1]이므로

[eqn: B= LEFT { `2,``3,``4,``5` RIGHT }]이다. 그러므로 [eqn: A-B= LEFT { `1,``6` RIGHT }]이다.

따라서 [eqn: A-B]의 모든 원소의 합은 [eqn: 7`]이다.

18. [출제의도] 상용로그의 지표 이해하기

[eqn: n`]이 한 자릿수이면 [eqn: a _{n} `]은 [eqn: n`] 자릿수이므로 [eqn: b _{n} =n-1],

[eqn: n`]이 두 자릿수이면 [eqn: a _{n} `]은 [eqn: 2n`] 자릿수이므로
[eqn: b _{n} =2n-1]이다. 따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{20} b _{n} = sum _{n=1} ^{9} LEFT ( n-1 RIGHT ) + sum _{n=10} ^{20} LEFT ( 2n-1 RIGHT )]

[eqn: =`- sum _{n=1} ^{9} n+ sum _{n=1} ^{9} LEFT ( 2n-1 RIGHT ) + sum _{n=10} ^{20} LEFT ( 2n-1 RIGHT )]

[eqn: =`- sum _{n=1} ^{9} n+ sum _{n=1} ^{20} LEFT ( 2n-1 RIGHT ) =355]

이다.

19. [출제의도] 로그함수와 수열의 문제 해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: y=log _{2} x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: x`]좌표는 등비수열을 이룬다.

따라서 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: x`]좌표를

[eqn: a,``ar,``ar ^{2} `]([eqn: a>0], [eqn: r>1])

이라 하자. 점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm DE]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점이므로 [eqn: ar ^{2} = {9ar-5a} over {9-5}]이다. 따라서 [eqn: r= {5} over {4} `]이므로

[eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {{5} over {4} a} over {a+ {25} over {16} a} = {20} over {41} `]

이다. 그러므로 [eqn: p+q=61`]이다.

[다른풀이1]

세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a,``b,``c`]라 하자. 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: log _{`2} `a], [eqn: log _{`2} `b], [eqn: log _{`2} `c]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 그러므로

[eqn: 2log _{`2} `b=log _{`2} `a+log _{`2} `c]이므로 [eqn: b ^{2} =ac`]이다. 따라서 [eqn: a], [eqn: b`], [eqn: c`]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 공비를 [eqn: r`]이라 하면 [eqn: b=ar], [eqn: c=ar ^{2} `]이다.

점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm DE]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점이므로 [eqn: ar ^{2} = {9ar-5a} over {9-5}]이다. 따라서 [eqn: r= {5} over {4} `]이므로

[eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {{5} over {4} a} over {a+ {25} over {16} a} = {20} over {41} `]

이다. 그러므로 [eqn: p+q=61`]이다.

[다른풀이2]

점 [eqn: rm F]는 선분 [eqn: rm DE]를 [eqn: 9:5`]로 외분하는 점이므로 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a], [eqn: a+4k], [eqn: a+9k]라 하자. 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 각각의 [eqn: y`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: log _{`2} `a], [eqn: log _{`2} ` LEFT ( a+4k RIGHT )], [eqn: log _{`2} ` LEFT ( a+9k RIGHT )]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 그러므로

[eqn: 2log _{`2} ` LEFT ( a+4k RIGHT ) =log _{`2} `a+log _{`2} ` LEFT ( a+9k RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( a+4k RIGHT ) ^{2} =a LEFT ( a+9k RIGHT ) `]이다. 따라서 [eqn: a=16k`]이므로

[eqn: {{bar{rm OE it}}} over {{bar{rm OD it}} + {bar{rm OF it}}} = {20k} over {16k+25k} = {20} over {41} `]

이다. 그러므로 [eqn: p+q=61`]이다.

20. [출제의도] 여러 가지 수열의 규칙성 추론하기

	[eqn: 1]열	[eqn: 2]열	[eqn: 3]열	[eqn: 4]열	[eqn: 5]열	[eqn: cdots]
[eqn: 1]행	[eqn: 1]	2	3	4	5	[eqn: cdots]
[eqn: 2]행	2	4	7	11	16	[eqn: cdots]
[eqn: 3]행	3	7	14	25	41	[eqn: cdots]
[eqn: 4]행	4	11	25	50	91	[eqn: cdots]
[eqn: 5]행	5	16	41	91	182	[eqn: cdots]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: DDOTS]

[eqn: a _{1} ``=1]

[eqn: a _{2} `=`2+2=4]

[eqn: a _{3} `=`3+4+3=10]

[eqn: a _{4} `=`4+7+7+4=22]

[eqn: VDOTS]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 다음의 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]을 계차수열로 가진다.

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } ````:````3,``6,``12,` CDOTS]

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 3`]이고 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열이므로 [eqn: b _{n} `=`3 BULLET 2 ^{n-1}]이다.

[eqn: a _{n} `=`1+ sum _{k=1} ^{n-1} 3 BULLET 2 ^{k-1} ``]

[eqn: =`1+3 BULLET {2 ^{n-1} -1} over {2-1}]

[eqn: =`3 BULLET 2 ^{n-1} `-2]

따라서 [eqn: a _{n}][eqn: =`3 BULLET 2 ^{n-1} `-2]이다. 그러므로

[eqn: a _{1} ``+a _{2} +a _{3} `+` CDOTS +a _{20} `][eqn: =` sum _{k=1} ^{20} (3 BULLET 2 ^{k-1} -2)]

[eqn: =`3 BULLET {2 ^{20} -1} over {2-1} `-40]

[eqn: =`3 BULLET 2 ^{20} `-43]

이다.

21. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않는 조건 이해하기

행렬 [eqn: LEFT ( ` {matrix{x`&y#`a&`b`}} ` RIGHT ) `]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: bx-ay=0]이다.

ⅰ) [eqn: a=0]일 때

[eqn: b=1`]이므로 점 [eqn: rm Q LEFT ( 0,```1 RIGHT )]이고 점 [eqn: rmP``]는 직선 [eqn: x=0`]([eqn: -1<y<1]) 위에 존재한다. 그러므로 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 일직선 위에 있다.

ⅱ) [eqn: a != 0]일 때

[eqn: y= {b} over {a} x]이므로 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 일직선 위에 있다.

ⅰ), ⅱ)에 의해 점 [eqn: rmP`]가 존재하는 영역은 그림에서 색칠한 부분이다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: rm Q itLEFT (a,~b RIGHT )]

[eqn: rm P LEFT ( it x,~y RIGHT )]

[eqn: y= {1} over {4} x ^{2} +1]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

이제 곡선 [eqn: y= {1} over {4} x ^{2} +1]과 접하는 직선 [eqn: y=mx]의 기울기 [eqn: m`]을 구하자.

[eqn: mx= {1} over {4} x ^{2} +1]에서 [eqn: x ^{2} -4mx+4=0]이고

[eqn: {D} over {4} =4m ^{2} -4=0`]이다.

그러므로 [eqn: m=`±1]이므로 두 접선은 수직이다.

따라서 점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이

[eqn: S`= {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES {pi } over {2} TIMES 2= {pi } over {2}]이다.

22. [출제의도] 등비수열 계산하기

[eqn: a _{1} =2`]이고 공비를 [eqn: r]이라 두면 [eqn: a _{3} =2r ^{2} =8`]이다.
그러므로 [eqn: r ^{2} =4]이다. 따라서 [eqn: a _{5} =2r ^{4} =32`]이다.

23. [출제의도] 그래프와 행렬 사이의 관계 이해하기

이 그래프의 변의 개수가 [eqn: 9]이므로 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 9 TIMES 2=18]이다.

24. [출제의도] 여러 가지 수열 계산하기

[eqn: sum _{k=1} ^{9} {2} over {(2k-1)(2k+1)}][eqn: = sum _{k=1} ^{9} LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k+1} RIGHT ) `]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT )][eqn: +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {15} - {1} over {17} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {17} - {1} over {19} RIGHT ) `]      [eqn: =1- {1} over {19} `= {18} over {19}]

따라서 [eqn: p+q=37`]이다.

25. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 이해하기

[eqn: A= {pmatrix{``1&~0``#``3&~1``}}]

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{``1&~0``#``3&~1``}} {pmatrix{``1&~0``#``3&~1``}} = {pmatrix{``1&~0``#``6&~1``}} = {pmatrix{``1&~0``#``2ㆍ3&~1``}}]

[eqn: A ^{3} = {pmatrix{``1&~0``#``6&~1``}} {pmatrix{``1&~0``#``3&~1``}} = {pmatrix{``1&~0``#``9&~1``}} = {pmatrix{``1&~0``#``3ㆍ3&~1``}}]

[eqn: VDOTS]

따라서

[eqn: A ^{n} = {pmatrix{``1&~0``#``3n&~1``}}]

이다. 그러므로 [eqn: a _{n} =3n`]이고 [eqn: 3n>100`]를 만족하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 34`]이다.

26. [출제의도] 여러 가지 수열 추론하기

수열 [eqn: LEFT { S _{2n-1} RIGHT }]은 [eqn: S _{1} =a _{1} `=1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이므로	[eqn: S _{2n-1} `=2 ^{n-1}]이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{2n-1} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} `=1]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이므로

[eqn: a _{2n-1} `=`3n-2]이다.

[eqn: S _{14} =S _{15} -a _{15} `]이므로

[eqn: a _{14} `=S _{14} -S _{13}]

[eqn: = LEFT ( S _{15} -a _{15} RIGHT ) -S _{13}]

[eqn: =S _{15} -S _{13} -a _{15}]

[eqn: = LEFT ( 2 ^{7} -2 ^{6} RIGHT ) -22]

[eqn: =42]

이다.

27. [출제의도] 지수함수 이해하기

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6]의 그래프는 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 6`]만큼 평행이동한 것이다.

따라서 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,```1 RIGHT ) `]이

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 3,```7 RIGHT ) `]로 이동한다. 그러므로 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+1]의 교점은 [eqn: LEFT ( 3,```7 RIGHT ) `]이다.

[그림1]의 [eqn: A`]부분과 [eqn: B`]부분의 넓이가 서로 같으므로 구하고자 하는 도형의 넓이는 [그림2]와 같이 색칠된 평행사변형의 넓이와 같다. 따라서 구하는 도형의 넓이는 [eqn: 4 TIMES 6=24]이다.

[eqn: y=2x+9]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6`]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: 1]

[eqn: y=2x+1]

[eqn: rm A]

[eqn: \B]

[그림1]

[eqn: y=2x+9]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} +6`]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: 1]

[eqn: y=2x+1]

[eqn: 4]

[eqn: 6]

[그림2]

28. [출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: {cases{x ^{2} =y ^{3}#x ^{y} =y ^{x}}}]

두 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 2`log`x=3`log`y````]……㉠

[eqn: y`log`x=x`log`y```]……㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: {2`log`x} over {y`log`x} = {3`log`y``} over {x`log`y``} ``]

따라서 [eqn: {2} over {y} = {3} over {x}]이므로

[eqn: 2x=3y]

이다. 이 식을 [eqn: x ^{2} =y ^{3} `]에 대입하면

[eqn: x ^{2} = LEFT ( {2} over {3} x RIGHT ) ^{3}]

[eqn: x ^{2} = {8} over {27} x ^{3}]

이다. 따라서 [eqn: x= {27} over {8}]이고 [eqn: 2x=3y]에 대입하면 [eqn: y= {9} over {4}]이다. 그러므로 [eqn: 16( alpha + beta )][eqn: =90]이다.

[다른풀이]

[eqn: x ^{2} =y ^{3} `]에서 [eqn: y=x ^{{2} over {3}}]

이 식을 [eqn: x ^{y} =y ^{x} `]에 대입하여 정리하면

[eqn: x ^{x ^{{2} over {3}}} =x ^{{2} over {3} x}]

이다. [eqn: x>1`]이므로

[eqn: x ^{{2} over {3}} = {2} over {3} x]

이다. 양변을 세제곱하면

[eqn: x ^{2} = {8} over {27} x ^{3} `]

이다. 따라서 [eqn: x= {27} over {8}]이고 [eqn: y=x ^{{2} over {3}}]에 대입하면 [eqn: y= {9} over {4} `]이다. 그러므로 [eqn: 16 LEFT ( alpha + beta RIGHT ) =90`]이다.

29. [출제의도] 등비수열 이해하기

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: \C_1]

[eqn: \C_2]

[eqn: \C_3]

[eqn: \O_{1}]

[eqn: rm O _{3}]

[eqn: \G]

[eqn: \H]

[eqn: y= sqrt {3} x]

[eqn: rm O _{2}]

세 원 [eqn: C _{1} ,``C _{2} ,``C _{3} `]의 반지름의 길이는 이 순서대로 등비수열을 이루므로 세 원 [eqn: C _{1} ,``C _{2} ,``C _{3} `]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a,``ar,``ar ^{2} `]이라고 하자. 원 [eqn: C _{1} `]의 중심과 원 [eqn: C _{3} `]의 중심 사이의 거리는 [eqn: 12]이므로

[eqn: a+2ar+`ar ^{2} =12`] ……㉠

이다.

세 원 [eqn: C _{1} ,``C _{2} ,``C _{3} `]의 중심을 각각 [eqn: rmO _{1}], [eqn: rm O _{2}], [eqn: rm O _{3}]라 하자. 점 [eqn: rm O _{3}]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH``], 점 [eqn: rmO _{1}]에서 선분 [eqn: rm O _{3} H]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmG`]라고 하면 [eqn: ANGLE rmO _{3} O _{1} G=30°]이므로 [eqn: {bar{rm O _{1} O _{3} it}} =2 {bar{rm O _{3} G it}}]이다.

따라서

[eqn: a LEFT ( 1+2r+r ^{2} RIGHT ) =2a LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT )]  ……㉡

이다.

㉡에서 [eqn: r=3]이고 이것을 ㉠에 대입하면 [eqn: a= {3} over {4}]이다.

따라서 세 원의 넓이의 합은

[eqn: LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} pi + LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) ^{2} pi + LEFT ( {27} over {4} RIGHT ) ^{2} pi = {819} over {16} pi]

이다. 그러므로 [eqn: p+q=835]이다.

30. [출제의도] 수열 및 상용로그의 지표와 가수 문제 해결하기

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =n]이라 하면

[eqn: n=f LEFT ( a RIGHT ) LEQ f LEFT ( root {10} of {10} a RIGHT ) LEQ f LEFT ( root {10} of {10 ^{2}} a RIGHT ) LEQ f LEFT ( root {10} of {10 ^{3}} a RIGHT ) LEQ ` CDOTS][eqn: LEQ f LEFT ( root {10} of {10 ^{9}} a RIGHT ) LEQ f LEFT ( root {10} of {10 ^{10}} a RIGHT ) =n+1]

이고 [eqn: sum _{k=1} ^{10} f LEFT ( root {10} of {10 ^{k}} a RIGHT ) =94]이므로

[eqn: f LEFT ( root {10} of {10} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{2}} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{3}} a RIGHT ) =` CDOTS `=f LEFT ( root {10} of {10 ^{6}} a RIGHT ) =9], [eqn: f LEFT ( root {10} of {10 ^{7}} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{8}} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{9}} a RIGHT ) =f LEFT ( root {10} of {10 ^{10}} a RIGHT ) =10]

이다. 그러므로

[eqn: 9 LEQ {1} over {10} +log`a<10]	………①

[eqn: 9 LEQ {2} over {10} +log`a<10]	………②

[eqn: VDOTS]

[eqn: 9 LEQ {6} over {10} +log`a<10]	………⑥

[eqn: 10 LEQ {7} over {10} +log`a<11]	………⑦

[eqn: VDOTS]

[eqn: 10 LEQ {10} over {10} +log`a<11]	………⑩

이다. 이 [eqn: 10`]개의 부등식은 ⑥, ⑦만 연립하면 충분하다. 따라서 [eqn: 9.3 LEQ log`a<9.4]이므로 [eqn: 0.3 LEQ g LEFT ( a RIGHT ) <0.4]이고 [eqn: 30 LEQ 100g LEFT ( a RIGHT ) <40`]이다. 그러므로 [eqn: M+m=39+30=69`]이다.