2017학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =lnx]에 대하여 [eqn: f `' LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 4]	④ [eqn: 1 over 5]	⑤ [eqn: 1 over 6]

[eqn: tan` {3} over {4} pi]의 값은? [2점]

① [eqn: - sqrt3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt3]

12

[eqn: lim _{x `->` 0} {LEFT ( 1+2x RIGHT ) ^{{3} over {2x}} }]의 값은? [2점]

① [eqn: e]	② [eqn: e^2]	③ [eqn: e^3]	④ [eqn: e ^{4}]	⑤ [eqn: e^5]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm -1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm -2]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) + lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} -6x RIGHT ) dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =7]일 때,
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -5x] 위의 점 [eqn: LEFT ( `2,`-2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식이
[eqn: y=mx+n]일 때, 두 상수 [eqn: m], [eqn: n]의 합 [eqn: m+n]의 값은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -7]	④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -9]

부등식 [eqn: 1+log _{`2}` x LEQ log _{`2}` LEFT ( x+5 RIGHT )]를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의
값의 합은? [3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

함수

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``ax ^{2} +1 _{{}_{}} ```````&LEFT ( x<1 RIGHT ) _{{}_{}}#``x ^{3} +bx+1 ^{{}^{}} ```````&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT ) ^{{}^{}}}}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: f `' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x sinx +cosx]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( pi -2h RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {h}}]의
값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: pi over 2]	③ [eqn: pi]	④ [eqn: 3 over 2 pi]	⑤ [eqn: 2pi]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{2} +x]에 대하여 [eqn: lim _{n` ->` INF } {`{sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}}]의 값은?

[3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: { 19} over { 2}]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: {21} over {2}]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: 0 le x <2pi]일 때, 방정식 [eqn: sinx cos LEFT ( {pi } over {2} -x RIGHT ) = {1} over {3}]의
모든 해의 합은? [3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: 2 pi]	③ [eqn: 3pi]	④ [eqn: 4 pi]	⑤ [eqn: 5pi]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -1,``2 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{`2}` LEFT ( x ^{2} -2x+a RIGHT )]의
최솟값이 [eqn: 3]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

방정식 [eqn: x ^{3} + {1} over {2} x+k-3=0]의 실근이 열린 구간 [eqn: LEFT ( `0,``2 RIGHT )]에서
존재하도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +x]와 직선 [eqn: y=x-4]로 둘러싸인 부분의
넓이는? [4점]

① [eqn: 21 over 4]	② [eqn: 23 over 4]	③ [eqn: 25 over 4]	④ [eqn: {27} over {4}]	⑤ [eqn: 29 over 4]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{4} -4x-a ^{2} +a+9 ge 0]이
항상 성립하도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]이 있다.
정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에 내접하는 원 [eqn: O _{1}]과 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을
지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 그린다.
원 [eqn: O _{1}]의 내부와 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]을 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의
내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 원 [eqn: O _{1}]의 내부의 색칠하지 않은 부분인  모양의
도형 내부에 원 [eqn: O _{1}]의 중심을 지나고 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]에 평행한 직선 위의
두 점 [eqn: rm A _{2}], [eqn: rm B _{2}]와 원 [eqn: O _{1}] 위의 두 점 [eqn: rm C _{2}], [eqn: rm D _{2}]를 꼭짓점으로 하는
정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 그린다.
정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에 내접하는 원 [eqn: O _{2}]와 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 지름으로
하는 원의 위쪽 반원을 그린다.
원 [eqn: O _{2}]의 내부와 선분 [eqn: rmA _{2} B _{2}]를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의
내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R _{2}]에서 원 [eqn: O _{2}]의 내부의 색칠하지 않은 부분인  모양의
도형 내부에 그림 [eqn: R _{1}]에서 그림 [eqn: R _{2}]를 얻는 것과 같은 방법으로
만들어지는  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라
하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는
부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n} }]의 값은? [4점]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

[eqn: O _{2}]

[eqn: R _{3}]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

① [eqn: {9} over {4} LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]	② [eqn: {5} over {2} LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]	③ [eqn: {7} over {2} LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]

④ [eqn: {4} over {3} LEFT ( {8} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]	⑤ [eqn: {7} over {4} LEFT ( {8} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= LEFT | log _{`2}` x RIGHT |]와 직선 [eqn: y =x]가 있다.
직선 [eqn: x=a]([eqn: a>1])이 곡선 [eqn: y= LEFT | log _{`2}` x RIGHT |]와 만나는 점을 [eqn: rm A],
직선 [eqn: y=x]와 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자.
점 [eqn: rm A]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= LEFT | log _{`2}` x RIGHT |]와 만나는 점 중 [eqn: rm A]가 아닌 점을 [eqn: rm C]라 하고, 점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한
직선이 곡선 [eqn: y= LEFT | log _{`2}` x RIGHT |]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rm E]라 하자.
[eqn: bar { rmDE} = { 15} over {4 }]일 때, 선분 [eqn: rm CA]의 길이는? [4점]

[eqn: y]

[eqn: y= LEFT | log _{`2} `x RIGHT |]

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: y=x]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: x=a]

① [eqn: {9} over {8}]	② [eqn: 5 OVER 4]	③ [eqn: { 11} over { 8}]	④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: 13 over 8]

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의
시각 [eqn: t]에서의 속도가 각각

[eqn: v _{rm 1 it} LEFT ( it t RIGHT ) = {1} over {2} t ^{2} -3t], [eqn: v _{rm 2} LEFT ( it t RIGHT ) =it- {1} over {2} t ^{2} +t]

이다. 다음은 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 출발 후 처음으로 만날 때까지
두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리의 최댓값을 구하는 과정이다.

두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 시각 [eqn: t`]에서의 위치를 각각 [eqn: x _{rm 1} LEFT ( it t RIGHT )], [eqn: x _{rm 2} LEFT ( it t RIGHT )]라 하면

[eqn: x _{rm 1 it} LEFT ( it t RIGHT ) = {1} over {6} t ^{3} - {3} over {2} t ^{2}]
[eqn: x _{2} LEFT ( it t RIGHT ) = LEFT . {BOX{`````````(가) _{{}_{{}_{}}}^{{}^{{}^{}}} `````````}} RIGHT .]

출발 후 처음으로 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 만나는 시각은 [eqn: t= 6]이다.
[eqn: 0<t LEQ 6]에서 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q] 사이의 거리를 [eqn: l LEFT ( t RIGHT )]라 하면
[eqn: l LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t= LEFT . {BOX{`````````(나) _{{}_{{}_{}}}^{{}^{{}^{}}} `````````}} RIGHT .]일 때 극대이면서 최대이므로

[eqn: l LEFT ( t RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: LEFT . {BOX{`````````(다) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}} `````````}} RIGHT .]이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를
각각 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: {a times b} over {f LEFT ( 2 RIGHT )}]의 값은? [4점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 64]	④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 68]

그림과 같이 [eqn: 1]보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 원

[eqn: O _{1} `:` LEFT ( x-n RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]
[eqn: O _{2} `:`x ^{2} +y ^{2} =2 LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2}]

과 점 [eqn: rm A _{it n} LEFT ( `2 it n,``0 RIGHT )]이 있다. 원 [eqn: O _{1}]과 직선 [eqn: x= n]이 만나는 두 점을
각각 [eqn: rm B _{it n}], [eqn: rm C _{it n}], 원 [eqn: O _{2}]와 직선 [eqn: x=it-n+1`]이 만나는 두 점을
각각 [eqn: rm D _{it n}], [eqn: rm E _{it n}]이라 하자. 오각형 [eqn: rm `A_{itn} B_{itn}D_{itn}E_{itn}C_{itn}]의 둘레 및 내부에
있는 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점들의 개수를
[eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {5} n- sqrt {a _{n}}` RIGHT )}]의 값은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: {rmA} _{n}]

[eqn: {rm B} _{n}]

[eqn: {rm C} _{n}]

[eqn: {rm E} _{n}]

[eqn: {rm D} _{n}]

[eqn: x=-n+1]

[eqn: x=n]

[eqn: CDOTS]

[eqn: VDOTS]

[eqn: VDOTS]

[eqn: {rm G} _{n}]

[eqn: {rm F} _{n}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: O _{2}]

[eqn: O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: {rmA} _{n}]

[eqn: {rm B} _{n}]

[eqn: {rm C} _{n}]

[eqn: {rm E} _{n}]

[eqn: {rm D} _{n}]

[eqn: x=it-n+1]

[eqn: x=n]

[eqn: O _{1}]

[eqn: O _{2}]

[eqn: rmO]

① [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: { 3sqrt5} over { 5}]

④ [eqn: {4 sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: sqrt5]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it-x+2-t]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = int _{0} ^{t} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}]

라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: t>0]) [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = { 1} over {2 }] ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=2]에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {2} over {3}]는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: rmO]인
반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm ANGLE PAB= theta]라 하고,
점 [eqn: rmO]를 지나고 선분 [eqn: rmAP]에 수직인 직선이 호 [eqn: rm AP]와
만나는 점을 [eqn: rm Q], 선분 [eqn: rm AP]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자.
삼각형 [eqn: rmPQR]에 내접하는 원의 반지름을 [eqn: f( theta )]라 할 때,
[eqn: lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -} {{f( theta )} over {LEFT ( {pi } over {2} -theta RIGHT ) ^{2}}}]의 값은? (단, [eqn: 0 < theta < pi over 2]) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: rm R]

[eqn: rmQ]

[eqn: rm P]

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT )]

[eqn: theta]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over 4]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5 over 4]

단 답 형

[eqn: lim _{n `->` INF } {{5times2^n+1 -1} over {2 ^{n} +1}}]의 값을 구하시오. [3점]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{2} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =x ^{3} +x-10]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )=x ^{3}-6x^2 +9x+9]는 극솟값 [eqn: a]와 극댓값 [eqn: b]를 갖는다.
두 수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {na _{n} -7n+1} over {2n-1} =5]

일 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {a _{n} }]의 값을 구하시오. [3점]

다항함수 [eqn: f left( x right)]가

[eqn: lim _{ x`->`inf } {{f left( x right) - x^3 }over5x^2}} = 2], [eqn: lim _{x` -> `-1} { {f LEFT ( x RIGHT )} over {x+1} }=it-8]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{ax ^{n+2} +7x} over {3x ^{n} +2} }]

가 [eqn: x=1`]에서 연속일 때, [eqn: 20a]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=xe^x] 위의 점 [eqn: {rm P} left(` t,``te^t right)]([eqn: t>0])을
중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원을 [eqn: C`]라 하자.
원 [eqn: C`]의 반지름의 길이를 [eqn: r it (t)], 원점 [eqn: rmO]를 지나고 원 [eqn: C`]에
접하는 직선 중에서 [eqn: y]축이 아닌 직선의 기울기를 [eqn: m LEFT ( t RIGHT )]라 할 때,
[eqn: lim _{ t`->`0+ } {{4{r }LEFT(t RIGHT)- { e^t }times{m} LEFT ( t RIGHT ) } over {t} }]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rmP]

[eqn: y=xe ^{x}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: C]

세 변의 길이가 [eqn: {bar{rm AB it}} = sqrt {21}], [eqn: {bar{rm BC it}} = sqrt {15}], [eqn: {bar{rm CA it}} =3 sqrt {2}]인
삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 점 [eqn: rm B]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린
수선의 발을 [eqn: rm D]라 하고, 점 [eqn: rm C]를 중심으로 하고 점 [eqn: rm D]를 지나는 원을
[eqn: O`]라 하자. 점 [eqn: rm B]에서 원 [eqn: O`]에 그은 접선 중 점 [eqn: rm D]를 지나지 않는
접선을 [eqn: l`]이라 할 때, 점 [eqn: rm A]에서 직선 [eqn: l`]까지의 거리는 [eqn: q over p sqrt2]이다.
[eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: l]

[eqn: O]

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에서
[eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: t]([eqn: t>1])까지 변할 때의 평균변화율을
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 정의할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=2]에서 극댓값 [eqn: 0]을 갖는다.
함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 최솟값이 존재할 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )]의
서로 다른 실근의 합의 최솟값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.