수학 영역 (A형)

고 2

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수학 영역 (A형)

고 2

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2013학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시          수학 영역 (A형)

5지 선다형(1 ~ 21)

1. 두 실수 [eqn: x`,``y`]가 등식 [eqn: (`x`-`1`) ^{2} +(`y`+`3`) ^{2} `=0`]을 만족시킬 때,
[eqn: x`+`y`]의 값은? [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

8

2. 이차부등식 [eqn: x(`x`-`8`)<0`]을 만족시키는 자연수 [eqn: x`]의 개수는?
[2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

3. [eqn: 6`]명의 학생 [eqn: rm `A`,``B`,``C`,``D`,``E`,``F`] 중에서 임의로 대표 [eqn: 2`]명을
뽑는 경우의 수는? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 12`]	④ [eqn: 15`]	⑤ [eqn: 18`]

4. [eqn: a>b`]인 모든 실수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 [eqn: LEFT | `(2a`-`b)`-`(3a`-`2b)` RIGHT | `]와 항상
같은 것은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: a`-`b]	③ [eqn: a`+`b]

④ [eqn: -a`+`b]	⑤ [eqn: -a`-`b]

5. 직선 [eqn: 3x`+`2y`+`9=0`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동한
직선이 원점을 지날 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

6. 그림은 전체집합 [eqn: U``]의 세 부분집합 [eqn: A`,``B`,``C`] 사이의
포함관계를 나타낸 벤 다이어그램이다.

공집합이 아닌 집합 [eqn: (`A CUP B`) ^{∁} ` SMALLINTER `C``]의 원소인 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: x`]가 속하는 집합으로 알맞은 것은? [3점]

[eqn: U]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: A]

① [eqn: B]	② [eqn: A` SMALLINTER B]	③ [eqn: B` SMALLINTER C]

④ [eqn: A``-B`]	⑤ [eqn: C```-A`]

7. 어떤 건물의 난방기에는 자동 온도 조절 장치가 있어서
실내 온도가 [eqn: 2`]시간 주기로 변한다. 이 난방기의 온도를 [eqn: B`( CENTIGRADE )`]로 설정하였을 때, 가동한 지 [eqn: t`]분 후의 실내 온도는
[eqn: T``( CENTIGRADE )`]가 되어 다음 식이 성립한다고 한다.
[eqn: T```=B``-` {k} over {6} `cos` {pi } over {60} t`](단, [eqn: B`,``k`]는 양의 상수이다.)
이 난방기를 가동한 지 [eqn: 20`]분 후의 실내 온도가 [eqn: 18` CENTIGRADE `]이었고,
[eqn: 40`]분 후의 실내 온도가 [eqn: 20` CENTIGRADE `]이었다. [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

8. 그림과 같이 두 점 [eqn: rm P it ( sqrt {2} `)`,`` rm Q it ( sqrt {3} `)`]을 수직선 위에 나타내었다.

세 점 [eqn: rm A` LEFT ( it ` {sqrt {2} `+ sqrt {3}} over {2} ` RIGHT ) `,`` rm B` LEFT ( it ` {sqrt {3} `+3 sqrt {2}} over {1`+`3} ` RIGHT ) it `,`` rm C` LEFT ( it ` {3 sqrt {3} - sqrt {2}} over {3-1} ` RIGHT ) `]
를 수직선 위에 나타낼 때, 세 점의 위치를 왼쪽부터 순서대로
나열한 것은? [3점]

[eqn: rm Q it ( sqrt {3} `)]

[eqn: rm P it ( sqrt {2} `)]

[eqn: x]

① [eqn: rm A`,``B`,``C]	② [eqn: rm A`,``C`,``B`]	③ [eqn: rm B`,``A`,``C]

④ [eqn: rm B`,``C`,``A`]	⑤ [eqn: rm C`,``B`,``A]

[9～10] 다음은 분수함수 [eqn: bold{f(`x`)= {3} over {x`-`1} ``+`2} `]의 그래프이다.
9번과 10번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: 2]

[eqn: \O]

[eqn: 1]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=f(`x`)`]

9. 함수 [eqn: y=f(`x`)`]의 역함수를 [eqn: y=g(`x`)`]라 할 때, [eqn: g(`3`)`]의 값은?
[3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

10. 제[eqn: `1`]사분면에서 함수 [eqn: y=f(`x`)`]의 그래프 위에 점 [eqn: rm `P LEFT ( it `a`,``b` RIGHT )]가
있을 때, [eqn: LEFT ( `a`-`1` RIGHT ) `+` LEFT ( `b`-`2` RIGHT ) `]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: 2 sqrt {3}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2 sqrt {5}]

11. 이차방정식 [eqn: x ^{2} `+`4x`+`2=0`]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha `,`` beta `]라
할 때, [eqn: {1} over {LEFT | ` alpha ` RIGHT |} `+` {1} over {LEFT | ` beta ` RIGHT |} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

12. 자연수 [eqn: 1`,``2`,``3`,``4`,``5`,``6`]과 [eqn: 5`]개의 □가 그림과 같이 배열되어
있다.

[eqn: 1``box{~~}``2``box{~~}``3``box{~~}``4``box{~~}``5``box{~~}``6`]

[eqn: 5`]개의 □ 중 [eqn: 2]개를 선택하여 덧셈기호 ‘[eqn: +]’로 바꾸고,
나머지 [eqn: 3`]개의 □는 지운 후 만들어진 식을 계산한다.
예를 들면 [eqn: 12`+`345`+`6=363`]이다.
이와 같은 방법으로 계산한 결과 중 가장 큰 수와
가장 작은 수의 차는? [3점]

① [eqn: 3353]	② [eqn: 3355]	③ [eqn: 3357]	④ [eqn: 3359]	⑤ [eqn: 3361]

13. 다음은 주어진 세 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인
[eqn: x`]에 대한 이차다항식 [eqn: A`,``B`,``C``]를 각각 구하는 과정이다.

[조건1] [eqn: A`]와 [eqn: B`]의 최대공약수는 [eqn: x`-`3`]
[조건2] [eqn: B`]와 [eqn: C`]의 최대공약수는 [eqn: x`+`2`]
[조건3] [eqn: A`]와 [eqn: C`]의 최소공배수는 [eqn: x ^{3} `-`2x ^{2} `-`5x`+`6`]

위의 [조건1]과 [조건2]에 의하여 [eqn: B`]는 [eqn: x`-`3`]과
[eqn: x`+`2`]를 인수로 갖고 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차다항식이므로
[eqn: B``=`(`x`+`2`)(`x`-`3`)`] [eqn: cdots` ㉠`]
[조건3]에서
[eqn: x ^{3} `-`2x ^{2} `-`5x`+`6`=(`x`+`2`)(`x`-`3`)(`` BOX{````(가)~} ``)] [eqn: cdots `㉡]
[eqn: ㉠`,``㉡`]에 의하여
[eqn: A``=` BOX{~~~~(나)~~~~} `], [eqn: C```=` BOX{~~~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~~~} `]

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 다항식을 각각
[eqn: f(x)`,``g(x)`,``h(x)`]라 할 때, [eqn: f(1)`+`g(2)`+`h(3)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 10`]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 12`]

14. 그림과 같이 넓이가 [eqn: 100` pi `]이고 중심이 [eqn: \O`]인 원 위의
두 점 [eqn: rm A`,``B`]에 대하여 호 [eqn: rm AB`]의 길이는 반지름의 길이의 [eqn: 2`]배이다. 선분 [eqn: rm AB`]의 길이는? (단, 호 [eqn: rm AB`]에 대한 중심각 [eqn: theta `]의 크기는 [eqn: 0< theta < pi `]이다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: theta]

① [eqn: 18`sin`1]	② [eqn: 20`sin`1]	③ [eqn: 22`sin`1]

④ [eqn: 18`sin`2]	⑤ [eqn: 20`sin`2]

15. 표는 양의 실수 [eqn: x`,``y`]에 대하여 두 종류의 변환장치를 설명한
것이다.

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

변환장치	변환	결과
[eqn: x] [eqn: y]	⇨	[eqn: {2xy} over {x`+`y} `]
[eqn: x`] [eqn: y`]	⇨	[eqn: ``x+y]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: {4xy} over {2x`+`y} `]

예를 들면 를 변환하였을 때

[eqn: 1 over x]

[eqn: 1 over y]

[eqn: y]

[eqn: x]

이다.

[eqn: {(가)} over {x`+`y}]

을 변환한 것을   라 할 때,

(가)에 알맞은 식은? [4점]

① [eqn: xy]	② [eqn: 2xy`]	③ [eqn: 2xy`+`1]

④ [eqn: 2xy`+`2]	⑤ [eqn: 4xy`+`2]

16. 등식 [eqn: z ^{2} =3`+`4i`]를 만족시키는 복소수 [eqn: z`]에 대하여
[eqn: z bar{z} `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고 [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)                                                            [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

17. 조선시대 산학서에서 중심이 같은 서로 다른 두 원으로 둘러싸인 도형을 환(環)이라 불렀다.

환(環)

다음은 실경과 정주라는 것을 이용하여 환의 넓이를 구하는
과정이다.

그림에서 두 원 [eqn: C _{1}`,``C_2`]는 모두 중심이 [eqn: \O`]인 원이다.
두 원 [eqn: C _{1} `,``C _{2} `]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r_1`,``r_2`][eqn: (`r _{1} `>`r _{2} `)`]라
하고, 원의 중심 [eqn: rm O`]와 원 [eqn: C _{1}] 위의 점 [eqn: \P`]를 연결한 선분이
원 [eqn: C_2`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자.
선분 [eqn: \PQ`]의 중점을 [eqn: \R`]라 하고, 중심이 [eqn: \O`]이고 선분 [eqn: \OR`]를 반지름으로 하는 원 [eqn: D`]를 그린다.

이때 선분 [eqn: \PQ`]의 길이를 실경, 원 [eqn: D`]의 둘레의 길이를
정주라 한다.
위에서 실경은 [eqn: box{~~(가)~~}`], 정주는 [eqn: 2 pi TIMES BOX{~~(나)~~} `]이므로
(실경)[eqn: `TIMES `](정주)[eqn: `=`(`` BOX{~~(가)~~} ``)` TIMES `(`2 pi TIMES ` BOX{~~(나)~~} ``)]
[eqn: =` pi r _{1} ^{```2} `-` pi r _{2} ^{```2}]
[eqn: =`(`]환의 넓이[eqn: `)`]
이다. 따라서 환의 넓이는 실경과 정주의 곱으로 구할 수 있다.

[eqn: bold D`]

[eqn: bold C_2`]

[eqn: bold{ C _{1}}]

[eqn: bold\Q]

[eqn: bold\O]

[eqn: bold {rm R}]

[eqn: bold\P]

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 더하면 [eqn: p`r _{1} `+`q`r _{2} `]이다.
[eqn: 8(`p` ^{2} `+`q` ^{2} `)`]의 값은? (단, [eqn: p`,``q`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 36]

18. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( `x` RIGHT ) `=x ^{2} `-`2x`-`3`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: y=f LEFT ( `x` RIGHT )]

함수 [eqn: g(`x`)`]를
[eqn: g(`x`)= {f(`x`)+` LEFT | `f(`x`)` RIGHT |} over {2} `]
라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: y=`g(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: x=2`]에 대하여 대칭이다. ㄴ. 방정식 [eqn: g(x)=1`]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 부등식 [eqn: g(x) le 0`]의 해는 [eqn: -1 le x le 3`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 두 실수 [eqn: x`,``y`]가 등식 [eqn: (`x`-`y`-`3`)(`x`+`y`-`2`)=0`]을 만족시킬 때, [eqn: 6` LEFT ( `x ^{2} `+`y ^{2} ` RIGHT ) `]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

20. 가격이 [eqn: 500`]원, [eqn: 700`]원, [eqn: 900`]원인 세 종류의 음료수를 선택할
수 있는 자판기에서 현금 [eqn: 28,000`]원을 남김없이 사용하여
[eqn: 40`]개의 음료수를 사려고 한다.
세 종류의 음료수를 각각 두 개 이상씩 산다고 할 때,
가격이 [eqn: 500`]원인 음료수의 최대 개수는? (단, 자판기에는
각 음료수가 충분히 들어 있다고 가정한다.) [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

21. 함수 [eqn: f(`x`)`]가 다음 세 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(`x`+` pi `)`=`f(`x`)`]이다.

(나) [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}]일 때, [eqn: f(`x`)`=`sin`4x]
(다) [eqn: {pi } over {2} <x LEQ pi `]일 때, [eqn: f(`x`)`=`-sin`4x]

이때 함수 [eqn: f(`x`)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= {x} over {pi } `]가 만나는 점의 개수는? [4점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 7`]	⑤ [eqn: 8`]

단답형(22 ~ 30)

22. 실수 전체의 집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: P`,``Q`]는
[eqn: P= LEFT { `x``□`10 LEQ x LEQ 26` RIGHT } `,``Q= LEFT { `x``□`1 LEQ x LEQ a` RIGHT } `]
이다. 두 집합 [eqn: P`,``Q`]가 각각 두 조건 [eqn: p`,``q`]의 진리집합일 때, 명제 [eqn: p`` -> ``q`]가 참이 되게 하는 실수 [eqn: a`]의 최솟값을 구하시오.                                                           [3점]

23. 무리함수 [eqn: f(`x`)= sqrt {4x`+`a} `+`b`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: f(`x`)= sqrt {4x``+``a} `+b]

[eqn: \O]

[eqn: -3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -1]

이때 [eqn: a`+`b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`,``b`]는 실수이다.) [3점]

24. 가로 세 칸, 세로 세 칸으로 이루어진 표에 세 다항식
[eqn: 2x`-`2`,``2x ^{2} `+`4x`,``-x ^{2} `+`x`-`3`]을 그림과 같이 한 칸에 하나씩
써 넣었다. 가로, 세로, 대각선으로 배열된 각각의 세 다항식의
합이 [eqn: 6x ^{2} `+`12x`]와 같도록 나머지 칸에 써 넣으려 할 때,
(가)의 위치에 알맞은 다항식은 [eqn: f(`x`)`]이다. [eqn: f(`10`)`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 2x`-`2]	[eqn: 2x ^{2} `+`4x]
(가)		[eqn: -x ^{2} `+`x`-`3]

25. 다항식 [eqn: P(`x`)`]를 [eqn: 2x ^{2} `-`5x`-`3`]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2x`+`3`]일 때,
다항식 [eqn: (`x ^{2} `-`2`)P(`x`)`]를 [eqn: x`-`3`]으로 나눈 나머지를 구하시오.
[3점]

26. [eqn: sqrt {`7`+`4 sqrt {3}} `]의 정수 부분을 [eqn: a`], 소수 부분을 [eqn: b`]라 할 때,
[eqn: 30` LEFT ( `a`-`b`-` {1} over {a+b} ` RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 원소로 가지는
집합 [eqn: A`]에 대하여 집합 [eqn: X`]를
[eqn: X` it = LEFT { `x`` LEFT | `x=sin` {a} over {6} pi `,``a IN A` RIGHT } ` RIGHT .]
라 하자. 집합 [eqn: X`]의 원소의 개수를 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 좌표평면 위에 모든 변이 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축에
평행한 두 직사각형 [eqn: rm ABCD`,``EFGH`]가 있다. 기울기가 [eqn: m`]인
한 직선이 두 직사각형 [eqn: rm ABCD`,``EFGH`]의 넓이를 각각 이등분할 때, [eqn: 12`m`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 7]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: -3]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: -2]

[eqn: -1]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

29. 두 실수 [eqn: x`,``y`]에 대하여 연립부등식
[eqn: {cases{``3y`-`2x LEQ x`+`y&#``y LEQ 3y`-`2x LEQ 50&}}]
의 영역을 좌표평면 위에 나타낼 때, 점 [eqn: it (`x`,``y`)`]가 존재하는 영역의 넓이를 구하시오. [4점]

30. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 정의된 함수 [eqn: f(`n`)`]이 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(`1`)=1`]

(나) [eqn: f(`2n`)=f(`n`)`,``f(`2n`+`1`)=f(`n`)`+`1`]

[eqn: 1 le n le 128`]에서 [eqn: f(`n`)`]은 [eqn: n=a`]일 때 최댓값 [eqn: M`]을 갖는다.
[eqn: a`+`M`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.