	5지선다형

고 3	수학 영역 (나형)

	수학 영역 (나형)	고 3

12

12

2016학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (나형)

제 2 교시

1. [eqn: 3 TIMES 27 ^{{1} over {3}}]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 6]	②	[eqn: 9]	③	[eqn: 12]	④	[eqn: 15]	⑤	[eqn: 18]

2. 두 집합 [eqn: A=left{`2,~3,~5` right}], [eqn: B= LEFT { `1,~2,~3,~6` RIGHT }]에 대하여
[eqn: A smallinter B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

	①	[eqn: 5]	②	[eqn: 6]	③	[eqn: 7]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 9]

3. [eqn: lim _{x` ->` 2} {{ LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) } over {x-2}}]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 3]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 5]	④	[eqn: 6]	⑤	[eqn: 7]

4. 두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B`]는 서로 독립이고
[eqn: rm P(it A)= { 1} over { 3}] ,   [eqn: rm P( it B)= {1} over {4}]
일 때, [eqn: rm P( it A smallunion B)`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: { 1} over { 4}]	②	[eqn: { 1} over {3}]	③	[eqn: { 5} over { 12}]	④	[eqn: {1} over { 2}]	⑤	[eqn: { 7} over { 12}]

5. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +3x+1`]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f(1+h)-f(1)} over {h}} `]의
값은? [3점]

	①	[eqn: 5]	②	[eqn: 7]	③	[eqn: 9]	④	[eqn: 11]	⑤	[eqn: 13]

6. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 다음과 같다.

[eqn: lim _{x` -> `-1-} {f(x)+ lim _{x` -> `1+} {f(x)}}]의 값은? [3점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rm O]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

7. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가

[eqn: p:~x geqa]

[eqn: q:~1 leqx leq3] 또는 [eqn: x geq7]

이다. 명제 [eqn: p``->``q`]가 참이 되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 최솟값은?

[3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 5]	④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 9]

8. [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( ax ^{2} +1 RIGHT ) dx=4`}]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 7]	②	[eqn: 9]	③	[eqn: 11]	④	[eqn: 13]	⑤	[eqn: 15]

9. 이산확률변수 [eqn: X``]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X``]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	계
[eqn: {rmP} LEFT ( X=x RIGHT )]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: 1]

[eqn: rm E LEFT ( it6X+1 RIGHT )]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 9]	②	[eqn: 11]	③	[eqn: 13]	④	[eqn: 15]	⑤	[eqn: 17]

10. 집합 [eqn: X= left{`1,~2,~3,~4`right}`]에 대하여 함수 [eqn: f:X``->`X`]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 함수 [eqn: f `]는 일대일대응이다.
	(나) 집합 [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: f(a)!=a`]이다.

[eqn: f(1)+f(4)=7`]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 4]	②	[eqn: 5]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 8]

11. 같은 종류의 접시 [eqn: 3`]개에 같은 종류의 쿠키 [eqn: 10`]개를 남김없이 나누어 담을 때, 빈 접시가 없도록 담는 모든 방법의 수는?

[3점]

	①	[eqn: 4]	②	[eqn: 6]	③	[eqn: 8]	④	[eqn: 10]	⑤	[eqn: 12]

12. 두 함수 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)`]가

[eqn: f(x)= sqrt {x+1}]

[eqn: g(x)= {p} over {x-1} +q] [eqn: LEFT (` p>0], [eqn: q>0`RIGHT )]

이다. 두 집합 [eqn: A`=LEFT {`f(x)`|`-1 leqx leq0 RIGHT }`]과 [eqn: B`=LEFT {`g(x)`|`-1 leqx leq0 RIGHT }`]이 서로 같을 때, 두 상수 [eqn: p`], [eqn: q`]에 대하여 [eqn: p+q`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

[13~14] 이차함수 [eqn: {bold{f(x)=`- {1} over {2} x ^{2} +3x`}} `]에 대하여
13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 6]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f(x)]

13. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때,
[eqn: S _{n} =2f LEFT ( n RIGHT )]이다. [eqn: a _{6} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: -9]	②	[eqn: -7]	③	[eqn: -5]	④	[eqn: -3]	⑤	[eqn: -1]

14. 주머니 [eqn: A`]와 [eqn: B`]에는 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]의 숫자가 하나씩 적혀
있는 [eqn: 5`]개의 공이 각각 들어 있다. 주머니 [eqn: A`]와 [eqn: B`]에서 각각
공을 임의로 한 개씩 꺼내어 주머니 [eqn: A`]에서 꺼낸 공에 적혀
있는 수를 [eqn: a`], 주머니 [eqn: B`]에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 [eqn: b`]라 할 때, 직선 [eqn: y=ax+b`]가 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나지 않을
확률은? [4점]

	①	[eqn: 17 over 25]	②	[eqn: {18} over {25}]	③	[eqn: {19} over {25}]	④	[eqn: {4} over {5}]	⑤	[eqn: {21} over {25}]

[eqn: 1] [eqn: 3] [eqn: 4] [eqn: 2] [eqn: 5]	[eqn: 1] [eqn: 3] [eqn: 4] [eqn: 2] [eqn: 5]
주머니 [eqn: A]	주머니 [eqn: B]

15. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1`} `]이
있다. 네 변 [eqn: rm A _{1} B _{1} `], [eqn: rm B _{1} C _{1}], [eqn: rm C _{1} D _{1} `], [eqn: rm D _{1} A _{1}]을 각각 지름으로 하는 반원을 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1`} `]의 외부에 그려 만들어진 [eqn: 4]개의
호로 둘러싸인 모양의 도형을 [eqn: E _{1} `]이라 하자. 네 변
[eqn: rm D _{1} A _{1}], [eqn: rm A _{1} B _{1} `], [eqn: rm B _{1} C _{1}], [eqn: rm C _{1} D _{1} `]의 중점 [eqn: rm P _{1} `], [eqn: rm Q _{1} `], [eqn: rm R _{1} `], [eqn: rm S _{1} `]을
꼭짓점으로 하는 정사각형에 도형 [eqn: E _{1}]을 얻는 것과 같은
방법으로 만들어지는 모양의 도형을 [eqn: F _{1}]이라 하자.
도형 [eqn: E _{1} `]의 내부와 도형 [eqn: F _{1} `]의 외부의 공통부분에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: G _{1} `]이라 하자.
그림 [eqn: G _{1} `]에 네 변 [eqn: rm P _{1} Q _{1} `], [eqn: rm Q _{1} R _{1}], [eqn: rm R _{1} S _{1} `], [eqn: rm S _{1} P _{1}]의 중점
[eqn: rm A _{2} `], [eqn: rm B _{2} `], [eqn: rm C _{2} `], [eqn: rm D _{2} `]를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 [eqn: E _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 모양의
도형을 [eqn: E _{2} `]라 하자. 네 변 [eqn: rm D _{2} A _{2}], [eqn: rm A_{2}B _{2} `], [eqn: rm B _{2} C _{2}], [eqn: rm C _{2} D _{2} `]의 중점 [eqn: rm P _{2} `], [eqn: rm Q _{2} `], [eqn: rm R _{2} `], [eqn: rm S` _{2} `]를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 [eqn: E _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 모양의
도형을 [eqn: F _{2}]라 하자. 그림 [eqn: G _{1} `]에 도형 [eqn: E _{2} `]의 내부와 도형 [eqn: F _{2} `]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: G _{2} `]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: G _{n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: T_n `]이라 할 때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } {T _{n}} `]의 값은? [4점]

[eqn: rmA _{1}] [eqn: rm D _{1}] [eqn: rm C _{1}] [eqn: rm B _{1}] [eqn: rm P` _{1}] [eqn: rm R _{1}] [eqn: rm Q _{1}] [eqn: rm S _{1}]	[eqn: rmA _{1}] [eqn: rm D _{1}] [eqn: rm C _{1}] [eqn: rm B _{1}] [eqn: rm A _{2}] [eqn: rm D _{2}] [eqn: rm C _{2}] [eqn: rm B _{2}]
[eqn: G _{`1}]	[eqn: G _{`2}]
	[eqn: CDOTS]
[eqn: G _{`3}]	[eqn: CDOTS]

	①	[eqn: {4} over {3}( pi +2)]	②	[eqn: {3} over {2}( pi +2)]	③	[eqn: { 5} over { 3} ( pi +2)]
	④	[eqn: {4} over {3} ( pi +4)]	⑤	[eqn: {5} over {3} ( pi +4)]

[eqn: z`]	[eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQ Z leq z RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

16. 어느 공장에서 생산되는 휴대전화 [eqn: 1`]대의 무게는 평균이 [eqn: 153 rm g]이고 표준편차가 [eqn: 2rmg`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 휴대전화 중에서 임의로 선택한
휴대전화 [eqn: 1`]대의 무게가 [eqn: 151 rm g`] 이상이고 [eqn: 154 rm g`] 이하일 확률을 오른쪽
표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[4점]

	①	[eqn: 0.3830]	②	[eqn: 0.5328]	③	[eqn: 0.7745]
	④	[eqn: 0.8185]	⑤	[eqn: 0.9104]

17. 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (`][eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`` right)]의 개수는? [4점]

	(가) [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`] 중에서 홀수의 개수는 [eqn: 2`]이다.
	(나) [eqn: a+b+c+d=12]

	①	[eqn: 108]	②	[eqn: 120]	③	[eqn: 132]	④	[eqn: 144]	⑤	[eqn: 156]

18. 그림과 같이 두 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 도함수 [eqn: y=f `prime (x)], [eqn: y=g `prime(x)]의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x`]좌표는
[eqn: a`], [eqn: b`]([eqn: 0<`a`<b`])이다. 함수 [eqn: h(x)`]를
[eqn: h(x) = f(x) -g(x)]
라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[eqn: (]단, [eqn: f `prime(0)=7], [eqn: g` prime (0 )=2][eqn: )] [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: 7]

[eqn: 2]

[eqn: y=f`'(x)]

[eqn: y=g'(x)]

		<보 기>
	ㄱ. 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=a`]에서 극댓값을 갖는다.
	ㄴ. [eqn: h(b)=0`]이면 방정식 [eqn: h(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다.
	ㄷ. [eqn: 0< alpha < beta <b`]인 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta`]에 대하여 [eqn: h(beta)-h(alpha) < 5(beta-alpha)]이다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 다음은 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} (2k-1) LEFT ( 2n+1-2k RIGHT ) ^{2} = {n ^{2} (2n ^{2} +1)} over {3}]
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

	(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = 1], (우변)[eqn: = 1] 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=m]일 때, 등식 [eqn: sum _{k=1} ^{m} (2k-1) LEFT ( 2m+1-2k RIGHT ) ^{2} = {m ^{2} (2m ^{2} +1)} over {3}] 이 성립한다고 가정하자. [eqn: n=m+1] 일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{m+1} (2k-1) LEFT ( 2m+3-2k RIGHT ) ^{2}] [eqn: =sum _{k=1} ^{m} (2k-1) LEFT ( 2m+3-2k RIGHT ) ^{2} +`box{~(가)~}] [eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2k-1) LEFT ( 2m+1-2k RIGHT ) ^{2}] [eqn: + ``{BOX{~(나)~}}`times sum _{k=1} ^{m} (2k-1)(m+1-k)`+`` {BOX{~(가)~}}] [eqn: = {(m+1) ^{2} `left{2(m+1)^2`+1 right}} over {3}] 이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 주어진 등식이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n] 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(m)`], (나)에 알맞은 수를 [eqn: p`]라
할 때, [eqn: {f LEFT ( 3 RIGHT )} +p] 의 값은? [4점]

	①	[eqn: 11]	②	[eqn: 13]	③	[eqn: 15]	④	[eqn: 17]	⑤	[eqn: 19]

20. 두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {x`g LEFT ( x RIGHT ) dx}] ,  [eqn: {d} over {dx} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } =4x ^{3} +2x]

를 만족시킬 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )`]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 10]	②	[eqn: 11]	③	[eqn: 12]	④	[eqn: 13]	⑤	[eqn: 14]

21. 세 수 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2] 중에서 중복을 허락하여 다섯 개의 수를 택해 다음 조건을 만족시키도록 일렬로 배열하여 자연수를 만든다.

	(가) 다섯 자리의 자연수가 되도록 배열한다.
	(나) [eqn: 1]끼리는 서로 이웃하지 않도록 배열한다.

예를 들어 [eqn: 20200], [eqn: 12201]은 조건을 만족시키는 자연수이고
[eqn: 11020]은 조건을 만족시키지 않는 자연수이다. 만들 수 있는
모든 자연수의 개수는? [4점]

	①	[eqn: 88]	②	[eqn: 92]	③	[eqn: 96]	④	[eqn: 100]	⑤	[eqn: 104]

	단답형

22. 등비수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여 [eqn: a_2`=3`], [eqn: a_6`=12`]일 때, [eqn: a_10`]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: LEFT ( x^2}+2RIGHT ) ^{5}`]의 전개식에서 [eqn: x^6`]의 계수를 구하시오. [3점]

24. [eqn: 1`]보다 큰 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여 [eqn: log _{`c} `a`:`log _{`c} `b=2`:`3`]
일 때, [eqn: 10`log _{`a} `b+9`log _{`b} `a`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 어느 배드민턴 동호회 회원 [eqn: 70`]명 중 [eqn: A`]회사에서 출시한
배드민턴 라켓을 구매한 회원 수와 구매하지 않은 회원 수가 다음과 같다.

(단위: 명)

구분	남성	여성
구매한 회원 수	[eqn: 39]	[eqn: 18]
구매하지 않은 회원 수	[eqn: 6]	[eqn: 7]

이 배드민턴 동호회 회원 중에서 임의로 선택한 한 명의
회원이 남성이었을 때, 이 회원이 [eqn: A`]회사에서 출시한 배드민턴
라켓을 구매하였을 확률은 [eqn: p`]이다. [eqn: 90p`]의 값을 구하시오.

[3점]

26. 첫째항이 [eqn: 3`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]에 대하여
[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( a _{5n} -a _{n} RIGHT ) =440]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} `a _{n} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 함수 [eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{ x^{2n} } over {1+x ^{2n}}}`]과 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인
이차함수 [eqn: g(x)`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)`]가 실수 전체의
집합에서 연속일 때, [eqn: g(8)`]의 값을 구하시오. [4점]

28. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1`]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2}`]이 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]이다.
	(나) [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT { `f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) RIGHT } `} =27`]

두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]로 둘러싸인 부분의 넓이를
구하시오. [4점]

29. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정삼각형 [eqn: rm ABC`]와 점 [eqn: rm A`]를 지나고 직선 [eqn: rm BC`]와 평행한 직선 [eqn: l`]이 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 중심 [eqn: \O_{it n}`]이 변 [eqn: rm AC`]위에 있고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt { 3} LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )^n-1]인 원이 직선 [eqn: \AB]와 직선 [eqn: l`]에 모두 접한다. 이 원과 직선 [eqn: \AB]가 접하는 점을 [eqn: \P_{it n}`], 직선 [eqn: rm O _{it n rm} P _{it n rm}`]과 직선 [eqn: l`]이 만나는 점을 [eqn: \Q_{it n}`]이라 하자. 삼각형 [eqn: \BO_{it n}Q_{it n}`]의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim_{n`->`inf} {`2^n`S_n}=k`]이다. [eqn: k^2`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: l]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm O_{it n}]

[eqn: rm Q_{it n}]

[eqn: rm P_{it n}]

30. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )] 가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{4}}} =1]
	(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

[eqn: -1 leq n leq4]인 정수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )] 를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-n RIGHT ) +n`` LEFT ( n` LEQ x<n+1 RIGHT )]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 열린구간 [eqn: LEFT ( `-1,~5 `RIGHT )]에서 미분가능할 때, [eqn: int _{0} ^{4} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}= { q} over { p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.