2013학년도 대학수학능력시험 대비

2012학년도 10월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리 나형 정답

1	③	2	⑤	3	③	4	⑤	5	③
6	①	7	②	8	③	9	④	10	①
11	②	12	②	13	④	14	①	15	②
16	①	17	④	18	③	19	④	20	⑤
21	⑤	22	[eqn: 21]	23	[eqn: 12]	24	[eqn: 19]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 2]	27	[eqn: 56]	28	[eqn: 3]	29	[eqn: 4]	30	[eqn: 420]

해 설

1~2. ‘가’형과 동일

3. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n-1} over {sqrt {n ^{2} +1}}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {{3- {1} over {n}} over {sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}}}} `][eqn: =3`]

4. [출제의도] 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: int_0 ^2 ( x^{`2} +1) `dx-int_0 ^2 x^2 `dx][eqn: = int_0 ^2 1 `dx][eqn: = 2]

5. [출제의도] 로그부등식의 성질을 이해한다.

로그의 정의에 의하여 [eqn: x-1>0`]이고, 로그부등식의 밑을 같게 하면 [eqn: x-1le 8] ∴ [eqn: 1<x le 9]

따라서 구하는 정수의 개수는 [eqn: 8`]이다.

6. [출제의도] 이항정리를 이용하여 이항계수를 계산한다.

[eqn: (x ^{2} +1) ^{5} `]의 전개식에서 [eqn: {} _{5} rm C _{it r rm} ( it x ^{2} ) ^{5-r} 1 ^{r} `][eqn: = _{5} rm C _{it r rm} ` it x ^{10-2r} `]이므로 [eqn: x ^{2} `]의 계수는 [eqn: r=4`]일 때 [eqn: {} _{5} rm C _{it 4 rm} `][eqn: =5]

7. [출제의도] 독립사건의 성질과 조건부 확률을 이해한다.

두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 독립이므로

[eqn: rm P (it A cap B)][eqn: = rm P (it A) cdot rm P (it B)][eqn: = 1over2 rm P (it B)]이다.

[eqn: rm P (it A cup B)][eqn: = rm P (it A) + rmP (it B) -rm P (it A cap B)]

[eqn: 2over3][eqn: = rm 1over2 + P (it B) - 1over2 rmP (it B)] [eqn: therefore] [eqn: rmP (it B) = 1over3]

8. [출제의도] 연속확률변수의 확률을 계산한다.

[eqn: rm P(0 le it X le 1)][eqn: = int_0 ^{`1} 1over2 x dx][eqn: = 1over4]

9. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 로그의 계산 문제를 해결한다.

[eqn: log _{a} b+log _{b} a`][eqn: = {log` _{} b} over {log` _{} a} + {log` _{} a} over {log` _{} b} `][eqn: = {(log`a`+log` _{} b) ^{2} -2log`a CDOT log`b} over {log` _{} a CDOT log`b} `]

[eqn: = {16-2 TIMES 2} over {2} `][eqn: =6`]

10. [출제의도] 정적분의 기본 정리를 이용하여 도함수의 정적분 문제를 해결한다.

[eqn: int _{0} ^{2} {f prime `(x)dx} `][eqn: =[f(x)] _{0} ^{2} `][eqn: =f(2)-f(0)`][eqn: =0-2`][eqn: =`-2`]

11. [출제의도] 미분가능성을 이해한다.

함수 [eqn: f(x)]가 연속이므로 [eqn: f(0)=a+b=1] [eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: f`(x)]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로

[eqn: f`'`(0)][eqn: = lim _{h -> +0} {{f` `(0+h)-f`(0)} over {h}} `][eqn: = lim _{h -> -0} {{f``(0+h)-f` (0)} over {h}} `]

그런데 [eqn: lim _{h -> -0} {{f` `(0+h)-f` (0)} over {h}} `][eqn: =`-1`],

[eqn: lim _{h -> +0} {{f` `(0+h)-f` (0)} over {h}}][eqn: =2a(0-1)`][eqn: =`-2a`]이므로

[eqn: -1=`-2a`] [eqn: CDOTS] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 [eqn: b= {1} over {2} `] ∴ [eqn: f(1)`][eqn: =b`][eqn: = {1} over {2} `]이다.

12. ‘가’형과 동일

13. [출제의도] 조건부 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

	[eqn: rmA]역	[eqn: rmB]역
	승차	하차	승차
남자	[eqn: 90]	[eqn: 18`]	[eqn: 60`]
여자	[eqn: 60`]	[eqn: 12`]	[eqn: 60`]

[eqn: rmB`]역에서 [eqn: rmC`]역으로 가는 도중 기차에 타고 있는 승객의 수는 남자 [eqn: 90-18+60=132`], 여자 [eqn: 60-12+60=108`]이므로 전체 승객은 [eqn: 240`]이다.

여자 승객이 선택될 확률은 [eqn: {108} over {240}]이고, [eqn: rmA`]역에서 승차한 여자 승객이 선택될 확률은 [eqn: {60-12} over {240} = {48} over {240} `]이므로구하는 확률은 [eqn: {{ 48} over {240 }} over { { 108} over {240 }} = {4} over {9}]

14. ‘가’형과 동일

15. [출제의도] 접선의 기울기를 이해한다.

[eqn: f` prime `(x)=2x ^{2} +a`]에서 [eqn: f`'`(0)=a`], [eqn: f` prime `(1)`=`2`+`a`]

그러므로 [eqn: a(2+a)=`-1], [eqn: (a+1) ^{2} =0`]

따라서 [eqn: a=`-1`]

16~17. ‘가’형과 동일

18. [출제의도] 함수의 극한을 이해한다.

ㄱ.[eqn: lim _{x -> -1-0} {f(x)=1} `]이고 [eqn: f(-1)=1]이므로 (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x-> 1`+0} {f(x)g(x)= lim _{x-> 1+0} {f(x)} lim _{x-> 1+0} {g(x)=1 CDOT 0=0}}]

[eqn: lim _{x -> 1`-0} {f(x)g(x)= lim _{x -> 1-0} {f(x)} lim _{x -> 1-0} {g(x)=0}} `] (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: lim _{x -> 1`} {f(x)g(x)=0} `], [eqn: f(1)g(1)=1 CDOT 1=1`](거짓)

19. [출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 추론한다.

[eqn: rmS _{1} `], [eqn: rmS _{2} `], [eqn: rmS _{3} `]이 등차수열을 이루므로 [eqn: rm 2S _{2} = {S _{1} +S _{3}}]이다.

[eqn: rm3S_2][eqn: rm =S _{1} +S _{2} +S _{3} `][eqn: = it int _{-1} ^{2} {f(x)dx} `]

[eqn: =left[- {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +2x right] _{-1} ^{2}]

[eqn: = {9} over {2}]     ∴ [eqn: rmS _{2} = {3} over {2}]

20. [출제의도] 도형에서 함수의 극한을 이해한다.

기울기가 [eqn: -2`]인 직선 [eqn: l]의 [eqn: y`]절편을 [eqn: b`]라 하면

직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: 2x+y-b=0`]

점 [eqn: rmC(2,~0)`]에서 직선 [eqn: l] : [eqn: 2x+y-b=0`]에 이르는 거리

[eqn: r= {|`2 CDOT 2-b`|} over {sqrt {5}} `][eqn: = {|`4-b`|} over {sqrt {5}} `]에서 [eqn: b=4± sqrt {5} r`] [eqn: CDOTS] ㉠

점 [eqn: rmC``'`(`3,3`)]에서 직선 [eqn: l] : [eqn: 2x+y-b=0`]에 이르는 거리

[eqn: f(r)= {|`9-b`|} over {sqrt {5}} `]에 ㉠을 대입하여 극한을 취하면

[eqn: lim _{r -> +0} {} `f(r)`][eqn: = lim _{r -> +0} {{|`5± sqrt {5} r`|} over {sqrt {5}}} `][eqn: = sqrt {5} `]

21~22. ‘가’형과 동일

23. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계를 이해한다.

그래프의 연결관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은 변의 개수의 두 배와 같으므로 [eqn: 6 CDOT 2=12`]

24. [출제의도] 이산확률분포를 이해한다.

[eqn: rmE(itX)=1 CDOT {3} over {10} +2 CDOT {1} over {2} +3 CDOT {1} over {5} `= {19} over {10}]이므로

[eqn: rmE(it10X)=10rmE(itX)`][eqn: =10 CDOT {19} over {10} `][eqn: =19`]

25. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수열의 합에 관한 문제를 해결한다.

[eqn: 64=2 ^{6} `]이므로 [eqn: [log _{2} ``64]=6`]

[eqn: 3 ^{3} =27<64<3 ^{4} =81`]이므로 [eqn: [log _{3} ```64]=3`]

[eqn: 4 ^{3} =64]이므로 [eqn: [log _{4} ``64]=3`]

[eqn: 5 ^{2} =25<64<5 ^{3} =125`]이므로 [eqn: [log _{5} ``64]=2`]

[eqn: 6 ^{2} =36<64<6 ^{3} =216`]이므로 [eqn: [log _{6} ``64]=2`]

그러므로 [eqn: sum _{n=2} ^{6} [log _{n} ``64]`][eqn: =16`]

26. [출제의도] 정적분의 성질을 이해한다.

[eqn: F(x)= int _{2} ^{x} {} ` LEFT ( `t ^{`2} +3`t-2` RIGHT ) `dt`]라 하면 [eqn: F`` prime (x)=x ^{2} +3x-2`]

(준식)[eqn: = lim _{x` -> `2} {} `` {F(x)-F(2)} over {x ^{`2} -4} `][eqn: = lim _{x` -> `2} {} `` {1} over {x+2} CDOT {F(x)-F(2)} over {x ^{`} -2} `]

[eqn: =`` {1} over {4} F``'`(2)][eqn: =`` {1} over {4} (2 ^{2} +3 CDOT 2-2)`][eqn: =2]

27. [출제의도] 중복조합을 이용하여 규칙을 추론한다.

쌓는 순서가 정해져 있으므로 세 개의 원판을 택하면 쌓는 방법은 한가지로 정해진다. 그러므로 구하는 방법의 수는 서로 다른 [eqn: 6`]개에서 [eqn: 3`]개를 택하는 중복조합의 수이므로 [eqn: rm{}_6+3-1 C_3 ={}_8 C_3 `][eqn: =56`]

28. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 도형에 응용된 극한 문제를 해결한다.

선분 [eqn: rmCP _{0}]의 길이를 [eqn: a`]([eqn: 0<a<1])이라 하면

[eqn: rmbar{P _{0} P _{1}} = bar{P _{2} P _{3}} `][eqn: rm= bar{P _{4} P _{5}} `][eqn: = ``CDOTS `][eqn: =a`]

[eqn: rmbar{P _{1} P _{2}} = bar{P _{3} P _{4}} `][eqn: rm= bar{P _{5} P _{6}} `][eqn: = ``CDOTS `][eqn: =1-`a]

이므로 [eqn: l _{2n} =`n`]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {l` _{2n}} over {2n+1} = lim _{n` -> ` INF }{n} over {2n+1} `][eqn: = {1} over {2} `] ∴ [eqn: a+b=3`]

29. [출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 극값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c`]라 하면 [eqn: f`'`(x)=3x ^{2} +2ax+b]

조건 (가)에 의하여 [eqn: y=f` prime `(x)`]의 그래프는 [eqn: y`]축에 대칭이므로 [eqn: a=0`]

따라서 [eqn: f`'`(x)=`3x ^{2} +b`]이고, 조건 (나)에서 [eqn: f`'`(1)=0`]이고 [eqn: f(1)=0`]이므로 [eqn: b=`-3`], [eqn: c=2`]

따라서 [eqn: f(x)]의 극댓값 [eqn: f(-1)=4`]

30. [출제의도] 수열의 규칙성을 이용하여 여러 가지 수열 문제를 해결한다.

[eqn: a _{n}]의 경우, 마지막 상태에서는 [eqn: 4n`]개의 동전 중 [eqn: 2n]개의 동전이 이므로 적어도 [eqn: 2n]번의 시행을 해야 한다. 그런데 [eqn: 4n`]개 동전을 [eqn: 4`]개씩 [eqn: n`]개의 묶음으로 나누면 각 묶음마다 [eqn: 2`]회씩을 시행하여 총 [eqn: 2n`]회의 시행 후 마지막 상태를 만들 수 있다. 즉,   ...  ⇨   ...  ⇨   ...  ⇨   ...  ⇨   ...  ⇨ ... ⇨   ...  와 같이 [eqn: 2n]번의 시행으로 마지막 상태를 만들 수 있으므로 [eqn: a _{n} =2n`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{20} 2n][eqn: =2 sum _{n=1} ^{20} n][eqn: =2 TIMES {20 CDOT 21} over {2}][eqn: =420]