2020학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역

12

고 2	수학 영역

	수학 영역	고 2

제 2 교시

5 지선다형

1. 두 다항식

[eqn: A=2x ^{2} -3xy], [eqn: B=x ^{2} -4xy-y ^{2}]

에 대하여 [eqn: A-B`]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: x ^{2} +xy]	② [eqn: x ^{2} +2xy]	③ [eqn: x ^{2} -xy+y ^{2}]

④ [eqn: x ^{2} +xy+y ^{2}]	⑤ [eqn: x ^{2} +2xy+y ^{2}]

2. [eqn: 1+i ^{2} `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [2점]

① [eqn: 0]	② [eqn: -i]	③ [eqn: i]	④ [eqn: 1-i]	⑤ [eqn: 1+i]

3. 부등식 [eqn: LEFT | x-2 RIGHT | <3`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

4. 두 직선 [eqn: y=it-2x+3], [eqn: y=ax+1`]이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: - 1 over 2]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

5. 그림은 함수 [eqn: f`:`X``` -> ```X`]를 나타낸 것이다.

[eqn: f(5)+ LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (9)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 10]

6. 다항식 [eqn: x ^{2} +3x+6`]을 [eqn: x+2`]로 나눈 나머지는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

7. 좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rmA} LEFT ( 0,```a RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 6,```0 RIGHT ) `]이 있다. 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1`:`2`]로 내분하는 점이 직선 [eqn: y=it-x] 위에 있을 때, [eqn: a`]의 값은?

[3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

8. 곡선 [eqn: y=2x ^{2} -5x+a`]와 직선 [eqn: y=x+12`]가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 [eqn: x`]좌표의 곱이 [eqn: -4`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

9. 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: B`]가

[eqn: B-A= LEFT { 5,```6 RIGHT }]

을 만족시킨다. 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합이 [eqn: 12`]일 때,

집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

10. 다항식 [eqn: P(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) P(x)+ax+b]

를 만족시킬 때, [eqn: P(a-b)`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.)

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

11. 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 + y ^2 =1] 위의 점 중 제[eqn: `1`]사분면에 있는 점 [eqn: rm P`]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT ( 0,```3 RIGHT ) `]을 지날 때, 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는? [3점]

① [eqn: 2 over 3]	② [eqn: {sqrt {5}} over {3}]	③ [eqn: sqrt6 over 3]	④ [eqn: {sqrt {7}} over {3}]	⑤ [eqn: {2sqrt2} over {3}]

12. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]가 다음과 같다.

[eqn: p:`a<x<5],

[eqn: q:`x ^{2} -x-2<0]

[eqn: sim{p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 정수 [eqn: a`]의 최솟값은? (단, [eqn: a<5]) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

13. 연립방정식

[eqn: {cases{`x ^{2} -3xy+2y ^{2} =0 _{{}_{pile{`#`}}}#`x ^{2} -y ^{2} =9 _{`}}}]

의 해를

[eqn: {cases{`x= alpha _{1 _{pile{`#`}}}#`y= beta _{1}}}] 또는 [eqn: {cases{`x= alpha _{2 _{pile{`#`}}}#`y= beta _{2} `}}]

라 하자. [eqn: alpha _{1} <alpha _{2} `]일 때, [eqn: beta _{1} -beta _{2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -2 sqrt {3}]	② [eqn: -2 sqrt {2}]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]	④ [eqn: 2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 4]

14. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x+a`]가

[eqn: LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (2)= LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (4)]

를 만족시킬 때, [eqn: f(6)`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

15. 삼각형 [eqn: rmABC`]에서, 꼭짓점 [eqn: rmA`]와 선분 [eqn: rm BC] 위의 네 점을 연결하는 [eqn: 4`]개의 선분을 그리고, 선분 [eqn: rmAB] 위의 세 점과 선분 [eqn: rmAC] 위의 세 점을 연결하는 [eqn: 3`]개의 선분을 그려 그림과 같은 도형을 만들었다. 이 도형의 선들로 만들 수 있는 삼각형의 개수는? [4점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 50]	④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 70]

16. 함수 [eqn: f(x)= sqrt {3x-12} `]가 있다. 함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: 2] 이상의 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f` ^{-1} (`g(x))=2x]

를 만족시킬 때, [eqn: g(3)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt {5}]	③ [eqn: sqrt {6}]	④ [eqn: sqrt {7}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

17. 그림과 같이 크기가 같은 [eqn: 6`]개의 정사각형에 [eqn: 1`]부터 [eqn: 6`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있다.

서로 다른 [eqn: 4`]가지 색의 일부 또는 전부를 사용하여 다음 조건을 만족시키도록 [eqn: 6`]개의 정사각형에 색을 칠하는 경우의 수는? (단, 한 정사각형에 한 가지 색만을 칠한다.) [4점]

(가) [eqn: 1`]이 적힌 정사각형과 [eqn: 6`]이 적힌 정사각형에는 같은 색을 칠한다.

(나) 변을 공유하는 두 정사각형에는 서로 다른 색을 칠한다.

① [eqn: 72]	② [eqn: 84]	③ [eqn: 96]	④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 120]

18. 좌표평면의 제[eqn: `1`]사분면에 있는 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]와 원점 [eqn: rmO`]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAB`]의 무게중심 [eqn: rmG`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 8,```4 RIGHT ) `]이고, 점 [eqn: rm B`]와 직선 [eqn: rm OA] 사이의 거리는 [eqn: 6 sqrt {2} `]이다.
다음은 직선 [eqn: rm OB`]의 기울기가 직선 [eqn: rmOA`]의 기울기보다 클 때, 직선 [eqn: rm OA`]의 기울기를 구하는 과정이다.

선분 [eqn: rmOA`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하자.

점 [eqn: rm G`]가 삼각형 [eqn: rmOAB`]의 무게중심이므로

[eqn: {bar{rm BG it}} `:` {bar{rm GM it}}][eqn: =2`:`1]

이고, 점 [eqn: rm B`]와 직선 [eqn: rm OA] 사이의 거리가 [eqn: 6 sqrt {2} `]이므로 점 [eqn: rmG`]와 직선 [eqn: rm OA] 사이의 거리는 [eqn: {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}} `]이다.

직선 [eqn: rmOA`]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면 점 [eqn: rmG`]와 직선 [eqn: rm OA] 사이의 거리는

[eqn: {{BOX{~~ ^{`} (나) ^{`} ~~}} `} over {sqrt {m ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}}]

이고 [eqn: {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}} `]와 같다. 즉,

[eqn: {BOX{~~ ^{`} (나) ^{`} ~~}} `][eqn: = {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}} ` TIMES sqrt {m ^{2} +1}]

이다. 양변을 제곱하여 [eqn: m`]의 값을 구하면

[eqn: m= {BOX{~~~~~~}}] 또는 [eqn: m= {BOX{~~~~ ~~}} `]

이다.

이때 직선 [eqn: rmOG`]의 기울기가 [eqn: {1} over {2} `]이므로 직선 [eqn: rmOA`]의 기울기는 [eqn: {BOX{~~ ^{`} (다) ^{`} ~~}} `]이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q`]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(m)`]이라 할 때, [eqn: {f(q)} over {p ^{2}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {2} over {7}]	② [eqn: {5} over {14}]	③ [eqn: {3} over {7}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {4} over {7}]

19. 함수 [eqn: f(x)= {a} over {x-6} +b`]에 대하여 함수 [eqn: y= LEFT | f(x+a)+ {a} over {2} RIGHT | `]의 그래프가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭일 때, [eqn: f(b)`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이고, [eqn: a != 0`]이다.) [4점]

① [eqn: - {25} over {6}]	② [eqn: -4]	③ [eqn: - {23} over {6}]	④ [eqn: - {11} over {3}]	⑤ [eqn: - {7} over {2}]

20. [eqn: x`]에 대한 사차방정식

[eqn: x ^{4} + LEFT ( 3-2a RIGHT ) x ^{2} +a ^{2} -3a-10=0]

이 실근과 허근을 모두 가질 때, 이 사차방정식에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a`]는 실수이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a=1`]이면 모든 실근의 곱은 [eqn: -3`]이다. ㄴ. 모든 실근의 곱이 [eqn: -4`]이면 모든 허근의 곱은 [eqn: 3`]이다. ㄷ. 정수인 근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: -1`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 좌표평면 위에 세 점 [eqn: rmO LEFT ( 0,```0 RIGHT )], [eqn: rm A LEFT ( 0,```1 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( -1,```0 RIGHT ) `]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmOAB`]와 세 점 [eqn: rmO LEFT ( 0,```0 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 0,```-1 RIGHT )], [eqn: rm D LEFT ( 1,```0 RIGHT ) `]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rm OCD`]가 있다. 양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAB`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: t`]만큼 평행이동한 삼각형을 [eqn: T _{1}], 삼각형 [eqn: rm OCD`]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2t`]만큼 평행이동한 삼각형을 [eqn: T _{2} `]라 하자. 두 삼각형 [eqn: T _{1}], [eqn: T _{2} `]의 내부의 공통부분이 육각형 모양이 되도록 하는 모든 [eqn: t`]의 값의 범위는 [eqn: {1} over {3} <t<a`]이고, 이때 육각형의 넓이의 최댓값은 [eqn: M`]이다. [eqn: a+M`]의 값은? [4점]

① [eqn: {11} over {14}]	② [eqn: {23} over {28}]	③ [eqn: {6} over {7}]	④ [eqn: {25} over {28}]	⑤ [eqn: {13} over {14}]

	⇨

단답형

22. [eqn: {}_{3} {rmP} _{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 두 집합 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: n LEFT ( A RIGHT )][eqn: =12], [eqn: n LEFT ( B` RIGHT )][eqn: =25], [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: =4]

일 때, [eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

24. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x+6y=0`]의 넓이는 [eqn: k` pi `]이다. [eqn: k`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 세 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]가

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +4z ^{2} =62],

[eqn: xy-2yz+2zx=13]

을 만족시킬 때, [eqn: LEFT ( x-y-2z RIGHT ) ^{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +x-2=0`]의 서로 다른 두 허근을 [eqn: alpha], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: alpha ^{3} + beta ^{`3} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 명제

‘어떤 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x ^{2} +8x+2k-1 LEQ 0`]이다.’

가 거짓이 되도록 하는 정수 [eqn: k`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

28. 전체집합 [eqn: U= LEFT { `x`|`x` RIGHT .]는 [eqn: 5] 이하의 자연수[eqn: LEFT . ` RIGHT } `]의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT { 1,```2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,```3,```4 RIGHT } `]

에 대하여

[eqn: X SMALLINTER A != EMPTYSET], [eqn: X SMALLINTER B != EMPTYSET]

을 만족시키는 [eqn: U`]의 부분집합 [eqn: X`]의 개수를 구하시오. [4점]

29. 서로 다른 종류의 꽃 [eqn: 4`]송이와 같은 종류의 초콜릿 [eqn: 2`]개를 [eqn: 5`]명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 아무것도 받지 못하는 학생이 없도록 꽃과 초콜릿을 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. [4점]

30. 함수 [eqn: f(x)= sqrt {ax-3} +2`][eqn: LEFT ( a{ge} {3} over {2} RIGHT ) `]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { x`|`x{ge}2 RIGHT } `]에서 정의된 함수

[eqn: g(x)= {cases{`f(x) _{{}_{pile{`#`}}}&~ _{{}_{pile{`#`}}}#`f` ^{-1} (x) _{`}&}}]	([eqn: f(x)`<f` ^{-1} (x)`]인 경우) ([eqn: f(x) GEQ f` ^{-1} (x)`]인 경우)

가 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-n`]이 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h(n)`]이라 하자.

[eqn: h(1)=h(3)<h(2)`]

일 때, [eqn: g(4)= {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.