2020학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

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고 3	수학 영역(나형)

	수학 영역(나형)	고 3

제 2 교시

5 지선다형

1. [eqn: lim _{x `rarrow `2} left( x ^{2} +5right)}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

2. 방정식 [eqn: LEFT ( ` {1} over {4} ` RIGHT ) ^{-x}][eqn: = 64`]를 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 값은? [2점]

① [eqn: -3]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

3. [eqn: theta`]가 제[eqn: `3`]사분면의 각이고 [eqn: cos`theta=it- 4over5`]일 때, [eqn: tan` theta `]의 값은?

[2점]

① [eqn: - 4 over 3]	② [eqn: - 3 over 4]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 4 over 3]

4. 등차수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여

[eqn: a _{2} +a _{3} =2left(a _{1} +12 right)]

일 때, 수열 [eqn: left{a_n right}`]의 공차는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

5. [eqn: int _{5} ^{2} {2t`dt} `- int _{5} ^{0} {2t`dt} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

6. 모든 실수에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]가

[eqn: left(x-1 right) f(x)][eqn: =x ^{2} -3x+2`]

를 만족시킬 때, [eqn: f(1)`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

7. [eqn: 0 le x < 2 pi`]일 때, 두 곡선 [eqn: y=cos` LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT ) `]와 [eqn: y= sin `4x`]가 만나는 점의 개수는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

8. [eqn: a>1`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 직선 [eqn: y= it-x`]가 곡선 [eqn: y=a^{`x} `]과  만나는 점의 좌표를 [eqn: left(p,``-p right)], 곡선 [eqn: y=a^{`2x} `]과 만나는 점의 좌표를 [eqn: left(q,``-q right)`]라 할 때, [eqn: log _{a} `{p}`{q}= it -8`]이다. [eqn: p+2q`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -8]

9. 함수 [eqn: f ( x ) =x ^{`3} -2x ^{`2} +ax+1`]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f ( 2+ h ) -f( 2 )} over {h}} =9`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

10. 그림은 [eqn: 16`]개의 칸 중 [eqn: 3`]개의 칸에 다음 규칙을 만족시키도록 수를 써 넣은 것이다.

(가) 가로로 인접한 두 칸에서 오른쪽 칸의 수는 왼쪽 칸의 수의 [eqn: 2`]배이다.

(나) 세로로 인접한 두 칸에서 아래쪽 칸의 수는 위쪽 칸의 수의 [eqn: 2`]배이다.

첫 번째 줄 →

두 번째 줄 →

세 번째 줄 →

네 번째 줄 →

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

이 규칙을 만족시키도록 나머지 칸에 수를 써 넣을 때, 네 번째 줄에 있는 모든 수의 합은? [3점]

① [eqn: 119]	② [eqn: 127]	③ [eqn: 135]	④ [eqn: 143]	⑤ [eqn: 151]

11. 등차수열 [eqn: left{a_n right}], 등비수열 [eqn: left{b_n right}`]에 대하여 [eqn: a _{1} =b _{1} =3`]이고

[eqn: b_3 = it -a_2], [eqn: a_2 + b_2][eqn: =a_3 + b_3]

일 때, [eqn: a _{3} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

12. 두 함수 [eqn: y= f(x)], [eqn: y= g(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `1-} {} f(x)g(x)=it-1] ㄴ. [eqn: f(1) g(1)][eqn: =0] ㄷ. 함수 [eqn: f(x) g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 불연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

13. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: y=][eqn: f ( x) `]의 그래프가 [eqn: x`]축에 접한다. 함수 [eqn: g ( x) = LEFT ( x-3 RIGHT ) f` prime ( x) `]에 대하여 곡선 [eqn: y=g(x)`]가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭일 때, [eqn: f(0)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 25]

14. 세 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 만을 사용하여 일곱 자리의 자연수를 만들 때, 세 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]을 모두 한 번 이상씩 사용하고 숫자 [eqn: 2`]를 반드시 짝수 번째 자리에만 오도록 놓는 경우의 수를 구하려고 한다. 다음은 이것을 구하는 과정의 일부이다.

일곱 자리의 자연수를 만들 때, 짝수 번째 자리는

세 군데이므로 숫자 [eqn: 2`]는 많아야 세 번 사용할 수 있다.

(ⅰ) 숫자 [eqn: 2`]를 한 번 사용한 경우
[eqn: 2`]를 십의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1,] [eqn: 1], [eqn: 1,] [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1,] [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3`] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3] 또는
[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3,] [eqn: 3`] 또는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3,] [eqn: 3`]을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 [eqn: {BOX{~~(가) ^{`}~ ~}} `]이다.
[eqn: 2`]를 짝수 번째 자리에 한 번 오도록 놓는 경우의 수는 세 군데 중 한 군데를 선택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: `_{3} {\C}_1 `]이다.
그러므로 숫자 [eqn: 2`]를 한 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 [eqn: box{~~(나)^{`}~~}`]이다.

(ⅱ) 숫자 [eqn: 2`]를 두 번 사용한 경우

[eqn: VDOTS] (중략)

(ⅲ) 숫자 [eqn: 2]를 세 번 사용한 경우
[eqn: 2`]를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에
[eqn: 1], [eqn: 3`]을 모두 한 번 이상씩 사용하여 나열한 것이므로
그 경우의 수는 [eqn: box{~~(다)^{`}~~}`]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 경우의 수는 [eqn: 290`]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]라 할 때, [eqn: p+q+r`]의 값은? [4점]

① [eqn: 262]	② [eqn: 267]	③ [eqn: 272]	④ [eqn: 277]	⑤ [eqn: 282]

15. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = sum _{k=1} ^{n} k`a _{k} `]

를 만족시킨다. [eqn: a _{1} =2`]일 때, [eqn: a _{2} + {a _{51}} over {a _{50}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 47]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 51]	④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 55]

16. 그림과 같이 자연수 [eqn: m`]에 대하여 두 함수 [eqn: y= 3^{`x}`], [eqn: y= log_2 x`]의 그래프와 직선 [eqn: y=m`]이 만나는 점을 각각 [eqn: {\A}_m], [eqn: {\B}_m`]이라 하자. 선분 [eqn: rm A it rm _{m} rm B it rm _{m} `]의 길이 중 자연수인 것을 작은 수부터 크기순으로 나열하여 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots`]이라 할 때, [eqn: a_3`]의 값은? [4점]

① [eqn: 502]	② [eqn: 504]	③ [eqn: 506]	④ [eqn: 508]	⑤ [eqn: 510]

17. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: a_3 =42`]일 때, 다음 조건을 만족시키는 [eqn: 4] 이상의 자연수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

(가) [eqn: a _{k-3} +a _{k-1} =it-24]

(나) [eqn: S _{k} = k ^{`2}]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

18. [eqn: a>0`]인 상수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)= LEFT | left(x ^{`2} -9 right) left(x+a right) RIGHT | `]가 오직 한 개의 [eqn: x] 값에서만 미분가능하지 않을 때, 함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값은? [4점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

19. 길이가 각각 [eqn: 10], [eqn: a], [eqn: b`]인 세 선분 [eqn: {rm AB}], [eqn: rm BC], [eqn: rm CA`]를 각 변으로 하는 예각삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 세 꼭짓점을 지나는 원의 반지름의 길이가 [eqn: 3 sqrt {5} `]이고 [eqn: {a ^{`2} +b ^{`2} -ab`cos C it} over {ab} `][eqn: = 4 over 3`]일 때, [eqn: ab`]의 값은? [4점]

① [eqn: 140]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 160]	④ [eqn: 170]	⑤ [eqn: 180]

20. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)][eqn: = int_0 ^x f(t) dt + f(x)]

라 할 때, 함수 [eqn: g(x)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값 [eqn: 0`]을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: g(x)`]의 도함수 [eqn: y=g`'(x)`]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: f(2)`]의 값은? [4점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

21. 이차함수 [eqn: g(x)=x ^{`2} -6x+10`]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f( x ) =0`]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: left(`g circf right)(x)`]의 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, 방정식 [eqn: g(`f(x))=m`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(다) 방정식 [eqn: g(`f(x))=17`]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값과 극솟값의 합은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

단답형

22. [eqn: sum _{k=1} ^{5} k ^{`2}`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 함수 [eqn: f(x)=x ^{`4} +3x ^{`2} +9x-27`]에 대하여 [eqn: f` prime (1)]의 값을 구하시오. [3점]

24. 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 [eqn: 7`]개의 원이 있다.

[eqn: 7`]개의 원에 서로 다른 [eqn: 7`]개의 색을 모두 사용하여 색칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 한 원에는 한 가지 색만 칠하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

25. [eqn: 10 LEQ x<1000`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x ^{`3} - log `1 over x^{`2} `]의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 [eqn: x`]의 개수를 구하시오. [3점]

26. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 두 점 [eqn: rm A left(-2,``0right)], [eqn: rm P it left(t,``t+2 right)`]를 지나는 이차함수 [eqn: f(x)`]가 있다. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 할 때, [eqn: lim _{t` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {2} TIMES {bar{rm AP it rm }} - {bar{rm AQ it rm }} RIGHT )} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: t!=it -2]) [4점]

27. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP `]의 시각 [eqn: t `]에서의 속도 [eqn: v( t ) `]가 [eqn: v ( t) = 3t ^{`2} -12t+9`]이다. 점 [eqn: \P`]가 [eqn: t=0`]일 때 원점을 출발하여 처음으로 운동 방향을 바꾼 순간의 위치를 [eqn: \A`]라 하자. 점 [eqn: \P`]가 [eqn: \A`]에서 방향을 바꾼 순간부터 다시 [eqn: \A`]로 돌아올 때까지 움직인 거리를 구하시오. [4점]

28. 자연수 [eqn: a`]에 대하여 두 함수

[eqn: f(x)][eqn: = it-x^{`4} -2x^{`3} - x^{`2}], [eqn: g ( x ) =3x ^{`2} +a `]

가 있다. 다음을 만족시키는 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [4점]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식

[eqn: f ( x ) le 12x +k le g ( x )`]

를 만족시키는 자연수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 3`]이다.

29. 그림과 같이 예각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 한 원에 내접하고 있다. [eqn: bar{\AB} = 6`]이고, [eqn: rm ANGLE ABC= alpha`]라 할 때 [eqn: cos `alpha][eqn: = 3 over 4`]이다. 점 [eqn: rm A`]를 지나지 않는 호 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rm D`]에 대하여 [eqn: rm {bar{CD}} =4`]이다.

두 삼각형 [eqn: rm ABD], [eqn: rm CBD`]의 넓이를 각각 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2} `]라 할 때, [eqn: S _{`1} `:`S _{`2} =9`:`5`]이다. 삼각형 [eqn: rm ADC`]의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: S^{`2}]의 값을 구하시오. [4점]

30. 닫힌구간 [eqn: left[-1,``1right]`]에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)`]는 정의역에서 증가하고 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)=it-f(x)`]가 성립할 때, 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 닫힌구간 [eqn: left[-1,``1 right]`]에서 [eqn: g(x)=f(x)`]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: left[2n-1,``2n+1 right]`]에서 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 2n`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 6n`]만큼 평행이동한 그래프이다. (단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

[eqn: f(1)= 3`]이고 [eqn: int_0 ^1 f(x) dx = 1`]일 때, [eqn: int _{3} ^{6} {} g(x)dx`]의 값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.